Posuvný a rotační pohyb tělesa.

Transkript

1 Posuvný a otační pohyb těesa. Zákady echaniky, 4. přednáška Obsah přednášky : typy pohybů těesa posuvný pohyb otační pohyb geoetie hot Doba studia : asi,5 hodiny Cí přednášky : seznáit studenty se zákadníi typy pohybu těesa, s kineatikou a dynaikou posuvného a otačního pohybu

2 Pohyb těesa Zákady echaniky, 4. přednáška posuvný pohyb otační pohyb obecný ovinný pohyb posuvný pohyb ovinný pohyb : Všechny body těesa se pohybují v navzáje ovnoběžných ovinách. postoový pohyb sféický pohyb šoubový pohyb obecný postoový pohyb

3 Pohyb těesa Zákady echaniky, 4. přednáška posuvný pohyb Žádná příka těesa neění svůj sě.

4 Pohyb těesa Zákady echaniky, 4. přednáška Jedna příka těesa neění svou poohu. otační pohyb

5 Pohyb těesa Zákady echaniky, 4. přednáška obecný ovinný pohyb

6 Pohyb těesa Zákady echaniky, 4. přednáška Žádná příka těesa neění svůj sě. posuvný pohyb

7 Pohyb těesa Zákady echaniky, 4. přednáška Jeden bod těesa neění svou poohu. sféický pohyb

8 Pohyb těesa Zákady echaniky, 4. přednáška Jeden bod těesa neění svou poohu. sféický pohyb

9 Pohyb těesa Zákady echaniky, 4. přednáška ěeso otuje okoo osy a současně se posouvá ve sěu této osy. otace šoubový pohyb posuv

10 Pohyb těesa Zákady echaniky, 4. přednáška obecný postoový pohyb

11 Pohyb těesa Zákady echaniky, 4. přednáška posuvný pohyb otační pohyb obecný ovinný pohyb posuvný pohyb sféický pohyb šoubový pohyb obecný postoový pohyb ovinný pohyb postoový pohyb Jakýkoiv pohyb těesa je jeden z těchto 6 typů pohybu.

12 Posuvný pohyb. Zákady echaniky, 4. přednáška Žádná příka těesa neění svůj sě. y,, 3 stupně vonosti η A x,y,z - pevný (nehybný) souřadný systé; počátek P P ζ Ω ξ ξ,η,ζ - těesový souřadný systé - pevně spojený s těese; počátek Ω x ξ//x, η//y, ζ//z z A - běžný bod těesa

13 Posuvný pohyb. Zákady echaniky, 4. přednáška Žádná příka těesa neění svůj sě. y,, 3 stupně vonosti A Ω + AΩ P A Ω ζ η Ω AΩ A ξ A - poohový vekto bodu A vůči xyz Ω - poohový vekto bodu Ω vůči xyz, pooha těesa v postou z x AΩ - poohový vekto bodu A vůči ξηζ, pooha bodu A uvnitř těesa

14 Posuvný pohyb. Žádná příka těesa neění svůj sě. y,, 3 stupně vonosti P A Ω ζ η Ω AΩ A ξ Zákady echaniky, 4. přednáška A v A v A Ω + AΩ deivace pode času & & & 0 v Ω + A Ω A Ω & A Ω z Poohový vekto AΩ á veikost a sě. Veikost je konstantní s ohede na nedefoovatenost těesa -těeso se neůže potáhnout, patí vždy (po absoutně tuhé těeso). Sě je konstantní s ohede na definici posuvného pohybu - patí pouze po posuvný pohyb. x

15 Posuvný pohyb. Žádná příka těesa neění svůj sě. y,, 3 stupně vonosti z P A Ω ζ η Ω AΩ A ξ x Zákady echaniky, 4. přednáška A v a A v A Ω + AΩ A a A deivace pode času & & & 0 v Ω + A Ω A Ω & A Ω Všechny body se pohybují po stejné tajektoii, stejnou ychostí, se stejný zychení. deivace pode času v& A v& Ω a Ω a Ω

16 Posuvný pohyb. Zákady echaniky, 4. přednáška Žádná příka těesa neění svůj sě. Pohyb posuvný příočaý. Všechny body se pohybují po stejné tajektoii, stejnou ychostí, se stejný zychení.

17 Posuvný pohyb. Zákady echaniky, 4. přednáška Žádná příka těesa neění svůj sě. Pohyb posuvný kuhový. R Všechny body se pohybují po stejné tajektoii, stejnou ychostí, se stejný zychení.

18 Posuvný pohyb. Zákady echaniky, 4. přednáška Žádná příka těesa neění svůj sě. Pohyb posuvný cykoidní. Všechny body se pohybují po stejné tajektoii, stejnou ychostí, se stejný zychení.

19 Posuvný pohyb - dynaika. a Fi Zákady echaniky, 4. přednáška Pohybová ovnice posuvného pohybu těesa je shodná s pohybovou ovnicí hotného bodu. Všechny body těesa ají stejné zychení.

20 Posuvný pohyb - dynaika. Poznáka k ovnicí ovnováhy : po soustavu si s ůzný působiště usí být saozřejě spněna i oentová ovnice ovnováhy. dg d d dg G d dg d dg íhová sía G je výsednicí nekonečně noha eeentáních tíhových si dg. Eeentání tíhová sía dgd g. Gavitační zychení g á ve všech bodech stejnou veikost i sě. D dd Zákady echaniky, 4. přednáška dd a d d a dd D a + D 0 F i d Aebetův pincip á stejnou podobu jako u hotného bodu. dd d a d a Vzniká otázka kde eží působiště d Aebetovy síy. D Aebetova sía D je výsednicí nekonečně noha eeentáních d Aebetových si dd. Eeentání d Aebetova sía ddd a. Zychení a á ve všech bodech stejnou veikost i sě.

21 Posuvný pohyb - dynaika. Poznáka k ovnicí ovnováhy : po soustavu si s ůzný působiště usí být saozřejě spněna i oentová ovnice ovnováhy. dg d d dg G d dg d dg D dd D a + D 0 F i d Aebetův pincip á stejnou podobu jako u hotného bodu. dd a d d a dd dd d a d a Vzniká otázka kde eží působiště d Aebetovy síy. Z anaogie ezi ozožení eeentáních tíhových si dg a eeentáních d Aebetových si dd vypývá : D Aebetova sía D působí v těžišti. Zákady echaniky, 4. přednáška Spávně působí ve středu hotnosti. Je-i těeso aé (ve sovnání se Zeí), je gavitační zychení g ve všech bodech těesa shodné. Střed hotnost a těžiště pak spývají v jeden bod.

22 G Posuvný pohyb - dynaika. a Fi pohybová ovnice A φ φ a t ω ω0 B D a t G A b C G cos φ ε g cos φ g ε cos φ dω g ω cos φ dφ g ωdω cos φdφ φ g ωdω cos φdφ φ0 ω g ω φ ω0 sin [ ] [ ] φ φ 0 b B g ( ) ω0 + ( sin φ sin φ0 ) ω φ v Zákady echaniky, 4. přednáška Za účee sestavení (a násedného řešení) pohybové ovnice ze těeso nahadit hotný bode... kteýkoiv - všechny body se pohybují po stejné tajektoii stejnou ychostí a se stejný zychení. ( φ) ω( φ) ω0 + g ( sin φ sin φ0 )

23 Posuvný pohyb - dynaika. d Aebetův pincip Do těžiště zavedee d Aebetovu síu - tečnou a noáovou sožku. D D t n a a ω t n + D ω g cos φ 0 g G A b C ( sin φ sin φ ) b 0 Zákady echaniky, 4. přednáška B D y x S D D t D n D a + D 0 F i A B S C C G Ze tří ovnic ovnováhy vyřešíe : ) pohybovou ovnici, ) eakční síy. F xi 0 F yi 0 M i 0 ε g cos φ SC K S D K

24 Posuvný pohyb - dynaika. a Fi A b Zákady echaniky, 4. přednáška B D a + D 0 F i b D C G Po sestavení (a násedné řešení) pohybové ovnice ze hotu soustředit do jednoho bodu a řešit pohyb hotného bodu. Po řešení si (nejčastěji eakcí) je třeba počítat s ozěy těesa a uvažovat soustavu si s ůzný působiště. D Aebetovu síu pak zavádíe do těžiště.

25 Rotační pohyb. Zákady echaniky, 4. přednáška Jedna příka těesa neění svou poohu (osa otace). o každý bod se pohybuje po kužnici o pooěu R stupeň vonosti ω, ε φ úhe natočení dφ ω, ε φ ω φ& úhová ychost dt dω d φ ε ω & & φ úhové zychení dt dt ( dω d ω ) ε ω a dφ dφ t v s φ R a n poohový vekto v ω R v ω R φ, ω, ε v obvodová ychost a S t εr a t ε a t tečné zychení a n ω R a n ω v a n noáové zychení

26 Rotační pohyb - dynaika. V dynaice nevystačíe s pohybovou ovnicí a Fi ω, ε hotného bodu! d Aebetův pincip S a t a n d dd n dd t nahazení siové soustavy Z těesa vybeee hotový eeent d. ou přiřadíe tečné a noáové zychení a t a a n. Zavedee eeentání d Aebetovy síy dd t a dd n (tečnou a noáovou). Povedee ekvivaentní nahazení siové soustavy nekonečně noha eeentáních d Aebetových Zákady echaniky, 4. přednáška dd dd M t n D D d a d a t n t + d ε d ω ( dd dd ) n M D dd t ε d d ε d si jednou siou a oente. oent setvačnosti [kg ] S

27 Rotační pohyb - dynaika. Zákady echaniky, 4. přednáška S D t D n a n a t M D ω, ε, S - hotnost těesa S -oent setvačnosti ke středu otace S ω - úhová ychost ε - úhové zychení a t - zychení těžiště, tečná sožka a n - zychení těžiště, noáová sožka - vzdáenost těžiště od středu otace M D D D t n S ε a a t n ε ω výsedný siový účinek (působiště ve středu otace!) výsedný oentový účinek dopňkový (d Aebetův) oent M D působí poti sěu úhového zychení ε. dopňkové (d Aebetovy) síy D t a D n působí poti sěu zychení těžiště a t a a n.

28 Rotační pohyb - dynaika. Zákady echaniky, 4. přednáška y akční síy (zatížení) R x eakce M D D S R y D t n D n D t S ε a a ω, ε dopňkové účinky t n M D ε ω dopňková (d Aebetova) sía -tečná a noáová sožka dopňkový (d Aebetův) oent x řešení eakcí z ovnic ovnováhy F F xi yi M Si pohybová ovnice ε S M Si R R x y K K včetně dopňkových si! neobsahuje eakce ani dopňkové síy včetně dopňkového oentu neobsahuje dopňkový oent

29 Rotační pohyb - dynaika. Zákady echaniky, 4. přednáška akční síy (zatížení) ω, ε pohybová ovnice ε S M Si S S - oent setvačnosti [kg ] ε - úhové zychení [ad/s ] ΣM Si -součet oentů vnějších si ke středu otace [N ]

30 Rotační pohyb - dynaika. v ω d S E K kinetická enegie de K Zákady echaniky, 4. přednáška d d v E K d v ( ω) ω ( ω) d E K S ω Z těesa vybeee hotový eeent d. ou přiřadíe ychost v a kinetickou enegii de K. Kinetickou enegii těesa učíe integování přes ceé těeso. oent S setvačnosti

31 anaogie ezi posuvný a otační pohybe posuvný pohyb Zákady echaniky, 4. přednáška otační pohyb Z poovnání kineatiky a dynaiky posuvného a otačního pohybu vypývá anaogie (podobnost) ezi oběa pohyby. ato anaogie spočívá v to, že jednotivý fyzikání veičiná, vztahující se k posuvnéu pohybu, odpovídají jiné veičiny, vztahující se k otačníu pohybu. Vztahy ezi nii pak jsou shodné. Jestiže ve vztazích, týkajících se posuvného pohybu, nahadíe jedny veičiny duhýi, dostanee anaogické vztahy, týkající se otačního pohybu.

32 anaogie ezi posuvný a otační pohybe posuvný pohyb Zákady echaniky, 4. přednáška otační pohyb dáha s, x,... [, ] ~ úhe φ [ad, ] ychost v v s& [/s] ~ úhová ychost ω ω φ& [ad/s] zychení a [/s ] ~ úhové dv zychení a v& & s v ds ε ε [ad/s ] dω ω & && φ ω dφ v s a t + a t v 0 + příkad - ovnoěně zychený pohyb v 0 t + s 0 ~ ~ ω ε t + ω φ ε t 0 + ω 0 t + φ 0

33 anaogie ezi posuvný a otační pohybe posuvný pohyb Zákady echaniky, 4. přednáška otační pohyb sía hotnost pohybová ovnice dopňková sía F, G,... [N] ~ oent síy M [N ] [kg] ~ oent setvačnosti a Fi ~ pohybová ovnice ε [kg ] Mi dopňkový D a ~ ε oent M D

34 anaogie ezi posuvný a otační pohybe hybnost hoty ipus síy zěna hybnosti kinetická enegie páce výkon posuvný pohyb hybnosti otační pohyb p v ~ oent [kg /s] L ω t F dt 0 Δp p p0 E K v [N s] [J] ~ ~ ~ ipus oentu M zěna oentu hybnosti kinetická enegie t M dt 0 ΔL E K L [kg /s] [N s] L0 M ω A d s [N ] ~ páce A M dφ P F v [W] ~ výkon P M ω zěna kinetická enegie Δ E EK EK0 K Zákady echaniky, 4. přednáška A [J] [N ] [W] [J ~ N ]

35 geoetie hot Zákady echaniky, 4. přednáška S d oent setvačnosti d tenká obuč konst d d

36 geoetie hot Zákady echaniky, 4. přednáška S d oent setvačnosti d d x d d dx d dx x dx 0 x dx 0 x dx pizatická tyč otující okoo osy, pocházející konce tyče x

37 d d S geoetie hot oent setvačnosti x d dx d dx d dx x dx x / / / / x / / pizatická tyč otující okoo osy, pocházející střede tyče x dx d Zákady echaniky, 4. přednáška

38 geoetie hot Zákady echaniky, 4. přednáška oent setvačnosti d d h d ρdv ρds h ρ ( π d) h R váec otující okoo své osy π d ds

39 geoetie hot Zákady echaniky, 4. přednáška h váec otující okoo své osy R R R d R R 0 0 d oent setvačnosti d d ρdv ρds h ρ ( π d) h ρ V Sh π R h d π d h d π R h R 3 d R 4 4 R 0 R R 4 4 R

40 geoetie hot Zákady echaniky, 4. přednáška oent setvačnosti k posunuté ose e + e -oent setvačnosti k ose pocházející těžiště (těžištní osa), -oent setvačnosti k ovnoběžně posunuté ose. Steineova věta

41 geoetie hot tenká kuhová deska 4 a b x b _ tenká obdéníková deska x z y ( ) z b a + _ y a _ a ( ) 3 4 a + váec 0 3 kuže jehan a b ( ) 0 b a + koue 5 Zákady echaniky, 4. přednáška

42 geoetie hot fiení iteatua Zákady echaniky, 4. přednáška

43 geoetie hot fiení iteatua Zákady echaniky, 4. přednáška

44 geoetie hot 3D CAD odeování Zákady echaniky, 4. přednáška PRN MASS PROPERES ASSOCAED WH HE CURRENLY SELECED VOLUMES OAL NUMBER OF VOLUMES SELECED (OU OF DEFNED) *********************************************** SUMMAON OF ALL SELECED VOLUMES OAL VOLUME 0.537E+08 OAL MASS 0.996E-0 CENER OF MASS: XC E-03 YC ZC *** MOMENS OF NERA *** ABOU ORGN ABOU CENER OF MASS PRNCPAL XX YY ZZ XY E E-03 YZ E E-04 ZX E E-04 PRNCPAL ORENAON VECORS (X,Y,Z): (HXY HYZ HZX 0.000)

45 Zákady echaniky, 4. přednáška Obsah přednášky : typy pohybů těesa posuvný pohyb otační pohyb geoetie hot