2.7.7 Inverzní funkce

Transkript

1 77 Inverzní funkce Předpoklad: 0, 08 Pedagogická poznámka: Stihnout celý obsah této hodin za 5 minut znamená docela úprk, ale jak mám vzkoušené až na dokončení posledního příkladu je to zvládnutelné Pedagogická poznámka: Většina příkladů v této hodině (až na poslední dva) slouží spíše k dokumentování výkladu, proto ani já všechna zadání někd nepromítám nebo zadám jiná Co znamená slovo inverzní? Něco jako obrácená (Například inverze u počasí znamená, že ve všších polohách je všší teplota Normální stav je obrácený) Co bude znamenat inverzní obrácená funkce? Př : Je dána funkce = + Napiš tabulku hodnot této funkce pro pět hodnot proměnné ( { 0; ; 0;;0 } ) a nakresli její graf Jaký je význam funkce? = f je předpis, jak z jednoho čísla vrobit jiné, tak ab každému Funkce ( ) náleželo maimálně jedno (požadavek jednoznačnosti) Schéma přiřazování:

2 D(f) H(f) Inverzní (obrácená) funkce f ( ) - H(f ) = je funkce s obráceným směrem šipek Ted: - D(f ) prohodil se význam a, D( f ) a ( ) Platí: D ( f ) = H ( f ), H ( f ) D ( f ) = H f Pedagogická poznámka: Při práci s inverzními funkcemi je důležité neustále vědět, která funkce je původní a která je inverzní Proto je v celé hodině důsledně používána modrá barva pro původní funkce a červená pro funkci inverzní Př : Nakresli tabulku hodnot inverzní funkce, které odpovídají tabulce hodnot původní funkce z příkladu

3 Př : Do předchozího obrázku s grafem funkce = + dokresli graf inverzní funkce a vznač do něj, dvojice odpovídajících si bodů původní a inverzní funkce [;] [0;] [;] [-5;-] - [;0] - [-;-5] Které bod na obrázku jsou společné pro graf původní i inverzní funkce? ; Oba graf mají společný jediný bod [ ] Proč je bod [ ; ] společný pro oba graf? Má obě souřadnice stejné, jejich prohození se neprojeví Stejně se budou chovat všechn bod na přímce = Jaký je geometrický vztah mezi oběma graf? Oba graf jsou souměrné podle os = [;] [0;] [;] [-5;-] - [;0] - [-;-5] Eistují funkce, které jsou inverzní sam se sebou? Jsou to takové funkce, jejichž graf je souměrný podle os = Například = nebo = Př : Najdi předpis inverzní funkce k funkci = + Z grafu je zřejmé, že inverzní funkce je lineární Hledáme předpis: a b = + Pro dvě neznámé potřebujeme dvě rovnice

4 Vbereme si ted souřadnice bodů (viz tabulka), např:[ ;0 ];[ ;] a dosadíme do předpisu = a + b soustava: 0 = a + b = a + b Po odečtení rovnic: = a a = Dosadíme do první rovnice 0 = a + b 0 = + b b = Inverzní funkce má předpis: = Pedagogická poznámka: Pokud je trochu čas můžete chvilku podiskutovat o tom, které bod budou pro vpočet koeficientů lineární funkce nejvhodnější Pokud je naopak času málo, můžete předchozí příklad přeskočit a rovnou určit předpis prohozením neznámých v předpisu Jak najít předpis inverzní funkce rchleji? Inverzní funkce vznikne obrácením šipek, ted prohozením a prohodíme a i v předpisu funkce: Původní funkce: = + Prohodíme s : = + Potřebujeme tvar = musíme upravovat: = Výsledek: = Získali jsme stejný výsledek jako pomocí dosazování do předpisu lineární funkce Předpis inverzní funkce získáme prohozením a v předpisu původní funkce a úpravou na tvar = Má funkce = inverzní funkci? Už ji známe, jde o původní funkce = +, všechno potřebné jsme už vpočítali Inverze je vzájemný vztah dvou funkcí Je-li druhá funkce inverzní k první je i první inverzní k druhé Má každá funkce funkci inverzní? Musíme buď dokázat, že ano, nebo najít funkci, která nemá inverzní funkci Př 5: Zkus najít funkci, která nemá funkci inverzní Konstantní funkce = nemá funkci inverzní 0 Funkce k ní inverzní b měla tabulku:

5 i 0 i Toto není funkce K jednomu náleží více Konstrukce inverzní funkce zkrachuje u každé funkce, která k jednomu přiřazuje různá (po prohození a bchom jednomu přiřazovali různá a to už b nebla funkce) inverzní funkci můžeme nalézt pouze pro prosté funkce Př 6: Najdi další funkce, které nemají funkci inverzní = ; = atd Žádná sudá funkce nemá funkci inverzní Př 7: Rozhodni, zda platí, že všechn liché funkce mají funkci inverzní Neplatí Na obrázku je funkce, která je lichá, ale není prostá a tak nemá funkci inverzní - - Pedagogická poznámka: Je zajímavé, že skoro vžd se najde někdo, kdo poté, co se shodneme, že sudé funkce nemají funkce inverzní, nabídne liché funkce jako jistotu, ke které inverzní funkci najdeme Málokd se někomu podaří najít lichou funkci, která není prostá Teď už jsme objevili všechno, můžeme to přehledně shrnout Pro každou prostou funkci = f ( ) můžeme sestrojit prohozením a inverzní funkci = f ( ) Inverze je vzájemný vztah: funkce = f ( ) je inverzní k funkci = f ( ) a funkce = f ( ) je inverzní k funkci = f ( ) Platí: D ( f ) = H ( f ), H ( f ) D ( f ) = Graf navzájem inverzních funkcí jsou souměrné podle přímk = Předpis inverzní funkce získáme prohozením a v předpisu původní funkce a úpravou na tvar = 5

6 Př 8: Najdi inverzní funkci k funkci = Do jednoho obrázku sestroj její graf i graf funkce =, najdi D( f ) a H ( f ) pro obě funkce a zkontroluj, zda platí vztah pro obor inverzních funkcí Hledáme předpis inverzní funkce: Prohodíme a : = = + = = Z obrázku je zřejmé, že graf jsou souměrné podle přímk = Pro funkci = platí: D ( f ) = R, H ( f ) = R Pro funkci D f R H f = R = + platí: ( ) =, ( ) Vztah: D ( f ) = H ( f ) a H ( f ) D ( f ) = platí Pedagogická poznámka: Je nutné předchozí příklad řešit Část studentů totiž pořádně nezaregistruje, že je možné hledat předpis inverzních funkcí záměnou proměnných a opět ji hledají jako lineární funkci pomocí dvou bodů Snažím se je ohlídat Př 9: Najdi inverzní funkci k funkci = + Do jednoho obrázku sestroj její graf i graf funkce = +, najdi D( f ) a H ( f ) pro obě funkce a zkontroluj, zda platí vztah pro obor inverzních funkcí Hledáme předpis inverzní funkce: Prohodíme a : = = + = + 6

7 = - - Z obrázku je zřejmé, že graf jsou souměrné podle přímk = Pro funkci = + platí: D ( f ) = R { 0}, H ( f ) = R { } Pro funkci = platí: ( D f ) = R { }, H ( f ) = R { 0} D f H f H f = D f platí Vztah: ( ) = ( ) a ( ) ( ) Př 0: Petáková: strana /cvičení 89 a) b) e) strana /cvičení 90 a) b) d) e) Shrnutí: Pokud je funkce prostá a prohodíme směr šipek v jejím předpisu, získáme funkci inverzní 7