Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7"

Transkript

1 Příklad 1 Pomocí l Hôpitalova pravidla spočtěte následující limity. Poznámka a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim l) lim cotg Všechny limity uvedené v zadání vedou k výrazu typu, nebo. K jejich výpočtu je tedy možné použít l Hôpitalovo pravidlo. V některých případech budeme toto pravidlo používat i vícekrát. Některé z následujících příkladů působí při řešení poměrně brutálním dojmem, nevyžadují však žádné zvláštní znalosti. Důležité je udržet nit výpočtu a příslušný pořádek. V některých případech je pro zjednodušení situace využit vzorec pro sinus či cosinus dvojnásobného úhlu. 1

2 Řešení 1a Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. tg lim sin tg sin 1 cos 1 1 cos 1 cos cos 1 cos 1 cos1+cos 1+cos cos 1 cos cos = = 2 1 =2 1 cos cos 1 cos Příklad lze samozřejmě řešit i jinak. Po uplatnění l Hôpitalova pravidla jsme dostali opět výraz typu. V tom případě je možné l Hôpitalovo pravidlo uplatnit znovu. tg lim sin tg sin 2cos =2 1 cos 1 1 cos 1 cos 1 1 cos 2cos sin sin Řešení 1b Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. 1 3tg4 12tg 3 4 lim 3sin4 12sin cos cos 3 4cos4 12cos cos cos4cos+cos4 cos 4 cos cos4 cos cos+cos4 cos 4 cos = 1+1 = = 2 12cos cos 4 cos 4 cos 12cos4 cos cos4 coscos+cos4 cos 4 cos cos4 cos Řešení 1c Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením spolu se znalostí vztahu lim =1. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. V rámci pokračujícího výpočtu ho použijeme ještě několikrát. cotg 1 lim 1 cotg 1 cotg+ sin 0 2 sin cos sin 2 cos sin sin 2 sin cos sin cos 2sin 2sin = 2

3 cos sin 1 2sin +22sincos cos2 1 2sin +2sin2 cos2 1 2sin +2sin2 2sin sincos+2sin2+2 2cos2 2sin2 2sin2+2sin2+4xcos2 = lim 2sin2 4sin2+4cos2 sin2 2sin2+2cos2 sin2 2sin2+2cos2 2cos2 2 2cos2+2cos2 2 2sin2 2cos2 6cos2 4sin2 = 2cos2 0 6cos sin2 0 = 2cos0 6cos0 0sin0 = = = 2 6 = 1 3 Řešení 1d Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. V tomto případě budeme toto pravidlo používat opakovaně tak dlouho, dokud se nezbavíme výrazu typu. Úloha se dá řešit i jiným způsobem a to tak, že se hyperbolický cosinus převede hned na začátku na tvar podle definice cosh=e +e /2. cosh+cos 2 cosh+cos 2 sinh sin 0 sinh sin lim 4 4 cosh cos cosh cos sinh+sin sinh+sin cosh+cos = = 1 12 Řešení 1e Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo lim =1 6 3

4 Řešení 1f Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme opakovaně l Hôpitalovo pravidlo. Úloha není obtížná, ale vyžaduje velkou pozornost a zachování výpočetního pořádku. ln a lncos ln cos lim 3 3 ln cos 3 ln cos 3 ln ln ln cos cos+ sin 3 2 ln ln ln cos + sin 6 ln ln cos + sin 6 ln ln ln ln cos cos + 2sincos+ lncossin+ cos 6 ln ln ln ln cos + 2cossin+ lncossin+ cos 6 =ln ln ln ln cos 0+ 2cos0sin0+ lncos0sin0+ cos0 6 =ln ln ln ln ln =ln ln1 ln 1 ln ln =ln lnln ln =ln =ln 1 6 =ln 6 =ln ln =ln 0 ln Řešení 1g Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. V tomto případě budeme toto pravidlo používat opakovaně tak dlouho, dokud se nezbavíme výrazu typu. Opět je velmi důležitá velká míra pečlivosti. cossin cos cossin cos sinsincos+sin lim 4 sinsincos+sin cossincos +sinsinsin+cos

5 cossincos +sinsinsin+cos 12 sinsincos +cossin2cossin+cossincossin+sinsincos sin 24 sinsincos +3cossincossin+sinsincos sin 24 sinsincos +3cossincossin+sinsincos sin 24 cossincos sinsin3cos sin 3sinsincos sin+3cossincos sin cos 24 = cossin0cos 0 sinsin03cos 0sin0 3sinsin0cos 0sin0+3cossin0cos 0 sin 0 cos0 24 = cos0 1 sin sin cos = = Řešení 1h Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. lim ln +1 ln ln+1 1 ln ln+1ln = ln1+1ln = = + 1 = = 2 = ln = Řešení 1i Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. 5

6 lim = lim a ln = lim = ln = ln 1 = ln = ln 1 Řešení 1j Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. cos cos lim sin 2x 2 4 sin+ 4 sin+ cos cos+ sin 12 sin cos cos = = cos = = = 2 24 = 1 12 Řešení 1k Budeme počítat limitu: lim. Tato limita vede k výrazu typu, jak lze snadno ověřit dosazením. K výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. sin 1+ sin 1+ sin+ cos 1+ lim 3 sin+ cos 1 2 sin+ cos sin+ cos+ cos sin cos

7 2 cos 2 2 cos 2 sin 0 2 cos 2 sin = 2 cos0 2 sin0 = = 2 0 = =1 3 Řešení 1l Budeme počítat limitu: lim cotg. Tuto limitu nejprve převedeme na výraz typu. K dalšímu výpočtu použijeme l Hôpitalovo pravidlo. 1 lim 1 cotg 1 1 cos sin 1 sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos+sin sin sin 2sin+ cosx sin 2sin+ cosx sin+cos 2sin+2cos+2cos sin sin+cos 2sin+4cos sin sin+cos 2sin+4cos sin cos+cos sin 2cos+4cos 4sin 2sin cos 2cos sin 6cos 6sin cos = 2 cos0 0 sin0 6 cos0 6 0 sin0 0 cos = = =2 6 =1 3 7

8 Příklad 2 Nalezněte body, kde se rovinné křivky dané funkcemi f a g protínají. Vypočtěte, pod jakým úhlem se zde protnou. Určete rovnice tečen a normál ke každé z křivek v těchto bodech. a) = ; = b) = + 4 ; = c) = ; =5 d) = ; = e) =2 2 ; =4 2 f) =sin2 ; =cos2 Poznámka Body, kde se protínají grafy obou funkcí, nalezneme pomocí rovnosti hodnot obou funkcí. Právě v průsečíku grafů funkcí právě k rovnosti hodnot funkcí totiž dochází. Rovnici tečny budeme zjišťovat pro tvar =+ze vztahů = a =, protože dotykový bod musí mít stejnou hodnotovou souřadnici na grafu funkce i tečně. Normála je kolmice na tečnu vedená dotykovým bodem. Bude tedy mít směrnici. Normála tedy bude mít obecnou rovnici = +. Hodnotu vypočítáme dosazením souřadnic dotykového bodu. Všechna řešení doplníme obrázkem. Na něm bude vždy část grafu funkce v modré barvě, tečna bude zelená a normála červená. Úhel, pod kterým se protínají grafy funkcí, musí být stejný, jako úhel, který svírají tečny obou funkcí v průsečíku jejich grafů. Řešení 2a Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí = ; =. Řešme rovnici = = 1= Rovnice má tři řešení. Z toho dvě mají stejnou hodnotu 0. Příslušnou hodnotu zjistíme dosazením do předpisu funkce =0 ;0 =0 ;0 =1 ;1 Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezených průsečících. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Postupně to provedeme pro všechna odlišná řešení první rovnice. Body = ; a = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 0. Vypočteme =2 a dosadíme =0. Dostaneme = 0=2 0=0. Vypočteme =0 0. Odtud =0 0 0=0. Rovnice tečny k funkci je tedy =0+0=0. 8

9 Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =0+ 0. Odtud =0+ 0. Ale výraz pro není korektní. Je to proto, že tečna je rovnoběžná s osou, proto normála musí být rovnoběžná s osou a pro její popis se nehodí uvedená obecná rovnice. V tomto případě má tedy normála rovnici =0. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 0. Vypočteme =3 a dosadíme =0. Dostaneme = 0=3 0 =0. Vypočteme =0 0. Odtud =0 0 0=0. Rovnice tečny k funkci je tedy =0+0=0. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =0+ 0. Odtud =0+ 0. Ale výraz pro není korektní. Je to proto, že tečna je rovnoběžná s osou, proto normála musí být rovnoběžná s osou a pro její popis se nehodí uvedená obecná rovnice. V tomto případě má tedy normála rovnici =0. Protože obě tečny mají stejný nulový směr, svírají nulový úhel. Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Vypočteme =2 a dosadíme =1. Dostaneme = 1=2 1=2. Vypočteme =1 1. Odtud =1 2 1= 1. Rovnice tečny k funkci je tedy =2 1. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =1+ 1. Odtud =1+ 1=. Rovnice normály k funkci je tedy = +. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Vypočteme =3 a dosadíme =1. Dostaneme = 1=3 1 =3. Vypočteme =1 1. Odtud =1 3 1= 2. Rovnice tečny k funkci je tedy =3 2. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =1+ 1. Odtud =1+ 1=. Rovnice normály k funkci je tedy = +. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=2, odtud =arctg2. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 3. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=3, odtud =arctg3. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctg3 arctg2. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat k lepšímu vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 1+tgtg = =1 7 Odtud Celou situaci přibližuje obrázek. = =arctg 1 7 9

10 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Řešení 2b Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí = + 4 ; =. Řešme rovnici = + 4 = =4 Rovnice má tři řešení. Příslušnouu hodnotu zjistíme dosazením do předpisu funkce = 2 ;4 =0 ;0 =2 ;4 10

11 Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezených průsečících. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Postupně to provedeme pro všechna odlišná řešení první rovnice. Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2. Vypočteme =3x +2 4 a dosadíme = 2. Dostaneme = 2= =12 4 4=4. Vypočteme = 2 2. Odtud =4 4 2=4+8=12. Rovnice tečny k funkci je tedy =4+12. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =4+ 2=4 =. Normála tedy má rovnici = +. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2. Vypočteme =2 a dosadíme = 2. Dostaneme = 2=2 2= 4. Vypočteme = 2 2. Odtud =4 4 2=4 8= 4. Rovnice tečny k funkci je tedy = 4 4. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =4+ 2=4+=. Normála tedy má rovnici = +. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=4, odtud =arctg4. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou -4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg= 4, odtud =arctg 4= arctg4. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctg4 arctg 4=arctg4 arctg4= 2arctg4. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 1+tgtg = = 8 15 = 8 15 Odtud = =arctg 8 15 Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 0. Vypočteme =3x +2 4 a dosadíme =0. Dostaneme = 0= = 4. Vypočteme =0 0. Odtud =0 4 0=0. Rovnice tečny k funkci je tedy = 4+0= 4. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =0+ 0. Odtud =0+ 0=0. Normála má tedy rovnici = +0=. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 0. Vypočteme =2 a dosadíme =0. Dostaneme = 0=2 0=0. Vypočteme =0 0. Odtud =0 0 0=0. 11

12 Rovnice tečny k funkci je tedy =0+0=0. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =0+ 0. Odtud =0+ 0. Ale výraz pro není korektní. Je to proto, že tečna je rovnoběžná s osou, proto normála musí být rovnoběžná s osou a pro její popis se nehodí uvedená obecná rovnice. V tomto případě má tedy normála rovnici =0. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou -4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg= 4, odtud =arctg 4. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 0. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=0, odtud =arctg0=0. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctg 4 0=arctg 4. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 1+tgtg = =4 1 =4 Odtud = =arctg4 Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2. Vypočteme =3x +2 4 a dosadíme =2. Dostaneme = 2= =12+4 4=12. Vypočteme =2 2. Odtud =4 12 2=4 24= 20. Rovnice tečny k funkci je tedy = Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =2+ 2. Odtud =4+ 2=4+=. Normála tedy má rovnici = +. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2. Vypočteme =2 a dosadíme =2. Dostaneme = 2=2 2=4. Vypočteme =2 2. Odtud =4 4 2= 4 8= 4. Rovnice tečny k funkci je tedy =4 4. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =2+ 2. Odtud =4+ 2=4+ =. Normála tedy má rovnici = +. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 12. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg= 12, odtud =arctg12. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=4, odtud =arctg4. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctg4 arctg12. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je 12

13 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Dosadíme a dostáváme Odtud Celou situaci přibližuje obrázek. tg = tg tg 1+tgtg tg = tg tg 1+tgtg = = 8 49 = =arctg

14 Řešení 2c Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí = ; =5. Řešme rovnici = =5 V tuto chvíli je zřejmé, že jedním z řešení je =0. To vykrátíme a budeme hledat další řešení. 1 =5 Tato rovnost ale nemůže platit, protože pravá strana je větší než levá strana pro všechna reálná x. Původní rovnice tedy nemá žádné další řešení. Rovnice má tři řešení. Příslušnou hodnotu zjistíme dosazením do předpisu funkce =0 ;0 Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezeném průsečíku. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Postupně to provedeme pro všechna odlišná řešení první rovnice. Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 0. Vypočteme = + 2= 2 = 1 2 a dosadíme =0. Dostaneme = 0= = 1 0=1. Vypočteme =0 0. Odtud =0 1 0=0 0=0. Rovnice tečny k funkci je tedy =1+0=. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =0+ 0. Odtud =0+ 0=0. Normála tedy má rovnici = +0=. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 0. Vypočteme =5 +5 = 1+5 a dosadíme =0. Dostaneme = 0=1+05 =5. Vypočteme =0 0. Odtud =0 5 0=0 0=0. Rovnice tečny k funkci je tedy =5+0=5. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =0+ 0. Odtud =0+ 0=0+0=0. Normála tedy má rovnici = +0=. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 1. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=1, odtud =arctg1. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 5. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=5, odtud =arctg5. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctg5 arctg1. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 1+tgtg = =4 6 =2 3 14

15 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Odtud Celou situaci přibližuje obrázek. = =arctg 2 3 Řešení 2d Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí = ; =. Řešme rovnici = = = Je zřejmé, že řešení této rovnice jsou (hodnotu druhé souřadnice získáme dosazením do funkce). = 1 ;1 =0 ;0 15

16 =1 ;1 Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezených průsečících. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Postupně to provedeme pro všechna odlišná řešení první rovnice. Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Vypočteme =, neboť nyní pracujeme se záporným argumentem. Dosadíme = 1. Dostaneme = 1= 1 = 1 = 1=. Vypočteme = 1 1. Odtud =1 1=1 =. Rovnice tečny k funkci je tedy = + =. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =1+ 1=1+ 2 1=1+2=3. Normála tedy má rovnici =2+3. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Vypočteme =4 a dosadíme = 1. Dostaneme = 1=4 1 = 4. Vypočteme = 1 1. Odtud =1 4 1=1 4= 3. Rovnice tečny k funkci je tedy = 4 3. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =1+ 1=1+=. Normála tedy má rovnici = += +=. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=, odtud =arctg. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg= 4, odtud =arctg 4. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctg 4 arctg. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg tgtg = = = 7 6 Odtud = =arctg 7 6 Bod = ; V tomto bodě má funkce hrot. Nelze v něm tedy hledat tečnu ani počítat derivaci, ale lze počítat derivaci zprava i zleva. Na základě toho lze určit tečnu zprava i tečnu zleva. Obě jsou stejné =0. Z toho důvodu je nutné uvažovat i normálu zleva a normálu zprava. I ony musí být stejné =0. 16

17 Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 0. Vypočteme =4 a dosadíme =0. Dostaneme = 0=40 =0. Vypočteme =0 0. Odtud =0 0 0=0. Rovnice tečny k funkci je tedy =0. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =0+ 0. Odtud =0+ 0. Tento výraz je ovšem nepřípustný. Protože tečna směřuje ve směru osy x, musí normála směřovat ve směru osy y a procházet průsečíkem. Odtud je tedy rovnice normály =0. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ±. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy je =±. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 0. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=0, odtud =arctg0=0. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =0 ±. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Vypočteme =, neboť nyní pracujeme s kladným argumentem. Dosadíme =1. Dostaneme = 1= 1 = 1=. Vypočteme =1 1. Odtud =1 1=1 =. Rovnice tečny k funkci je tedy = +=. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =1+ 1. Odtud =1+ 1=1+2 1=1+2=3. Normála tedy má rovnici = 2+3. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Vypočteme =4 a dosadíme =1. Dostaneme = 1=41 =4. Vypočteme =1 1. Odtud =1 4 1= 1 4= 3. Rovnice tečny k funkci je tedy =4 3. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =1+ 1. Odtud =1+ 1=1+=. Normála tedy má rovnici = += +=. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=, odtud =arctg. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou 4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=4, odtud =arctg4. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctg4 arctg. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 1+tgtg = = =7 6 17

18 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Odtud Celou situaci přibližuje obrázek. = =arctg 7 6 Řešení 2e Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí =2 2 ; =4 2. Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezených průsečících. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí =2 2 ; =4 2. Řešme rovnici = 2 2 =4 2 18

19 2 =6 2 2 = = =0 Nyní provedeme substituci =2 a dostaneme 6+8 =0 2 4=0 Tato rovnice má dvě řešení =2 ; =4 Provedeme zpětnou substituci 2 =2 ; 2 =4 Každá z těchto rovnic má dvě řešení. Dostáváme tedy = 2 ; = 1 ; =1 ; =2 Odtud určíme jednotlivé průsečíky = 2 ;2 = 1 ;0 =1 ;0 =2 ;2 Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezených průsečících. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Postupně to provedeme pro všechna odlišná řešení první rovnice. Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2. Jsme v oblasti záporných čísel, proto =2 2. Vypočteme = 2 ln2. Dosadíme = 2. Dostaneme = 2= 2 ln2= 2 ln2= 4ln2=ln2. Vypočteme = 2 2. Odtud =2 ln2 2=2+2ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln2 +2+2ln2 = ln Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =2+ 2=2 =. Normála tedy má rovnici = +2 = Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2. Jsme v oblasti záporných čísel, proto =4 2 =4 2 Vypočteme = 2 ln2 a dosadíme = 2. Dostaneme = 2= 2 ln2= 2 ln2= 2ln2=ln2. Vypočteme = 2 2. Odtud =2 ln2 2=2+2ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln ln2 =ln Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =2+ 2=2. Normála tedy má rovnici = +2 = +2 =

20 Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =arctgln2. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =arctgln2. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctgln2 arctgln2. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 1+tgtg = ln2 ln2 1+ln2 ln2 = 2 ln ln2 4ln2 = 2 ln ln2 4ln2 ln2 ln4 = 1+8ln2 = 1+8ln2 Odtud ln4 = =arctg 1+8ln2 Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Jsme v oblasti záporných čísel, proto =2 2. Vypočteme = 2 ln2. Dosadíme = 1. Dostaneme = 1= 2 ln2= 2 ln2= 2ln2=ln2. Vypočteme = 1 1. Odtud =0 ln2 1=0+ln2 =ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln2 +ln2 = ln2 +1. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =0+ 1=0+ =. Normála tedy má rovnici = = +1. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Jsme v oblasti záporných čísel, proto =4 2 =4 2 Vypočteme = 2 ln2 a dosadíme = 1. Dostaneme = 1= 2 ln2= 2 ln2= 4ln2=ln2. Vypočteme = 1 1. Odtud =0 ln2 1=0+ln2 =ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln2 + ln2 =ln2 +1. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme = Odtud =0+ 1=. Normála tedy má rovnici = = +1. Tečna k funkci má směrnici s hodnotouln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =ln2 Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =arctgln2. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctgln2 arctgln2. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. 20

21 Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 1+tgtg = ln2 ln2 1+ln2 ln2 = 2 ln ln2 2ln2 = 2 ln ln2 4ln2 ln2 ln4 = 1+8ln2 = 1+8ln2 Odtud ln4 = =arctg 1+8ln2 Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Jsme v oblasti kladných čísel, proto =2 2. Vypočteme =2 ln2. Dosadíme =1. Dostaneme = 1=2 ln2= 2ln2=ln2. Vypočteme =1 1. Odtud =0 ln2 1=0 ln2 = ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln2 ln2 =ln2 1. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =1+ 1. Odtud =0+ 1=0+ =. Normála tedy má rovnici = + = 1. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 1. Jsme v oblasti kladných čísel, proto =4 2 Vypočteme =2 ln2 a dosadíme =1. Dostaneme = 1= 2 ln2=2 ln2=4ln2=ln2. Vypočteme =1 1. Odtud =0 ln2 1=0 ln2 = ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln2 ln2 =ln2 1. Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =1+ 1. Odtud =0+ 1=. Normála tedy má rovnici = + = 1. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =ln2 Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =arctgln2. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctgln2 arctgln2. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 2 1+tgtg = ln2 ln2 ln 1+ln2 ln2 = 2 1+4ln22ln2 = ln2 ln4 1+8ln2 = 1+8ln2 Odtud ln4 = =arctg 1+8ln2 21

22 Bod = ; Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2 Jsme v oblasti kladných čísel, proto =2 2. Vypočteme =2 ln2. Dosadíme =2. Dostaneme = 2= 2 ln2= 2 ln2=4ln2=ln2. Vypočteme =2 2. Odtud =2 ln2 2=2 2ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln2 +2+2ln2 =ln Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =2+ 2. Odtud =2+ 2=2+ =. Normála tedy má rovnici = +2+ = 2+2. Tečna k funkci bude mít rovnici = +. Zde = 2. Jsme v oblasti kladných čísel, proto =4 2 Vypočteme =2 ln2 a dosadíme =2. Dostaneme = 2= 2 ln2=2 ln2=2ln2=ln2. Vypočteme =2 2. Odtud =2 ln2 2=2 2ln2. Rovnice tečny k funkci je tedy =ln2 +2 2ln2 =ln Normála k funkci bude mít rovnici = +. Vypočteme =2+ 2. Odtud =2+ 2=2+. Normála tedy má rovnici = +2+ = +2+ = 2+2. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =arctgln2. Tečna k funkci má směrnici s hodnotou ln2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou tedy platí tg=ln2, odtud =arctgln2. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je = =arctgln2 arctgln2. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg = tg tg 1+tgtg Dosadíme a dostáváme tg = tg tg 2 1+tgtg = ln2 ln2 ln 1+ln2 ln2 = 2 1+2ln24ln2 = ln2 ln4 1+8ln2 = 1+8ln2 Odtud ln4 = =arctg 1+8ln2 Celou situaci přibližuje obrázek (zobrazeny jsou jen tečny). 22

23 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 23

24 Příklad 3 Řešte následující úlohy a) Určete stranu čtverce, který musíme vystřihnout ve všech rozích obdélníkového papíru o rozměrech 8 5 cm tak, aby po složení vznikla krabička co největšího objemu. b) Nalezněte obdélník vepsaný do elipsy 4 +9 =36 maximálního obsahu, přičemž strany obdélníka mají být rovnoběžné s poloosami elipsy. c) Určete rozměry válcové nádoby s víkem tak, aby při objemu 5 litrů měla nádoba minimální povrch. Jaké by měla mít rozměry, byla-li by bez víka? d) Úsečku rozdělte na dvě části tak, aby součet obsahů čtverců sestrojených nad oběma částmi byl minimální. e) Ze všech obdélníků daného obsahu vyberte ten, jehož obvod je minimální. Lze nalézt takový obdélník s maximálním obvodem? f) Ze všech pravoúhlých trojúhelníků, jejichž součet délek odvěsen je roven 3, vyberte ten s největším obsahem. Jak vypadá takový trojúhelník s minimálním obsahem? g) Nalezněte válec největšího objemu vepsaný do koule o poloměru. h) Do půlkruhu o poloměru vepište obdélník maximální plochy. i) Z kruhového papíru o poloměru vystřihněte výseč tak, aby po jejím slepení vznikl kuželový kornout maximálního objemu. Jaký úhel svírala ramena výseče? Poznámka Všechny úlohy budeme řešit tak, že si ze zadání vytvoříme funkci popisující zkoumaný jev pomocí proměnné vyjadřující hodnotu, dle které chceme najít maximum či minimum. Pak v souladu se zadáním budeme hledat lokální extrém pomocí rovnice. První derivace v bodě tohoto lokálního extrému musí mít nulovou hodnotu. Řešení 3a Určete stranu čtverce, který musíme vystřihnout ve všech rozích obdélníkového papíru o rozměrech 8 5 cm tak, aby po složení vznikla krabička (bez víčka) co největšího objemu. Představu o této úloze nejlépe navodí obrázek povrchu krabičky před složením a složené krabičky. 24

25 Objem krabičky je dán vzorcem =. V našem případu budeme do vzorce dosazovat hodnoty =8 2 ; =5 2 ; =. Objem se tak stane funkcí proměnné. == Máme nalézt tak, aby obsah obdélníku byl co největší. Jde tedy o to, nalézt lokální extrém funkce. Budeme hledat takové, kdy derivace je nulová. Nejprve tedy derivujeme. = = = Nyní budeme řešit rovnici = = = =0 Odtud, = 13± = 13± = 13± 49 6 = 13±7 6 = 20 6 =10 3 =31 3 ; = 6 6 =1 První řešení nemá smysl, protože z kratší strany obdélníku nelze vystřihnout více, než je jeho délka. Proto jediným správným řešením je to, že v rozích obdélníku je třeba vystřihnout čtverec o stranách 1 cm. Řešení 3b Nalezněte obdélník vepsaný do elipsy 4 +9 =36 maximálního obsahu, přičemž strany obdélníka mají být rovnoběžné s poloosami elipsy. Situaci tohoto příkladu představuje obrázek. Z rovnice elipsy si vyjádříme hodnotu = =

26 Obdélník vepsaný do elipsy má délku 2 a šířku 2. Jeho plocha tedy je =2 2. V tomto vzorci nahradíme dříve zjištěným vyjádřením. Dostáváme tak plochu vyjádřenou jako funkci. == 2 2= = Máme nalézt tak, aby obsah obdélníku byl co největší. Jde tedy o to, nalézt lokální extrém funkce. Budeme hledat takové, kdy derivace je nulová. Nejprve tedy derivujeme. Nyní budeme řešit rovnici = Z výše uvedeného vzorce vypočteme = Plocha obdélníka tedy bude = = = = = = = =0 8 =36 = = 3 2 = = = =2 1 2 = 2 = = = = =24 2 =12 Vepsaný obdélník bude mít rozměry 2=3 2 ; 2=2 2 a jeho plocha bude =12. Řešení 3c Určete rozměry válcové nádoby s víkem tak, aby při objemu 5 litrů měla nádoba minimální povrch. Jaké by měla mít rozměry, byla-li by bez víka? V tomto zadání jsou skryty dvě úlohy. Nejprve budeme řešit úlohu s víčkem, potom úlohu bez víka. Pro obě úlohy využijeme stejnou symboliku i celý výpočetního postupu. Jediný rozdíl bude v započítání plochy víka do celkového povrchu. Zadání objemu z úlohy převedeme z 5 litrů na 5000 centimetrů krychlových, aby výsledek byl v centimetrech, což je běžnější délková jednotka, než decimetr. Situaci pro obě úlohy přibližuje obrázek. 2 26

27 Objem nádoby je dán vzorcem Odtud odvodíme výšku = =5000 = 5000 Dále si uvědomíme, že plocha podstavy válce je dána vzorcem pro plochu kruhu = Plocha stěny válce je dána vzorcem =2= =10000 Úloha s víkem =2 + == Vypočteme derivaci (pozor, proměnná je nyní ) = Povrch má být minimální, proto budeme hledat takový poloměr, aby derivace byla nulová. Řešíme rovnici = =0 4 =10000 Odtud dostáváme = = = 5000 = = = 2 4 = ,

28 Úloha bez víka = + == Vypočteme derivaci (pozor, proměnná je nyní ) = Povrch má být minimální, proto budeme hledat takový poloměr, aby derivace byla nulová. Řešíme rovnici = =0 2 =10000 Odtud dostáváme = = = 5000 = = = = Řešení 3d Úsečku rozdělte na dvě části tak, aby součet obsahů čtverců sestrojených nad oběma částmi byl minimální. Problematiku úlohy osvětlí obrázek. Plocha obou čtverců je == + =2 2+ Součet obsahu čtverců má být minimální, proto je třeba derivovat a hledat, kdy bude derivace nulová. Řešíme tedy rovnici =4 2=0 = 2 28

29 Řešení 3e Ze všech obdélníků daného obsahu S vyberte ten, jehož obvod je minimální. Lze nalézt takový obdélník s maximálním obvodem? Rozměry obdélníku jsou a, jeho plocha je = a jeho obvod je =2+. Z plochy vyjádříme = a dosadíme do vzorce pro obvod ==2+ Obvod má být minimální, budeme tedy hledat lokální extrém. Derivujeme a řešíme rovnici (proměnnou je v tomto případě ) =21 =0 1 =0 Odtud odvodíme = = = = = Nejmenší obvod tedy má čtverec. Obdélník s největším obvodem neexistuje. Řešení 3f Ze všech pravoúhlých trojúhelníků, jejichž součet délek odvěsen je roven 3, vyberte ten s největším obsahem. Jak vypadá takový trojúhelník s minimálním obsahem? Úlohu přiblíží obrázek Obsah trojúhelníku je v našem případě dán vzorcem == Máme najít trojúhelník s největším obsahem, budeme tedy derivovat a hledat případ, kdy je derivace nulová. = = =3 2 29

30 Odtud = 3 2 =0 = 3 2 Tento výsledek znamená, že největší obsah bude mít rovnoramenný trojúhelník. Nejmenší obsah bude mít za těchto podmínek trojúhelník degenerovaný v úsečku délky 3. Řešení 3g Nalezněte válec největšího objemu vepsaný do koule o poloměru R. Situaci na osovém řezu válcem znázorňuje obrázek. Poloměr válce je a je jeho poloviční výška. Vztah mezi základními rozměry je dán Pythagorovou větou. = Objem válce je dán vzorcem ( je poloviční výška) = 2 Dosadíme za a dostáváme objem jako funkci poloměru podstavy. == 2 =2 Protože hledáme největší možný objem, budeme derivovat (proměnná je ) a hledat, kdy je derivace nulová. = Nyní budeme řešit rovnici = =0 8 4 =0 8 4 = = =0 30

31 12 =8 3 =2 = 2 3 = 2 3 Nyní vypočteme poloviční výšku Celková výška válce je = 2 3 = 2 3 = = 2 3 = 1 3 2=2 1 3 Řešení 3h Do půlkruhu o poloměru vepište obdélník maximální plochy. Vztahy v úloze ozřejmí obrázek ( označuje polovinu délky jedné strany) Plocha obdélníka se zjistí podle vzorce =2, kde = Tedy můžeme plochu vyjádřit jako funkci proměnné. ==2 Hledáme maximum, takže budeme derivovat a hledat kdy je derivace nulová. 2 = = =0 2 2 =0 31

32 Odtud =0 2 =0 2 = = 2 = 1 2 = 2 = = 2 = 2 = 2 = Rozměry obdélníku a jeho plocha jsou 2= 2 ; = ; = 2 = Řešení 3i Z kruhového papíru o poloměru vystřihněte výseč tak, aby po jejím slepení vznikl kuželový kornout maximálního objemu. Jaký úhel svírala ramena výseče? Vztahy v úloze ozřejmuje obrázek, kde je plášť kužele v rozvinutém tvaru a osový řez kuželem. 2 Nejprve si uvedeme potřebné vztahy. Plocha pláště v rozvinutém tvaru (kruhová výseč). Povrch kužele Délka kruhového oblouku výseče Délka obvodu podstavy kužele = 2 = 2 = =2 2 = =2 32

33 Výška kužele Objem kužele = = Objem kužele chceme maximalizovat, budeme tedy hedat, kdy bude nulová derivace funkce, která objem vyjadřuje. Proměnnou bude vrcholový úhel kruhové výseče. Ze vztahů pro získáme závislost mezi oběma poloměry. =2 = 2 Budeme upravovat výraz pro objem tak, abychom v něm měli jen základní hodnoty, kterými jsou a. = = = = = = = 32 2 Nyní už můžeme zapsat objem jako funkci vrcholového úhlu výseče == 32 2 Tuto funkci budeme derivovat = = = Nyní budeme zjišťovat, kdy je tato derivace nulová = = =0 22 = = Jedním řešením je =0, toto řešení ale je řešením pro minimální objem. Ten nás nezajímá. 22 = 8 2 = 8 =3 33

34 Řešením tedy je = 8 3 = 8 3 =

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0 Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu,

. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu, Příklad Najděte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = +. ( + ) ( rostoucí v intervalech (, ) a 7, + ) klesající v intervalu ( ), 7 5 5 v bodě = 7 5 je lokální minimum 4. Najděte intervaly monotonie

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

V (c) = (30 2c)(50 2c)c = 1500c 160c 2 + 4c 3. V (c) = 24c 320.

V (c) = (30 2c)(50 2c)c = 1500c 160c 2 + 4c 3. V (c) = 24c 320. Domácí úkol č. 3 Řešení Pozn.: úhly, které se zdají být pravé, jsou ve všech obrázcích opravdu pravé. 1. Z kartonu je třeba vyříznout čtverce v rozích, viz obr. 1 a přehnout podle přerušovných čar. Krabice

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Goniometrické a hyperbolické funkce

Goniometrické a hyperbolické funkce Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d.

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST Příklad Vypočítejte určité integrály: a) +)d b) 5sin) d c) d d) d e) d f) g) d d h) tgd i) d j) d k) arctg) d l) d m) sin d n) ) d o) p) q) r) s) d d ) d d d t) +d u) d v) d ŘEŠENÉ

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na bájný zikkurat tvaru komolého kolmého jehlanu s větší podstavou u země vede

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací

Více

Základní škola Ruda nad Moravou. Označení šablony (bez čísla materiálu): EU-OPVK-MAT-8+9- Slovní úlohy

Základní škola Ruda nad Moravou. Označení šablony (bez čísla materiálu): EU-OPVK-MAT-8+9- Slovní úlohy Označení šablony (bez čísla materiálu): EU-OPVK-MAT-8+9- Slovní úlohy Číslo mate riálu Datum Třída Téma hodiny Ověřený materiál - název Téma, charakteristika Autor Ověřil 1. 2.5. 2012 VI.B I. Sestavení

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme

Více

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I .. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

1 Extrémy funkcí - slovní úlohy

1 Extrémy funkcí - slovní úlohy 1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

CVIČNÝ TEST 6. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 6. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 6 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Každý z n žáků jedné třídy z gymnázia v Přelouči se

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice Několik dalších ukázek: Eponenciální rovnice. Řešte v R: a) 5 +. 5 - = 5 - b) 5 9 4 c) 7 + = 5 d) = e) + + = f) 6 4 = g) 4 8.. 9 9 S : a) na každé straně rovnice musí být základ 5, aby se pak základy mohly

Více

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL . VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin

Více

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 48 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 3 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jsou dány intervaly A = ( ; 2), B = 1; 3, C = 0;

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Základní topologické pojmy:

Základní topologické pojmy: Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů 3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické funkce Autor: Ondráčková

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

CVIČNÝ TEST 19. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 19. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 19 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete, kolikrát je rozdíl čísel 289 a 255 větší než jejich součet.

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří

Více