II Pravoúhlé promítání na jednu prumetnu

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "II Pravoúhlé promítání na jednu prumetnu"

Transkript

1 a) prchází bdem C, b) patrí danému smeru s, c) je rvnbežná s dvema danými rvinami, d) je klmá na danu rvinu, e)je k bema mimbežkám ~lmá (sa mimbežek). 6 Danu prímku prlžte rvinu klmu na danu rvinu. 7 Urcete splecnu prícku prímek a, b, c, d, jestliže a) a, b jsu rvnbežné, c, d s nimi i navzájem mimbežné, b) a, bjsu ruznbežné, c, d s nimi i navzájem mimbežné, c) a, b jsu rvnbežné, c, d jsu též rvnbežné, ale všechny navzájem rvnbežné nejsu. Zpakujte si, jak urcujeme vzdálenst 'bdu d prímky neb d rviny, vzdálenst dvu rvnbežných prímek, vzdálenst dvu rvnbežných rvin apd. Rešte príklady: 8 Bdem A prlžte rvinu stejne vzdálenu d trí daných bdu P,Q,R. 9 Urcete bd M, který je stejne vzdálen d dvu daných bdu A, B a leží ve dvu daných rvinách. 10 Na prímce a najdete bd stejne vzdálený d dvu daných rvin. [30) [31) II Pravúhlé prmítání na jednu prumetnu 1 Ppis zbrazvací metdy. Zbrazení bdu Jednu z rvin trjrzmernéh prstru si zvlme za prumetnú n. Rvina n rzdelí prstr na dva plprstry. Jeden pvažujeme za kladný, druhý za záprný. V technické praxi vlíme za prume~nu n rvinu vdrvnu neb svislu. Pri rýsvání d sešitu, který leží na vdrvné desce stlu, je prnmetna ttžná se sešitem - tedy rvina vdrvná. Pri rýsvání na šklní tabuli je prumetna n v plze svislé. Na základe úmluvy budeme plprstr nad rvinu sešitu neb pred tabulí pvažvat za kladný. Uvažujme rvnbežné prmi~, jehž smer s je klmý na pru. metnu n. Tt prmítání senazývá pravúhlé aneb klmé (rtgnální) prmítání na jednu prnmetnu. +z Každým bdem B prstru pr- SB IOZlmeprmltac v;, ípnm v, ku sb kimu na prumetnu n. Prmítací prímka B SB prtne prumetnu v bde Bl' Nazveme jej pravúhlý aneb kl mý prumet hdu B (br. 22). Je tedy BBl.1 n. T platí i tehdy, le Ží libd B v rvine n. ~ak Bl == B (prvnej se základní vetu 1). Prtže bdem B prchází jedi. ná prmítací prímka klmá na n, Obr. 22

2 která prtíná prumetnu v jediném bde, je prirazení B - BI jednznacné. Jestliže však zvlíme v prumetne 'Jt bd BI a pvažujeme jej za prumet nejakéh bdu B, pak existuje neknecne mnh bdu, které mají prumet v bde Br Všechny tyt bdy jsu na klmici SB k prumetne 'Jt prlžené prumetem Br Technická praxe však žádá, aby nás deskriptivní gemetrie naucila nejen predmet zbrazit, ale také napak pdle brazu predmet vyknstruvat. Pak je treba, aby prirazení BI - B byl též jednznacné. Abychm th dsáhli, prvedeme následující úmluvu: K prumetu bdu budeme pripisvat urcité reálné císl, které nazýváme kóta bdu. Kóta má tyt vlastnsti: a) abslutní hdnta kóty je rvna vzdálensti bdu B d prumetny; b) vnitrní bdy kladnéh plprstru mají kótu kladnu, vnitrní bdy záprnéh plprstru kótu záprnu. Z první vlastnsti vyplývá, že bdy ležící v prumetne 'Jt mají kótu rvnu nule. Kótu pripisujeme k pravúhlému prumetu bdu d kulaté závrky. Napr. AI( +4), B1(-2), PI(O). Tím jsme dsáhli th, že k prumetu bdu BI patrenému kótu prísluší na prmítací prímce sb jen jediný bd B. Pravúhlý prumet bdu patrený kótu nazýváme kótvaným prumetem bdu. Takt urcené pravúhlé prmítání se nazývá též kótvané prmítáni. Pr praktické úcely bude ptrebné zavést další úmluvu. Prumety AI' BI, vyplnují celu prumetnu 'Jt. Jestliže chceme, aby nám napríklad vycházely výsledky knstrukcí v sešite shdne pr všechny ve tríde, je treba v rvine 'Jt zavést sustavu suradnic. V praxi užíváme následujícíh zpusbu: v rvine zvlíme dve navzájem klmé prímky x, y. Prímky x, y rientujeme, tj. zvlíme na nich kladný smysl. V deskriptivní gemetrii rientujeme su y pacne než v matematice, tzn. rientvaná sa y se zttžní s kladným smerem sy x ptcením úhel pravý prti smeru phybu hdinvých rucicek (viz br. 22 a 23). Orientvané prímky x, y nazýváme sy suradnic; prtínají se v bde O. Je t známý pcátek pravúhlé sustavy suradnic. Známým zpusbem, kteréh jsme užívali v matematice pri grafickém znázrnvání, vyneseme prumety bdu pmcí su- [32) P1(O) c/i.~.~~ "1 I O. I " ' 3 O -I I, I 1 I : I I b c-- Z 1 DiO) Obr. 23 CVICENí A/S) /-2) +Y radnic. K tmu je všem treba zvlit jedntky na sách suradnic, prtže jen z prumetu bychm neumeli psudit velikst zbraz- +x vanéh útvaru. Jestliže bd B má prumet BI (XB; YB) a kótu ZB' píšeme B (XB; YB; ZB) (br. 22). Císla XB' YB' ZB nazýváme suradnicemi bdu B. Naší úlhu je nakreslit na rýsvací paplr nejen prumety bdu, ale i prumety slžitejších útvaru. Prt zttžníme rvinu rýsvacíh papíru s prumetnu 'Jt a hvríme ptm nákre8ne. Bd AI se nazývá braz bdu A. Jestliže uvedenu úmluvu prijmeme, zbrazme napr. bdy: A (2; 3; 5), B (2;4; -2), C (-1; -1; 5), D (-4; 2; O), P (3;-2; O)(br. 23). Jakmile sestrjíme kótvané brazy bdu, naucme se je zárven mdelvat v prstru tak, jak je t prveden na názrném brázku (br. 22). Tt mdelvání je velmi duležité, prtže nám usnadní pchpit další výklad. Prt urcení brazu bdu danéh suradnicemi a jeh mdelvání v prstru budeme pkládat za základní knstrukci.. 1 Zbrazte bdy: A (-2; 1; 3), B (O;-1; -5), C (4; 4; O),D (-3; O;2), M (-4; 3; 2), N (-1; -2; -5). 2 Zbrazte bd, který leží na klmici vedené z bdu A (O; 2; 5) na prumetnu a má d prumetny a d bdu A stejnu vzdálenst. 3 Krychle má stenu ABCD danu úhlprícku v prumetne 'Jt, A (O; O; O), C (4; 4; O). Zbrazte zbývající vrchly a stredy sten krychle. 4 Pravidelný ctyfsten má trjúhelníkvu stenu ABC v 'Jt; pritm je A (O; O; O), B (4; O; O). Zbrazte zbývající dva vrchly.

3 2 Zbrazení prímky a úsecky Základem kótvanéh prmítání je rvnbežné prmítání, pri kterém smer prmítacích paprsku je klmý na prumetnu. I pri nem prt zustávají v platnsti všechny vety týkající se rvnbežnéh prmítání. Pravúhlým prumetem prímky a, která není klmá na prnmetnu.11:, je tedy prímka al; jestliže je a klmá na 11:, pak jejím prumetem je bd. Oznacíme jej také 11t. Na pravúhlém prumetu 11t prímky a jsu Ohr.24 prumety AI' BI... hdu A, B.. ležících na prímce a. Prmítací prímky bdu incidentních s prímku a vytvrí prmítací rvinu xa. Prmítací rvina dané prímky je klmá na prumetnu 11: (prc?). Jestliže prímka a není rvnbežná s 11:, prtíná prumetnu v bde P. Kóta tht stpník prímky (br. 24). bdu je zp = O, a prt PI = P. Tent bd se jmenuje Prumet prímky a == AB je urcen 'prumety bdu'a, B. Z jejich urcení mužeme sudit, jaku plhu má prímka vzhledem k prumetne 11:. a) Jestliže AI ~ BI a ZA =1= ZB' pak prímka a má becnu plhu vzhledem k prumetne, tj. není k ní klmá ani s ní rvnbežná. b) Jestliže AI ~ BI a ZA = ZB' pak prímka a je rvnbežná s prumetnu; všechny bdy prímky a mají stejné kóty. c) Jestliže AJ = BI a ZA =1= ZB' pak prímka a je klmá k prumetne 11:. Plhu prímky vzhledem k prumetne lze urcit též pdle veliksti úhlu, který svírá prímka a s prumetnu. Ze steremetrie víme, že velikst úhlu prímky a s rvinu 11: je velikst stréh aneb pravéh úhlu, který svírá prímka a se svým pravúhlým prumetem 11t d rviny 11:. Je tedy OJ = -1: al1t. Jestliže je 0 < OJ < 90, pak prímka je v becné plze vzhledem k prumetne. Pri OJ = 0 je prímka rvnbežná s prumetnu aneb v ní leží a pri OJ = 90 je prímka k pru- [35] metne klmá. Císl OJ se nazývá dchylka prímky d prumetny. V praxi se cast setkáváme s úlhu urcit délku úsecky AB, která je dána kótvaným brazem. Jestliže za = ZB' pak AB je rvnbežná s prumetnu. Ptm platí AIBI =AB (pdle které základní vety?). Jestliže ZA =1=ZB' urcíme délku AB základní knstruktivní metdu, které ríkáme sklpení prmítací rviny d prumetny. Pdstatu tét metdy si vysvetlíme: Víme, že jen brazec ležící v prumetne 11: aneb v rvine rvnbežné s Pl'umetnu se prmítá ve skutecném tvaru a veliksti. Jestliže brazec leží v rvine (!, která není s prumetnu rvnbežná, a chceme urcit jeh tvar a velikst, musíme rvinu (! premístit tak, aby bud splynula s 11:, aneb byla s prumetnu rvnbežná. Jestliže je (! = xa, pak je (! rvinu prmítací. Je treba ji sklpit d 11:, tj. tcit úhel 90 kl splecné prusecnice (}. 11:. Vratme se ted k úlze, ze které jsme vyšli: urcit délku úsecky AB na prímce a, jsu-li dány bdy AI' BI s príslušnými kótami ZA' zb; pak je 11t == AIBI' Prímka a a její prúmet 11t leží v rvine xa Délku AB urcíme sklpením rviny xa klem prímky 11t d prumetny 11: (br. 24). Bd A se pri sklpení d plhy (A) tcí úhel 90 p ctvrtkružnici se stredem AI a plmerem AI(A) = I ZA I. Pritm AI (A).ll1t. Prtže i AAI byl na 11t klmé, dráha bdu A pri sklápení je v rvine xa, klmé na prímku 11t. Rvina ~.1 al se nazývá rvina tácení bdu A a prímka Ilt je su tácení; kružnice ka, p které se phybuje bd A, se nazývá kružnice tácení bdu A a její plmer,.a je plmer tácení bdu A. Pri sklápení rviny xa se nemení plha bdu ležících v prumetne, zustávají pevné. Prt i stpník prímky P1 = (P) je pevný bd; jím musí prcházet i sklpená prímka (a). Sklpením rviny xa dstaneme sklpenu prímku (a) a na ní sklpené bdy (A), (B). Jejich vzdálenst je rvna vzdálensti AR. V kótvaném prmítání se sklpení rviny xa a tím i prímky a d prumetny 11: prvede velmi jednduše. Stací sklpit užitím daných kót dva bdy A, B tét prímky; pritm AI (A).ll1t, BI (B).1 al a sucasne A1(A) = IZAI, B1(B) = IZBI. Ptm již (a) = (A)(B). Jsu-li kóty ZA' zb téhž znaménka, pak úsecky A1(A), B1(B) sestrjujeme v téže

4 plrvine vytaté prímku llt, pri pacných znaménkách jsu -6.secky Ai(A), BI (B) v pacných plrvinách vytatých prímku llt Správnst psledníh tvrzení vyplývá z tét úvahy: predpkládejme, že za a ZB mají pacná znaménka. Pak urcite na úsecce AB leží nejaký hd P, jehž Zp = O. Pri sklápení nemení tent hd svu plhu, leží prt mezi sklpenými hdy (A), (B). Prt leží tyt hdy (A), (B) v pacných plrvinách vytatých prímku al. Ohrácene platí: jsu-li bdy (A), (B) v ruzných plrvinách vytatých prímku llt, pak mají ZA' ZB ruzná znaménka. PRíKLAD 1. Je dána prímka a == AB [A (3; 5; 4), B (-2; 2; 1)]. Zhrazte prímku a = AB a urcete velikst úsecky AB, stpník P prímky a a její dchylku w d prumetny (hr. 25). ROZBOR A PROSTOROVÁ KONSTRUKCE: Sklpímeprmítací rvinu,,0 d n; tím dstaneme útvar shdný se skutecným útvarem. PROVEDENí: Prtže kóty í 3 Obr. 25 ZA = 4, ZB = 1 hdu A, B mají stejná znaménka, hudu sklpené hdy (A), (B) v téže plrvine vytaté prímku llt; prt AI (A) = 4, BI (B) = 1 nanášíme ve smeru klmých prímek k llt a d téže plrviny. Ptm a) (A) (B) je hledaná velikst úsecky AB; h) P1 = llt. (a) je hraz stpníku prímky a; c) velikst úhlu w = -1: llt(a) je dchylka prímky a d prumetny n. V technické praxi se s rešením tét úlhy setkáváme velmi cast. Napr. na mape s urcitým merítkem jsu dána dve místa AI' BI s nadmrskými výškami ZA' ZB' Tat dve místa se mají spjit prímu cestu, vdvdním ptruhím neh elektrickým vedením atd. Jak hude dluhé a jaký hude mít úhel stupání? Rešení tét úlhy ukážeme v dalším príklade. /Iv.. I,(;" t361 x (A) -p... "-; (... (a') - --L-.:. ';1' '-ó-... (B'),., B,(S1,6) " Obr '. '.,'''. x, A/50, ) (A')~.,... PRíKLAD 2. Na plánu s merítkem M = 1: 1000jsu dána dve místa A (3; 5), B (-5; -1). Jejich nadmrské výšky jsu ZA = 500m, ZB =516 m. Urcete délku a stupání jejich príméh spjeni (hr.26). ROZBOR A PROSTOROVÁ KONSTRUKCE: Jedntka (napr. cm) na mape znacuje 10m ve skutecnsti, prt suradnice hdu A, B jsu A (3; 5; 50), B (-5; -1; 51,6). Abychm urcili jejich vzdálenst a dchylku prímky a = AB, sklpíme rvinu,,0. Pri sklpení d prumetny hy délky AI (A) = 50, BI (B) = 51,6 hyly príliš' dluhé, takže hychm tut knstrukci nemhli na našem nácrtu prvést. Není však nutné sklápet rvinu,,0 d prumetny n (O). Stací, sklpíme-li ji d rviny n' (50), tj. d rviny rvnhežné s prumetnu, ale ve výšce 50; rvina n' je rvina hlavní a je v ní zachván tvar a velikst hrazce. Sklpené útvary d n' (50) hudeme znacit cárkvane. PROVEDENí: Sklpení d n' (50)je dán: AI (A') = O, BI (B') = = 1,6. Ptm (A') (B') je hledaná vzdálenst, pricemž jedntku je 10 m. Odchylka w = -1:a'(a'). Uvedenu úpravu lze vylžit i takt: Prtže kóty hdu A, B jsu tak veliké, že sklpený útvar hy se neumístil na našem rýsvacím papíre, prvedeme psunuti prumetny n d plhy n' (50). Ríkáme, že jsme prvedli transfrmaci prumetny neh že jsme zavedli nvu prumelnu. Tét transfrmace hudeme v deskriptivní gemetrii cast pužívat. Vyrešme si ješte jeden další príklad. PRíKLAD 3. Na prímce P = AB [A (-4; 5; -1), B (3; 3; 4)] urcete hd N, jehž ZN = 2,5 (hr. 27a, h). ROZBOR A PROSTOROVÁ KONSTRUKCE: Gemetrické míst hdu, které mají d PI vzdálenst ZN> O a leží v prmítací rvine "P, je prímka n II PI V kladné plrvine vytaté prímku PI' mající d PI predepsanu vzdálenst rvnající se kóte zn.

5 Obr.27a Pl:3ei / (Cp) Obr.27b O /\ / (8)/1. l--~- (N),~--- \! --~ \: (n).-:;- I.. \I --- I I.. '\ I : /. 1 /. A (-1y:".1~/ /fá) :..--. \ " PROVEDENí: Sklpíme rvinu "P d 1/:. Sklpený braz (N) hledanéh bdu N je v prusecíku (p). (n). Prumet NI je ptm v pate klmice spuštené z (N) na prímku Pr Zrejme je ptm (N)NI = IZNI, pricemž (n) vedeme v kladné plrvine rviny "P vytaté prímku PI' Uvedenu knstrukcí bychm umeli vyrešit i slžitejší úlhu: na prímce AB urcit bdy, jejichž kótami jsu celá císla. Jestliže tut knstrukci prvedeme, ríkáme, že jsme danu prímku stupnváli. I tat úlha se v praxi velmi cast reší. CVICENí: 1 Zbrazte stpník a urcete dchylku prímky P = AB d prumetny [A (-3; 5; 4), B (2,5; 1; 3)]. 2 Zbrazte prímku AB a bdy C, D, E, které na ní leží. Urcete jejich zbývající suradnice [A (-3; 2; 4,5), B (1,5; 4,5; 1), \ C (- 2'?'?),.,., D (?-". 3'?), E (?.,.,? -1)]. 3 Sestrjte skutecnu velikst trjúhelníku ABC z jeh stran [A (-3; -2; 1,5), B (4; 4,5; 3), C (0,5; 3,5; -2)]. 4 Urcete veliksti vnitrních úhlu trjúhelníku ARC [A (-5; 1; 2), B (-2; 6; 4), C (3; 6; 6)]. 5 Stupnujte prímku P = MN [M (-3; 3,5; 7), N (2; 1; 1,3)]. [39] 6 Zbrazte prímku a, která prchází bdem A (O; 4; 2), jejíž braz je rvnbežný s su x a jejíž dchylka d prumetny je w = Na prímku P = AP naneste d bdu A na be strany délku d = 3,5 cm [A (-3; 2; 3), P (2; 3; O)].Zbrazte. 8 Urcete brazy a kóty bdu pulících strany trjúhelníku ABC [A (-4; 1; -1), B (-2; 5; 3,5), C (3; 2; 2,5)]. 9 Urcete braz bdu M a jeh suradnice, když M delí úsecku AR v pmeru 2 : 3 [A (-2; 5, 1), R (3; 1; 4)]. 3 Zbrazení rviny Nejdríve se budeme zabývat rvinami klmými k 1/:. Pri užití prmítacích rvin prímek jsme se s nimi už seznámili. Vyrešili jsme již úlhu, v níž se mela sestrjit velikst úsecky ležící v rvine ", a t metdu sklpení rviny" d 1/:. Vyrešme ješte neklik ualších príkladu. PRíKLAD 4. V rvine "P -.L 1/: je dána prímka P = MN [M (-1; O;5), N (4; 2; 1)] a bd A (3;?; 6). Zbrazte rvnstranný trjúhelník ARC, leží-li strana RC na prímce P (br. 28). ROZBOR A PROSTOROVÁ KONSTRUKCE: ABC leží v rvine "P; abychm jej sestrjili, musíme rvinu "P sklpit d 1/:. -MiS) / ~ J ;C1 '/ " -I /" / I',/.;/ (B)'/ j.--- / (C)._._.tj'/(N).,--"'"""'\ " " J ->-,-1(, / ' " \,'/ I ", " -'-'(M)', \ i! <\fi '1[ (A) Obr. 28 x PROVEDENí: Prumet PI dané prímky P je sucasne prumetem "l rviny "p. Obraz AI musí tedy ležet na "1 == PI' Sklpíme-li rvinu "P, dstáváme (p) a (A). Dvedeme sestrjit sklpený rvnstranný trjúhelník vrchlu (A), jestliže jeh prtilehlá strana leží na (p). Urcíme tím sklpené bdy (R), (C), ze kterých dvdíme RI, CI známým zpusbem.

6 PRíKLAD 5. Prímky p == AB [A (-5; 3; 3,5), B (O; 1; 1)] a q = MN [M (-13;?;1), N (3;?; 4)] mají tutéž prmítací rvinu up == uq Urcete braz a kótu jejich prusecíku (br. 29) ROZBOR A PROSTOROVÁ KONSTRUKCE: Prímky pa q leží P1=q1 v jedné rvine; jsu tedy bud ruznbežné neb rvnbežné. Jestliže, ~ /\/ 81(1y/ t I y A/3,s)\t'1(1)\ /(8), -'_.l.-._.~._._._. Ohr.29,, x.-..:...~._ \,\ (M)/ /(R) (q) (N) \\ /' '\ /" / /1~) /(p) jsu ruznbežné, pak se prtínají v bde R. Abychm jej zjistili, musíme pet rvinu up == uq sklpit d prumetny. PROVEDENí: Prtže be prímky mají splecnu prmítací rvinu, je uf = PI = ul = ql' Z tét pdmínky urcíme brazy Ml' NI' Sklpíme prímky p a q; v prusecíku (p). (q) = (R) dstaneme jejich sklpený splecný bd. K nemu snadn najdeme braz RI a jeh kótu. Vidíme, že všechny knstruktivní úlhy v rvinách klmých k prumetne rešíme sklápením techt rvin d :n;. Tím se celý prblém redukuje na planimetrické knstrukce prvádené v prumetne. Uvažujme dále rviny, které nejsu v prumetne :n; klmé. Ze základní vety 3 vyplývá, že pravúhlým prumetem takvých rvin je prumetna. Mezi nimi jsu však také rviny hlavní, které mají tu vlastnst, že prumety brazcu v nich ležících jsu shdné s brazci v rvine. Rviny hlavní nazýváme též rvinami vrstevními. K urcení hlavní rviny stací znát kótvaný braz jednh jejíh bdu. (Prc?) Není-li rvina e hlavní, pak prtíná prumetnu :n; a každu hlavní rvinu v prímkách navzájem rvnbežných (prc?). Tyt prusec1uce se jmenují hlavní prímky rviny. Jsu t prímky rviny e rvnbežné s prumetnu :n;. Budeme je znacit hq Obycejne sestrjujeme hlavní prímky v rvine celistvých kótách. Také prusecnice rviny e s prumetnu je hlavní prímka kóte O, tj. bsahuje bdy rviny, které mají nulvé kóty. Nazýváme ji stpu rviny a znacíme pq. prumetech hlavních prímek téže rviny platí veta: Hlavní prímky rviny, která není rvnbežná s prumetnu, jsu navzájem rvnbežné. Jejich prumety jsu prímky rvnbežné s prumetem stpy rviny (br. 30). DUKAZ: Hlavní rviny jsu navzájem rvnbežnc", Libvlná rvina je prt prtiná v prusecnicich vzájemne rvnbežných. Pdle základni vety 4a prume- Ohr. 30 tech rvnbežných prímek budu i jejich prumety prímky vzájemne rvnbežné. Prtže pq == p~, jsu prumety Wavníchprímek rvnbežné B prumetem stpy rviny. Uvedeme nekteré vlastnsti hlavních prímek. Každá hlavní prímka h rviny je s prumetnu :n; rvnbežná; její bdy mají stejnu kótu; prumety úsecek ležících na hlavní prímce jsu s temit úseckami shdné. Prtže každým bdem rviny prchází jediná hlavní rvina, prchází jím také jediná hlavní prímka. Kóta bdu je kótu hlavní prímky. Tut vlastnst zapisujeme takt: napríklad bdem A kóte 5 prchází v e hlavní prímka hq (5) apd. Obrácene, na hlavní prímce hq (4) leží všechny bdy rviny e, které mají kótu 4. Na stpe rviny pq = hq (O) leží tedy všechny bdy rviny e kóte O. Rvina (!, která není s prumetnu rvnbežná ani k ní klmá, je becne plžená rvina vzhledem k :n;, krátce becná rvina. Ze steremetrie známe vetu urcensti rviny. Zpakujte si ji na tmt znacení: e = ABC, pricemž C není incidentní s prímku AB; e == ab (a, b ruznbežné); e = ab, a II b, ale a ~ b; (! = Ab, pricemž A není incidentní s prímku b. Je-li rvina dána kótvanými brazy urcujících prvku, je v deskriptivní gemetrii velmi užitecné sestrjit v tét rvine brazy hlavních prímek celých kót. Nekdy sestrjujeme i braz stpy rviny. Vyrešme PRíKLAD 6. Rvina je dána ruznbcžkami a == AC, b = BC. Zbrazte její stpu a hlavní prímky [A (5; 5; 3), B (O;-I; 5), C (-3; 3; -2)] (br. 31),

7 \,,>t.j [42] I /.,' I ",O 1\ / II ; I " I I \~1(5) \ I :., : X [43] AD leží celá v rvine, prtže její dva bdy A, D leží v rvine. Leží prt v rvine i bd M == AD. BC. Prtže bd M leží na prímce AD, známe kóty dvu bdu A, M; z její sklpené plhy dvedeme urcit hledanu kótu bdu D. PROVEDENí: Urcíme Ml = AIDl. BICl' Sklpíme prímku BC; úsecka Ml(M) je rvna IZM I. Sklpíme-li AM, urcí úsecka Dl(D) hledanu kótu bdu D. Obr. 31 Obr. 32 ROZBOR A PROSTOROVÁ KONSTRUKCE: Urcíme stpníky prímek a, b. Prímka spjující stpníky je už stpa rviny. (Prc?) Prímky spjující bdy stejných kót na AC, BC jsu hlavními prímkami rviny. PROVEDENí: Sklpením prmítacích rvin ')(,", ')(,b urcíme stpníky prímek a, b a bdy celých kótách. Prímka p~ == P~ P~ je brazem stpy rviny; prímky spjující bdy shdných kót jsu již brazy hlavních prímek. PRíKLAD 7. Zbrazte hlavní prímky rviny I} == ABC [A (5; 5; 3), B (O;-1; 5), C (-3; 3; 2)] (br. 31). REŠENí: Stací znacit a = AC, b = BC a tím prevést rešení na predcházející príklad. PRíKLAD 8. Je dána rvina I} = ABC [A (-3; 1; 3),B (:-1; 6; O),C (5; 2; 5)] a bd D (O;3,5;?), který leží v rvine. Urcete jeh zbývající kótu (br. 32). ROZBOR A PROSTOROVÁ KONSTRUKCE: Leží-li bd D v rvine I}, musí ležet na nejaké prímce rviny. Napríklad prímka (C) CVICENí 1 Je dána rvina I} = PQR [P (2; 5; O),Q (-3; 1; 1), R (5; 2; 6)]. Zbrazte rv:inu,její stpu a hlavní prímky kótách 1, 2, 3, 4, 5. 2 Urcete suradnice težište trjúhelníku ABC [A (3; 1; 5), B (O; 1; 3), C (-4; 6; 1)].. 3 Rvina I} je zbrazena hlavními prímkami ~ (3) II ~ (6). Zvlte si bd Ml' který neleží na žádné z nich. Tent bd je brazem bdu MEl}. Urcete jeh kótu. 4 Je dán rvnbežník ABCD [A (-1; 3; 5), B (2; 0,5; 1), C (3,5; 2; 3)]; urcete jeh braz a kótu vrchlu D. Obr Další úlhy rvine Chceme-li rešit radu dalších úlh rvine, musíme si nejdríve vyslvit duležitu vetu prumetu pravéh úhlu. Základní veta 8. Jestliže prímky a, b jsu vzájemne klmé, ale žádná z nich není klmá k prumetne n, ptm jejich prumetyal, bl jsu prímky k sbe klmé tehdy, je-li alespn jedna z prímek a, b rvnbežná s prumetnu. Platí i veta brácená (br. 33):

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Charakteristika vyučovacího předmětu

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Charakteristika vyučovacího předmětu DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Charakteristika vyučvacíh předmětu Deskriptivní gemetrie se vyučuje jak pvinně vlitelný předmět ve třetím a čtvrtém rčníku s hdinu dtací 2-2, event. puze ve čtvrtém s hdinvu dtací

Více

3.5.1 Shodná zobrazení

3.5.1 Shodná zobrazení 3.5.1 hdná zbrazení Předpklady: O zbrazení jsme mluvili, než jsme zavedli funkce. Jde takvu relaci z první mnžiny d druhé, při které každému prvku z první mnžiny přiřazujeme maximálně jeden prvek z mnžiny

Více

Konoidy přímkové plochy

Konoidy přímkové plochy Knidy přímkvé plchy Knidy jsu speciální zbrcené přímkvé plchy. Opět jsu určeny třemi křivkami, v případě knidů jsu t: -křivka rvinná (kružnice, elipsa, parabla, ) či prstrvá (šrubvice, ) -vlastní přímka

Více

Pracovní listy KŘIVKY

Pracovní listy KŘIVKY Technická univerzita v Liberci Fakulta přírdvědně-humanitní a pedaggická Katedra matematiky a didaktiky matematiky KŘIVKY Petra Pirklvá Liberec, květen 07 . Určete, který z phybů je levtčivý a který pravtčivý..

Více

Konstrukce paraboly dané dvěma tečnami s body dotyku. Příklad: Sestrojte parabolu p, jsou-li dány její tečny t 1, t 2 s body T 1, T 2 dotyku.

Konstrukce paraboly dané dvěma tečnami s body dotyku. Příklad: Sestrojte parabolu p, jsou-li dány její tečny t 1, t 2 s body T 1, T 2 dotyku. Gemetrie Další užitečné knstrukce parably Řešené úlhy Knstrukce parably dané děma tečnami s bdy dtyku Příklad: Sestrjte parablu p, jsu-li dány její tečny, s bdy, dtyku. zlme dě různběžné přímky, a na každé

Více

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR ÚHEL

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR ÚHEL ÚHEL = část rviny hraničená dvěma plpřímkami (VA, VB) se splečným pčátkem (V) úhel AVB: V vrchl úhlu VA, VB ramena úhlu Pznámka: Dvě plpřímky se splečným pčátkem rzdělí rvinu na dva úhly úhel knvexní,

Více

Obecnou rovnici musíme upravit na středovou. 2 2 2 2 2 2 2 2. leží na kružnici musí vyhovovat její rovnici dosadíme ho do ní.

Obecnou rovnici musíme upravit na středovou. 2 2 2 2 2 2 2 2. leží na kružnici musí vyhovovat její rovnici dosadíme ho do ní. 75 Hledání kružnic I Předpklady: 750, kružnice z gemetrie Př : Kružnice je dána becnu rvnicí x y x y plměr Rzhdni, zda na kružnici leží bd A[ ; ] + + + 6 + = 0 Najdi její střed a Obecnu rvnici musíme upravit

Více

1.5.6 Osa úhlu. Předpoklady:

1.5.6 Osa úhlu. Předpoklady: 1.5.6 Osa úhlu Předpklady: 010505 Pedaggická pznámka: Následující příklad je pakvání, které pužívám jak cvičení dhadu. Nechám žáky dhadnut veliksti a při kntrle si pčítají bdy (chyba d 5-3 bdy, d 10-2

Více

1.6.3 Osová souměrnost

1.6.3 Osová souměrnost 1.6.3 Osvá suměrnst Předklady: 162 Pedaggická známka: Je třeba stuvat tak, aby se v hdině stihnul vyracvat a zkntrlvat bd 5. Pedaggická známka: Hned u střídání vázy je třeba dát zr. Narstá většina dětí

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Dynamická gemetrie v rvině a v prstru Pachner - 4 prgramy Dynamická gemetrie v rvině Dynamická gemetrie v rvině Parametrické systémy funkcí Řešení becnéh trjúhelníku Dynamická gemetrie v rvině Panel nástrjů

Více

Vykreslení obrázku z databázového sloupce na referenční bod geometrie

Vykreslení obrázku z databázového sloupce na referenční bod geometrie 0 Vykreslení brázku z databázvéh slupce na referenční bd gemetrie OBSAH 1 CÍL PŘÍKLADU...2 2 PRÁCE S PŘÍKLADEM...2 3 UKÁZKA DIALOGOVÉHO OKNA...3 4 STRUČNÝ POPIS PŘÍKLADU V MARUSHKADESIGNU...5-1 - 1 Cíl

Více

OPAKOVÁNÍ Z 5. ROČNÍKU

OPAKOVÁNÍ Z 5. ROČNÍKU OPKOÁNÍ Z 5. ROČNÍKU ❺ Letecká dvlená na Gran Canaria stjí v dbě jarních rázdnin 18 990 Kč r dsělu sbu a 8 999 Kč r dítě. Je mžn si řikuit výlet strvě v ceně 799 Kč r dsělu sbu a 599 Kč r dítě. Klik celkem

Více

ZOBRAZENÍ ELIPSY POMOCÍ AFINITY

ZOBRAZENÍ ELIPSY POMOCÍ AFINITY echnická univerzia v Liberci Fakula řírdvědně-humaniní a edaggická Kaedra maemaiky a didakiky maemaiky ZORZENÍ ELIPY POMOÍ FINIY Pmcný učební ex Pera Pirklvá Liberec, září 03 Nejdříve si řekneme, c jsu

Více

Pracovní listy PLOCHY

Pracovní listy PLOCHY Technická univerzita v Liberci Fakulta přírdvědně-humanitní a pedaggická Katedra matematiky a didaktiky matematiky PLOCHY Petra Pirklvá Liberec, únr 06 . Rtační plcha je dána tvřící křivku k. Dplňte zbývající

Více

TYÚHELNÍKY 1 HODINA. Lomená ára: je to skupina úseek, kde koncový bod jedné úseky je poátením bodem druhé úseky

TYÚHELNÍKY 1 HODINA. Lomená ára: je to skupina úseek, kde koncový bod jedné úseky je poátením bodem druhé úseky TYÚHELNÍKY HODINA Díve, než se dstneme k vysvtlení pjmu tyúhelník, zpkujeme si nkteré zákldní pjmy, jk je npíkld lmená ár mnhúhelník. Lmená ár: je t skupin úseek, kde kncvý bd jedné úseky je pátením bdem

Více

SMART Notebook Math Tools 11

SMART Notebook Math Tools 11 SMART Ntebk Math Tls 11 Operační systémy Windws Uživatelská příručka Upzrnění chranných známkách SMART Bard, SMART Ntebk, smarttech, l SMART a všechna značení SMART jsu chranné známky neb reistrvané chranné

Více

5. Mechanika tuhého tlesa

5. Mechanika tuhého tlesa 5. Mechanika tuhéh tlesa Rzmry a tvar tlesa jsu ast pi ešení mechanických prblém rzhdující a pdstatn vlivují phybvé úinky sil, které na n psbí. akvá tlesa samzejm nelze nahradit hmtným bdem. Úinky sil

Více

1. Kristýna Hytychová

1. Kristýna Hytychová Průřezvé veličiny Výpčet těžiště. Druhy průřezvých veličin a jejich výpčet průřezvých veličin. Steinerva věta. Pužití průřezvých veličin ve výpčtech STK. Průřezvé veličiny ZÁKLADNÍ: plcha průřezu, mment

Více

Pružnost a plasticita II 3. ročník bakalářského studia. doc. Ing. Martin Krejsa, Ph.D. Katedra stavební mechaniky

Pružnost a plasticita II 3. ročník bakalářského studia. doc. Ing. Martin Krejsa, Ph.D. Katedra stavební mechaniky Pružnst a plasticita II 3. rčník bakalářskéh studia dc. Ing. Martin Krejsa, Ph.D. Katedra stavební mechanik Základní infrmace cvičení Předmět: 8-0/0 - Pružnst a plasticita II Přednášející: dc. Ing. Martin

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Matematika 4+5 - Chytré dítě Multimedia Art (Pachner) Úvdní brazvka = Obsah Část 1. Úvd 6 stran Jak se učit? 3 strany Úhel 11 stran Úhel c t je? Pravý úhel Měření úhlů Velikst úhlů Přímka 25 stran C se

Více

1 ROVNOVÁHA BODU Sestavte rovnice rovnice rovnováhy bodu (neznámé A,B,C) Určete A pro konstrukci z příkladu

1 ROVNOVÁHA BODU Sestavte rovnice rovnice rovnováhy bodu (neznámé A,B,C) Určete A pro konstrukci z příkladu Sbírka bude dplňvána. Příští dplněk budu příklady na vnitřní síly v diskrétních průřeech. Připmínky, pravy, návrhy další příklay jsu vítány na rer@cml.fsv.cvut.c. mbicí sbírky je hlavně jedntně definvat

Více

1.2. Kinematika hmotného bodu

1.2. Kinematika hmotného bodu 1.. Kinematika hmtnéh bdu P matematické přípravě už můžeme začít s první kapitlu, kinematiku. Tat část fyziky se zabývá ppisem phybu těles, aniž by se ptala prč k phybu dchází. Jak je ve fyzice častým

Více

Opakování (skoro bez zlomků)

Opakování (skoro bez zlomků) 2.2.27 Oakvání (skr bez zlmků) Předklady: 010217 Pedaggická známka: v Tét hdině užívám systém takzvanéh výstuu. Žáci čítají samstatně s tím, že zájemcům máhám, nikd však nemůže čekávat, že budu stát řád

Více

Vizualizace TIN (trojúhelníková nepravidelná síť) v Marushka Designu

Vizualizace TIN (trojúhelníková nepravidelná síť) v Marushka Designu ; Vizualizace TIN (trjúhelníkvá nepravidelná síť) v Marushka Designu 0 TIN v Marushka Designu OBSAH 1 CÍL PŘÍKLADU...2 2 PRÁCE S PŘÍKLADEM...2 3 UKÁZKA DIALOGOVÉHO OKNA...3 4 STRUČNÝ POPIS PŘÍKLADU V MARUSHKADESIGN...5-1

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Středšklská matematika Nadace Geneze Vývj (Stručná histrie matematiky) - na levé straně je svislý nápis VÝVOJ stisk hrníh V vyvlá zbrazení časvé sy - stisk ikny se stránku (vprav nahře na brazvce časvé

Více

Teplota a její měření

Teplota a její měření 1 Teplta 1.1 Celsiva teplta 1.2 Fahrenheitva teplta 1.3 Termdynamická teplta Kelvin 2 Tepltní stupnice 2.1 Mezinárdní tepltní stupnice z rku 1990 3 Tepltní rzdíl 4 Teplměr Blmetr Termgraf 5 Tepltní rztažnst

Více

Předmět matematika je úzce spjat s ostatními předměty viz. mezipředmětové vztahy.

Předmět matematika je úzce spjat s ostatními předměty viz. mezipředmětové vztahy. MATEMATIKA Charakteristika vyučvacíh předmětu Matematika se vyučuje ve všech rčnících. Hdinvá dtace je 4 4 4 4. V každém rčníku jsu žáci na jednu hdinu týdně rzděleni d dvu skupin, hdina je pak věnvána

Více

Práce s WKT řetězci v MarushkaDesignu

Práce s WKT řetězci v MarushkaDesignu 0 Práce s WKT řetězci v MarushkaDesignu OBSAH 1 CÍL PŘÍKLADU...2 2 PRÁCE S PŘÍKLADEM...2 3 STRUČNÝ POPIS PŘÍKLADU V MARUSHKADESIGNU...3-1 - 1 Cíl příkladu V tmt příkladu si ukážeme práci s WKT řetězci

Více

Kinematika hmotného bodu I.

Kinematika hmotného bodu I. Kinematika hmtnéh bdu I. Kinematiku hmtnéh bdu myslíme zkumání záknitstí phybů těles. Hmtným bdem myslíme bd, jímž nahradíme skutečné reálné těles. Hmtnst tělesa je sustředěna d jednh bdu, prt hmtný bd.

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

DTM (Digitální technická mapa) v Marushka Designu

DTM (Digitální technická mapa) v Marushka Designu 0 DTM (Digitální technická mapa) v Marushka Designu OBSAH 1 CÍL PŘÍKLADU...2 2 PRÁCE S PŘÍKLADEM...2 3 UKÁZKA DIALOGOVÉHO OKNA...3 4 STRUČNÝ POPIS PŘÍKLADU V MARUSHKADESIGNU...5-1 - 1 Cíl příkladu V tmt

Více

Mistrovství České republiky v logických úlohách

Mistrovství České republiky v logických úlohách Mistrvství České republiky v lgických úlhách Blk - Kktejl :5-5: Řešitel Stezky První větší Sendvič Dminvé dlaždice 5 Rzlžené čtverce 6 Dlaždice 7 Klik plí prjdu vedle? 8 Milenci 9 Kulečník Dmin 7x8 Cruxkrs

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlva v Praze Pedaggická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH DŮKAZY 001/00 CIFRIK MŘÚ Důkazy Důkazy matematických vět 1 Aximy Aximy jsu matematické výrky, které jsu pvažvány za pravdivé

Více

SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru

SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru SÍR ÚO STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru Sbírka úloh STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru gr. arie hodorová, Ph.. rafická úprava a sazba: arcel Vrbas OS SZN POUŽÍVNÝ SYOŮ 5. ZÁY STROTRI

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Laboratorní práce č. 4: Zobrazování spojkou

Laboratorní práce č. 4: Zobrazování spojkou Přírdní vědy mderně a interaktivně FYZIKA 2. rčník šestiletéh studia Labratrní práce č. 4: Zbrazvání spjku ymnázium Přírdní vědy mderně a interaktivně FYZIKA 2. rčník šestiletéh studia ymnázium Test k

Více

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ. Č. j.: ÚOHS-S398/2010/VZ-16684/2010/520/NGl V Brně dne: 14. února 2011

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ. Č. j.: ÚOHS-S398/2010/VZ-16684/2010/520/NGl V Brně dne: 14. února 2011 *uhsx0039d6p* UOHSX0039D6P ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ Č. j.: ÚOHS-S398/2010/VZ-16684/2010/520/NGl V Brně dne: 14. únra 2011 Úřad pr chranu hspdářské sutěže příslušný pdle 112 zákna

Více

PEXESO UŽIVATELSKÝ MANUÁL

PEXESO UŽIVATELSKÝ MANUÁL PEXESO UŽIVATELSKÝ MANUÁL Obsah 1. ÚVOD DO HRY 3 1.1. Histrie hry 3 1.2. Pravidla hry 3 1.3. Pčítačvá verze hry 3 2. INSTALACE HRY 4 2.1. Instalace z disku CD-ROM 4 2.2. Instalace hry stažené z internetu

Více

Tile systém v Marushka Designu

Tile systém v Marushka Designu 0 Tile systém v Marushka Designu OBSAH 1 CÍL PŘÍKLADU...2 2 PRÁCE S PŘÍKLADEM...2 3 UKÁZKA DIALOGOVÉHO OKNA...3 4 STRUČNÝ POPIS PŘÍKLADU V MARUSHKADESIGNU...4-1 - 1 Cíl příkladu V tmt příkladu si ukážeme

Více

Extremální úlohy v geometrii

Extremální úlohy v geometrii Extremální úlohy v geometrii Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 30.4. 2013 Petr

Více

v mechanice Využití mikrofonu k

v mechanice Využití mikrofonu k Využití mikrfnu k měřením v mechanice Vladimír Vícha Antace Mikrfn pfipjený zvukvu kartu pčítače ve spjení s jednduchým sftware (pf. AUDACITY) může služit k pměrně pfesnému měření krátkých časů. Pčítač

Více

Střední průmyslová škola strojní a elektrotechnická. Resslova 5, Ústí nad Labem. Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice. - Im

Střední průmyslová škola strojní a elektrotechnická. Resslova 5, Ústí nad Labem. Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice. - Im Střední průmyslvá škla strjní a elektrtechnická Resslva 5, Ústí nad Labem Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice A Re + m 2 2 j 1 + m - m A A ϕ ϕ A A* Re ng. Jarmír Tyrbach Leden 1999 (2/06) Fázry a kmplexní

Více

Speciální teorie relativity

Speciální teorie relativity Speciální terie relativity Fyzika zalžená na phybvých záknech sira Isaaca Newtna se na pčátku 20. stletí částečně nahradila Einsteinvými teriemi relativity. První z nich je speciální terie relativity.

Více

6 Planimetrie. Opravdovým matematikem může být pouze ten, kdo se o matematiku zajímá zcela nezištně (Euklides)

6 Planimetrie. Opravdovým matematikem může být pouze ten, kdo se o matematiku zajímá zcela nezištně (Euklides) 6 Planimetrie Opravdvým matematikem může ýt puze ten, kd se matematiku zajímá zela nezištně (Euklides) 61 Úhel V kapitle 14 jsme zpakvali některé základní mnžiny dů gemetriké útvary: d, přímka rvina, plpřímka,

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich

Více

MODELOVÁNÍ A SIMULACE (analogové počítače) pro obor Aplikovaná fyzika

MODELOVÁNÍ A SIMULACE (analogové počítače) pro obor Aplikovaná fyzika Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky MODELOVÁNÍ A SIMULACE (analgvé pčítače) pr br Aplikvaná fyzika Luděk Bartněk 2 OBSAH INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky.

Více

Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu

Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu Úvod Kótované promítání Každá promítací metoda má z pohledu praxe určité výhody i nevýhody podle toho, co při jejím užití vyžadujeme. Protože u kótovaného promítání jde o zobrazení prostoru na jednu rovinu,

Více

Témata v MarushkaDesignu

Témata v MarushkaDesignu 0 Témata v MarushkaDesignu OBSAH 1 CÍL PŘÍKLADU...2 2 PRÁCE S PŘÍKLADEM...2 3 UKÁZKA DIALOGOVÉHO OKNA...3 4 STRUČNÝ POPIS PŘÍKLADU V MARUSHKADESIGNU...5-1 - 1 Cíl příkladu V tmt příkladu si ukážeme práci

Více

Záznam zkušební komise Jméno a příjmení Podpis Vyhodnocení provedl INSTRUKCE

Záznam zkušební komise Jméno a příjmení Podpis Vyhodnocení provedl INSTRUKCE VYSOKÉ UČNÍ THNIKÉ V RNĚ FKULT PONIKTLSKÁ Přijímací řízení 2008 akalářské studium Obry: aňvé pradenství knmika a prcesní management Míst pr nalepení kódu Kód nalepí uchazeč Záznam zkušební kmise Jmén a

Více

KŘIVKY. Přednáška DG2*A 7. týden

KŘIVKY. Přednáška DG2*A 7. týden KŘIVKY Přednáška DG*A 7. týden Pjmem křivka zumíme dáhu phybujícíh se bdu. Je t tedy mnžina neknečnéh pčtu bdů, kteé závisí na paametu (čase). Pt můžeme křivku také nazvat jednpaameticku mnžinu bdů. ROZDĚLENÍ

Více

Rekuperace rodinného domu v Přestavlkách

Rekuperace rodinného domu v Přestavlkách Rekuperace rdinnéh dmu v Přestavlkách Pjem: Rekuperace, nebli zpětné získávání tepla je děj, při němž se přiváděný vzduch d budvy předehřívá teplým dpadním vzduchem. Teplý vzduch není tedy bez užitku dveden

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...

STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,... STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...

Více

Cenový index nemovitostí

Cenový index nemovitostí Cllateral management Cenvý index nemvitstí Srpen 2015 Úvd Česká spřitelna, a.s. jak 1. banka v České republice zahájila v psledním čtvrtletí rku 2007 měření vývje cen rezidenčních nemvitstí. Metdlgicky

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

14. Datové modely v GIS

14. Datové modely v GIS 14. Datvé mdely v GIS Zpracval: Tmáš Kbliţek, 2014 Dělení datvých mdelů 2 mţné přístupy k mdelům: Vrstvvý Objektvý Datvé mdely lze dělit na: 1. Vektrvý 2. Rastrvý 3. Maticvá data Vrstvvý přístup Jedntlivá

Více

SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená

SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená ARITMETIKA ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Jestliže něc (celek) rzdělíme na něklik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlmkem. Zlmek tři čtvrtiny (tři lmen čtyřmi) zlmek Čitatel sděluje, klik těcht částí

Více

Možnosti a druhy párování

Možnosti a druhy párování Mžnsti a druhy párvání E S O 9 i n t e r n a t i n a l a. s. U M l ý n a 2 2 1 4 1 0 0, P r a h a www.es9.cz Strana 1 (celkem 9) Autmatické hrmadné párvání... 3 Imprt bankvních výpisů (1.2.1.5)... 3 Párvání

Více

Postup práce a) Připravte si 50 ml roztoku NaOH o koncentraci 1 mol.dm-3 a) Určení měrné a molární otáčivosti sacharózy ve vodném roztoku

Postup práce a) Připravte si 50 ml roztoku NaOH o koncentraci 1 mol.dm-3 a) Určení měrné a molární otáčivosti sacharózy ve vodném roztoku 1 ÚLOHA 7: Plarimetrická analýza sacharidů Příprava Prstudujte základy plarimetrie - neplarizvané a plarizvané světl, plarizace světla lmem a drazem, ptická aktivita látek a jejich interakce s plarizvaným

Více

VIS ČAK - Uživatelský manuál - OnLine semináře

VIS ČAK - Uživatelský manuál - OnLine semináře UŽIVATELSKÝ MANUÁL - ONLINE SEMINÁŘE Autr: Aquasft, spl. s r.., Vavrečka Lukáš Prjekt: VIS ČAK Pslední aktualizace: 11.12.2009 Jmén subru: UživatelskýManuál_OnLine_Semináře_0v2.dcx Pčet stran: 12 OBSAH

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE

ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE *UOHSX003WQC1* UOHSX003WQC1 ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ Č. j.: ÚOHS-S523/2011/VZ-19003/2011/520/ABr V Brně dne: 30. března 2012 Rzhdnutí nabyl právní mci dne 28.4.2012 Úřad pr chranu

Více

3 Referenční plochy a soustavy

3 Referenční plochy a soustavy II. část Vyšší gedézie matematická 3 Referenční plchy a sustavy 3. Referenční kule a výpčty na referenční kuli Pr realizaci gedetických a kartgrafických výpčtů s nižší přesnstí je mžné zemské těles neb

Více

Perspektiva. Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy. Obsahuje: zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen

Perspektiva. Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy. Obsahuje: zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen Perspektiva Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy Obsahuje: úvodní pojmy určení skutečné velikosti úsečky zadané v různých polohách zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen 1 Příklad

Více

Informační ikony v MarushkaDesignu

Informační ikony v MarushkaDesignu 0 Infrmační ikny v MarushkaDesignu OBSAH 1 CÍL PŘÍKLADU...2 2 PRÁCE S PŘÍKLADEM...2 3 UKÁZKA DIALOGOVÉHO OKNA...3 4 STRUČNÝ POPIS PŘÍKLADU V MARUSHKADESIGNU...4-1 - 1 Cíl příkladu V tmt příkladu si ukážeme

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

Posuzování zdravotní způsobilosti k řízení motorových vozidel jako součásti výkonu práce

Posuzování zdravotní způsobilosti k řízení motorových vozidel jako součásti výkonu práce Psuzvání zdravtní způsbilsti k řízení mtrvých vzidel jak sučásti výknu práce Zdravtní způsbilst řidiče mtrvých vzidel je jednu ze základních pdmínek bezpečnsti prvzu na pzemních kmunikacích. Prt je zdravtní

Více

Zobrazení goniometrických funkcí na jednotkové kružnici, významné hodnoty goniometrických funkcí. Řešení goniometrických rovnic.

Zobrazení goniometrických funkcí na jednotkové kružnici, významné hodnoty goniometrických funkcí. Řešení goniometrických rovnic. Zbrzení gnimetrikýh funkí n jedntkvé kružnii, význmné hdnt gnimetrikýh funkí. Řešení gnimetrikýh rvni. V prvúhlém trjúhelníku ABC jsu definván funke sin, s, tg, tg libvlnéh úhlu tkt: sin prtilehlá dvěsn

Více

Technická specifikace předmětu plnění. VR Organizace dotazníkového šetření mobility obyvatel města Bratislavy

Technická specifikace předmětu plnění. VR Organizace dotazníkového šetření mobility obyvatel města Bratislavy Technická specifikace předmětu plnění VR Organizace dtazníkvéh šetření mbility byvatel města Bratislavy Zadavatel: Centrum dpravníh výzkumu, v. v. i. dále jen zadavatel 1 PŘEDMĚT VEŘEJNÉ ZAKÁZKY Předmětem

Více

V. NEŽÁDOUCÍ REAKCE U pacientů s citlivostí na latex se můžete setkat s alergickou reakcí na gutaperču, která obsahuje sušený přírodní kaučuk.

V. NEŽÁDOUCÍ REAKCE U pacientů s citlivostí na latex se můžete setkat s alergickou reakcí na gutaperču, která obsahuje sušený přírodní kaučuk. GuttaCre POPIS PRODUKTU GuttaCre bturátry se pužívají pr plnění křenvých kanálků. I. INDIKACE Tyt prdukty je mžn pužít puze v klinickém neb dentálním zařízení, kvalifikvaným stmatlgem. Aplikační ple: GuttaCre

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

p ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm

p ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm Úloha Je dán pravoúhlý trojúhelník ACD s pravým úhlem při vrcholu C, AC = 7,5 cm, CD =,5 cm. Na přímce CD určete bod B tak, aby AB = BD Řešení: Úlohu vyřešíme nejprve geometrickou konstrukcí. a) Z rozboru

Více

Exentricita (výstřednost) normálové síly

Exentricita (výstřednost) normálové síly 16. Železbetnvé slupy Slupy patří mezi tlačené knstrukce. Knstrukční prvky z betnu prstéh a slabě vyztuženéh jsu namáhány kmbinací nrmálvé síly N d a hybvéh mmentu M d. Jde tedy mimstředný tlak výpčtvé

Více

Lokalizace souřadnic v MarushkaDesignu

Lokalizace souřadnic v MarushkaDesignu ; Lkalizace suřadnic v MarushkaDesignu 0 OBSAH 1 CÍL PŘÍKLADU...2 2 PRÁCE S PŘÍKLADEM...2 3 UKÁZKA DIALOGOVÉHO OKNA...3 4 STRUČNÝ POPIS PŘÍKLADU V MARUSHKADESIGNU...4-1 - 1 Cíl příkladu V tmt příkladu

Více

O B V O D A O B S A H L I C H O B Ž N Í K U 2 HODINY

O B V O D A O B S A H L I C H O B Ž N Í K U 2 HODINY O B V O D A O B A H L I C H O B Ž N Í K U HODINY 1 Obd lichbžníku:? Zpkuj si nejpre, jk uríš bd trjúhelníku tyúhelníku?? Dkážeš spítt bd liblnéh mnhúhelníku? Pkud Ti pedchzí tázky nedlly prblémy, nebude

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

0. Struktura matematické teorie

0. Struktura matematické teorie 0. Strktra matematické terie Jedna kapitla celk Výrká lgika se zabýala ýstab matematiky matematické terie). Na pdrbnsti pjmů dkazji d text ýrké lgice. Zde prádím strčný ýčet staebních prků. Aximy trzení,

Více

5 Pappova věta a její důsledky

5 Pappova věta a její důsledky 5 Pappova věta a její důsledky Pappos z Alexandrie (?90?350), řecký matematik a astronom. Pod označením Pappova věta je uváděno více vět. Proto je třeba uvést, o jaké z těchto vět hovoříme. Zde se budeme

Více

Sledování provedených změn v programu SAS

Sledování provedených změn v programu SAS Sledvání prvedených změn v prgramu SAS Při práci se systémem SAS se v něklika funkcích sleduje, jaké změny byly prvedeny a kd je prvedl. Patří mezi ně evidence změn v mdulu Evidence žáků neb práce s průběžnu

Více

DeepBurner Free 1.9. Testování uživatelského rozhraní s uživateli Deliverable B1 TUR 2011. Testování uživatelských rozhraní 2011 ČVUT FEL

DeepBurner Free 1.9. Testování uživatelského rozhraní s uživateli Deliverable B1 TUR 2011. Testování uživatelských rozhraní 2011 ČVUT FEL Testvání uživatelských rzhraní 2011 DeepBurner Free 1.9 Testvání uživatelskéh rzhraní s uživateli Deliverable B1 TUR 2011 Daniel Mikeš Tmáš Pastýřík Ondřej Pánek Jiří Šebek Testvání uživatelských rzhraní

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Možnosti připojení WMS služby do Klienta v Marushka Designu

Možnosti připojení WMS služby do Klienta v Marushka Designu 0 Mžnsti připjení WMS služby d Klienta v Marushka Designu OBSAH 1 CÍL PŘÍKLADU...2 2 PRÁCE S PŘÍKLADEM...2 3 UKÁZKA DIALOGOVÉHO OKNA...3 4 STRUČNÝ POPIS PŘÍKLADU V MARUSHKADESIGNU...4-1 - 1 Cíl příkladu

Více

F1030 Mechanika a molekulová fyzika úlohy k procvičení před písemkami (i po nich ) Téma 4 a 5: Zákony newtonovské mechaniky

F1030 Mechanika a molekulová fyzika úlohy k procvičení před písemkami (i po nich ) Téma 4 a 5: Zákony newtonovské mechaniky F3 Mechanika a lekulvá fyzika úlhy k prcvičení před písekai (i p nich ) Téa 4 a 5: Zákny newtnvské echaniky Předpklady k úlhá: Ve všech úlhách pvažujte labratrní vztažnu sustavu, pevně spjenu se Zeí, za

Více

PALETOVÉ REGÁLY. Pevné, kvalitní a s dlouhou životností. Sestava paletového regálu: PLOTOVÉ CENTRUM Vyškov; www.mgv.cz

PALETOVÉ REGÁLY. Pevné, kvalitní a s dlouhou životností. Sestava paletového regálu: PLOTOVÉ CENTRUM Vyškov; www.mgv.cz PLOTOVÉ CENTRUM Vyškv; www.mgv.cz PALETOVÉ REGÁLY Pevné, kvalitní a s dluhu živtnstí Název regálvých dílů Paletvé regály a jejich pužití Rám paletvéh regálu Nsníky paletvéh regálu Příčník Ochranné prvky

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Mimořádná účetní uzávěrka

Mimořádná účetní uzávěrka Mimřádná účetní uzávěrka E S O 9 i n t e r n a t i n a l a. s. U M l ý n a 2 2 1 4 1 0 0, P r a h a www.es9.cz Strana 1 (celkem 6) Ppis... 3 Průběh mimřádné účetní uzávěrky... 3 Mimřádná účetní uzávěrka

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

Kombinované namáhání prutů s aplikací mezních podmínek pro monotónní zatěžování.

Kombinované namáhání prutů s aplikací mezních podmínek pro monotónní zatěžování. Cvičení Kmbinvané namáhání prutů s aplikací mezních pdmínek pr mntónní zatěžvání. Prutvá napjatst V bdech prutu má napjatst zvláštní charakter značuje se jak prutvá a je určena jedním nrmálvým σ a jedním

Více

Optika. o Izotropní světlo se šíří všemi směry stejně rychle o Anizotropní světlo se šíří různými směry různě Zdroj. o o

Optika. o Izotropní světlo se šíří všemi směry stejně rychle o Anizotropní světlo se šíří různými směry různě Zdroj. o o Optika Věda světle Rychlst světla 299 792 458 m/s (přibližně 3.10 8 ) (světl se šíří rychlstí světla ve vakuu, jinde pmalejší kvůli permitivitě a permeabilitě, třeba ve skle je t 2x pmalejší, ve vdě se

Více

Upomínky a kontroly E S O 9 i n t e r n a t i o n a l a. s.

Upomínky a kontroly E S O 9 i n t e r n a t i o n a l a. s. Upmínky a kntrly E S O 9 i n t e r n a t i n a l a. s. U M l ý n a 2 2 1 4 1 0 0, P r a h a www.es9.cz Strana 1 (celkem 6) Upmínky... 3 Evidence a tisk upmínek (1.3.3.1)... 3 Kntrla phledávek a psílání

Více

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

FRONTA. Podobně jako u zásobníku lze prvek z fronty vyjmout pouze za takové podmínky, že je na řadě. Avšak jeho hodnotu můžeme přečíst kdykoliv.

FRONTA. Podobně jako u zásobníku lze prvek z fronty vyjmout pouze za takové podmínky, že je na řadě. Avšak jeho hodnotu můžeme přečíst kdykoliv. FRONTA Frnta je datvá struktura pdbná zásbníku, avšak její vnitřní rganizace je dlišná. Prvky d frnty vkládáme na jedné straně (na knci) a ubíráme na straně druhé (na začátku). Ve frntě jsu tyt prvky ulženy

Více

Kurz 4st210 cvičení č. 5

Kurz 4st210 cvičení č. 5 CVIČENÍ Č. 5 některá rzdělení nespjitých náhdných veličin binmické, hypergemetrické, Pissnv rzdělení nrmální rzdělení jak rzdělení spjitých náhdných veličin některá speciální rzdělení spjitých náhdných

Více

Předmět matematika je úzce spjat s ostatními předměty viz. mezipředmětové vztahy.

Předmět matematika je úzce spjat s ostatními předměty viz. mezipředmětové vztahy. MATEMATIKA Charakteristika vyučvacíh předmětu Matematika se vyučuje ve všech rčnících. Hdinvá dtace je 4 4 4 4. V každém rčníku jsu žáci na jednu hdinu týdně rzděleni d dvu skupin, hdina je pak věnvána

Více