Algebra II pro distanční studium
|
|
- Jiří Urban
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Algebra II pro distanční studium
2 (1) Předmluva I. Struktury s jednou binární operací Základní vlastnosti grup Podgrupy Grupy permutací Homomorfismy grup Vnoření pologrupy do grupy Cyklické grupy Grupy řádu n < Rozklad podle podgrupy Normální podgrupy Kongruence Faktorové grupy Direktní součiny grup
3 II. Struktury se dvěma binárními operacemi Od okruhu k tělesu Okruh polynomů Homomorfismy a ideály Faktorové okruhy Prvoideály a maximální ideály Dělitelnost v oboru integrity Gaussovy okruhy Okruhy hlavních ideálů Vnoření okruhů do těles Literatura (2)
4 (3) Předmluva Toto skriptum je určeno studentům matematických oborů na PřF OU, jako doplňkový text ke kurzu Algebra 2, respektive ke kurzu Algebraické struktury. Skriptum shrnuje základní poznatky z teorie algebraických struktur s jednou nebo se dvěma binárními operacemi. Ke čtení tohoto skripta je zapotřebí povrchní znalost lineární algebry. V části věnované algebraickým strukturám s jednou operací jsou představeny grupy včetně speciálních tříd grup permutací a cyklických grup. V této části se studují homomorfismy grup a jejich souvislost s faktorovou grupou. V jedné z kapitol je uveden výčet grup až do řádu 15. Poslední kapitola řeší otázku, kdy je grupa direktním součinem svých podgrup. Třetí část popisuje okruhy, tělesa a obory integrity. Podobně jako v kapitole o grupách je zde ukázána provázanost homomorfismů a faktorových okruhů. Dále je zde také popsána dělitelnost v oborech integrity
5 následovně speciální třídy okruhů Gaussovy okruhy, Eulerovy okruhy a okruhy hlavních ideálů. Závěr je věnován vnoření oboru integrity do tělesa. (4) Tato verze má datum 28. listopad 2006.
6 I.1 (5) I. Struktury s jednou binární operací 1. Základní vlastnosti grup Binární operací na množině G je libovolné zobrazení G G G. Každé uspořádané dvojici prvků z G (operandům) přiřazuje jeden prvek (výsledek) z téže množiny. Obvykle používáme pro binární operaci, která dvojici a, b přiřadí prvek c, multiplikativní zápis a b c, nebo zápis aditivní a b c, setkáme se ale také s jiným označením např.,, atp Definice. Mějme dánu neprázdnou množinu G a binární operaci na G, dvojici G, nazýváme grupoidem. Máme-li dán grupoid G, tak, že je z kontextu zřejmé jakou operaci máme na mysli, pak píšeme obvykle pouze G.
7 Operace v grupoidu G, může splňovat vlastnost I.1 (6) a b b a potom říkáme, že operace je komutativní respektive, že grupoid je komutativní, někdy se také používá pojem grupoid abelovský Příklad. 1. Množina přirozených čísel spolu s operací sčítání N, je komutativní grupoid. 2. Množina přirozených čísel spolu s odčítáním není grupoid, protože pro m, n N, m < n je rozdíl n m záporný a tedy odčítání není binární operací na množině N. 3. Množina lichých přirozených čísel spolu se sčítáním ( 2k 1 N, ) grupoidem není, nebot, součtem dvou lichých čísel je číslo sudé a tedy sčítání není binární operací na množině 2k 1 N. 4. Množina lichých přirozených čísel spolu s násobením ( 2k 1 N, ) je komutativním grupoidem. 5. Množina čtvercových matic stupně 2 spolu s operací násobení matic tvoří nekomutativní grupoid. 1 Abel, Niels Henrik, , norský matematik.
8 V multiplikativních grupoidech budeme často v součinech vynechávat znaménko operace, tedy místo a b budeme psát jen ab Definice. Operace v grupoidu G, je asociativní, pokud pro všechna a, b, c G platí I.1 (7) a b c a b c. Grupoid G,, ve kterém je operace asociativní, nazýváme pologrupou. Jestliže pro tři prvky platí asociativní zákon říkáme tím, že součin těchto prvků, v daném pořadí, je určen jednoznačně. Indukcí lze asociativní zákon rozšířit na libovolnou n-tici prvků pologrupy G, tedy v pologrupě je součin libovolné uspořádané n-tice prvků určen jednoznačně. V dalším textu tedy můžeme v pologrupách vynechávat všechny závorky Příklad. 1. Množina přirozených čísel spolu se sčítáním N, je pologrupou. 2. Množina čtvercových matic stupně 2 spolu s operací násobení je pologrupou. 3. Vektorový prostor R 3 spolu se sčítáním vektorů je pologrupou. 4. Vektorový prostor R 3 spolu s operací vektorového násobení není pologrupa. Vektor u v w u w v v w u,
9 je lineární kombinace 2 vektorů v a u a obecně není shodný s vektorem I.1 (8) u v w v w u v u w w u v, lineární kombinací vektorů w a v. Neutrálním prvkem v grupoidu G, nazýváme prvek e G, který pro všechny a G splňuje vlastnost ea ae a. Neutrální prvek e je v grupoidu G jediný. Jestliže je také e další neutrální prvek grupoidu G, pak e ee e. Jestliže nemůže dojít k záměně s čísly 1 a 0, lze namísto obvyklého označení písmenem e v případě multiplikativního grupoidu značit neutrální prvek znakem 1 a v případě aditivního grupoidu znakem Definice. Pokud v pologrupě G, existuje neutrální prvek e říkáme trojici G,, e monoid Příklad. 1. Množina přirozených čísel s operací násobení je monoidem s neutrálním prvkem e 1. 2 Operace tady představuje skalární součin vektorů.
10 2. Množina čtvercových matic stupně 2 s operací násobení matic je monoidem s neutrálním prvkem E ( ) I.1 (9) 3. Vektorový prostor R 3 spolu se sčítáním vektorů je monoid s neutrálním prvkem o 0, 0, 0. Mějme monoid G, s neutrálním prvkem e. Jestliže k prvku a G existuje prvek a 1 G s vlastností a a 1 a 1 a e, říkáme prvku a 1 inverzní prvek k prvku a. V monoidu G, je inverzní prvek k prvku a G, pokud existuje, určený jednoznačně. V případě, že existují k jednomu prvku a G dva různé inverzní prvky, a 1 1 G a a 1 2 G, potom a 1 1 a 1 1 e a 1 1 aa 1 2 ea 1 2 a Definice. Jestliže v pologrupě G, existuje neutrální prvek e a e e a a
11 a pro každý prvek a G existuje inverzní prvek a 1 I.1 (10) nazýváme tuto pologrupu grupou. a a 1 a 1 a e 1.8. Příklad. 1. Množina celých čísel spolu s operací sčítání Z, tvoří komutativní grupu, kde neutrálním prvkem je e 0 a inverzním prvkem k prvku a Z je a. 2. Vektorový prostor R 3 spolu se sčítáním tvoří komutativní grupu. 3. Množina regulárních čtvercových matic stupně 2 spolu s operací násobení tvoří nekomutativní grupu označovanou GL 2 R, kde neutrálním prvkem je ( ) 1 0 E. 0 1 Mějme regulární matici ( ) a b A, c d její determinant ad bc je nenulový, tedy existuje regulární matice ) A 1 ( d ad bc c ad bc b ad bc a ad bc,
12 inverzní prvek k matici A. 4. Množina všech čtvercových matic stupně 2 spolu s operací násobení netvoří grupu, protože singulární matice nemají inverzní prvky. I.1 (11) Pokud v grupě G dále zkoumáme vlastnost inverze prvku a G, dostáváme a ae a ( a 1 a 1 1) aa 1 a 1 1 e a 1 1 a 1 1. Pro součin dvou prvků a, b grupy G platí ab ab 1 e, pokud tuto rovnost pronásobíme zleva postupně inverzními prvky k a a b, obdržíme ab 1 b 1 a 1. Necht, pro prvky a, b 1, b 2 grupy G platí rovnost ab 1 ab 2. Obě strany rovnice můžeme zleva vynásobit inverzním prvkem a 1, tedy a 1 ab 1 a 1 ab 2 uplatníme-li asociativnost a vlastnost inverzí obdržíme eb 1 eb 2 a tedy b 1 b 2. Obdobně z rovnosti b 1 a b 2 a plyne rovnost b 1 b 2. Existence inverzních prvků v G,, tedy zajišt, uje, že ab 1 ab 2 implikuje b 1 b 2. Říkáme, že v grupě lze krátit zleva, podobně bychom zavedli pojem krácení zprava.
13 Prvku e p grupoidu G, s vlastností ae p a, pro všechna a G, říkáme pravý neutrální prvek. Obdobně prvku e l grupoidu G, s vlastností e l a a říkáme levý neutrální prvek. Mějme v grupoidu pravý neutrální prvek e p. Prvku a 1 p s vlastností aa 1 p e p říkáme pravý inverzní prvek k prvku a. Obdobně prvku a 1 l s vlastností a 1 l a e p říkáme levý inverzní prvek prvku a. Obdobně také s levým neutrálním prvkem Věta. Jestliže v pologrupě G, existuje pravý neutrální prvek e p a pro každý prvek a G existuje alespoň jeden pravý inverzní prvek a 1 p, pak je G, grupou. Důkaz. V grupě G pro každé a G platí e p aa 1 p e p e p e p aa 1 p. Pronásobíme-li obě strany rovnosti jedním z inverzních prvků k a 1 p dostaneme e p ae p ae p tedy e p a a a prvek e p je neutrálním prvkem pologrupy G. Dále jej tedy značme bez indexu, pouze e. a 1 p Mějme prvek a G a jeden jeho pravý inverzní prvek a 1 p. Platí a 1 p e a 1 p aa 1 p. Pokud pronásobíme obě strany této rovnosti, dostaneme rovnost e a 1 p ae a 1 p a a prvek a 1 p je inverzním prvkem k prvku a. Pologrupa G splňuje tedy obě vlastnosti grupy. jedním z inverzních prvků k a 1 p Předchozí větu můžeme vyslovit také pro levé neutrální a levé inverzní prvky. Věta 1.9 nám usnadňuje rozhodování, zda struktura je I.1 (12)
14 grupou. Nyní stačí ověřit jedinou z rovností ae a a ea a pro potenciální neutrální prvek e a všechna a G. Podobně stačí pro všechna a G ověřit jedinou z rovností aa 1 e, a 1 a e pro potenciální inverzní prvky Definice. Řádem grupy G nazýváme mohutnost množiny G. Pokud je G konečná množina říkáme, že grupa G je konečného řádu. Pokud je G nekonečná množina, říkáme že grupa G má nekonečný řád. Řád grupy značíme # Definice. Řádem prvku a v grupě G, rozumíme nejmenší přirozené číslo n pro které platí a } a {{ a } a n e. n-krát Jestliže žádná nenulová mocnina daného prvku a není rovna jednotkovému prvku e říkáme, že prvek je nekonečného řádu Příklad. Symetrií pravidelného n-úhelníku nazvěme takovou permutaci jeho vrcholů, která zachovává vzdálenosti (tedy shodné zobrazení, které permutuje vrcholy daného n-úhelníku). Mějme pevně daný čtverec A, B, C, D. Pokud vezmeme v úvahu, že středová souměrnost se středem S a rotace o 180 kolem téhož středu I.1 (13)
15 I.1 (14) B r 1 A o 1 r 2 S C r 3 o 2 o3 o 4 Obrázek 1. Symetrie čtverce. jsou stejné zobrazení, reprodukuje daný čtverec osm shodných zobrazení, identita, čtyři osové souměrnosti a tři rotace, viz obrázek 1. Tabulka 1 popisuje skládání těchto zobrazení. Takové tabulce, definující grupovou operaci v konečné grupě, říkáme Cayleyova 3 tabulka. Symetrie čtverce spolu se skládáním zobrazení tvoří grupu s identitou jako neutrálním prvkem. Inverzní prvky lze vyčíst v tabulce, osové souměrnosti a rotace o 180 jsou inverzní samy k sobě, r 1 je inverzní k r 2. Značme tuto grupu 4. 3 Cayley, Arthur, , anglický matematik (a advokát). D
16 id o 1 o 2 o 3 o 4 r 1 r 2 r 3 id id o 1 o 2 o 3 o 4 r 1 r 2 r 3 o 1 o 1 id r 1 r 2 r 3 o 2 o 3 o 4 o 2 o 2 r 3 id r 1 r 2 o 3 o 4 o 1 o 3 o 3 r 2 r 3 id r 1 o 4 o 1 o 2 o 4 o 4 r 1 r 2 r 3 id o 1 o 2 o 3 r 1 r 1 o 4 o 1 o 2 o 3 r 2 r 3 id r 2 r 2 o 3 o 4 o 1 o 2 r 3 id r 1 r 3 r 2 o 2 o 3 o 4 o 1 id r 1 r 2 Tabulka 1. Skládání v grupě symetrií čtverce. Grupa 4 je řádu 8. Rotace r 1, r 3 jsou prvky řádu 4. Rotace r 2 a osové souměrnosti jsou prvky řádu 2. Pro n-prvkovou množinu je možno sestrojit n 3 různých operací a tedy n 3 různých Cayleyových tabulek, většina z nich ale nepopisuje grupy. Jeden ze způsobů jak poznat grupu podle tabulky se opírá o následující úvahu. Mějme pevný prvek a konečného grupoidu s krácením G a uvažujme zobrazení f a : G G, x ax. Protože v G lze krátit, tedy ax ay implikuje x y je výše zmíněné zobrazení injektivní. Injekce konečné množiny do sebe je jistě bijekcí. Tedy každý řádek Cayleyovy tabulky grupoidu s krácením (podobně i každý sloupec) je permutací množiny G. Je zřejmé, že komutativní grupoid bude mít shodné sloupce I.1 (15)
17 a řádky pro shodné prvky tedy, že tabulka bude symetrická podle diagonály aa, a G. Z Cayleyovy tabulky je ovšem obtížné rozpoznat asociativitu Věta. Pologrupa G, je grupou právě, když pro a, b G mají rovnice a x b, y a b jednoznačně určené řešení x, y G. Důkaz. Jestliže je pologrupa G, grupou, potom pro každé a G existuje inverzní prvek, tedy x a 1 b a y ba 1 jsou prvky, které jsou řešením rovnic a x b, y a b Uvedené rovnice nemají žádné další řešení x 1, y 1, protože rovnosti ax ax 1, yb y 1 b lze v grupě krátit. Rovnice ax a má v G jediné řešení pro každé a, označme toto řešení e a. Mějme prvky a, b G, b a a y at, je řešení rovnice ya b. Potom be a ya e a y ae a ya b. Protože rovnice bx b má také jediné řešení e b, platí e a e b. Tedy v G existuje prvek e s vlastností ae a pro všechny a G, pravý neutrální prvek. Rovnice ax e je jednoznačně řešitelná a její řešení je pravý inverzní prvek prvku a. Podle věty 1.9 je pologrupa G, grupou Poznámka. Podle předchozí věty je lhostejné zda jako definici grupy přijmeme definici 1.7 nebo zda grupu definujeme jako pologrupu ve které mají rovnice ax b, ya b jednoznačně určené řešení. I.1 (16)
18 1.15. Příklad. Rozhodněte zda množina přirozených čísel N spolu s operací největší společný dělitel N, gcd tvoří grupu. Rovnice gcd 12, x 4 má dvě různé řešení x 1 8 a x 2 4, a podle věty 1.13 proto N, gcd není grupa. I.1 (17) Věta. Pologrupa konečného řádu s krácením je grupou. Důkaz. Mějme pologrupu konečného řádu s krácením G,. Při úvahách o Cayleyho tabulkách, na str. 15 jsme dokázali, že krácení v konečném grupoidu je postačující podmínkou toho, že pro libovolné pevné a G je zobrazení f a : G G, x ax je bijektivní, tedy každá rovnice ax b má jediné řešení. Podobně zobrazení g a : G G, x xa je bijekce a rovnice xa b je rovněž jednoznačně řešitelná. Podle věty 1.13 je tedy G grupou. Cvičení k oddílu 1 1. Rozhodněte, který z následujících grupoidů je pologrupou, respektive monoidem respektive grupou N,, Z,, Q,, R,, C,, N,, Z \ {0},, Q \ {0},, Q,, R \ {0},, R,, C \ {0},. 2. Dokažte, že Z n, je grupa pro každé n N. 3. Je Z n, grupou? Pro jaká n N je Z n \ { 0}, grupou?
19 4. Dokažte, že množina Q \ { 1} spolu s operací definovanou a b a b ab, a, b Q, tvoří komutativní grupu. 5. Dokažte, že množina Q \ {1} spolu s operací definovanou a b a b ab, a, b Q, tvoří komutativní grupu. 6. Dokažte, že množina p-adických čísel Q p {m/p n ; m, n Z} tvoří multiplikativní grupu. 7. Dokažte, že GL n T, množina čtvercových regulárních matic stupně n nad tělesem T, spolu s násobením matic tvoří nekomutativní grupu. 8. Dokažte, že množina shodných zobrazení v rovině tvoří nekomutativní grupu. 9. Mějme A GL n T a B T n. Definujme afinní zobrazení jako zobrazení f A,C : T n T n f A,C X AX B. Dokažte, že množina afinních zobrazení afinního prostoru T n tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení. 10. Dokažte, že potenční množina množiny M spolu s operací průnik, respektive sjednocení, tvoří komutativní monoid, ale ne grupu. 11. Rozhodněte zda potenční množina množiny M spolu s operací A B A B \ A B, A, B M, I.1 (18)
20 tvoří grupu. 12. Dokažte, že n, množina symetrií pravidelného n-úhelníku, spolu se skládání zobrazení tvoří nekomutativní grupu, řádu 2n. 13. Dokažte, že každý prvek grupy n lze zapsat jednoznačně jako o n r m, kde o je symetrie podle jedné pevné osy, n 0, 1, r je rotace převádějící každý bod na nejbližšího souseda vlevo, m 0, 1, 2,..., n Mějme grupy G a G. Na množině G G definujme operaci předpisem a, a b, b ab, a b, a, b G a a, b G. Dokažte, že G G, tvoří grupu. Tuto grupu nazýváme direktní součin grup G a G. 15. Určete tabulku čtyřprvkové grupy {e, a, b, ab}, kde a 2 e. Tato grupa se nazývá Kleinova 4 4-grupa. 16. Proč tabulka 2 neurčuje grupu? 17. Mějme množinu komplexních čísel a definujme operaci na C takto a b a 2 b, 4 Klein, Felix, , německý matematik. Roku 1872 ukázal význam teorie grup v geometrii, v přednášce dnes zvané Erlangenský program. I.1 (19)
21 e a b c d e e a b c d a a e c d b b b d e a c c c b d e a d d c a b e Tabulka 2. Pětiprvková kvazigrupa. kde a, b C a číslo a 2 b vzniklo běžným umocňováním a sčítáním komplexních čísel. Dokažte, že je na C nekomutativní a neasociativní. Jsou v C rovnice a x b, y a b? jednoznačně řešitelné? te (jednostranné) neutrální a inverzní prvky. 18. Mějme množinu R 3, operaci definujme takto u v u v /2 pro všechny u, w R 3. Dokažte, že operace je na R 3 komutativní, neasociativní s jednoznačně určeným řešením rovnic u x v, y u v. I.1 (20)
22 Existují zde neutrální a inverzní prvky? 19. Mějme množinu symetrií trojúhelníka 3. Vyberme jednu pevnou neidentickou symetrii u 3. Definujme operaci I.2 (21) a b a u b u kde a, b 3 a násobení je běžné skládání symetrií. Ukažte, že množina symetrií trojúhelníka s operací je nekomutativní, neasociativní. Jsou rovnice a x b, y a b, jednoznačně řešitelné? te (jednostranné) neutrální a inverzní prvky. 20. Dokažte, že v grupě řádu 2n prvky existují nejméně dva prvky, řádu 2, tedy aa e. 21. Dokažte, že pokud v grupě G platí aa e pro každé a G, potom je G komutativní. 22. Kolik je dvouprvkových grupoidů, kolik z toho je pologrup, monoidů, grup. Které z těchto struktur jsou komutativní.
23 2. Podgrupy I.2 (22) 2.1. Definice. Grupa H, je podgrupou grupy G,, když H G a pro všechna a, b H platí a b a b. Operace se pak nazývá zúžením operace na množinu H. Obvykle budeme značit operaci v grupě a všech jejích podgrupách stejným symbolem. Je zřejmé, že G, a e, jsou podgrupami G,. Těmto podgrupám se říká triviální podgrupy. Všechny podgrupy grupy G různé od těchto dvou nazýváme netriviální podgrupy Příklad. 1. Množina rotací (identita je rotace o 360 ) je podgrupou grupy symetrií čtverce. Viz příklad Celá čísla tvoří aditivní podgrupu grupy Q,. 3. Permutace ( ) ( ) id, π 1, ( ) ( ) π 2, π
24 spolu se skládáním permutací tvoří komutativní podgrupu nekomutativní grupy S 4. I.2 (23) 2.3. Věta. Mějme grupu G,, Podmnožina H G tvoří podgrupu grupy G právě, když zároveň platí 1. e H, 2. pro každé a H je a 1 H, 3. pro všechny a, b H platí ab H. Důkaz. Je zřejmé, že struktura splňující podmínky naší věty je podgrupou grupy G. Pokud je struktura H, podgrupou grupy G, pak v H existuje jednotkový prvek e tak, že a e e a a, protože platí a a e a e musí být prvek e jednotkovým prvkem grupy G a e e H. Ostatní podmínky věty jsou splněny triviálně. Přestože věta 2.3 říká vše podstatné o struktuře podgrupy následující kritérium zjednodušuje rozhodování o tom zda daná struktura je či není podgrupou Věta. Mějme H G, H. Dvojice H, je podgrupou grupy G, právě, když pro všechny a, b H platí ab 1 H. Důkaz. Je zřejmé, že každá podgrupa H grupy G výše uvedenou vlastnost splňuje.
25 Naopak, necht, H, splňuje uvedenou vlastnost. Dokažme platnost podmínek věty 2.3. Necht, a H. Potom také e aa 1 H. Dále a 1 ea 1 H. Pokud také b H, platí také b 1 H a součin ab a b 1 1 leží v H. Mějme H, H podgrupy grupy G. Pokud dva prvky a, b patří do obou těchto podgrup současně, a, b H H, potom také součin ab 1 patří současně do H a H, tedy H H je podgrupou grupy G. Indukcí tuto vlastnost můžeme rozšířit, mějme H i, i {1, 2,..., n} systém podgrup grupy G. Potom n H je podgrupa grupy G. H i i Definice. Mějme A G, množinu prvků grupy G. Podgrupu A grupy G s vlastností 1. A A, 2. pro všechny podgrupy H, s vlastností A H platí A H, nazveme podgrupou generovanou množinou A. Mějme A G. Podgrupa A grupy G, je rovna průniku všech podgrup grupy G obsahujících množinu A. Dá se také vytvořit jako součin všech možných kombinací prvků z A a jejich inverzí v G. I.2 (24)
26 Cvičení k oddílu 2 1. Ukažte, že pro n N je množina n-násobků celých čísel Z n {na; a Z} je podgrupa grupy Z,. 2. Ukažte, že R, je podgrupou grupy R \ {0},. 3. Ukažte, že {1, 1}, je podgrupou grupy R \ {0},. 4. Určete podgrupu GL 2 C generovanou maticemi ( ) ( ) 0 i 0 1 A, B. i Najděte všechny podgrupy grupy {A, B}, z předchozí úlohy. 6. Dokažte, že množina symetrií krychle takových, že ponechávají na místě jeden vrchol je podgrupou množiny všech symetrií krychle. 7. Dokažte, že množina permutací n-prvkové množiny M takových, že ponechávají na místě všechny prvky množiny A M je podgrupou množiny všech permutací S n. 8. Najděte nejmenší podgrupu multiplikativní grupy C, která obsahuje komplexní jednotku i. 9. Mějme grupu G,. Množinu Z G {x G; xa ax, pro všechna a G} nazveme centrum grupy G. Dokažte, že centrum Z G je komutativní podgrupa grupy G. I.2 (25)
27 10. Mějme grupu G, a prvek a G. Množinu I.2 (26) N a {x G; xa ax} {x G; xax 1 a} nazveme normalizátor prvku a. Dokažte, že N a je podgrupa grupy G. 11. Dokažte, že množina prvků konečného řádu tvoří podgrupu v každé grupě G. Této podgrupě říkáme torzní podgrupa. 12. Mějme grupu G, dokažte, že množina {x G; x x } tvoří podgrupu grupy G. 13. Dokažte, že množina skalárních matic ( ) a 0, kde a R, 0 a je centrum grupy GL 2 R. 14. Dokažte, že množina matic {( ) } a b B ; a, b, c R 0 c je podgrupa GL 2 R. Dokažte, že B není obsažena v žádné netriviální podgrupě GL 2 R, různé od B. 15. Dokažte, že SL 2 R, množina matic jejichž determinant je roven 1, je podgrupa GL 2 R.
28 16. Dokažte, že centrum SL 2 R je množina {( ) ( )} , Dokažte, že množina matic {( ) } a b B S 0 a 1 ; a, b R je podgrupa SL 2 R. Dokažte, že B S není obsažena v žádné netriviální podgrupě SL 2 R, různé od B S. 18. Ukažte, že GL 2 R je podgrupou grupy afinních zobrazení R n R n. 19. Nalezněte podgrupu grupy Z, generovanou dvěma prvky 4, Mějme grupu G,. Komutátorem prvků a, b G nazýváme prvek a, b aba 1 b 1. Podgrupu generovanou všemi komutátory K G { a, b ; a, b G} nazveme komutant grupy G. Dokažte, že komutant K G je podgrupa grupy G. Dokažte, že každý prvek z K G se dá vyjádřit jako součin komutátorů.. I.3 (27)
29 3. Grupy permutací Bijektivní zobrazení konečné množiny M {1, 2,..., n} na sebe se nazývá permutací množiny M Příklad. Pro pětiprvkovou množinu {1, 2, 3, 4, 5} můžeme permutaci τ zadanou předpisem τ 1 3, τ 2 2, τ 3 5, τ 4 1, τ 5 4, zkráceně zapisovat dvouřádkovým symbolem ( ) τ Pro n prvkovou množinu M můžeme obraz prvku 1 vybrat n různými způsoby, obraz prvku 2 smíme vybrat ze všech prvků různých od π 1, tedy n 1 způsoby atd., takže dostáváme n n 1 n n! permutací. Je zřejmé, že složení dvou permutací množiny M je opět permutace množiny M Příklad. Pro permutace τ a σ ( ) τ σ ( ) I.3 (28)
30 dostáváme permutaci τ σ, kde τ σ 1 σ ( τ 1 ) σ 3 2 atd. Což můžeme zapsat I.3 (29) 1 3 2, 2 2 5, 3 5 3, 4 1 4, 5 4 1, obdobně σ π, 1 4 1, 2 5 4, 3 2 2, 4 1 3, 5 3 5, tedy τ σ ( ) , σ τ ( ) Kompozice libovolných zobrazení, a tedy i permutací, je asociativní a tedy množina permutací se skládáním tvoří pologrupu. Identickou permutace na M značme id. Je to neutrální prvek v pologrupě permutací. Protože permutace je bijektivní zobrazení, existuje pro každou permutaci π inverzní permutace π 1 tak, že π π 1 id. Tedy množina permutací tvoří grupu. Pro n prvkovou množinu M nazýváme tuto grupu symetrickou grupou a značíme S n. S výjimkou S 1 a S 2 jsou symetrické grupy nekomutativní.
31 r 0 r 1 I.3 (30) r k r k 1 r 2 Obrázek 3. Cyklická permutace Definice. Permutaci π nazveme cyklem, jestliže platí π r 0 r 1, π r 1 r 2,..., π r k 1 r k a konečně π r k r 0, kde r i r j, i, j {0, 1,..., k}, 1 k M, a pro všechny x r i, platí π x x. Číslo k nazýváme délka cyklu. Pro cyklické permutace používáme zkrácený zápis r 0, r 1,..., r k, 1 k M. Protože není podstatné, kterým prvkem cyklus začíná, je tento zápis ekvivalentní s libovolným zápisem ve tvaru r i, r i 1,..., r k, r 0,..., r i 1.
32 Inverzní permutací k cyklu r 0, r 1,..., r k je zřejmě cyklus obsahující tytéž prvky seřazené v opačném pořadí, I.3 (31) r 0, r 1,..., r k 1 r k, r k 1,..., r 1, r Příklad. Permutace τ je cyklická permutace, kde ( ) , , 2 2 a můžeme ji zkráceně zapsat 1, 3, 5, 4, popřípadě některým z následujících zápisů 3, 5, 4, 1, 5, 4, 1, 3, 4, 1, 3, 5. Délka τ je 3. Inverzní permutace k permutaci τ je τ 1 4, 5, 3, 1 v dvouřádkovém zápise τ 1 ( ) Dva cykly na množině M, nazýváme disjunktní, jestliže nemají společný prvek, tj. cykly r 0, r 1,..., r k a s 0, s 1,..., s l, 1 k, l M jsou disjunktní, jestliže {r 0, r 1,..., r k } {s 0, s 1,..., s l }.
33 3.5. Věta. Každou neidentickou permutaci množiny M lze zapsat jako kompozici disjunktních cyklů. Až na pořadí je tento zápis jednoznačný. Důkaz. Je zřejmé, že disjunktní cykly komutují a tedy nezáleží na pořadí v jakém je součin disjunktních cyklů zapsán. Větu dokážeme indukcí přes n, počet prvků množiny M. Pro n 2 je podmínka splněna, neidentická permutace dvouprvkové množiny je cyklem délky jedna. Předpokládejme, že platí předložená věta pro n k a uvažujme permutace k 1 prvkové množiny. Pokud π k 1 k 1, pak jsme π obdrželi z permutace k prvkové množiny π, která se podle indukčního předpokladu skládá z disjunktních cyklů, přidáním jediného prvku, který není obsažen v žádném z těchto cyklů a tedy π je také součinem disjunktních cyklů. Předpokládejme, že v množině M existuje prvek p k 1 takový, že π p k 1, pak existuje prvek q k 1 takový, že π k 1 q. Permutace k prvkové množiny π zadaná předpisem π p q a π i π i, pro všechna i p, q, je podle indukčního předpokladu složena z disjunktních cyklů. Přitom permutaci π dostaneme z π tak, že do cyklu obsahujícího prvky p, q vložíme mezi p a q další prvek k 1, který není obsažen v žádném dalším cyklu permutace π. Tedy také π se skládá z disjunktních cyklů. I.3 (32)
34 Dokažme jednoznačnost takovéhoto rozkladu indukcí pro počet cyklů. Pro n 1 není co dokazovat. Necht, pro každou permutaci složenou z k cyklů je tento rozklad určený jednoznačně. Mějme permutaci π která je složena s k 1 disjunktních cyklů, tedy I.3 (33) π π 1 π 2 π k π k 1. Podle indukčního předpokladu je rozklad permutace ππ 1 k 1 π 1π 2 π k určený jednoznačně. Protože množina permutací tvoří grupu je rovnice πx π 1 π 2 π k řešitelná jednoznačně a vzhledem k jednoznačně určeným inverzním prvkům v grupě, je tedy jednoznačně určený i rozklad π π 1 π 2 π k π k Příklad. Permutace σ ( )
35 zapsaná jako součin disjunktních cyklů vypadá takto I.3 (34) σ 1, 4 2, 5, Věta. Mějme dánu permutaci π, potom i>j π i π j i j ±1. Důkaz. Necht, π je permutace n prvkové množiny. Množina {{i, j}; i > > j, i, j {1, 2,..., n}} je množina kombinací druhé třídy z n prvků a stejně tak množina {{π i, π j }; i > j, i, j {1, 2,..., n}}. Nyní je snadné nahlédnout, že čitatel i jmenovatel uvedeného výrazu obsahuje, až na znaménko, stejné činitele Definice. Mějme dánu permutaci π, potom výraz sgn π i>j π i π j i j nazýváme znaménko permutace. Je-li sgn π 1 pak říkáme, že permutace je sudá, pokud sgn π 1 pak říkáme, že permutace je lichá.
36 Počítat znaménko permutace podle předchozí definice by bylo obtížné, ukážeme si tedy jiné možnosti, jak určit znaménko permutace. Zároveň s tím si objasníme význam tohoto pojmu Definice. Mějme π permutaci množiny M. Inverzí v permutaci π rozumíme dvojici 5 prvků ( π i, π j ) takovou, že π i < π j a i > j, kde i, j M Věta. Je-li počet inverzí v permutaci π sudý, je permutace π sudá naopak, je-li počet inverzí v permutaci lichý, je permutace π lichá, tedy označíme-li počet inverzí v permutaci π písmenem s pak můžeme psát i>j Důkaz. Jmenovatel zlomku π i π j i j 1 s. I.3 (35) sgn π i>j π i π j i j obsahuje jen kladná čísla. Činitel π i π j je záporný právě, když dvojice ( π i, π j ) je inverzí, tedy sgn π 1 s. 5 Nezaměňuj inverzi s dvouprvkovým cyklem.
37 3.11. Příklad. Snadno nahlédneme, že permutace ( ) τ obsahuje inverze 3, 2, 3, 1, 5, 1, je lichá a sgn τ Věta. Pro libovolné dvě permutace π a π na množině M platí sgn ππ sgn π sgn π. Důkaz. Mějme π a π dvě permutace na téže množině a jejich kompozici ππ. Dvojice ( ππ i, ππ j ) tvoří inverzi v permutaci ππ, tedy ππ i < ππ j a i > j právě, když 1. bud, π i < π j a tedy dvojice ( π i, π j ) tvoří inverzi v permutaci π. Protože ππ i π ( π i ) a ππ j π ( π j ), platí nerovnost π ( π i ) < π ( π j ) a dvojice (π ( π i ), π ( π j )) netvoří inverzi v permutaci π. 2. nebo π i > π j a tedy dvojice ( π i, π j ) netvoří inverzi v permutaci π. Zároveň platí rovnost π ( π i ) < π ( π j ) a dvojice (π ( π i ), π ( π j )) tvoří inverzi v permutaci π. I.3 (36)
38 Tedy parita počtu inverzí v permutaci ππ závisí na paritě celkového počtu inverzí v permutacích π a π. I.3 (37) Po přečtení kapitoly 4, je možné vyslovit předchozí větu také v této formě Věta. Zobrazení f: S n { 1, 1} definované předpisem π sgn π je homomorfismus symetrické grupy S n na dvouprvkovou multiplikativní grupu { 1, 1},. Hledání inverzí je pořád ještě komplikovaný způsob určení znaménka permutace. K dalšímu zjednodušení využijeme výsledky vět 3.12 a 3.5. Nejprve ukažme, že znaménko cyklu závisí jen na jeho délce Věta. Mějme cyklus r 0, r 1,..., r k délky k, potom sgn r 0, r 1,..., r k 1 k. Důkaz. Nejprve dokažme, že cyklus délky 1 takzvaná transpozice, má znaménko 1. Mějme r, s cyklus délky 1. Bez újmy na obecnosti před-
39 pokládejme, že r < s. Cyklus r, s můžeme zapsat jako 2 s r 1 prvkový součin transpozic, které zaměňují sousední prvky r, s r, r 1 r 1, r 2 s 2, s 1 s 1, s s 2, s 1 r 1, r 2 r, r 1. Každá z transpozic zaměňujících sousední prvky obsahuje jedinou inverzi, její znaménko je 1 a podle věty 3.12 obdržíme znaménko našeho cyklu sgn r, s 1 2 s r 1 1. Dále zapišme cyklus r 0, r 1,..., r k jako součin transpozic r 0, r 1,..., r k r 0, r 1 r 0, r 2 r 0, r k 1 r 0, r k, Pro zápis cyklu r 0, r 1,..., r k bylo třeba k transpozic přičemž, každá z nich má znaménko 1, tedy podle věty 3.12 je I.3 (38) sgn r 0, r 1,..., r k 1 k. Znaménko permutace nyní počítejme jako součin znamének disjunktních cyklů. Znaménko výše zmíněné permutace σ 1, 4 2, 5, 3 je sgn σ
40 Spočítejme kolik je lichých a kolik sudých permutací. Mějme pevně zvolenou lichou permutaci π. Protože S n je grupa, je zobrazení f π : S n S n definované předpisem f π π 1 ππ 1, bijekce (viz str. 15, respektive důkaz Cayleyovy věty). Zobrazení fi π převádí sudé permutace na permutace liché a tedy sudých permutací je stejně jako permutací lichých, tedy n!/2. Navíc podle věty 3.12 je složením sudých permutací zase sudá permutace. Protože identita je sudá permutace musí být i inverzní permutace k sudé permutaci sudá a tedy platí následující věta Věta. Množina sudých permutací tvoří grupu. Grupě sudých permutací říkáme alternující grupa a značíme ji A n. Cvičení k oddílu 3 1. Pro X S 5 vyřešte rovnici ( ) ( ) X Nalezněte rozklad permutace ( ) π ( ) na disjunktní cykly, určete paritu a znaménko, vypište inverze v této permutaci. I.3 (39)
41 3. Mějme permutaci π na n prvkové množině M. Dokažte, že relace definovaná předpisem i j právě, když existuje k N tak, že π k i j je ekvivalence na množině M, přičemž rozklad množiny M podle této ekvivalence je právě rozklad permutace π na disjunktní cykly. 4. Řád permutace π je přirozené číslo k takové, že π k id. Mějme rozklad π na disjunktní cykly. Ukažte, že řád π je roven nejmenšímu společnému násobků délek těchto cyklů. 5. Pro permutaci vypočtěte π 104. π ( ) Vypište prvky a tabulku pro skládání alternující grupy A Dokažte, že v grupě G řádu 2n existuje prvek a různý od e řádu 2. Dále ukažte, že pro tento prvek je zobrazení f a : x ax sudá permutace množiny G. I.4 (40) 4. Homomorfismy grup Abychom mohli porovnávat grupoidy (tedy i grupy) mezi sebou, potřebujeme zobrazení, které zachovává vlastnosti operace.
42 4.1. Definice. Mějme grupoidy G, a G,. Zobrazení f: G G které pro všechny a, b G splňuje podmínku I.4 (41) f a b f a f b nazýváme homomorfismem grupoidů. Pokud je zobrazení f surjektivní nazýváme homomorfismus epimorfismem. Pokud je zobrazení f injektivní, mluvíme o monomorfismu. Bijektivní homomorfismus se nazývá izomorfismus!grup. Jsou-li grupoidy G a G izomorfní, značíme to G G Příklad. Mějme grupy R, a R,. Uvažujme zobrazení f: R R, f a e a. Platí f a b e a b e a e b f a f b. Zobrazení f je homomorfismus grup. Protože exponenciální funkce je bijektivní, je f izomorfismem Příklad. Mějme grupy R, a R,, tyto grupy jsou izomorfní. Na základě toho můžeme využít znalostí v R, a přenést je do struktury R,. Mějme aritmetickou posloupnost a 0, a 1 a 0 d, a 2 a 0 2d,..., a n a 0 nd.
43 Pro součet prvních n členů této posloupnosti s n platí 2s n 2 a 0 a 1 a n a 0 a n a 1 a n 1 a i a n i a n a 0 n 2a 0 nd n a 0 a n. Protože existuje izomorfismus f: R R můžeme vlastnosti aditivní struktury přenášet do multiplikativní grupy R. Pokud a 0 f a 0 a q f d, potom a i f a i je geometrická posloupnost a 0, a 1 q a 0, a 2 q2 a 0,..., a n q n a 0. Součin prvních n členů p n f s n, tedy pn 2 f 2s n f n a 0 a n a 0 a n n. I.4 (42) Mějme homomorfismy f: G G a g: G G, potom složené zobrazení f g: G G je homomorfismus. Stačí nahlédnout, že pro a, b G platí f g ab g f ab g ( f a f b ) g ( f a ) g ( f b ) f g a f g b.
44 Obrazem homomorfismu f: G G je množina prvků z G, které jsou obrazem některého prvku z grupoidu G. Obraz homomorfismu f označujeme If. Je snadné ukázat, že homomorfismus zachovává základní vlastnosti operace, tj, pokud je grupoid G asociativní respektive komutativní, pak i If je asociativní respektive komutativní. Tedy homomorfním obrazem pologrupy je opět pologrupa Necht, G je grupa. Vezměme neutrální prvek e G. Platí f a f ae f a f e, tedy obraz neutrálního prvku f e je neutrální v If. Podobně pro inverzi k prvku a G, f e f aa 1 f a f a 1, tedy obraz inverzního prvku k prvku a je inverzní k f a. Homomorfním obrazem grupy je opět grupa. I.4 (43) Jádrem homomorfismu f grup G a G nazýváme množinu prvků grupy G, jejichž obraz je neutrální prvek v grupě G. Jádro homomorfismu f označujeme ker f. Podle předchozího e ker f Věta. Mějme homomorfismus grup f: G G. Potom dvojice ( ker f, ) je podgrupou v grupě G. Dvojice ( If, ) je podgrupou v G. Důkaz. Označme e neutrální prvek v grupě G. Necht, a, b ker f, potom f ab 1 f a f b 1 f a f b 1 e e e, tedy ab 1 ker f a ker f je podgrupa v G.
45 Necht, pro a, b If, tedy existují a, b G takové, že f a a a f b b. Potom a b 1 f a f b 1 f a f b 1 f ab 1, tedy a b 1 If a If je podgrupa v G Věta. Homomorfismus grup f: G G je surjektivní právě tehdy, když If G. Homomorfismus f je injektivní právě, když ker f {e}. I.4 (44) Důkaz. První část věty je zřejmá. Mějme homomorfismus f: G G, s jádrem ker f {e}. Necht, pro prvky a, b G platí f a f b. Potom neutrální prvek v G můžeme vyjádřit jako součin f a a inverzního prvku k f b, e f a f b 1 f a f b 1 f ab 1. Tedy ab 1 ker f a proto ab 1 e, z čehož plyne a 1 b 1 a tedy a b. Zobrazení f je injektivní. Obrácená implikace je zřejmá Věta. (Cayleyova) Každá konečná grupa je izomorfní s některou grupou transformací.
46 Důkaz. Nejprve dokažme, že pro pevný prvek a grupy G, je zobrazení I.4 (45) f a : x ax bijektivní transformace množiny G. Protože v grupě platí pravidlo o krácení, je ax ay právě, když x y, tedy f a je injekce. Pro každé b G platí b a a 1 b, tedy zobrazení f a je také surjekce a tedy bijekce. Dále ukažme, že G je izomorfní s T,, kde T {f a ; a G} a je skládání zobrazení. Je zřejmé, že f b f a x f a ( fb x ) f a bx abx f ab x, podobně f e je neutrální v T, a f a 1 je inverzní k f a. Struktura T, je grupa. Zobrazení G T definované předpisem a f a je zřejmě surjektivní homomorfismus. Jestliže f a f b, potom f a e a b f b e, a dané zobrazení je také injektivní a tedy izomorfismus. Každá konečná n-prvková grupa je tedy izomorfní s některou n- prvkovou podgrupou grupy permutací S n. Cvičení k oddílu 4 1. Najděte homomorfismus grupy symetrií pravidelného trojúhelníka do grupy symetrií krychle.
47 2. Najděte všechny injektivní homomorfismy grupy symetrií pravidelného trojúhelníka do grupy symetrií pravidelného čtyřstěnu. 3. Najděte všechny homomorfismy mezi grupou Z 4 a grupu symetrií čtverce. 4. Najděte izomorfismus grupy otočení čtverce a grupy Z Dokažte, že zobrazení a log a je izomorfismus multiplikativní grupy R, a aditivní grupy R,. 6. Dokažte, že zobrazení a 2 a je izomorfismus aditivní grupy R, a multiplikativní grupy R,. 7. Dokažte, že grupa C \ {0}, je izomorfní podgrupě GL 2 R tvořené nenulovými maticemi typu ( ) a b. b a 8. Najděte grupu transformací izomorfní s aditivní grupou Z Najděte izomorfismus grupy symetrií čtverce a některé grupy transformací. 10. Najděte homomorfismus alternující grupy A 4 a grupy symetrií pravidelného čtyřstěnu. 11. Mějme grupu Q\{ 1},, kde operace je definovaná předpisem a b a b ab, a, b Q,. Nalezněte izomorfismus Q \ { 1}, a Q \ {0},. I.4 (46)
48 12. Dokažte, že jestliže prvek a G má řád n a a jeho homomorfní obraz f a je řádu m, pak m dělí n. 13. Mějme G, H dvě komutativní aditivní grupy. Množinu homomorfismů z G do H značme Hom G, H. Definujme operaci předpisem f g x f x g x. Dokažte, že ( Hom G, H, ) je grupa. 14. Automorfismem nazýváme izomorfismus grupy G do sebe. Množinu automorfismů grupy G značme Aut G. Dokažte, že Aut G je podgrupa grupu permutací množiny G. 15. Dokažte, že pro komutativní grupu G je zobrazení f: x x 1 izomorfismus. Určete zobrazení f f a f Ukažte, že pro 3 není zobrazení f: x x 1 izomorfismus. 17. Dokažte, že pro komutativní grupu G je zobrazení f: x x n, n N, homomorfismus grupu G do sebe. Ukažte na příkladě, že pro nekomutativní grupy to homomorfismus být nemusí. 18. Mějme pevný prvek a grupy G. Konjugací prvkem a nazveme zobrazení grupy G do sebe, zadané předpisem γ a : x axa 1. Dokažte, že konjugace je automorfismus grupy G. Konjugaci také nazýváme vnitřní automorfismus grupy G. Dále dokažte, že množina všech konjugací tvoří grupu, značíme ji In G. I.4 (47)
49 19. Dokažte, že zobrazení a γ a je homomorfismus grupy G do množiny Aut G. 20. Reprezentujte C 2 C 2 jako podgrupu S Reprezentujte C 2 C 4 jako podgrupu S Reprezentujte C 2 C 2 C 3 jako podgrupu S 6. I.5 (48) 5. Vnoření pologrupy do grupy Mějme pologrupu přirozených čísel N, tato pologrupa je podpologrupou v grupě celých čísel Z,, kde množina Z vznikla z množiny N přidáním záporných čísel a nuly. Podobně multiplikativní grupa Q vznikla z multiplikativní pologrupy Z přidáním převrácených hodnot celých čísel, kmenových zlomků, a všech součinů mezi kmenovými zlomky a celými čísly. Obě tyto konstrukce mají společný základ, k dané pologrupě P přidáváme prvky, tak abychom dostali grupu, respektive hledáme grupu která obsahuje jako podpologrupu danou pologrupu P. Pokusíme se popsat obecný tvar takovéto konstrukce. Mějme injektivní homomorfismus grupoidů f: G G, potom v G existuje podgrupoid izomorfní s G. Takovému homomorfismu pak říkáme vnořenígrupoidu G do grupoidu G. Nalézt nutnou a postačující podmínku pro to, aby bylo možné daný grupoid G vnořit do grupy je obtížné a obecně tyto podmínky je možno
50 zapsat nekonečným počtem rovností. Je zřejmé, že pouze nutná podmínka je jednoduchá : Grupoid G lze vnořit do grupy, potom G je pologrupa s krácením. Následující věta ukazuje, kdy bude tato podmínka také podmínkou postačující Věta. Komutativní grupoid G lze vnořit do grupy právě, když G je pologrupa s krácením, tj. pro všechny a, b, c G ab ac respektive ba ca implikují b c. Důkaz. Uvažujme f, vnoření grupoidu G do grupy Ḡ. Potom pro libovolné a, b, c G platí f ( a bc ) f a ( f b f c ) ( f a f b ) f c f ab f c f ( ab c ). Zobrazení f je injektivní a tedy a bc ab c a grupoid G je tedy pologrupou. Podobně, v grupě Ḡ lze krátit, tedy z rovnosti f a f b f a f c plyne f c f b, f je homomorfismus tedy také rovnost f ab f ac implikuje f c f b. Protože f je injektivní, rovnost ab ac tedy implikuje b c a v pologrupě G lze krátit. I.5 (49)
51 Obráceně, mějme abelovskou pologrupu G, ve které lze krátit. Zkonstruujme grupu Ḡ, tak aby existoval injektivní homomorfismus f: G Ḡ. Vezměme množinu G 2 G G. Na této množině definujme relaci předpisem I.5 (50) a, b c, d právě, když ad cb Relace je zřejmě reflexivní. Protože G je komutativní je také symetrická. Pokud pro a, b, d, c, u, v G platí zároveň pak platí zároveň a, b c, d a c, d u, v, ad cb a cv ud, odkud dostáváme ab cv cb ud. Protože G je komutativní pologrupa s krácením, lze poslední rovnost zjednodušit na rovnost av ub odkud plyne a, b u, v. Relace je také tranzitivní a tedy je ekvivalence na množině G. Uvažujme rozklad G 2 / na kterém definujme operaci a, b c, d ac, bd,
52 pro všechna a, b, c, d G 2 /. Necht, a, b a c, d je jiná reprezentace tříd a, b a c, d,, tedy I.5 (51) a, b a, b a c, d c, d, což je ekvivalentní s rovnicemi ab a b a cd c d. Utvořme součin a, b c, d a c, b d pak platí, odkud plyne a c bd a b c d ab cd acb d a c, b d ac, bd a tedy součin nezávisí na volbě reprezentantů dané třídy. Struktura Ḡ G 2 /, je grupoid.
53 Dokažme, že platí asociativní zákon, I.5 (52) a, b c, d u, v a, b cu, dv a cu, b dv ac u, bd v ac, bd u, v. a, b c, d u, v Grupoid Ḡ je pologrupou. Protože v pologrupě G můžeme krátit, obsahuje třída a, a právě všechny prvky tvaru x, y, kde x y. Ze stejného důvodu je součin a, a c, d ac, bd roven prvku c, d a prvek tvaru a, a je neutrální v Ḡ. Je zřejmé, pro všechny a, b G patří oba prvky a, b, b, a zároveň do G 2 /. Součin a, b b, a ab, ab dává neutrální prvek a tedy prvek b, a je inverzní k a, b, pologrupa Ḡ je grupou. Označme aa a 2, pro všechny a G. Pro zobrazení f: G G 2 / definované předpisem a a 2, a platí, f ab ab 2, ab a 2 b 2, ab a 2, a b 2, b f a f b a f je homomorfismus. Pokud a 2, a b 2, b potom a 2 b b 2 a a po vykrácení a b, tedy f je injektivní zobrazení a tedy vnoření pologrupy G do grupy Ḡ G 2 /, ).
54 Grupě Ḡ, zkonstruované v průběhu pžedešlého důkazu říkáme podílová grupa pologrupy G. Pokud používáme pro pologrupu G aditivní zápis, říkáme grupě Ḡ rozdílová grupa. Zobrazení f z předchozího důkazu se nazývá kanonické vnoření G do Ḡ, následující věta objasní výjimečnost tohoto zobrazení. Protože pro libovolné a, b G 2 / platí a, b a 2, a b, b 2 f a f b 1, přibyly v grupě Ḡ k obrazům prvků pologrupy G pouze jejich inverze, zdá se, že Ḡ je minimální grupou obsahující homomorfní obraz pologrupy G Věta. Mějme komutativní pologrupu G, ve které platí pravidlo o krácení, její podílovou grupu Ḡ a kanonické vnoření f. Jestliže g je homomorfismus pologrupy G do grupy G, potom existuje jediný homomorfismus h: Ḡ G tak, že g f h tedy, že následující diagram komutuje. f G g Ḡ Zobrazení g je vnoření právě, když h je injektivní. Důkaz. Mějme podle předpokladů G pologrupu s krácením, její podílovou grupu Ḡ, kanonický homomorfismus f a g: G G homomorfismus pologrupy G do grupy multiplikativní G. G h I.5 (53)
55 Sestrojme homomorfismus h: Ḡ G tak, at, platí g f h. Pro každé a G tedy g a h ( f a ) h a 2, a. Protože konstruované zobrazení musí být homomorfismus, platí pro b G rovnost h b, b 2 h b 2, b 1 h b 2, b 1 g b 1 a tedy h a, b h a 2, a b, b 2 h a 2, a h b, b 2 g a g b 1. Tato konstrukce byla jednoznačná a předpis h: a, b g a g b 1 zadává hledaný homomorfismus. Předpokládejme, že zobrazení g je injektivní tedy, že g je vnoření. Mějme a, b, c, d G a předpokládejme h a, b h c, d, tedy g a g b 1 g c g d 1 a g a g d g c g b protože g je injektivní homomorfismus musí platit ad cb a tedy a, b c, d. Zobrazení h je tedy také injektivní. Naopak, necht, h je injektivní. Protože f je vnoření, je tedy také injektivní, a jejich kompozice g f h musí být rovněž injekce a tedy vnoření. Cvičení k oddílu 5 1. Popište vnoření aditivní pologrupy přirozených čísel N do rozdílové grupy celých čísel Z. I.5 (54)
56 2. Popište vnoření multiplikativní pologrupy celých čísel Z do podílové grupy čísel racionálních Q. 3. Popište konstrukci vnoření pologrupy N, do grupy Q,. 4. Popište konstrukci vnoření pologrupy N, do grupy 3Z,. 5. Dokažte, že podílová grupa pologrupy 2N, je izomorfní aditivní grupě Z. 6. Dokažte, že podílová grupa pologrupy 3ZN, je izomorfní multiplikativní grupě Q. 7. Popište podílovou grupu k C Můžete popsat podílovou grupu pologrupy Z 4,. 6. Cyklické grupy V multiplikativním monoidu G s neutrálním prvkem e můžeme pro přirozené číslo n definovat n-tou mocninu prvku a G jako součin a n } a a {{ a }, n-krát nultou mocninu a 0 položme rovnu e, neutrálnímu prvku v G. Indukcí přes n lze dokázat, že pro všechna m, n N platí a m a n a m n, a m n a mn. I.6 (55)
57 Pro komutativní monoidy platí ještě rovnost a b n a n b n. Jestliže G, je grupa, můžeme definici n-té mocniny rozšířit na všechna celá čísla a n a 1 n. Pokud si uvědomíme, že indukcí lze dokázat a 1 n a n e, dostáváme a 1 n a n 1. Nyní rozšiřme platnost rovnosti a m a n a m n, m, n, N, pro záporná čísla. Nejprve vezměme případ obou exponentů záporných. a m a n a m 1 a n 1 a n a m 1 a n m a m n. Dále uvažujme m n, tedy existuje kladné k takové, že n m k a rozeberme případ, kdy je jeden exponent záporný a druhý kladný, a m a n a m a m k a m 1 a m a k ( a m 1 a m) a k e a n m a m n. I.6 (56)
58 Ostatní případy dokážeme obdobně. Dále můžeme psát I.6 (57) a m n ( a m 1) n ( a m n) 1 a mn 1 a mn, Prozkoumáme-li i zbylé případy, rozšířili jsme platnost rovnosti a b n a n b n na všechna celá čísla. Je-li f: G G homomorfismus grup, pak není těžké indukcí dokázat, že f a n ( f a ) n, pro všechny celé n. Jestliže máme G, monoid s aditivním zápisem, tak definujme n-násobek prvku a G, n Z, n a a } a {{ a }. n-krát Stejně jako pro mocninu položme 0 a e a platí m a n a m n a, m n a mn a. V komutativních monoidech platí také rovnost n a b n a n b. Do aditivní notace potom můžeme přepsat všechny vlastnosti mocniny.
59 6.1. Věta. Mějme pevně zvolený prvek a v grupě G,, potom zobrazení f a : Z G n a n I.6 (58) je jediný homomorfismus aditivní grupy celých čísel Z, a grupy G, pro který platí 1 a. Důkaz. Z definice mocniny je zřejmé, že dané zobrazení je homomorfismus. Mějme naopak homomorfismus f: Z G, pro který platí f 1 a. Musí platit f 0 e a f n 1 f n f 1, tedy indukcí f n a n Definice. Grupa G, se nazývá cyklická, jestliže obsahuje takový prvek a, že pro každý prvek b G, existuje k N tak, že platí b a k. Prvku a pak říkáme vytvářející prvek (generátor) grupy G Příklad. Necht, n je přirozené číslo takové, že pro komplexní číslo ζ n platí ζ n n 1, potom ζ n nazýváme n-tým kořenem z jedné. Je zřejmé,?? že množina všech řešení rovnice ζ n n 1, {ζ k n ; k 1,..., n} tvoří cyklickou grupu s generátorem ζ n e 2πi/n. Na obrázku 5 je tato grupa pro n Věta. Necht, G, je cyklická grupa s generátorem a, potom řád prvku a určuje tuto grupu až na izomorfismus.
60 i ζ 5 I.6 (59) ζ ζ 5 5 ζ 3 5 i ζ 4 5 Obrázek 5. Grupa ζ n 5. Důkaz. Předpokládejme nejprve, že řád prvku a, generátoru cyklické grupy G, je nekonečný. Zobrazení f a z věty 6.1 je tedy surjektivní homomorfismus Z na G me takové exponenty m, n Z, že a m a n. Tedy e a m a n 1 a m n, a protože všechny nenulová mocniny prvku a jsou různé od e, dostáváme, že rovnost a m a n platí právě, když m n. Zobrazení f a je injektivní. Dokázali jsme, že f a je izomorfismus libovolné cyklické grupy nekonečného řádu a aditivní grupy Z. Cyklická grupa nekonečného řádu je tedy až na izomorfismus jediná.
61 Předpokládejme dále, že řád prvku a, generátoru cyklické grupy G, je přirozené číslo n. Pro všechna k N platí a kn a n k e k e. Všechny násobky čísla n tedy patří jádru zobrazení f a z věty 6.1. Mějme m n takové, že e a m. Necht, m je nesoudělné s n. Pro toto číslo existují k, r Z, 0 k, 0 < r < n takové, že m kn r. Tedy e a m a kn r a kn a r e a r a r, což je spor s tím, že n je řád prvku a, tedy nejmenší mocnina prvku a která se rovná e. Nutně tedy platí, že n dělí m. Jádro zobrazení f a tedy obsahuje právě celočíselné násobky čísla n, řádu grupy G. Rovnost a r a s nastane právě, když e a r a s 1 a r s, což podle předchozího nastane právě, když r s kn, k Z tedy, když r s mod n. Zobrazení f a je surjektivní zobrazení Z G, přičemž restrikce f a na Z n, aditivní grupu zbytkových tříd modulo n, je injektivní a tedy izomorfismem. I.6 (60) Jako důsledek dostáváme: 1. Každá cyklická grupa G, jejíž generátor má nekonečný řád, je izomorfní s aditivní grupou celých čísel Z. 2. Každá cyklická grupa G s generátorem řádu n je izomorfní s aditivní grupou zbytkových tříd modulo n, Z n.
62 3. Každá cyklická grupa s generátorem řádu n má právě n prvků. Říkáme tedy, že řád generátoru cyklické grupy je řádem této grupy. Cyklickou grupu řádu n značme C n. I.6 (61) 6.5. Příklad. Grupa rotací reprodukujících čtverec (viz příklad 2.2) je cyklická grupa s generátorem r 1 (respektive r 3 ). Předpis 1 r 1, 2 r 2 1 r 2, 3 r 3 1 r 3, 0 r 0 1 id. zadává izomorfismus s grupou Z Věta. Každá podgrupa H cyklické grupy G je cyklická. Důkaz. Mějme v cyklické grupě G podgrupu H. Necht, m je nejmenší kladný exponent pro který a m H. Cyklická grupa H generovaná prvkem a m je jistě podgrupou grupy H. Dokažme ted, obrácenou inkluzi. Necht, a s H, potom s m a můžeme vyjádřit s km r, kde 0 k a 0 r < m, tedy a s a km r a k m a r a a r a km 1 a s. Protože a km H, platí a km 1 H a protože také a s H, musí být a r H. Protože m je nejmenší kladný exponent takový, že a m H, musí platit r 0 a a r e. Obdrželi jsme, že s km, tedy a s H a grupa H je podgrupou cyklické grupy H. Následující věta, přestože její důkaz je obtížný a přesahuje možnosti tohoto skripta, je užitečná pro nalezení všech abelovských grup. Při její formulaci použijeme aditivní notaci obvyklou pro abelovské grupy.
63 6.7. Věta. Každá komutativní grupa se dá vyjádřit jako direktní součet cyklických grup Příklad. Grupa rotací reprodukujících čtverec je řádu 4 a proto může mít netriviální podgrupu jedině řádu 2. Touto podgrupou je množina {id, r 2 }. Cvičení k oddílu 6 1. Dokažte, že každý prvek konečné grupy má konečný řád. 2. Určete všechny podgrupy cyklické grupy řádu p, kde p je prvočíslo. 3. Mějme C k, podgrupu cyklické grupy C n. Dokažte, že k dělí n. 4. Mějme cyklickou grupu C n. Dokažte, že pro každé k Z takové, že k dělí n existuje H, podgrupa C n řádu k. 5. Dokažte, že řád prvku cyklické grupu C n, dělí řád grupy n. 6. Dokažte, že každá cyklická grupa je komutativní. 7. Dokažte, že jediné generátory nekonečné cyklické grupy Z, jsou { 1, 1}. 8. Dokažte, že cyklická grupa nekonečného řádu, s generátorem a má jediný další generátor a Dokažte, že a m generuje cyklickou grupa řádu n s generátorem a, právě když největší společný dělitel čísel m, n je roven 1. I.6 (62)
ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceTeorie grup 1 Příklad axiomatické teorie
Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceAlgebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám
Algebra 2 slidy k přednáškám KMI/ALG2 Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. Vytvořeno za podpory projektu FRUP_2017_052: Tvorba a inovace výukových opor
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VíceMatematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup
Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 25. 2. 2008 oooooooooooo Obsah přednášky Q Grupy - homomorfismy a součiny Martin Panák, Jan Slovák,
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
S Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 s Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy s Doporučene zdroje Martin Panák,
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná
VíceAlgebra I Cvičení. 4) Množina všech matic s nulou v levém dolním rohu a s jedničkami na diagonále.
Algebra I Cvičení Podle následující sbírky probíhalo cvičení na PřF v semestru Jaro 2003. Příklady jsou rozděleny na ty, které jsme dělali na cvičení (označeno C), úlohy na kterých lze procvičovat probranou
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více10. DETERMINANTY " # $!
10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich
VíceStřípky z LA Letem světem algebry
Střípky z LA Letem světem algebry Jaroslav Horáček Pojem Algebra Laicky řečeno algebra je struktura na nějaké množině, společně s nějakými operacemi, které splňují určité vlastnosti. Případy algebry lineární
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
VíceNechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace
Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceZápadočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ
Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE KONEČNÉ GRUPY MALÝCH ŘÁDŮ Ivana Čechová Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Hora, CSc. Plzeň 2012 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Více(1) Dokažte, že biprodukt je součin (a tím pádem i součet). Splňují-li homomorfismy. A B je izomorfismus stejně jako A B i+j
1. cvičení (1) Necht A je komutativní grupa. Dokažte, že End(A) společně s operacemi sčítání a skládání zobrazení je okruh. (2) Dokažte přímo z definice, že na každé komutativní grupě existuje právě jedna
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceMatematika pro informatiku 2
Matematika pro informatiku 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 21. února 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny
VíceTeorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceVysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy
Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I
1 ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I (Cvičení) 1. Úvod, jazyk matematiky V učebnici Lineární algebra pročítejte definice a věty, uvědomujte si jejich strukturu, i když prozatím neznáte a nechápete (aaniprozatímchápatnemůžete)jejichmatematický
Více1. Pologrupy, monoidy a grupy
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2002/2003 Michal Marvan 1. Pologrupy, monoidy a grupy Algebra dvacátého století je nauka o algebraických strukturách.
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceGRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ
Masarykova Univerzita v Brně Přírodovědecká fakulta GRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ bakalářská práce Brno 2005 Vít Musil i Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury.
VíceMatematika pro informatiku 1
Matematika pro informatiku 1 Alena Šolcová katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií ČVUT Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Přednášející Ing. Karel Klouda, Ph.
VíceGrupy Mgr. Růžena Holubová 2010
Grupy Mgr. Růžena Holubová 2010 1. Úvod Cílem této práce je přehledně zpracovat elementární teorii algebraických struktur s jednou operací se zaměřením na teorii grup a sestavit sbírku řešených úloh, proto
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
VícePŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
Více18. První rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
Více[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceAlgebra - druhý díl. Lenka Zalabová. zima Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita
Algebra - druhý díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Permutace 2 Grupa permutací 3 Více o permutacích
VíceÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VíceZápadočeská univerzita v Plzni
Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY ALGEBRAICKÉ STRUKTURY S JEDNOU BINÁRNÍ OPERACÍ A JEJICH ZOBRAZENÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Marie Černá Přírodovědná studia, Matematická studia
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více2. Test 07/08 zimní semestr
2. Test 07/08 zimní semestr Příklad 1. Najděte tříprvkový poset (částečně uspořádanou množinu), která má právě dva maximální a právě dva minimální prvky. Řešení. Takový poset je až na izomorfismus jeden:
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VícePojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.
Relace. Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky. Definice. Mějme množiny A a B. Binární relace R z množiny A do množiny B je každá množina uspořádaných dvojic (a, b), kde
VíceCharakteristika tělesa
16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním
Více1. Základní příklady a poznatky o monoidech a grupách
Předmět: Algebra I Semestr: Zimní 2015/2016 Přednášel: J. Žemlička Verze z: 6. ledna 2017 Díky za pomoc s řešeními příkladů: Martin Šerý, Štěpán Hojdar, Petr Houška, Péťa Pelikánová. (A určitě další, ale
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceAlgebra 1: řešené příklady ke cvičením
Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Univerzita Palackého v Olomouci Algebra 1: řešené příklady ke cvičením doc. RNDr. Miroslav Kolařík, Ph.D. Olomouc 2017 Toto skriptum 1 je určeno zejména studentům
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
VíceCyklické grupy a grupy permutací
Cyklické grupy a grupy permutací Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 1/26 Z minula: grupa je důležitý ADT Dnešní přednáška: hlubší pohled na strukturu konečných grup. Aplikace:
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
VíceKongruence na množině celých čísel
121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Více1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM / Přednáška Struktury se dvěma binárními operacemi O čem budeme hovořit: opakování struktur s jednou operací struktury se dvěma operacemi Struktury
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceCyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)
C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
Více