10 ODHADY PARAMETRŮ ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Čas ke studiu kapitoly: 90 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "10 ODHADY PARAMETRŮ ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Čas ke studiu kapitoly: 90 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete:"

Transkript

1 0 ODHADY ARAMETRŮ ZÁKLADNÍHO OUBORU Čas ke sudiu kaioly: 90 miu Cíl: o rosudováí ohoo odsavce budee: roumě ojmům: bodový odhad iervalový odhad á vlasosi bodového odhadu umě kosruova iervalové odhady ro vybraé aramery ormálího roděleí: sředí hodou royl směrodaou odchylku relaiví čeos (odíl) rodíl dvou sředích hodo a rodíl relaivích čeosí (odílů)

2 Výklad: 0. Základí soubor výběrový soubor Náhodou veličiu jejíž hodoy ři realiaci áhodého okusu oorujeme můžeme osa omocí růých číselých charakerisik (v souvislosi s áhodou veličiou hovoříme časěji o aramerech ákladího souboru (oulace) oř. o aramerech roděleí áhodé veličiy). K aramerům ákladího souboru aří: sředí hodoa μ royl σ směrodaá odchylka σ relaiví čeos π ad aramery oulace jsou kosaí hodoy (ro určiou áhodou veličiu). Ve výběrovém souboru (výběru e ákladího souboru (oulace)) le ají říslušé roějšky arameru oulace. Říká se jim výběrové charakerisiky a jejich hodoy se měí odle akuálího výběru. řehled ejoužívaějších aramerů oulace a říslušých výběrových charakerisik včeě jejich ačeí je uvede v ásledující abulce: Základí soubor (oulace) Výběrový soubor (výběr) sředí hodoa μ (E) růměr royl σ výběrový royl s směrodaá odchylka σ výběrová směrodaá odchylka s odíl (relaiví čeos) π výběrová relaiví čeos Z ravděodobosího hlediska mají výběrové charakerisiky charaker áhodých veliči (a ákladě růosi jedolivých výběrů ele hodoy výběrových charakerisik urči ředem). Každá výběrová charakerisika má edy svoje roděleí ravděodobosi keré se aývá výběrové roděleí. Záme-li výběrové roděleí dokážeme odhadou říslušý aramer ákladího souboru. růvodce sudiem Nyí se okusíme výše uvedeou ermiologii rooji s raí. Na ásledujícím kokréím říkladu se okusíme ukáa rodíl mei výběrem (aramery výběru) a oulací (aramery oulace). Dále bychom si a omo říkladu měli ujasi roč ořebujeme aramery oulace odhadova: Mějme ař. deí rodukci yčí (o daém růměru) ocelářské firmy ocelových yčí. Naším cílem je urči sředí hodou ažosi ěcho yčí. oulace je v omo říadě vořea všemi yčemi deí rodukce a sředí hodoa ažosi je jede aramerů éo oulace. Je řejmé že ožadovaý úkol je eřešielý

3 k jeho slěí bychom museli urči ažos všech yčí (desrukiví kouška) a aměřeých hodo urči růměr. To je v rai erovedielé. Jedié možé řešeí je okusi se o odhad ohoo arameru. Jesliže vybereme áhodě aříklad 0 yčí (0 yčí můžeme oběova ) a určíme jejich růměrou ažos určujeme růměr a je řejmé že jeho hodoa ávisí a kokréím výběru (vybereme-li jiých 0 yčí jejich růměrá ažos bude jiá ež v ředcháejícím říadě). růměr je výběrovou charakerisikou deí rodukce yčí a je edy áhodou veličiou. roo mu můžeme řiřadi ějaké roděleí (vi. Limií věy). Záme-li roděleí růměru můžeme vyváře růé úsudky o sředí hodoě. Nař. dokážeme urči jaká je ravděodobos že sředí hodoa leží v ámi voleém iervalu. Výklad: 0. Bodový a iervalový odhad V éo odkaiole se dovíe jak a ákladě alosi výběrového souboru (a jeho charakerisik) ají co ejleší odhad aramerů ákladího souboru. Nejdříve si musíme ujasi co si od ojmem ejleší odhad ředsavujeme. Z meodického hlediska oužíváme dva yy odhadů aramerů: a bodový odhad kdy aramer ákladího souboru aroimujeme jediým číslem iervalový odhad kdy eo aramer aroimujeme iervalem v ěmž s velkou ravděodobosí daý aramer leží O om kerý výše uvedeých odhadů oužijeme rohoduje kokréí siuace v íž se acháíme. okud ořebujeme hledaý aramer vyjádři jediou hodoou (věšiou v říadech kdy jej budeme oužíva v dalších výočech) oužijeme bodový odhad. ořebujeme-li řesější odhad oužijeme iervalový odhad. že ajdeme v. ierval solehlivosi. Ierval solehlivosi (kofidečí ierval) je ierval v ěmž hledaý aramer leží s daou ravděodobosí. Téo ravděodobosi se říká solehlivos odhadu. říklad: 90%-í ierval solehlivosi ro sředí hodou je ierval v ěmž sředí hodoa leží s ravděodobosí 90%. Je řejmé že čím vyšší solehlivos odhadu ožadujeme ím širší ierval solehlivosi bude (hledaá hodoa se v ěm musí acháe s vyšší ravděodobosi). Bohužel o však ubírá a jeho vyovídací schoosi jeho výamos klesá. (Uvědome si jaká je vyovídací schoos iformace že růměrý věk všech lidí a emi leží se 00%-í solehlivosí v iervalu (0; 4) le.) roo v rai vždy hledáme komromis mei solehlivosí a výamosí

4 Oačíme-li solehlivos odhadu (-α) ak α se aývá hladiou výamosi. rosoucí solehlivosi odhadu klesá hladia výamosi. V echické rai se solehlivos odhadu se volí ejčasěji 95% ebo 99% (hladia výamosi edy bývá 5% ebo %). ři kosrukci bodových a iervalových odhadů budeme oužíva ásledující ojmy: Nechť máme áhodý výběr (... ) roděleí s disribučí fukcí F(θ) s eámým aramerem θ. Možiu všech uvažovaých hodo arameru θ aýváme aramerický rosor. aisiku ˆ =T(... ) kerá bude slouži ro účely odhadu eámého arameru θ budeme aýva odhadem arameru θ její oorovaou hodou ak bodovým odhadem θ. 0.3 Vlasosi dobrého bodového odhadu Dobrý (věrohodý) odhad musí slňova určié vlasosi. Mei ákladí vlasosi věrohodých odhadů aří: esraos (evychýleos ekresleos) vydaos (eficiece) koisece dosaečos 0.3. Nesraý odhad Řekeme že odhad je esraý jesliže se jeho sředí hodoa rová hledaému arameru ( E ˆ ). Zameá o že eo odhad sysemaicky eadhodocuje ai eodhodocuje odhadovaý aramer. labší formou esraosi je asymoická esraos. Říkáme že odhad je asymoicky esraý okud: lim Eθˆ θ říklady esraých odhadů: je esraým odhadem sředí hodoy (limií věy) Výběrová relaiví čeos je esraým odhadem relaiví čeosi (odílu) π V říadě áhodého výběru ormálího roděleí je výběrový royl s esraým odhadem roylu Je řeba říci že eisuje moho dobrých odhadů keré ejsou esraé Vydaý (eficieí) odhad Nesraos sama o sobě earučuje že je odhad dobrý. Rádi bychom dosáhli aké oho aby bodové odhady byly roložey co ejěsěji kolem odhadovaého arameru. okud budeme mí dva esraé odhady ˆ a ˆ vybereme si e kerý bude mí meší royl. Tao vlasos se aývá vydaos (eficiece)

5 Jesliže ro dva esraé odhady ˆ a ˆ laí D ˆ ˆ D oom je relaiví eficiece odhadu ˆ vhledem k odhadu ˆ dáa odílem D ˆ ˆ D což je číslo mei 0 a. Nesraý odhad jehož royl je ejmeší mei všemi esraými odhady říslušého arameru se aývá ejleší esraý (eficieí) odhad. říklady ejleších esraých odhadů: je ejleším esraým odhadem sředí hodoy (limií věy) Výběrová relaiví čeos je ejleším esraým odhadem rel. čeosi (odílu) π V říadě áhodého výběru ormálího roděleí je výběrový royl s ejleším esraým odhadem roylu Koiseí odhad Další žádoucí vlasosí dobrého odhadu je koisece. Odhad je koiseí okud se s rosoucím rosahem výběru () řesňuje k čemuž docháí okud: a) ˆ je asymoicky esraý j. E ˆ b) lim Dˆ 0 Vlasos b) říká že se s rosoucím (rosahem výběru) roděleí ˆ užuje kolem hledaého arameru. říklady koiseích odhadů: je koiseím odhadem sředí hodoy roože D 0 ro Výběrová relaiví čeos je koiseím odhadem rel. čeosi (odílu) π roože D 0 ro Dosaečý (osačující) odhad Odhad arameru je dosaečý jesliže obsahuje veškerou iformaci o sledovaém arameru kerou může výběrový soubor oskyou. Zameá o že žádý jiý aramer eobsahuje věší možsví iformace o výběrovém souboru. říklady dosaečých odhadů: je dosaečým odhadem sředí hodoy roože ro jeho výoče jsou oužiy všechy hodoy výběrového souboru (ese ejvěší iformaci sroveje aříklad s mediáem) Výběrová relaiví čeos je koiseím odhadem rel. čeosi (odílu) π roože ro její výoče jsou oužiy všechy hodoy výběrového souboru - 4 -

6 0.3.5 Chyba bodového odhadu Bodový odhad je áhodá veličia. I v říadě kdy bude bodový odhad slňova všechy výše uvedeé ožadavky je řejmé že jeho hodoa vyočea a ákladě jedoho výběru bude odlišá od skuečé hodoy arameru oulace. Důsledkem éo odlišosi je v. výběrová chyba ˆ kerá určuje velikos chyby ři odhadu a ákladě jedoho výběrového souboru. Je-li bodový odhad ˆ ekresleým odhadem arameru θ ak měříkem řesosi odhadu je jeho směrodaá odchylka D ˆ ro íž se časo oužívá áev sředí chyba. ředí chyba udává růměrou chybu odhadů určeých růých výběrových souboru daého rosahu. 0.4 Kosrukce iervalových odhadů V rakických alikacích časěji určujeme odhad říslušého arameru omocí iervalového odhadu. Teo odhad je rereeová iervalem (T D ; T H ) v ěmž hledaý aramer leží s ředem určeou ravděodobosí (solehlivosí) kerou oačujeme (-α). Iervaly solehlivosi kosruujeme jako jedosraé (důležiá je oue jeda me odhadujeme-li aříklad délku živoa ějakého aříeí je ro ás důležiá oue dolí me) ebo dvousraé Jedosraé iervaly solehlivosi U jedosraých iervalů se udává oue dolí me (T D ) ebo oue horí me (T H ) odhadu. Je-li dáa oue dolí me odhadu T D (T H = ) mluvíme o levosraém iervalu solehlivosi a laí ro ěj: T D Ierval T D ; se ak aývá 00.(-α)%-í levosraý ierval solehlivosi ro aramer θ. Je-li dáa oue horí me odhadu T H (T D = - ) mluvíme o ravosraém iervalu solehlivosi a laí ro ěj: T H Ierval ;T H se ak aývá 00.(-α)%-í ravosraý ierval solehlivosi ro aramer θ Obousraý ierval solehlivosi Zajímají-li ás obě mee odhadu (dolí i horí) kosruujeme obousraý ierval solehlivosi. Věšiou yo mee určujeme ak aby lailo že ravděodobos že aramer oulace leží od dolí meí byla sejá jako ravděodobos že leží ad horí meí a byla rova α/:

7 Tyo dvě odmíky aručují že: ( T D ) T ( T D TH ) H Ierval T ) se ak aývá 00.(- ) %-í ierval solehlivosi ro aramer θ. ( D TH Obecé meody kosrukce iervalů solehlivosi jsou ačě áročé. ro aše účely se omeíme a iervaly solehlivosi ro aramery ormálího roděleí keré jsou dobře rokoumaé (i roo se ak časo sekáme s ožadavkem a ormaliu racovávaých da). V říadě že ákladí soubor emá ormálí roděleí musíme řisoui k v. earamerickým meodám odhadu (y však ejsou obsahem ěcho maeriálů). 0.5 Ierval solehlivosi ro sředí hodou Nejleším (esraým vydaým koiseím a dosaečým) bodovým odhadem sředí hodoy μ je růměr. Nyí si ukážeme jak ají iervalový odhad sředí hodoy Odhad sředí hodoy μ áme-li směrodaou odchylku σ ředokládejme že sledovaá áhodá veličia má ormálí roděleí jehož royl σ áme. Zvolme výběrový soubor daé oulace. Nechť má eo výběrový soubor rosah a růměr. Využijeme oaku o asymoickém roděleí růměru (vi. Lidebergova-Lévyho věa (ka. 7.4.)). Víme že ro dosaečě velký rosah výběru je roděleí růměru asymoicky ormálí se sředí hodoou μ a roylem σ /: N ; Defiujeme-li áhodou veličiu Z jako: Z víme že Z má ormovaé ormálí roděleí: Z N0; Nechť a jsou 00. %-í a 00. %-í kvaily ormovaého ormálího roděleí. ak můžeme vrdi že: Z

8 růvodce sudiem: Úravou ohoo vahu ři využií vlasosi symerie ormovaého ormálího roděleí ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: Obdobě bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: Všiměe si že s rosoucím rosahem áhodého výběru () šířka iervalu klesá akže se odhad řesňuje (ři kosaí solehlivosi). Naoak ři kosaím rosahu výběru se s rosoucí solehlivosí šířka iervalu věšuje. Výše uvedeé iervalové odhady oužíváme eje v říadech kdy áme směrodaou odchylku σ ale i v říadech kdy máme dosaečě velký výběr 30 a směrodaou odchylku σ eáme. V ěcho říadech le ve výše uvedeých vorcích ahradi směrodaou odchylku σ výběrovou směrodaou odchylkou s aiž by ím vikla výamá chyba. (vi. 8.5.) V omo růvodci sudiem ajdee odrobé odvoeí obousraého iervalu solehlivosi ro sředí hodou (áme-li σ):

9 Výklad: 0; ; Z F F Z N Z Z 0.5. Odhad sředí hodoy μ eáme-li směrodaou odchylku σ V rai se věšiou sekáváme s ím že směrodaou odchylku σ eáme. okud emáme ai dosaečý rosah výběru 30 emůžeme ouží výše odvoeé iervaly solehlivosi ro sředí hodou. Je i v akovém říadě možé ají iervalový odhad sředí hodoy? ohledem a adáí vememe oě vhodé výběrové roděleí eď o bude akové keré eobsahuje σ a řiom ěj můžeme íska ierval solehlivosi ro μ: kaioly 6.0. víme že áhodá veličia defiovaá jako. T má udeovo roděleí s (-) sui volosi. T Z oho lye že můžeme asa ásledující ravděodobos:

10 Řešeý říklad: ) ( T ) ( kde ; jsou říslušé kvaily udeova roděleí s - sui volosi. Úravou ohoo vahu ři využií vlasosi symerie udeova roděleí ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: Obdobě bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: Víme že ro (vysoký oče suňů volosi v rai ro 30) se udeovo roděleí blíží ormovaému ormálímu roděleí. ro 30 edy můžeme kvaily udeova roděleí ahradi kvaily ormovaého ormálího roděleí a ak vahy ro určeí iervalů solehlivosi sředí hodoy v říadě eámé směrodaé odchylky řecháejí ve vahy ro určeí iervalů solehlivosi sředí hodoy v říadě ámé směrodaé odchylky v ichž směrodaou odchylku aroimujeme výběrovou směrodaou odchylkou. Úvar koroly odiku Ediso esoval živoos žárovek. Koroloři vybrali rodukce odiku áhodě 50 žárovek a došli k ávěru že růměrá doba živoa ěcho 50-i žárovek je 950 hodi a říslušá výběrová směrodaá odchylka doby živoa je 00 hodi. Určee 95%- í ierval solehlivosi živoosi žárovek firmy Ediso.

11 Řešeí: Chceme ají 95%-í ierval solehlivosi ro sředí hodou živoosi žárovek firmy Ediso řičemž eáme směrodaou odchylku živoosi ěcho žárovek. Máme k disoici iformace ocháející výběru o rosahu 50 žárovek j. rosah výběru je vyšší ež 30 a roo k aleeí říslušého iervalového odhadu můžeme ouží ásledující vah (jde o iervalový odhad sředí hodoy ro ámé σ kde jsme oložili σ=s) : olehlivos iervalového odhadu: 0 95 Hladia výamosi: ; (vi. Tabulka ) 0975 Výběrový soubor: 950 hodi 00 hodi Dosadíme: o úravě dosáváme: T. že s 95%-í solehlivosí můžeme vrdi že živoos žárovek firmy Ediso se ohybuje v romeí 9 hodi 8 miu až 977 hodi 4 miu. Řešeý říklad: Obchodí řeěec TETO si v dubu 006 adal sudii ýkající se oču ákaíku v rodejě TETO oruba v áek odolede (od :00 do 8:00) hodi. o jedom měsíci sledováí rodejy jsme ískali yo údaje: Daum oče ákaíků v TETO oruba (:00-8:00) hodi a) Objasěe roč jsme eískali výběrový soubor o rosahu alesoň 30 hodo a jaké jsou důsledky volby výběru o malém rosahu

12 b) Určee ro maagme řeěce TETO 95%-í ierval solehlivosi oču ákaíku v rodejě TETO oruba v áek odolede. Řešeí: ada) adb) ro ískáí výběru o rosahu miimálě 30 hodo bychom museli daou rodeju sledova miimálě 30 áku (j. déle ež ůl roku) což by vedlo jedak k výšeí fiačí áročosi sudie jedak bychom museli dlouho čeka a výsledky. Z ěcho důvodu jsme volili meší rosah výběru (=5) odovídající měsíčímu sledováí rodejy. Nevýhodou malého rosahu výběru je íká řesos odhadu (oměrě široký ierval). Určujeme iervalový odhad sředí hodoy s eámou směrodaou odchylkou a malým rosahem výběru roo ro jeho výoče oužijeme ásledující vah: s s olehlivos iervalového odhadu: 0 95 Hladia výamosi: ; (vi. Tabulka ) Výběrový soubor: 5 i i s i i s Dosadíme: o úravě dosáváme: T. že s 95%-í solehlivosí můžeme vrdi že ávšěvos TETO oruba se v libovolý áek v odoledích hodiách bude ohybova v romeí 88 až 453 ákaíků

13 Výklad: 0.6 Ierval solehlivosi ro royl Nejleším (esraým vydaým koiseím a dosaečým) bodovým odhadem roylu σ je výběrový royl s. Iervalový odhad roylu σ se hledá jiak v říadě že áme sředí hodou oulace (ákladího souboru) a jiak když uo sředí hodou eáme. roože alos sředí hodoy μ ři ealosi roylu σ eí říliš reálá omeíme se oue a druhý říad. ředokládejme že sledovaá áhodá veličia má ormálí roděleí. Zvolme výběrový soubor daé oulace. Nechť má eo výběrový soubor rosah a výběrový royl s. Z vlasosí roděleí Chí-kvadrá (ka. 6.9) víme že defiujeme-li si áhodou veličiu χ jako: ak má ao áhodá veličia roděleí Chí-kvadrá s (-) sui volosi: Z oho lye že můžeme asa ásledující ravděodobos: ) ( ) ( kde ; jsou říslušé kvaily χ roděleí s - sui volosi. Úravou ohoo vahu (oor roděleí χ eí symerické) ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: Obdobě bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu:

14 - 5 - Řešeý říklad: 0.7 Ierval solehlivosi ro směrodaou odchylku Nejleším (esraým vydaým koiseím a dosaečým) bodovým odhadem směrodaé odchylky σ je výběrová směrodaá odchylka s. Iervalový odhad směrodaé odchylky σ ajdeme sado uvědomíme-li si že směrodaá odchylka je odmociou roylu. ačí edy uravi iervalové odhady ro royl. Oě ředokládejme že sledovaá áhodá veličia má ormálí roděleí. Zvolme výběrový soubor daé oulace. Nechť má eo výběrový soubor rosah a výběrovou směrodaou odchylku s. Obousraý ierval solehlivosi určíme jako: Obdobě je levosraý ierval solehlivosi vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: Auoma vyrábí ísové kroužky o daém růměru. ři korole kvaliy bylo áhodě vybráo 80 kroužků a vyočea směrodaá odchylka jejich růměru 004mm. Odhaděe 95%-í levosraý ierval solehlivosi ro royl a směrodaou odchylku růměru ísových kroužků.

15 Řešeí: Nejdříve ajdeme 95%-í levosraý ierval solehlivosi ro royl. ro jeho aleeí oužije ásledující vah: olehlivos iervalového odhadu: (vi. Tabulka 3) 095; 79 Výběrový soubor: mm = 80 o dosaeí: Jedoduchou úravou ak ískáme 95%-í levosraý ierval solehlivosi ro směrodaou odchylku: %-í solehlivosí edy můžeme vrdi že royl růměru ísových kroužků je věší ež.0-3 mm (res. že s 95%-í solehlivosí je směrodaá odchylka růměru ísových kroužků věší ež mm). Výklad: 0.8 Ierval solehlivosi ro relaiví čeos (odíl) Nejleším (esraým vydaým koiseím a dosaečým) bodovým odhadem relaiví čeosi π je výběrová relaiví čeos. Jsou-li slěy odmíky Moivreovy-Lalaceovy věy ( 30 áme roděleí relaiví čeosi (odílu) (vi. ka. 7.5.): Je-li áhodá veličia defiováa jako: oř. 9 ) ak - 5 -

16 ak má áhodá veličia ormovaé ormálí roděleí: 0; N Nechť a jsou 00. %-í a 00. %-í kvaily ormovaého ormálího roděleí. ak můžeme vrdi že: Úravou ohoo vahu ři využií vlasosi symerie ormovaého ormálího roděleí ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: Uvážíme-li že ro dosaečě velké výběry můžeme relaiví čeos aroimova výběrovou relaiví čeosí (vi. Beroulliho věa) můžeme vrdi že: Obdobě bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu:

17 Řešeý říklad: ři korole daa sořeby určiého druhu masové koervy ve skladech roduků masého růmyslu bylo áhodě vybráo 30 koerv a jišěo že 59 ich má rošlou áručí lhůu. aove 95% ierval solehlivosi ro odhad rocea koerv s rošlou áručí lhůou. Řešeí: ro aleeí 95%-ího iervalu solehlivosi ro relaiví čeos oužijeme ásledující vah: olehlivos iervalového odhadu: 0 95 Hladia výamosi: ; (vi. Tabulka ) Výběrový soubor: o dosaeí: %-í solehlivosí můžeme vrdi že mei masovými koervami se v daém skladu acháí mei 38% a % koerv s rošlou áručí lhůou

18 Výklad: 0.9 Rosah výběru Ješě řed ahájeím výběrového šeřeí musíme saovi velikos výběrového souboru. Ukáali jsme si že velikos výběru má římý vliv a řesos odhadu aramerů ákladího souboru: čím věší rosah výběru ím řesější je iervalový odhad. V řešeém říkladu věovaém sudii ro obchodí řeěec TETO jsme si však aké ukáali že ekoomické a časové důvody ás mohdy uí voli rosah výběru co ejmeší. V rai roo hledáme komromis kerý ro ožadovaou řesos výoču ovede k co ejmešímu rosahu výběru. ožadovaou řesos výoču vyjadřujeme omocí v. maimálí říusé chyby odhadu Δ. Jde o hodou o kerou jsme ochoi se mýli oroi skuečé hodoě odhadovaého arameru ři daé solehlivosi odhadu (hladiě výamosi). říusá chyba odhadu je rova oloviě šířky obousraého iervalu solehlivosi Rosah výběru ři odhadu sředí hodoy Obdobě jako ři hledáí iervalu solehlivosi ro sředí hodou musíme i de roliši dva říady: siuaci kdy áme směrodaou odchylku oulace a siuaci kdy uo směrodaou odchylku eáme. a) Záme σ Obousraý iervalový odhad je dá vahem: říslušý iervalový odhad edy můžeme vyjádři ve varu: ; olovia šířky obousraého iervalu solehlivosi a edy říusá chyba odhadu Δ je: ožadujeme-li aby říusá chyba odhadu Δ dosahovala ři daé solehlivosi odhadu maimálě určié říusé hodoy ak rosah výběru určíme jako fukci éo chyby:

19 b) Neáme σ Obdobě jako v ředcháejícím říadě bychom mohli ukáa že říusá chyba odhadu je: s říusá chyba odhadu je v omo říadě eje fukcí hladiy výamosi a rosahu výběru ale ávisí aké a výběrové směrodaé odchylce kerou v říadě že ješě emáme saoveý výběr eáme. Její hodou edy musíme odhadou. Obvykle se a ímo účelem rovádí v. ředvýběr j. výběr o malém rosahu ěhož vyočeme výběrovou odchylku s kerou ovažujeme a odhad výběrové směrodaé odchylky s. ak určíme miimálí rosah výběru úravou říslušého vahu: s s o jišěí ožadovaého rosahu ak sačí doli ředvýběr o chybějících (- ) rvků a iervalový odhad ak rovés výběru o rosahu Rosah výběru ři odhadu relaiví čeosi (odílu) Obousraý ierval solehlivosi je dá jako: ; olovia šířky obousraého iervalu solehlivosi a edy říusá chyba odhadu Δ je: Vidíme že říusá chyba odhadu ávisí eokrá a výběrové relaiví čeosi kerou eáme. Nemáme-li žádé iformace o výběrové relaiví čeosi můžeme dále osuova dvěma ůsoby:

20 a) rovedeme ředvýběr ěhož vyočeme výběrovou relaiví čeos kerou ovažujeme a odhad výběrové relaiví čeosi. ak určíme miimálí rosah výběru úravou říslušého vahu: o jišěí ožadovaého rosahu ak sačí doli ředvýběr o chybějících (- ) rvků a iervalový odhad ak rovés výběru o rosahu. b) Druhou možosí je odhadou výběrovou relaiví čeos ejhorší možou variaou j. maimálí hodoou roylu.(-) keré je dosažeo ro = 05. Řešeý říklad: Výběrovým šeřeím bychom chěli odhadou růměrou mdu racovíků určiého výrobího odvěví. Z vyčerávajícího šeřeí keré robíhalo řed ěkolika měsíci víme že směrodaá odchylka med byla 750-Kč. Odhad chceme rovés s 95% solehlivosi a jsme ochoi řiusi maimálí chybu ve výši 50-Kč. Jak velký musíme rovés výběr abychom ajisili ožadovaou řesos a solehlivos? Řešeí: Chceme odhadou rosah výběru ro iervalový odhad sředí hodoy áme-li směrodaou odchylku σ (vyčerávající šeřeí = koumáí celého ákladího souboru (oulace)) ( Tabulka) Kč 50 Kč Rosah výběru odhademe v omo říadě odle vahu:

21 o dosaeí: Chceme-li dosáhou říusé chyby ve výši maimálě 50- Kč musíme ro aleeí 95%- ího iervalového odhadu rovés výběrové šeřeí a souboru o rosahu miimálě 865 racovíků. Výklad: Na ávěr éo kaioly si ješě ukážeme jak ají iervalové odhady ro rodíl sředích hodo dvou oulací a ro rodíl relaivích čeosí dvou oulací. 0.0 Iervalový odhad ro rodíl sředích hodo dvou oulací Obdobě jako u odhadu sředí hodoy jedé oulace musíme i v omo říadě roliši siuace kdy áme a kdy eáme směrodaé odchylky Iervalový odhad ro rodíl sředích hodo dvou oulací áme-li jejich směrodaé odchylky σ a σ ředokládejme že sledovaé áhodé veličiy a mají ormálí roděleí jejichž royly σ a σ áme. Zvolme výběrové soubory daých oulací. Nechť mají yo výběrové soubory rosahy a a růměry a. Defiujeme-li si áhodou veličiu Z jako: Z ak Z má ormovaé ormálí roděleí ( Z 0; N ) a můžeme vrdi že: Z

22 Úravou ohoo vahu ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: Obdobě bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: 0.0. Iervalový odhad ro rodíl sředích hodo dvou oulací eáme-li jejich směrodaé odchylky σ a σ Obdobě jako v říadě odhadu sředí hodoy ro jedu oulaci i de se v rai sekáváme rakicky oue s říady kdy eámé směrodaé odchylky σ a σ. ředokládejme že sledovaé áhodé veličiy a mají ormálí roděleí jejichž royly σ a σ áme. Zvolme výběrové soubory daých oulací. Nechť mají yo výběrové soubory rosahy a růměry a a výběrové směrodaé odchylky s a s. V omo říadě volíme jako vhodou výběrovou saisiku áhodou veličiu T kerá má udeovo roděleí s ( + -) sui volosi T. T je defiováa jako: T kde ak můžeme vrdi že: T

23 Úravou ohoo vahu ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: s s Obdobě bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: 0. Iervalový odhad ro rodíl relaivích čeosí dvou oulací ředokládejme že sledovaé áhodé veličiy a mají ormálí roděleí. Zvolme výběrové soubory daých oulací. Nechť mají yo výběrové soubory rosahy a a očy rvků se sledovaou vlasosí a. ak výběrové relaiví čeosi určíme jako: ; Defiujeme-li si áhodou veličiu jako: kde ak má ormovaé ormálí roděleí ( 0; N ) a můžeme vrdi že: Úravou ohoo vahu ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval:

24 - 6 - Řešeý říklad: Obdobě bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: Diskey dvou velkých výrobců - oik a 5M byly odrobey koušce kvaliy. Diskey obou výrobců jsou baley o 0-i kusech. Ve 40-i balíčcích fy oik bylo aleeo 4 vadých diske ve 30-i balíčcích 5M bylo aleeo 4 vadých diske. Určee 95%-í ierval solehlivosi ro rodíl v roceu vadých diske v celkové rodukci firem oik a 5M. Řešeí: Oačme si roceo vadých diske v rodukci fy oik π a roceo vadých diske v rodukci fy 5M π. ro určeí ožadovaého iervalu oužijeme vah: olehlivos iervalového odhadu: 95 0 Hladia výamosi: ; (vi. Tabulka )

25 Výběrové soubory: oik: výběrový odíl vadých diske fy oik 5M: výběrový odíl vadých diske fy 5M o dosaeí: % 4 % %-í solehlivosí můžeme vrdi že rodíl mei odílem vadých diske firmy oik a odílem vadých diske firmy 5M je v romeí 0 % a 4%. T. že emůžeme říci keré diskey jsou kvaliější. V říadě že by rodíl mei odílem vadých diske firmy oik a odílem vadých diske firmy 5M byl áorý 0 amealo by o že diskey firmy oik jsou kvaliější (obsahují meší odíl vadých) ež diskey firmy 5M. Obdobě v říadě že by rodíl mei odílem vadých diske firmy oik a odílem vadých diske firmy 5M byl kladý 0 amealo by o že diskey firmy oik mají horší kvaliu (obsahují věší odíl vadých) ež diskey firmy 5M. V ašem říadě víme že rodíl mei odílem vadých diske firmy oik a odílem vadých diske firmy 5M může bý jak kladý ak i áorý a roo emůžeme říci keré diskey jsou kvaliější. Ale o už jsme se dosali k esováí hyoé jimž se budeme abýva v ásledující kaiole

26 hruí: V rakických říadech věšiou edokážeme řesě urči aramery ákladího souboru (oulace). K jejich odhadu oužíváme charakerisiky říslušých výběrových souboru výběrové charakerisiky. Z meodického hlediska oužíváme dva yy odhadů aramerů: a bodový odhad kdy aramer ákladího souboru aroimujeme jediým číslem iervalový odhad (kofidečí ierval) kdy eo aramer aroimujeme iervalem v ěmž aramer leží s daou ravděodobosí. Téo ravděodobosi říkáme solehlivos odhadu a oačujeme ji (-α) α aýváme hladiou výamosi. Dobrý (věrohodý) odhad musí slňova určié vlasosi. Mei ákladí vlasosi věrohodých odhadů aří: esraos (evychýleos ekresleos) vydaos (eficiece) koisece dosaečos V rakických alikacích časěji ež bodový odhad určujeme iervalový odhad říslušého arameru. Teo odhad je rereeová iervalem (T D ; T H ) v ěmž hledaý aramer leží s ředem určeou ravděodobosí (solehlivosí) kerou oačujeme (-α). Iervaly solehlivosi kosruujeme jako jedosraé ebo dvousraé. V ásledující abulce ajdee řehled iervalových odhadů ro aramery ormálího roděleí včeě oužiých výběrových charakerisik. Odhadovaý aramer μ áme σ μ eáme σ Iervaly solehlivosi ro aramery ormálího roděleí Vhodá výběrová charakerisika Roděleí výběrové char. Mee obousraého iervalu solehlivosi Dolí me levosraého iervalu solehlivosi Horí me ravosraého iervalu solehlivosi T D T H T D T H Z N(0;) - T σ σ iervalový odhad je odvoe iervalového odhadu σ π N(0;)

27 Velikos výběru má římý vliv a řesos odhadu aramerů ákladího souboru: čím věší rosah výběru ím řesější je iervalový odhad. Ekoomické a časové důvody ás však mohdy uí voli rosah výběru co ejmeší. V rai roo hledáme komromis kerý ro ožadovaou řesos výoču (říusou chybu odhadu Δ) ovede k co ejmešímu rosahu výběru. Odhadovaý aramer Rosah výběru μ áme σ μ eáme σ Iervalové odhady můžeme ouží aké ke srováváí sředích hodo res. relaivích čeosí dvou oulací: Odhadovaý vah mei aramery Vhodá výběrová charakerisika Roděleí výběrové char. Mee obousraého iervalu solehlivosi Dolí me levosraého iervalu solehlivosi Horí me ravosraého iervalu solehlivosi T D T H T D T H μ - μ áme σ ; σ Z N(0;) μ - μ eáme σ ; σ T π -π N(0;

28 Oáky. Objasěe rodíl mei ákladím souborem (oulací) a výběrovým souborem.. Jaké áe ůsoby odhadu aramerů ákladího souboru? 3. Vysvělee co je o dobrý odhad (vysvělee ojmy: esraos koisece vydaos dosaečos). 4. oiše obecě obousraý (levosraý ravosraý) 00.(- )%-í ierval solehlivosi ro ějaký aramer θ. 5. Najděe obousraý ierval solehlivosi ro sředí hodou μ ři voleé hladiě výamosi α ro adaý áhodý výběr ormálího roděleí jehož royl áme (res. eáme). 6. Najděe obousraý ierval solehlivosi ro royl σ ři voleé hladiě výamosi α ro adaý áhodý výběr ormálího roděleí. 7. Najděe obousraý ierval solehlivosi ro směrodaou odchylku σ ři voleé hladiě výamosi α ro adaý áhodý výběr ormálího roděleí. 8. Najděe obousraý ierval solehlivosi ro relaiví čeos (odíl) π ři voleé hladiě výamosi α ro adaý áhodý výběr ormálího roděleí. 9. Najděe obousraý ierval solehlivosi ro rodíl sředích hodo (μ -μ ) ři voleé hladiě výamosi α ro adaé áhodé výběry ormálích roděleí jejichž royly σ σ áme (res. eáme). 0. Najděe obousraý ierval solehlivosi ro rodíl relaivích čeosí (π -π ) ři voleé hladiě výamosi α ro adaé áhodé výběry ormálích roděleí

29 Úlohy k řešeí. Náhodý výběr ěi sáů UA má ásledující rolohy (v 000 čverečích mil): Vyočěe 95% ierval solehlivosi ro sředí rolohu každého 50-i sáů UA.. Z jedé aralelí skuiy byli áhodě vybrái 4 sudei. Jejich výsledky u koušky byly: a 77 bodů. Z druhé aralelí skuiy byli vybrái 3 sudei a jejich výsledky byly: 56 7 a 53 bodů. Vyočíeje 95% ierval solehlivosi ro rodíl mei sředími hodoami výsledků obou skui u koušky. 3. V áhodém výběru čiů vyráběých velkou svěovou solečosi 0% čiů evyhovuje ovým ožadavkům a kvaliu. esroje 95% ierval solehlivosi ro odíl čiů (v celé rodukci solečosi) keré evyhovují daé ormě jesliže rosah výběru je: a) 0 b) 5 c) 50 d) Firma uoil se a vás obráila s rosbou da byse emohl(a) odhadou kerý jeho beíů dává leší výko (ujeá vdáleos v km) da A ebo B. Vybral(a) jse edy áhodě 4 voy a jel jse s každým o éže rase jedou se 4l beíu A v ádrži a odruhé se 4l beíu B. oče ujeých km je v ásledující abulce Beí A Beí B Vyočíeje 95% ierval solehlivosi ro sředí rodíl výkou. 5. V roce 954 byla rováděa řada okusů ro odkoušeí účiosi ové vakcíy roi děské obrě. Ze děí celých UA souhlasilo s okusem. olovia ěcho dobrovolíků byla áhodě vybráa jako okusá ro očkováí skuečou vakcíou korolí olovia byla aočkováa oue fyiologickým rookem. Výsledky byly ásledující: kuia oče děí oče výskyu obry Očkováí Korolí Odmíli se okusu účasi

30 a) ro každou e ří skui vyočíeje míru oemocěí obrou (oče říadů a děí). b) Odhaděe sížeí výskyu obry vlivem očkováí včeě 95% iervalu solehlivosi. (ávod: určee kofidečí ierval ro rodíl relaivích očů výskyu obry mei očkovaou a korolí skuiou a mee iervalu ak řeočěe a absoluí hodoy) 6. ro realiaci rosáhlého šeřeí o difereciaci med ve velkém růmyslovém odiku musíme velmi rychle íska určiou ředsavu o růměré odchylce med. Z celkového oču aměsaců jsme jich áhodě vybrali 30 a určili růměrou mdu Kč a směrodaou odchylku ve výši.00-kč. V jakém iervalu le s 95% ravděodobosi očekáva směrodaou odchylku med v celém odiku? ředokládáme že roděleí med v ákladím souboru všech racovíků odiku je ormálí. 7. Jaký miimálí rosah výběru ro odhad odílu chybě účovaých oložek musíme avrhou chceme-li ři 90% solehlivosi ajisi říusou chybu 3 %. O možém odílu chybých oložek emáme ři rováděém audiu žádou iformaci 8. Hyermarke Hyer chce ro kvaliěí služeb oskyovaých ákaíkům krái dobu jejich čekáí u oklade. Náhodě bylo vybráo 0 ákaíků a byla měřea doba jejich čekáí u oklady (ředokládáme ormaliu roděleí dob čekáí). Výsledky šeřeí (v sekudách): a) V jakých meích le s ravděodobosi 095 očekáva růměrou dobu čekáí ákaíka a obsluhu (v miuách)? b) Jaká je horí hraice doby čekáí kerá ebude s ravděodobosí 095 řekročea? 9. Ageura rovádějící růkum veřejého míěí láuje šeřeí a ákladě kerého chce odhadou kolik roce voličů odoruje současou vládí koalici. ředokládejme (v rai omu ak ovšem eí) že jsou doaováí vybíráí cela áhodě. Kolik doaovaých by mělo bý do výběru ařaeo jesliže si vedeí ageury řeje aby se odhad výběru elišil od skuečého odílu říivců koalice o více ež 3%? (Vole hladiu výamosi 005.) 0. Z 90 koušek mee kluu kosrukčí oceli rodukce určié oceláry byl vyoče výběrový růměr 534 Ma a výběrový royl 3948 Ma. Najděe 80% iervaly solehlivosi ro sředí hodou a směrodaou odchylku mee kluu. (a ředokladu ormaliy da). Tabáková firma TAB rohlašuje že jejich cigarey mají ižší obsah ikoiu ež cigarey NIK. ro ověřeí ohoo rohlášeí bylo áhodě vybráo rodukce TAB 0 krabiček cigare (o 0-i kusech) a v ich bylo jišěo (46 37) mg ikoiu (v jedié cigareě). Ve 5-i krabičkách cigare NIK (o 0-i kusech) bylo jišěo (489 43) mg ikoiu a cigareu. Naleěe 95% ierval solehlivosi ro rodíl obsahu ikoiu v cigareách TAB a NIK.. Ageura TAT udává že v ledu 999 byla v oulaci České reubliky 30%-í odora ČD (000 resodeů) a ři růkumu v kvěu 999 (600 resodeů) jisili oue 5%-í odoru éo sray. Na ákladě kvěového růkumu učiňe 90% iervalový odhad ohledě roceuálího asoueí voličů ČD v celé oulaci

31 Řešeí: že s 95%-í solehlivosi můžeme vrdi že sudei obou skui dosáhli rovoceých výsledku 3. a) b) c) d) Všiměe si že rosoucí rosah výběru vede k řesňováí kofidečího iervalu že s 95%-í solehlivosi můžeme vrdi že beíy A a B jsou daého hlediska rovoceé 5. a) kuia Výsky obry a děí Očkováí 9 Korolí 7 Odmíli se účasi 45 b) že s 95%-í solehlivosi můžeme vrdi že očkováí vedlo ke sížeí výskyu obry Kč 63Kč a) b) že s 95%-í solehlivosi můžeme vrdi že cigarey TAB mají ižší obsah ikoiu ež cigarey NIK

Po prostudování tohoto odstavce budete:

Po prostudování tohoto odstavce budete: 0 ODHADY ARAMETR ZÁKLADNÍHO OUBORU as ke sudiu kaioly: 90 miu Cíl: o rosudováí ohoo odsavce budee: roum ojmm: bodový odhad iervalový odhad á vlasosi bodového odhadu um kosruova iervalové odhady ro vybraé

Více

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět:

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět: 5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ RAVDĚODOBNOSTI Čas e sudiu aioly: 0 miu Cíl: o rosudováí ohoo odsavce budee umě: charaerizova hyergeomericé rozděleí charaerizova Beroulliho ousy a z ich odvozeé jedolivé yy disréích

Více

10 ODHADY PARAMETR NORMÁLNÍHO ROZDLENÍ

10 ODHADY PARAMETR NORMÁLNÍHO ROZDLENÍ Ig. Martia Litschmaová tatistika I., cvieí 0 ODHADY ARAMETR NORMÁLNÍHO ROZDLENÍ V raktických íadech vtšiou edokážeme es urit arametry ákladího souboru (oulace). K jejich odhadu oužíváme charakteristiky

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

TESTOVÁNÍ a DIAGNOSTIKA VÝROBNÍCH STROJŮ I

TESTOVÁNÍ a DIAGNOSTIKA VÝROBNÍCH STROJŮ I ESOVÁNÍ a DIAGNOSIKA VÝROBNÍCH SROJŮ I Leraura: Skra: Zdeěk Vorlíček: Solehlvos a dagoska výrobích srojů ČVU Praha 99 Vorlíček, Rudolf: Dagoska VS ČVU Praha 98 Ka.. Úvod: Proč se zabýváme esováím a dagoskou

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST ... m n RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Teováí hypoéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Teováí hypoéz Teováí hypoéz Nechť je áhodá proměá, kerá má diribučí fukci Fx, ϑ. Předpokládejme, že záme var diribučí fukce víme jaké má rozděleí a ezáme

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národí iformačí středisko ro odoru kvality Testováí zůsobilosti a výkoosti výrobího rocesu RNDr. Jiří Michálek, Sc Ústav teorie iformace a automatizace AVČR UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI 3 UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

1.6. Srovnání empirických a teoretických parametrů (4.-5.předn.)

1.6. Srovnání empirických a teoretických parametrů (4.-5.předn.) .6. rováí empirických a eoreických paramerů (4.-5.před.) Cíle: - pravděpodobosí zkoumáí výběrového saisického souboru: kvaifikace eoreických paramerů, srováí eoreických a empirických paramerů (Probable

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016 Přijímací zkouška a avazující magiserské sudium 2016 Sudijí program: Sudijí obor: Maemaika Fiačí a pojisá maemaika Variaa A Řešeí příkladů pečlivě odůvoděe. Věuje pozoros ověřeí předpokladů použiých maemaických

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA. VZORCE PRO 4ST201 a 4ST210

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA. VZORCE PRO 4ST201 a 4ST210 VYOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V RAZE FAKULA INFORMAIKY A AIIKY Kaedra sas a ravděodobos AIIKA VZORCE RO 4 a 4 verze 8 osledí aualzace:. 9. 8 K 8 osá sasa,,...,... ( ( (,, z +, ( z ( z + ( z+, z H H H G... R ma

Více

OBJEKTOVÁ ALGEBRA. Zdeněk Pezlar. Ústav Informatiky, Provozně-ekonomická fakulta MZLU, Brno, ČR. Abstrakt

OBJEKTOVÁ ALGEBRA. Zdeněk Pezlar. Ústav Informatiky, Provozně-ekonomická fakulta MZLU, Brno, ČR. Abstrakt OBEKTOVÁ ALGEBRA Zdeěk Pezlar Úsav Iformaiky, Provozě-ekoomická fakula MZLU, Bro, ČR Absrak V objekovém modelu da defiujeme objekové schéma (řídu) jako čveřici skládající se ze jméa řídy, aribuů, domé

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Matematika 2 (BMA2 + KMA2)

Matematika 2 (BMA2 + KMA2) FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Maemaika BMA KMA Auoři eu: Prof RNDr Fraišek Melkes, CSc Mgr Mari Řeáč FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ

Více

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě

Více

14. Soustava lineárních rovnic s parametrem

14. Soustava lineárních rovnic s parametrem @66 4. Sousava lineárních rovnic s aramerem Hned úvodem uozorňuji, že je velký rozdíl mezi sousavou rovnic řešenou aramerizováním, roože má nekonečně mnoho řešení zadaná sousava rovnic obsahuje jen číselné

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

SP NV Normalita-vlastnosti

SP NV Normalita-vlastnosti SP - - NV Normala-vlasos Přpomeuí vlasosí Normálího rozděleí Charakerscká fukce Lévyho-Ldebergova věa - cerálí lmí věa -rozměré ormálí rozděleí -rozměré ormálí rozděleí Přpomeuí vlasosí Normálího rozděleí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

f(x) f(x 0 ) = a lim x x0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim f(x + h) f(x) (x) = lim

f(x) f(x 0 ) = a lim x x0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim f(x + h) f(x) (x) = lim KAPITOLA 4: 4 Úvod Derivace fkce [MA-8:P4] Moivačí příklady: okamžiá ryclos, směrice ečy Defiice: Řekeme, že fkce f má v bodě derivaci [ derivaci zleva derivaci zprava ] rov čísl a, jesliže exisje [ x

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Geometrické modelování. Diferenciáln

Geometrické modelování. Diferenciáln Geomerické modelováí Difereciál lí geomerie křivekk Křivky v očía ačové grafice Geomerická ierreace Každý krok algorimu má svůj geomerický výzam Flexibilia korola ad růběhem křivky, možos iuiiví ediace

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Vícekanálové čekací systémy

Vícekanálové čekací systémy Vícekaálové čekací systémy taice obsluhy sestává z ěkolika kaálů obsluhy, racujících aralelě a avzájem ezávisle. Vstuy i výstuy systému mají oissoovský charakter. Jedotky vstuující do systému obsadí ejrve

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA VZORCE PRO 4ST201

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA VZORCE PRO 4ST201 VYOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V RAZE FAKULTA INFORMATIKY A TATITIKY Kaedra a a ravděodobo TATITIKA VZORCE RO 4T verze.3 oledí aualzace: 4.9.9 KT 9 oá aa,,..., ɶ < z < + < z < + +,5 z +, 5 z H H H G... G... R

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA VZORCE PRO 4ST201

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA VZORCE PRO 4ST201 VYOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V RAZE FAKULTA INFORMATIKY A TATITIKY Kaedra a a ravděodobo TATITIKA VZORCE RO 4T verze 4. oledí aualzace: 6.8.6 KT 6 oá aa oá aa =,,..., () ()...,,,, z z z z z H H H G... R = ma

Více

2. Úvod do indexní analýzy

2. Úvod do indexní analýzy 2. Úvod do idexí aalýzy 2.. Motivace Tato kaitola se zabývá srováváím ukazatelů v datových souborech, které se liší buď časově ebo rostorově ebo věcě. Nejdůležitější je srováváí ukazatelů z časového hlediska.

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

můžeme toto číslo považovat za pravděpodobnost jevu A.

můžeme toto číslo považovat za pravděpodobnost jevu A. RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout áhodé rocesy. Náhodé okusy: rocesy,

Více

1.5.1 Mechanická práce I

1.5.1 Mechanická práce I .5. Mechanická ráce I Předoklady: Práce je velmi vděčné éma k rozhovoru: někdo se nadře a ráce za ním není žádná, jiný se ani nezaoí a udělá oho sousu, a všichni se cíí nedocenění. Fyzika je řírodní věda

Více

Těžiště a moment setrvačnosti Nalezení práce polohy těžiště a momentu setrvačnosti vůči zadané ose u homogenních těles v třírozměrném prostoru.

Těžiště a moment setrvačnosti Nalezení práce polohy těžiště a momentu setrvačnosti vůči zadané ose u homogenních těles v třírozměrném prostoru. Těžiště a momet setrvačosti Naleeí práce polohy těžiště a mometu setrvačosti vůči adaé ose u homogeích těles v tříroměrém prostoru. Př. 1 Najděte těžiště a momet setrvačosti kulové vrstvy vůči rotačí ose

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Číslo materiálu VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_17_Klopné obvody RS, JK, D, T. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing.

Číslo materiálu VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_17_Klopné obvody RS, JK, D, T. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing. Číslo projeku CZ..7/.5./34.58 Číslo maeriálu VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_7_Klopé obvody RS, JK, D, T. Název školy Auor Temaická oblas Ročík Sředí odborá škola a Sředí odboré učilišě, Dubo Ig. Miroslav Krýdl

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

ESTIMATION OF DENSITY FUNCTION PARAMETERS WITH CENSORED DATA FROM PRODUCT LIFE TESTS

ESTIMATION OF DENSITY FUNCTION PARAMETERS WITH CENSORED DATA FROM PRODUCT LIFE TESTS ESTIMATION OF DENSITY FUNCTION ARAMETERS WITH CENSORED DATA FROM RODUCT LIFE TESTS J.Tůa * Suary: The paper deals wih a saisial ehod for he evaluaio of life es resuls. I is supposed ha oly soe of he es

Více

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 3 Verze 3 je shodná s původní Směrnicí 1/2011 verze 2, za čl. 2.3 je vložen nový odstavec

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 3 Verze 3 je shodná s původní Směrnicí 1/2011 verze 2, za čl. 2.3 je vložen nový odstavec Směrice /0 Statitické vyhodocováí dat, verze 3 Verze 3 e hodá ůvodí Směricí /0 verze, za čl..3 e vlože ový odtavec. Statitické metody ro zkoušeí zůobiloti Statitická aalýza oužívaá ro aalýzu výledků zkoušky

Více

6 Algoritmy ořezávání a testování polohy

6 Algoritmy ořezávání a testování polohy 6 lgorim ořezáváí a esováí poloh Sudijí íl Teo blok je věová problemaie vzájemé poloh grafikýh primiiv, zejméa poloze bodu vzhledem k mohoúhelíku včeě jedolivýh speifikýh varia jako jsou čřúhelík, jehož

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. 4 Inegrace subsiucí 4 Inegrace subsiucí Průvodce sudiem Inegrály, keré nelze řeši pomocí základních vzorců, lze velmi časo řeši subsiuční meodou Vzorce pro derivace elemenárních funkcí a věy o derivaci

Více

Časová zátěž Na prostudování této kapitoly a splnění úkolů s ní spojených budete potřebovat asi 8 hodin studia.

Časová zátěž Na prostudování této kapitoly a splnění úkolů s ní spojených budete potřebovat asi 8 hodin studia. Kapiola 0.: Úvod do aalýzy časových řad Cíl kapioly Po prosudováí éo kapioly budee umě - očisi časovou řadu od důsledků kaledářích variací - graficky zázori okamžikovou i iervalovou časovou řadu - vypočía

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA. VZORCE PRO 4ST201 a 4ST210

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA. VZORCE PRO 4ST201 a 4ST210 VYOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V RAZE FAKULA INFORMAIKY A AIIKY Kaedra sas a pravděpodobos AIIKA VZORCE RO 4 a 4 verze 8 posledí aualzace:. 9. 8 K 8 opsá sasa p p =,,...,... () () ( ),, z, ( z ) ( z ) ( z), z

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

ASYNCHRONNÍ STROJE. Obsah

ASYNCHRONNÍ STROJE. Obsah VŠB TU Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky Katedra obecé elektrotechiky ASYCHROÍ STROJE Obsah. Výzam a oužití asychroích motorů 2. rici čiosti asychroího motoru 3. Rozděleí asychroích motorů 4.

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

DIMENZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PREFEN

DIMENZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PREFEN DIMNZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PRFN 1 Kulkova 10/4231, 615 00 Bro el.: 541 583 208, 297, fa.: 549 254 556 e-mail: kompozi@prefa.cz hp://www.prefa-kompozi.cz DIMNZOVÁNÍ PROFILŮ Maeriálová srukura, základí

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 47. ročík Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie C 1. Pro libovolé trojciferé číslo určíme jeho bytky při děleí čísly 2, 3, 4,..., 10 a ískaých devět čísel pak sečteme. Zjistěte ejmeší možou

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNCKÁ UNVERZTA V LBERC Fakula mecharoniky, informaiky a mezioborových sudií Cvičení č3 k ředměu ELMO Přírava ke cvičení ng Jiří Primas, ng Michal Malík Liberec Maeriál vznikl v rámci rojeku ESF (CZ7//747)

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem,

Více

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x), a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

7. cvičení 4ST201-řešení

7. cvičení 4ST201-řešení cvičící 7. cvičeí 4ST21-řešeí Obsah: Bodový odhad Itervalový odhad Testováí hypotéz Vysoká škola ekoomická 1 Úvod: bodový a itervalový odhad Statistický soubor lze popsat pomocípopisých charakteristik

Více

Odezva na obecnou periodickou budící funkci. Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti

Odezva na obecnou periodickou budící funkci. Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Odezva a obecou periodickou budící fukci Iva Períková Kaedra mechaiky, pružosi a pevosi Obsah Fourierovy řady Odezva a polyharmoickou fukci Odezva a obecou periodickou fukci Odezva a jedokový skok Příklad

Více

Odchylka přímek

Odchylka přímek 734 Odchylka římek Předoklady: 708, 7306 Pedagogická ozámka: Pokd chcete hladký růěh začátk hodiy, je leší dořed ozorit žáky, že do otřeoat zorec ro úhel do ektorů Př : Urči úhel, který sírají ektory (

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

, neboť. 1 Postup všech typů exponenciálního vyrovnávání je zevrubně popsán v monografii: i 1

, neboť. 1 Postup všech typů exponenciálního vyrovnávání je zevrubně popsán v monografii: i 1 Meoda expoeciálího vrováváí [Brow-Meer] Je dalším přísupů, kerý e řae (vedle meod klouavých průměrů k adapivím echikám určeí redové složk časové řad Výchoí úvahou éo echik e, že se k predikci ové hodo

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Metody získávání nízkých tlaků

Metody získávání nízkých tlaků Medy získáváí ízkých laků. Základí rici čeráí Čeraý rsr - vakvá kmra (lak, kcerace, vý če čásic N a vývěva (lak

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský socálí fod Praha & EU: Ivesujee do vaší budoucos Ekooka podku aedra ekooky, aažersví a huaích věd Fakula elekroechcká ČVUT v Praze Ig. učerková Blaka, 20 Úrokový poče, základy fačí aeaky (BI-EP)

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Testy hypotéz

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Testy hypotéz SP3 Tey hypoéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Tey hypoéz Lbor Žá SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Tey hypoéz- úvod Nechť X X e áhodý výběr T X X X áhodý veor ezávlé ložy erý má rozděleí závlé a parameru θ Θ Θ R Ozačme:

Více

Ing. Vladimíra Michalcová, Ph.D. Katedra stavební mechaniky (228)

Ing. Vladimíra Michalcová, Ph.D. Katedra stavební mechaniky (228) Stavebí statka - vyučující Dooručeá lteratura Ig. Vladmíra chalcová, h.d. Katedra stavebí mechaky (228) místost: LH 47/ tel.: (59 732) 348 e mal: vladmra.mchalcova@vsb.c www: htt://fast.vsb.c/mchalcova

Více

n(- ) = n p FEKT VUT v Brně ESO / L3 / J.Boušek 1 FEKT VUT v Brně ESO / L3 / J.Boušek x p x 0 N A E = 0

n(- ) = n p FEKT VUT v Brně ESO / L3 / J.Boušek 1 FEKT VUT v Brně ESO / L3 / J.Boušek x p x 0 N A E = 0 M FK BRĚ J.Boušek / lekroické součásky / 3 řechod v rovovážém savu K ; K J J J J J,drif J,dif µ d d J J,drif J,dif µ - d d o dosazeí (µk/ : iseiův vzah d d k d µ d d d µ - závislos a relaiví změě kocerace

Více