Výroková a predikátová logika. J. Mlček

Transkript

1 Výroková a predikátová logika J. Mlček 2012

2 2

3 Obsah 1 Úvod a předběžnosti Předběžnosti Booleovyalgebry Olineárníchuspořádáních Poznámky Koncept predikátové logiky Základnísyntax Základnísémantika Vlastnostistrukturateorií.Charakteristikyteorie Faktorstruktury.Algebryformulí Formalistickéupřesnění designátory Některéteorievpredikátovélogicesrovností Poznámky Výroková logika Základnísyntax Základnísémantika Existencemodelu,kompletnostakompaktnost Aplikacekompaktnosti.Axiomatizovatelnost Syntaktickédůkazovémetody Problémsplnitelnosti.Rezoluce Vícehodnotoválogika Poznámky Kompletnost predikátové logiky Elementárníteoriedokazování.Prenexnítvarformulí Existencemodelu,kompletnost,kompaktnost Extenzeteorieofunkčnísymboladefinicemi Poznámky A Vlastnosti konkrétních teorií 95 A.1 TeorieSC 0,SC A.2 TeorieDiLO,DiLO A.3 TeorieDeLO A.4 Aritmetiky A.5 Teorievektorovýchprostorů A.6 TeorieCE k ( ),C E ω A.7 Teorieunárníhopredikátu A.8 Teoriebijekcí A.9 Poznámky

4 4 OBSAH B Nerozhodnutelnost 109 B.1 Základnípojmy B.2 Větyonerozhodnutelnosti

5 Kapitola 1 Úvod a předběžnosti Text obsahuje výklad základů predikátové logiky. Přesněji půjde o predikátovou logiku prvního řádu, umožňující bezprostředně zacházet jen s predikcemi a kvantifikacemi individuí, nikoli však již se systémy individuí, systémy takových systémů atd; to je možné až v logikách vyšších řádů. Dále půjde jen o logiku dvouhodnotovou; vícehodnotový případ zmíníme pouze orientačně. Poznamenejme, že logika může pracovat navíc s tzv. neklasickými kvantifikacemi(značícími např. existujenekonečněmnoho ),snekonečnýmivýrazyčimodalitami;tovšejezdepominuto. Nejprve bude vyložen koncept nastíněné predikátové logiky, pak bude rozvinuta dvouhodnotová výroková logika jako specificky důležitá část a následně rozvinuta predikátová logika, zejména pokud jde o její kompletnost. Při výkladu je zapotřebí pracovat s řadou elementárních pojmů, jakými jsou konečné posloupnosti, relace, operace, velikosti množin, induktivní definice, důkaz indukcí podle složitosti induktivně definovaných objektů, případně další. Ty jsou stručně shrnuty v Předběžnostech. Vtextuužijemenamnohamístechznačku pro právěkdyž a pro implikuje českého jazyka. Značka resp. je symbol znamenající ekvivalenci resp. implikaci a patřící do nějakého matematickou logikou zkoumaného symbolického jazyka. Místo resp. resp.... píšemetaké [ /...]. 1.1 Předběžnosti. Základní množinové pojmy. Vlastnost(vztah) V(x) o množinách definuje třídu {x; V(x)}; je-li to množina y píšeme y = {x; V(x)}.Např.vztah x=xdefinujetříduvvšechmnožin.nemůžetobýtmnožina,neboťjinak bybylamnožinouijejípodtřída y= {x; x / x};pakale y y y / y,cožjespor.dálenapř. {x; x x}jetzv.prázdnámnožina,značená. Symboly,,, značíběžnéznáméoperacesmnožinami,atosjednocení,průnik,rozdíl a symetrickou diferenci dvou množin, {x, y} je neuspořádaná dvojice množin x, y; obsahuje právě prvky xay. {x 0,...,x n 1 }jemnožina,obsahujícíprávěprvky x 0,...,x n 1 ;když x 0 = x 1 = =x n 1,jetojednoprvkovámnožina {x 0 }.Dále x yznačí,že xjepodmnožina y.potenci P(x)resp.sjednocení xmnožiny xdefinujemetakto: P(x)={y; y x} resp. x={y; y zpronějaké z x}. Pokrytímnožiny Ajemnožina S P(A) { }s S= A.Kdyžnavícjsoukaždédvarůznéprvky u,vzsdisjunktní,tj. u v=,je Sdisjunktnípokrytí Anebolirozklad A. Poznamenejme,žeuvedenátvrzeníotom,že, {x,y}, P(x)atd.jsoumnožinyplynouzaxiomů o množinách, tvořících např. Zermelo-Fraenkelovu axiomatiku. Níže uvedeme další množinové pojmy a jejich vlastnosti; ty budou plně v souladu se zmíněnou axioamtikou a navíc budou intuitivně dobře akceptovatelná. Množinový rámec tak představuje dostatečně ujasněný půdorys pro exaktní rozvoj dané matematické problematiky. 5

6 6 KAPITOLA 1. ÚVOD A PŘEDBĚŽNOSTI Relace, funkce, soubory. Základní porovnávání množin. Uspořádanádvojice(x,y)jemnožina {{x},{x,y}}.platí:(x,y)=(x,y ),právěkdyž x=x a y=y.kartézskýprodukt(součin) a bmnožinaa, bjetvořenprávěvšemiuspořádanými dvojicemi(x,y)sx a, y b.nynímůžemedefinovatdisjunktnísjednocení x ymnožin: x y=({ } x) ({{ }} y). Poznamenejme,že resp. { }chápemetéžjakopřirozenáčísla0resp.1,tudíž x y=({0} x) ({1} y). Disjunktní sjednocení, kartézský součin a množinová mocnina jsou důležité množinové operace, úzce související s kalkulem velikostí množin. Relacejejakákolimnožina Ruspořádanýchdvojic;speciálněje relace.místo(x,y) Rse píšetéž R(x,y).Definičníoborresp.oborhodnotrelace Rjemnožina dom(r)={x; existuje ys(x,y) R} resp. rng(r)={y; existuje xs(x,y) R}; zřejmě R dom(r) rng(r).extenzeprvku xvrjemnožina R[x]={y;(x,y) R}.Parcializace R urelace Rna uje {(x,y) R; x u};je R =.Dále R 1 = {(y,x);(x,y) R} je relace inverzní k R. Je-li S také relace, definujeme složení R S relací R a S: R S = {(x,y);existuje zs(x,z) Ra(z,y) S}.Buď Amnožina.PakId A = {(a,a); a A}.Zřejmě pro R A Aje R Id A = R=Id A R. Relace Rjereflexivníresp.symetrickáresp.tranzitivnína A,kdyžpro a,b,c Aplatí: R(a,a)resp. R(a,b)implikuje R(b,a)resp.když R(a,b)aR(b,c),tak R(a,c). Je-lirelace Rreflexivní,symetrickáatranzitivnína A=dom(R)=rng(R),jetoekvivalencena Aapro a Aje R[a]faktorprvku adle R.Množina A/R={R[a]; a A}jefaktor-množina množiny Adle R. A/Rjezřejměrozklad Aanaopakrozklad Sna Aurčujeekvivalenci Ena AsA/E= S.Je-lirelacereflexivníatranzitivnína A,jetokvaziuspořádánína A,je-linavíc Rantisymetrickána A,tj.zR(x,y)aR(y,x)plyne x=ypro x,y A,je Ruspořádánína A; R Id A jejehoostráverze.častoznačímeuspořádánísymbolem ; <jepakjehoostráverze. Relace Rjefunkce,když R[x]jejednoprvkováprokaždé x dom(r).je-li Rfunkceaplatí R[x]={y},píšeme R(x)=y; yjehodnota Rvx.Množina je(prázdná)funkce;dom( )= =rng( ).Funkceznačímenejčastějipísmeny F,G,H,f,g,h.Symbol f: x yznačí,že f je funkcezxdo y,tj.dom(f)=x,rng(f) y.funkce f jena y,kdyžrng(f)=yajeprostá, kdyžpro a,b dom(f)sa bje f(a) f(b).dálemnožinavšechfunkcízxdo yseznačí x y. Prvkyz x {0,1}jsoucharakteristickéfunkcena x.profunkce F,Gdefinujeme F G=G F;tedy F G(x)=yprávěkdyžexistuje zs(x,z) Ga(z,y) F ataké F G(x)=F(G(x))pro x dom(g)sg(x) dom(f).místo F Gsepíšetéž FG.Je-li F funkceaxmnožina,značí F[X](též F X)obraz Xpřes F,tj.množinu {y;existuje x Xs y= F(x)}. Je-li ffunkcesdom(f)=i,říkámetaké,žetoje(indexovaný)soubor(sindexovoumnožinou I)aznačímejej f i i I,stručněji f i I ; f i je f(i).prázdnýsouborseznačítéž.sjednocení (rng(f))souboru fi i I seznačí i I f i,stručněji I f iataké {f i ; i I}. Základní porovnání velikosti množin je dáno subvalencí a ekvivalencí množin: Množina x je subvalentní( )resp.ekvivalentní( )množině y,existuje-liprostézobrazení xdo yresp.navíc na y.když x yanení x y,je xostřesubvalentní y.zřejmějsou, reflexivníatranzitivní vztahy, navícsymetrický.dále P(x) x {0,1}.Platídvědůležitévěty: Cantor-Bernsteinovavěta. x yay ximplikuje x y. Cantorova věta. Množina x je ostře subvalentní P(x). Přirozená čísla. Množina přirozených čísel se značí N. Definuje se jako nejmenší induktivní množina, tj. takovámnožina w,že w azx wplyne x {x} w.pakprokaždépřirozenéčíslo n platí n={0,1,...,n 1},speciálně0=,1={ },2={0,1}.Dáleje m < n m n m n.uspořádání <přirozenýchčíseljedobré,tj.každáneprázdnápodmnožinamnožiny Nmá nejmenší prvek. Dále platí princip matematické indukce a lze konstruovat rekurzí podle předpisu F(n)=G(F n,n)jedinoumaximálnífunkcisdom(f) Nčidom(F)=N; Gjetzv.konstruující funkce. Rekurzí se sestrojí obvyklé sčítání a násobení přirozených čísel. Dále definujeme: množina jekonečná,je-liekvivalentnínějakémupřirozenémučíslu n N: x n.píšemepak x =na

7 1.1. PŘEDBĚŽNOSTI. 7 říkáme, že n je velikost či kardinalita či mohutnost x. Přirozená čísla představují typy velikostí čili kardinalit konečných množin. Jejich aritmetika je dána sčítáním, násobením a mocněním přirozených čísel, přičemž význam této kardinální aritmetiky ukazují následující rovnosti pro konečné množiny x, y: x y = x + y, x y = x y, x y = y x. Onačme[x] n množinuvšech n-prvkovýchpodmnožinmnožiny x.pro xkonečnousn x je [x] n = ( x n). Konečné sekvence. Predikát xjesekvence,značenýjakoseq(x),jedántakto: Seq(x) x je funkce, jejíž definiční obor je nějaké přirozené číslo. (1.1) Základnípojmyvztahujícíseksekvencímjsou:unárníparciálnífunkce délkasekvence x,binární parciálnífunkce y-týčlen(prvek)sekvence x, konkatenace sekvencí xay, konkatenace sekvence xsekvencí,binárnípredikce sekvence xjepočátkemsekvence y akonstanta prázdná sekvence.značímejepořaděsymboly lh(x), (x) y,stručnějitéž x y, x y, (x), x y,. Je-li xsekvencedélky n,můžemeříkat,žetoje n-sekvence.jetoovšemsoubor x i i<n,který zapisujeme též jako x 0,...,x n 1. Je-linavícrng(x) A,jetosekvencevA.MnožinuvšechsekvencívAznačíme A ;tedy A = n N n A. Sekvenci x i i<n resp.jejídélkuznačímetéžsymbolem x resp. l(x); pruhnad xmágrafickyvyznačit,žejdeosekvenci.místo x, x 0 apod.píšeme x, x 0 apod.tedy x je x 0,...,x n 1 pronějaké n N.Dálemísto x i píšemetéžjen x i. Snadnosezjistí,žeplatí:konkatenacejeasociativníaneníkomutativní, s=s=s pro sekvenci s,l(s s )=l(s)+l(s ). Poznamenejme,že x 0,...,x n 1 jesekvencedélky n;jeprázdnápro n=0a x 0 pro n=1. Kartézská mocnina, n-tice. Pro n Ndefinujeme n-toukartézskoumocninu A n množiny Aindukcí: A 0 = { }, A 1 = A, A n+1 = A n A. PrvkyzA n jsou(uspořádané) n-ticevaadále n-ticeje n-ticevnějakém A.Ukážeme,že n Aa A n můžeme prakticky ztotožnit.definujmefunkce() n : n A A n indukcí: ( ) 0 =, ( a ) 1 = apro a A, (s b ) n+1 =((s) n,b)pro s n A. Každé() n jeprostézobrazení n Ana A n.díkytomuztotožňujeme s n As(s) n a(tedy)píšeme s 0,...,s n 1 místo(s) n,pokudtonevedeknedorozumění.mámepotompro n >0rovnost a 0,...,a n n+1 = a 0,...,a n 1 n,a n. POZNÁMKA.Uveďme,kdyztotožněnímůževéstknedorozumění.Je-li s= a 0,...,a n 1 n A, pišme(s) n jako(a 0,...,a n 1 ) n.potomtedyje(a) 1 = apro a Aaztotožněnídává a= a,což jeneplatnárovnost,hledíme-lina a jakonasekvencidélky1.pro n >0je(a 0,...,a n ) n+1 = ((a 0,...,a n 1 ) n,a n ). Pro a 0,a 1,a 2 z A může být 3-tice u = (a 0,a 1,a 2 ) 3 ( A 3 ), také 2-ticí ((a 0,a 1 ),a 2 ) 2 ( A 2 ),je-li(a 0,a 1 )va.tedy(s) 3 = u=(s ) 2 projisté s 3 Aas 2 A.Je ovšem s s aztotožněnítedyvedekneplatnérovnosti s=s. Poznamenejme,žeje n A = A n = A n,speciálněpro Akonečnéalespoňdvouprvkovéje A 2 > A.Existujevšaknekonečnámnožina Ataková,že A 2 A. Uveďmeještěněkolikužitečnýchpojmů.Pro n-tici aak<nsymbol a(k/b)značí n-tici a takovou,že a i = a ipro k i<n, a k = b.říkáme,žedvěsekvence x,yjsoudisjunktní,když rng(x) rng(y)= ;píšemetéž x y=.

8 8 KAPITOLA 1. ÚVOD A PŘEDBĚŽNOSTI n-ární relace a funkce. Buď n N.Množina R A n je n-árnírelacenad A; nnazývámečetnost Raznačímear(R). Speciálně0-árnírelacenad Aje R { },1-árnírelacejejakákolimnožina(anenítotedynutně množina dvojic). Označme RL(A)={R; R A n pronějaké n N}. Funkce F A n Bsenazývá n-ární(parciální)funkcečizobrazenízado B;jejíčetnost značímear(f)atedymámear(f)=n.jetototální n-árnízobrazenízado B,kdyžnavíc dom(f)=a n.říkámepakještě,žetoje n-árníoperacenad A,když B= A.Speciálně0-ární operacenad Aje Ftvaru {,a }sa Aaztotožňujemejisa. Prorelaci R A n resp.zobrazení F: A n Ba a= a 0,...,a n 1 A n R(a)značímetéž R(a 0,...,a n 1 ) resp. F(a)značímetéž F(a 0,...,a n 1 ). Induktivní definice. Nechť F je n-árnífunkceaxmnožina. F-konkluze Xjemnožina F[X n ];značímeji F X. Tedy F X jetvořenoprávěprvky F(x 1,...,x n )s x 1,...,x n X n dom(f) F-uzávěr a odvození. Induktivní definice. Buď F množina funkcí konečných četností, X množina. 1. F-konkluze X jemnožina {F X ; F F};značímeji F X.TedyvF X jsouprávě prvky F(x 1,...,x n )s x 1,...,x n X n dom(f)pro F F,speciálně F( )pro F Fnulární. Xje F-uzavřená,kdyžobsahujesvou F-konkluzi,tj.když F X X. F-uzávěr Xjenejmenší F-uzavřená nadmnožina X; F-uzávěr X značíme F X. 2. F-odvozenízXjesekvence s,přičemžprokaždé i <lh(s)je s i Xneboexistuje Fz Fa i 0,...,i n 1 < itak,že nječetnost Fa s i = F(s i0,...,s in 1 );říkásepak,že sje F-odvozenízX prvku y=(s) lh(s) 1.Prvekje F-odvozenýzX,existuje-lijeho F-odvozenízX. 3.Induktivnídefinicemnožiny Y z FaXjeseznampravidel každýprvekzxjevy, F(y 1,...,y n )jevy,jakmile F Fječetnosti na y 1,...,y n Y n dom(f). O nejmenší množině Y vyhovující těmto pravidlům říkáme, že to je množina definovaná induktivní definicí s pravidly(1.2); je to ovšem množina F X. Důkaz indukcí na objektech(též podle složitosti objektů) z F X, který prokazuje, že každý prvekzf X mávlastnost V,jeschema (1.2) každýprvekzx {F( ); F Fjenulární}mávlastnost V, když y 1,...,y n z F X majíkaždévlastnost V,má F(y 1,...,y n )vlastnost V, jakmile F Fa y 1,...,y n dom(f). (1.3) Druhápoložkaz(1.3)jeschémaindukčníchkroků, nechť y 1,...,y n majívlastnost V jeindukční předpokladindukčníhokrokuvy 1,...,y n pro F. Pokud F = F {F x ; x X},kde F x = {,x }jenulární,v(1.2)i(1.3)lzevynechatprvý řádekavedruhémpsát F místo F. TVRZENÍ Buď F množina funkcí konečných četností, X množina. Pak 1) F X = n N X n,kde X 0 = Xa X n+1 = X n F X n. 2) F X ={y; yje F-odvozenýzX}. 3)Platí-li(1.3),mákaždýprvekzF X vlastnost V. 4) X X F X F X, X F X =F F X.

9 1.1. PŘEDBĚŽNOSTI. 9 Důkaz. 1) plyne snadno. 2)Inkluze.Je-li snějaké F-odvozenízX,jejehoposledníčlenvF X ;toplyneihned indukcí dle délky s užitím F-uzavřenosti F X. Odtud plyne dokazovaná inkluze. Inkluze.Indukcíplyneprokaždé n:každé y X n jeprvek F-odvozenýzX.Pro n=0 tojejasnéaindukčníkrokplynetakto:buď y=f(z 1,...,z n ) X n+1 s z 1,...,z n z X n a s i buď F-odvozenízXprvku z i pro i=1,...n.pak s 1 s n yjehledanéodvození.jelikož F X = n N X n,dokazovanáinkluze platí. 3)Indukcísnadnoplyneprokaždé n:každé yzx n mávlastnost V. 4) Inkluze jsou zřejmé a poslední rovnost plyne z F-uzavřenosti F X. Velikosti množin. Dvěmnožiny xayjsoustejněvelké,kdyžjsouekvivalentní,tj. x y.existujetřídacntzv. kardinálních čísel, představující typy velikostí množin, tj. za předpokladu axiomu výběru lze ke každémnožině xnajítprávějedno κ Cntak,že x κ;uvedené κjevelikostčikardinalita čimohutnost xaznačíse x.je N Cnapro xkonečnouje x N.Písmena κ, λ, µznačí kardinální čísla. NaCnjedánodobréuspořádání apodobnějakopropřirozenáčíslaplatíiprovšechny kardinály κ < λ κ λ κ λ.navícpromnožinu x Cnje xsupremum xvtomto uspořádání. N je počáteční úsek uspořádání. První kardinál z Cn N je nejmenší nekonečný kardinálaznačíse ωči ℵ 0.Je ω= Naprvekzω,tj.přirozenéčíslo,jekonečnýkardinál.Množina kardinality ω se nazývá spočetná množina. Nekonečná množina, která není spočetná, se nazývá nespočetná.nejmenšíkardinálvětšínež κsenazývánásledník κaznačíse κ +.Definujemeindukcí: ω 0 = ω, ω n+1 =(ω n ) +.Dále ω ω jenejmenšíkardinálvětšínežkaždé ω n s n < ω.místo ω i se píšetaké ℵ i pro i ω.třídacnnenímnožina,neboťjinakbyprosupremum κmnožinycn bylo P(κ) κ.zápis κ < ωznačí,že κ N, κ ωpak,že κjenekonečnýkardinál.kardinalita množiny P(N)seznačí canazývásekontinuum;tedy c= P(N) = ω 2 ataké c= R.Podle Cantorovyvětyje ω < c,tedy c ω +.Rovnost c=ω 1 senazýváhypotézakontinuaaznačíse (CH). Z axiomů obvyklé, tj. Zermelo-Fraenkelovy teorie množin s axiomem výběru ZFC, nelze hypotézu kontinua ani dokázat ani vyvrátit. Je to jedno z nejznámějších nezávislých tvrzení teorie množin.je-liteoriezfcbezesporná,jebezespornáis(ch),alenapř.isc=ω 5.Začátekkardinální škály můžeme zapsat takto: 0 <1<2< < n < n+1 < < ω < ω 1 < ω 2 < < ω ω <(ω ω ) + <. Aritmetika kardinálních čísel. Na Cn je definováno +, a mocnina, přičemž tyto operace rozšiřují analogické na N: κ+λ κ λ, κ λ κ λ, κ λ λ κ. (1.4) Značení. 1.Množinavšechpodmnožin u xs u =λresp.s u < λseznačí [x] λ resp.[x] <λ. Speciálně[x] <ω jemnožinavšechkonečnýchpodmnožinmnožiny x. 2.Pro rovno <či avelikost(číslo) κznačísymbol κ( ) resp. κ(, ) početvelikostí(čísel) λtakových,že λ κresp.navícje λnekonečné. Např. tedy platí n(<)=npro n N, ω(<)=ω= ω( ), ω(<, )=0, ω(, )=1, Cn κ =κ(<).

10 10 KAPITOLA 1. ÚVOD A PŘEDBĚŽNOSTI TVRZENÍ.(Počítání s kardinalitami a kardinály.) C1) a) x y x + y. b) i I x i I λ,je-li x i λprokaždé i I. C2) a) P(x) =2 x = x 2. b) c=2 ω. C3) Pro +, platí obvyklá komutativita, asociativita a distributivita. Platíobvyklévzorceomocnině: κ λ+µ = κ λ κ µ, (κ λ ) µ = κ λ µ. Monotonie:když κ κ 0,λ λ 0,tak κ+λ κ 0 +λ 0, κ λ κ 0 λ 0,0 < κ κ λ κ λ0 0. C4) Je-li alespoň jeden kardinál κ, λ nekonečný a oba jsou nenulové, platí κ+λ=κ λ=max(κ,λ). Speciálně:Je-li xnekonečná, y xa y < x,tak x y = x. C5) Pro κ ωa0 < n Nplatí: a) κ n κ. b) λ κ [κ] λ = κ λ. c) [κ] <ω =κ. d)2 λ κ 2 κ = λ κ. Tedynapř: ω= ω+1=ω+ω= ω ω= ω ω+5=ω 7 < ω ω =2 ω =(2 ω ) ω. V následujícím tvrzení je uvedeno několik užitečných poznatků týkajících se velikosti množin. TVRZENÍ. 1) Pro nekonečnou množinu x platí: a)i) x x, ii)[x] x P(x). b) x lze rozložit na x disjunktních množin, majících každá kardinalitu x. 2) Všech relací resp. operací nad A, které mají konečné četnosti, je a) ω,pokud2 A < ω, b) 2 A,pokud A ω. 3) Buď A.Pro U,U Aje A,U izomorfnís A,U,píšeme A,U = A,U,když existujeprostézobrazení Ana Apřevádějící Una U.Pakplatí: Ažnaizomorfnostjedvojic A,U su Aprávě A ( ). Důkaz.1)a)i).Je x = i<ω i x.tedy x x ω x xaodtud x x.přitomjsmeužilic1) b),c4),c5)a).ii)plyneihnedzc2)a)ac5)b),d).b)buď κ= x ; {{i} κ; i κ}jerozklad κ κna κdisjunktníchmnožinmajícíchkaždákardinalitu κ;díky κ κ κplatídokazované. 2)a)Je2 A < ω.pakmnožinavšechuvažovanýchrelacíje n<ω P(An ),cožjespočetné sjednocení neprázdných konečných množin a tedy to je množina spočetná. Množina všech uvažovanýchoperacíje n<ω An A,cožjespočetnésjednoceníneprázdnýchkonečnýchmnožinatedy tojemnožinaspočetná.b)relací R A n s0<n<ωje P(A n ) =2 A,neboť A n = A dle C5)a).Množinavšechuvažovanýchrelacíjetedyspočetnésjednocenímnožinkardinality2 A, cožjemnožinakardinality2 A dlec1)b)(neboťjealespoňkardinality2 A ).Podobnějetomu soperacemi F: A n A. 3)Zřejmě A,U = A,U U = U a A U = A U.Stačíužtedyjendokázat: Všechdvojic U, A U su Ajeprávě A ( ).Pro A < ωtoplatí,neboť A U je jednoznačněurčeno U.Buď A ω.všechuvažovanýchdvojics U < A je A (<)atěch,pro které U = A,jeprávě A ( )(neboť A U jelibovolnýkardinál A );celkemjichtedyje právě A ( ). 1.2 Booleovy algebry Booleova algebra. Podalgebra. Homomorfizmus, vnoření, izomorfizmus. 1.Booleovaalgebra,krátcealgebra,ješestice B= B,,,,0,1,kde B je neprázdná množina, jeunární,, jsoubinárníoperacena B,0,1jsounějaképrvkyzB, přičemžjsousplněnytzv.booleovskézákony(téžaxiomy),tj.pro x,y,zz Bplatí:

11 1.2. BOOLEOVY ALGEBRY. 11 asociativita x (y z)=(x y) z je nebo komutativita x y= y x je nebo distributivita x (y z)=(x y) (x z) [ ]je [ ]nebo [ ] absorbce x (x y)=x=x (x y) komplementace x ( x)=1, x ( x)=0 netrivialita 0 1. Bjeuniverzumalgebry B, komplement, spojení, průsek,0resp.1je(booleovská)nula resp.jednička.na0resp.1hledímetéžjakonanulárníoperaci,přiřazující B 0 hodnotu0 resp. 1. Velikost algebry B je velikost jejího univerza. Poznamenejme, že Booleova algebra je tzv. struktura prvého řádu s jednou unární, dvěma binárními a dvěma nulárními operacemi, přičemž univerzum je alespoň dvouprvkové. Vezme-li se místo netriviality zákon triviality, tj. 0 = 1, nazývá se B triviální Booleova algebra. 2.PodalgebraBooleovyalgebry B= B,,,,0,1 jealgebra A= A,,,,0,1,kde A Bakaždáoperace jezúžením na A(speciálně0 =0,1 =1.)Píšemepak A B a podalgebru A značíme také symbolem B A. Zřejmě je A B univerzem nějaké podalgebry algebry B, právě když je A neprázdná množina uzavřená na všechny operace algebry B, tj. každá operacebooleovyalgebry BzobrazíprvkyzAdo A;speciálněje0,1 A.Je-litedy Aneprázdná podmnožinabuzavřenánaoperacealgebryb,jeb ApodalgebraBsuniverzemA.ZřejmějeA= B {0,1}podalgebraalgebry B= B,,,,0,1 ; Anemávlastnípodalgebru(tj.suniverzem menším než A). 3.Buďte B= B,,,,0,1, B = B,,,,0,1 Booleovyalgebry.Zobrazení huniverza Bdo B jehomomorfizmusalgebry Bdo B,kdyžplatí: prokaždé a,b Bje h( a)= h(a), h(a b)=h(a) h(b),kde je nebo, h(0)=0, h(1)=1. Je-linavíc hprosté,jeto(izomorfní)vnoření Bdo B.Je-liještěnavíc hzobrazenína B,jeto izomorfizmus Ba B ;říkámepak,že BjeizomorfnísB via hapíšemetaké B = B (via h) Produkt a mocnina Booleových algeber. Buď B i I neprázdnýsouborbooleovýchalgeber;jehoproduktjealgebra I B i,,,,0,1, kdekaždáoperacejedefinována posložkách : ( f)(i)= Bi f(i), (f g)(i)=f(i) Bi g(i), (i)= Bi prokaždé i I, přičemž je,,0či1.tentoproduktznačíme I B i. Když B i = B prokaždé i I,píšeme I B místo I B i aříkáme,žetoje I-támocnina B. Když0<n ω,píšeme B 0 B n 1 místo n B i.dále 1 B ztotožňujemesb.projekce π j : I B i B j jedefinovanávztahem π j (f)=f(j)pro j I.Zřejmětojehomomorfizmus I B ina B j. PŘÍKLADY a) Potenční Booleova algebra je algebra P(I)= P(I), I,,,,I, kde I jekomplementdo I,tj.operace I : P(I) P(I)taková,žepro u Ije I u=i u; místo I píšemestručnějen.pro I= jdeotriviálníalgebru. b) Podalgebra P(I) s univerzem tvořeným konečnými a kokonečnými(tj. komplementy konečných) podmnožinami I se značí Je-li Ikonečná,jeto P(I),jinakmávelikostjakomnožina I. 2. a) Dvouprvková Booleova algebra(pravdy a lži) je FA(I). (1.5)

12 12 KAPITOLA 1. ÚVOD A PŘEDBĚŽNOSTI 2= 2, 1, 1, 1,0,1, (1.6) kde2={0,1}, 1 :2 2a 1 (0)=1, 1 (1)=0, 1 :2 2 2a 1 (x,y)=max(x,y), 1 :2 2 2a 1 (x,y)=min(x,y). b)obecnějipro I je I 2= I 2, I, I, I,0 I,1 I azřejměpak P(I) = I 2via u ch u,kdech u jecharakteristickáfunkce una I. Pro0<m<n NjekaždáBooleovaalgebra m 2ažnaizomorfizmuspodalgebrou n 2ataké podalgebrou N 2. 3.a)C p pro0<p Njepodalgebraalgebry N 2suniverzemC p N 2tvořenýmprávěvšemi funkcemi f N 2,kterémajíperiodu p,tj. f(i)=f(i+p)prokaždé i N. b)c jepodalgebraalgebry N 2suniverzemC N 2tvořenýmprávěvšemifunkcemi f N 2, kterémajínějakouperiodu p,0 < p N,tj. f(i)=f(i+p)prokaždé i N Booleovské operace. Disjunktnost, konečné rozklady jedničky. 1. Booleovská operace je operace složená z operací komplement, spojení, průsek, konstant nula a jedna Booleovy algebry a z identity; její zápis pomocí symbolů značících operaci komplementu, spojení, průseku, nulu, jedničku a proměnnou je booleovský term. Booleovský term je například(x y) z;jevproměnných x,y,z.je-li t(x 0,...,x n 1 )booleovskýtermvproměnných x 0,...,x n 1 a b 0,...,b n 1 jsouprvkyalgebry B,značí t(b 0,...,b n 1 )hodnotubooleovskéoperace představovanétermem t,spočítanévbvargumentech b 0,...,b n 1.Je-li hizomorfizmus Ba A, je t(h(b 0 ),...,h(b n 1 ))=h(t(b 0,...,b n 1 )). Jsou-li t 1,...,t n booleovskétermy,taktermtvaru t 1... t n resp. t 1... t n senazývákonečnéspojeníresp.průsektermů t 1,...,t n.jehohodnotapočítanávdanéalgebře nezávisí na pořadí a uzávorkování argumentů díky komutativitě a asociativitě, tudíž závorky jsme vypustili.elementárníprůsekjekonečnýprůsektvaru x σ(0) 0 x σ(n 1) n 1,kde x 0,...,x n 1 jsou různéproměnnéaσ: n 2.Přitomzdeznačí x 0 resp. x 1 term xresp.proměnnou x. 2.Buď B= B,,,,0,1.Množina X Bjedisjunktní,kdyžneobsahujenuluakaždéjejí dvarůznéprvkyjsoudisjunktníprvky,tj.jejichprůsekemjenulavb.množina {b 0,...,b n 1 }je rozkladjedničkyvb,je-litomnožinadisjunktníab 0 b n 1 =1. TVRZENÍ (Okonečnýchpodalgebrách.)Buďte b 0,...,b n 1 prvkybooleovyalgebry B.Pak hodnotyelementárníchprůseků b σ(0) 0 b σ(n 1) n 1 s σ n 2apovynechánínulytvořídisjunktní rozklad D jedničky v B a všechna konečná spojení prvků z D univerzum nejmenší podalgebry algebry B,obsahující b 0,...,b n 1 ;tatopodalgebramánejvýše2 2n prvků. Důkaz.Indukcídle nsedokáže,že Djedisjunktnírozkladjedničky.Pro n=1toplatí.indukční krokznna n+1:máme-lijiž Dpro b 0,...,b n 1,vzniknouzkaždéhoprvku a Dnejvýšedva nenulovéprvky a b n, a b n ajejichspojenímjeprávě a.prvky a b n, a b n s a Djsoutedy právěnenulovéelementárníprůseky b σ(0) 0 bn σ(n) atvořízjevněrozklad D jedničky.jasněje každýprvek b i s i nspojeníněkterýchprvkůzd.zbytektvrzeníjezřejmý Booleovská identita v algebře B je nějaká rovnost booleovských termů, platná identicky v B. Je to booleovská identita, pokud to je booleovská identita v každé Booleově algebře. TVRZENÍ (O booleovských identitách.) Rovnost booleovkých termů je booleovská identita, právě když to je booleovská identita v algebře 2. Důkaz.Stačídokázatimplikacizpravadoleva.Nech t(x 1,...,x n )=s(x 1,...,x n )jebooleovská identitav2.paktojebooleovskáidentitavkonečnéalgebře A,protože A = m 2projisté ma operacev m 2jsoudefinoványposložkáchv2.Buď Blibovolnáalgebra, b 1,...,b n jejíprvky.máme ukázat,že t(b 1,...,b n )=s(b 1,...,b n ).Buď Akonečnápodalgebraalgebry Bs {b 1,...,b n } A;takovápodalgebraexistuje.Vímejiž,že t(b 1,...,b n )=s(b 1,...,b n )počítánova.hodnoty

13 1.2. BOOLEOVY ALGEBRY. 13 t(b 1,...,b n ), s(b 1,...,b n )počítanévaabjsoustejné,tedy t(b 1,...,b n )=s(b 1,...,b n )počítáno v B,cožjsmemělidokázat. Uspořádání Booleovy algebry. Booleovská pravidla Kanonickéuspořádání,,,,.Booleovskéoperaceaidentity. VBooleověalgebře B= B,,,,0,1 definujemekanonickéuspořádání na Babinární operace rozdíl,symetrickádiference,(booleovskou)implikaci,(booleovskou)ekvivalenci takto: a b a=a b, a b=a ( b), a b=(a b) (b a), a b= a b, a b=(a b) (b a) Booleovská pravidla jsou následující booleovské identity popř. tvrzení platná v Booleově algebře B,,,,0,1 pro x,y,z,x,y B: Idempotence: x x=x, x x=x x y= x x y= y jeuspořádání, x y=sup {x,y}, x y=inf {x,y} Monotonie: x y a x y x x y y a x x y y Extremalita: x 1=1, x 0=0 Neutralita: x 0=x, x 1=x x y=0ax y=1 y= x, 0= 1, 1= 0 DeMorgan: x y= ( x y), x y= ( x y) ( x)=x, x y y x x y= y x, (x y) z= x (y z) (x y)=x y, (x y)=x y x y=1 x=1=y, x y=0 x=0=y x y (x y=1) Důkaz lze provést zcela rutinně pomocí booleovských zákonů nebo pomocí Vidíme,žekanonickéuspořádání Booleovyalgebry Bmánejmenšíprvek0anejvětší1a každákonečnámnožina s Bmásupremumainfimum, B, jetedysvaz.definujemeoperace a zmnožiny {u B; ujekonečná}do B: u=sup u, u=inf u; speciálněje =0, =1. Platíovšem {x0,...,x n 1}=x 0 x n 1, {x0,...,x n 1 }=x 0 x n 1 ; závorky v uvedených výrazech díky asociativitě a komutativitě vynecháváme Relativizace Booleovy algebry na prvek. Buď BBooleovaalgebra, a B.Relativizace Bna ajebooleovaalgebrasuniverzem B a= {x; x a}asoperacemi,,0algebry Bjakožtoprůsekem,spojením,nuloualgebry,komplementem B a x=a x(pro x B a)ajednotkou a.značímeji B a. Poznamenejme, že jde jasně o Booleovu algebru. Jejím kanonickým uspořádádním je zřejmě parcializacekanonickéhouspořádáníalgebry Bnamnožinu B a.dálejezřejmě projekce x x a homomorfizmus algebry B na algebru B a. TVRZENÍ Buď BBooleovaalgebra, a B.Pakplatí B =(B a) (B a). Důkaz.Buďte g: B (B a) (B a)ah:(b a) (B a) Bdefinoványtakto: g(x)= x a,x a, h( y,z )=y z.

14 14 KAPITOLA 1. ÚVOD A PŘEDBĚŽNOSTI Zřejměje g homomorfizmus,neboť g( x) = x a, x a = B a x, B a x ajeto izomorfizmus, neboť h je inverzní ke g. Atomy a(bez)atomárnost Atomy v Booleově algebře. 1.AtomvBooleověalgebřejenenulovýprvek,podkterýmležíjennulaaonsám.Jinak řečeno: atomy Booleovy algebry jsou právě minimální prvky množiny jejích nenulových prvků vkanonickémuspořádání.množinuvšechatomůbooleovyalgebry BoznačímeAt B. 2. Booleova algebra je atomární, leží-li pod každým jejím nenulovým prvkem atom. Booleova algebra je bezatomární, neexistuje-li v ní žádný atom. Zřejmě platí: Každá konečná netriviální Booleova algebra je atomární. Nenulový prvek a Booleovy algebry B je její atom, právě když platí: prokaždé b Bje a B bnebo a B b. (1.7) TVRZENÍ Buď BatomárníBooleovaalgebra.Zobrazení h:b P(At B ),kde h(b)= {a; a b,ajeatomvb},jeizomorfizmus Banějaképodalgebrypotenčníalgebry P(At B ).Je-li Bkonečná,je hizomorfizmus Ba P(At B ). Speciálně jsou každé dvě konečné Booleovy algebry izomorfní, právě když mají týž počet atomů. Důkaz.Buďte b,b B. hjeprosté,neboťkdyž b b 0,existujeatom a b b ;paknení a b atedy h(b ) h(b).zřejmě h( B b)=at B h(b), h(b B b )=h(b) h(b ), h(b B b )= h(b) h(b ). h(0 B )= ah(1 B )=At B ; hjetedyizomorfizmus Bapodalgebry P(At B )suniverzem {h(b); b B}.Je-li Bkonečná,jeAt B konečnéahjezřejměna P(At B ). TVRZENÍ C jespočetnábezatomárníbooleovaalgebra.jetoažnaizomorfizmusjediná spočetná bezatomární Booleova algebra. Důkaz.C jesjednocenímspočetněmnožinc p s0<p N,přičemž C p =2 p ;tudížc je spočetnámnožina.je-li f N 2nenulovásperiodou0<p Nai<psplňuje f(i)=1,pak glišícíseod f jenvi+2kpprokaždé k NjenenulovýprvekalgebryC amenšínež f. Buďte A, BspočetnébezatomárníBooleovyalgebry, hizomorfizmuskonečnépodalgebry A A a B B.Pakpro a A A existuje b Btak,že hlzerozšířitdoizomorfizmu A A a B B, kde A A resp. B B jenejmenšípodalgebraalgebry A,obsahující A {a}resp. B,obsahující B {b}.univerza A, B jsoukonečnáajejichexistenceplynezbezatomárnosti A, B.Nazákladě tohotopoznatkumůžemeindukcísestrojithledanýizomorfizmus,vyjdeme-liza = {0,1} A, B = {0,1} B. POZNÁMKA. Algebra AV výroků nad spočetně prvovýroky je spočetná bezatomární Booleova algebra.avjetvořenáfaktory ϕ/ ={ψ; ϕ ψ}výroků ϕnaduvažovanouspočetnoumnožinou prvovýroků,přičemž ϕ ψ = ϕ ψ.booleovskýmoperacímodpovídají,,&, (falešný výrok), (tautologie). Kongruence, faktoralgebry. Ideály a filtry. Faktorizace Booleovy algebry B podle netriviální kongruence je důležitá konstrukce, poskytující tzv. faktoralgebru B/ často velmi odlišnou od B. Neformálně řečeno je nová rovnost na B(hrubšínežidentita),prvkyuniverza B/ jsoufaktoryekvivalence (tvaru b/ sb B),a operace algebry B se definují korektně pomocí reprezentantů faktorů. S faktorizací je úzce spojen pojem ideálu a filtru v Booleově algebře Kongruence, ideály a filtry v Booleově algebře. Buď B Booleova algebra. 1.Netriviálníkongruencepro Bjeekvivalence na Bsalespoňdvěmafaktoryataková,že platí,přičemž značí nebo :

15 1.2. BOOLEOVY ALGEBRY. 15 a a,b b a a, a b a b. Paknamnožině B/ ={a/ ; a B}faktorůekvivalence sedefinujíoperace, korektně pomocí reprezentantů a B/,,,, 0/, 1/ je Booleova algebra, zvaná faktoralgebra B podle ;značíse B/ ;toževníplatíaxiom0 1jeprávězaručenonetriviálnostíkongruence : 0 B / 1 B /. 2.Ideálresp.filtrvBjeneprázdnámnožina D Btaková,že 1 / D, a,b D a b D, a b D a D resp. 0 / D, a,b D a b D, a b D a D. Duálnífiltrkideálu Dje { a; a D},duálníideálkfiltru Dje { a; a D}. Hlavní filtr je filtr, který obsahuje nejmenší prvek(v uspořádání Booleovy algebry). Ultrafiltr jefiltr Dtakový,žeprokaždé a Bje a Dnebo a D.Množinavšechultrafiltrůalgebry B jestoneůvprostor BaznačíseS(B).Duálníideálkultrafiltrusenazýváprvoideál. Zřejmě je hlavní filtr právě horní množina nad nějakým nenulovým prvkem. Dále filtr může obsahovat nejvýše jeden atom díky uzavřenosti na průsek a filtr s jedním atomem je právě hlavní ultrafiltr. TVRZENÍ (O faktorizaci, kongruencích a filtrech Booleovy algebry.) Buď B Booleova algebra. 1) (O faktorizaci.) Je-li netriviální kongruence pro B, je B/ Booleova algebra. 2)Buď netriviálníkongruencepro B.Pak0/ jeideálvba1/ filtrvb;jsouvzájemně duální. 3) a)buď IideálvB.Pakekvivalence I na B,definovanávztahem a I b a b I,je netriviálníkongruencepro Ba0/ I = I. b)buď IfiltrvB.Pakekvivalence F na B,definovanávztahem a F b a b F,je netriviálníkongruencepro Ba1/ F = F. Důkaz.1)VB/ platívšechnyidentickérovnostizbaznetriviálnosti plyne0 1;tudíž v B/ platí všechny axiomy Booleových algeber. 2), 3) plynou zcela rutinně využitím booleovských pravidel. TVRZENÍ (O kongruencích a homomorfizmech Booleovy algebry.) 1) a)homomorfizmus halgebry BdoBooleovyalgebryurčujenetriviálníkongruenci h pro B takto: a h b h(a)=h(b).platí: b/ h = h 1 [h(b)]pro b B, h[b] = B/ h. (1.8) b)netriviálníkongruence pro Burčujehomomorfizmus h algebry Bna B/ takto: h (a)=a/ ; pak h je.homomorfizmus h senazýváfaktorprojekce Bna B/. Důkaz plyne zcela rutinně využitím booleovských pravidel Faktorizace Booleovy algebry podle ideálu a filtru. Podle jsou netriviální kongruence a ideály(a korelativně filtry) v jednoznačné korespondenci via 0/ (korelativně 1/ ).Je-li Iideálresp. FfiltrvBooleověalgebře B,značíseproto B/ I resp. B/ F téžsymbolem Vidíme nyní, že ještě díky platí následující B/I resp. B/F. (1.9) TVRZENÍ (O epimorfizmu Booleových algeber.) Je-li h homomorfizmus Booleovy algebry AnaBooleovualgebru B,takplatí: B = A/ h = A/h 1 [0]=A/h 1 [1], h 1 [1]jefiltrah 1 [0]kněmuduálníideálvA.

16 16 KAPITOLA 1. ÚVOD A PŘEDBĚŽNOSTI TVRZENÍ (O ultrafiltrech Booleovy algebry.) Buď B Booleova algebra. 1) a)ultrafiltryvbjsouprávěmaximálnífiltryvb(vzhledemkinkluzi). b)každýfiltrvbjeobsaženvnějakémultrafiltruvb(jakočást). 2)Filtr Fv BjeultrafiltrvB,právěkdyžplatí B/F =2. Důkaz.1)a)BuďFfiltrvB.Je-litoultrafiltraF Fjefiltrtakový,žeexistujea F F,máme a F atedy0 F spor.nechť Fneníultrafiltr.Buď a B, a / F, a / F.Pakpro b F je a b 0,neboťjinak b aatedy a F.Tudíž F = {c B; a b cpronějaké b F}je filtrobsahující aaf F. Ftedynenímaximální.b)Existencemaximálníhofiltruobsahujícího daný filtr F plyne z principu maximality, aplikovaného na množinu všech filtrů rozšiřujících F, uspořádanou inkluzí; toto uspořádání splňuje předpoklad majorizovatelnosti řetězů. 2) i) Buď F ultrafiltr.pro a Bjebuď a Fapak a F 1,nebo a Fapak a F 1atedy a F 0.ii) Buď B/F =2.Algebra B/F májennuluajedničku,tedypro b Bmámebuď b/f=1apak b F,nebo b/f=0,pak b/f=1atedy b F Fréchetův ideál a filtr. Buď B nekonečná atomární Booleova algebra. Fréchetův ideál v B je ideál I f (B)={ u; ujekonečnámnožinaatomůvb}. Fréchetůvfiltrjekněmuduálnífiltr,značenýF f (B).Pokudje Bpotenčníalgebra P(X),píšeme téži f (X)resp.F f (X)místoI f (B)resp.F f (B).Proultrafiltr Fv Bzřejměplatí: Fneníhlavní,právěkdyžF f (B) F. PŘÍKLADY Buď I nekonečná množina. a)algebrafa(x)jeatomární, {a}sa IjsouprávějejíatomyaFA(X)=I f (X) F f (X). b)f f (X)jejedinýnehlavníultrafiltrvFA(X).VelikostStoneovaprostoruS(FA(X))je X. c)fa(x)/f f (X) =2. 2. Buď I nekonečná množina; označme B algebru P(X). a) Bjeatomární, {a}sa Xjsouprávějejíatomy. b) O ultrafiltrech. i)buď w Inekonečná.Pak F w = {u X;existuje u F f (X)su w u } jefiltrvb, w F w F f (X). ii) Existuje alespoň I nehlavních ultrafiltrů v B. Buď totiž W P(I) množina velikosti X po dvou disjunktních množin, z nichž má každá velikost X ; takové W existuje díky nekonečnosti X,neboťpak X jestejněvelké,jako X I.Pak {F w; w W},kde F w jeultrafiltr obsahující F w zb),jemnožinanehlavníchultrafiltrů,kterámávelikost I (neboťpro w w z W je F w F w díkytomu,že w w =0, w F w, w F w ). iii)stoneůvprostors(b)mávelikost2 2 X.Důkazjeobtížnější;neuvádímejej. c) B/F f (B)jebezatomárníamávelikostjako B,tj.2 X.Dokažmeto.Označme F filtr F f (B).Buď u/f,nenulovýprvek B/F.Pak ujenekonečnáčást Iaexistujínekonečnédisjunktní u 0, u 1 s u 0 u 1 = u.pak u i /F jsounenulové,disjunktníajejichspojeníje u/f,vševb/f; tudíž pod u/f leží menší nenulový prvek a tedy u/f není atom. Konečně faktorů u/f je právě 2 I,neboť u/f = I,protože u z u/f selišíod uokonečnoumnožinu(tj. u u I f (I))a konečných podmnožin množiny I je X (díky nekonečnosti X).

17 1.3. O LINEÁRNÍCH USPOŘÁDÁNÍCH O lineárních uspořádáních. TVRZENÍ (O neizomorfních lineárních uspořádáních.) 1) a) Existuje právě kontinuum neizomorfních spočetných lineárních uspořádání. b)pronekonečné κjeprávě2 κ neizomorfníchlineárníchuspořádáníkardinality κ. 2)Pronekonečné κjeprávě2 κ neizomorfníchlineárníchdiskrétníchuspořádáníkardinality κ. 3)Pronespočetné κjeprávě2 κ neizomorfníchhustýchlineárníchuspořádáníbezkonců,které mají kardinalitu κ.

18 18 KAPITOLA 1. ÚVOD A PŘEDBĚŽNOSTI 1.4 Poznámky.

19 Kapitola 2 Koncept predikátové logiky Základní úlohou predikátové logiky je objasnit, co je soud o individuích, co je jeho důkaz z axiomů dané axiomatické teorie a co je jeho pravdivost vzhledem k této teorii. Formálně je soud výraz nějakého jazyka L, chápaný jako jistá konečná posloupnost čili sekvence symbolů jazyka; soudům říkáme formule jazyka L čili L-formule. Nastíněná logika má dvě stránky, patřící přirozeně k jazyku a souzení vůbec: syntaktickou a sémantickou. Syntaktická se týká zejména skladby či struktury jazyka, formulí a dalších výrazů v něm vytvořených a dále struktury dokazování čili dedukování. Základním materiálem jsou tu symboly, sekvence(symbolů), sekvence sekvencí a jisté operace s nimi. Základními syntaktickými pojmy jsou pak jazyk, term, formule, logické axiomy, pravidla dedukce, teorie, důkaz v teorii. Sémantická stránka se týká významové interpretace a pravdivosti formulí. Základními sémantickými pojmy jsou struktury(prvního řádu) jakožto významové interpretace uvažovaných jazyků, pojem platnosti čili pravdivosti ve struktuře, pojem modelu teorie a pravdivosti v teorii. Můžeme říci, že logika je dána koncepcí čili rozvrhem základní syntaxe a sémantiky. Požadavkem na dokazování je jeho tzv. korektnost, totiž to, aby dokazatelná formule z nějakých axiomů byla pravdivá v těch významových interpretacích, ve kterých jsou pravdivé axiomy. Heslovitěřečeno: Dokazatelnéjepravdivé.Zásadnímpoznatkempredikátovélogikyje,žeplatí i opačná netriviální implikace a tedy nakonec tvrzení o kompletnosti: Dokazatelnéjeprávěto,cojepravdivé Klíčové pojmy a značení. Základní syntax. Pojem Značení Obor jazyk L term t,s Term L (atomická)formule ϕ, ψ, χ (AFm L )Fm L logickéaxiomy LAx L Pojem Značení Obor pravidla dedukce MP, Gen teorie T důkaz v teorii ϕjedokazatelnávt T ϕ Thm(T) Základní sémantika. Pojem Značení Obor struktura pro L čili L-struktura A = L M(L) ϕplatíva(přiohodnocení eproměnných) A = ϕ(a = ϕ[e]) Thm(A) Ajemodel T A = T M(T) ϕjepravdivávt T = ϕ Tru(T) 19

20 20 KAPITOLA 2. KONCEPT PREDIKÁTOVÉ LOGIKY 2.1 Základní syntax. Jazyk Symboly. Signatura. Velikost jazyka. Extenze, restrikce, izomorfizmus jazyků. Jazyk je tvořen symboly logickými, mimologickými a eventuálně binárním relačním symbolem rovnosti =. Navíc se užívají tři pomocné symboly(delimitery)(,). Logické symboly jsou: Logické spojky negace a implikace, další jsou zavedené jako zkratky. Proměnné, tvořící spočetnou množinu Var; značíme je často x, y, z. Buď v 0,v 1,... prostépevnéočíslovánívšechproměnných. Univerzálníčiliobecnékvantifikace x sxzvar; x čteme prokaždéx.existenční kvantifikaci x,čteme existuje x,zavádímejakozkratku.(poznamenejme,že x je jeden symbol.) Mimologické symboly jsou relační, vyjadřující vztahy o individuích a funkční, vyjadřující operace s individui. Četnosti uvažovaných vztahů jsou konečné. Nulární funkční symbol se nazývá konstantnísymbol.kformálnímuzápisuužijemepojemobecnénotace,cožjedvojice S,Ar S značená Sataková,že / SaAr S : S N; S SjesymbolaAr S (S)jehočetnost.Je-li S=, jde o prázdnou obecnou notaci. Výčet mimologických symbolů je signatura jazyka R, F, kde R, Fjsouobecnénotacetakové,že R F= ar Fneobsahuježádnýlogickýsymbolani=. Rresp. F je výčet relačních resp. funkčních symbolů; oba výčty mohou být prázdné; pak jde o prázdnou signaturu, značenou. Signaturu jazyka značíme často L a jazyk s uvedenou signaturou značíme zpravidla stejným symbolem. Je to dále jazyk s rovností, obsahuje-li binární relační symbol = rovnosti; jinak to je jazyk bez rovnosti. Jazyk musí vždy obsahovat nějaký relační symbol. Signatura a také jazyk je čistě relační resp. čistě funkční, též algebraický, je-li každý jeho mimologický symbol relační resp. funkční. Jazyk zapisujeme uvedením jeho signatury, často v následujícím přehledném a praktickém tvaru: R 0,...,F 0,...,c 0,..., R 0 je m 0 -árnírelačnísymbol,..., F 0 je n 0 -árnífunkčnísymbol,..., c 0 jekonstantnísymbol,... Nemusíme pak ani nejprve vypisovat relační a pak funkční symboly, ale můžeme je uvádět v libovolnémpořadí,avšaktak,abybylypatrnéčetnostiato,ojakýdruhsymbolujde. Např.signaturajazykasrovnostíuspořádanýchtělesje L= R,F,kde Rje { },Ar R sar R ( )=2, Fje {+,,,0,1},Ar F sar F (+)=Ar F ( )=2, Ar F ( )=1, Ar F (0)=Ar F (1)=0. Zpravidlajizapisujemevpřehlednémtvaru: L= {,+,,,0,1}, jebinárnírelačnísymbol, +, jsou binární funkční symboly, je unární funkční symbol, 0, 1 jsou konstantní symboly. Velikost čili kardinalita L jazyka L je maximum z velikosti množiny mimologických symbolů a spočetné velikosti; velikost L je tedy vždy alespoň spočetná. Buďte L,L dvajazyky.jazyk L jeextenze LaLjerestrikce L,pokudkaždýmimologický symboljazyka Ljemimologickýmsymbolemjazyka L téhožtypuačetnostivl jakovladále je-li Lsrovností,jeiL ;píšeme L L.Jazyky LaL jsouizomorfní,jsou-liobabuďsrovností nebo oba bez rovnosti a dále existuje prosté zobrazení h množiny mimologických symbolů jazyka Lnamnožinumimologickýchsymbolůjazyka L tak,žeprokaždýmimologickýsymbol Sz Lje h(s)téhožtypuačetnostivl jako Sv L Termy a formule. TermyaformulejsouvýrazydanéhojazykaL= R,F takové,žeprvévyjadřujísymbolickyfunkce složenézfunkčníchsymbolůzfadruhétvrzení. MnožinuTerm L všechtermůjazyka Lčili L-termůdefinujemeinduktivněpravidly:t1)Každá proměnnájeterm.t2)je-li Fz Fčetnosti nat 0,...,t n 1 jsoutermy,je F(t 0,...,t n 1 )term. Atomickáformulejazyka Ljeprávěvýraztvaru R(t 0,...,t n 1 ),kde RjezRan-árnía t 0,...,t n 1 jsoutermy.jetotedyprávěpredikceotermech;oborvšechatomickýchformulíjazyka LznačímeAFm L.Atomickáformulenebojejínegacesenazýváliterál.

21 2.1. ZÁKLADNÍ SYNTAX. 21 MnožinaFm L všechformulíjazyka Lčili L-formulímáinduktivnídefinicispravidly:f1) Každáatomickáformulejeformule.f2)Jsou-li ϕ,ψformule,jsoujimii (ϕ),(ϕ ψ).f3)jeli ϕformuleaxproměnná,je x (ϕ)formule.induktivnídefinicespravidlyf1)af2)definuje oborofm L všechotevřenýchčilibezkvantifikátorovýchformulíjazyka L.ZřejmějeAFm L OFm L Fm L.Řekneme-lidáletermresp.formule,mínímetímtermresp.formulinějakého jazyka, patrného z kontextu nebo na jehož bližším určení nezáleží. Ve formuli(ϕ ψ) je ϕ antecedent a ψ konsekvent. Indukcí dle složitosti formule definujeme podformule takto: a) podformule atomické formule jeprávěonasama.b)podformule ϕči x (ϕ)resp.(ϕ ψ)jeprávěonasamanebokaždá podformule ϕ resp. navíc i každá podformule ψ. Nevnořený term resp. nevnořená atomická formule je term resp. atomická formule tvaru F(x 0,...,x n 1 ) resp. R(x 0,...,x n 1 ), F(x 0,...,x n 1 )=y, x=y, x=c, kde R, F či c je relační, funkční či konstantní symbol uvažovaného jazyka Termy a formule jako sekvence; prefixní a infixní tvar. Designátory. Termy daného jazyka L = R, F lze chápat jako konečné posloupnosti čili sekvence vytvořené ze symbolůjazykainduktivněpomocífunkcí F,kde F Fnebo Fjeproměnná.Přitomfunkce F : (F ) n F s n=ar F (F)(a n=0,je-li Fproměnná)jetaková,žepro s= s 0,...,s n 1 (F ) n je F (s)= F (s);sekvence F (s)jetzv.prefixnízápisvýrazuvpolskénotaci.myjsme jizapsalivdefinicitermůjako F(s 0,...,s n 1 ),tj.v obvyklénotaci,kčemužjsmeužilioproti polskénotacitřipomocnédelimitery),(.dáleprofnulárníjsmepsalif()místosekvence F,pro proměnnou xjakožtonulárnísymbolpakjen xmísto x.zcelapodobnějetomusdefinicíformulí. Tamrolifunkčníchsymbolůhrají jakounární, jakobinárníakaždé x jakounární,atomické formulepakjakonulární.přitom ( ϕ,ψ )jsmezapsalijako(ϕ ψ),tj.vinfixnímtvaru; obvyklý prefixnítvarje (ϕ,ψ).infixnítvaružívámezdůvodůlepšíčitelnosti. Vidíme abstraktněji, že nám jde o sekvence v polské notaci induktivně vytvořené vzhledem knějakéobecnénotaci S= S,Ar S,obsahujícíaspoňjedennulárnísymbol;říkámepakže Sje notace. Zmíněná sekvence se nazývá designátor notace S a množina D(S) designátorů notace S je tedy definovaná induktivní definicí: Pro S Sasekvenci sdesignátorůdélky Ar S (S)je S (s)designátor. Je-li S Sas= s 0,...,s n 1 sekvence,užívámeprografickýzápissekvence S (s) obvyklou prefixníneboinfixnínotaci,tj. S ( s 0,...,s n 1 )značíme S(s 0,...,s n 1 ),také(infixně)(s 0 Ss 1 ),když n=2. Poznamenejme,žepro n=0častopíšememísto S()jen S.Jepatrné,žetermyjazyka L= R,F jsoudesignátorynotace F,kterájerozšířením Fonulárnísymboly x,kde xjeproměnná.množina OFm L resp.fm L jemnožinadesignátorůnotace AFm L {, } resp. AFm L {, } { x ; x Var}, kdekaždé ϕzafm L jenulární, unární, binárníakaždé x jeunární.přitom ϕ pro ϕ AFm L zapisujemejako ϕ(místo ϕ())aatomickáformuletakjeformule. Připomeňme,žesekvence xjepodsekvencesekvence y,existují-lisekvence y 0,y 1 tak,žeplatí y 0 x y 1 = y;říkámepaktaké,že xmávýskytvy.poddesignátornějakéhodesignátoru ηje designátor mající výskyt v η. Poddesignátor formule ϕ je podformule ϕ. Výskyt termu ve formuli ϕjejehovýskytvnějakéatomicképodformuli ϕ.povšimněmesi,ževýskytsymbolu x veformuli neznamená, že proměnná x má v této formuli výskyt. Platí dále následující tři důležitá a intuitivně dobře akceptovatelná tvrzení o designátorech(viz 2.5.2, 2.5.4, 2.5.6), umožňující mimo jiné korektně pracovat s výskytem a substitucí. TVRZENÍ (O designátorech.) 1) (Ojednoznačnosti.)Každýdesignátorjejednoznačnětvaru S (s)projisté S Sajisté s D(S) Ar(S). 2) (Ovýskytech.)Každývýskytdesignátoru η vdesignátoru ηtvaru S (s)ss Sa s D(S) Ar S(S) jebuď ηnebojetovýskytvněkterémčlenu(s) i.

22 22 KAPITOLA 2. KONCEPT PREDIKÁTOVÉ LOGIKY 3) (Osubstituci.)Nahradí-lisevýskytdesignátoru η vdesignátoru ηdesignátorem η,získáse designátor Indukce dle délky. Každý designátor má jednoznačný tvar a délku. To dovoluje dokazovat indukcí dle délky designátorů, že všechny mají nějakou vlastnost a definovat indukcí dle délky designátorů nějakou vlastnost designátorů či hodnotu designátorům přiřazenou(tj. konstruovat ji rekurzivně) Zavedení&,,. Konvence o zápisu formulí. Binární logické spojky disjunkce(čili nebo),& konjunkce(čili a) a ekvivalence zavádíme jako zkratky dané následovně: (ϕ ψ) za ( (ϕ) ψ), (ϕ&ψ) za (ϕ (ψ)), (ϕ ψ) za ((ϕ ψ)&(ψ ϕ)). Místo&semůžepsáttaké.Existenčníkvantifikace x (ϕ)jezavedenajakozkratkaza ( x ( (ϕ))); je existenční kvantifikátor. Následující konvence o zápisu formulí se užívají pro lepší čitelnost. Častosevynechávajívnějšízávorky,místo (ϕ)sepíše ϕ.používásetéžkonvence,že má vzápisevyššíprioritunežspojky&a,tyzasenež atazasenež.místo((ϕ&( ψ)) (χ ψ))takmáme ϕ& ψ χ ψ;můžemeovšempoužítiméněradikálnízkrácení,jakonapř. (ϕ& ψ) (χ ψ).místo(ϕ 1 (ϕ 2 ϕ n )...)píšemetéž ϕ 1 ϕ 2 ϕ n,kde je,& nebo ;nekumulujemezdetedyzávorkyzprava.formule ϕ 1 ϕ 2 ϕ n,kde je&resp. se nazývákonjunkceskonjunkty ϕ 1,...,ϕ n resp.disjunkcesdisjunkty ϕ 1,...,ϕ n.závorkymůžeme pro zlepšení čitelnosti i přidat. Formuli x (ϕ)resp. x (ϕ)zapisujemejako( x)ϕresp.( x)ϕ.tedy( x)ϕjezkratkaza ( x) ϕ. Je-li Qkvantifikátor,píšemetéž(Qx 1,...,x n )ϕza(qx 1 ) (Qx n )ϕ. Je-li R resp. F nějaký nulární relační resp. funkční symbol, píšeme zpravidla místo atomické formule R()resp.termu F()jen Rresp. F.Je-li binárnírelačnísymbol,píšesetéž t sza (t s) Volné a vázané proměnné. Uzavřená formule. Generální uzávěr. 1.Výskytproměnné xveformuli ϕjevázanýve ϕ,je-litovýskytvnějaképodformuli( x)ψ formule ϕ;vopačnémpřípadějetentovýskytvolnýve ϕ.říkáme,žeproměnná xjevolnáresp.vázaná ve ϕ, jestliže některý její výskyt je volný resp. vázaný ve ϕ. Proměnná x je[ne]kvantifikovaná veformuli ϕ,když[není]jeve ϕvýskyt( x).proměnnápatříformuli ϕ,má-livýskytve ϕčije kvantifikovaná ve ϕ; jinak nepatří ϕ. Proměnná může být zároveň volná i vázaná v nějaké formuli. Jsou-li proměnné x, y různé, takvolnévýskyty xv ϕ,( y)ϕresp. ϕ ψ,jsouprávěvolnévýskytyve ϕresp. ϕaψ;to plyne z tvrzení o jednoznačnosti designátorů. Dále x nemá volný výskyt v( x)ϕ.(upozorněme, žev( x)ϕnení xtěsněza výskytproměnné x.) 2. Formule se nazývá uzavřená, čili sentence, není-li v ní volná žádná proměnná.(generální) uzávěr ϕjeformule( x 1,...,x n )ϕ,kdemezi x 1,...,x n jsouvšechnyvolnéproměnnéformule ϕ Formule a term v daných proměnných. Symboly t(x), ϕ(x). Term tresp.formule ϕje(právě)vproměnných x,je-li x= x 0,...,x n 1 prostá(n-)tice různých proměnných, mezi kterými jsou(právě) všechny proměnné termu t resp. volné proměnné formule ϕ. Píšeme pak t(x)či t(x 0,...,x n 1 ) resp. ϕ(x)či ϕ(x 0,...,x n 1 ) atentonápisprávěznamená,že tresp. ϕjevx.termčiformulejevnproměnnýchsn N, je-liv v 0,...,v n 1 afm n Ljemnožinavšech L-formulívnproměnných.Řekneme-li,že ϕje (právě)vproměnných x,y,znamenáto,že ϕje(právě)vx yax, yjsoudisjunktní.užíváme pak, obdobně jako výše, symbol ϕ(x, y), eventuálně ϕ(x; y). Často se potom x resp. y interpretují jako tzv. předmětné resp. parametrické proměnné uvažované formule. Podobně je tomu s termy. Můžemeanalogickyužíti trojný seznam x,y,zapsát ϕ(x,y,z)atd.

23 2.1. ZÁKLADNÍ SYNTAX. 23 PŘÍKLAD.a)Buď+binárnífunkčnísymbol.+neníterm.v 1 +v 1 jenevnořenýtermprávěve v 1. v 1 +v 1 (v 0,v 1,v 2 )znamená,žeterm v 1 +v 1 jevproměnných v 0,v 1,v 2.b)Buď Fbinárnífunkční symbol. F(v 5,v 1 )jenevnořenýtermprávěve v 5,v 1. F(v 5,v 1 )( v 0,v 1,v 5 )znamená,žeterm v 5,v 1 jevproměnných v 0,v 1,v 5. F(v 5,v 1 )(v 0 ;v 5 )znamená,žeterm F(v 5,v 1 )jevproměnných v 0,v 5 av 0 resp. v 5 považujemezapředmětnouresp.parametrickouproměnnou Substituce, instance, varianta. 1. Term t je substituovatelný za x do ϕ, jestliže pro každou proměnnou y termu t žádná podformule( y)ψ formule ϕ neobsahuje výskyt x, který je volný ve ϕ. Substitucetermu tdoformule ϕzaproměnnou xseprovádítak,ževšechnyvolnévýskyty proměnné xve ϕsenahradítermem t,pokud(!)jeterm tsubstituovatelnýza xdo ϕ.snadno se indukcí dle složitosti ϕ dokáže, že získaný výraz je formule; zapisujeme ji jako ϕ(x/t) a pokud jetentosymbolužit,znamenáto,že tjesubstituovatelnéza xdo ϕ.je-li ϕbezkvantifikátorová formule, je zřejmě každý term substituovatelný za každou proměnnou do ϕ. 2.Instanceformule ϕjeformuleznačená ϕ(x 1 /t 1,...,x n /t n )azískánazϕnahraženímvšech volnýchvýskytů x 1,...,x n za t 1,...,t n,přičemž x 1,...,x n jsourůznéproměnné,term t i jesubstituovatelnýza x i do ϕpro i=1,...,nasubstituceseprovádísimultánně.obecněneníinstancí formule ϕformule ϕ(x 1 /t 1 )(x 2 /t 2 ) (x n /t n )získánapostupněprováděnousubstitucí. Obdobně t(x 1 /t 1,...,x n /t n ) značí term získaný z termu t simultánním nahražením všech výskytů x 1,...,x n za t 1,...,t n,přičemž x 1,...,x n jsourůznéproměnné.výsledkemjeterm,jak plyneztvrzeníosubstitucivdesignátorech.místo ϕ(x 1 /t 1,...,x n /t n )resp. t(x 1 /t 1,...,x n /t n ) píšemetéž,nevede-litoknedorozumění,jen ϕ(t 1,...,t n )resp. t(t 1,...,t n ). Poznamenejme,že ϕ(x 1 /t 1,...,x n /t n )můžemezískatpostupněprováděnousubstitucí t i za x i do ϕ(x 1 /x 1,...,x n /x n),kde x 1,...,x njsourůzné,nejsoukvantifikovanéve ϕanevyskytujíse anive ϕanivžádném t i (atedy x i jesubstituovatelnéza x ido ϕ).obdobnějetomustermy. 3. Varianta formule ϕ je formule, která se získá z ϕ konečnou aplikací kroků: podformuli( x)ψ nahraď( y)ψ(x/y),kdeproměnná ynenívolnáve ψ(ajesubstituovatelnáza xdo ψ). POZNÁMKA Substituovatelnost vyjadřuje korektnost substituce, tj. že pro L-formuli ϕ(x)al-strukturu Aje A = ϕ(x) A = ϕ(x/t).buď ϕ(x)formule( y)(x y).pakplatíva, je-li A alespoň dvouprvková, avšak formule( y)(y y), získaná z ϕ nekorektní substitucí termu y za x, neplatí v A. Později ukážeme, že dokazatelnost formule implikuje dokazatelnost její instance. 2.Nechť ynenívolnáve ϕajesubstituovatelnáza xdo ϕ, ϕ je ϕ(x/y).pak ϕ (y/x)je ϕ.oba předpokladydohromadytotižzaručují,ževolnývýskyt yve ϕ jeprávětam,kdejevolnývýskyt xvϕ.tedy xjesubstituovatelnéza ydo ϕ atakétotožnostobouuvažovanýchformulíplatí. 3.a)Buď ϕformule( x)(x < y) (x=y)srůznýmiproměnnými x,y.je-liproměnná zrůzná od x,y,je( z)(z < y) (x=y)varianta ϕ.nelzevšak variovat xna y,neboť ymávolný výskytv( x)(x < y). b)chceme,abyvarianta ϕ formulebylaekvivalentnísϕ;žetomutakje,dokážemepozději jako tvrzení o variantách. Pokud bychom nedodrželi pravidla vytváření varianty, neplatilo by to. Vezmeme-litotižza ϕformuli( x)(x y)srůznými x,yabudemechybně(neboť ymávolný výskytvx y) variovat xna y,získáme ϕ tvaru( y)(y y),cožzjevněneníekvivalentní s ϕ. Nelze pominout ani podmínku substituovatelnosti. Buď totiž ϕ formule( y)( x)(x y); budeme-lichybně(díkytomu,že xnenísubstituovatelnéza ydo( x)(x y)) variovat yna x, získáme ϕ tvaru( x)( x)(x x),cožzjevněneníekvivalentnísϕ. Pomocí tvrzení o variantách lze až na ekvivalenci docílit, aby v dané formuli nebyla žádná proměnnázároveňvázanáivolná.napříkladveformuli ϕ,kterámátvar( x)(x < y)&x+0=x srůznýmix,y,jexvolnáivázaná.buďx proměnnárůznáodx,y.pakje( x )(x < y)&x+0=x varianta ϕ, ve které není žádná proměnná zároveň vázaná i volná.