Sbírka procvičovacích příkladů k maturitě. Maturitní témata

Transkript

1 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě Mturitní témt. Tp důkzů, dělitelnost čísel. Výrok množin. Definice vlstnosti fcí, grf funkce, inverzní funkce. Lineární kvdrtická funkce. Mocnin s reálným eponentem, lineární lomená funkce 6. Lineární rovnice nerovnice, soustv, slovní úloh 7. Kvdrtická rovnice nerovnice, soustv, slovní úloh 8. Eponenciální logritmické funkce rovnice 9. Goniometrické funkce 0. Goniometrické rovnice nerovnice. Trigonometrie. Plnimetrie. Zorzení v rovině. Stereometrie. Vektor, nltická geometrie lineárních útvrů 6. Uzvřené kuželosečk - kružnice, elips 7. Otevřené kuželosečk - prol, hperol 8. Kominční číslo, fktoriál, inomická vět 9. Komintorik prvděpodonost 0. Komplení čísl. Posloupnosti. Řd, finnční mtemtik. Limit funkce. Derivce funkce. Integrál

2 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě Úprv výrzů Podmínk eistence mtemtických výrzů jejich úprv. Definice mocnin odmocnin, prvidl pro počítání s mocninmi odmocninmi, mocnin se zápornými rcionálními eponent odvození úprv. Ve všech výrzech určete podmínk pro jejich eistenci uprvte neo vpočítejte:.. :. :. 6 :. : 6. Rozložte n součin činitelů co nejnižšího stupně: ) 6 7. : 7 ) m m m 8. : 0 6 c) : : p r r p p r r p 8. R v u v u v u ; 9. Z, ; :

3 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě. Tp důkzů, dělitelnost čísel Tp důkzů přímý, nepřímý, důkz sporem, oecný popis postupu při důkzu pomocí mtemtické indukce, chrkteristik tpu úloh dokzovných mtemtickou indukcí. Prvočíselný rozkld užití npř. při odmocňování, nejmenší společný násoek, největší společný dělitel, jejich vzájemný vzth (důkz), Eukleidův lgoritmus. ) Dokžte: ) n N : n 6 n n ) n N : Je-li n sudé číslo, pk ) Dokžte: ) n N : ( n ) (n) ) n N n ) (n) : ( ) Dokžte: ) n N : (n-) 9( n n ) n N n n 6 : (n+) n je tké sudé číslo ) ) Dokžte, že součet třetích mocnin tří po soě jdoucích přirozených čísel je dělitelný třemi. ) Dokžte: n N n n : ) ) Dokžte, že pro kždé liché přirozené číslo je výrz V dělitelný číslem 8. ) Dokžte: n N n n 0n :0 6) Dokžte: Je-li přirozené číslo zkončené cifrou, potom jeho druhá mocnin je zkončen dvojčíslím. 7) Přední kolo vozu má ovod dm, zdní kolo,m. Po kolik otáčkách předního kol zujmou oě kol totéž vzájemné postvení? 8) ) Rozložte dná čísl n součin mocnin prvočísel:, 67,, 7, 6 ) Njděte nejmenší společný násoek čísel: (,), (8,0), (6,6), (8,), (6,88) c) Njděte největší společný dělitel čísel: (96,6), (6,8), (900,0), (0,), (,00) 9) Dokžte, že počet úhlopříček v konvením n-úhelníku je roven P n pomocí mt.indukce). 0) Dokžte: ) n N n : ) n N : 6 n n n n. (Přímý důkz důkz ) Dokžte, že pro všechn přirozená čísl n pltí: Počet všech podmnožin liovolné n-prvkové množin je ) Dokžte: ) n N : ) n N : n i i n n i i n i n i i n

4 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě. Výrok, množin Definice výroku výrokové form, příkld, prvdivostní hodnot znčení, operce s výrok znčení operátorů, jejich význm prvdivostní hodnot, tutologie, výrok s kvntifikátor jejich negce, Vennov digrm, průnik, sjednocení, rozdíl, doplněk množin definice znčení. ) Pro provozní dou enzínových stnic A, B, C pltí: Vžd je v provozu stnice A neo stnice B. Stnice C je mimo provoz právě tehd, kdž je otevřen stnice A. Má-li prodejní dou stnice C pk je v činnosti i stnice B. Určete všechn možnosti provozu těchto stnic. ) V dílně jsou stroje, které prcují podle těchto podmínek: Prcuje-li.stroj, prcuje i.stroj. Vžd prcuje. neo. stroj. Neprcuje-li.stroj, neprcuje ni.stroj. Jké jsou možnosti pro práci těchto tří strojů? ) Utvořte negce následujících výroků: ) DNES JE SOBOTA ) c) M : Q d) VŠICHNI ŽIJÍCÍ LIDÉ JSOU MENŠÍ NEŽ 80 CM. 0 e) R : f) N : 0 g) N : 0 h) Q : ; i) C : j) R : ) Zkreslete Vennův digrm pro množin M, M, M, M všechn jejich prvk, pltí-li: M n N : n 6 M = { n M : n je dělitelné } M = { n M : n je dělitelné } M = { n M : n je sudé} ) K implikci JESTLIŽE FCE F MÁ V KAŽDÉM BODĚ INTERVALU (A;B) KLADNOU DERIVACI, PAK FCE F JE ROSTOUCÍ utvořte negci, oměněnou orácenou implikci stnovte jejich prvdivostní hodnot. 6) Nechť A je množin čísel. Utvořte negce výroků: ) Všechn čísl množin A jsou sudá neo lespoň jedno z nich je záporné. ) Jsou-li všechn čísl množin A kldná, pk množin A je konečná. 7) Rozhodněte, zd pltí pro liovolné podmnožin A, B, C dné zákldní množin Z: A B C' A B' C A' B C A B A C B C A B C'

5 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě. Definice funkce, definiční oor oor hodnot, definice vlstností funkce: rostoucí, klesjící, omezená shor, zdol, omezená, sudá, lichá, ostré neostré mimum minimum funkce n definičním ooru, n množině. Definice prosté funkce, její grf, definice funkce inverzní k funkci f nutné podmínk pro její eistenci, definiční oor oor hodnot funkcí f, f - jejich vzájemný vzth, vzth monotónností fcí f, f. ) Je dán funkce f:. Určete její definiční oor rozhodněte, zd pltí: H f, 0 H f. ) Určete definiční oor funkce: ) Určete definiční oor oor hodnot funkcí: f : g : h : ) Určete, zd funkce f : ) je lichá neo sudá ) má mimum minimum n D(f) c) je omezená n <;> d) je omezená n (-;-) e) intervl monotónnosti f) nčrtněte grf ) U funkce f : určete: ) sudá, lichá? ) intervl monotónnosti c) D(f), min m n D(f) d) nčrtněte grf 6) U funkce f : určete: ) definiční oor ) sudá, lichá? c) monotónnost d) omezenost n D(f) e) nčrtněte grf 7) Určete D(f) nčrtněte grf funkce: f : 8) Rozhodněte, zd jsou si rovn funkce f, f : ) f : f : ) f : f : c) f : f : d) f : f : 9) K dné funkci určete funkci inverzní, njděte její definiční oor oor hodnot nkreslete grf: ) ) c) d) e) f) 0) K funkci f určete funkci inverzní, njděte její definiční oor oor hodnot: ) Ve kterých intervlech proměnné lze sestrojit inverzní funkci k funkci f: ) ) ) Určete definiční oor oor hodnot dné funkce, vjádřete funkci k ní inverzní nčrtněte grf oou funkcí: f : ) Určete co největší intervl, ve kterém je funkce f : prostá, npište funkci k ní inverzní její D(f) H(f). Nčrtněte grf oou funkcí. ) K dné funkci určete funkci inverzní, njděte její definiční oor oor hodnot nkreslete o grf: log ) log ) ) Určete D)f), H(f) grf u funkcí tngens, kotngens funkcí k nim inverzních.

6 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě. Lineární funkce =+, její průěh vlstnosti v závislosti n hodnotách koeficientů,, přímk jko grf lineární funkce její směrnice, průsečík se souřdnými osmi, zvláštní poloh přímk, grfická metod řešení soustv dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, grf lineární funkce s solutní hodnotou. Definice kvdrtické funkce, její vlstnosti, úprv funkčního předpisu pro určení vrcholu grfu funkce, grfické řešení kvdrtické rovnice. ) Sestrojte grf funkce ) ) ) Je dán lineární funkce, kde R. Určete pro jké hodnot prmetru ohrničuje grf funkce spolu se souřdnými osmi rovnormenný trojúhelník pk určete jeho osh. ) Dokžte, že funkce f je rostoucí, resp. Klesjící v celém D(f): ) = + ) = - c) = - + d) = - 0, + ) Délk trti mezi stnicemi A, B je km. Vlk jede ze stnice A do stnice B rchlostí 0 km/h. Njděte lineární funkci, která vjdřuje závislost zývjícího úseku trti n čse, počítného od okmžiku výjezdu ze stnice A. Udejte definiční oor funkce, nčrtněte grf. ) Npište funkci pro převod Celsiových stupňů n stupně Fhrenheit (0 C = F;00 C= F) nčrtněte grf. 6) Měsíční nájem z elektroměr je 0 Kč, kwh stojí,0 Kč. Vjádřete závislost popltku n počtu spotřeovných kwh v měsíci. Zkreslete grf. 7) N počátku měsíce je n skldě 0000 m látk, kždý den se posílá do prodejn 00 m látk. Npište funkci, která vjdřuje zývjící zásou z jko funkci počtu dní d, určete definiční oor oor hodnot funkce, zkreslete grf. 8) Rovnice následujících přímek mohou ýt grf lineárních funkcí. Určete, které z nich jsou funkce, které grf jsou rovnoěžné, popřípdě splývjí, zdůvodněte. Určete které přímk procházejí počátkem soustv souřdnic: ) +=0 ) 0,+0,=0 c) +,=0 c). e) +=6 f) -= g) +8= h) = 9) Sestrojte grf následujících funkcí, určete intervl monotónnosti omezenost: ) ) c) d) 0) Řešte grfick rovnici: ) 0 ) 6 0 ) Nčrtněte grf funkce pro různé hodnot prmetru, proveďte diskusi vzhledem k prmetru. ) Pro které hodnot proměnné je hodnot funkce f : menší než hodnot funkce g :? ) Od půlnoci do 7 hodin rnní se teplot ve C měnil tk, že l kvdrtickou funkcí čsu v hodinách. Určete rovnici této funkce, l-li o půlnoci nměřen teplot,c, ve hodin,c v 7 hodin 6C. ) Určete předpis kvdrtické funkce, jejíž grf prochází od A[0;-.], B[;-7.], C[;6.]. ) Určete souřdnice vrcholu nčrtněte grf funkce f:. Určete průsečík grfu funkce se souřdnými osmi: ) f : ) f : 6) Sestrojte grf zdných funkcí, určete monotónnost omezenost funkce: 6

7 ) Sírk procvičovcích příkldů k mturitě ) c) 6 7) V odélníku pltí vzth e : = : (e je délk úhlopříčk). Určete funkci, která vjdřuje závislost oshu odélník n délce strn, její D(f), H(f) nčrtněte grf. 8) Určete všechn R, pro která pltí: ) ) c) 7

8 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě. Mocnin s reálným eponentem, lineární lomená funkce ) Je dán funkce f: =.Určete: D(f), H(f), etrém funkce, intervl monotónnosti. ) Porovnejte dná čísl podle velikosti, zdůvodněte pomocí grfů funkcí: ) ; ) ; c) ; d) ; 6 ) Uvžujte množinu všech kvádrů, pro jejichž velikost hrn pltí: : : c = : 6 : 9. Určete funkci, která vjdřuje závislost ojemu kvádru n velikosti hrn, její D(f), H(f) nčrtněte grf. ) Nčrtněte grf funkce: ) ) ) Uspořádejte sestupně podle velikosti následující čísl: ; ; ; ; ; ; 6) Určete D(f), H(f) nčrtněte grf funkce ) n > 0 ) n < 0 n ; n Z, určete monotónnost omezenost funkce: 7) Sestrojte grf funkce: ) ) c) d) 8) Čtverec o oshu, m má ýt přeměněn n odélník o stejném oshu. Vjádřete jednu strnu odélník jko funkci druhé strn, určete D(f), H(F) nčrtněte grf. 9) Řešte grfick nerovnice: ) ) 0 0) Znázorněte grfick závislost výšk v trojúhelník o oshu S n délce strn. ) Kolo o průměru d se otočilo n dráze 0 m celkem n krát. Určete funkci, vjdřující závislost počtu otáček n n průměru d, nčrtněte grf. ) Určete definiční oor funkce, průsečík grfu funkce se souřdnými osmi nčrtněte grf: ) ) 7 ) Určete D(f), H(f), intervl monotónnosti, omezenost nčrtněte grf funkce: 6 ) N zákldě grfu proveďte v R diskusi řešitelnosti rovnice vzhledem k prmetru m: m. 8

9 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě 6. Lineární rovnice nerovnice, soustv počet, zápis řešení, ekvivlentní důsledkové úprv rovnic ověřování správnosti řešení při použití důsledkových úprv, význm definičního ooru zkoušk. Grf rovnice o dvou neznámých, grf nerovnice o dvou neznámých. Metod řešení soustv rovnic o více neznámých sčítcí, doszovcí, grfické řešení. Definice solutní hodnot reálného čísl, geometrický význm solutní hodnot čísl, solutní hodnot rozdílu dvou čísel, nulové od. Význm prmetru (sstém rovnic), diskuse řešení rovnice s prmetrem. Mtemtizce slovní úloh, význm zkoušk ve slovních úlohách. ) Vodní nádrž se nplní z hodin, přitéká-li vod potruími. Neotevře-li se vůec uzávěr.potruí, nplní se nádrž z 6 hodin, ez přítoku z.potruí se nplní z 8 hodin. Z kolik hodin se nplnil nádrž jednotlivými potruími. ) Zedníci A, B, C stvěli zeď. Budou-li prcovt A B, poství zeď z 0 hodin, B C ji postvili z hodin, A C z hodin. Jk dlouho ji stvěli všichni dohromd? ) Rcionální číslo je zpsáno zlomkem, jehož čittel je o 0 větší než jmenovtel. Zmenšíme-li čittele i jmenovtele zlomku o, ude nový zlomek vjdřovt číslo 6. Určete původní zlomek. ) Vlk projíždí tunelem dlouhým 0 m. Od okmžiku, kd vjede do tunelu lokomotiv ž do okmžiku, kd poslední vgón opustí tunel, uplne 9 sekund. Od tohoto okmžiku uplne dlších sekund, než lokomotiv dojede k návěští, které je km od tunelu. Vlk jede stálou rchlostí. Určete tuto rchlost délku vlku. V R řešte grfick následující soustv: ) += 6) -=- 7) += 8) += -= += - 9) - 0) + ) > Řešte výpočtem v R (resp. v R n ): 6 ) ; ) 6 ) 0, 0, ) z z z z 7 6) 6 z 7) 6 0 z 7 z 8) 0 9) 0) ) 9

10 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě 0 ) 0 ) 0 0 ) ) 6) 7) 8) 9) 0) 0 ) ) 7 Řešte v R rovnice s proměnnou prmetr R, : ) ) ) 6) 7) 8) 9) V R řešte soustvu rovnic s prmetr R, : ) ) 0) Určete, pro které hodnot prmetrů m má rovnice kldné řešení: ) m m m )

11 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě 7. Definice kvdrtické rovnice, popis jejích členů, úplná neúplná kvdrtická rovnice, podmínk řešitelnosti úplné kvdrtické rovnice, normovný tvr úplné kvdrtické rovnice, vzth mezi kořen koeficient kvdrtické rovnice. Kvdrtická nerovnice, grfické řešení kvdrtické rovnice nerovnice. Mtemtizce slovní úloh, význm zkoušk ve slovních úlohách. ) Řešte v R: ) ) ) Určete, pro které hodnot prmetru m má kvdrtická rovnice m m m 0 v množině reálných čísel ) řešení ) řešení c) 0 řešení ) Sestvte kvdrtickou rovnici, jejíž kořen jsou: ) ; ),;. 0 ) Dokžte, že kořen rovnice c 0 jsou převrácená čísl ke kořenům rovnice c 0. ) Řešte v R rovnici s prmetrem : 6) Proveďte diskusi řešitelnosti rovnice vzhledem k prmetru : ) 0 ) 0 7) V R řešte: 8) Pro které hodnot prmetru t má dná rovnice o neznámé R různé reálné kořen jké? t t 0 9) Jeden rozměr odélníkové zhrd je o 0m větší než druhý rozměr. Oddělí-li se od ní při rozšiřování cest 6m široký pruh podél krtší strn, zmenší se její výměr o 7,%. Jké l původní rozměr zhrd? 0) Turist vkonl cestu dlouhou km svižnou rchlostí. Kd urzil z hodinu o půl kilometru méně, došel do cíle o hodinu později. Jkou rchlostí jk dlouho šel původně. ) Dvě ut vjel součsně týmž směrem z odu A.První jelo rchlostí 0km h, druhé rchlostí 0km h. O půl hodin později vjel z odu A třetí utomoil, který předjel první uto o půldruhé hodin později než druhé uto. Určete rchlost třetího ut. ) Po dvojím snížení cen o stejné procento klesl cen výroku z 00 n 9 Kč. O kolik procent l cen snižován? V R řešte grfick následující soustv: ) -+<0 ) =- ++ ) <+

12 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě < 6) 7) 8) 0 9) 0 6 Řešte v R: 0) ) 0 0 ) ) 8 ) 6 ) ) 7) 6 8) 6 9) 6 6

13 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě 8. Definice eponenciální logritmické funkce, jejich vzájemný vzth, definiční oor oor hodnot, vlstnosti fce, grf fce v závislosti n zákldu. Prvidl pro počítání s logritm, dekdický přirozený logritmus, chrkteristik mntis logritmu. Zákldní metod řešení eponenciálních logritmických rovnic, jejich užití v konkrétních příkldech. ) Určete, pro která reálná čísl je funkce f : rostoucí. ) Určete, pro která reálná čísl je funkce f : klesjící. ) Určete inverzní funkci k funkci f : log. ) Určete všechn reálná čísl, pro které funkce : log X ) Určete inverzní funkci k funkci f, o definiční oor oor hodnot: f :. X 6) Rozhodněte, jký je vzth mezi čísl r,s pltí-li: ) r s c) d) log 7) Nčrtněte grf funkcí: ) 8) Nčrtněte grf funkcí: ) 9) Určete definiční oor funkcí: ) r s X X f nývá nezáporných hodnot 0 r ) log log 6 ) log log ) 0) Určete hodnotu výrzu: ) 0 log log 0 log s ) log log00 log7log r log ) ) Určete, pro který zákld z pltí: ) log z ) log z c) log z ) Řešte rovnici: ) log ) log 6 c) log ) Porovnejte podle velikosti čísl A, B: ) A log ; B log 7 ) A log ; B log 7 ) Nčrtněte grf funkce log c) A log 7; B log 7 d) A ; B log ) Nčrtněte do jedné soustv souřdnic grf funkcí: ) log log c) log 6) Vpočítejte: ) A log log log log 7) V R řešte rovnice: ) log log log log 8 e) log log log X X X log log log log ) log f) g) log log 7 c) log 7 h) i) s 9 ) j) 8.

14 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě d) log log k) l)

15 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě 9. Goniometrické funkce Jednotková kružnice, olouková stupňová mír, převod, definice funkcí sinus, kosinus, tngens, kotngens, jejich definiční oor, oor hodnot, vlstnosti n jednotlivých částech definičního ooru, n celém definičním ooru, definice periodické funkce, grf funkcí sin, cos, tg, cotg funkcí z nich odvozených, funkce polovičního dvojnásoného rgumentu.. Nčrtněte grf funkce: ) sin ) cos c) sin 6 d) cos e) sin f) sin g) tg h) cot g i) tg j) tg k) tg l) tg m) cot g n) sin o) cos. Určete hodnot goniometrických funkcí k Z : ) sin0 ;sin00;cos ;cos k ) sin ;cos ;sink ;cos c) tg0 ; tg00;cot g ; cot gk d) tg7 6 ;cot g 0; tgk ;cot g. Určete všechn velikosti úhlu, pltí-li: ) sin ) cos c) sin d) cos 0 e) sin f) cot g g) tg h) cot g 0 i) tg není definován. Grfick sestrojte úhel, pro jehož velikost pltí: ) sin 0,8 cos 0 ) cos sin 0 c) sin k k ; d) tg sin 0 e) cot g sin 0 f) tg k k Z. Určete, jké podmínk musí pltit pro R měl neprázdnou množinu řešení., rovnice sin o neznámé prmetru 6. Určete vlstnosti funkcí (D(f), H(f), omezenost, monotónnost, periodicitu, inverzní funkci): ) tg ) cot g c) tg d) ln cot g0, 7 7. Určete definiční oor funkcí: ) tg ) sin cos c) lnsin

16 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě 0. Goniometrické rovnice nerovnice Vzth mezi hodnotmi jednotlivých goniometrických funkcí při stejném rgumentu, hodnot funkcí pro dvojnásoný, poloviční úhel, užití součtových vzorců, určení hodnot goniometrických funkcí pro nejpoužívnější velikosti úhlů, grfické určení hodnot funkce liovolného úhlu. Metod řešení zákldních goniometrických rovnic efektivní zápis množin všech řešení, užití sustituce při řešení složitějších goniometrických rovnic. ) Určete hodnot osttních goniometrických funkcí úhlu o velikosti, niž zjišťujete velikost úhlu: ) cos ; ) sin ; c) sin ; 70; 60 d) cos 0,; 90; 80 7; 0; 90 cot g ; 80; 70 e) tg f) ) Určete ez klkulčk hodnot: ) tg π/8; ) cos π /; c) sin 7 ; d) cos 0 ) Zjednodušte výrz: ) tg cot g ) sin tg tg sin cos ) Dokžte, že pltí: ) cos cos tg tg tg ) sin tg tg ) Vpočítejte ez klkulčk: ) sin 0 cos 0 tg 0 0,cot g ) sin 660 cos 8 0,tg 780 cot g9 c) sin 600 cos 0 tg 0 cot g 0 d) sin tg cos cot g7 6 6) Zjednodušte: ) sin 0 sin0 ) cos cos 7) Vpočtěte V cos cos ; pltí-li: cos ;sin ; 0; 0 8) V množině R řešte rovnice: ) cos sin ) cos cos c) sin tg d) e) tg tg f) cot g 0 tg g) tg tg h) cos sin i) sin sin j) sin cos tg tg l) cos m) cot g k) tg

17 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě. Trigonometrie Vět o podonosti trojúhelníků, Eukleidov vět, užití v konstrukčních úlohách. Goniometrické funkce v prvoúhlém trojúhelníku, sinová, kosinová vět. Výpočt ojemů povrchů těles, resp. jejich rozměrů, pomocí Pthgorov vět goniometrických funkcí..) V jké výšce je mrk, který vidíme ve výškovém úhlu =60, jestliže slunce má výšku = 9 stín mrku je od nás vzdálen = 9m. ( Mrk povžujeme z od, stejně jko stín, sluneční pprsk jko rovnoěžné. ).) m vsoká udov je vzdálen 0 m od řehu řek. Z vodorovné střech této udov je vidět šířku řek pod úhlem. Jk široká je řek?.) Určete osttní prvk v trojúhelníku ABC: ) r=9cm ( poloměr kružnice opsné ), =cm,= ) S=8, cm, =6, = 8 c) =,m, = 7, S=,9m d) c=9cm, =00, S=067 cm.) Do kruhu o poloměru r vepište trojúhelník s dnými úhl,,. Řešte oecně, pk pro =, =7, spočtěte velikosti strn osh tohoto trojúhelník..) Z vrcholu věže jsou viditelná dvě míst A, B, která leží v jedné rovině s ptou věže v hloukových úhlech =0 0,=0. Určete vzdálenost míst A, B, je-li velikost úhlu AVB 960 výšk věže v=m. (V je vrchol věže.) 6.) Je dán kružnice k se středem O poloměrem r=cm. Bodem M ( MO=cm ) je veden přímk, která protíná kružnici v odech A,B tk, že MA:MB=:. Určete odchlku přímek MO MB. 7.) V lichoěžníku ABCD je dáno =0cm, =cm, c=6cm, d=cm. Určete velikost úhlů osh lichoěžník. 8.) Výšk kulového vrchlíku je rovn čtvrtině poloměru koule. V jkém poměru je osh vrchlíku kulové ploch? 9.) Osh tří stěn kvádru, které procházejí týmž vrcholem, dávjí součet cm. Poměr strn kvádru jsou ::. Vpočtěte ojem kvádru. 0.) Plášť rotčního válce je k oshu podstv válce v poměru :. Určete jeho ojem, má-li úhlopříčk osového řezu délku 9cm..) V prním kotli tvru válce s vodorovnou osou délk v průměrem podstv d má vod největší hlouku d/. Určete: ) velikost ztopených ploch ) množství vod v kotli.) Dv rotční válce mjí shodné podstv o poloměru r. Osh pláště jednoho z nich se rovná povrchu druhého válce. O jkou délku se liší jejich výšk?.) Ze tří kovových koulí o poloměrech cm, cm, cm l vroen jediná koule. Jký je její poloměr? 7

18 . Plnimetrie Sírk procvičovcích příkldů k mturitě Chrkteristik zákldních množin odů s dnou vlstností jejich užití v konstrukčních úlohách, kružnice opsná, vepsná, připsná trojúhelníku. Středový ovodový úhel v kružnici - jejich vzájemný vzth (důkz), tětivový čtřúhelník.. Jsou dán přímk od M. Sestrojte kružnici k, která se dotýká přímek, prochází odem M. Proveďte diskusi.. Je dán přímk p, od Ap úsečk délk r. Sestrojte kružnici k o poloměru r tk, procházel odem A dotýkl se p.. Je dán úsečk AB, AB= cm. Sestrojte všechn trojúhelník ABC, které mjí t c = cm, r =,cm (r je poloměr kružnice opsné).. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: r, v, t c c. Proveďte diskusi o počtu řešení.. Sestrojte lichoěžník ABCD, je-li dáno: ABCD, v (výšk), BC, BD. 6. Sestrojte čtřúhelník ABCD, je-li dáno:,,,, BD. 7. Je dán úsečk AC, AC =cm. Sestrojte všechn trojúhelník ABC, je-li dáno v = cm, = Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ) c, v, c ), t, 9. Sestrojte množinu všech odů v rovině, z nichž vidíme dnou úsečku AB v zorném úhlu větším než 60 0 menším než Sestrojte rovnoěžník ABCD, je-li dáno: BD =cm, ACD = 7 0, BC =cm.. Sestrojte prvidelný pětiúhelník o velikosti strn. Postup zdůvodněte.. Dokžte, že v tětivovém čtřúhelníku je součet protějších vnitřních úhlů roven Dokžte, že přímk spojující n ciferníku hodin čísl, 6, jsou n see kolmé.. Do kružnice k je vepsán trojúhelník ABC tk, že jeho vrchol dělí kružnici n tři olouk, jejichž délk jsou v poměru : : 7. Vpočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelník.. Je dán prvidelný pětiúhelník ABCDE. Vpočtěte: ) velikost vnitřních úhlů trojúhelník ACD ) velikost úhlů ABD, CAB. 6. Z kruhu o poloměru r vstřihněte jemu vepsný trojúhelník s dnými úhl = 0, =7 0. Určete jeho osh ovod. 8

19 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě. Zorzení v rovině Osová, středová souměrnost, posunutí, otáčení definice zápis zorzení, vlstnosti jednotlivých zorzení, jejich skládání užití. Definice zápis stejnolehlosti, vlstnosti, koeficient stejnolehlosti, střed stejnolehlosti kružnic, užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách. Skládání stejnolehlosti shodnosti. ) Jsou dán kružnice k S S ;r středů stejnolehlosti oou kružnic. k ;r tk, že r r, SS, r r. Vjádřete vzdálenost ) Dvě rovné silnice se protínjí v prvém úhlu. N jedné z nich ve vzdálenosti 00m od křižovtk vchází přímá pěšin k druhé silnici. Nejkrtší vzdušná vzdálenost pěšin od křižovtk je 0m. Určete místo, kde nvzuje pěšin n druhou silnici jk je dlouhá. ) Kosmonut vzlétl do výše 0 km nd zemský povrch. Určete výšku kulového vrchlíku Země, který viděl. (r = 678 km). ) Do rovnostrnného trojúhelník ABC je vepsán čtverec. Vpočítejte délku strn čtverce, je-li délk strn trojúhelník. ) Jsou dán od A, B mimo ně přímk p. Sestrojte kružnici, která prochází od A,B přímk p je její tečnou. 6) Vpočtěte velikost strn, trojúhelník ABC, je-li strn o m větší než strn, v 6m; v m. 7) Rozhodněte, zd trojúhelník ABC je podoný trojúhelníku A B C : ) AB 8; BC 0; AC ; A' B' ; B' C' ; A' C' 9 ) trojúhelník ABC má vnitřní úhl 8, trojúhelník A B C má vnitřní úhl 8 8) Sestrojte úsečku o velikosti užitím: ) Pthgorov vět c) Eukleidov vět o odvěsně d) Eukleidov vět o výšce 9) Je dán přímk p od A,B ležící v téže polorovině vťté přímkou p. N přímce p sestrojte od C tk, lomená čár ABC měl co nejkrtší délku. 0) Jsou dán protínjící se kružnice o různých poloměrech. Jedním jejich průsečíkem veďte přímku tk, n kružnicích vtínl stejně dlouhé tětiv. ) Do čtverce ABCD vepište rovnostrnný trojúhelník PQR tk, vrchol P ležel uvnitř strn AB pltilo AP BP. ) Jsou dán různoěžk, úsečk MN. Sestrojte čtverec XYZU tk, XY MN, X ; Y. ) Je dán úsečk BS, BS t cm. Sestrojte všechn trojúhelník ABC, pro které pltí: 7cm; 60. ) Je dán od A dvě soustředné kružnice k(s;cm] l(s;cm). Sestrojte všechn rovnostrnné trojúhelník ABC tk, B k; C l. 9

20 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě ) Je dán přímk p kružnice k(s;r), l(q;), kde S Q, r >. Sestrojte všechn přímk rovnoěžné s dnou přímkou p, n nichž kružnice k,l vtínjí stejně dlouhé tětiv. 6) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ) +=cm, c=0cm, 0 ) ->0, c, 90 7) Je dán přímk p, kružnice k od A. Sestrojte všechn úsečk XY, pro které pltí: X p; Y k; A XY; AY AX. 8) Je dán kružnice k, přímk p, k p, A p. Sestrojte všechn kružnice, které se dotýkjí kružnice k přímk p v odě A. 9) Je dán konvení úhel AVB jeho vnitřní od M. Sestrojte kružnici procházející odem M dotýkjící se rmen úhlu AVB. 0) Jsou dán různoěžk,, P kružnice k tk, že P náleží vnitřní olsti kružnice k. Sestrojte všechn kružnice, které se dotýkjí přímek, kružnice k. ) Do dného ostroúhlého trojúhelník ABC vepište čtverec tk, jeho dv sousední vrchol ležel n strně AB zývjící dv n strnách AC BC. ) Sestrojte trojúhelník ABC je-li dáno: ) : = :, = 60, v c cm ) : = :, = 60, v cm ) Je dán kružnice k(s;r) od M, který leží uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu XY kružnice k tk, pltilo: XM YM. ) Je dán kružnice k(s;r) od M, který leží vně kružnice k. Bodem M veďte sečnu kružnice k tk, pro její průsečík X, Y s kružnicí k pltilo: XM YM. ) Do půlkruhu s průměrem AB vepište čtverec KLMN tk, strn KL ležel n úsečce AB dlší dv vrchol n dné půlkružnici. 6) Je dán kružnice k(s;cm), od k M přímk p, která je vnější přímkou dné kružnice. Sestrojte všechn kružnice, které se dotýkjí kružnice k v odě M zároveň se dotýkjí přímk p. 0

21 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě. Stereometrie Vzájemná poloh přímek, dvou rovin, tří rovin jejich průsečnic, vzájemná poloh přímk rovin, kriteri rovnoěžnosti dvou rovin, přímk rovin, kriteri kolmosti přímk rovin, vlstnosti přímk kolmé k rovině, kriterium kolmosti dvou rovin, řez rovnoěžnostěnů prvidelných jehlnů, průnik přímk s tělesem. Skutečná velikost úsečk, vzdálenost odu od rovin, odchlk dvou přímek, dvou rovin, přímk rovin grfické vjádření, numerické výpočt ez použití metod nltické geometrie. Výpočt ojemů povrchů těles, resp. Jejich rozměrů, pomocí Pthgorov vět goniometrických funkcí. ) Je dán krchle ABCDEFGH. Zorzte řez krchle rovinou: ) AHL, L je střed hrn BF ) PQR, P je střed FH, Q je střed AE, B je střed CR c) PQR, E je střed PA, Q je střed GH, R je střed BC d) KLM, K je střed AE, L je střed EF, M je střed BC e) KLM, K je střed AB, L je střed BC, M je střed CG ; určete osh tohoto řezu, je-li hrn krchle ) Je dán krchle ABCDEFGH. Zorzte její průsečík s přímkou PQ, je-li dáno: ) P je střed BF, H je střed QD ) P je střed krchle, Q BA, QB =, AB ) Je dán prvidelný čtřoký jehln ABCDV. Sestrojte jeho řez rovinou KLM: K je střed AB, L je střed DV, M VB, VM, VB. ) Je dán krchle ABCDEFGH, od K je střed hrn DH. Určete odchlku přímk DF od rovin ACK. ) V prvidelném čtřokém jehlnu ABCDV je dáno: Určete : ) odchlku rovin ABC oční stěn ) odchlku oční hrn CV od rovin ABC c) odchlku dvou sousedních očních stěn 6) Je dán krchle ABCDEFGH. Určete odchlku rovin ACF ACH. 7) V krchli ABCDEFGH určete vzdálenost středu S stěn ABFE od rovin BDF, je-li hrn krchle. 8) Je dán prvidelný čtřstěn ABCD o délce hrn. Určete: ) jeho tělesovou výšku ) odchlku očních hrn od rovin podstv c) odchlku očních stěn od rovin podstv 9) Bod M je střed hrn AV od S je střed podstv prvidelného šestiokého jehlnu ABCEFV, v němž AB cm, VS v 6cm. Určete odchlku přímk BM od rovin podstv. 0) V prvidelném šestiokém jehlnu ABCDEV je dáno : AB, AV, od M je střed AV. Vpočtěte Vzdálenost odu M od přímk DV. ) Je dán krchle ABCDEFGH rovin, která prochází odem K je kolmá n přímku DG. Bod K leží n polopřímce AB, AK, AB. Vpočtěte osh řezu krchle rovinou, jestliže AB. ) Určete ojem komolého rotčního kužele, jehož podstv má poloměr r=cm, odchlk strn od rovin podstv je 60 druhá podstv má poloměr rovný délce strn.

22 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě. Vektor Operce s vektor v rovině jejich vlstnosti, lineární závislost nezávislost vektorů geometrický význm, vektorový, sklární, součin vektorů, jejich užití. Prmetrické oecné vjádření přímek vzájemná poloh dvou přímek v rovině, prmetrická rovnice úsečk, polopřímk, Vzdálenost odu od přímk, vzdálenost dvou rovnoěžných přímek, odchlk dvou přímek. ) K jednotkovému vektoru 0,; ), 0 určete kolmý vektor o velikosti. ( ) Určete vektor, kterými jsou vjádřen strn těžnice trojúhelník ABC vpočítejte jeho osh: A[;], B[7;], C[-;]. ) Jsou dán vrchol A,B čtverce ABCD. Určete souřdnice vrcholů C,D osh tohoto čtverce: A[;], B[-;]. ) Vpočítejte délk strn osh trojúhelník ABC: A[-;], B[;-]; C[;7]. ) Npište oecnou i prmetrickou rovnici přímk, která je rovnoěžná s přímkou p prochází odem A[;]: ) p: + = 0 ) p: = t; = + t 6) Npište oecnou i prmetrickou rovnici přímk, která je kolmá k přímce p prochází odem A[;-]: ) p: - + = 0 ) p: = t; = t 7) Jsou dán od A[;-], B[;]. Npište oecnou, prmetrickou i směrnicovou rovnici přímk AB. 8) Npište oecnou rovnici přímk, jejíž prmetrický tvr je p: = +t; = t 9) Npište prmetrickou rovnici přímk, která má oecnou rovnici p: + 7 = 0 0) Určete vzájemnou polohu přímek p, q, přípdně jejich průsečík, odchlku neo vzdálenost: ) p: + = 0 q: + = 0 ) p: = - + 7t; = - + t q: 7 + = 0 c) p: = t; = t; q: = + s; = s d) p: + = 0 q: = 0 e) p: + 6 = 0 q: = t; = t f) p: = t; = + t q: = + t; = t ) Určete velikost výšk v v trojúhelníku ABC: A[;], B[;-], C[-;-] ) Určete rovnici přímk, která prochází odem P[-;] má od odu Q[;] vzdálenost v =. ) Určete rovnici přímk, která prochází odem M[-;] s přímkou p: = 0 svírá úhel. Operce s vektor v prostoru jejich vlstnosti, lineární závislost nezávislost vektorů geometrický význm, vektorový, sklární, smíšený součin vektorů, jejich užití. Prmetrické oecné vjádření přímek rovin, vzájemná poloh dvou přímek v prostoru, vzájemná poloh přímk rovin, dvou rovin, prmetrická rovnice úsečk, polopřímk, polorovin. Vzdálenost odu od přímk, rovin, vzdálenost dvou rovnoěžných přímek, rovin, vzdálenost přímk od rovin, odchlk dvou přímek, dvou rovin, přímk rovin. ) Určete, zd zdné vektor jsou lineárně závislé: ( ;;), (; ;), c(;; ).

23 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě ) Určete, zd od A[-;;0], B[0;;-], C[-;-;9] jsou kolineární (leží n jedné přímce). ) Určete, zd od A[-;;0], B[0;;-], C[-;-;9], D[;-;] jsou komplnární (leží v jedné rovině). ) Vpočítejte ojem čtřstěnu ABCD: A[;;-], B[-;;-], C[;6;0], D[;;]. ) Určete vzájemnou polohu rovin,, přípdně jejich průsečnici, odchlku, vzdálenost: ) : r s; r s; z r s : k m; k; z k m ) : = - + k s; = k; z = k; k,sr; : z = 0 c) : z = 0 : 6 + 6z ) Určete rovnici přímk p, která prochází odem A[;-;0], je různoěžná s přímkou q: = + k; = - - k; z = k; kr p, q = 90. 7) Určete rovnici přímk p, která prochází odem A{-;;] je kolmá n rovinu : =-r+s; =r+s; z=--s; r,sr. 8) Určete vzájemnou polohu přímek p, q, přípdně jejich průsečík, odchlku neo vzdálenost: ) p: =-+7s; =-+s; z=7-s; q: =+t; =-+6t; z=-t; s,tr ) p: =-+t; =+t; z=-t; q: =-k; =k; z=-+k; k,tr 9) Určete rovinu, která prochází odem A[;-;-] je kolmá n přímku p: =-+k; =-k; z=k; kr. 0) Určete rovinu, která prochází od A[;0;-], B[;-;] je kolmá n rovinu : + z = 0. ) Určete rovnici rovin, která je rovnoěžná s přímkou p: =-t; =-t; z=-+t; tr oshuje od A[;-;], B[-;;]. ) Určete oecnou rovnici rovin, která je rovnoěžná s rovinou : =-+k+s; =-k-s; z=+k; k,sr oshuje od A[-;;]. ) Určete vzájemnou polohu přímk p: =-s; =-s; z=-; sr rovin : ++z-=0. ) Npište oecnou i prmetrickou rovnici rovin, která je určen: ) odem A[-;-6;] přímkou p: =+t; =--t; z=t; tr ) od A[-;;0], B[;;], C[0;-;-] ) Vpočtěte výšku trojokého jehlnu ABCV z vrcholu V k podstvě ABC: A[-;;], B[-;0;-], C[;-;], V[;;]. 6) Vpočítejte vzdálenost odu Q[;-6;-6] od: ) Přímk AB, A[-;-;], B[;;] ) Rovin : z = 0 7) Vpočítejte vzdálenost rovin : =-+k+t; =-k-s; z=+k; k,sr :++z-=0 8) Vpočítejte vzdálenost přímk AB od rovin : +-z=0; A[;;], B[-;;0] 9) Vpočítejte vzdálenost přímek p=ab, q=cd: A[;;0], B[;-;], C[0;0;], D[-;;-]

24 0) Určete vzájemnou polohu přímek p=ab, q=cd: ) A[;;], B[;-;], C[0;;], D[-;;-] ) A[;;], B[;-;], C[0;0;], D[-;;7] Sírk procvičovcích příkldů k mturitě ) Určete odchlku rovin: ++z-=0 : =-k-s; -+k+s; z=--k-s; k,sr ) Určete odchlku přímk p: =+t;=-t;z=t;tr od rovin : =-r-s; =6+r-s; z=+r; r,sr ) Určete vzájemnou polohu rovin,: ) : +z-=0 : z-=0 ) : --z+0=0 : =+t-s; =-t; z=+t-s, t,sr c) : =-+t-s; =+t+s; z=+t+s; t,sr : +-z+7=0

25 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě 6. )Uzvřené kuželosečk - kružnice Oecné vjádření kružnice, kruhu, ploch vně kruhu, úprv n středový tvr, středová oecná rovnice kulové ploch, nltické vjádření koule, vzájemná poloh přímk kružnice, rovnice tečn kružnice, tečné rovin kulové ploch.. Určete rovnici kružnice opsné trojúhelníku ABC, A[;], B[;], C[6;9]. Určete souřdnice středu poloměr.. Npište rovnici kružnice k, která má střed S[;] n přímce p: + - = 0 vtíná tětivu délk d = 8.. Njděte rovnici kružnice, jejíž střed leží n přímce p: = 0, má poloměr prochází odem A[6;9].. )Npište rovnici kružnice, která prochází od A[;], B[;6] její střed leží n přímce p: + - = 0. )Určete rovnici kružnice, procházející od A[;], B[7;0], která má střed n ose.. Njděte rovnici kružnice, která prochází od A[;], B[7;] dotýká se os. 6. ) Je dán kulová ploch o rovnici z 9 ploch s osou. ) Je dán koule s nltickým vjádřením z 9 průnik s osou. 7. Njděte střed poloměr kružnice o dné rovnici nčrtněte ji: ) ) Njděte průnik kulové. Určete její 8. Npište rovnici kružnice k, která prochází odem A[;] průsečík přímk p: + = 0 s kružnicí l: Vpočtěte velikost tětiv, kterou přímk p o rovnici p: - = 0 vtne n kružnici o středu S[-;-] poloměru r = rovnici tečn této kružnice, která je s touto přímkou rovnoěžná. 0. Npište rovnice tečen, vedených odem P ke kuželosečce o dné rovnici: 0 0 ; P[0;0].

26 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě 6. )Uzvřené kuželosečk - Elips Definice elips jko množin odů, oecná středová rovnice elips. Tečn, sečn, nesečn elips, její rovnice ez použití diferenciálního počtu. ) Určete souřdnice středu, vrcholů ohnisek elips nčrtněte ) = 0 ) = 0 c) = 0 ) Elipse o rovnici + = je vepsán rovnostrnný trojúhelník, jehož jeden vrchol splývá s hlvním vrcholem elips. Určete souřdnice zývjících vrcholů trojúhelník. ) Npište rovnici elips, která má os v osách,, ohnisko n ose, ecentricitu e = 6 prochází odem M [-, ]. ) Je dán elips o rovnici = 0. Určete, zd od M je vnitřní neo vnější: ) M [;], ) M [-;]. ) Npište rovnici elips se středem S [0;0], která prochází od A [8;], B [6;]. 6) Určete rovnici elips se středem v počátku soustv souřdnic hlvní poloosou = ležící n ose, je-li trojúhelník MNP rovnostrnný (M,N,P jsou vrchol elips). 7) Je dán elips =. Určete osh čtverce vepsného do elips. 8) Je dán elips o rovnici + 6 = 0. Určete hodnot reálného prmetru c tk, přímk p: + c = 0 l ) sečnou elips ) tečnou elips c) neměl s elipsou žádný společný od. 9) Npište rovnici tečn elips o rovnici 9 6 0, která je kolmá k přímce o rovnici p : ) Npište rovnice tečen, vedených odem P ke kuželosečce o dné rovnici: ) 9 0; P[0; ] ) N elipse o rovnici njděte od nejližší nejvzdálenější přímce p: + = 0. Určete tto vzdálenosti. 6

27 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě 7. )Otevřené kuželosečk - Prol Definice prol jko množin odů, oecná vrcholová rovnice prol. Prol jko grf kvdrtické funkce. Tečn, sečn, nesečn prol, její rovnice ez použití diferenciálního počtu, jednoodové sečn prol jejich rovnice význm. ) Určete souřdnice vrcholu, ohnisk rovnici řídící přímk prol o dné rovnici nčrtněte ji: ) ) c) 6 0 d) 6 0 ) Npište rovnici prol, která má osu rovnoěžnou s osou prochází od A[0;6], B[;], C[;]. ) Jk vsoké jsou jednotlivé pilíře prolického mostního olouku, jestliže jeho rozpětí je 6m, výšk m vzdálenosti mezi jednotlivými pilíři jsou m? ) Určete rovnici prol, procházející odem A[-;], jestliže její vrcholová tečn má rovnici : = 0 os prol má rovnici o: + 7 = 0 ) Npište rovnice všech přímek, které procházejí odem M[0;-] mjí s prolou o rovnici 0 společný právě jeden od? 6) Npište rovnici prol s vrcholem V[;-7], jejíž řídící přímk má rovnici =. 7) Vrchol rovnostrnného trojúhelník leží ve vrcholu prol o rovnici.. Určete souřdnice osttních vrcholů trojúhelník, leží-li n dné prole. 8) Prol, která má osu rovnoěžnou s osou prochází od A[0;0], B[-;-], C[-;-]. ) Npište rovnici této prol určete její vrchol ) Určete rovnici kružnice, jejímž průměrem je tětiv, vťtá dnou prolou n ose. 9) Npište rovnice všech přímek, které procházejí odem M[-8;-8] mjí s prolou o rovnici 8 0 společný právě jeden od. 0) Npište rovnici tečn k prole 6 7 0, která je rovnoěžná s přímkou p: + + = 0. ) Njděte rovnici tečn normál prol o rovnici 7 v jejím odě T[7/;>0]. 7

28 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě 7. ) Otevřené kuželosečk - Hperol Definice hperol jko množin odů, oecná středová rovnice. Rovnice hperol s osmi rovnoěžnými s osmi soustv souřdnic, rovnoosá hperol, hperol jko grf funkce nepřímá úměrnost, význm rovnice smptot hperol. Tečn, sečn, nesečn hperol, její rovnice ez použití diferenciálního počtu, jednoodové sečn hperol jejich rovnice význm. ) Npište rovnici hperol, která má střed v počátku soustv souřdnic, prochází odem M [;] má smptotu o rovnici + =0. Určete velikosti poloos. ) Určete střed, vrchol, ohnisk rovnice smptot hperol nčrtněte ji, je-li její oecná rovnice ) = 0 ) = 0 c) = 0 ) Npište rovnici rovnoosé hperol, jejíž smptot jsou souřdné os která prochází odem M [-;]. ) Je dán hperol o délkách poloos, : ) Určete vzdálenost ohnisk hperol od její smptot. ) Vpočtěte délku tětiv hperol, která prochází jejím ohniskem je kolmá n hlvní osu hperol ) Určete polohu odu M vzhledem k hperole = 0: ) M [;], ) M [-;] 6) Bod M [0; ] leží n hperole o rovnici = 6. Určete jeho vzdálenost od ohnisek. 7) Je dán hperol o rovnici 9 9 = 0 od M [;0]. Npište rovnice všech přímek, které procházejí odem M mjí s hperolou společný právě od. 8) Určete rovnici tětiv hperol o rovnici 0, která je půlen odem A[;]. 9) Npište rovnice tečen, vedených odem P ke kuželosečce o dné rovnici: 0; P[0; ] 0) Npište rovnice všech přímek, které procházejí odem M[-;-/] mjí s hperolou o rovnici 0 právě jeden společný od. 8

29 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě 8. Kominční číslo, fktoriál, inomická vět Definice znčení fktoriálu, 0!, kominční číslo výpočet, zákldní význm hodnot kominčního čísl, operce s kominčními čísl fktoriál, Psclův trojúhelník, inomická vět. ) V množině N řešte rovnici: ) ) Zjednodušte výrz: n 9 6 ) n! n! n! n n ) 9 n n! n! n )! n! n n! c) ) V množině R řešte rovnici o neznámé prmetru n N : n! n! n!... nn! n! n! n! n!... ) Dokžte, že pro všechn přirozená čísl k pltí: ) V N řešte rovnici: k k k Pro všechn přípustné hodnot n uprvte: 7) Je-li n přirozené číslo včetně 0, uprvte: n! n! n! n! n! n! n! V n! n! n! n n! n! n 8 V množině N řešte rovnice: ) n 6! n 6n 8 n!! ) n! n! n 9 Určete, pro které číslo R je pátý člen inomického rozvoje při výpočtu 0 Určete, který člen inomického rozvoje výrzu Určete hodnotu solutního členu rozvoje výrzu 0 oshuje 6 8.! n c) n 8 n podle inomické vět. Určete ten člen, který v mnohočlenu, vzniklém výpočtem oshuje 0 0. roven číslu 0. Pomocí inomické vět určete hodnotu.0. Určete desátý člen rozvoje následujícího výrzu podle inomické vět: 0 Dokžte, že pro kždé přirozené číslo n je výrz n 6 n V dělitelný. 6 V rozvoji n je třetí člen 8 čtvrtý člen 80. Určete, n. 9

30 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě 9. Komintorik prvděpodonost Vrice ez opkování, s opkováním, permutce, komince ez opkování, s opkováním vsvětlení pojmu, zápis, výpočet. Zákldní způso výpočtu prvděpodonosti náhodného jevu, jev jistý, jev nemožný, vlstnosti prvděpodonosti prvděpodonost doplňkového jevu, slučitelné, neslučitelné, závislé, nezávislé jev jejich sjednocení průnik, Bernoulliho schém.. V kolik odech se protíná 0 přímek, ležících v jedné rovině, jestliže žádné tři z nich neprocházejí týmž odem žádné dvě nejsou rovnoěžné? Určete počet průsečíků, jsou-li čtři přímk nvzájem rovnoěžné.. Kolik trojciferných přirozených čísel s různými cifrmi lze vtvořit z číslic 0,,,,, 7? Určete počet sudých čísel s uvedenými vlstnostmi. Určete počet tkto vtvořených čísel, která jsou větší než 0.. Arnžér má ve výkldu umístit vedle see čtři stejné znk, z nichž jsou dv ílé, jeden černý jeden zelený. Kolik různými způso to může učinit?. Je dáno deset různých odů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. Zjistěte, kolik rovin tto od určují, pltí-li : ) Žádné čtři od neleží v jedné rovině. ) Právě šest odů leží v téže rovině. Určete kolik přímek tto od určují, jestliže čtři od leží n jedné přímce, jiné tři od leží v druhé přímce.. Ze šesti mužů čtř žen se má vrt sedmičlenná skupin. ) Kolik různými způso je to možné? ) Kolik způso je to možné, mjí-li ýt ve skupině právě dvě žen? 6. V kvristice mjí v dosttečném množství celkem čtři různé druh kvrijních rek. Kolik různými způso si můžeme vrt? ) Šest rek. ) Šest rek při nákupu po párech? 7. 6 žáků lo n rigádě nmátkou rozděleno do 9 místností po žácích. ) Kolik různými způso mohou ýt určitému žáku přiděleni jeho spoludlící? ) Kolik různými způso je možné žák rozdělit, neuvžujeme-li rozdílnost místností? 8. Kolik různými způso je možné n čtvercové šchovnici se 6 poli, vrt pole tk, neležel všechn tři v jednom sloupci? 9. V rodině je 6 dětí. Jká je prvděpodonost, že tto rodin má: ) 6 snů ) sn dcer c) sn dcer d) Aspoň sn je-li prvděpodonost nrození sn dcer stejná? 0. V dílně v níž prcovlo 9 mužů 6 žen došlo k nehodě, při níž l zrněn oso. Jká je prvděpodonost, že to li jen muži?. Prvděpodonost, že žárovk vdrží svítit 000 hodin je 0,. Jká je prvděpodonost, že ze prlelně zpojených žárovek vdrží svítit spoň jedn?. Jká je prvděpodonost, že při vrhu 6 kostkmi pdne n z nich šestk n třech nepdne šestk?. Mezi 0 výrok je 8 zmetků. Jká je prvděpodonost, že při náhodném výěru výroků udou: ) Aspoň zmetk. ) Nejvýše zmetk c) Právě zmetk. 0

31 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě. Tři střelci střílejí do terče s následující úspěšností:. střelec 0,9;. střelec 0,8;. střelec 0,8. Jká je prvděpodonost že se do terče netrefí žádný, střílejí-li kždý jedenkrát?. Ve třídě je 0 žáků z toho 0 dívek. Jká je prvděpodonost, že ze 7 náhodně vrných ude: ) dívek chlpci. ) Aspoň dívk. ) Nejvýše chlpci. 6. Ve 00 nově postvených tech nepřiléhjí okn u tů dveře u 0 tů. Jká je prvděpodonost, že v náhodně přiděleném tě: ) Není ni jedn z těchto závd. ) Je spoň z těchto závd. c) Jsou oě uvedené závd?

32 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě 0. Komplení čísl. Množin kompleních čísel, její znčení, vzth k množině R, zorzení do rovin. Imginární jednotk, lgerický goniometrický tvr kompleního čísl, číslo rze imginární, čísl kompleně sdružená, operce s kompleními čísl, solutní hodnot kompleního čísl, Moivreov vět. Řešení kvdrtických inomických rovnic v množině kompleních čísel. ) Vpočtěte: i i 6 i i ) Určete solutní hodnotu kompleního čísl: i i i ) z ) z i i i ) Převeďte n goniometrický tvr: 0 i ) z i ) z i c) z i d) z i ) Určete v rovině orz oorů prvdivosti následujících rovnic: ) z ) z z c) z i z i ) Určete v rovině orz oorů prvdivosti následujících nerovnic: ) z ) z z i c) z i z i d) z i z z f) z e) i 6) Určete v lgerickém i goniometrickém tvru čísl: ) 6 7) V C řešte: ) z z ) z z z z i ) i z i c) z i 8) Je dán prvidelný pětiúhelník se středem v počátku soustv souřdnic, jeden jeho vrchol je orzem kompleního čísl i. Určete komplení čísl, jejichž orz jsou zývjící vrchol pětiúhelník. 9) V C řešte rovnice: ) i 0 ) i 0 c) 0 d) 8 e) f) i g) i 0 h) 7 0 i) 0 j) j) 0 0 k) 0) Npište kvdrtickou rovnici s reálnými koeficient, je-li jeden její kořen: i ) 6i ) c) i i i l) 0

33 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě. Posloupnosti Definice posloupnosti, vzorec pro n-tý člen, rekurentní zdání, definice monotónní omezené posloupnosti konečná, nekonečná posloupnost, limit posloupnosti. Definice ritmetické, geometrické posloupnosti, jejich vlstnosti v závislosti n diferenci, resp. prvním členu kvocientu, součet prvních n členů těchto posloupností. Definice limit posloupnosti grfické znázornění, konvergence divergence liovolné posloupnosti, geometrické, ritmetické posloupnosti, způso výpočtu limit posloupnosti rcionálního lomeného výrzu. ) Posloupnost n n n je dán vzorcem n n n, posloupnost n n n n. Určete, zd jsou tto posloupnosti totožné. n ) Určete, zd jsou následující posloupnosti rostoucí neo klesjící: n n 0 n ) n ) n n c) n n n ) Vjádřete vzorcem pro n-tý člen posloupnost, zdnou rekurentně: n ) Posloupnost log n vjádřete rekurentně určete její vlstnosti. ) Určete, pro které hodnot je dná posloupnost rostoucí: 6) U dných posloupností určete jejich omezenost: n n rekurentním vzorcem : ; n d)n 0n n n n n ; n. n ) n n ) c) n n n n 7) Určete 0.člen ritmetické posloupnosti, ve které pltí: 9 ;.. 8) Určete součet prvních 0 členů ritmetické posloupnosti, ve které pltí. 6; 0. 9) Mezi čísl 7 vložte tková čísl, s dnými čísl tvořil geometrickou posloupnost, určete součet. 0) Určete první člen geometrické posloupnosti n n, pltí-li: ; q=. pltí: ) V geometrické posloupnosti n n ; q=. Určete, pro které n pltí: 0 6 n n. ) Délk strn kvádru tvoří po soě jdoucí člen ritmetické posloupnosti. Určete velikosti strn, je-li ojem kvádru cm součet délek všech hrn kvádru je 96 cm. ) Kolikrát uhodí pličk hodinového stroje v čsovém intervlu od 0 do hodin, tluče-li ve čtvrt jedním, v půl dvěm, ve třičtvrtě třemi úder v celou hodinu čtřmi úder plus počtem úderů, oznčujícím hodinu? ) V prodejně jsou sestven konzerv do deseti řd nd seou tk, že počt konzerv v řdách tvoří po soě jdoucí člen ritmetické posloupnosti. Ve třetí řdě od shor jsou konzerv, v šesté od shor 0 konzerv. ) ) Určete počet všech konzerv. ) Kolik konzerv je tře dát do spodní řd, chceme-li 7 konzerv uspořádt do 9 řd nd seou tk, v kždé následující řdě lo vžd o jednu konzervu méně?

34 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě ) Původní cen stroje l Kč. Jkou cenu ude mít stroj z 0 let, odepisuje-li se ročně n mortizci 0% cen předchozího roku? 6) Jký vkld vzroste z 0 let při 6,% úroku n Kč? 7) O kolik procent ročně je tře zvšovt výrou se při konstntním procentuálním přírůstku z 0 let zdvojnásoil? 8) Určete hodnot limit dokžte ji podle definice: ) lim n n n ) lim n n n n n n 9) Určete následující limit: ) lim ) lim c) lim n n n n n n cn d n n n d) lim n n e) lim n n n f) lim g) lim n n n n h) k) m) n n lim i) lim n n n lim n n n n n n n n lim j) lim n n n n n n l) lim n n n) lim n n n n

35 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě. Řd, finnční mtemtik Definice nekonečné řd, sumční zápis, nekonečná geometrická řd její součet jko limit posloupnosti částečných součtů, podmínk konvergence. Reálné číslo jko součet konvergentní nekonečné řd, převod rcionálního čísl dného periodickým rozvojem do zlomku Aplikce součtu konvergentní geometrické řd ve finnčních výpočtech, jednoduché složené úročení. ) Určete, pro které hodnot proměnné je následující řd konvergentní: sin ) Vjádřete následující číslo s nekonečným periodickým rozvojem pomocí zlomku, uveďte do souvislosti s nekonečnou geometrickou řdou: ) 0, ), c),6 ) Vjádřete součet: n n n 8 6 ) Vjádřete součin: n n. n n ) V R řešte rovnice: ) n ) n 8 c) log log log log 6 d) e) 8 6 f) 6) Určete délku nekonečné rovinné spirál, složené z půlkružnic, má-li kždá polokružnice poloměr roven 0,7 poloměru předchozí kružnice poloměr největší kružnice je cm. 7) Nd výškou rovnostrnného trojúhelník o délce strn je sestrojen nový rovnostrnný trojúhelník, nd jeho výškou opět dlší td. Určete součet oshů všech těchto trojúhelníků. 8) Původní cen stroje l Kč. Jkou cenu ude mít stroj z 0 let, odepisuje-li se ročně n mortizci 0% cen předchozího roku? 9) Jký vkld vzroste z 0 let při 6,% úroku n Kč? 0) O kolik procent ročně je tře zvšovt výrou se při konstntním procentuálním přírůstku z 0 let zdvojnásoil? ) Podniktel potřeuje získt úvěr ve výši mil. Kč n jeden rok. První nk nízí úvěr s úrokovou mírou,%: vpltí podnikteli celou poždovnou částku po roce ude poždovt nvíc úrok ve výši,% z půjčené částk. Druhá nk nízí úvěr s diskontní mírou,%: odečte ihned při posktnutí úvěru z poždovné částk,% podniktel poté spltí mil. Kč. ) Kolik Kč zpltil po roce celkem. nce? [ Kč] ) Kolik Kč vpltil podnikteli. nk, kd požádl o milion Kč? [ Kč]

36 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě c) O jk vsoký úvěr musel požádt v druhé nce, získl mil. Kč? [ o Kč] d) Která z oou nk posktuje výhodnější úvěr? [výhodnější je. nk] ) Jk vsokou úrokovou míru nám musel nídnout nk, se náš kpitál 0 000Kč zvýšil z dv rok n 000Kč. Předpokládáme vkld n termínovný účet n dv rok s měsíčním úročením, jde o složené úročení. [, 06%] ) Bnk nízí úvěr s úrokovou mírou,%; úrokovcí odoí je čtvrt roku, úročí se n konci kždého klendářního čtvrtletí, jde o složené úročení. Bnk posktuje úvěr v celých desetitisícikorunách. Podniktel si chtěl půjčit n zčátku klendářního roku n jeden rok, předpokládá, že ude mít n splcení dluhu milion korun. Kolik korun si může mimálně půjčit? [, 0 mil. Kč] 6

37 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě. Limit funkce Definice limit funkce-grfické znázornění, jednostrnná, ooustrnná limit, prvidl pro počítání s limitmi, vlstní, nevlstní limit, limit ve vlstním, nevlstním odě.l hospitlovo prvidlo. Definice spojitosti funkce. Vpočítejte následující limit: sin sin ) X ) lim0 tg lim sin X 0 sin ) lim X 8 ) ) tg lim sin cos X lim 0 sin X ) lim0 X cos tg 6) lim X cos sin tg 7) 8) 9) lim X lim X lim X 9 0) lim X 0 ) ) lim X lim X 8 6 7

38 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě 8 ) 0 7 lim X ) lim X 6) 7 lim X 7) 6 lim X 8) 9 lim0 X 9) lim X 0) lim X

39 Sírk procvičovcích příkldů k mturitě. Derivce funkce Definice derivce, její geometrický význm, derivce elementárních funkcí, prvidl pro výpočet derivce součtu, součinu, podílu dvou funkcí, derivce složené funkce, druhá derivce funkce její geometrický význm. Vzth derivce monotónnosti funkce, lokální, gloální etrém v odech, kde eistuje i neeistuje derivce, v krjních odech intervlu, vzth druhé derivce etrémů funkce, inflení od, průěh funkce, slovní úloh. ) Určete definiční oor derivci funkce f v kždém odě D(f). f : ln sin sin ) Určete rovnice tečen vedených ke grfu funkce f : v odech, kde grf protíná osu. ) Určete, ve kterém odě má prol o rovnici tečnu ) se směrovým úhlem ) rovnoěžnou s přímkou 0 c) kolmou n přímku 0 ) Určete rovnici tečn normál ke grfu funkce f: e cos v odě T[0;?]. ) Určete definiční oor derivci funkce f v liovolném vnitřním odě D(f) ) d) g) cos ) sin e) f) sin h) i) ; podle _ sin k) ln j) c) 6) Určete rovnici tečn ke grfu funkce f sin cos : v odě grfu sin cos T ;?. 7) N válcovou konzervu má ýt spotřeováno dm plechu. Jké má mít konzerv rozměr, přitom měl co největší ojem? 8) Nádrž n vodu má čtvercové dno ojem 6 m. Určete rozměr nádrže tk, spotře mteriálu n vzdění dn stěn l co nejmenší. 9) 60 metrů dlouhým pletivem má ýt oehnán odélníkový výěh pro slepice, jednou strnou přiléhjící ke zdi stvení. Jké rozměr musí mít, jeho ploch l co největší? 0) Do půlkruhu o poloměru r je vepsán odélník mimálního oshu. Určete rozměr odélník. ) Půdors divdelního jeviště je sjednocením odélník půlkruhu. Ovod půdorsu je 0 m. Určete rozměr půdorsu tk, jeho osh l co největší. ) Z tuhého ppíru délk 0 cm šířk 0 cm má ýt vroen kričk ez víčk vstřižením čtverců v rozích ppíru následným slepením. Určete rozměr kričk tk, měl co největší ojem. 9