Tomáš Hanzák, Marek Mikoška MFF UK obor Pravděpodobnost, matematická statistika a ekonometrie. Optimalizace II s aplikací ve financích (EKN004)

Transkript

1 omáš Hanzák, Maek Mikoška MFF UK obo Pavděpodobnost, matematická statistika a ekonometie Optimalizace II s aplikací ve financích (EKN4) LS 5 / 6 Zápočtová úloha Makowitzův model Obsah Zadání úlohy Makowitzův model Zisk a zpacování dat Použité metody řešení Výsledky Závě Zdoe

2 Zadání úlohy Potřebuete připavit po své klienty vhodná akciová potfolia po investování mil. Kč na období ednoho oku. Po selekci potfólií složených z několika vybaných titulů (-) ste se ozhodli využít Makowitzův model. a) Sestavte efektivní hanici potfólií (gaficky pezentute). Vybete někteá potfólia na efektivní hanici a uveďte eich složení (váhy) a očekávané výnosnosti titulů zastoupených v potfóliu. b) ak se změní efektivní hanice, pokud budete mít možnost investovat do bezizikového aktiva (depozita v bance). Nalezněte sami příslušnou úokovou sazbu. c) ak se změní efektivní hanice, pokud budete mít možnost výpůček od spávce potfólia až do 3% hodnoty potfólia. Po ednoduchost předpokládete, že výpůční sazba e stená ako depozitní. Dokázali byste zohlednit ozdílnou depozitní a výpůční sazbu? (nalezněte i). d) Co když budete mít povoleny kátké podee, až do 3 % počátečního vkladu? Nakeslete efektivní hanici v tomto případě. e) V souladu s vnitřní politikou investiční společnosti, kteou zastupuete, nesmíte navhnout potfólia, kde někteý z titulů přesáhne 5% váhu v celkovém potfóliu. Nakeslete hanici efektivních potfólií v tomto případě. Zdůvodněte ak ste získali odhady vstupních paametů modelu, aké ste volili tituly a poč. Efektivní hanice počítete numeicky, stačí apoimace po "dostatečně hustý nosič". V případech a) - e) vybete někteé z efektivních potfólií a spočtěte eho VaR(95%). Makowitzův model Ve svém článku z oku 95 navhl Hay Makowitz způsob volby vhodného potfólia cenných papíů (dále budeme mluvit en o akciích). Podle ně by měl investo hledět ednak na očekávaný výnos svého potfólia, kteý by měl být co možná nevětší, ale také na (něak kvantifikované) iziko investice, kteé by naopak mělo být požadováno co možná nemenší. Makowitzův přístup e považován za půlomový pávě kvůli eplicitnímu zahnutí hlediska izika do pocesu volby potfólia. Uvažume investoa, kteý chce svů kapitál investovat v ůzné míře do někteých z akcií. Investice e plánována po všechny akcie na shodné časové období pevné délky. Výnosnost akcie, definovaná ako elativní zisk z ozdílné nákupní ceny na začátku období a podení ceny na konci období vztažený k počáteční ceně, e považována za náhodnou veličinu s konečnou střední hodnotou a konečným ozptylem, kteé sou investoovi známé. Dále sou známy i kovaiance mezi výnosnostmi ednotlivých akciových titulů. Investo volí způsob, akým svů kapitál ozdělí mezi

3 ednotlivé z akcií tak, aby vzniklé potfólio mělo maimální střední hodnotu výnosnosti a současně minimální hodnotu ozptylu výnosnosti. Poto se také někdy hovoří o meanvaiance modelu. Matematická fomulace modelu e poměně snadná. Předpokládeme, že náhodný vekto výnosností ρ,, má střední hodnotu,, a vaianční matici V. Naším úkolem e zvolit vekto,,, učuící kolik kapitálu o celkové výši ednotky bude investováno do kteého titulu. o představue podmínku spolu s. Výnosnost zvoleného potfólia ako celku e ρ ρ se střední hodnotou Eρ a ozptylem vaρ V potfólia e tedy možné chápat ako úlohu vícekiteiálního pogamování maimalizovat, V za podmínek a.. Volbu Klíčovým pomem e eficientní potfólio, kteé má následuící vlastnost: neeistue * iné potfólio takové, že by současně platilo * a * a alespoň edna z neovnostní byla splněna ako ostá. Potfólio, kteé není eficientní, si tedy podle uvedeného modelu acionální investo nikdy nevybee; eistue totiž ednoznačně lepší * potfólio. Naším úkolem e naít všechna eficientní potfólia, z nichž si investo zvolí ediné podle svého uvážení, především s ohledem na svoí osobní míu aveze vůči iziku. Gaficky se výsledky Makowitzova modelu pezentuí pomocí tzv., -oviny. Každé potfólio e zde epezentováno bodem, ehož hoizontální souřadnice e směodatná odchylka eho výnosnosti a vetikální souřadnice eho střední výnosnost. Pefeovaná sou tedy potfólia ležící v této ovině "vlevo nahoře". Nevíce nás přiozeně zaímá tzv. efektivní hanice, což e množina bodů odpovídaících eficientním potfóliím. Do, -oviny můžeme nakonec zakeslit i systém indifeentních užitkových křivek konkétního investoa a nalézt tak po ně optimální potfólio. Makowitzův model e pochopitelně založen na někteých zednodušuících předpokladech. Například zanedbáváme tansakční náklady spoené s obchodováním, neuvažueme možnost abitáže (t. nákupu a okamžitého podee cenného papíu na ůzných tzích). Předpokládáme možnost investovat neomezeně do nekonečně dělitelných dokumentů a také to, že naše vlastní ozhodnutí o koupi daného titulu neovlivní eho budoucí vývo. Velkým paktickým poblémem e předpoklad znalosti chaakteistik ozdělení náhodného vektou výnosností. 3

4 Zisk a zpacování dat Než e možné přistoupit k samotnému použití Makowitzova modelu, t. k řešení výše uvedené úlohy vicekiteiální optimalizace, e nutné učinit několik věcí. Předně musíme z nepřebeného množství akciových titulů obchodovaných po celém světě vybat několik (v našem případě ), z nichž budeme naše potfólio skládat. Dále e nutné po zvolené akciové tituly nalézt potřebná data - histoický vývo eich tžních cen za učité zvolené období. Z těchto dat musíme pak něakým způsobem získat odhady středních výnosností (vekto ) a odhad vaianční matice výnosností (matice V). Všem těmto věcem e postupně věnována tato kapitola. Výbě akciových titulů Při výběu společností, eichž akcie zahneme do našeho modelu, sme se řídili několika ednoduchými zásadami. Předně sme se omezili pouze na společnosti působící v ČR a eichž akcie se obchoduí na Pažské buze cenných papíů. ím nám odpadly poblémy s přepočítáváním cen akcií pomocí měnových kuzů, kteé se také vyvíeí v čase. Investice do domácích akcií s sebou učitě nese nižší tansakční náklady (eich význam samozřemě závisí na obemu investované částky), kteé Makowitzův model nebee v úvahu. A v neposlední řadě sme si tím ulehčili páci se získáváním potřebných dat steně ako všeobecných infomací o zvolených fimách (např. výplaty dividend). Dále sme se soustředili na neznáměší a nečastěi obchodované akciové tituly, tzv. blue chips. o odáží náš istý konsevatismus v přístupu k volbě titulů. akovou volbu by například ocenil malý soukomý investo, kteý by tak mohl každý veče na obazovce veřenopávní televize sledovat vývo hodnoty svého potfólia. Naše pozonost padla okamžitě na systém SPAD (Systém po Podpou thu Akcií a Dluhopisů), kde sou obchodovány pávě takové akciové tituly. Bohužel ne u všech zde zastoupených titulů sou k dispozici tžní ceny za námi požadované časové období zpět. akto sme museli vyloučit akcie CEV a Zentivy. Nyní nám zbylo 6 společností, kteé sem doplnily společnostmi Stavby silnic a železnic a Východočeské plynány na požadovaný minimální počet. Zde e tedy výsledná skupina společností, eichž akcie budeme nakupovat, spolu se stučnými fiemními pofily: ČESKÝ ELECOM, a. s. Člen skupiny ČESKÝ ELECOM (dále např. Euotel Paha, spol. s. o.) e přední česká telekomunikační společnost. Poskytue komplení nabídku hlasových a datových služeb v pevných linkách (eich počet k 3.. 4) včetně nabídky na využívání síťové infastuktuy po povozovatele a poskytovatele veřených i neveřených sítí a služeb. Na základě dohody se státem povozue též veřené telefonní stanice. 4

5 ČEZ, a. s. Akciová společnost ČEZ byla založena v oce 99 Fondem náodního maetku ČR, enž e doposud maoitním vlastníkem eích akcií. Hlavním předmětem činnosti ČEZ, a. s., e výoba a pode elektřiny a s tím souviseící podpoa elektizační soustavy. Záoveň se zabývá výobou, ozvodem a podeem tepla. Este Bank Este bank e akouská univezální banka. Zaměřue na dobnou klientelu, ale poskytue také služby kopoátním klientům. Banka má své pobočky v Rakousku, České epublice, Slovenku, Maďasku a v Chovatsku. Nově pobíhá akvizice banky v Rumunsku. Na českém bankovním thu se Este angažue postřednictvím svého vlastnictví České spořitelny. Komeční banka, a. s. Komeční banka patří k nevýznamněším bankovním institucím v České epublice. Poskytue komplení služby v oblasti dobného, podnikového a investičního bankovnictví. 7.4 zaměstnanců Komeční banky obsluhue více než.45. klientů, kteří mohou využít ozsáhlé sítě 359 obchodních míst a 67 bankomatů v ČR. PHILIP MORRIS ČR, a. s. Společnost Philip Mois Intenational se sídlem ve švýcaském Lausanne e ednou z nevětších tabákových společností na světě. Česká pobočka sídlí v Kutné Hoře a zauímá nadpoloviční podíl na domácím thu s tabákem. Pod křídla společnosti patří značky ako Peta, Stat či Malboo. Stavby silnic a železnic, a. s. Byly založeny v oce 95 ako eden z významných českých podniků činných v oblasti dopavně - inženýského stavitelství. V oce 99 získala maoitní podíl v akciové společnosti fancouzská silničářská společnost Entepise ean Lefebve. SSŽ získává zakázky především od Ředitelství silnic a dálnic ČR, Spávy železniční dopavní cesty, s. o., měst, obcí a kaů ČR. UNIPEROL, a. s. Unipetol e skupina společností působících v České epublice v sektou chemického půmyslu zeména v oblastech afinéského zpacování opy, petochemie, agochemie a kvalifikované chemie. Ve všech těchto oblastech patří mezi nevýznamněší představitele daného půmyslového odvětví v České epublice a střední Evopě. 5

6 Východočeská plynáenská, a. s. Východočeská plynáenská, a.s. byla založena Fondem náodního maetku ČR na konci oku 993 ako edna z osmi plynáenských distibučních společností v ČR. Hlavní předmět podnikání společnosti se sídlem v Hadci Kálové e nákup, ozvod a pode zemního plynu, investiční výstavba, údžba, ekonstukce ozvodných plynáenských zařízení. Na východě Čech zásobue čtvt milionu odběatelů zemním plynem v 5 městech a obcích. Získávání dat Data ke zvoleným akciovým titulům sme získávali na intenetovém seveu Zde e možné ke každému titulu dohledat otevíací a uzavíací tžní cenu po každý obchodní den, maimální a minimální cenu za daný den, denní obemy obchodů a iné infomace. Nás z toho zaímaly především denní uzavíací ceny (close). Bohužel se nám nepodařilo zobazovat zmíněná data na delší časové období než cca eden měsíc, takže sme museli data stahovat takto po částech. S ohledem na zvolený způsob odhadování chaakteistik ozdělení vektou výnosností (viz. následuící odstavec) sme takto postahovali uzavíací ceny od do Další zpacování dat už pobíhalo bez vynaložení větší manuální páce, převážně v tabulkovém pocesou Ecel od Micosoftu. U akcií Este Bank došlo v ednom okamžiku ke štěpení ednoho kusu akcie na 4 kusy. S ohledem na to sme tžní ceny od toho okamžiku dále vynásobily 4. Zpacování dat Klíčovým okamžikem celé úlohy bylo nalezení vhodného způsobu, ak ze získaných dat spočítat odhady vektou a matice V, potřebných ako vstup do Makowitzova modelu. ednou možností e použití tzv. faktoového modelu, kteý se snaží výnosnosti ednotlivých akciových titulů vysvětlovat pomocí obecného faktou (celkový vývo thu) a faktoů specifických po ednotlivé tituly. Po použití tohoto postupu sme však nenašli dostatek nám sozumitelných teoetických ani empiických podkladů. Rozhodli sme se tedy po použití klasických statistických odhadů, t. střední hodnotu odhadovat půměem a kovaiance (a spec. ozptyly) odhadovat výběovými kovaiancemi (ozptyly). I zde však nastaly poblémy, a to ak skloubit ednoleté období naší investice s denní fekvencí získaných dat. Nakonec sme použili metodu klouzavého okna, kdy sme vždy spočítali výnosnost mezi dvěma dny vzdálenými od sebe eden ok a toto "okno" délky ednoho oku sme posouvali v čase, opět v délce ednoho oku. Celkem sme tedy potřebovali data za období dvou let. Připomeňme, že výnosností akcie od okamžiku A do okamžiku B ozumíme bezozměnou veličinu PB PA AB, P kde P A esp. P B e cena akcie v okamžiku A esp. B. 6 A

7 Dobným poblémem e, že na buze se neobchodue pavidelně 365 dní v oce, ale pouze v tzv. obchodní dny. o sou vlastně běžné pacovní dny, tedy sou vyloučeny soboty, neděle a státem uznávané svátky. Kalendářní ok se potom skládá z přibližně 54 obchodních dní, přičemž toto číslo záleží především na kytí se státních svátků se sobotami a nedělemi. Námi získané časové řady maí tedy ve skutečnosti nepavidelně pozoované hodnoty. o má za následek nemožnost dodžet stálou délku ednoho oku u našeho "okna". Zatímco například (pondělí) byl obchodní den, tak (neděle) nikoli. Následuící stučná tabulka ukazue, ak byly ednotlivé dny nakonec spáovány (řazeno směem do minulosti): konec okna začátek okna Získali sem tedy (po každou z společností) řadu 5 výnosností. I když e z podstaty věci zřemé, že nede o náhodný výbě (není splněna nezávislost), budeme tuto skutečnost přehlížet. Považume tedy těchto 5 hodnot za náhodný výbě o ozsahu 5 z ozdělení -ozměného vektou výnosností. Nyní povedeme klasické statistické odhady střední hodnoty (výběovým půměem) a vaianční matice (výběovou vaianční maticí). Výsledky sou uvedeny v následuících tabulkách ( = %): Střední kapitálové výnosnosti ele ČEZ Este KB PM SSŽ Unip VCP

8 Kovaiance kapitálových výnosností ele CEZ Este KB PM SSŽ Unip VČP ele ČEZ Este KB PM SSŽ Unip VČP Poznámka: ele = Český telecom, Este = Este Bank, KB = Komeční banka, PM = Philip-Mois, Unip = Unipetol. Užitečné e také podívat se na koelační matici výnosností, kteá nám může napovědět, ak účinná bude divezifikace potfólia při snižování ozptylu eho výnosnosti. Koelace kapitálových výnosností (čeveně vyznačené sou záponé hodnoty) ele CEZ Este KB PM SSŽ Unip VČP ele ČEZ Este KB PM SSŽ Unip VČP Většina koelací e kladná, ale někteé ne příliš vzdálené od nuly. Akcie společnosti VČP vykazuí ako ediné zřetelně negativní koelovanost s ostatními tituly. Zahnutí dividend Zatím sme bali v potaz en tzv. kapitálové výnosnosti akcií, t. míu výnosu způsobeného náůstem tžní ceny akcie. Duhou složkou zisku džitele akcie sou tzv. dividendy. de o platby, kteé fima povádí ve pospěch akcionářů akožto eich podíl na fiemním zisku. Výplata dividend pobíhá obvykle ednou za ok a eich výše se udává v peněžních ednotkách na ednu akcii. estli budou dividendy vyplaceny a v aké výši e však plně v ukou valné homady akciové společnosti, kteá o této věci ozhodue na návh představenstva. zv. dividendová výnosnost e výše oční dividendy dělená tžní cenou akcie. Platí potom

9 celková výnosnost = kapitálová výnosnost + dividendová výnosnost Výše vyplacených dividend námi zkoumanými společnostmi za léta 99 až 5 v Kč na ednu akcii sou obsaženy v následuící tabulce: odhad 6 Český elecom ČEZ Este bank 6 Komeční banka.5 4 Philip Mois SSŽ Unipetol.33 VČP zdo: Poznámka: Pázdné buňky odpovídaí tomu, že akcie dané fimy se v daný ok neobchodovaly nebo data nesou k dispozici, nuly odpovídaí nevyplaceným dividendám. U akcií Este Bank de o převod z EUR na CZK. Poznámka: V půběhu zpacování zápočtové úlohy se u někteých společností obevily infomace o výši dividend na ok 6. yto infomace iž ale nebyly bány v úvahu. ak e z této tabulky vidět, předvídat velikost dividendy vyplacené akciovou společností v příštím oce může být po nezasvěcené osoby velice obtížné. Rozhodli sme se přesto povést naše "epetní" odhady výše dividend vyplacené v oce 6, kteé bychom mohli zakalkulovat do celkových výnosností ednotlivých akciových titulů. yto odhady vztáhneme k ceně akcií z a tím získáme odhady dividendových výnosností. Spolu s dalšími souhnnými chaakteistikami po ednotlivé akciové tituly sou uvedeny v následuící tabulce: cena dividendy 6 dividend. výnos. kapitál. výnos. celková výnos. smě. odchylka Český elecom ČEZ Este bank Komeční banka Philip Mois SSŽ Unipetol VČP

10 výnosnost Výsledné odhady Budoucí dividendové výnosy budeme považovat za deteministické veličiny ovné našim odhadům. Na základě tohoto zednodušuícího předpokladu bude vaianční matice celkových výnosností V ovna vaianční matici kapitálových výnosností. Odhad střední hodnoty vektou celkových výnosností bude pak oven předposlednímu sloupci ("celková výnosnost") předchozí tabulky. Nyní tedy máme připaveny všechny vstupy do Makowitzova modelu a nic nám nebání přistoupit k eho numeickému řešení. Než tak učiníme, můžeme si eště ednotlivé akciové tituly gaficky znázonit v, -ovině steně ako budeme následně znázoňovat ednotlivá potfólia.,6 ednotlivé akciové tituly,4 ČEZ,, Unip SSŽ,,6,4 ele VČP, Este PM KB, iziko,,,,3,4 Pokud bychom tedy mohli svoí investici soustředit vždy en do ednoho akciového titulu, pak eficientní by byly akcie Este Bank, Českého telecomu a ČEZu. Akcie ČEZu maí nevyšší očekávanou výnosnost (.39 = 39. %), zatímco akcie Este Bank maí nenižší směodatnou odchylku výnosnosti (. =. %). Použité metody řešení Když máme k dispozici odhady vektou středních hodnot výnosností a vaianční matice výnosností V (viz. předchozí kapitola), můžeme přistoupit k samotnému řešení Makowitzova modelu, t. řešení úlohy vicekiteiální optimalizace

11 maimalizovat, V za podmínek a. Označme si X R :, množinu přípustných řešení naší úlohy. ento tva množiny X odpovídá situaci a) v našem zadání. V případech b) až e) bude množina X učena inými omezeními, vždy ale půde o lineání omezení ve tvau ovností nebo neostých neovností (eich fomulaci povedeme pozděi) definuící konvení polyed. Přesto, že eistue softwae přímo učený k vyhodnocování Makowitzova modelu (např. knihovna fpotfolio po pogam R), ozhodli sme se řešit naší úlohu více méně "učně". ednak tak budeme mít možnost sami učit podobu odhadů vektou a matice V (speciální softwae si e počítá sám) a také budeme vždy schopni zadat příslušný tva množiny X přípustných řešení. edním ze způsobů, ak hledat eficientní řešení naší úlohy vicekiteiální optimalizace, e řešit úlohu kde, ma V, X e paamet (po máme na mysli účelovou funkci V). Účelová funkce v této úloze e tedy nezáponou lineání kombinací dvou účelových funkcí z původní úlohy. Paamet pak učue elativní zastoupení střední hodnoty výnosnosti potfólia a eího ozptylu v této kombinované účelové funkci. e-li blízké nule, znamená to, že investo nemá příliš silnou avezi vůči iziku a ozhodue u ně především velikost očekávané výnosnosti potfólia. e-li naopak "hodně" velké, znamená to, že ozhoduící e po investoa především co nemenší ozptyl výnosnosti potfólia (má velkou avezi vůči iziku). Potože matice V e pozitivně definitní, edná se po dané pevné o úlohu kvadatického pogamování (KP) maící pávě edno optimální řešení (maimalizueme stiktně konkávní funkci na kompaktní množině). Po půde o velice ednoduché úlohy lineáního pogamování maící taktéž pávě edno optimální řešení. o e zaučeno např. tím, že složky vektou sou vesměs ůzné. Z teoie vyplývá, že každé optimální řešení úlohy ma V po dané X, e eficientním řešením původní úlohy vicekiteiální optimalizace a takto dokonce vyčepáme všechna eí eficientní řešení. Zvolíme si tedy dostatečně hustou a epezentativní mřížku hodnot paametu a po každý bod této mřížky vyřešíme příslušnou optimalizační úlohu. K tomu použieme poceduu QPsolve na řešení úloh KP knihovny quadpog v pogamu R. ato pocedua umožňue zadat vekto a pozitivně definitní matici učuící účelovou funkci úlohy a dále libovolné ovnosti a neovnosti učuící množinu přípustných řešení. Z hodnot V a optimální řešení pak sestavíme efektivní hanici potfólií v, po ednotlivá -ovině.

12 Value at Risk Buď,. Po dané potfólio e VaR definován ako nevětší hodnota výnosnosti, kteé potfólio dosáhne s pavděpodobností alespoň. de tedy vlastně o -kvantil ozdělení. Potože přesné ozdělení neznáme, musíme se spokoit s ednou ze dvou obvyklých apoimací: Buď použieme empiickou distibuční funkci sestoenou na základě dostupných dat (tzv. nepaametický VaR) nebo učíme příslušný kvantil ze znalosti střední hodnoty a ozptylu na základě předpokladu nomality (tzv. paametický VaR), konkétně u VaR, kde u e N,. Obě apoimace maí své výhody i nevýhody. Nepaametický VaR lépe odáží tva skutečného ozdělení, ale k eho použití e potřeba mít velký počet dat, zvláště pokud e blízké nebo. Paametický VaR nevyžadue tolik dat, eho výpočet e ednoduší a e použitelný i když e blízké nebo. e ovšem přiozeně nepřesný, pokud se skutečné ozdělení příliš liší od nomálního. My použieme po poovnání vždy obě apoimace. Potože máme počítat 95% VaR a náš počet pozoování e 5, bude nepaametický VaR oven 3. nehoší výnosnosti z 5 histoických ealizací ( ound ). o e eště elativně velký počet, takže by nepaametický VaR mohl dávat ozumné výsledky. -kvantil ozdělení Případ a) Množina přípustných řešení v případě a) e X R :,. Odpovídá situaci bez možnosti kátkých podeů, výpůček nebo investic do bezizikového aktiva (viz. ostatní případy). Evidentně de o konvení polyed v postou R. Případ b) V tomto případě máme opoti předchozí situaci možnost investovat svů kapitál neen do někteých z akciových titulů, ale také do tzv. bezizikového aktiva. o e investice, kteá obnáší pevný (nenáhodný) výnos. Obvykle de o bankovní vklady s pevným úokem nebo nákup státních dluhopisů. ato možnost způsobí, že podmínka se změní na, přičemž ozdíl e pávě částka investovaná do bezizikového aktiva. Maimalizovaná účelová funkce se změní na

13 3 V V. edná se opět o úlohu KP, en všechny složky vektou sou sníženy o, účelová funkce e naopak celá zvýšena o. Množina přípustných řešení, : R X e stále konvení polyed v R. Musíme eště učit konkétní hodnotu výnosnosti bezizikového aktiva. ako neealističtěší volba se nám eví nabízené oční úokové sazby u ednoletých temínovaných vkladů s pevnou úokovou sazbou. a však obvykle závisí na velikosti ukládané částky, kteá se v našem případě může pohybovat od do mil. Kč. Nakonec sme zvolili kompomisní hodnotu. %, t... Případ c) V tomto případě máme opoti předchozí situaci navíc možnost půčovat si za istou úokovou sazbu dodatečný kapitál, a to až do výše 3 % našeho základního kapitálu o velikosti. Podmínka se tedy změní na 3., takže bude.3, : R X. Účelová funkce e ovna V. eí pvní část ovšem není obecně lineání funkcí vektou, takže nede o úlohu KP. V případě, kdy se výpůční a depozitní sazba ovnaí, t., se účelová funkce zednoduší na tva V V totožný s případem b), takže iž de o úlohu KP, kteou umíme řešit. Případ c*) Uvažume nyní na chvíli situaci, kdy máme možnost pouze si vypůčovat a nikoli ukládat. Účelová funkce bude V V

14 a množina přípustných řešení od obecné situace c), úloha KP. X R :.3,. oto tedy e, na ozdíl Vaťme se teď k obecné situaci c) s ukládáním i vypůčováním. Efektivní hanici potfólií můžeme v tomto případě učit následuící úvahou. e-li, ak předpokládáme,, nebude nikdy optimální současně si vypůčit a uložit kapitál. Stačilo by totiž snížit o stenou částku ak půčovaný tak ukládaný kapitál a ušetřili bychom úměnou částku díky ozdílu v úokových míách. Racionální investo si tedy vždy buď pouze půčue nebo pouze ukládá. Pokud vezmeme množinu eficientních potfólií v situaci b), sednotíme í s množinou eficientních potfólií v situaci c*) a z výsledné množiny vybeeme v ámci ní eficientní potfólia, získáme hledanou množinu eficientních potfólií v situaci c). Musíme eště učit konkétní hodnotu úokové sazby, za kteou si můžeme vypůčovat. ako neealističtěší volba se nám eví nabízené oční úokové sazby u ednoletých podnikatelských bankovních úvěů. Zvolili sme kompomisní hodnotu %, t... Případ d) Opoti případu a) máme nyní možnost povádět tzv. kátké podee (shot sales allowed). de zednodušeně o to, že akcie podáme za současnou cenu a na konci období e nakoupíme za cenu platnou v tomto okamžiku. Spekulueme tedy na pokles ceny dotyčných akcií. iný výklad e, že si postě půčueme postředky a úoková sazba e ovna výnosu dané akcie za dotyčné období. o, že povádíme kátký pode -té akcie, vyádříme záponou hodnotou. Kátké podee ednotlivých akciových titulů nesmí podle zadání přesáhnou 3 % z výchozího kapitálu o velikosti. edy místo původní podmínky máme nyní podmínku.3 a v případě a). X R :,.3. Účelová funkce bude stená ako Případ e) Zde e opoti situaci a) podmínka, že žádný titul nesmí tvořit více než 5 % celého potfólia. Účelová funkce tedy zůstává stená ako v případě a), en množina přípustných řešení e nyní X R :,.5. 4

15 Výsledky V této kapitole e přehled numeických výsledků po ednotlivé situace a) až e). Komě gafické pezentace celé efektivní hanice potfólií budou vždy podobně ozebána tři potfólia. ednak potfólio s maimální střední výnosností bez ohledu na iziko, t. po případ, ehož složení lze vždy odvodit ednoduchou úvahou. Dále potfólio s nenižším izikem (bez ohledu na výnosnost, t. po případ ). A do třetice bude uvedeno eficientní potfólio s nevětším paametickým 95% VaR, což vlastně odpovídá použití lineání užitkové funkce u, po výbě optimálního potfólia. U všech zmíněných potfólií bude komě eich složení (vekto ), střední výnosnosti a míy izika uveden 95% paametický a nepaametický VaR. Na závě vykeslíme efektivní hanice potfólií po každý případ a) až e) po snazší vzáemné poovnání. Místo případu c) ze zadání bude vyhodnocen případ c*) dovoluící pouze výpůčky. Výsledky po případ c) se pak dostanou syntézou výsledků v případě b) a c*), ak e vysvětleno v předchozí kapitole. Případ a) maimální výnosnost ma. paam. VaR minimální iziko Případ b) maimální výnosnost ma. paam. VaR minimální iziko složení potfólia výnosnost iziko nepaam. VaR paam. VaR ČEZ ČEZ , Unip ele.353, Este.367, SSŽ.3456, VČP složení potfólia výnosnost iziko nepaam. VaR paam. VaR ČEZ ČEZ , Unip vše... 5

16 Případ c*) maimální výnosnost ma. paam. VaR minimální iziko složení potfólia výnosnost iziko nepaam. VaR paam. VaR ČEZ ČEZ.5399, Unip ele.353, Este.367, SSŽ.3456, VČP Případ d) maimální výnosnost ma. paam. VaR minimální iziko složení potfólia výnosnost iziko nepaam. VaR paam. VaR ČEZ 3., ostatní ČEZ.33533, Unip , ostatní = (.597, -.353,.476,.35, -.94,.4,.6,.4) Případ e) maimální výnosnost ma. paam. VaR minimální iziko složení potfólia výnosnost iziko nepaam. VaR paam. VaR KB, PM., ostatní KB, PM., ostatní ČEZ., SSŽ.33, Unip.66, ostatní

17 výnosnost výnosnost výnosnost výnosnost Eficientní potfólia a) Eficientní potfólia b),4,4,,,,,6,6,4,4, iziko,,,3,4, iziko,,,3,4 Eficientní potfólia c*) Eficientní potfólia d) 3,5,6 3,5,,,5,4 iziko,,,3,4,5,5 iziko,,,3,4,5,6,7,,9 7

18 výnosnost výnosnost Eficientní potfólia e),,7,6,5,4 iziko,9,,,,3,4 Eficientní potfólia - a) až e) d).5 c*).5 a).5 e) b) iziko

19 Závě Numeické výsledky v ednotlivých částech a) až e) nesou niak v ozpou s naší intuicí. Efektivní hanice potfólií v případě b) e podloužením hanice z případu a) do bodu odpovídaícímu bezizikovému aktivu. Vysoké výnosnosti potfólií v případě d) sou dány značnými ozdíly ve výnosnostech ednotlivých akciových titulů v našem koši a možností kátkých podeů až do celkové výše Potože sme pacovali en s tituly, e požadavek z případu e) na maimálně 5% zastoupení ednotlivých titulů v potfóliu značně estiktivní. o má za následek velice kátkou efektivní hanici potfólií v tomto případě. U většiny zkoumaných potfólií byl napočítaný paametický VaR menší než eich nepaametický VaR. o ukazue na skutečnost, že ozdělení výnosností většiny potfólií má zřemě kladnou šikmost (e "nahnuté" na levou stanu). ento ozdíl byl méně patný u více divezifikovaných potfólií, kteá měla zřemě ozdělení výnosností blíže k nomálnímu (náznak CLV). Potfólia s maimálním 95% paametickým VaR byla ve všech případech velice blízko potfóliím s maimálním výnosem (ta vykazovala nevětší nepaametický VaR). Obecně se dá říct, že použití Makowitzova modelu v naší úloze dalo ozumné výsledky, samozřemě za předpokladu splnění svých důležitých předpokladů. ako nezávažněší poblém se nám eví otázka kvality odhadu vektou a matice V. Histoické kuzy akcií totiž v sobě nesou infomaci, kteá nemusí být vždy nutně dobým vodítkem po pognózování eich budoucích hodnot. Hozí nehomogenita ak v histoických datech samotných, tak hlavně mezi minulostí a budoucností. Užitečná po předvídání budoucího vývoe akciových kuzů by istě byla znalost aktuální situace dané fimy a eího nebližšího vývoe. Zdoe Intenetové stánky vybaných akciových společností Intenetové zpavodaské sevey Dupačová,.: Makowitzův model optimální volby potfólia. Předpoklady, data, altenativy. Cipa,.: Paktický původce finanční a poistnou matematikou. HZ, Paha 995. Makowitz, H.: Potfolio selection. he ounal of Finance, Vol. 7, No., 95. 9