Numerické metódy matematiky I
|
|
|
- Lenka Němečková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Prednáška č. 4 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc
2 Prednáška č. 4 OBSAH. Sústavy lineárnych rovníc 2. Priame metódy 3. Gaussova eliminačná metóda 4. Výber hlavného prvku 5. Vplyv zaokrúhľovacích chýb 6. Podmienenosť 7. Determinanty matíc a Cramerove pravidlo 8. Iteračné metódy riešenia sústavy rovníc 9. Konvergencia, iteračná matica, kritéria na ukončenie iterácií. Jacobiho metóda. Gauss-Seidlova metóda 2. Literatúra
3 Sústavy lineárnych rovníc Základné pojmy xa x a b n n xa x a b 2 n 2n 2 xa x a b m n mn m () K sústave rovníc () možno priradiť dve matice: - maticu sústavy - rozšírenú maticu sústavy A a a2 a n a2 a22 a 2n a a a m m2 mn A a a2 an b a2 a22 a2n b 2 a a a b m m m2 mn
4 Sústavy lineárnych rovníc Označme x x x x 2 n b b b b 2 m Potom možno zapísať sústavu lineárnych rovníc () v tvare a a n x b a2 a2n x 2 b 2 a a x n b m m mn Ax = b
5 Ak b =, tak sa sústava () nazýva homogénna, ak b, tak sa nazýva nehomogénna. Sústavy lineárnych rovníc
6 Sústavy lineárnych rovníc Definícia Hovoríme, že n-tica (r,, r n ) je riešením sústavy (), ak Ar = b, kde r r = r2. rn Poznámka Sústavu () nazývame riešiteľnou, ak má aspoň jedno riešenie; v opačnom prípade sa nazýva neriešiteľná.
7 Sústavy lineárnych rovníc Priame metódy sú metódy, ktoré dodajú v konečnom počte krokov presné riešenie za predpokladu, že výpočet prebieha bez zaokrúhľovacích chýb Iteračné metódy poskytnú len približné riešenie. Počet krokov závisí od požadovanej presnosti.
8 Príklad: Nad množinou reálnych čísel riešte sústavu rovníc. x-2y+4z+ t =-6 2x+3y- z+2t =3 (2)-2*() 2x+5y+ z+ t = 8 (3)-2*() 3x+ y+3z+ t = (4)-3*() x-2y+4z+ t =-6 7y-9z =25 9y-7z- t =2 (3)-9/7*(2) 7y-9z-2t =9 (4)-7/7*(2) x-2y+ 4z+ t = -6 7y -9z = 25 32/7z- t =-85/7-2t = -6 x =, y =, z = - 2, t = 3
9 Elementárne riadkové úpravy Definícia: Elementárnymi riadkovými úpravami sústavy lineárnych rovníc nazývame nasledujúce tri úkony: vzájomná výmena dvoch rovníc, násobenie rovnice nenulovým číslom, pričítanie ľubovoľného násobku niektorej rovnice k inej rovnici.
10 Elementárne riadkové operácie Definícia: Elementárnymi riadkovými operáciami (ERO) na matici nazývame nasledujúce tri úkony: vzájomná výmena dvoch riadkov matice, násobenie riadku matice nenulovým skalárom, pričítanie násobku niektorého riadku matice k inému riadku.
11 Riadková ekvivalencia matíc Definícia: Hovoríme, že matica A typu m x n je riadkovo ekvivalentná s maticou B typu m x n ak B možno dostať z A pomocou konečnej postupnosti elementárnych riadkových operácií.
12 Horná trojuholníková matica Definícia: O matici U hovoríme, že je horná trojuholníková ak má pod hlavnou diagonálou všetky prvky nulové.
13 Riadková ekvivalencia matíc Veta: Každá matica je riadkovo ekvivalentná s nejakou hornou trojuholníkovou maticou.
14 Hodnosť matice Definícia: Hodnosťou matice A nazývame počet nenulových riadkov redukovanej trojuholníkovej matice prislúchajúcej k matici A, označujeme ju h(a). alebo Hodnosťou matice je počet lineárne nezávislých riadkov / stĺpcov matice. Dôsledok: Riadkovo ekvivalentné matice majú rovnakú hodnosť.
15 Príklad: Nad množinou reálnych čísel riešte sústavu rovníc. x-2y+4z+ t =-6 2x+3y- z+2t =3 /(2)-2*() 2x+5y+ z+ t = 8 /(3)-2*() 3x+ y+3z+ t = /(4)-3*() x-2y+4z+ t = -6 7y-9z = 25 9y-7z- t = 2 /(3)-9/7*(2) 7y-9z-2t = 9 /(4)-7/7*(2) x-2y+ 4z+ t = -6 7y- 9z = 25 32/7z- t =-85/7-2t = / 7-85/7 2-6 x =, y =, z = - 2, t = 3
16 Gaussova eliminačná metóda Ukázali sme si princíp Gaussovej eliminačnej metódy (GEM): Konečným počtom elementárnych riadkových operácií upravíme maticu sústavy na hornú trojuholníkovú maticu a spätnou substitúciou vypočítame vektor neznámych.
17 Gaussova eliminačná metóda Ukázali sme si princíp Gaussovej eliminačnej metódy (GEM): Konečným počtom elementárnych riadkových operácií upravíme maticu sústavy na hornú trojuholníkovú maticu a spätnou substitúciou vypočítame vektor neznámych. Priamy chod GEM: Nech A () = A, b () = b prvky matice A () označíme a () ij = a ij prvky vektora b () označíme b () i = b i
18 Gaussova eliminačná metóda
19 Gaussova eliminačná metóda multiplikátor zaistí, aby v pozícii (i,k) matice A (k) vznikla nula
20 Gaussova eliminačná metóda hlavný prvok (pivot) nesmie byť nula
21 Gaussova eliminačná metóda Príklad: Riešte sústavu rovníc na hypotetickom počítači, ktorý pracuje v dekadickej sústave s päťmiestnou mantisou.
22 Gaussova eliminačná metóda Príklad: Riešte sústavu rovníc na hypotetickom počítači, ktorý pracuje v dekadickej sústave s päťmiestnou mantisou. Presné riešenie je
23 Gaussova eliminačná metóda
24 Gaussova eliminačná metóda
25 Gaussova eliminačná metóda čiastočný výber hlavného prvku Čiastočný výber hlavného prvku je modifikácia GEM zaisťujúca, aby absolútne hodnoty multiplikátorov boli menšie alebo rovné. V k-tom kroku eliminácie sa ako pivot vyberá prvok s najväčšou absolútnou hodnotou v zatiaľ neeliminovanej časti k-teho stĺpca matice A (k-)
26 Gaussova eliminačná metóda čiastočný výber hlavného prvku
27 Gaussova eliminačná metóda úplný výber hlavného prvku
28 Gaussova eliminačná metóda Čiastočný alebo úplný výber hlavného prvku? väčšinou sa používa len čiastočný výber hlavného prvku Aj ten postačuje na to, aby zaokrúhľovacie chyby zostali malé a neznehodnotili riešenie. Realizácia čiastočného výberu hlavného prvku vyžaduje výrazne menší počet operácií než výber úplný.
29 Gaussova eliminačná metóda Výpočtová náročnosť Počet aritmetických operácií pri priamom chode: 2 3 n 3 Počet aritmetických operácií pri spätnom chode: 2 n
30 LU rozklad x-2y+4z+ t =-6 2x+3y- z+2t =3 /(2)-2*() 2x+5y+ z+ t = 8 /(3)-2*() 3x+ y+3z+ t = /(4)-3*() x-2y+4z+ t = -6 7y-9z = 25 9y-7z- t = 2 /(3)-9/7*(2) 7y-9z-2t = 9 /(4)-7/7*(2) x-2y+ 4z+ t = -6 7y- 9z = 25 32/7z- t =-85/7-2t = / 7-85/7 2-6 x =, y =, z = - 2, t = 3
31 LU rozklad x-2y+4z+ t =-6 2x+3y- z+2t =3 /(2)-2*() 2x+5y+ z+ t = 8 /(3)-2*() 3x+ y+3z+ t = /(4)-3*() x-2y+4z+ t = -6 7y-9z = 25 9y-7z- t = 2 /(3)-9/7*(2) 7y-9z-2t = 9 /(4)-7/7*(2) x-2y+ 4z+ t = -6 7y- 9z = 25 32/7z- t =-85/7-2t = / 7-85/ x =, y =, z = - 2, t = 3
32 LU rozklad x-2y+4z+ t =-6 2x+3y- z+2t =3 /(2)-2*() 2x+5y+ z+ t = 8 /(3)-2*() 3x+ y+3z+ t = /(4)-3*() x-2y+4z+ t = -6 7y-9z = 25 9y-7z- t = 2 /(3)-9/7*(2) 7y-9z-2t = 9 /(4)-7/7*(2) x-2y+ 4z+ t = -6 7y- 9z = 25 32/7z- t =-85/7-2t = /7 32 / 7-85/ x =, y =, z = - 2, t = 3
33 LU rozklad x-2y+4z+ t =-6 2x+3y- z+2t =3 /(2)-2*() 2x+5y+ z+ t = 8 /(3)-2*() 3x+ y+3z+ t = /(4)-3*() x-2y+4z+ t = -6 7y-9z = 25 9y-7z- t = 2 /(3)-9/7*(2) 7y-9z-2t = 9 /(4)-7/7*(2) x-2y+ 4z+ t = -6 7y- 9z = 25 32/7z- t =-85/7-2t = /7 32 / 7-85/ x =, y =, z = - 2, t = 3
34 LU rozklad Multiplikátory m ij z priameho chodu umiestnime do dolnej trojuholníkovej matice L)
35 LU rozklad /7 32/ A Získali sme LU rozklad matice A (tzv. Doolitleova verzia jednotky na diagonále matice L) pretože sa dá ukázať, že A L LU Špeciálnym Doolitleovym algoritmom je možné nájsť LU rozklad s polovičným počtom aritmetických operácií 3 n 3 U
36 LU rozklad LU rozklad matice A sa dá výhodne použiť pri riešení postupnosti úloh ak novú pravú stranu b i je možné zostaviť až potom, čo sa vyriešili predchádzajúce sústavy pre k < i.
37 LU rozklad LU rozklad matice A sa dá výhodne použiť pri riešení postupnosti úloh ak novú pravú stranu b i je možné zostaviť až potom, čo sa vyriešili predchádzajúce sústavy pre k < i. Riešiť sústavu znamená riešiť
38 LU rozklad s čiastočným výberom hlavného prvku LU rozklad s čiastočným výberom hlavného prvku je štandardná rutina dostupná v každej knižnici programov.
39 LU rozklad s čiastočným výberom hlavného prvku LU rozklad s čiastočným výberom hlavného prvku je štandardná rutina dostupná v každej knižnici programov. Vstupným parametrom je matica A.
40 LU rozklad s čiastočným výberom hlavného prvku LU rozklad s čiastočným výberom hlavného prvku je štandardná rutina dostupná v každej knižnici programov. Vstupným parametrom je matica A. Výstupným sú tri matice: L, U a tzv. permutačná matica P pričom LU = PA.
41 LU rozklad s čiastočným výberom hlavného prvku LU rozklad s čiastočným výberom hlavného prvku je štandardná rutina dostupná v každej knižnici programov. Vstupným parametrom je matica A. Výstupným sú tri matice: L, U a tzv. permutačná matica P pričom LU = PA. Permutačná matica vznikne z jednotkovej matice prehádzaním jej riadkov.
42 LU rozklad s čiastočným výberom hlavného prvku LU rozklad s čiastočným výberom hlavného prvku je štandardná rutina dostupná v každej knižnici programov. Vstupným parametrom je matica A. Výstupným sú tri matice: L, U a tzv. permutačná matica P pričom LU = PA. Permutačná matica vznikne z jednotkovej matice prehádzaním jej riadkov. Riešenie sústavy Ax=b nájdeme riešením rovníc (ukážte to)
43 LU rozklad s čiastočným výberom hlavného prvku Namiesto matice P pracujeme len s vektrom riadkových premutácií p. Na začiatku položíme a v algoritme len prehadzujeme prvky vektora p.
44 LU rozklad s čiastočným výberom hlavného prvku
45 GEM Definícia: Hovoríme, že matica A je rýdzo diagonálne dominantná, ak
46 GEM Definícia: Symetrická matica A je pozitívne definitná, ak pre ľubovoľný nenulový vektor x platí T x Ax Ak je A regulárna, potom T A A je pozitívne definitná.
47 GEM Sylvesterovo kritérium: Symetrická matica A je pozitívne definitná, práve vtedy keď sú kladné determinanty všetkých hlavných rohových submatíc, t.j. keď platí
48 GEM Dá sa ukázať, že algoritmus GEM je možné použiť pre riešenie sústav, ktorých matica je buď rýdzo diagonálne dominantná alebo pozitívne definitná.
49 Choleského rozklad Choleského dekompozičná teoréma: Pozitívne definitnú maticu A, je možné práve jedným spôsobom rozložiť na tvar A T LL kde L je dolná trojuholníková matica.
50 Choleského rozklad Choleského dekompozičná teoréma: Pozitívne definitnú maticu A, je možné práve jedným spôsobom rozložiť na tvar A T LL kde L je dolná trojuholníková matica. Algoritmus (Choleského metóda):
51 Choleského rozklad Choleského dekompozičná teoréma: Pozitívne definitnú maticu A, je možné práve jedným spôsobom rozložiť na tvar A T LL kde L je dolná trojuholníková matica. Algoritmus (Choleského metóda): Počet aritmetických operácií : 3 n 3
52 Vplyv zaokrúhľovacích chýb Príklad: Riešte na hypotetickom počítači s trojmiestnou mantisou sústavu
53 Vplyv zaokrúhľovacích chýb GEM s výberom hlavného prvku zaručuje vznik malých rezíduí
54 Vplyv zaokrúhľovacích chýb GEM s výberom hlavného prvku zaručuje vznik malých rezíduí Aj keď je rezíduum malé tvrdenie nič nehovorí o veľkosti chyby
55 Podmienenosť Aby sme mohli určiť podmienenosť úlohy nájsť riešenie x sústavy Ax = b potrebujeme posúdiť ako veľmi sa zmení riešenie x, ak trochu zmeníme A a b.
56 Podmienenosť Norma vektora trieda vektorových noriem l p,
57 Podmienenosť Norma vektora trieda vektorových noriem l p, Najčastejšie sa používa p=, p=2, alebo p Manhattan Euclid Čebyšev
58 Podmienenosť Vlastnosti
59 Podmienenosť Číslo podmienenosti matice Nech kde maximum resp. minimum sa uvažuje pre všetky nenulové x. Pomer M/m sa nazýva číslo podmienenosti matice A:
60 Podmienenosť Uvažujme systém rovníc Ax = b a druhý systém, ktorý dostaneme keď zmeníme pravú stranu:, alebo
61 Podmienenosť Uvažujme systém rovníc Ax = b a druhý systém, ktorý dostaneme keď zmeníme pravú stranu:, alebo môžeme považovať za chybu pravej strany b a zaodpovedajúcu chybu riešenia x.
62 Podmienenosť Pretože, z definície M a m okamžite vyplýva takže pre je rezíduum.
63 Podmienenosť Pretože, z definície M a m okamžite vyplýva takže pre je rezíduum. Číslo podmienenosti matice teda pôsobí ako zosilňovač relatívnej chyby! Dá sa ukázať, že zmeny v matici A majú na zmeny riešenia podobný vplyv.
64 Podmienenosť Niektoré vlastnosti čísla podmienenosti matice
65 Podmienenosť Norma matice číslo M je tiež známe ako norma matice takže tiež platí Ekvivalentne môžeme číslo podmienenosti matice zapísať
66 Podmienenosť Norma matice A F n n i j a 2 ij Frobeniova norma (súhlasná s l 2 ) A n max a maximálne súčty v stĺpcoch i j ij A n max a maximálne súčty v riadkoch j i ij
67 Podmienenosť Norma matice - vlastnosti
68 Iný príklad: Nad množinou reálnych čísel riešte sústavu rovníc. x+2y+ z- t = 2x+3y- z+2t = 3 4x+7y+ z = 5 5x+7y-4z+7t =
69 x+2y+ z- t = 2x+3y- z+2t = 3 4x+7y+ z = 5 5x+7y-4z+7t = Príklad: Nad množinou reálnych čísel riešte sústavu rovníc x+2y+ z- t = -y-3z+4t = z+t = 2 t = sústava nemá riešenie
70 Ďalší príklad: Nad množinou racionálnych čísel riešte sústavu rovníc. x-2y+4z+ t =-6 2x+3y- z+2t =3 3x+ y+3z+3t = 7 x+5y-5z+ t =9
71 x-2y+4z+ t =-6 2x+3y- z+2t =3 3x+ y+3z+3t = 7 x+5y-5z+ t = x-2y+4z+ t =-6 7y-9z+t =25 z+t = t = Príklad: Nad množinou racionálnych čísel riešte sústavu rovníc.
72 Príklad: Nad množinou racionálnych čísel riešte sústavu rovníc. x-2y+4z+ t =-6 7y-9z+t =25 z+t = t = Sústava má nekonečne veľa riešení t = p, z = q, p,q Q y = + q x = q p S = q p, + q,q,p, p,q Q Napr.: ak q =, p =, dostaneme partikulárne riešenie , 7,,
73 Sústavy lineárnych rovníc Frobeniova veta: Sústava nehomogénnych rovníc je riešiteľná vtedy a len vtedy, keď sa hodnosť matice sústavy rovná hodnosti rozšírenej matice sústavy. Dôsledok : Ak h(a) = h(a ) = n (n je počet neznámych), potom má sústava práve jedno riešenie. Dôsledok 2: Ak h(a) = h(a ) < n (n je počet neznámych), potom má sústava nekonečne veľa riešení a n-h neznámych možno ľubovoľne zvoliť. Dôsledok 3: Ak h(a) h(a ), potom sústava nemá riešenie.
74 Sústavy homogénnych lineárnych rovníc
75 Sústavy homogénnych lineárnych rovníc x x x a a a 2 m + + x + + x + + x n n n a a a n 2n mn = = = Pretože h(a)=h(a ), systém je vždy riešiteľný Veta: Systém homogénnych rovníc má netriviálne riešenie práve vtedy, ak h(a) < n. (triviálne riešenie je (,,...,) )
76 x-2y+4z+ t = 2x+3y- z+2t = 3x+ y+3z+3t = x+5y-5z+ t = x-2y+4z+ t = 7y-9z+t = z+t = t = Príklad: Nad množinou racionálnych čísel riešte sústavu rovníc.
77 Príklad: Nad množinou racionálnych čísel riešte sústavu rovníc. x-2y+4z+ t = 7y-9z+t = z+t = t = t = p, z = q, p,q Q y = x = q q p S 9 = q p, q,q,p, p,q Q 7 7
78 Zhrnutie pojmov homogénna a nehomogénna sústava lineárnych rovníc matica a rozšírená matica sústavy lineárnych rovníc riešiteľná a neriešiteľná sústava lineárnych rovníc elementárne riadkové úpravy / operácie riadkovo ekvivalentné matice hodnosť matice horná a dolná trojuholníková matica Gaussova eliminačná metóda (výber hlavného prvku) LU rozklad (Doolitleova metóda) Choleského rozklad Frobeniova veta riešenie sústav homogénnych lineárnych rovníc
3 Determinanty. 3.1 Determinaty druhého stupňa a sústavy lineárnych rovníc
3 eterminanty 3. eterminaty druhého stupňa a sústavy lineárnych rovníc Začneme úlohou, v ktorej je potrebné riešiť sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych. a x + a 2 x 2 = c a 22 a 2 x + a 22 x 2 = c 2
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
Co je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Numerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Funkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H.
FUNKCIA, DEFINIČNÝ OBOR, OBOR HODNÔT Funkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H. Množina D definičný obor Množina H obor hodnôt Funkciu môžeme
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Matematika Postupnosti
Matematika 1-06 Postupnosti Definícia: Nekonečnou postupnosťou reálnych čísel nazývame zobrazenie f: N R množiny prirodzených čísel N do množiny reálnych čísel R. Označenie: a n n=1 = a 1, a 2,, a n, Matematika
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma
DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma Algoritmus (GEM: Gaussova eliminace s částečným pivotováním pro převod rozšířené regulární matice na horní trojúhelníkový tvar). Zadána matice C = (c i,j
Numerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
Cvičení z Numerických metod I - 12.týden
Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x
Zvyškové triedy podľa modulu
Zvyškové triedy podľa modulu Tomáš Madaras 2011 Pre dané prirodzené číslo m 2 je relácia kongruencie podľa modulu m na množine Z reláciou ekvivalencie, teda jej prislúcha rozklad Z na systém navzájom disjunktných
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Kvadratické funkcie, rovnice, 1
Kvadratické funkcie, rovnice, 1. ročník Kvadratická funkcia Kvadratickou funkciu sa nazýva každá funkcia na množine reálnych čísel R daná rovnicou y = ax + bx + c, kde a je reálne číslo rôzne od nuly,
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice
26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
8. Relácia usporiadania
8. Relácia usporiadania V tejto časti sa budeme venovať ďalšiemu špeciálnemu typu binárnych relácií v množine M - reláciám Najskôr si uvedieme nasledujúce štyri definície. Relácia R definovaná v množine
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
ČÍSELNÉ RADY. a n (1) n=1
ČÍSELNÉ RADY Budeme sa zaoberať výrazmi, ktoré obsahujú nekonečne veľa sčítancov. Takéto výrazy budeme nazývať nekonečné rady. V nasledujúcom príklade je ilustrované, ako môže takýto výraz vzniknúť. Príklad.
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Ďalší spôsob, akým je možné vygenerovať maticu je použitie zabudovaných funkcií na generovanie elementárnych matíc.
MATICE MATLAB poskytuje obrovskú podporu práce s maticami. Táto hodina sa bude zaoberať základmi práce s maticami. Cieľom prvej časti hodiny je objasnenie základných princípov tvorby matíc, ich editáciu
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI. Anotácia predmetu
PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI Číslo predmetu : 3B0100 Názov predmetu : Matematika I. Typ predmetu : Povinný Študijný odbor: Všetky odbory bakalárskeho štúdia EF Zameranie: Ročník : 1. Semester : zimný Počet
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI. Anotácia predmetu
PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI Číslo predmetu : 2B001 Názov predmetu : Matematika I. Typ predmetu : Povinný Študijný odbor: Všetky odbory externého bakalárskeho štúdia Zameranie: Ročník : 1. Semester : zimný
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
4. LU rozklad a jeho numerická analýza
4 LU rozklad a jeho numerická analýza Petr Tichý 24 října 2012 1 Úvod Nechť A je regulární matice Řešíme Ax = b LU rozklad (Gaussova eliminace) je jeden z nejdůležitějších nástrojů pro problém řešení soustav
Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI. Anotácia predmetu
PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI Číslo predmetu : 2B001 Názov predmetu : Matematika I. Typ predmetu : Povinný Študijný odbor: Všetky odbory bakalárskeho štúdia SjF Zameranie: Ročník : 1. Semester : zimný Počet
Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Množiny, relácie, zobrazenia
Množiny, relácie, zobrazenia Množiny "Množina je súhrn predmetov, vecí, dobre rozlíšiteľných našou mysľou alebo intuíciou" "Množina je súbor rôznych objektov, ktoré sú charakterizované spoločnými vlastnosťami,
Limita funkcie. Čo rozumieme pod blížiť sa? y x. 2 lim 3
Limita funkcie y 2 2 1 1 2 1 y 2 2 1 lim 3 1 1 Čo rozumieme pod blížiť sa? Porovnanie funkcií y 2 2 1 1 y 2 1 2 2 1 lim 3 1 1 1-1+ Limita funkcie lim f b a Ak ku každému číslu, eistuje také okolie bodu
Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
Numerické řešení soustav lineárních rovnic
Numerické řešení soustav lineárních rovnic Mirko Navara http://cmpfelkcvutcz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 04a http://mathfeldcvutcz/nemecek/nummethtml
Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
RIEŠENIE NIEKTORÝCH ÚLOH LINEÁRNEJ ALGEBRY V PROSTREDÍ MS EXCEL. 1. Zadáme prvky matice A a B do buniek pracovného hárku zošita MS Excel
RIEŠENIE NIEKTORÝCH ÚLOH LINEÁRNEJ ALGEBRY V PROSTREDÍ I. VÝPOČET SÚČINU MATÍC Vypočítajme súčin matíc C = A B, ak existuje, pre dané matice A a B. 1. Zadáme prvky matice A a B do buniek pracovného hárku
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
Matice. Matica typu m x n je tabuľka s m riadkami a n stĺpcami amn. a ij. prvok matice, i j udáva pozíciu prvku
Matice Matice Matica typu m x n je tabuľka s m riadkami a n stĺpcami a11 a12... a1 n a21 a22... a2n............ am1 am2... amn a ij prvok matice, i j udáva pozíciu prvku i- čísluje riadky J- čísluje stĺpce
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
stránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
Prevody z pointfree tvaru na pointwise tvar
Prevody z pointfree tvaru na pointwise tvar Tomáš Szaniszlo 2010-03-24 (v.2) 1 Príklad (.(,)). (.). (,) Prevedenie z pointfree do pointwise tvaru výrazu (.(,)). (.). (,). (.(,)). (.). (,) Teraz je funkcia
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
Aritmetické operácie v rôznych číselných sústavách. Ľudmila MACEKOVÁ, KEMT-FEI-TUKE, sep. 2017
111010110 Aritmetické operácie v rôznych číselných +110111001 sústavách 1110001111 Ľudmila MACEKOVÁ, KEMT-FEI-TUKE, sep. 2017 Plán Prevody medzi ČS Zobrazenie informácií v ČS: - priamy kód - inverzný kód
Lineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
Soustavy lineárních algebraických rovnic SLAR
Soustavy lineárních algebraických rovnic SLAR Helena Říhová FBMI 12. listopadu 2010 Helena Říhová (ČVUT) Soustavy lineárních algebraických rovnic [4pt] SLAR 12. listopadu 2010 1 / 11 Obsah 1 Soustavy lineárních
Kapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.
VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Iracionálne rovnice = 14 = ±
Iracionálne rovnice D. Rovnica je iracionálna, ak obsahuje neznámu pod odmocninou. P. Ak ide o odmocninu s párnym odmocniteľom, potom musíme stanoviť definičný obor pod odmocninou nesmie byť záporná hodnota
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Funkcionální řady. January 13, 2016
Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine
Pravdepodobnosť. Rozdelenia pravdepodobnosti
Pravdepodobnosť Rozdelenia pravdepodobnosti Pravdepodobnosť Teória pravdepodobnosti je matematickým základom pre odvodenie štatistických metód. Základné pojmy náhoda náhodný jav náhodná premenná pravdepodobnosť
Symetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
z textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
Základy algoritmizácie a programovania
Základy algoritmizácie a programovania Pojem algoritmu Algoritmus základný elementárny pojem informatiky, je prepis, návod, realizáciou ktorého získame zo zadaných vstupných údajov požadované výsledky.
Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic Touto přednáškou vrcholí naše snažení o algebraický popis řešení praktických problémů. Většina inženýrských úloh má totiž lineární charakter (alespoň přibližně)
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
D 11 D D n1. D 12 D D n2. D 1n D 2n... D nn
Inversní matice 1 Definice Nechť je čtvercová matice řádu n Čtvercovou matici B řádu n nazveme inversní maticí k matici, jestliže platí B=E n =B, kdee n jeodpovídajícíjednotkovámatice 2 Tvrzení Inversní
Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky
PODPROGRAMY. Vyčlenenie podprogramu a jeho pomenovanie robíme v deklarácii programu a aktiváciu vykonáme volaním podprogramu.
PODPROGRAMY Podprogram je relatívne samostatný čiastočný algoritmus (čiže časť programu, ktorý má vlastnosti malého programu a hlavný program ho môže volať) Spravidla ide o postup, ktorý bude v programe
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text