PRACOVNÍ SEŠIT KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. 9. tematický okruh:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PRACOVNÍ SEŠIT KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. 9. tematický okruh:"

Transkript

1 Připrav se a státí maturití zoušu z MATEMATIKY důladě, z pohodlí domova a olie PRACOVNÍ SEŠIT 9. tematicý oruh: KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA vytvořila: RNDr. Věra Effeberger eperta a olie přípravu a SMZ z matematiy šolí ro 04/05 RNDr. Věra Effeberger

2 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Toto je bous číslo výuovému videu: Kombiatoria, pravděpodobost a statistia. Než si video zapeš, ta si pracoví sešit vytisi a při sledováí videa si do ěj doplňuj vešeré pozámy, slova a přílady. Udrží tě to v pozorosti a budeš se moci zapsaým iformacím později vracet. Když už tě Kombiatoria, pravděpodobost a statistia uaví, ebo tě přestaou bavit, dej si jedoduše pauzu a poračuj později. Pracoví sešit ti bude sloužit hlavě opaováí, je v ěm totiž úplě všecho, co tématu Kombiatoria, pravděpodobost a statistia musíš zát. Neí už tedy třeba hledat iformace v učebicích, starých sešitech ebo si platit doučováí. Příjemé učeí s Prohlášeí: Teto pracoví sešit je iformačím produtem, terý doprovází výuové video Kombiatoria, pravděpodobost a statistia. Jaéoliv šířeí ebo posytováí videa a pracovího sešitu třetím osobám bez souhlasu autory je zaázáo! Děuji za pochopeí a respetováí tohoto sděleí. Stažeím tohoto materiálu rozumíte, že jaéoli použití iformací z tohoto materiálu a úspěchy či eúspěchy z toho plyoucí, jsou pouze ve Vašich ruách a autora za ě eese žádou zodpovědost. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger

3 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! 9. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 9. ZÁKLADNÍ POZNATKY Z KOMBINATORIKY A PRAVDĚPODOBNOSTI KOMBINATORIKA Kombiatoria je součástí matematiy, což je obor matematiy, terý studuje pouze vlastosti souborů (moži a uspořádaých či euspořádaých -tic, N ). Budeme se zde tedy zabývat vytvářeím supi z daých prvů a určováí jejich počtu Záladí ombiatoricá pravidla Abychom vyřešili většiu ombiatoricých úloh, musíme zát jedoduchá ombiatoricá pravidla, se terými si dost často vystačíme. Kombiatoricé pravidlo součiu: Počet všech -tic, jejichž prví čle lze vybrat způsoby, druhý čle po výběru prvího čleu způsoby atd. až -tý čle po výběru všech předcházejících čleů způsoby, je rove. Moje pomůca: A ZÁROVEŇ Přílad: V čtyřmístém ódu je a prvím místě jedo z písme: E, F, G ebo H a dalších dvou pozicích je libovolé číslo od do 66 a a posledím místě ódu je jede ze zaů: ebo +. (Př. ódů: F49+, G37 apod.) Určete počet všech tato vytvořeých ódů. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 3

4 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Kombiatoricé pravidlo součtu: Jsou-li A, A,, A oečé možiy, teré mají po řadě,,, prvů, a platí, že aždé dvě tyto možiy jsou, pa počet prvů možiy A A A je rove. Moje pomůca: NEBO Přílady: Čtverec o straě 4 jedoty je rozděle a 6 jedotových čtverců (viz obráze). Určete počet všech čtverců, teré v ěm lze alézt. Turisté se chtějí ejprve občerstvit a pa jít a výlet - a hrad. Z místa, de ocují, vedou tři růzé cesty do restaurace a z restaurace potom 4 další cesty a hrad. Určete počet možých tras, terými se mohou turisté vydat a výlet a zpět, jestliže se při zpátečí cestě opět zastaví v restauraci a právě jedu z vybraých cest použijí dvarát. Fatoriál Kvůli ratšímu a stručějšímu zápisu všech přirozeých čísel od do se zavádí symbol!, terý se čte: a defiuje se tedy jao:! Dále se defiuje rovost: pro aždé 0! N. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 4

5 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Přílady: 3! 5!! 4! 8 5! 6! 4 5! 7!!! 9!! 6 3!!! Řešte rovice v Z: 3! 6 4 ( )! 58! 55! Variace Poud máme spočítat počet všech, ja z prvů vybrat -čleou supiu, ve teré ám záleží a pořadí ebo a pozici jedotlivých čleů, ombiatoricy počítáme. -čleá variace z prvů (, N, ) je -tice sestaveá z těchto prvů ta, že se v í aždý vysytuje ejvýše jedou. Počet V, všech -čleých variací z prvů vypočítáme ásledově: V,!! šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 5

6 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Přílady: V míse je jablo, hruša, brosev a pomerač. Kolia způsoby můžeme vybrat jedo ovoce sídai, jedo e svačiě a jedo obědu? Určete počet všech přirozeých čísel meších ež 700, v jejichž deadicém zápisu jsou pouze cifry 3, 5, 7, 9, aždá ejvýše jedou. Výbor sportovího lubu tvoří šest mužů a čtyři žey. Určete, olia způsoby z ich lze vybrat předsedu, místopředsedu a poladía (poz.: tyto posty můžou zastávat samozřejmě i žey). Variace s opaováím Poud máme spočítat počet všech, ja z prvů vybrat -čleou supiu, ve teré ám záleží a pořadí ebo a pozici jedotlivých čleů a čleové se mohou opaovat, jedá se o variace s. -čleá variace s opaováím z prvů (, N, ) je -tice sestaveá z těchto prvů ta, že se v í aždý vysytuje ejvýše -rát. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 6

7 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Počet V, všech -čleých variací s opaováím z prvů vypočítáme: V, Přílady: Máme 4 růzé pastely: modrou, červeou, žlutou a zeleou. A chceme s imi vybarvit všecha tři pole ásledujícího obrázu. Koli možostí vybarveí můžeme vytvořit? PIN ód e aždé telefoí SIM artě je čtyřmístý číselý ód. Koli taových ódů lze vytvořit? Permutace Jestliže máme spočítat všechy možosti, ja uspořádat prvů, počítáme v ombiatorice permutace ( ). Permutace z prvů ( N ) je uspořádaá -tice sestaveá z těchto prvů ta, že se v í aždý vysytuje ejvýše. Je dobré si uvědomit, že permutace z prvů je v podstatě -čleá z těchto prvů. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 7

8 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Pro počet P všech permutací prvů platí vzorec: Přílady:! P Koli čtyř písmeých růzých slov zle vytvořit z písme Z, A, K, L ta, aby se písmea ve slově eopaovala? Určete, olia způsoby může 0 táboríů při ástupu a raí rozcviču astoupit a) do řady; b) do řady, v íž je táborí Aleš a raji. Kombiace (bez opaováí) Poud máme spočítat počet všech možostí, ja z prvů vybrat -čleou supiu a ezáleží ám a ebo a jedotlivých čleů, počítáme ombiace. -čleá ombiace z prvů (, N, ) je -tice sestaveá z těchto prvů ta, že se v í aždý vysytuje ejvýše jedou. Počet K, všech -čleých ombiací z prvů vypočítáme ásledově:! K,, N0,!! KOMBINAČNÍ ČÍSLO - čteme: ad šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 8

9 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! 9 šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger Je dobré si uvědomit, že platí:!,, V K Kombiačí čísla Kombiačí číslo ad defiujeme vzorcem: Záladí vlastosti ombiačích čísel: Pro aždé N platí: Pro aždé N,, 0, platí: Pro aždé N,, 0, platí: Přílady: Vypočítejte: V oboru celých čísel řešte rovice: Kombiačí leště

10 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Přílady: Ve sladu je 5 výrobů, mezi imi jsou 3 vadé. Kolia způsoby z ich můžeme vybrat oleci pěti výrobů, aby: a) všechy byly dobré, b) byl právě jede vadý, c) byl ejvýš jede vadý? Ze supiy mužů a 8 že se má vybrat volejbalové družstvo, ve terém budou právě 3 žey a 3 muži. Kolia způsoby lze taové družstvo sestavit? Koli hráčů se zúčastilo turaje ve stolím teisu, jestliže bylo odehráo zápasů a hráči hráli aždý s aždým jedou? PRAVDĚPODOBNOST Záladí pojmy Náhodý pous je taový, jehož výslede eí předem urče podmíami, za terých je provádě Přílady áhodých pousů:. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 0

11 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Možia všech možých výsledů áhodého pousu možia všech možých ( ) áhodého pousu, teré mají tyto vlastosti: avzájem se (astal-li jede, emohl astat druhý) a jede z ich astae vždy (tz. emůže astat žádý jiý výslede ež jede z vyjmeovaých). Přílad: U rodi se třemi dětmi se zjišťuje pohlaví dětí. Vypište všechy možé výsledy, teré mohou astat, jestliže při tom záleží a pořadí dětí podle věu. Náhodý jev A je áhodého pousu je podmožiou možiy všech možých výsledů (o jevech tedy platí vše, co o možiách) Přílady áhodých jevů:. Elemetárí jevy jsou všechy možé dále výsledy áhodého pousu Přílady elemetárích jevů:. Jev opačý (doplňový) A astává právě tehdy, dyž jev A Přílady opačých jevů:. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger

12 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Jev jistý jedá se o jev, terý astae Přílady jevů jistých:.. Jev emožý jedá se o jev, terý emůže astat Přílady jevů emožých:. Je-li A, říáme, že výslede je přízivý jevu A. Je-li A B, říáme, že jev A je podjevem jevu B. Přílady:. Sjedoceím jevů A a B azýváme jev jede z jevů A a B. A B, terý astává právě tehdy, dyž astae Přílady:. Průiem jevů A a B azýváme jev jevy A a B. A B, terý astává právě tehdy, dyž astaou oba Je-li A B 0, říáme, že jevy A a B se avzájem vylučují. Přílady:. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger

13 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Výpočet pravděpodobosti Pravděpodobost P(A) jevu A v áhodém pousu s oečou možiou všech výsledů, teré jsou stejě možé, je rova : A m PA, m de: m(a) je počet m je počet.. Pro pravděpodobost platí: Pravděpodobost emožého jevu je rova. Pravděpodobost jistého jevu je rova. Pro pravděpodobost libovolého jevu A platí: P A Pro pravděpodobost opačého jevu A platí: PA PA Přílady: Z bedy, terá obsahuje 6 dobrý výrobů a 4 zmety, vybereme amátou pět výrobů. Jaá je pravděpodobost, že jsme si vybrali samé dobré výroby? Zvolíme áhodě rodiu se 3 dětmi. Jaá je pravděpodobost tohoto jevu: dvě ejstarší děti jsou dívy? šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 3

14 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Sčítáí pravděpodobostí Jestliže se dva jevy A a B avzájem, zameá to, že A B 0 (emůžou astat současě), potom pravděpodobost sjedoceí těchto dvou jevů se rová jejich pravděpodobostí. P A B PA PB Poud pro dva jevy A a B výše zmíěé eplatí (tedy jejich sjedoceí se vypočítá ásledově: P A B A B 0 ), potom pravděpodobost Přílady: Ve třídě je 5 žáů, v hodiě budou vyvolái 3 žáci. Jaá je pravděpodobost, že mezi imi bude Oliver ebo Havel? Soutěže se pravidelě účastí muži a žey, ja dospělí, ta i děti. Pravděpodobost, že zvítězí muž je 0,6. Pravděpodobost, že zvítězí chlapec je 0,4. Dospělá žea zvítězí s pravděpodobostí 0,3. Je občas vyhraje díva. Jaá je pravděpodobost, že: a) vyhraje žea (dospělá či díva)? b) zvítězí dospělí muž? c) vyhraje ějaé dítě (chlapec či díva)? d) ezvítězí chlapec? šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 4

15 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! 9. ZÁKLADNÍ POZNATKY ZE STATISTIKY Statistia a záladí pojmy Statistia zoumá výsyt jevů a vybraých souborech jediců. Na záladě vlastostí souboru usuzuje jaé vlastosti má celá. STATISTIKA NUDA JE, Statistia ve smyslu statisticých statisticé statisticých Statisticý soubor souhr (osob, věcí, jevů, apod.), terý z hledisa ějaé vlastosti ebo jevu statistia zoumá Statisticá jedota statisticého souboru Rozsah souboru statisticých jedote ve statisticém souboru Poud apř. zoumáme hmotost dětí při ástupu do třídy.a, ta: statisticým souborem je, statisticé jedoty jsou, rozsah souboru se rová počtu, statisticým zaem je. Statisticý za daá zoumaá, zoumaý jev Můžeme zoumat: vatitativí za lze ho vyjádřit hodotou Hodota zau hodota daého zoumaého statisticého zau valitativí za ho vyjádřit číselou hodotou šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 5

16 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Tříděí statisticého souboru Jestliže zísáme ějaá statisticá data, ejčastěji ěoli (desíte, stove ) hodot zoumaého statisticého zau, je důležité umět je. Prvím roem by mělo být tříděí statisticého souboru, pomocí ěhož budeme mít lepší přehled. (ABSOLUTNÍ) ČETNOST statisticého zau v souboru = udává výsytů daé hodoty zau v souboru Začí se: Platí: i i RELATIVNÍ ČETNOST = začí jaá (procetuálí) souboru má daou hodotu Začí se: i Platí: p 00% i p i 00% i Přílad: Určete rozsah souboru a sestavte tabulu rozložeí absolutích a relativích četostí věu zaměstaců jedé firmy, teří odcházejí do důchodu. Zotrolujte součet relativích četostí: šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 6

17 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Četosti jedotlivých hodot statisticého zau můžeme zázorit pomocí diagramů: A) spojicový diagram B) sloupcový diagram C) hůlový diagram D) ruhový výsečový diagram šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 7

18 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Statisticé charateristiy Statisticé charateristiy jsou iformace, teré defiovaým způsobem vypovídají o zpracovaém souboru. Zejméa u velých souborů slouží e sazší. Jsou to hodoty, teré popisují polohu, rozptýleí či vychýleí statisticého zau. Rozlišujeme dva hlaví druhy statisticých charateristi: charateristiy POLOHY: aritmeticý průměr, geometricý průměr, harmoicý průměr, vadraticý průměr, modus, vatily (mediá, vartil, vitil, decil, percetil,..) charateristiy VARIABILITY (rozptýleí): rozptyl, směrodatá odchyla, průměrá absolutí odchyla, variačí oeficiet, variačí rozpětí Poz.: Nyí budeme uvažovat pouze statisticé zay! Charateristiy polohy Nědy je za potřebí ahradit všechy hodoty zau hodotou jediou, terá jistým způsobem soubor popisuje - zastupuje, tuto hodotu azýváme: středí hodota zau (jedá se o charateristiu polohy) ARITMETICKÝ PRŮMĚR: = začí se: a vypočítáme ho ásledově: i i Tedy postup výpočtu je taový, že sečteme všechy hodoty zoumaého zau a vydělíme jejich (rozsahem souboru). šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 8

19 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Eistují taé jié průměry, apř.: Geometricý průměr * g i i Harmoicý průměr * h i i Kvadraticý průměr * i i MODUS = začí se: Jedá se o hodotu zau, terá má ejvětší. Určuje se je u souborů s jediou hodotou o ejvětší četosti. MEDIÁN = začí se: Mediá určuje hodotu všech hodot zoumaého zau seřazeých vzestupě (ebo sestupě). Mediá zau abývajícího hodot (seřazeých do elesající poslouposti od ejmeší po ejvětší hodotu) je pro: Výpočet: pro liché rove prostředímu čleu oečé elesající poslouposti - mediá je tedy hodota čleu, terý má pořadové číslo: Med ( ),,, šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 9

20 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! pro sudé rove aritmeticému průměru dvou prostředích čleů oečé elesající poslouposti,,,. - mediá je tedy aritmeticým průměrem čleů a pozicích a. Med ( ) PERCENTIL = začí se: Percetil dělí celý (vzestupě seřazeý) statisticý soubor a setiy. Prví, druhý až 99. percetil je hodota acházející se v jedé, dvou až 99 setiách pořadí. Napřílad pod 70. percetilem se vysytuje 70 % všech ostatích hodot a ad ím je 30 % ostatích hodot. Padesátý percetil je shodý s mediáem. Přílady: Z předchozího příladu, de byl zoumá vě zaměstaců jedé firmy při odchodu do důchodu, vypočítejte průměrý důchodový vě, dále určete modus a mediá. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 0

21 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Charateristiy variability Jedá se o odchyly od středích hodot. Charaterizují šířu oolí, ve terém jsou hodoty zau olem vybraé středí hodoty sesupey. Poz.: V ásledujících situacích budeme jao středí hodotu používat průměr! ROZPTYL eboli VARIANCE = začí se: a vypočítáme ho ásledově: s Počítáme tedy průměrou plochu do středí hodoty statisticého zau, ve teré se všechy hodoty vysytují. i i SMĚRODATNÁ ODCHYLKA = začí se: a vypočítáme ji ásledově: s s Vypočítáme ji jao druhou odmociu z rozptylu. Dále lze počítat i ásledující charateristiy : Průměrá absolutí odchyla d i i s Variačí oeficiet v 00% Variačí rozpětí R ma mi šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger

22 Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Přílady: Následující čísla jsou počty vytržeých zubů u vybraých pacietů daého zubaře za dobu 5 let: 4, 0, 8, 4, 5, 6,, 3, 8,, 8, 9, 7,, 5, 3, 7,,, 9,, 5, 4,, 8, 9, 3, 8,, 7, 3, 0, 5,,, 6, 3,, 6, 5, 4, 7,, 4,, 3, 4, 3, 6,. Utvořte tabulu rozděleí absolutích a relativích četostí. Zázorěte četosti pomocí polygou. Určete aritmeticý průměr, modus a mediá. Určete rozptyl a směrodatou odchylu. BOMBA, TEORII KE KOMBINATORICE, PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTICE MÁŠ ZA SEBOU! A MŮŽEŠ NA DALŠÍ KURZ šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č.

Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č. Náhoda při i hřeh Martigale: Vsadíšřeěme dolar a barvu, terou si vybereš (červeáči čerá) a budeš stále sázet je a i. Roztočíš ruletu a čeáš Poud prohraješ, zdvojásobíš sázu, taže vsadíš příště dolary.

Více

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl 7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika

Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Kombiatoria, pravděpodobost, statistia Kombiatoria, pravděpodobost, statistia Obsah 9. Kombiatoria... 70 9.. Fatoriály... 70 9.. Variace bez opaováí... 75 9.. Permutace bez opaováí... 8 9.4. Kombiace bez

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovice RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Rovice kombiatorické VY INOVACE_5 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Skupiy prvků, kde záleží a pořadí Bez opakováí Počet Vk( )

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Při řešení mnoha praticých problémů se setáváme s úlohami, ve terých utváříme supiny z prvů nějaé onečné množiny Napřílad máme sestavit rozvrh hodin z daných předmětů, potřebujeme

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Statistika Statistická jednotka, statistický soubor a statistické znaky Poznámka. (Rozd lení etností jednoho kvantitativního statistického znaku)

Statistika Statistická jednotka, statistický soubor a statistické znaky Poznámka. (Rozd lení etností jednoho kvantitativního statistického znaku) Statistia Tímto pomem většiou ozačueme: a) statisticé údae a eich ěteré fuce, b) statisticou čiost a istituce, teré tuto čiost provozuí, c) statisticou teorii. Statisticé údae eboli statisticá data sou

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Variace, permutace, kombiace, kombiačí čísla, vlastosti, užití faktoriál, počítáí s faktoriály, variace s opakováím.. Upravte a urči podmíky: a)!! 6! b)!! 6! 9! c)!!!!. Řešte rovici: a) 4 b) 0 c) emá řešeí

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

3. cvičení 4ST201. Míry variability

3. cvičení 4ST201. Míry variability cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry varablty

Více

ZÁKLADY POPISNÉ STATISTIKY

ZÁKLADY POPISNÉ STATISTIKY ZÁKLADY POPISNÉ STATISTIKY Statitia věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatiticých údaů. Statiticé údae ou apř. údae o přirozeém přírůtu či migraci obyvateltva, obemu výroby průmylových podiů,

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymázium, Šterberk, Horí ám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šabloa III/2 Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Ozačeí materiálu VY_32_INOVACE_Hor018 Vypracoval(a), de Mgr. Radek

Více

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1. DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

3. cvičení 4ST201 - řešení

3. cvičení 4ST201 - řešení cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

8. cvičení 4ST201. Obsah: Neparametrické testy. Chí-kvadrát test dobréshody Kontingenční tabulky Analýza rozptylu (ANOVA) Neparametrické testy

8. cvičení 4ST201. Obsah: Neparametrické testy. Chí-kvadrát test dobréshody Kontingenční tabulky Analýza rozptylu (ANOVA) Neparametrické testy cvičící 8. cvičeí 4ST1 Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST1 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64.

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64. 81 Vyšší mociy Předpoklady: 0081 Př 1: Doplň místo obdélíčků správé číslo a) ( ) = b) = 0, 0000 e) ( ) = 0, ( 0) = 100 = f) ( ) = 8 a) ( ) = 8 b) 0, 0 0, 0000 = ( ) 0,8 0, 0 = 100 = e) ( ) = f) ( ) = 8

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitálí učebí mateiál Číslo pojetu CZ07/500/34080 Název pojetu Zvalitěí výuy postředictvím ICT Číslo a ázev šabloy líčové ativity III/ Iovace a zvalitěí výuy postředictvím ICT Příjemce podpoy Gymázium

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Časová náročnost této hodiny je podobná hodině předchozí. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou definici. Definice

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Tato hodina zabere opět minimálně 70 minut. Asi ji čeá rozšíření na dvě hodiny. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1 ) Urči záladí veliost úhlu v radiáech, víš-li, že platí: a) si cos 0. b) cos, Opravá zouša z matematiy 3SD (druhé pololetí) c) cotg 3 5b) ) Na možiě R řeš rovici cos cos 0. 4b) 3) Vzdáleost bodů AB elze

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více