Základní poznatky o funkcích

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Základní poznatky o funkcích"

Transkript

1 Základní poznatk o funkcích Tajemství černé skříňk (Definice funkce, základní pojm) 0 c, d, g, h 0 a) ANO b) NE 0 D( f )={ 6} H( f )={ 7} 0 a) D( f )={ 0 } b) H( f )={ } c) f ( 0)= f ( )=9 f ( )= 0 f ( )= 0 f ( )= f ( )= f 7 ( f 0 )= (, )=, 06 a) D( f )= R{ } b) D( f )=R c) D( f )= 7 ) d) D ( f )=( 6 e) D ( f )= ( ) f) D ( f )= 9 9 ) ( ) g) D( f )=( ( ) h) D( f )=( ) 07 a) D( f )= R f ( )= b) D( f )= R f ( 0)= f ( )= c) D ( f )= R{ } f ( 7, )= d) D( f )= R{ } f ( )= 0 f ( )= 0 08 Funkce f a g se sobě nerovnají, protože D( f ) D( g) D( f )= R D( g)= R{ }. 09 tabulka: první řádek 6 druhý řádek 0 a) D( f )= 0 H( f )= b) D( f )={ 9 0} H( f )={ 6 7 0} a) např. = b) např. = Pozor na hlavu, vrážíme do minulosti! c) např. = d) např. = (Graf funkce) 0 c, d, f 0 a) A[ ] B[ ] C[ ] 0 a 0 a) D( f )=( H( f )=( b) D( f )= 0 ( ) H( f )={ } c) D( f )=( ) H( f )= ) d) D( f )= ) H( f )=( 06 a) D( f )=R H( f )= ) D( f )=( ) H( f )=( 0 ) D( f )=( 0) ( 0 ) H( f )=( 0) ( 0 ) D( f )=R H( f )= b) doplněné vět po sloupcích: 0 f f, f f, f f, f, f f 07 a) P [ 0] P [ 0 ] b) P [ 0] P [ 0] P [ 0 ] c) Funkce f nemá průsečík s osou. P [ 0 ] 08 a) P [ 0] P [ 0 ] b) Funkce f nemá průsečík s osou. P [ 0 ] c) P [ 0] P [ 0] P [ 0 ] d) P [ 0] P [ 0 ] 09 a) Grafu funkce náleží bod A, D. b) Grafu funkce náleží bod D. c) Grafu funkce náleží bod A. d) Grafu funkce náleží bod C. a) b) Stav ohrožení neblo potřeba vhlásit. c) d) 00 m s e) např. [ 0 0], [ 0 0], [ 0 0], [ 0 0], [ 0 0], [ 0 0] Nejedu moc rchle? (Vlastnosti funkcí) 0 tabulka po řádcích: f : NE, NE, NE, NE, ANO, NE, NE, NE, ANO, NE, ANO f : NE, NE, NE, NE, NE, NE, ANO, ANO, ANO, ANO, ANO f : NE, NE, NE, NE, NE, ANO, NE, NE, NE, NE, NE f : ANO, NE, ANO, ANO, NE, ANO, NE, NE, NE, NE, NE 0 a) klesají b) maimum c) zdola d) sudá e) různé 0 a) NE b) ANO c) NE d) ANO e) ANO f) ANO g) ANO h) ANO i) NE j) NE 0 a) 0 8 b) Definiční obor: D( f )= R D( g)= R D( h)=. Obor hodnot: H( f )= R H( g)= ) H( h)= 0. Rostoucí na intervalu: Funkce f je rostoucí na 0, funkce g je rostoucí na 0 ), funkce h je rostoucí na - 0,. Klesající na intervalu: Funkce f je klesající na ( 0, ), funkce g je klesající na ( 0, funkce h je klesající na - -, 0. Konstantní na intervalu: Funkce f a g nejsou konstantní na žádném intervalu, funkce h je konstantní na - -. Lichá/sudá: Funkce f a h nejsou ani sudé ani liché, funkce g je sudá. Omezená shora: Funkce f není shora omezená, funkce g je shora omezená číslem, funkce h je shora omezená číslem 0. Omezená zdola: Funkce f není zdola omezená, funkce g je zdola omezená číslem, funkce h je zdola omezená číslem -. Omezená: Funkce f není omezená, funkce g a h jsou omezené. Maimum: Funkce f a g nemají maimum, funkce h má maimum v bodech - a. Minimum: Funkce f nemá minimum, funkce g má minimum v bodě 0, funkce h má minimum v každém bodě intervalu =. 07 a) D( f )=( ) ( ) ( ) b) D( f )=( ) ( ) ( ) 08 a) sudá b) lichá c) ani sudá ani lichá d) ani sudá ani lichá 0 Obor hodnot: Naměřené hodnot teplot po dobu měření. Rostoucí na intervalu:. Teplota rostla v době od h do h. Klesající na intervalu: 0,. Teplota klesala v době od 0 h do h a potom od h do h. Konstantní na intervalu: není. Nebla doba, kd b se teplota neměnila. Omezená shora: ano h = 0. Nejvšší naměřená teplota. Omezená zdola: ano d = -6. Nejnižší naměřená teplota. Omezená: ano. Měřené teplot se pohboval v rozmezí od -6 C do +0 C. Maimum v bodě: =. Nejvšší naměřená teplota bla ve h. Minimum v bodě: ano = =. Nejnižší naměřená teplota bla ve h a ve h. Lineární funkce Čím víc, tím víc (Lineární funkce) 0 a) ANO b) NE c) ANO d) NE e) ANO f) ANO 0 a) ANO b) NE c) NE d) ANO 0 a) a < 0, b > 0 b) a < 0, b < 0 c) a > 0, b > 0 d) a > 0, b < 0 e) a > 0, b = 0 f) a < 0, b = 0 g) a = 0, b < 0 h) a = 0, b > 0 0 a) a =, b = -, rostoucí b) a = 0, b =, konstantní c) a =, b =, rostoucí d) a = -, b =, klesající e) a = -, b = -, klesající f) a = 0, b = 0, konstantní 0 d 06 a) ANO b) ANO c) ANO d) NE 07 c 08 c 09 a) A6 b) B c) C d) D 0 a) přímka procházející bodem A rovnoběžná s osou b) přímka procházející bodem A a počátkem soustav souřadnic Pokud jsou u předpisů lineárních funkcí koeficient a různé a koeficient b stejné, pak jsou graf různoběžné přímk, které mají společný průsečík s osou. Pokud jsou u předpisů lineárních funkcí koeficient a stejné a koeficient b Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední škol. díl: Funkce I

2 různé, pak jsou graf rovnoběžné přímk, které mají různé průsečík s osou. a) a = - b) nemá řešení a) A b) B c) C d) D 6 a) A b) B c) C d) D 7 a) = - b) = - c) = - + d) = 0, + e) = - f) = 0, 8 a) Bod A leží na grafu funkce f. b) Bod B neleží na grafu funkce f (-ová souřadnice bodu B nepatří do definičního oboru funkce). 9 b) f: = + c) P f Q f d) P = 0 P =[ 0 ] 0 A= [ 0 6], B =[ 0], S = j a) D( f )=( ) H( f )={ }, NE, NE, ANO, ANO, minimum v bodě ( ), maimum v bodě ( ) b) D( f )= 0 H( f )= 0, NE, ANO, NE, ANO, minimum v bodě =, maimum v bodě = 0 c) D( f )=( ) H( f )={ }, NE, NE, ANO, ANO, minimum v bodě ( ), maimum v bodě ( ) d) D( f )=( H( f )=( 6, ANO, NE, NE, NE, minimum nemá, maimum v bodě = e) D( f )= H( f )=, ANO, NE, NE, ANO, minimum v bodě = -, maimum v bodě = f) D( f )= ) H( f )=(, NE, ANO, NE, NE, minimum nemá, maimum v bodě = - f: =, 8 + a) f: = 0, 7 +, c) D( f )= 0 H( f )=, 7, rostoucí ANO, klesající NE, konstantní NE, omezená ANO, minimum v bodě = 0, maimum v bodě = b) D( f )= 0 H( f )= , rostoucí NE, klesající NE, konstantní NE, rostoucí na žádném intervalu, klesající na intervalech 0,,, konstantní na intervalu,, omezená shora ANO, omezená zdola ANO, omezená ANO, minimum v bodě =, maimum v bodě = 0 b) f: = f: = + f: = + 7 Graf jsou přímk rovnoběžné s grafem funkce g. 8 d 9 b 0 a) ( ) b) f: = + b b R c) f: = d) f: = + a) NE b) NE c) NE d) ANO e) ANO f) ANO B =[, 6 7], C =[ 0, ] a = 0, b = - Jaký je kurz? (Grafické řešení lineárních rovnic, nerovnic a jejich soustav) 0 a, b, d 0 c 0 a) NE b) ANO c) ANO d) ANO 0 a) jedno řešení, f: = + b) žádné řešení, f: = c) nekonečně mnoho řešení, f: = 0 d) žádné řešení, f: = +, g: = + e) nekonečně mnoho řešení, f: = +, g: = + f) jedno řešení, f: = +, g: = 0 b) NE, ANO, NE, ANO b) K = { } c) K = 0 d) K =R 07 f: = +, g: ==, K = [ ] 08 a) K = [ 7] 06 a) K = = { + } b) K R c) K = 0 09 U prvních tří zadaných funkcí eistuje více možných řešení: f: = +, g: =, K = [ ] f g : =, : = +, K = 0 f : = +, g: =, K = {[ ] } f: =, g: =, K = R 0 a) A b) B6 c) C7 d) D + a) A7 b) B8 c) C d) D c 6 a), 0, 6 a < 0, + b) správné odpovědi po řádcích: NE, ANO, NE, ANO, NE, NE 7 b) =, ( ), (, ( ), ) 8 b) =, (, ), ( ), ( ), 9 a) 0 řešení b) řešení c) řešení d) nekonečně mnoho řešení Čas dojezdu k tonoucímu je 8 minut. Osobní vlak musí pustit rchlík ve stanici Svitav., > +, + Kino, nebo televize? (Funkce s absolutní hodnotou) 0 a) = 0 b) = c) = -, d) = 0 a) f: = D( f )= R H( f )= 0 ) b) f: = D( f )= R H( f )=( 0 c) f: = + D( f )= R H( f )= ) d) f: = D( f )= R H( f )= ) e) f: = D( f )= R H( f )= 0 ) f) f: = + D( f )= R H( f )= 0 ) 0 a) f: =, nulový bod = 0 D( f )= R H( f )= ), rostoucí na intervalu 0 ), klesající na intervalu ( 0, maimum nemá, minimum v bodě = 0, omezená shora není, omezená zdola d = - b) f: =, nulový bod = 0, D( f )= R H( f )= 0 ), rostoucí na intervalu 0, ), klesající na intervalu ( 0,, maimum nemá, minimum v bodě = 0,, omezená shora není, omezená zdola d = 0 c) f: =, nulový bod = D( f )= R H( f )=( 0, rostoucí na intervalu (, klesající na intervalu ), maimum v bodě =, minimum nemá, omezená shora h = 0, omezená zdola není d) f: =, nulový bod = D( f )= R H( f )= 0 ), rostoucí na intervalu ), klesající na intervalu (, maimum nemá, minimum v bodě =, omezená shora není, omezená zdola d = 0 0 a) D( f )= R H( f )= ), prostá NE, sudá ANO, lichá NE, konstantní na intervalu žádném, rostoucí na intervalu 0 ), klesající na intervalu ( 0, maimum nemá, minimum v bodě = 0, omezená shora není, omezená zdola d = - b) D( f )= R H( f )= ), prostá NE, sudá NE, lichá NE, konstantní na intervalu žádném, rostoucí na intervalu ), klesající na intervalu (, maimum nemá, minimum v bodě =, omezená shora není, omezená zdola d = - c) D( f )= R H( f )=(, prostá NE, sudá NE, lichá NE, konstantní na intervalu ), rostoucí na intervalu (, klesající na intervalu žádném, maimum v bodě ), minimum nemá, omezená shora h =, omezená zdola není Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední škol. díl: Funkce I

3 Kvadratická funkce Oblouk zvaný parabola (Kvadratická funkce) 0 a) ANO b) NE c) ANO d) ANO e) NE f) NE g) ANO h) ANO i) NE j) NE 0 a), -, b) -,, 6 c) 6, -, - d) 9, -, 7 e), 0, -7 f) -, 6, 0 g) -, 6, 0 h) -6,, i), 0, 0 j) -,, 0 0 a) NE b) ANO c) ANO d) NE 0 a) ANO b) NE 0 a) C b) E c) A d) D 06 a) b =9 b) b =, c) b R d) Vhodné b neeistuje a) A b) B6 c) C d) D a) P [ 0] P [ 0] V[ 0 ] b) P [ 0] P [ 0] V[ ] c) P [ 0] P [ 0] V[ ] d) P [ 0] P [ 0] V[ 0 ] a) přiřazení v pořadí zleva doprava: f, f, f, f 6 b) průsečík grafu funkce f s osami, : P + 0 P 0 P [ 0 ], průsečík grafu funkce f s osami, : průsečík s osou neeistuje, P [ 0 ], průsečík grafu funkce f s osami, : průsečík s osou neeistuje, P [ 0 ], průsečík grafu funkce f 6 s osami, : průsečík s osou neeistuje, P 6 [ 0 ] c) V [ ] V [ ] V [ ] V 6 [ ] d) D( f )=R H( f )= ) D( f )=R H( f )= ) D( f )=R H( f )= ) D( f 6 )=R H( f 6 )=( a) V[ 0 0] b) V[ 0] c) V[ 6 7] d) V[ ] e) V[ 7] f) V[ 7] a) A6 b) B c) C d) D a) ANO b) NE c) ANO d) NE 6 a) Minimum v bodě =. b) P = P P 0 = 0 = [ 0 ] 7 a) D( f )= H( f )=, rostoucí na intervalu - 0, klesající na intervalu 0, maimum v bodě = 0, minimum v bodě = -, =, omezená shora ANO, omezená zdola ANO, omezená ANO, prostá NE, sudá ANO, lichá NE b) D( f )=( ) H( f )= ), rostoucí na intervalu ), klesající na intervalu (, maimum nemá, minimum v bodě = -, omezená shora ANO, omezená zdola ANO, omezená ANO, prostá NE, sudá NE, lichá NE 8 a) NE b) ANO c) ANO d) NE 9 f: = 0 b) f: = 0, c) f: = + a) f: = b) P f, Q f c) P [ 0 0] P [ 0] P [ 0 0] e) D( f )= R H( f )= ) f) V[ ] c a) V[ ] P [ 0] P [ 0] P [ 0 ] c) f: = + d) f: = + + f: = f: = 7 f: = + 8 s = t + 0t + 9 a) f: = b) K seřazení čísel je potřeba 0 výpočetních kroků. Musel se potopit? (Grafické řešení kvadratických rovnic, nerovnic a jejich soustav) 0 a) jedno řešení, K = { } b) dvě řešení, K = { } c) žádné řešení, K = 0 d) dvě řešení, K ={ 0 } 0 a) ( + ) > 0, K = ( ) ( 0 ) b) ( +, ) 0, < 0, K = ( ) c) + 0, K = d) ( + ) 0, K = R 0 a) jedno řešení, K = [ 0 ] b) dvě řešení, K = [ ] [ 0 ] c) žádné řešení, K = 0 d) dvě řešení, K = [ ] [ ] 0 b) K = { } c) K = { } d) K = 0 0 d 06 K = ( ) ( ) 07 a) K = R K = R K = 0 K = b) K = 0 K = 0 K = R K = R 08 c 09 a) D( f )=( ) b) D( f )=( ) 0 a) K = [ ] [ ] b) K = [ ] c) K = [ ] d) K = 0 a) NE b) NE c) ANO d) NE K = [ 9] [ 8 ] a) Maimální teplota bla dosažena ve hodin. b) Teplota vstoupila nad bod mrazu v 6 hodin ráno. c) f: = ( ) + 9 e) tma C = 9 f) Teplota všší než 8 C bla celkem hodin. Lineární lomená funkce Chcete být milionářem? 0 a) NE b) ANO c) ANO d) NE 0 a) ANO b) NE c) NE d) NE e) ANO f) ANO 0 a) k = b) k = c) k = d) k = (Nepřímá úměrnost) 0 a) ANO b) NE c) ANO d) NE e) NE 0 a) A b) B c) C6 d) D 06 a) ANO b) ANO c) ANO d) NE e) NE f) ANO g) ANO 07 a) NE b) NE c) ANO d) ANO e) NE f) ANO g) NE h) NE i) ANO j) ANO 08 a) f: = b) P f Q f c) doplněná tabulka řádek :,, 6,, není definováno, -, -6, -, - 09 doplněná tabulka řádek : -,,, doplněná tabulka řádek :, 6 -, - 9, k = a) f: = 8 D( f )= R{ 0 } H( f )= R{ 0 }, rostoucí na intervalech ( 0), ( 0 ), klesající na intervalech není, prostá ANO, omezená NE, maimum NE, minimum NE, sudá NE, lichá ANO b) g: = 0, D( g)= R{ 0 } H( g)= R{ 0 }, rostoucí na intervalech není, klesající na intervalech Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední škol. díl: Funkce I

4 ( 0), ( 0 ), prostá ANO, omezená NE, maimum NE, minimum NE, sudá NE, lichá ANO c) h: = 0, D( h)= ( 0 ) H( h)= ( 0 ), rostoucí na intervalech není, klesající na intervalech ( 0 ), prostá ANO, omezená NE, maimum NE, minimum NE, sudá NE, lichá NE b b) f ( )= f ( 0, )= d) g: = e) g( )= g( 0, )= f) ANO D( f )= R{ 0 } H( f )=( 0 ), rostoucí na intervalu ( 0 ), klesající na intervalu ( 0 ), prostá NE, omezená NE, maimum NE, minimum NE, sudá ANO, lichá NE b 6 a) f: = 00 c) Pronájem se Patrikovi a jeho kamarádům vplatí při počtu více než 0 plavců. 7 a) V ovocném sadu je 60 stromů. b) f: = 60 d) Při účasti čtř brigádníků otrhá každý v průměru stromů, při účasti šesti brigádníků otrhá každý v průměru 0 stromů a při účasti dvanácti brigádníků otrhá každý v průměru stromů. Bohatství, nebo nic! (Lineární lomená funkce) 0 a) ANO b) NE c) NE d) ANO e) ANO f) ANO 0 a) NE b) ANO c) ANO d) NE 0 a) k =, m =, n = =, = b) k =, m =, n = =, = c) k =, m =, n = 0 =, = 0 d) k = 0, m = 0, n = 6 = 0, =6 e) k =, m = 0, n = = 0, = f) k =, m =, n = =, = 0 a) klesající na intervalech b) rostoucí na intervalech c) rostoucí na intervalech d) klesající na intervalech 0 c 06 a) A b) B c) C d) D7 07 a) =, = b) doplněná tabulka řádek :,, nedí definováno, -,,,, 7, 08 a) P 0 b) P 0 c) P P [ 0] 0 d) P 0 09 a) = + b) = + c) =, + 0, 0 a) = + P [ 0 0] =, = b) = 6 + P P [ 0] [ 0 ] =, = c) = P P + [, 0 ] [ 0 ] =, = d) = P [ ] 0 P 0 =, = a) D( f )= R{ } H( f )= R, rostoucí na intervalech není, klesající na intervalech ( ), ( ), prostá ANO, omezená NE, maimum v bodě nemá, minimum v bodě nemá b) f : =, =, = + D( f )= R{ } H( f )= R{ }, rostoucí na intervalech není, klesající na intervalech ( ), ( ), prostá ANO, omezená NE, maimum v bodě nemá, 0, minimum v bodě nemá c) f: =, =, = 0 D( f )= ) ( ) H( f )= + ( ( 8 ), rostoucí na intervalech není, klesající na intervalech ), ( ), prostá ANO, omezená NE, maimum v bodě nemá, minimum v bodě nemá a) ANO b) ANO c) NE d) NE e) ANO f) NE g) ANO h) ANO a) D( f )= R{ 0, 0} b) = 0, c) = 0, = c 6 f, : = + + Mocninná funkce (Ne)patrná odměna (Mocninná funkce s celočíselným eponentem) 0 a) ANO b) NE c) ANO d) ANO e) ANO f) NE g) NE h) ANO 0 a) D( f )=R b) D( f )=R c) D( f )=R d) D( f )= R{ } e) D( f )= R{ 0 } f) D( f )= R 0 a) ANO b) NE c) NE d) ANO 0 a) LICHÉ k Z b) SUDÉ k N c) LICHÉ k N d) SUDÉ k Z 0 a) A b) B c) C d) D 06 a) m = -, n = - D( f )=R H( f )= ), rostoucí na intervalu ), klesající na intervalu (, prostá NE, omezená shora NE, omezená zdola ANO, omezená NE, maimum nemá, minimum v bodě = -, sudá NE, lichá NE b) m =, n = - D( f )=R H( f )=R, rostoucí na intervalu ( ), klesající na intervalu není, prostá ANO, omezená shora NE, omezená zdola NE, omezená NE, maimum nemá, minimum nemá, sudá NE, lichá NE c) m = -, n = D( f )= R{ } H( f )= R{ }, rostoucí na intervalech ( ), ( ), klesající na intervalu není, prostá ANO, omezená shora NE, omezená zdola NE, omezená NE, maimum nemá, minimum nemá, sudá NE, lichá NE d) m = 0, n = 0 D( f )= R{ 0 } H( f )=( 0 ), rostoucí na intervalu ( 0 ), klesající na intervalu ( 0 ), prostá NE, omezená shora NE, omezená zdola ANO, omezená NE, maimum nemá, minimum nemá, sudá ANO, lichá NE 07 a) lichá b) sudá c) je pouze rostoucí d) je omezená zdola e) 6 f) R{ 0 } g) h) a) 8 ( ) < ( 0, 6) < ( 7) < 8 b) ( ) < ( 0 ) <( ) < 0 c a) je b) je c) nemůže d) může e) má a) - b) 6 c) - d), 0, c) < ( ) < ( ) < 6 d) ( ) < ( 0, 8) < 8 < Jak rchle padá kámen? (Inverzní funkce a funkce s odmocninou) 0 a) je b) nejsou c) eistuje d) rostoucí e) je 0 b 0 a) ANO b) NE c) NE d) ANO 0 a) ANO b) NE c) NE d) NE e) ANO f) ANO g) ANO h) NE 0 a) ANO b) NE c) ANO d) NE 06 a) NE b) ANO c) NE d) ANO e) NE f) NE g) ANO h) NE i) ANO j) NE 07 a) NE b) ANO c) ANO d) NE 08 a) A b) B 09 c Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední škol. díl: Funkce I

5 0 a) A b) B c) C d) D f: = + D( f )= H( f )= f : = + D( f ) = H( f ) =, doplněná tabulka řádek f (): , doplněná tabulka řádek f ( ) :,, 0, 0-0, - D( f )= H( R f )= R P P 0 [ 0 ], rostoucí ANO, klesající NE, prostá ANO, omezená shora NE, omezená zdola NE, omezená NE, maimum v bodě nemá, minimum v bodě nemá f : = + D( f ) = H( R f ) = R P [ ] 0 P 0, rostoucí ANO, klesající NE, prostá ANO, omezená shora NE, omezená zdola NE, omezená NE, maimum v bodě nemá, minimum v bodě nemá a) f = + D( f ) = : R b) f = + D( f ) = ) : c) f : = ( + ) D( f ) = ) a) H( f )=(, ) f : = + D( f ) = (, ) H( f ) = ( ) b) D( f )= ) H( f )= 0 ), f : = D( f ) = 0 ) f: = + D( f )= 0 ) H( f )=( P [ 0] P [ 0 ], rostoucí NE, klesající ANO, prostá ANO, omezená shora ANO, omezená zdola NE, omezená NE, maimum v bodě = 0, minimum nemá f : = D( f ) = ( H( f ) = 0 ) P [ 0] P [ 0 ], rostoucí NE, klesající ANO, prostá ANO, omezená shora NE, omezená zdola ANO, omezená NE, maimum nemá, minimum v bodě = 8 D( f )= R{ } H( f )= R 9 a) D( f )=( 0 H( f )= ) b) D( f )= ) H( f )= 0 ) c) D( f )=( H( f )= 0 ) d) D( f )= 0 ) H( f )= ) e) D( f )= ) H( f )= 0 ) f) D( f )= 0 ) H( f )=( 0 0 OP = Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední škol. díl: Funkce I

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina

Více

Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.

Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel. Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je

Více

Funkce. Obsah. Stránka 799

Funkce. Obsah. Stránka 799 Obsah 4. Funkce... 800 4.. Základní vlastnosti funkcí... 800 4.. Grafy funkcí... 8 4.. Eponenciální a logaritmické funkce... 8 4.4. Eponenciální a logaritmické rovnice... 8 4.5. Eponenciální a logaritmické

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

CZ.1.07/1.5.00/

CZ.1.07/1.5.00/ Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

(Zavedení pojmu funkce, vlastnosti. Repetitorium z matematiky

(Zavedení pojmu funkce, vlastnosti. Repetitorium z matematiky Funkce Zavedení pojmu unkce, vlastnosti unkcí,lineární, kvadratické a mocninné unkce Repetitorium z matematik Podzim 01 Ivana Medková A Zavedení pojmu unkce V odorných a přírodovědných předmětech se často

Více

( ) Opakování vlastností funkcí. Předpoklady:

( ) Opakování vlastností funkcí. Předpoklady: .. Opakování vlastností funkcí Předpoklad: Pedagogická poznámka: Tato hodina je zamýšlená jako první, druhá ve třetím ročníku. Podle toho, které úkol necháte student řešit, může trvat jednu až dvě vučovací

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce

KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE . LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE Dovednosti:. Lineární funkce. -Vědět, že je vyjádřena předpisem f: y = a + b, a znát geometrický význam konstant a,b. -Umět přiřadit proměnné její

Více

6. F U N K C E 6.1 F U N K C E. Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ RNDr. Milada Hudcová, Mgr. Libuše Kubičíková 181/1 190/24 25

6. F U N K C E 6.1 F U N K C E. Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ RNDr. Milada Hudcová, Mgr. Libuše Kubičíková 181/1 190/24 25 6. F U N K C E 6.1 F U N K C E Funkce (definice, značení) Způsoby zadání funkce (tabulka, funkční předpis, slovní popis, graf) 181/1 190/24 25 80/1 2 82/3 6.2 D E F I N I Č N Í O B O R, O B O R H O D N

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

KVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,

KVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí, KVADRATICKÉ FUNKCE Definice Kvadratická funkce je každá funkce na množině R (tj. o definičním ooru R), daná ve tvaru y = ax + x + c, kde a je reálné číslo různé od nuly,, c, jsou liovolná reálná čísla.

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

2.4.7 Omezenost funkcí, maximum a minimum

2.4.7 Omezenost funkcí, maximum a minimum ..7 Omezenost funkcí, maimum a minimum Předpoklady: 03, 0 Př. : Nakresli vedle sebe grafy funkcí: y =, y =, y3 =. Urči jejich obory hodnot. f - - - - - - - - - - - - H ( f ) = R H ( f ) = ; ) H ( f ) =

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Exponenciální funkce. Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí. Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr.

Exponenciální funkce. Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí. Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr. Exponenciální funkce Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí y = a x Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr. Definičním oborem exponenciální funkce je tedy množina

Více

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 1. Elementární funkce 1.2. Přehled elementárních funkcí 2 Lineární funkce - je každá funkce na množině R, která je dána ve tvaru y = a.x + b, kde a,b R. Pokud

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Ukázka závěrečného testu

Ukázka závěrečného testu Okruhy otázek pro závěrečný test ) Vlastnosti funkce ) Graf funkce ) Definiční obor funkce ) imita funkce ) Derivace funkce 6) Užití derivace 7) Matice 8) Řešení soustavy lineárních rovnic 9) Určitý integrál

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:

Více

Očekávaný výstup Procvičení úloh učiva funkce Speciální vzdělávací žádné

Očekávaný výstup Procvičení úloh učiva funkce Speciální vzdělávací žádné Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/21.3763 Autor Ing. Renata Dupalová Datum 16. 8. 2014 Ročník 9. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace Vzdělávací obor Matematika

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Mocninné funkce Autor: Pomykalová Eva

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem

4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem 4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly

Více

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

SBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla.

SBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla. Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat Přírozená čísla Číselné obory Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Základní poznatky Teorie množin Výroková logika Mocniny a odmocniny Množiny Vennovy diagramy

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Exponenciální funkce teorie

Exponenciální funkce teorie Eponenciální funkce teorie Eponenciální funkce je dána rovnicí f : = a, a ( 0,) (, ) Poznámka: pokud bchom připustili a =, vznikla b funkce konstantní pokud bchom připustili a < 0, nebla b funkce definována

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

2. FUNKCE Funkce 31

2. FUNKCE Funkce 31 Základ matematik FUNKCE 0 Základní vlastnosti Ohraničená a neohraničená funkce Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající Prostá funkce Sudá a lichá funkce 7 Periodická funkce 9 Inverzní funkce 0

Více

8.2 GRAFY LINEA RNI CH LOMENY CH FUNKCI

8.2 GRAFY LINEA RNI CH LOMENY CH FUNKCI 8.2 GRAFY LINEA RNI CH LOMENY CH FUNKCI Počítáme s Jindrou Petákovou 8 Francl Pavel Obsah Příklad č. 9... 2 a)... 2 b)... 3 c)... 4 d)... 5 e)... 6 g)... 8 h)... 9 i)... 10 j)... 11 k)... 12 l)... 13 Příklad

Více

Polynomy a racionální lomené funkce

Polynomy a racionální lomené funkce Polnom a racionální lomené funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Polnom Definice a základní pojm Násobnost kořene Počet kořenů Kvadratický polnom Rozklad na součin kořenových

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných

Více

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou

Více

a základ exponenciální funkce

a základ exponenciální funkce Předmět: Ročník: Vtvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. červenec 0 Název zpracovaného celku: EXPONENCIÁLNÍ A LOGARIMICKÁ FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Eponenciální unkce o základu a je každá

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu. Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: VY_4_INOVACE_MA_ Název sady DUM: Funkce a rovnice I. Název a adresa školy: Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90, 549 3 Hronov Registrační číslo projektu: Číslo

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

f jsou osově souměrné podle přímky y = x. x R. Najdi

f jsou osově souměrné podle přímky y = x. x R. Najdi Nechť je prostá unkce v pořád klesá) a zobrazuje D na H deinovaná vztahem: D = a) b) Gra unkcí a H, H = D INVERZNÍ FUNKCE D (tj. v celém svém deiničním oboru pořád roste nebo. Pak k této unkci eistuje

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

Zkvalitnění výuky využitím ICT technologií CZ.1.07/1.5.00/ Matematika a její aplikace. Matematika. Závislosti a funkční vztahy

Zkvalitnění výuky využitím ICT technologií CZ.1.07/1.5.00/ Matematika a její aplikace. Matematika. Závislosti a funkční vztahy Název projektu Registrační číslo Název sady DUM Vzdělávací oblast Vzdělávací obor Tematická oblast Zkvalitnění výuky využitím ICT technologií CZ.1.07/1.5.00/34.0099 VY_32_INOVACE_SADA.08.KO.MAT Matematika

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Funkce. Mocninné funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště.

Funkce. Mocninné funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště. Funkce Mocninné funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 2012-14 Obsah Mocninné funkce 1 Mocninné funkce mocninné funkce s celým kladným mocnitelem mocninné

Více

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY Studijní obor: 23-41 - M/01 Strojírenství Zaměření: Předmět: Matematika Ročník: 1. Počet hodin 4 Počet hodin celkem: 136 týdně: Tento plán vychází z Rámcového vzdělávacího programu

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

Šablona pro zadávání otázek pro přijímací řízení pro akademický rok 2009/2010

Šablona pro zadávání otázek pro přijímací řízení pro akademický rok 2009/2010 Šablona pro zadávání otázek pro přijímací řízení pro akademický rok 00/010 Zadavatel: Ekonomický přehled: kód 1 Matematické myšlení: kód Společensko historický přehled: kód Zadejte kód místo x do níže

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.

Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo. Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ..07/.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KVADRATICKÁ

Více

Nepřímá úměrnost I

Nepřímá úměrnost I .. Nepřímá úměrnost I Předpoklady: 000 Př. : Která z následujících slovních úloh popisuje nepřímou úměrnost? Zapiš nepřímou úměrnost jako funkci. a) 7 rohlíků stojí Kč. Kolik bude stát rohlíků? b) Pokud

Více

2.8.6 Parametrické systémy funkcí

2.8.6 Parametrické systémy funkcí .8.6 Parametrické sstém funkcí Předpoklad:, 0,, 50, 60 Stejně jako parametrická rovnice zastupuje mnoho rovnic najednou, parametrick zadaná funkce zastupuje mnoho funkcí. Pedagogická poznámka: Názornost

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY STŘEDNÍ P RŮMYSLOVÁ ŠKOLA, Praha 10, Na Třebešíně 22 TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY Studijní obor: 18 20 M/01 Informační technologie Zaměření: Předmět: Matematika Ročník: 2. Počet hodin 3 Počet hodin celkem: 102

Více

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Kvarta 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více