nutně znamenat ztrátu), ve které mají oba hráči dvě možnosti kooperovat nebo zradit.
|
|
- Alena Jitka Křížová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Vě zň ovo dilěma Vojtěch Ptáčník K tomuto tématu jsem se dostal úplnou náhodou. Měli jsme udělat projekt dle své vlastní volby. V té době jsem vůbec nevěděl, jaké téma si mám zvolit. Jednoho dne nám do školy přinesl náš profesor matematiky knihu o matematice, ve které byly stovky témat všech druhů. Pročítal jsem si témata a hledal právě to, které by mě nejvíce zaujalo. S volbou tématu jsem si dával záležet, když jsem narazil na téma, snažil jsem se zjistit základní informace, zda mě to téma udrží v pozornosti stejně jako název, na který jsem narazil v rejstříku knihy. Vysílen jsem prohlížel seznam, když v tu ránu mi do očí vletěl název Vězňovo dilema. Název jak má být. Řekl jsem si a hned jsem věděl, co bude předmětem mého projektu. Plný odhodlání jsem začal pročítat internet a nasávat informace. Jako detektivní příběh, mě toto téma nechtělo pustit Definice Vězňovo dilema je typ hry s nenulovým součtem (zisk jednoho hráče nemusí pro jiného hráče nutně znamenat ztrátu), ve které mají oba hráči dvě možnosti kooperovat nebo zradit. Historie Vězňovo dilema bylo vymyšleno a diskutováno matematiky Melvinem Drescherem a Merrillem Floodem, kteří pracovali na výzkumu v oblasti teorie her ve společnosti RAND, někdy kolem roku Pojem vězňovo dilema byl pojmenován až matematikem Albertem W. Tuckerem, který chtěl Descherovy a Floodovy myšlenky více zpřístupnit psychologům. Z tohoto důvodu si Trucker vymyslel krátký příběh, který použil k ilustraci: Jsou zatčeni dva pachatelé, A a B, za loupežné přepadení banky a umístěni v separátních oddělených celách. Žalobce však nemá dostatečné důkazy k jejich odsouzení z trestného činu, nýbrž pouze z přestupku, za který by dostali dejme tomu jeden rok vězení. Nabídne tedy každému zvlášť dohodu. Navrhne jim dvě možnosti přiznat se nebo zůstat mlčet. Dohoda zní asi takto: Pokud se přiznáte, ale váš komplic zůstane mlčet, vztáhnu proti vám všechna obvinění a použiji vaše svědectví k usvědčení vašeho spolupachatele, který tím bude odsouzen na deset let. Podobně však, pokud se přizná váš komplic a vy zůstanete mlčet, on bude volný, zatímco vy půjdete do vězení. V případě, že se přiznáte oba dva a budu mít dvě doznání, přihlédnu k tomu a oba dostanete středně vysoký trest tři roky. Pokud ovšem oba zůstanete mlčet, budu vás moci odsoudit pouze za nedovolené držení střelné zbraně.
2 Pro zápis můžeme použít výplatní matici 2x2. Neantagonistické hry U neantagonistických konfliktů jsou zájmy hráčů pouze zčásti protichůdné. Vzájemnou spolupráci se může dojít k navýšení přínosů pro hráče. K těmto konfliktům používáme aparátu dvojmaticových her. Číslo na levé straně sloupců matice je výhra pro hráče 1, číslo na pravé straně je výhra pro hráče 2. Pro větší přehlednost je lepší matice zapisovat do jedné tabulky. Vězňovo dilema je právě jeden z nejvýznamnějších příkladů neantagonistické hry. Pro zajímavost opakem neantagonistické hry je opak antagonistická hra, u které zisk jednoho hráče je zároveň ztráta pro hráče druhého. Dominantní strategie Může zde nastat dominantní strategie, což znamená nespolupráce. Dominantní strategie nastává tehdy, kdy jeden vězeň maximalizuje svůj užit nebo minimalizuje svůj trest bez ohledu na to, jakou strategii zvolí druhý vězeň. Z tabulky můžeme vidět, že když bude vězeň číslo 2 mlčet, pro vězně číslo 1 je lepší mluvit (bude volný). Pokud bude vězeň číslo 2 mluvit, bude znova lepší pro vězně číslo 1 mluvit (dostane místo 10 roků, 3 roky). To znamená, že pro vězně číslo 1 je dominantní strategií zvolení pravého sloupce. Nashova rovnováha Nashova rovnováha je takové řešení, pro které platí, že pokud se jeden hráč nebude držet své strategie, zatímco ostatní ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepší případě zůstane stejná. Nashova teorie je vhodným nástrojem pro popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (základní úkol teorie her). Vlastnosti Nashovy rovnováhy Z definice vyplývají následující vlastnosti, které slouží k jejímu nalezení a interpretaci: Nashova rovnováha nikdy neleží v silně dominovaném sloupci. Pokud má hra s konstantním součtem sedlový prvek (prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (prvcích) Nashova rovnováha není Pareto-efektivní. Klasickým případem je vězňovo dilema, ve kterém se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry. Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení.
3 Příklad č. 1 Postup: Když A zvolí horní řádek, co udělá B? Zvolí levý sloupec, protože nabízí vyšší odměnu. Když B zvolí levý sloupec, co udělá A? Zvolí horní řádek, protože nabízí vyšší odměnu. Když A zvolí spodní řádek, co udělá B? Zvolí pravý sloupec, protože nabízí vyšší odměnu. Když B zvolí pravý sloupec, co udělá A? Zvolí spodní řádek, protože nabízí vyšší odměnu. Tato matice obsahuje 2 Nashovy matice. Příklad č. 2 Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 5 let. 1 2 Zde můžeme využít znalost, že rovnovážné řešení nikdy neleží v silně dominovaném řádku či sloupci. Pro prvního hráče silně dominuje druhý řádek. Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout.
4 2 1 Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominantní. To znamená, že druhý sloupec můžeme vyškrtnout také. Tato hra má právě jedno rovnovážné řešení, je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy hodnotou (-5, -5). Příklad č. 3 Sedlový bod Nalezení optimální strategie obou hráčů a Nashova rovnováha pro následující jednomaticovou hru: Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostor strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem). Řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu = maximum ve sloupci, minimum v řádku). Maximum ve sloupci- červená barva, minimum v řádku- zelený rámeček. Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím červeně. Maximum v druhém sloupci (pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím červeně. Maximum ve třetím sloupci (pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím červeně. Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem. Minimum v druhém řádku (pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem. Minimum ve třetím řádku (pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
5 V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha. Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace: Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě. Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich. Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení. Aplikace vězňova dilematu Hlavně v matematice, ekonomii, sociologii a v evoluční biologii. Také i v našem reálném životě a to hlavně, když se člověk rozhoduje sám za sebe bez spolupráce s ostatními lidmi. Váhání mezi sobeckým nebo vstřícným rozhodnutím. Pro člověka je nejlehčí variantou zachovat se sobecky. Tuto variantu však použijí i ostatní lidé, kteří budou brát v úvahu špatné vlastnosti člověka, a proto zachovat se sobecky nebude mít takový výsledek, jako kdyby tuto variantu použil jedinec sám. Spotřeba vody v domě Dům, ve kterém je více než 1 obyvatel. Celková spotřeba vody se dělí rovnoměrně. Pro všechny nájemníky je nejlepší s vodou šetřit. Může se stát, že se objeví někdo, kdo šetřit s vodou nebude. Voda se však platí rovnoměrně, tudíž zde vzniká riziko, že nájemníci, kteří neplýtvají (šetří) budou muset zaplatit i za spotřebu plýtvače, tak si řeknou, že budou plýtvat také i za cenu zaplacení většího poplatku. Tuto situaci si můžeme názorně ukázat s nájemníky, kteří budou pouze dva a hodnoty budeme zapisovat číselně. Když budou šetřit, celkový užitek bude 4 jednotky. Jestliže se jeden nájemce rozhodne plýtvat, klesne užitek druhého nájemce na 2 jednotky, protože zaplatí spotřebu vody za nájemce, který nešetřil. Plýtvačovi vzroste užitek na 5 jednotek, protože za přebytečnou část, kterou vypotřeboval, zaplatil již nájemce s užitkem 2. Ani jeden nájemce nechce riskovat to, že bude platit za druhého a budou plýtvat oba dva. Užitek každého z nich budou 3 jednotky.
6 Oligopoly =ekonomie Saudská Arábie a Íran spolu uzavřeli dohodu, že budou vyvážet menší množství ropy. Tyto země se rozhodly z důvodu, aby zůstaly ceny ropy ve světe vysoké. Velká produkce ropy by měla za následek větší nabídku než poptávku a cena ropy by klesla. Zde je další graf, který znázorňuje scénáře, které mohou nastat. Na tomto příkladu vidíme, proč mají oligopoly problém udržet si monopolní zisk. Obě dvě země totiž chtějí mít co největší zisk, a proto si zvolí vysokou produkci. Takže místo toho aby společnosti získávaly 70 miliard dolarů, dostávají pouze 50 miliard dolarů. Platí zde, že oba dva hráči se navzájem zradí. Závody ve zbrojení Studená válka mezi USA a SSSR Z tabulky je zřejmé, že pro obě dvě země byla dominující strategie zbrojit. Toto mělo za následek neustálé ohrožení a mělo i za následek vysoké náklady vyplývající ze zbrojení. Problém byl v tom, že se nebyli schopni domluvit na povoleném množství vyráběných zbraní. Následek- neustálé zbrojení. Jestřáb a hrdlička -evoluční biologie Představíme si populaci jednoho druhu, jejíž jedinci se při konfliktech řídí jednou ze dvou strategií, které nazýváme jestřáb a hrdlička. Pojmenování je pouze obrazné a má vyjadřovat způsob chování při konfliktu: jestřáb bojuje vždy tvrdě a vzdává se jen tehdy, je-li vážně zraněn, hrdlička se přímým útokům raději vyhýbá. Prostřednictvím boje se daný jedinec může stát udatnějším. Tuto změnu označíme hodnotou V. Nebo se může zranit a tím přijít o hodnotu, kterou označíme C. Platí V>C. Celková zdatnost poraženého nemusí být nulová, je pouze snížená o tuto hodnotu C, což v realitě může znamenat že jedinec zůstává v horším teritoriu. Nejdříve si představíme chování jestřábů.všichni zástupci jestřábů jsou nebojácní a bojují do konce zbytku svých sil. Proto, když se střetnou proti sobě dva jestřábi, vyhraje každý s pravděpodobností
7 50%. Naopak, když se proti sobě octnou dva jedinci chovající se jako hrdličky, bojí se boje, a proto budou sdílet oblast společně (rovným dílem). Pokud se střetne jestřáb s hrdličkou, dojde k boji, v němž je hrdlička zabita. Znázorněno v matici: Rozhodování v reklamních kampani Cigaretové značky Marlboro a Lucky Strike. Souboj reklam. Když ani jedna z firem nepoužije reklamu, rozdělí si obě firmy trh na půl. Jestliže budou obě inzerovat svůj výrobek, rozdělí si sice trh opět napůl, ale každá z firem přijde o částku, kterou do reklamy investovala. V případě, že jedna bude inzerovat a druhá ne, plyne jí zisk z přetažení zákazníků od konkurence. Tato teorie byla otestována v roce 1971, kdy Kongres Spojených států schválil zákon zakazující televizní reklamu na cigarety. K překvapení mnoha přihlížejících nevyužily tabákové společnosti svého značného politického vlivu k tlaku na zrušení tohoto zákona. Když zákon vstoupil v platnost, ubylo reklam na cigarety a zisky tabákových společností rostly. Zákon udělal za tabákové společnosti to, co nedokázaly udělat samy. Vyřešil totiž dilema vězňů tím, že přinutil společnosti k rozsahu výroby jako v podmínkách spolupráce s nízkým rozsahem reklamy a vysokými zisky. -Greg Mankiw: Zásady ekonomie Odkazy:
8
VĚZŇOVO DILEMA. Markéta Reichenbachová II.B. Gymnázium a Střední odborná škola Cihelní 410
VĚZŇOVO DILEMA Markéta Reichenbachová II.B Gymnázium a Střední odborná škola Cihelní 410 Vězňovo dilema je typ hry s nenulovým součtem, ve které mají oba hráči dvě možnosti spolupracovat (cooperate) nebo
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry)
Teorie her a ekonomické rozhodování 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) 3.1 Neantagonistický konflikt Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
Více5.7 Kooperativní hry 5.7.1 Kooperativní hra 2 hráčů 5.7.2 Kooperativní hra N hráčů 5.8 Modely oligopolu 5.9 Teorie redistribučních systémů 5.
Mikroekonomie bakalářský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 6 Teorie her, volby teorie redistribučních systémů a teorie veřejné Obsah 5.7 Kooperativní hry 5.7.1
VíceTGH13 - Teorie her I.
TGH13 - Teorie her I. Jan Březina Technical University of Liberec 19. května 2015 Hra s bankéřem Máte právo sehrát s bankéřem hru: 1. hází se korunou dokud nepadne hlava 2. pokud hlava padne v hodu N,
Více3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
VíceDvou-maticové hry a jejich aplikace
Dvou-maticové hry a jejich aplikace Obsah kapitoly. Hry s konstantním součtem Hra v normálním tvaru (ryzí strategie) Smíšené strategie. Hry s nekonstantním součtem Nekooperativní hra Dvou-maticová hra
VíceDva podniky vedou mezi sebou spor, k jehož vyřešení může každý z nich podniknout jednu
Zadání příkladu: Dva podniky vedou mezi sebou spor, k jehož vyřešení může každý z nich podniknout jednu ze tří akcí: a/ žalovat druhý podnik u soudu strategie Z b/ nabídnout druhému podniku spojení strategie
VíceÚvod do teorie her ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH KOMPETENCÍ AKADEMICKÝCH PRACOVNÍKŮ OSTRAVSKÉ UNIVERZITY V OSTRAVĚ A SLEZSKÉ UNIVERZITY V OPAVĚ
ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH KOMPETENCÍ AKADEMICKÝCH PRACOVNÍKŮ OSTRAVSKÉ UNIVERZITY V OSTRAVĚ A SLEZSKÉ UNIVERZITY V OPAVĚ Úvod do teorie her David Bartl, Lenka Ploháková OSNOVA Úvod (hra n hráčů ve strategickém
Více(Ne)kooperativní hry
(Ne)kooperativní hry Tomáš Svoboda, svobodat@fel.cvut.cz katedra kybernetiky, centrum strojového vnímání 5. října 2015 Tomáš Svoboda, svobodat@fel.cvut.cz / katedra kybernetiky, CMP / (Ne)kooperativní
VíceANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
VíceOperační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.
Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty
VíceOperační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.
Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky
VíceÚvod do teorie her
Úvod do teorie her. Formy her a rovnovážné řešení Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 208 ÚTIA AV ČR Program. Definujeme 2 základní formy pro studium různých her: rozvinutou, strategickou. 2.
VíceÚvod do teorie her
Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu
VíceMikroekonomie magisterský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 1 Teorie her pro manažery Obsah 5.1 Teorie her jako součást mikroekonomie 5.2 Základní pojmy teorie
VíceAplikace teorie her. V ekonomice a politice Ing. Václav Janoušek
Aplikace teorie her V ekonomice a politice Ing. Václav Janoušek Co je teorie her a její využití Teorie her obor aplikované matematiky a operační analýzy, sloužící k analýze konfliktních a strategických
Více4EK201 Matematické modelování. 10. Teorie rozhodování
4EK201 Matematické modelování 10. Teorie rozhodování 10. Rozhodování Rozhodování = proces výběru nějaké možnosti (varianty) podle stanoveného kritéria za účelem dosažení stanovených cílů Rozhodovatel =
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 8. Vyjednávací hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 8. Vyjednávací hry 8. Vyjednávání Teorie her Věda o řešení konfliktů Ale také věda o hledání vzájemně výhodné spolupráce Teorie vyjednávání Odvětví teorie her dohoda
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry (chybějící či chybná indexace ve skriptech) 5.1 Opakovaná hra Hra až dosud hráči hráli hru jen jednou v reálu se konflikty neustále opakují (firmy nabízí
VíceStručný úvod do teorie her. Michal Bulant
Stručný úvod do teorie her Michal Bulant Čím se budeme zabývat Alespoň 2 hráči (osoby, firmy, státy, biologické druhy apod.) Každý hráč má určitou množinu strategií, konkrétní situace (outcome) ve hře
Vícecharakteristika oligopolu kartel Cournotův model duopolu oligopol s dominantní firmou Sweezyho model (se zalomenou křivkou poptávky) Nashova
charakteristika oligopolu kartel Cournotův model duopolu oligopol s dominantní firmou Sweezyho model (se zalomenou křivkou poptávky) Nashova rovnováha Soukupová et al.: Mikroekonomie. Kapitola 11, str.
VíceKOOPERATIVNI HRY DVOU HRA CˇU
8 KOOPERATIVNÍ HRY DVOU HRÁČŮ 291 V této kapitole se budeme zabývat situacemi, kdy hráči mohou před začátkem hry uzavřít závaznou dohodu o tom, jaké použijí strategie, vygenerovaný zisk si však nemohou
VícePŘÍKLADY DVOJMATICOVÉ HRY
PŘÍKLADY DVOJMATICOVÉ HRY Příklad 1 SOUTĚŽ O ZAKÁZKY Investor chce vybudovat dva hotely Jeden nazveme Velký (zkratka V); ze získání zakázky na něj se očekává zisk ve výši 30 milionů Druhý nazveme Malý
Více12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ
12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ 543 Ne v každé hře mají všichni hráči úplné informace o výplatních funkcích ostatních. Ve skutečnosti je většina situací s informací neúplnou. Například: V aukcích zpravidla
VíceTEORIE HER
TEORIE HER 15. 10. 2014 HRA HRA Definice Hra je činnost jednoho či více lidí, která nemusí mít konkrétní smysl, ale přitom má za cíl radost či relaxaci. HRA Definice Hra je činnost jednoho či více lidí,
VíceCharakteristika oligopolu
Oligopol Charakteristika oligopolu Oligopol v ekonomice převažuje - základní rysy: malý počet firem - činnost několika firem v odvětví vyráběný produkt může být homogenní (čistý oligopol) nebo heterogenní
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 7. Hry s neúplnou informací
Teorie her a ekonomické rozhodování 7. Hry s neúplnou informací 7.1 Informace Dosud hráči měli úplnou informaci o hře, např. znali svou výplatní funkci, ale i výplatní funkce ostatních hráčů často to tak
VíceTeorie her. Nepřiznat se 1 rok; 1 rok 20 let; 0 let Lupič Dale Přiznat se 0 let; 20 let 10 let; 10 let
Teorie her Teorie her je definována jako analýza matematických modelů konfliktu a spolupráce mezi inteligentními a racionálními subjekty. Teorie her tedy nabízí obecné matematické techniky využitelné pro
VíceTEORIE HER - ÚVOD PŘEDNÁŠKA. OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáška 2. Zuzana Bělinová
PŘEDNÁŠKA 2 TEORIE HER - ÚVOD Teorie her matematická teorie rozhodování dvou racionálních hráčů, kteří jsou na sobě závislí Naznačuje, jak by se v takové situaci chovali racionální a informovaní hráči.
VíceÚvod do teorie her. David Bartl, Lenka Ploháková
Úvod do teorie her David Bartl, Lenka Ploháková Abstrakt Předložený text Úvod do teorie her pokrývá čtyři nejdůležitější, vybrané kapitoly z této oblasti. Nejprve je čtenář seznámen s předmětem studia
VíceDokonale konkurenční odvětví
Dokonale konkurenční odvětví Východiska určení výstupu pro maximalizaci zisku ekonomický zisk - je rozdíl mezi příjmy a ekonomickými náklady (alternativními náklady) účetní zisk - je rozdíl mezi příjmy
VíceMezi firmami v oligopolu dochází ke strategickým interakcím. Při zkoumání strategických interakcí používáme teorii her.
Teorie her a oligopol Varian: Mikroekonomie: moderní přístup, oddíly 26.1-9, 27.1-3 a 27.7-8 Varian: Intermediate Microeconomics, Sections 27.1-9, 28.1-3, 28.7-8 () 1 / 36 Obsah přednášky V této přednášce
VíceKoaliční hry. Kooperativní hra dvou hráčů
Koaliční hry Obsah kapitoly. Koalice dvou hráčů 2. Koalice N hráčů Studijní cíle Cílem tohoto tematického bloku je získání základního přehledu o kooperativních hrách a jejich aplikovatelnosti. Student
VíceTeorie her. RNDr. Magdalena Hykšová, Ph.D. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.
Teorie her RNDr. Magdalena Hykšová, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,
VíceSEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY
SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY PETROHRADSKÝ PARADOX TEREZA KIŠOVÁ 4.B 28.10.2016 MOTIVACE: K napsání této práce mě inspiroval název tématu. Když jsem si o petrohradském paradoxu zjistila nějaké informace
VíceNEKOOPERATIVNI HRY VYUZ ˇ ITI V ANALY ZE DOPRAVNI CH SYSTE MU
1 NEKOOPERATIVNÍ HRY VYUŽITÍ V ANALÝZE DOPRAVNÍCH SYSTÉMŮ 2 ANTAGONISTICKÉ HRY spolehlivost dopravních sítí Obvyklý přístup: získání statistických dat pro jednotlivé hrany (doba přepravy, zpoždění, kapacita)
VíceMATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ
MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ Podklady k soustředění č. 1 Řešení úloh 1. dílčí téma: Řešení úloh ve stavovém prostoru Počáteční období výzkumu v oblasti umělé inteligence (50. a 60. léta) bylo charakterizováno
VíceVYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Model tahové hry s finančními odměnami
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Obor: Statistika a ekonometrie Název bakalářské práce Model tahové hry s finančními odměnami Autor: Vedoucí bakalářské práce: Rok: 009 Markéta
VíceDetektivní SAM. Seminář aplikované matematiky. Matyáš T. Mdx Theuer. 30. října 2012. Katedra aplikované matematiky VŠB -TUO
Detektivní SAM Seminář aplikované matematiky 0 Mdx Theuer Katedra aplikované matematiky VŠB -TUO 30. října 2012 0 Mdx Theuer (VŠB -TUO) Detektivní SAM 30. října 2012 1 / 12 Logo a Motto Pokud někdo nevěří,
VíceHL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Vězňovo dilema / 21
Vězňovo dilema HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Vězňovo dilema 13.2. 18.2.2012 1 / 21 Obsah 1 Úvod 2 Vězňovo dilema na jedno kolo 3 Příklady ze života 4 Více kol Emu (Brkos
VíceTeorie her. Kapitola 1. 1.1 Základní pojmy. 1.1.1 Základní pojmy
Kapitola 1 Teorie her Dosud jsme se věnovali jednokriteriální či vícekriteriální optimalizaci, kde ve všech úlohách byly předem pevně dané podmínky a ty se nijak neměnily v závislosti na našem rozhodnutí.
VíceTEORIE HER. Základní pojmy teorie her. buď racionální (usiluje o optimální výsledek hry) nebo indiferentní (výsledek hry je mu lhostejný)
TEORIE HER V dosavadních přednáškách jsme probírali jedno či vícekriteriální optimalizaci, ale v těchto úlohách byly předem pevně dané podmínky a ty se nijak neměnily v závislosti na našem rozhodnutí Také
VíceHRY V NORMÁLNÍM TVARU
HRY V NORMÁLNÍM TVARU Příklad 6 Cournotovy modely Monopol: Monopolista vyrábí jistý druh výrobků. Nejvyšší cena, za kterou může prodat jeden kus tak, aby vyprodal veškerou produkci, je dána poptávkovou
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 9. Modely nedokonalých trhů
Teorie her a ekonomické rozhodování 9. Modely nedokonalých trhů 9.1 Dokonalý trh Dokonalý trh Dokonalá informovanost kupujících Dokonalá informovanost prodávajících Nulové náklady na změnu dodavatele Homogenní
VíceHry v rozvinutém tvaru a opakované hry. Hry v rozvinutém tvaru
Hry v rozvinutém tvaru a opakované hry Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Výkladová část 1) Hry v rozvinutém tvaru 2) Opakované hry I. Konečně opakované hry
VíceDokažte Větu 2(Minimax) ze třetího dílu seriálu pro libovolnou hru s nulovým součtem, ve kterémákaždýhráčnavýběrprávězedvoustrategií.
Teorie her º Ö ÐÓÚ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò º Ù Ò ¾¼½ ÐÓ ½º HráčIsitajněnapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho ivestejnou chvílisirovněžhráčiinapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho
VíceRozhodovací procesy v ŽP HRY A SIMULAČNÍ MODELY
Rozhodovací procesy v ŽP HRY A SIMULAČNÍ MODELY Teorie her proč využívat hry? Hry a rozhodování varianty her cíle a vítězné strategie (simulační) Modely Operační hra WRENCH Cv. Katedra hydromeliorací a
VíceMODELY OLIGOPOLU COURNOTŮV MODEL, STACKELBERGŮV MODEL
MODELY OLIGOPOLU COURNOTŮV MODEL, STACKELBERGŮV MODEL DOKONALÁ KONKURENCE Trh dokonalé konkurence je charakterizován velkým počtem prodávajících, kteří vyrábějí homogenní produkt a nemohou ovlivnit tržní
Více11. Trhy výrobních faktorů Průvodce studiem: 11.1 Základní charakteristika trhu výrobních faktorů Poptávka po VF Nabídka výrobního faktoru
11. Trhy výrobních faktorů V předchozích kapitolách jsme zkoumali způsob rozhodování firmy o výstupu a ceně v rámci různých tržních struktur (dokonalá a nedokonalá konkurence). Ačkoli se fungování firem
VícePřednáška #8. Základy mikroekonomie TEORIE HER
Přednáška #8 Základy mikroekonomie TEORIE HER 14.11.2012 V minulé přednášce jsme si vysvětlili, co je to oligopolistické tržní uspořádání Oligopol jako tržní uspořádání stojí mezi monopolem a režimem dokonalé
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 4. Hry v rozvinutém tvaru
Teorie her a ekonomické rozhodování 4. Hry v rozvinutém tvaru 4.1 Hry v rozvinutém tvaru Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada po sobě následujících
VíceMikroekonomie magisterský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2013 Téma 4 Teorie her pro manažery Obsah 5.7 Kooperativní hry 5.7.1 Kooperativní hra 2 hráčů 5.7.2 Kooperativní
VíceStrana 1. Vysoké napětí FACTORY MANAGER / Ředitel továrny FRIEDEMANN FRIESE
Strana 1 Vysoké napětí FACTORY MANAGER / Ředitel továrny FRIEDEMANN FRIESE 1 Strana 2 Předmluva Vítejte ve světě podnikatelů. Ve hře Vysoké napětí - Factory Manager se každý z hráčů vžije do role majitele
VíceB) EX = 0,5, C) EX = 1, F) nemáme dostatek informací.
Hlasovací otázka 9 Náhodná veličina X nabývá jen dvou různých hodnot, 0 a 1. Předpokládejme P(X = 0) = 0,5. Co můžeme říci o EX? Hlasovací otázka 9 Náhodná veličina X nabývá jen dvou různých hodnot, 0
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování 6. Kooperativní hry více hráčů
Teorie her a ekonomické rozhodování 6. Kooperativní hry více hráčů (chyby ve skriptech) 6.1 Koaliční hra Kooperativní hra hráči mají možnost před samotnou hrou uzavírat závazné dohody dva hráči (hra má
VíceMojmír Sabolovič Katedra národního hospodářství
Ekonomie kolem nás Mojmír Sabolovič Katedra národního hospodářství mojmir.sabolovic@law.muni.cz PROGRAM PŘEDNÁŠEK 1. Přednáška - Ekonomie kolem nás přednášející: Ing. Bc. Mojmír Sabolovič, Ph.D. 2. přednáška
Více4EK201 Matematické modelování. 1. Úvod do matematického modelování
4EK201 Matematické modelování 1. Úvod do matematického modelování Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceÚvod do teorie her. druhé upravené vydání. Martin Dlouhý Petr Fiala
Úvod do teorie her druhé upravené vydání Martin Dlouhý Petr Fiala 2009 2 Teorie her: analýza konfliktů a spolupráce Teorie her: analýza konfliktů a spolupráce 3 Obsah Předmluva... 5 1. Úvod do teorie her
VíceStrategický management
Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta Strategický management Matice hodnocení strategické pozice SPACE Chvála Martin ME, 25 % Jakubová Petra ME, 25 % Minx Tomáš
VíceKrátkodobá rovnováha na trhu peněz
Makroekonomická analýza přednáška 9 1 Krátkodobá rovnováha na trhu peněz Funkce poptávky po penězích Poptávka po penězích je úměrná cenové hladině (poptávka po penězích je poptávka po reálných penězích).
VíceSOBECKÝ GEN. Proč gen? Co je fitness? Proč sobecký? Co je objektem přirozeného výběru? Jedinec? Skupina? Gen (resp. alela)?
SOBECKÝ GEN genocentrický pohled na evoluci Co je objektem přirozeného výběru? Jedinec? Skupina? Gen (resp. alela)? Replikátor kopírování ale s chybami nadprodukce nenáhodné přežívání Nepochopení mezi
VíceModely oligopolu. I. Dokonalý trh II. Nedokonalý trh 1. Modely oligopolu. Dokonalý trh. Nedokonalý trh
Modely oligopolu Obsah kapitoly Studijní cíle I. Dokonalý trh II. Nedokonalý trh 1. Modely oligopolu Student získá komplexní přehled teorií oligopolu, které lze úspěšně aplikovat v realitě. Doba potřebná
VíceÚvod do ekonomie Týden 10. Tomáš Cahlík
Úvod do ekonomie Týden 10 Tomáš Cahlík Obsah Firmy Úvod rozhodování podle očekávaných nákladů a očekávaných výnosů Výroba Náklady Struktura trhu Dokonalá konkurence Monopol Nedokonalá konkurence Zkouškové
Více11. Oligopoly a teorie her
11. Oligopoly a teorie her Motivace V odvětvích, které jsme zatím uvažovali, na sebe firmy vzájemně nereagovaly: v dokonalé a monopolistické konkurenci byly příliš malé na to, aby se vzájemně ovlivnily
VíceStátnicová otázka 6, okruh 1
Státnicová otázka 6, okruh 1 Vojtěch Franc, xfrancv@electra.felk.cvut.cz 7. února 2000 1 Zadání Statické optimalizace. Lineární a nelineární programování. Optimální řízení a rozhodování v dynamických systémech,
VícePRAVIDLA: ÚROVEŇ 4 BALÍČEK VS BALÍČEK
PRAVIDLA: ÚROVEŇ 4 BALÍČEK VS BALÍČEK PŘÍPRAVA NA HRU Každý hráč si připraví balíček s 20 kartami hrdinů a s 20 kartami zbraní. Do balíčku může dát maximálně 4 karty stejného typu (např. 4 Naftové rytíře
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceVysoká škola finanční a správní, o.p.s. Teorie her pro manažery
Vysoká škola finanční a správní, o.p.s. Teorie her pro manažery Vypracovala: Bc. Lucie Částová UČO:13211 Datum: 6. Května 2011 Obsah ÚVOD... 2 Náplň Teorie her... 3 Vlastnosti a druhy her... 4 Ukázka teorie
VíceOligopoly a teorie her
Oligopoly a teorie her Co se dnes naučíte co je to oligopol jaké výsledky jsou v oligopolu možné proč je pro oligopolní firmy obtížné spolupracovat jak antimonopolní zákonodárství může prospět konkurenci
VíceOdpřednesenou látku naleznete v dodatku A skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Perfektní lineární kódy Odpřednesenou látku naleznete v dodatku A skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B01LAG 18.5.2016: Perfektní lineární kódy 1/18 Minulé přednášky 1 Detekce
Více8. Dokonalá konkurence
8. Dokonalá konkurence Kompletní text ke kapitole viz. KRAFT, J., BEDNÁŘOVÁ, P, KOCOUREK, A. Ekonomie I. TUL Liberec, 2010. ISBN 978-80-7372-652-2; str.64-75 Dokonale konkurenční tržní prostředí lze charakterizovat
Více1. dílčí téma: Rozhodování při riziku, neurčitosti a hry s neúplnou informací
Cíl tematického celku: Student získá komplexní přehled teorií oligopolu, které lze úspěšně aplikovat v realitě. Druhým cílem je naučit se chápat obsah komunikace, která se vede při projednávání nejrůznějších
VíceMikroekonomie 1 -TOMÁŠ VOLEK (Prezentace 6) 1
Obsah Podnik Výnosy Zisk Podnik Firma (podnik) je obecné označení pro ekonomicko - právní subjekt. Základními znaky rozlišující podnik od jiných institucí společnosti jsou: - -.. Základní cíl podniku je
VíceRozlišení zisku. Mikroekonomie. Účetní zisk = Ekonomický zisk. Normální zisk. Zisk firmy. Co je důležité pro členění zisku
Zisk firmy Mikroekonomie Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky, JČU Zisk (π) je rozdíl mezi celkovými příjmy a celkovými náklady. Π = TR - TC Je také vynásobený objem produkce rozdílem průměrného
VíceFirmy na dokonale konkurenčních trzích
Firmy na dokonale konkurenčních trzích Motivace Každá firma musí učinit následující rozhodnutí: kolik vyrábět jakou cenu si účtovat s jakými výrobními faktory (kolik práce a kolik kapitálu) Tato rozhodnutí
VíceVektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)
Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči
VíceKvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy
1. Firmy působí: a) na trhu výrobních faktorů b) na trhu statků a služeb c) na žádném z těchto trhů d) na obou těchto trzích Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 2. Firma na trhu statků a služeb
VíceMožnosti modelování a řešení konfliktů v environmentálních dohodách
Možnosti modelování a řešení konfliktů v environmentálních dohodách Co to je konflikt? Konflikt mezi firmami a občany patří mezi zásadní problémy současnosti Největším nebezpečím je zneužití této situace
VíceFirmy na dokonale konkurenčních trzích
Firmy na dokonale konkurenčních trzích Motivace Každá firma musí učinit následující rozhodnutí: kolik vyrábět jakou cenu si účtovat s jakými výrobními faktory (kolik práce a kolik kapitálu) Tato rozhodnutí
VíceVysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích
Firma a odvětví. Koncentrace odvětví. Vztah firmy ke konkurentům a oligopol. Limitní cena. Kvantitativní modely duopolu. Cenové modely duopolu. Možnosti využití teorie her. Teorie firmy Firma a odvětví
VíceÚvod do teorie her. 6. Koaliční hry
Úvod do teorie her 6. Koaliční hry Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2018 ÚTIA AV ČR Různé formy her Známé formy her jsou: rozvinutá, strategická, koaliční. Pro danou množinu hráčů N = {1,...,
VíceUNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA EKONOMICKO - SPRÁVNÍ DIPLOMOVÁ PRÁCE
UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA EKONOMICKO - SPRÁVNÍ DIPLOMOVÁ PRÁCE 2010 Bc. Kateřina KOUBOVÁ Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko správní Metody na podporu rozhodování manažera v konfliktních rozhodovacích
VíceTeorie nákladů. Rozlišení zisku. Mikroekonomie. Účetní zisk. Ekonomický zisk. Normální zisk. Zisk firmy. Důležité. Účetní, ekonomický a normální zisk
Zisk firmy Mikroekonomie Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky, JČU Zisk (π) je rozdíl mezi celkovými příjmy a celkovými náklady. Π = TR - TC Je také vynásobený objem produkce rozdílem průměrného
VíceOperační výzkum. Vícekriteriální hodnocení variant. Grafická metoda. Metoda váženého součtu.
Operační výzkum Vícekriteriální hodnocení variant. Grafická metoda. Metoda váženého součtu. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
Více4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)
4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceV této části se budeme věnovat nejjednoduššímu typu her, ve kterých rozhodováníprobíhávjednomkrokuakaždýhráčmáúplnouinformacijako
Kapitola 1 Aplikace teorie her Teorie her není úplně nejvýstižnější pojmenování. Předmětem teorie her nejsou hry v obvyklém smyslu slova, hrané pro zábavu. Výstižnější název by asi byl teorie interaktivního
VíceStrategické hry v bezpečnostním inženýrství
Strategické hry v bezpečnostním inženýrství Strategic games in security engineering Bc. Jan Cibulka Diplomová práce 2010 ABSTRAKT Diplomová práce je zaměřena na vyuţití teorie her a optimálního rozhodování
VíceKOOPERATIVNÍ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, JÁDRO HRY, HRA VE TVARU CHARAKTERISTICKÉ FUNKCE, SHAPLEYOVA HODNOTA CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ?
KOOPERATIVNÍ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, JÁDRO HRY, HRA VE TVARU CHARAKTERISTICKÉ FUNKCE, SHAPLEYOVA HODNOTA CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekonomická vědní disciplína, která se
VíceAltruizmus. Reciproční altruizmus. Vězňovo dilema. Nejen příbuzenský, ale i reciproční! Možnost podvádět!
Spolupráce Ivan H. Tuf Katedra ekologie a životního prostředí PřF UP v Olomouci Pomáháme jen příbuzným? Zřejmě ne Nature vs nurture? - Pomáháme od přirozenosti? - Nebo jsme k tomu vedeni rodiči? Pomáháme
VíceTEORIE HER Meta hry PŘEDNÁŠKA. OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáška 4. Zuzana Bělinová
PŘEDNÁŠKA 4a TEORIE HER Meta hry OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáška 4 Strategické hry se nenulovým součtem počet hráčů není dán, ale dále uvažujeme 2 hráče hrající racionálně Meta
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 11. Aukce
Teorie her a ekonomické rozhodování 11. Aukce 11. Aukce Příklady tržních mechanismů prodej s pevnou cenou cenové vyjednávání aukce Využití aukcí prodej uměleckých předmětů, nemovitostí, prodej květin,
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
Více10. Oligopoly a teorie her
10. Oligopoly a teorie her Motivace V odvětvích, které jsme zatím uvažovali, na sebe firmy vzájemně nereagovaly: v dokonalé a monopolistické konkurenci byly příliš malé na to, aby se vzájemně ovlivnily
VíceUniversita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta RIGORÓZNÍ PRÁCE. Mgr. Martin Chvoj. Pokročilé partie teorie her a jejich aplikace
Universita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta RIGORÓZNÍ PRÁCE Mgr. Martin Chvoj Pokročilé partie teorie her a jejich aplikace Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí rigorózní
VíceUKÁZKA ŠKOLÍCÍCH MATERIÁLŮ
ZÁKLADY PODNIKÁNÍ UKÁZKA ŠKOLÍCÍCH MATERIÁLŮ Centrum služeb pro podnikání s.r.o. 2014, I. Verze, MŘ, GH, JT, DH 1 Obsah PODNIKATELSKÝ PLÁN / ZÁMĚR... 3 KOMUNIKAČNÍ DOVEDNOSTI... 20 MARKETING... 42 PRÁVO...
VíceVEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.
VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,
Více