BAKALÁŘSKÁ STA I. + II.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "BAKALÁŘSKÁ STA I. + II."

Transkript

1 Statistika I. - Teorie ) Statistika - Číselé údaje o hromadých jevech. Praktická čiost - sběr, zpracováí a vyhodocováí statistických údajů - Teoretická disciplía - metody k odhalováí zákoitostí při působeí podstatých, relativě stálých čiitelů a hromadé jevy - Etapa statistického zjišťováí (šetřeí), zpracováí zjištěých údajů, vyhodocováí a statistického usuzováí (rozbor, aalýza) - Spojicový graf četost Sloupcový graf- tvoře obdobě jako graf spojicový, hodoty ve sloupcích 5 Zámka z matematiky četost Zámka z matematiky - Sektorový (výsečový) graf - zázorěí relativích četostí vyjádřeých v procetech. - -

2 - Krabicový graf - data zobrazea pomocí kvartilů (maximum) (miimum) ) Statistické zaky - Vlastost statistické jedotky (příjem, zisk, velikost). - Kvatitativí (číselé) - určují možství (v SPSS SCALE) -- Pořadové a Měřitelé (děleí viz dále): --- Nespojité (diskrétí) abývají celočíselých hodot (počet studetů a PaE a PaA), výstupem: izolovaé body (sloupcový graf) -- Spojité abývají všech hodot daého itervalu (zlomky, desetiá čísla),(apř. míra ezaměstaosti), výstupem: spojitá přímka - Kvalitativí (sloví) - určují kvalitu -- Alterativí - pouze možosti (ao/e; muž/žea) --Možé - abývají více možostí 3) Pojmy - Statistická jedotka subjekt, který zkoumáme (domácost, podik) - Statistický soubor obsahuje kokrétí data - Základí soubor obsahuje všechy jedotky, které jsou předmětem statistického - zkoumáí (studeti PEF), mohou být koečé i ekoečé. (výsledek úplého šetřeí) - Výběrový soubor obsahuje pouze část jedotek (Studeti statistiky PAA) (výsledek eúplého šetřeí) - Kategoriálí proměá (kvalitativí) proměá, kterou eí možo měřit, kvatifikovat, ale je zařadit do tříd (apř. svobodý, žeatý, rozvedeý, vdovec) 4) (6) Pravděpodobost - áhodý pokus opakovatelá čiost, prováděá za stejých podmíek, která může, v závislosti a áhodě, vést k růzým výsledkům (Hod micí) - áhodý jev výsledek áhodého pokusu (Paa) - možia všech výsledků hodu kostkou U {,, 3, 4, 5, 6} {E, E, E3, E4, E5, E6} - -

3 - Pravděpodobost - (P. S. Laplace) číslo, které vyjadřuje míru možosti realizace áhodého jevu m P ( A) m počet astoupeí jevu A. celkový počet pokusů - Statistická defiice (R. vo Mises) S rostoucím počtem pokusů se relativí četost stabilizuje a přibližuje se k určitému kostatímu číslu. - Vlastosti pravděpodobosti ) P(A) ) P(U), protože pro jistý jev m 3) P(V), protože pro emožý jev m 4) P(A) - P(A) 5) Sčítáí a ásobeí pravděpodobosti - Věta o sčítáí pravděpodobosti - Pro vyjádřeí pravděpodobosti sjedoceí áhodých jevů. - Jedá-li se o jevy eslučitelé. - Věta o ásobeí pravděpodobostí - Pro vyjádřeí pravděpodobosti průiku áhodých jevů. P(A -- Pojem závislosti áhodých jevů - Jev A je ezávislý a jevu B, jestliže výskyt jevu B eovliví pravděpodobost výskytu jevu A. Platí P(A/B) P(A) a také P(B/A) P(B) P(A I I -- Podmíěá pravděpodobost - P(A) U B) P( A) + P( B) P( AI ) lim N + M N P( A B P ( AU B) P( A) + P( B) B) P(A/B) P(B) P(B/A) P(A) B) P(A) P(B) P(A B) P(A/B) P(B) 6) (6) Pravděpodobostí rozděleí a áhodá veličia - Pravděpodobostí rozděleí Diskrétí (apř. Poissoovo) a Spojité (apř. Normálí) - Náhodá veličia proměá, která abývá kokrétích hodot, ebo hodot z určitého itervalu - Hod kostkou - šest možých výsledků, každý astává s pravděpodobostí /6, platí:p+p+ +p - 3 -

4 -- Záko rozděleí áhodé veličiy: --- Diskrétí áhodé veličiy - řada rozděleí, distribučí fukce F(x) --- Spojité áhodé veličiy - hustota pravděpodobosti f(x), distribučí fukce F(x) -- Číselé charakteristiky áhodé veličiy - Středí hodota E(X) charakterizuje polohu rozděleí, Rozptyl rozděleí D(X) charakterizuje variabilitu rozděleí 7) Distribučí fukce a hustota pravděpodobosti - uiverzálí možost vyjádřeí zákoa rozděleí áhodé veličiy, F(x) P(X < x) pro všecha x Є (-, + ) - Diskrétí. v. - F(x) espojitá zprava v bodech, které reprezetují hodoty X - Spojité. v. F(x) spojitá - Vlastosti distribučí fukce ) F(x) ) distribučí fukce je eklesající fukce, pro všecha x<x platí F(x) F(x) 3) lim F( x), eboť F(- )P(X<- ) x lim F( x) x +, eboť F(+ )P(X<+ ) 4) P(a X<b)F(b)-F(a) - Hustota pravděpodobosti df( x) f ( x) F ( x) dx 8) (6) Normálí (Gaussovo) rozděleí - E(X) µ D(X) σ - 4 -

5 - Dvě rozděleí se stejým rozptylem, ale odlišou středí hodotou Dvě rozděleí se stejou středí hodotou, ale odlišým rozptylem - Distribučí fukce ormálího rozděleí F(x) x f(t) dt - 5 -

6 - Distribučí fukce F(x) P( X < x ) p-procetí kvatil x p F(x p ) P( X < x p )p - Výpočet pravděpodobosti P(a < X < b) - Pravidlo tří sigma (3σ) - 6 -

7 9) Normálí ormovaé rozděleí - - X U L L N N - Stadardizace ( µ,σ ) (,) - Výpočet pravděpodobosti P(a < X < b) - Distribučí fukce ormálího ormovaého rozděleí Φ(u) Φ(-u) Φ(u) ) (4) Tříděí - rozděleí jedotek souboru do takových skupi, aby co ejlépe vyikly charakteristické vlastosti zkoumaých jevů - uspořádáí údajů do přehledé formy včetě jejich zhuštěí - Jedostupňové podle obmě jedoho zaku - Vícestupňové podle obmě více zaků ajedou ) Prosté rozděleí četostí - espojité statistické zaky, údaje uspořádáme do rostoucí poslouposti a každé hodotě zaku přiřadíme počty (četosti) příslušých statistických jedotek - Absolutí četost i - Relativí četost f i µ U X σ b µ a µ P(a < X < b) F(b) F(a) Φ Φ σ σ L+ f i - Kumulativí četost absolutí (N i ), relativí (F i ), kolik jedotek souboru, resp. jaká poměrá část souboru má variatu zaku meší ebo rovou určité daé obměě N N + N k k i i k + f + f3 + + fk fi i i, f L N k L+ k k i i - 7 -

8 ) Itervalové rozděleí četostí - zak spojitý ebo diskrétí s velkým počtem obmě. - Je uto řídit se ěkolika pravidly: počet itervalů podstaté rysy, k - Staoveí počtu itervalů, Sturgesovo pravidlo R h k - Délka itervalu, Střed itervalu h/ a zaokrouhlit, R variačí rozpětí (R x max x mi ) - extrém otevřeé itervaly - jedozačě určit, do jakého itervalu hodota patří 3) Popisá statistika - Popisé statistické charakteristiky - charakterizují ve zhuštěé formě podstaté vlastosti celého rozděleí. - Čleí se a: - charakteristiky polohy rozděleí - průměry (ze všech hodot souboru) a ostatí středí hodoty (založey a ěkterých vybraých hodotách souboru) - charakteristiky variability - charakteristiky šikmosti rozděleí - charakteristiky špičatosti rozděleí - Kvatilové charakteristiky 4) Charakteristiky polohy rozděleí - Průměr: (harmoický meší ebo rove geometrickému meší ebo rove aritmetickému) -- Aritmetický - Prostý (esetříděá data) - Vážeý (setříděá data) x x x + x k + + 3,3 log + x L i x + x + L+ x x i k k i k + + L+ k k i x i i i

9 -- Geometrický Prostý (-tá odmocia ze součiu x i x ), Vážeý (-tá odmocia ze součiu x i i ) -- Harmoický Prostý ( / (suma /x i )), Vážeý (/(suma i /x i )) - Ostatí středí hodoty: (Nezabývají se krajími) xˆ -- Modus - ejčastěji se vyskytující hodota v souboru (pokud se hodoty vyskytují pouze jedou modus eí, pokud je -hodot se stejou ejvyšší četostí, je -modusů) x~ -- Mediá - prostředí hodota z řady čísel uspořádaých podle velikosti (pokud má řada sudý počet prvků je mediáem aritmetický průměr dvou středích hodot) 5) Charakteristiky variability - Měří rozptýleí hodot příslušého souboru. Rozšiřují iformace o statistickém souboru - Využívají se k posouzeí vypovídací schoposti aritmetického průměru. - Absolutí: -- Variačí rozpětí - rozdíl ejvětší a ejmeší hodoty zaku s ( x x) -- Rozptyl - Prostá forma, Výpočtový tvar i s i - Vážeá forma, Výpočtový tvar s xi i x k ( xi x) i i k k xi i xii i i s -- Směrodatá odchylka - uvádí se ve stejých měrých jedotkách jako zkoumaý zak 6) (3) Relativí charakteristiky variability - Srováváí variability růzých statistických zaků a souborů. Posouzeí relativí velikosti rozptýleosti dat vzhledem k průměru. - Porováí rozptýleosti dat skupi měřeí stejé proměé s růzým průměrem. - Variačí koeficiet s v x [%] 7) (4) Kvatilové charakteristiky - Kvatily - míra polohy rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy - Kvartily - dolí kvartil Q,5 (5% prvků má hodoty meší ež dolí kvartil), prostředí kvartil (mediá), horí kvartil Q,75 - decily, percetily, k-té (Q k/, Q k/ ) - Kvatilové rozpětí - kvartilové rozpětí (Q,75 - Q,5 ), decilové (Q,9 - Q, ) - 9 -

10 8) Míry šikmosti - srováí stupě ahuštěosti malých a velkých hodot sledovaého zaku - stejý stupeň hustoty malých a velkých hodot symetrie rozděleí - výpočet: staoveí třetího cetrálího mometu, forma prostá ebo vážeá 3 ( xi x) ( xi i i α α 3 3 s - polovia malých hodot zaku má meší variabilitu ež polovia velkých hodot (zešikmeé doleva) souměrost rozděleí polovia malých hodot zaku má větší variabilitu ež polovia velkých hodot zaku (zešikmeé doprava) s x) 3 i 9) Míry špičatosti - stupeň kocetrace hodot zaku kolem charakteristiky úrově - srováí stupě ahuštěosti hodot prostředí velikosti se stupěm ahuštěosti ostatích hodot, resp. všech hodot proměé - Plochý tvar rozděleí - podíl četostí prostředích hodot srovatelý s četostmi ostatích hodot - Špičatý tvar rozděleí - větší stupeň kocetrace (ahuštěí) prostředích hodot ve srováí s četostmi všech (ostatích) hodot proměé 4 ( x x) 4 i ( xi x) i i β 3 i 4 s β 3 4 s - rozděleí je špičatější ež ormálí, ormálí rozděleí, rozděleí je plošší ež ormálí - -

11 ) Statistická idukce - Proces, při kterém lze z výběrového souboru usuzovat a soubor základí - Vhodé vlastosti statistiky estraá, kozistetí, vydatá, postačující - Vyčerpávající iformace o sledovaém jevu obdržíme pouze ze základího souboru - Obvykle základí soubor ezáme, popisujeme a základě zámých výběrových charakteristik - Dvě oblasti - Teorie odhadu a Testováí statistických hypotéz ) (8) Teorie odhadu - Jejím úkolem je odhadout ezámé parametry základího souboru a základě výběrových dat. Výsledkem je jedié číslo. - Základí soubor - Výběrový soubor, Zjišťováí úplé - Zjišťováí výběrové ) Bodové odhady - Na základě zjištěých hodot výběrového souboru vypočteme předem staoveým způsobem jedo číslo, které považujeme za odhad parametru ZS. - Bodový odhad průměru ZS je výběrový průměr můžeme tedy psát µ x. - Bodovým odhadem rozptylu ZS eí rozptyl souboru s (viz. vzorce) - Bodový odhad variačího koeficietu ZS µ X i x N i - Bodový odhad relativí četosti ZS - Bodovým odhadem relativí četosti ZS je výběrová relativí četost f i. π f i N V v x i i N N - -

12 3) (7) Itervalové odhady - Nezámou hodotu parametru odhademe tak, že uvedeme iterval spolehlivosti, který s předem daou pravděpodobostí obsahuje daou hodotu parametru ZS. - P(T θ T ) α - Spolehlivost odhadu ( α), Pravděpodobost α, Přesost odhadu - Itervalový odhad průměru ZS - Je potřeba vycházet z ěkolika předpokladů: -- základí soubor má ormálí rozděleí ebo rozděleí ZS ezáme, ale áhodý výběr má velký rozsah, -- záme ebo ezáme rozptyl ZS σ, --zda se jedá o výběr s vraceím ebo bez vraceí a zda půjde o iterval jedostraý ebo oboustraý. -- P ( x < µ < x + ) α, - Iterval spolehlivosti pro populačí průměr (viz. vzorce) 4) Rozšířeé výpočty pro itervalové odhady - Výpočet přípusté chyby - maximálí možá chyba, které se lze dopustit při kostrukci itervalu spolehlivosti. (viz. vzorce) - Staoveí rozsahu souboru pro požadovaou spolehlivost a přípustou chybu. (viz. vzorce) - Určeí spolehlivosti odhadu - (viz. vzorce) - Rozděleí t lze za obecých podmíek aproximovat ormálím rozděleím, distribučí fukci ormovaého ormálího rozděleí. P(-,34< u <,34) F(,34) F(-,34) F(,34) [-F(,34)],999 (,999),898 - Iterval spolehlivosti pro populačí relativí četost - (viz. vzorce) - Iterval spolehlivosti pro populačí rozptyl - (viz. vzorce) 5) Itervalový odhad parametru p (π) alterativího rozděleí (itervalový odhad relativí četosti ZS) - Bodovým odhadem je výběrová relativí četost f i m/, kde je rozsah výběrového souboru a m počet jedotek s určitou vlastostí. - Teto výběrový podíl je estraým odhadem parametru p. - Je uto rozlišovat, zda pracujeme s malými ebo velkými výběry. (Velký je miimálě ) - Jedá-li o výběrový soubor velkého rozsahu, lze rozděleí výběrové relativí četosti m/ aproximovat ormálím rozděleím se středí hodotu p a směrodatou odchylkou p ( p) 6) Statistická hypotéza - Předpoklad týkající se ezámého rozděleí populace - Tvrzeí o parametrech ebo tvaru rozděleí zkoumaého zaku - Nulová hypotéza (testovaá hypotéza) H - θ hypotetická hodota zkoumaého parametru H : θ θ - Alterativí hypotéza H - H : θ θ oboustraá alterativa - H : θ > θ pravostraá alterativa - H : θ < θ levostraá alterativa - -

13 7) (8) Testováí hypotéz - Proces ověřováí platosti statistických hypotéz a základě výsledků získaých áhodým výběrem - Test Parametrické ebo eparametrické. Jedo, dvou ebo vícevýběrové. Oboustraé ebo jedostraé (pravostraé ebo levostraé) - Kritický obor - obor možých hodot testového kritéria T je rozděle a disjuktí možiy kritickou hodotou -- Kritický obor K (zamítáme H ), Obor přijetí R (výskyt hodot T, které ejsou v rozporu s H ) - Postup testováí statistických hypotéz: - Formulace ulové a alterativí hypotézy. Volba hladiy výzamosti α. - Volba testového kritéria (a testu). Výpočet hodoty testového kritéria T z výběrových hodot - určeí kritického oboru K (vyhledáí tabulkové hodoty podle zvoleého testu) - formulace výsledků testu (rozhodutí). ROZHODNUTÍ: vypočteá hodota > tabulková hodota H 8) () Parametrické testy jedovýběrové - Test hypotézy o průměru ormálího rozděleí - H : µ µ výpočet TK (viz. vzorce), u α a t α(-) jsou tabulkové hodoty - Test hypotézy o parametru p alterativího rozděleí (relativí četost) - H : π π výpočet TK (viz. vzorce), u α je tabulková hodota 9) (7) Parametrické testy dvouvýběrové - Test rozdílu dvou výběrových rozptylů (F-test) - H : σ σ - výpočet TK (viz. vzorce), F α (f, f) je tabulková hodota - Dvouvýběrový test o shodě dvou průměrů (Existuje výzamý rozdíl mezi dvěma soubory?) --. krok F test (test H σ σ ) --. krok - Dvouvýběrový t-test eí-li H F-testu zamítuta(σ σ ) zamítuta - výpočet TK (viz. vzorce), Welchův test je-li H F-testu (σ >σ ) - výpočet TK (viz. vzorce) - Dvouvýběrový test o shodě dvou průměrů závislé výběry (párový t-test) (dvě pozorováí a jedé skupiě jedotek) -- H : µ µ H : µ d, d µd je průměr souboru diferecí d i - výpočet TK (viz. vzorce) t α(-) je tabulková hodota - Test rozdílu dvou výběrových relativích četostí - H : π π, velké rozsahy a ( > ; > ) - výpočet TK (viz. vzorce), u α je tabulková hodota 3) (4) Parametrické vícevýběrové testy - Smysl aalýzy rozptylu jedoduchého tříděí - vícevýběrový test, vliv jedoho ebo více faktorů a výsledý zak kvatitativí X -- faktor jedofaktorová ANOVA (jedoduchého tříděí), faktory dvoufaktorová ANOVA (dvojého tříděí), atd. -- rozklad celkového rozptylu a rozptyly dílčí, tyto dílčí rozptyly esou iformaci, která ovlivňuje hodoty sledovaého zaku xij v daém tříděí - s rozptyl mezi třídami s a rozptyl uvitř tříd (reziduálí) s r - 3 -

14 3) (6) Model aalýzy rozptylu jedoduchého tříděí - x ij kolísá okolo průměru v důsledku efektu a i a áhodého efektu e ij N (,σ ) x x + a + e ij i ij -vyvážeý ebo evyvážeý model. Předpoklady modelu (ormalita rozděleí a ezávislost výběrů a homogeita rozptylů) - Postup sestaveí modelu: -- formulace ulové hypotézy (H : µ µ µ m ebo H : a a a m ) -- alterativí hypotéza H - slově alespoň v jedé ze srovávaých dvojic existuje výzamý rozdíl m H : a i > i -- ověřeí ormality (v praxi se eověřuje, emá vliv a výsledky testu); ověřeí homogeity rozptylu Bartlettův test; rozklad celkového rozptylu a rozptyly dílčí s s + s r -- F-test; formulace dílčích závěrů; v případě platosti (H test kočí, H mohoásobé porováí) 3) Podrobější vyhodoceí výsledků ANOVA (případ platosti H ) - Scheffého metoda (S metoda) uiverzálí (viz. vzorce) - Tuckeyova metoda (T metoda) - vyvážeý model (viz. vzorce) - Ducaova metoda - vyvážeý model, seřazeí výběrových průměrů dle velikosti, odhad rozptyl výběrových průměrů --R p; (f); α - sr s x sx s x - 4 -

15 Pravděpodobost - Laplace Státí závěrečá zkouška BAKALÁŘSKÁ STA I. + II. m počet astoupeí jevu A. celkový počet pokusů Statistika I. - Příklady - Př. Ve třídě je dívek a 8 chlapců. Jaká je pravděpodobost, že bude (při áhodém výběru) vyvoláa dívka? m P(A)/ - Vlastosti pravděpodobosti - vo Mises P ( A) m ) P(A) ) P(U), protože pro jistý jev m 3) P(V), protože pro emožý jev m 4) P(A) - P(A) P(A) lim N + - Věta o sčítáí pravděpodobosti - Př. Telefoí operátor zjistil, že 75% zákazíků požaduji telefo s fukci psaí SMS, 8% fotografováí a 65% požaduje obě fukce. Jaká je pravděpodobost, že zákazík bude požadovat alespoň jedu z uvedeých možostí? A SMS P(A),75 B fotografováí P(B),8 P(A B),65 - Jedá-li se o jevy eslučitelé - M N P(A B) P(A) + P(B) - P(A B),75 +,8 -,65,9 - Věta o ásobeí pravděpodobostí U B) P( A) + P( B) P( AI ) P( A B P ( AU B) P( A) + P( B) P(A I B) P(A/B) P(B) P(B/A) P(A) - 5 -

16 Jevy A a B jsou ezávislé, jestliže pro ě platí P(A/B) P(A) a také P(B/A) P(B). Pak lze větu o ásobeí pravděpodobostí zapsat: P(A - Př. Pa Novák lže s pravděpodobostí P(A), Pa Horák lže s pravděpodobostí P(B),3 Zeptáte-li se obou (ezávisle a sobě!) a iformaci, jaká je pravděpodobost, že budou oba lhát? Jaká je pravděpodobost, že oba řekou pravdu? I P(A B) P(A) P(B),,3,6 I P( A B) P(A) P(B),8,7,56 Jaká je pravděpodobost, že alespoň jede řeke pravdu? P( A B),8 +,7,8,7,94 P( A B) P(A B),6,94 B) P(A) P(B) - Podmíěá pravděpodobost - P(A B) P(A/B) P(B) - Př. - Házíme dvěma kostkami, bílou a čerou. Jaká je podmíěá pravděpodobost, že a bílé kostce pade 5 za podmíky, že součet a obou kostkách bude devět? B5{(5,),(5,),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)} S9{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)} P(B5 S9) P(B /S9) P(S ) Pravděpodobostí rozděleí - Náhodá veličia - řada (tabulka) rozděleí áhodé veličiy (Pro hrací kostku) šest možých výsledků, každý astává s pravděpodobostí /6, platí: p+p+ +p - 6 -

17 - Distribučí fukce (Pro hrací kostku) Normálí a ormálí ormovaé rozděleí - Př. Náhodá veličia X má ormálí rozděleí s průměrem µ a směrodatou odchylkou σ5. Pak hodota veličiy U pro X6 je: X µ 6 U, σ 5 Hodota X je,ásobek směrodaté odchylky (, x 56) ad průměrem ()

18 Itervalové rozděleí četosti - Př. - Jsou k dispozici údaje o výdělcích brigádíků za určitý měsíc. Setřiďte hodoty do přehledější formy. Staoveí počtu itervalů Staoveí šířky itervalu k 3 5,477 R 5 4 h 86,666 k 6 Sturgesovo pravidlo počet itervalů zhruba stejý k + 3,3log + 3,3log 3 5,87 Charakteristiky polohy rozděleí - Aritmetický průměr prostý Př. - Vypočítejte průměrou výšku (cm) hráček volejbalového družstva. Hodoty jsou: 85, 78, 75, 75, 8, 7. x i i x 77,66-8 -

19 - Aritmetický průměr vážeý Př. - Pojišťova si zjišťuje průměrý věk aut ze své databáze. xi i x i x 399 x 3,99 - Př. - Zajímá ás průměrý výdělek a studeta za určitý měsíc. xi i x i ,67 3 Charakteristiky polohy rozděleí - Variabilita Př. - Máme k dispozici ásledující data: Chceme popsat variabilitu tohoto souboru. 35 xi x 5 7 ( xi x) i ( 5) + ( 8 5) ( 5 5) s 4,9 7 7 s s 4,9 3,78 s 3,78 v 75,6 % 5 x - 9 -

20 - Př. - Máme data týkající se věku pojištěých aut. Teto soubor chceme popsat pomocí charakteristik variability. Value Cout Freuecy Couts Cell Percet Cum Percet x 3, 99 s s 5,9,3 s,3 v 57,64 % 3,99 x s k ( xi x) i i ( 3,99) ( 3,99) 58,99 5,9 - -

21 - Př. - Zajímá ás variabilita měsíčích výdělků vybraých studetů. xi i x i ,67 3 s k ( xi x) i i ,7 3 s s ,56 637,34 s 637,34 v 3,43 % 8666,67 x ,56 - Míry šikmosti Př. - -

22 Základí charakteristiky - Soubor A soubor B soubor C ~ x 5 x 5 xˆ 5 s 3,653 Soubor A rozděleí četostí je souměré okolo průměru,b a C rozděleí četostí je esouměré Rozděleí souboru B polovia malých hodot zaku má meší variabilitu ež polovia velkých hodot rozděleí s kladou šikmostí (zešikmeé doleva). Rozděleí souboru C polovia malých hodot zaku má větší variabilitu ež polovia velkých hodot zaku rozděleí se záporou šikmostí (zešikmeé doprava). Výpočet míry šikmosti vzhledem k provedeé tříděí je uto použít vážeou formu Soubor A α i ( x i x) s 3 3 i 5 48,343 Soubor B -α,868 sešikmeí doleva Soubor C -α -,868 sešikmeí doprava - Míry špičatosti Př. Rozsah, stejý aritmetický průměr, mediá, modus v hodotě 4, stejý rozptyl a stejou šikmost α ; liší se... Soubor D - -

23 β i ( x i x) s 4 Soubor D plošší rozděleí četostí Soubor E 4 i 7 3,78 3,465 β i 4 ( x x) i s 4 i 6 3,99 3,465 vyšší kocetrace hodot okolo středí hodoty, špičatější rozděleí četostí Itervalové odhady - 3 -

24 - Spolehlivost pro průměr Př. - Z velké zásilky součástek jsme jich áhodým výběrem vybrali 4 a zjistili pro ěkterý jejich rozměr průměr 6 mm a směrodatou odchylku 4,8 mm. Na základě těchto údajů chceme staovit 95% dvoustraý iterval spolehlivosti pro průměr tohoto rozměru přejímaých součástek v celé zásilce. 4,9 4,9 6,96 < µ < 6 +, ,4 < µ < 6 +,4 P ( 5,6 < µ < 6,4), 95 Iterval pravostraý 4,9 < 6 +, µ P ( µ <6,3364), 95 - Staoveí rozsahu souboru Př. - Požadujeme spolehlivost 95 % a přípustou chybu odhadu mm. Kolik jedotek je potřeba vybrat? s 4,9 t,5 (399),96,96 4,9 64,9 & 65 - Určeí spolehlivosti odhadu Př. - Jaká bude spolehlivost odhadu, pokud požadujeme šířku itervalu mm a výběr elze dále rozšířit? s 4,8 3 3 t α 4,9,34 Rozděleí t lze za obecých podmíek aproximovat ormálím rozděleím, distribučí fukci ormovaého ormálího rozděleí. P(-,34< u <,34) F(,34) F(-,34) F(,34) [-F(,34)],999 (,999),898 - Itervalový odhad parametru alterativího rozděleí Př. - U pojištěých aut bylo zjištěo, že 8 aut je starších ež 7 let. Chceme staovit 95% iterval spolehlivosti pro podíl aut starších 7 let v základím souboru. 8 i f,8 u i α u,5, 96 u α f i ( f ) i,96,8 (,8),753 7,53 % P (,8,753 < π <,8 +,753), 95 P (,47 < π <,553),

25 Jak velký výběrový soubor bychom potřebovali v případě, že požadujeme velikost přípusté chyby pouze 5 %? uα fi ( fi ),96,8 (,8) 6,8 7,5 Jakou spolehlivost zaručuje výběr respodetů s přípustou chybou 5 %? u α f i ( f i ),5,8,8,3 P(-,3 < u <,3) F(,3) F(-,3) F(,3),93,864 Parametrické testy jedovýběrové - Test hypotézy o průměru ormálího rozděleí Př. - Z velké zásilky součástek jsme jich áhodým výběrem vybrali 4 a zjistili pro ěkterý jejich rozměr průměr 6 mm a směrodatou odchylku 4,8 mm. Podle techické ormy má teto rozměr dosahovat úrově 8 mm. Ověřte a hladiě výzamosti,5, zda uvedeá zásilka splňuje daou ormu. 4 s 4,8 µ 8 x 6 H : µ µ H : µ µ t α (-) t,5 (4-), t > t α (-) H se zamítá Závěr: s 4,8 6,65456 s s x µ t s 4 6, , ,86 4 3,65-5 -

26 - Test hypotézy o parametru p alterativího rozděleí Př. - U pojištěých aut bylo zjištěo, že 8 aut je starších ež 7 let. Podle předpokladů a odhadů pojišťovy má podíl aut starších 7 let dosahovat podílu 5 %. Ověřte, zda podíl aut starších ež 7 let je skutečě jiý ež uvedeý předpoklad o 5% podílu. f i,8 π,5 fi π,8,5 H : π π u,6658 H : π π POZOR, změa oproti slidům π ( π ),5 (,5) u α,96 IuI < u α H se ezamítá Závěr: - Test rozdílu dvou výběrových rozptylů (F-test) Př. - Z velké zásilky součástek jsme jich áhodým výběrem vybrali 3 a zjistili pro ěkterý jejich rozměr směrodatou odchylku 4,8 mm. Ze zásilky od druhého dodavatele jsme vybrali 5 součástek a zjistili jsme pro stejý rozměr rozptyl 8,5. Na základě těchto údajů chceme ověřit, zda variabilita sledovaého parametru je u obou dodávek shodá. m 3 5 s 6,65456 s 8, 5 H H σ : σ : σ σ > F α (f, f) F,5 (4; 9),9 F < F α (f, f) H ezamítáme a variabilita obou dodávek je v ZS shodá. 3 s 6, , s 8,5 9,4 4 s 9,4 F,346 s 7,

27 - Dvouvýběrový test o shodě dvou průměrů Př. - Máme k dispozici údaje o mzdách (tis. Kč) áhodě vybraých zaměstacích určité firmy z regiou A a B. Je možé kostatovat, že z hlediska průměré mzdy existuje výzamý rozdíl mezi regioy A a B? H : µ µ průměré mzdy se výzamě eliší H : µ µ m 5 x 58,33 s 85,884 x s 53,3 67,379. F test H : σ σ H : σ > σ s F s 85,884 67,379,758 F,5 (4; ),86 F < F α (f, f) H se ezamítá, tz. že variabilita obou souborů v ZS je shodá - 7 -

28 . t testem pro variatu shodých rozptylů t,5 (5+-),69 t,37 < t α,69 [( m ) s + ( ) s ] s m + s 4 85, ,379 78, 5 + x y 58,33 53,3 t,37 s + 78,68 + m 5 ( ) 68 t < t α (f) H : µ µ - Př. - Máme k dispozici údaje o mzdách áhodě vybraých zaměstaců dvou růzých společostí A a B (tis. Kč). Je možé kostatovat, že jsou průměré mzdy obou společostí výzamě odlišé? m 5 x 7,6 s 34,64 5 x s 56, 8,7 H : µ µ průměrá mzda se výzamě eliší H : µ µ. F test H : σ σ H : σ > σ F,5 (4; 4),98 F > F α (f, f) H se zamítá s F s 8,7 34,64,

29 . t testem pro variatu rozdílých rozptylů, Welchův test t x y s s + m 7,6 56,5 34, ,7 5 6,995 s s + m f s s m + m t,5 (4), t 6,99 > t α, t > t α (f) H : µ µ se zamítá 34,64 8, , , , - Dvouvýběrový test o shodě dvou průměrů závislé výběry (párový t-test) Př. - Máme k dispozici údaje o výkoech žáků ve skoku do dálky při tréiku a při závodě. Je možé kostatovat, že jsou výkoy žáků při tréiku a při závodě shodé? H : µ µ H : µ µ d d t d s d ( d d ) i i,5,5,5,369 t α(-) t,5 (), t < t α (-) H se ezamítá s d,83,665,

30 - Test rozdílu dvou výběrových relativích četostí Př. - Máme k dispozici údaje o počtu arozeých dětí v rámci dvou regioů. V regiou A zjistili, že během sledovaého období se v rámci dětí arodilo 5 chlapců, zatímco v regiou B se za stejé období arodilo celkem 5 dětí, z toho 66 děvčat. Je možé kostatovat, že pravděpodobost arozeí chlapce je u obou regioů stejá? H : π π H : π π m 5 m 84 5 m + m p,5 66, u f f ,5,5 66,6 p,45 u α u,5,96 u > u α H se zamítá - 3 -

31 Statistika I. Studijí materiál ANALÝZA ROZPTYLU-ANOVA dělá se při dvouvýběrovém testu; pozorovaé veličiy jsou ezávislé s ormálím rozděleím a stejým rozptylem; zkoumá, zda ěkterá z porovávaých dvojic (průměrů) se liší, pomocí ANOVY se testuje ulová hypotézapokud eí zamítuta, práce kočí; pokud je zamítuta pokračujeme dál testováím Aalýza rozptylu soubor metod, pomocí kterých lze sledovat vliv jedoho ebo více faktorů a populačí průměr, specielě porovat průměry m populací, kde m > MEDIÁNpatří spolu s průměrem a modusem mezi charakteristiky polohy, začí se x s vlovkou, hodota mediáu udává středí hodotu řady, která je vzestupá, dělí ji tak a poloviy CHARAKTERISTIKY POLOHYeboli rozděleí podle umístěí (v řadě); patří sem průměr, mediá (viz. výše) a modus; průměr-sečteme všechy hodoty a vydělíme jejich počtem, modus-hodota ejčastějšího zaku (hodoty) VARIABILITA A CHARAKTERISTIKY VARIABILITY Variabilita promělivost, odchylost od ormálu, hodota rozptýleí dat v souboru, růzorodost, odchylka hodot od průměru Míry variability Pomocí je měr polohy elze přesě popsat výběr, protože moho dat má stejé ebo přibližě stejé hodoty jedotlivých parametrů měr polohy, přesto jsou a prví pohled odlišé (s) směrodatá odchylka-kvadratický průměr odchylek hodot zaku od jejich aritmetického průměru; (s )rozptyl-středí hodota kvadrátů odchylek od středí hodoty; (V) variačí koeficiet- směrodatá odchylka / průměr * ; (R) variačí rozpětí-rozdíl mezi ejmeší a ejvětší hodotou řady KATEGORIÁLNÍ PROMĚNNÉ- omiálí (zaky většiou pro typy (muž žea, emocý zdravý, ale i pro barvu apř. 5 barev; ezávislé a sobě), ordiálí (můžeme je vzestupě/sestupě řadit-dosažeé vzděláí a kvatitativí (číselé-hodota v číslehmotost, výška ) proměé; sloví proměé (kvalitativí) dělíme ještě a spojité (mohou zasahovat i desetiá čísla-váha,výška..) a espojité (počty mláďat,počet seseých vajec..); používají se pro testy relativí četosti - 3 -

32 TYPY GRAFŮ a) boxplot (krabičkový graf)-graficky zázorňuje umerická data pomocí kvartilů, umožňuje posouzeí mediáu, symetrie, variabilitu datového souboru a extrémích hodot. prví kvartil;. mediá; 3. třetí kvartil b) histogram (stem ad laef)-lodyha a listy- graf ukazující relativí četosti (hustota) a jedotlivé hodoty; vlevo-četosti (apř -tz. x), vpravo- prví číslice desítky, pak jedotky tz. Např > cea 48,49 ( cey začíající 4->4+8,4+9 Četosti; Lodyha & Listy, , , c) sloupcový graf d) koláčový graf - 3 -

33 NORMÁLNÍ A NORMOVANÉ ROZDĚLENÍ-ROZDÍL- u ormovaého má ý (středí hodota) hodotu a s (směrodatá odchylka) hodotu ; - ormálí; Normovaé N (,) DISTRIBUČNÍ FUNKCE Distribučí fukce možo použít pro diskrétí, tak i pro spojité áhodé veličiy. Je to fce, která každému reálému číslu přiřazuje ppst, že áhodá veličia abude hodoty meší ež toto číslo. Je to ppst a ta leží v itervalu <,>, je eklesající NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ-GAUSSOVO (GAUSSOVA KŘIVKA)běžé rozděleí, je ejdůležitějším pravděpodobostím rozděleím a používá se hlavě jako model pro rozděleí áhodých chyb měřeí, které jsou způsobeé možstvím malých, a sobě ezávislých áhodých jevů, předpokladem je dostatečě velký rozptyl přibližých hodot (aproximace), obvykle 9, větší ež 5 ezaručují dobré přiblížeí; středí hodota µ a rozptyl σ 3 SIGMA výsledky áhodého pokusu eleží od středí hodoty dále ež sigma doleva a sigma doprava (poté sigma a 3 sigma); itervaly: (µ σ, µ + σ) s pravděpodobostí 68,7%, (34,+34, cca 68,) (µ σ, µ + σ) s pravděpodobostí 95,45%, (68,+3,6+3,6 95,4) (µ 3σ, µ + 3σ) s pravděpodobostí 99,73% (95,4+,+, 99,6) STATISTICKÝ ZNAK, STATISTICKÁ JEDNOTKA, ZÁKLADNÍ A VÝBĚROVÝ SOUBOR statistický soubor (databáze-rostliy, lidé, firmy ); Statistická jedotka jede kokrétí prvek statistického souboru (zaměstaec);

34 Statistický zakpohlaví vzděláí, věk, bydliště ( kokrétí položka statistické jedotky Základí soubor soubor všech statistických jedotek, a ěž se vztahuje příslušé statistické zkoumáí. (populace, zvířata) Může být koečý i ekoečý (experimetálí výzkum techologický, biologický), (lze za stále stejých podmíek pozorováí epřetržitě opakovat. Výběrový soubor soubor určitého koečého počtu jediců vybraých ze základího souboru, u kterých je provedeo praktické sledováí (měřeí) zkoumaé vlastosti. (zvířata v pražské ZOO) Na základě pozáí vlastostí výběrového souboru se usuzuje a vlastosti celé populace, proto by měl být výběrový soubor co ejlepším představitelem základího souboru. NULOVÁ A ALTERNATIVNÍ HYPOTÉZA+JEDNOSTRANNÁ, OBOUSTRANNÁ Nulová hypotéza vždy tvrzeí o shodě (rovosti), shoda mezi skutečostí a předpokladem, eexistuje statisticky výzamý rozdíl mezi předpokladem a skutečostí Alterativí hypotéza eshoda, rozdíl mezi předpokladem a skutečostí, popírá hypotézu, existuje statisticky výzamý rozdíl mezi předpokladem a skutečostí. Je oboustraá, pravostraá a levostraá NÁHODNÁ VELIČINAčíselé vyjádřeí áhodého jevu; výsledek za předpokladu určitých podmíek vlivem áhodých čiitelů->růzé hodoty -veličia, kterou lze opakovaě měřit u růzých objektů, v růzých místech ebo v růzém čase (apř. teplota v určitou hodiu měřeá každý de, počet teček při hodu kostkou ) -abývá kokrétích hodot či hodot z růzých itervalů v závislosti a áhodě -dělíme a espojitédiskrétí (celá čísla-počet seseých vajec, počet poruch přístroje) a spojité (iterval-výška člověka, váha zvířete, míra ezaměstaosti, spotřeba paliva ) NAHODILÝ JEV, POKUS Náhodý pokus opakovatelá čiost prováděá za stejých podmíek (hod kostkou) Náhodý jev výsledek áhodého pokusu (pade trojka) Sjedoceí áhodých jevů áhodý jev, který astae, astae-li alespoň jede z jevů A a B Průik současý ástup jevů A a B BODOVÝ A INTERVALOVÝ ODHAD Bodový odhad a základě zjištěých hodot výběrového souboru vypočteme předem staoveým způsobem jedo číslo, které považujeme za odhad parametru základího souboru. Itervalový odhad můžeme ezámou hodotu odhadout tak, že uvedeme iterval, který s předem daou ppstí obsahuje daou hodotu parametru základího souboru (pokrývá ezámou hodotu parametru souboru) CHYBA. A. ŘÁDU Chyba. řádu zamítutí správé ulové hypotézy (která je pravdivá) pravděpodobost chyby. druhu hladia výzamosti alfa Chyba. řádu přijetí esprávé ulové hypotézy pravděpodobost chyby. druhu beta Síla testu ( - beta) ppst zamítutí esprávé ulové hypotézy

35 MOŽNOST VÝBĚRU Z POPULACE a)výběr a základě dobrovolosti b)výběr a základě dostuposti c)kvótí výběr d)áhodý výběr: prostý áhodý výběr každý prvek populace má stejou pravděpodobost, že bude vybrá - každý výběrový soubor o rozsahu má stejou pravděpodobost výběru KLASICKÁ A STATISTICKÁ TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI Statistická teorie (Richard vo Mieses) defiice spojea s pojmem relativí četost. zvyšujícím se počtem pokusů se relativí četost stabilizuje a přibližuje se k určitému kostatímu číslu Klasická teorie (Pierre Simo Laplace) Může-li určitý pokus vykázat koečý počet růzých výsledků (prvotích jevů), které jsou stejě možé a jestliže m těchto výsledků má za ásledek astoupeí jevu A, kdežto zbylých -m je vylučuje, potom pravděpodobost jevu A položíme rovu... P (A) m/ PARAMETRICKÉ A NEPARAMETICKÉ TESTY Parametrické - je uté zát tvar rozděleí, předpokládáme ormálí rozděleí - sigma, mý. Jsou to t-testy -jedovýběrový a dvouvýběrový, aalýza rozptylu, F-test, ) Neparametrické - eí utá zalost tvaru rozděleí, jsou jedodušší a výpočet, pro malé výběrové soubory, evýhodou je meší síla testu a pracujeme s pořadovými čísly (Kruskal Wallisův test, Wilcoxoův test, dvouvýběrový Wilcoxoův, ) 95% INTERVAL SPOLEHLIVOSTI Hladia výzamosti (chyba alfa)-> 95% šace, že zamíteme H, 5% že H bude platit. Čím meší je alfa, tím meší je šace, že H bude platit a tím je měřeí přesější. RELATIVNÍ ČETNOST Relativí četost udává, kolik procet hodot zaku ze statistického souboru je rovo hodotě z. Relativí četost zaku z vypočteme takto: rz a / S, kde z a je absolutí četost zaku z a S je rozsah statistického souboru, tj. počet prvků Statistika I. Studijí materiál ) Defiujte pojem statistika. - věda o sběru dat a zpracováí hromadých údajů, zabývá se jevy, které mají hromadý charakter - hromadost studováa a statistických souborech ) Co je to popisá statistika? - elemetárí metody sběru a zpracováí iformací - jedotkou je statistický soubor (osob, podiků, istitucí, zvířat, zemí, atd.). - statistické soubory jsou tvořey statistickými jedotkami, mají vlastosti jedozačě vymezey

36 3) Co je matematická statistika a jak se dělí. - moderí zabývá se složitějšími metodami sběru a zpracováí hromadých údajů; vytváří zvláští druh matematických modelů tzv. pravděpodobostí modely teorie pravděpodobosti 4) Typy statistických ukazatelů - okamžikové, itervalové, primárí, sekudárí, exteziví, iteziví, stejorodé, estejorodé 5) Druhy statistických vlastostí () 6) Statistické jedotky - elemetárí jedotky stat. pozorováí, jsou ositeli zaků 7) Statistické zaky - vlastosti jedotek, která je předmětem zkoumáí - kvalitativí slově vyjádřeé alterativí ( obměy zaku); možé (více ež obměy) - kvatitativí číselě vyjádřeé, diskrétí (celočíselé), spojité (desetié číslo, logaritmy) 8) Statistický soubor - možia jediců, a kterých je prováděo statistické šetřeí - základí soubor všechy jedotky s daou vlastostí - výběrový soubor vybrá ze základího, podmožia je meší 9) Rozdíl mezi ZS a VS - VS je vlastě část ZS - VS je meší ež ZS (úplé zjišťováí, tvoře všemi jedotkami), VS(eúplé zjišťováí) ) Základí etapy statistických prací - statistické šetřeí (zjišťováí) - získáváí ezámých iformací o zacích statistických jedotek, výsledkem statistického zjišťováí jsou euspořádaé údaje - statistické zpracováí - statistická aalýza ) Co je statistické zjišťováí? - získáváí ezámých iformací o zacích statistických jedotek - výsledkem statistického zjišťováí jsou euspořádaé údaje - akety, dotazíky, experimet, výsledek vědeckého experimetu - pro zpřehleděí se data třídí ) Základí míry polohy rozděleí a k čemu slouží - průměry: aritmetický; vážeý ar. prům.; harmoický; geometrický; celkový ar. prům.; chroologický - ostatí středí hodoty: mediá, modus - měly by jedím číslem popsat středí úroveň hodoty statistického zaku a umožit jeho hlubší aalýzy - reprezetují vhodou středí hodotu daého souboru kolem íž se soustřeďují hodoty tohoto souboru 3) Prosté x vážeé charakteristiky polohy rozdíl (3) - prosté u esetříděých dat, máme-li relativí četosti - vážeé u setříděých dat (tabulka rozděleí četostí 4) Průměr aritmetický - součet všech hodot zaků děleý počtem zaků

37 5) Průměr geometrický - -tá odmocia ze součiu zaků 6) Jaké záte míry založeé a geometrickém průměru? - všude tam, kde má smysl ásobit hodoty, apř. průměrý koeficiet růstu ebo Fisherův idex 7) V jakém oboru statistiky se můžeme setkat s geometrickým průměrem - používá se u časových řad průměré tempo růstu (koeficiet růstu) 8) Průměr harmoický - podíl počtu pozorováí a sumy převráceých hodot zaků 9) Kdy a k čemu používáme harmoický průměr (3) -v idexí aalýze; průměr převráceých hodot ) Průměr chroologický - použití v okamžikové časové řadě - prostá forma tam, kde délka mezi rozhodými obdobími je stejá) - vážeá forma kde vahami jsou počty dí v měsíci, ) Tempo a průměrý koeficiet tempa růstu - počítáí geometrického průměru ) Mediá - x s vlovkou - prostředí hodota zaku v souboru uspořádaá podle velikosti - lichý počet hodot v souboru - středí hodota - sudý počet hodot - průměr středí hodoty 3) Modus - hodota, která se ejčastěji vyskytuje, hodota zaku s ejvětší četostí 4) Jak vypočítáte modus a mediá spojité áhodé veličiy, záte-li její distribučí fukci? - pokud má spojitá áhodá veličia ormálí rozděleí je mediá a modus rove středí hodotě. 5) Uveďte situaci, kdy může mediá popsat polohu statistického souboru lépe ež průměr. - mediá může popsat polohu statistického souboru lépe, pokud je ějaká hodota hodě vychýleá, tz., že se hodě liší od ostatích - pak je průměr zkresleý a mediá je lepší měrou polohy statistického souboru. př.: 4, 5, 5, 5, 5, 7, 48 6) Pro která pravděpodobostí rozděleí je jejich středí hodota rova mediáu a zároveň modu? Vysvětlete a uveďte příklady. Pro symetrická (Normálí, studetovo) 7) K čemu se používají podmíěé průměry je to ejjedodušší způsob určeí regresí závislosti (přímka podmíěých průměrů)- elze však a jejich základě provádět odhady 8) Co se stae s průměrem, rozptylem, směrodatou odchylkou, mediáem a rozpětím statistického souboru, jestliže každá hodota statistického souboru se: a) zvětší dvakrát - průměr a mediá se zdvojásobí, rozptyl se zvýší čtyřikrát; směrodatá odchylka a rozpětí statistického souboru se zvýší dvakrát b) zvětší o čtyři průměr a mediá se zvětší o čtyři; rozptyl se ezměí; směrodatá odchylka a rozpětí statistického souboru se ezměí

38 9) Rozděleí četosti a co je itervalové rozděleí četosti - rozděleí četostí - u espojitých zaků původě euspořádaé údaje roztřídit do rozděleí četostí 3) Jak se staovuje iterval relativí četosti ZS u malých VS - výběr relativí četosti se řídí biomickým rozděleím v případě výběru bez vraceí se řídí hyperbolickým rozděleím - výpočet vede ke složitým variacím, proto máme sestavey tabulky a přímo odečítáme meze itervalu z tabulek 3) Defiice pojmu kumulativí četost - absolutí a relativí - vzikají postupým ačítáím 3) Druhy grafů - spojicové, sloupcové(polygo, histogram), bodové, výsečové, speciálí (kvartogram) 33) Histogram - sloupcový graf - u itervalového rozděleí četostí 34) Které charakteristiky statistického souboru můžete přibližě zjistit z histogramu četosti, aiž byste prováděli výpočet? - počet itervalů a jejich šířku, absolutí četost itervalu a pokud jsou itervaly stejě dlouhé i modus 35) Jaký graf používáme u jedorozměrých četostí. - sloupcový 36) Základí míry variability - absolutí: rozptyl, směrodatá odchylka, variačí rozpětí, prům. odchylka - relativí: variačí koeficiet, relativí průměrá odchylka 37) Rozptyl - aritmetický průměr čtverců idividuálích odchylek jedotlivých hodot zaku od aritmetických průměrů - edostatek jedotky jsou druhou mociou původích jedotek 38) Směrodatá odchylka v souboru výběrových průměrů - měří abs. Variabilitu - je uvedea ve stejých měrých jedotkách jako zkoumaý stat. zak; sodm.s a - prostá: Sodm. z((sum(xi-x)a )/) - vážeá: Sodm. z((sum(xi-x)a *i)/(sum.i)) - iformuje o promělivosti jedotlivých hodot zaku kolem výběr. aritm. průměru 39) Variačí rozpětí - jedoduchá míra adaptability - pouze odchylky mezi sebou - orietačí 4) Relativí ukazatele variability. - variačí koeficiet, relativí průměrá odchylka 4) K čemu slouží variačí koeficiet? Jaká je jeho předost? - variačí koeficiet je zákl. mírou relativí variability - může se použít i tehdy pokud se zaky liší svou úroví, což je výhoda - počítá se jako podíl směrodaté odchylky a průměru 4) Jak se změí variačí koeficiet, přičteme-li ke všem hodotám souboru stejou kostatu? Směrodatá odchylka v čitateli zůstae stejá a průměr ve jmeovateli se zvětší tuto kostatu > variačí koeficiet se síží

39 43) Lze vždy vypočítat variačí koeficiet souboru dat? Názor zdůvoděte. Ne. Variačí koeficiet se počítá jako podíl směr. odchylky a průměru > je-li apř. průměr ulový, Variačí koeficiet vypočítat elze. 44) Kvatil - je hodota, která rozděluje soubor hodot a dvě části 45) Kvartil - dělí soubor po 5% 46) Rozdíl mezi charakteristikami šikmosti a špičatosti (3) - charakteristika šikmosti (esouměrosti) ukazuje, jak soubor vypadá, stupeň kocetrace malých a velkých hodot v souboru - charakteristika špičatosti - ukazuje, jak jsou hodoty ahloučey kolem průměru 47) Výzam výběrového šetřeí v praxi (3) - pořizujeme výběrový soubor, aby ám poskytl iformace o celém souboru - hlavím edostatkem je, že jsou zatížey výběrovou chybou 48) Výhody úplého zjišťováí oproti eúplému výběrovému zjišťováí - úplé při práci se základím souborem, ákladé, zdlouhavé, občas emožé - eúplé při práci s výběrovým souborem, výběrový soubor musí být dobrým reprezetatem 49) Vysvětlete pojmy oblastí a vícestupňový áhodý výběr - vícestupňový - výběr provádíme a více stupích (města školy fakulty ročíky studeti) - oblastí - dvoustupňový výběr; v. stupi vybíráme oblast a ve. stupi vybíráme z oblasti jedotku 5) Kvótí výběr - v čem spočívá - typ mechaického výběru při áhodém výběru 5) Jaké záte techiky pořízeí áhodého výběru? - losováí opora výběru výběr zastoupíme lístky - tabulky áhodých čísel geerátor áhodých čísel - mechaický výběr systematické, každá -tá jedotka v áhodě uspořádaé poslouposti speciálí výběr 5) Existuje rozdíl mezi staoveím itervalu u vraceí a bez vraceí? - s vraceím jedotku po výběru vracíme zpět - bez vraceí rozsah ZS se zmešuje, pravděpodobost vybráí se zvětšuje - u velkých souborů zbytečé zbytečé pracovat s vraceím 53) Jaký test k ověřováí áhodosti výběrového souboru? (3) - dle prezetace z vše testy áhodosti slouží k ověřeí zda jsou áhodá čísla skutečě áhodá (frekvečí test, test autokorelace) měl by to být ale také zamékový test a spearmaův koeficiet (bez záruky) 54) Metoda základího masivu - kdy se soubor skládá z ěkolika velkých a moha malých jedotek - zjišťováí provádíme a velkých jedotkách 55) Záměrý výběr - začá míra subjektivity toho, kdo vybírá - vybere ty, o kterých si myslí, že dobře zastoupí soubor, ty blízké průměru, elze vyvodit chyba

40 56) Děleí (druhy) áhodého výběru - s vraceím, bez vraceí - s estejou pravděpodobostí vybráí - prostý se stejými pravděpodobostmi 57) Náhodý jev - jev, který může astat ebo eastae v závislosti a áhodě a je výsledkem áhodého pokusu (charakterizuje výsledek áhodého pokusu kvalitativě) 58) Náhodý pokus - realizace podmíek a vlivů, z ichž ěkteré jsou zámé a jié áhodé 59) Jev jistý, áhodý, emožý - jev jistý - takový, který vždy astae při každém provedeí áhodého pokusu - jev áhodý - jevy, které v závislosti a áhodě mohou, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat - jev emožý - áhodý jev, který eastae při žádém provedeí áhodého pokusu 6) Klasické a statistické defiice pravděpodobosti - klasická - může li určitý pokus vykázat koečý počet růzých výsledků, které jsou stejě možé a jestliže m těchto výsledků má za ásledek astoupeí jevu A, kdežto zbylých -m vylučuje: potom P(A)m/ - statistická - spojea s pojmem relativí četosti; s rostoucím počtem pokusů se relativí četost stabilizuje a přibližuje se k určitému kostrukčímu číslu. P(A) lim při ku ekoeču * M/N 6) Matematická charakteristika pravděpodobosti > - Podle geometrické defiice je pravděpodobost jevu A určea jako, kde S je > obsah plochy představující všechy možé výsledky áhodého pokusu a ω je obsah > plochy, která představuje výsledky, při ichž dojde k výskytu jevu A. Také > geometrická defiice vychází z předpokladu, že všechy výsledky áhodého pokusu > jsou stejě pravděpodobé. 6) Rozdíl mezi áhodou veličiou a áhodým jevem () - áhodý jev takový jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat; charakterizuje výsledek áhodého pokusu kvalitativě (slově) - áhodá veličia libovolá kvatitativí charakteristika áhodého pokusu; proměá, která abývá kokrétích hodot, či hodot z růzých itervalů v závislosti a áhodě 63) Záko rozděleí áhodé veličiy - pravidlo, které každé hodotě, ebo možiě hodot z každého itervalu přiřazuje pravděpodobost, že áhodá veličia ebude této hodoty, ebo hodoty z tohoto itervalu - teto záko může být vyjádře růzou formou: jako řada rozděleí pravděpodobostí (grafem je polygo, diskrétí veličiy) distribučí fce (uiverzálí záko rozděleí, diskrétí i áhodé veličiy) hustota pravděpodobosti (spojité áhodé veličiy) 64) Druhy rozděleí áhodých veliči - spojité (ormálí, expoeciálí, chí-kvadratické,studetovo t-rozděleí, F-rozděleí, rovoměré rozděleí) - espojité - diskrétí (Alterativí, Biomické, Poissoovo, Hypergeometrické, Geometrické) - 4 -

41 65) Charakterizujte ormálí rozděleí - áhodá veličia se řídí ormálím rozděleím, je-li její středí hodota µ a rozptyl - grafem hustoty pravděpodobosti je Gaussova křivka - speciálím případem ormálího rozděleí je ormovaé ormálí rozděleí 66) Biomické rozděleí je (možosti) () - ejdůležitější typ rozděleí diskrétí áhodé veličiy - rozděleím áhodé veličiy, která představuje počet výskytů jevu A při ezávislých pokusech, přičemž pravděpodobost výskytu jevu A je v každém pokusu kostatí 67) Jaký je vztah biomického a Poissoova rozděleí? - má-li áhodá veličia X biomické rozděleí takové, že počet pokusů je dostatečě veliké (ad 3), pravděpodobost výskytu sledovaého jevu v jedom pokuse pod, a koečé číslo, je možo toto rozděleí aproximovat Poissoovým rozděleím 68) Pravidlo tří sigma - i když áhodá veličia X, která má ormálí rozděleí, může abývat hodot z itervalu od (-, ), je téměř emožé, aby se pozorovaé hodoty této veličiy odchylovaly od středí hodoty o více ež 3 sigma 69) Co vyjadřuje záko velkých čísel? - se zvyšováím počtu áhodých pokusů dochází k přibližováí se empirické charakteristiky popisující výsledky těchto pokusů k charakteristice teoretické 7) Co vyjadřuje cetrálí limití věta? - vyjadřuje kovergeci pravděpodobostích rozděleí k ormálímu rozděleí při dostatečě velkém rozsahu souboru. 7) Co je ormovaá áhodá veličia, jaké má charakteristiky a jaký má výzam? - má ormálí rozděleí se středí hodotou a rozptylem - výzam je ve výpočtu distribučí fukce, která se z ormálího rozděleí počítá obtížě 7) V čem spočívá z pohledu teorie pravděpodobosti průik jevů A,B a sjedoceí jevů A,B - průik jevu A,B - spočívá v současé realizaci jak jevu A, tak jevu B - sjedoceí jevů A,B - spočívá v astoupeí alespoň jedoho z jevů a ebo B 73) Je možé, aby existovaly áhodé jevy, že pravděpodobost jejich průiku je větší ež pravděpodobost jejich sjedoceí? - Ne. Protože pravd. průiku může být max. rová pravděp. sjedoceí, když možiy splývají ebo je meší ebo možiy emají průik. 74) Při výpočtu pravděpodobosti projiti třemi zkouškami, z ichž každá má svou pravděpodobost úspěchu používáme: a) sčítáí b) ásobeí c) rozdíl 75) Podmíky pro sčítáí pravděpodobostí a vzorec - jsou-li jevy A a B slučitelé, potom pravděpodobosti jejich sjedoceí se rová součtu pravděpodobostí jedotlivých jevů zmešeému o pravděpodobost jejich průiků - v případě eslučitelých jevů je průik těchto jevů jev emožý - 4 -

42 76) Co jsou kvalitativí zaky, jak se dělí, příklady - kvalitativí zaky jsou zaky sloví, získaé z aket, dotazíků - dělíme a zaky alterativí - 77) Jak ověříte ezávislost dvou kvalitativích zaků? Kotigečí tabulkou 78) Jakým způsobem můžete zjistit, jestli existuje závislost mezi dvěma kvalitativími zaky a jakým v případě kvatitativích zaků? - závislost mezi kvalitativími zaky ověřujeme kotigečí tabulkou a testem chikvadrát. - závislost mezi kvatitativími zaky měříme klasicky pomocí regresí a korelačí aalýzy, celkový F-test, Test t pro jedotlivé parametry a koeficiety - u kvalitativího a kvatitativího zaku se používá jedofaktorová aalýza rozptylu 79) Koeficiet asociace slouží k: - vyjádřeí těsosti alterativích zaků 8) Jak určíme ejvhodější typ fukce při měřeí závislosti dvou kvatitativích zaků - zkušeost, logika, emp. metoda-korelačí pole - zkoušet počítat - zpětě vybrat te s ejvyšším korelačím charakterem 8) Jaké jsou hlaví úlohy při měřeí závislosti kvatitativích zaků - vystihout průběh závislosti závisle proměé a ezávisle proměé, tak abychom mohli provádět odhady závisle proměé a základě daých hodot ezávisle proměé - změřit sílu závislosti, abychom mohli posoudit její sílu, itezitu a abychom mohli zároveň posoudit přesost odhadů z bodu -. úkol - regrese,. úkol korelace 8) Teoretický soubor výběrových průměrů - ze základího souboru vybereme všechy teoreticky možé VS, těch je ekoečě moho; v každém výběrovém souboru si vypočítáme výběrový průměr, všechy tyto průměry ám vytvoří teoretický soubor výběrových průměrů 83) Statistická idukce - ejprve pořídíme výběrový soubor, a základě VS si spočítáme výběrové charakteristiky, a základě výběrových charakteristik odhadujeme charakteristiky ZS 84) Jaké záme odhady (3) - bodový jedo kokrétí číslo, které vybereme z VS, aby ám ahradilo ZS - itervalový staoveí itervalu, ve kterém ta ezámá charakteristika bude ležet, a určitou pravděpodobostí 85) Co je bodový odhad? - bodový jedo kokrétí číslo, které vybereme z VS, aby ám ahradilo ZS 86) Jaké záte vlastosti bodových odhadů a co vyjadřují, jaké jsou a ě kladey požadavky? - ezkresleost, estraost odhadu (středí hodota výběrové statistiky odhadovaé charakteristice) - kozistece (odhad se s rostoucím rozsahem výběru blíží odhadovaé charakteristice základího souboru) - vydatost (co ejmeší rozptyl) - postačujícost (mimo í eexistuje žádá jiá statistika poskytující další doplňující iformace o odhadovaé charakteristice základího souboru) - 4 -

43 87) Proč musí být bodový odhad v základím souboru vydatý - můžeme použít více charakteristik odhadu, za ejvydatější je ta, která má ejmeší rozptyl 88) Jak spolu souvisí přesost odhadu a spolehlivost odhadu? - čím širší iterval spolehlivosti, tím ale meší přesost - spolehlivost pravděpodobost, se kterou bude odhadovaá charakteristika ležet v tom vymezeém itervalu; maximálí chyba, které se při odhadu s daou spolehlivostí můžeme dopustit 89) Co zameá, že odhad je vychýleý? Záte ěkteré vychýleé odhady? - E(g) - G je tzv. zkresleí eboli vychýleí - takový odhad vede k systematickému adhodocováí či podhodocováí odhadovaé charakteristiky ZS 9) Přípustá chyba u itervalového odhadu a k čemu jí používáme - chyba, které se při odhadu můžeme dopustit, aby hodota padla do itervalu - přesost itervalového odhadu je charakterizováa přípustou chybou odhadu delta, která představuje poloviu délky itervalu spolehlivosti 9) Přesost odhadu: () - pravděpodobost, s jakou se charakteristika achází v itervalu - vyeseme kritickou hodotu příslušého rozděleí - max chyba, které se při odhadu s daou spolehlivostí dopustíme vyjádřea hodotou směrodaté odchylky souboru výběrových prům. - ai jeda správě 9) Jaké záte metody pro získáí odhadů parametrů regresích fukcí lieárích v parametrech? Napište pricip metod. - požadavek kompezace kladé a záporé odchylky empirických hodot od hodot vyrovaých a metoda ejmeších čtverců (aby součet čtverců popsaých odchylek byl miimálí) 93) Jaké záte metody pro získáí odhadů parametrů regresích fukcí elieárích v parametrech? - pro fukce elieárí v parametrech používáme liearizující trasformaci - pak použijeme metodu ejmeších čtverců, parciálí derivace, dále dostaeme soustavu ormálích rovic a akoec pomoci Cramerova pravidla (determiaty) vyjádříme b, b,... 94) U kterých z uvedeých regresích fukcí lze k odhadu parametrů použít metodu ejmeších čtverců: přímka, parabola, expoeciála? Názor vysvětlete. - u přímky a paraboly, protože jsou lieárí v parametrech a rozdíl od expoeciály, která eí - tam je utá lieárí trasformace. 95) Pojmy: (3) a) alterativí hypotéza popírá platost ulové hypotézy b) testovací kritérium míra esouhlasu výsledků pokusu s testovaou hypotézou (odpovídají-li data ulové hypotéze-testovací kritérium je rovo ule; čím více se výběrové hodoty blíží k alterativí hypotéze, tím roste i testovací kritérium) c) hladia výzamosti pravděpodobost chyby. druhu; udává výši rizika, s jakým se H zamítá, i když platí 96) Alterativí hypotéza - popírá platost ulové hypotézy - přijímáme ji jestliže jsme ulovou hypotézu zamítli jako esprávou

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI 1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah: Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závislostí ve statistice Měřeí závislostí ve statistice se zabývá především zkoumáím vzájemé závislosti statistických zaků vícerozměrých souborů. Závislosti přitom mohou být apříklad

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymázium, Šterberk, Horí ám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šabloa III/2 Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Ozačeí materiálu VY_32_INOVACE_Hor018 Vypracoval(a), de Mgr. Radek

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1)

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1) Obsah Obsah... Úvod... 3 Základí pojmy počtu pravděpodobosti... 7. Základí statistické pojmy... 7. Fukce áhodých veliči... 8.3 Charakteristiky áhodých veliči... 0.4 Některá rozděleí pravděpodobosti....5

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

ZÁKLADY STATISTIKY (s aplikací na zdravotnictví)

ZÁKLADY STATISTIKY (s aplikací na zdravotnictví) PŘEMYSL ZÁŠKODNÝ RENATA HAVRÁNKOVÁ JIŘÍ HAVRÁNEK VLADIMÍR VURM ZÁKLADY STATISTIKY (s aplikací a zdravotictví) Vzik publikace byl ispirová myšlekami, pracemi a ávrhy výzamého sloveského vědce v oblasti

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více