Závěr. Obsah. Literatura DIFERENCIÁLNÍ POČET VE FYZICE

Transkript

1 Záěr Tento studijní tet si kladl za úkol seznámit ás se základ diferenciálního počtu e fzikálních úlohách rozsahu pro úplné začátečník Vzhledem k tomu, že fzikálních aplikací použíajících diferenciální počet ke sému řešení je elké množstí, umístili jsme ještě celou řadu úloh na přiložený CD ROM, kde je zadání úloh případě, že bste si s řešením úloh neěděli rad, stačí kliknout na odkaz řešení Na CD ROMu je k jednotliým částem ueden také stručný teoretický ýklad CD ROM ám umožní samostatně se učit řešit úloh z fzik pomocí diferenciálního počtu jsou uedena podrobně se šemi patřičnými úpraami CD ROM dále také obsahuje další celk souisejících elmi úzce s infinitezimálním počtem a pro získání šeobecného přehledu je zde také prezentace popisující ztah matematik a fzik z historického hlediska až po současnost Přejeme mnoho úspěchů a pěkné matematické a fzikální zážitk při studiu těchto materiálů Literatura [] Gillman, L Dowell, R: Matematická analýza SNTL, Praha, 983 [] Kejla, F a kol: Matematika pro SPŠ - III díl SNTL, Praha, 955 [3] Taraso, N, P: Základ šší matematik SNTL, Praha, 954 [4] Baník, I Baník, R Zámečník, J: Fzika netradičně - mechanika Alfa, Bratislaa, 989 [5] Polák, J: Přehled středoškolské matematik SPN, Praha, 99 [6] Ungermann, Z: Matematika a řešení fzikálních úloh SPN, Praha, 990 [7] CD ROM - Matematika a fzika (Příloha tetu) Obsah DIFERENCIÁLNÍ POČET VE FYZICE Studijní tet pro řešitele FO a ostatní zájemce o fziku Miroslaa Jarešoá Io Volf Úod 3 Pojem deriace funkce 5 Deriace 5 Diferenciál funkce 5 3 Význam deriace jako fzikální eličin 5 Příklad olný pád 6 4 Deriace elementárních funkcí 7 5 Praidla pro deriaci funkcí 8 6 Deriace součtu, rozdílu, součinu, podílu dou funkcí 8 Příklad deriace funkcí 9 7 Deriace složené funkce 0 Příklad 3 deriace složené funkce 0 8 Druhá deriace 9 Parciální deriace 0 Deriace ektoroé eličin 3 Příklad 4 parametrické ronice 4 Etrém funkcí 6 Geometrický ýznam deriace 6 Určoání etrémů funkcí 7 Lokální etrém 9 Příklad 5 lokální etrém 9 3 Užití diferenciálního počtu e fzice 3 Užití diferenciálu funkce Příklad 6 absolutní a relatiní odchlka ýpočtu obsahu čterce Příklad 7 matematické kadlo 3 Deriace ektoroé eličin 3 Příklad 8 trajektorie pohbu 3 Příklad9 rhšikmozhůru 4 33 Úloh edoucí ke zjišťoání lokálních etrémů funkcí 7 Příklad 0 porch nádob 7 3

2 rázu (srážce) Ukažte, že nárůst kinetické energie částice o hmotnosti m bude maimální, jestliže se před srážkou pohboala rchlostí 0 = (m m ) m Při řešení předpokládejte, že ráz je dokonale pružný Označme u, u rchlosti částic o hmotnostech m, m po srážce Při srážce platí zákon zachoání hbnosti m + m = m u + m u a zákon zachoání mechanické energie (zhledem k tomu, že srážka je dokonale pružná) m + m = m u + m u Tím jsme dostali soustau dou ronic o dou neznámých u, u V dalším postupu budeme potřeboat nalézt neznámou u Soustau ronic upraíme na tar m ( u ) = m (u ), m ( u ) = m (u ) Dále druhou ronici dělíme prní a upraíme u u = u, u + u = u + Z poslední ronice jádříme u = + u Po dosazení za u do prní ronice dostaneme z čehož m + m = m u + m ( + u ), u = (m m ) +m m + m Změna kinetické energie Úod Diferenciální a integrální (infinitezimální) počet se dnes použíá mnoha aplikacích, předeším přírodních a technických ědách Již Archimédes ze Srákús (asi 87 přnl) e spise De mechanicis propositionibus ad Eratosthenem methodus (O metodě mechanick ododitelných ět), který ěnoal sému příteli Eratosthénoi (76 přnl 94 přnl), užíal metod elmi blízkých integrálnímu počtu Tento spis bl nalezen až roce 906 Vlastní infinitezimální počet s celým aparátem smbolů, zorců a metod nalezli koncem 7 století současně i kdž různé formě německý matematik a filozof Gottfried Wilhelm Leibniz (646 76) a anglický badatel, matematik a fzik Isaac Newton (643 77), Leibniz spíš z hlediska geometrického užití, naopak Newton spíše z hlediska užití e fzice Leibnizoi přísluší formálně priorita, i kdž se o tom edl elmi prudký spor Z terminologie a smbolik od Leibnize se toho také zachoalo mnohem íce než od Newtona; naše dnešní označoání zejména značka integrálu pochází od Leibnize V diferenciálním počtu má Leibnizoo jméno ztah pro ýpočet n-té deriace součinu dou funkcí = u, kdeu, jsou funkce proměnné Vztah sým tarem připomíná binomickou ětu (pro celisté eponent): (n) = u (n) + ( n ) ( u (n ) n + ) u (n ) + + ( n n ) u (n) Práce obou zakladatelů diferenciálního a integrálního počtu šak neznikl jako blesk z čistého nebe, ale naázal na řadu sých předchůdců Mezi nejýznamnější patřili předeším francouzští matematici René Descartes ( ), který zaedl pojem funkce, Pierre de Fermat (60 665), Newtonů učitel Isaac Barrow ( ) a řada dalších Mezi další matematik, kteří se zasloužili o rozoj infinitezimálního počtu, patří předeším šýcarští matematici Leonhard Euler ( ), bratři Jacob Bernoulli ( ) a Johann Bernoulli ( ) a francouzský matematik Joseph Louis Lagrange (736 83) Zajímaé je, že předeším Euler zaujal k Leibnizou integračnímu znaménku kritické stanoisko Euler prohlašuje Institutiones calculi integralis (768), že znaménko, které ačkoli se žilo, je nehodné, neboť nestihuje pojem integrálu jako primitiní funkce, jak bl té době předmětem úah Výoj šak postupně spěl k tomu, definoat Toto znaménko zniklo roce 675 přeměnou ze sumačního znaménka S Leibniz nazal integrální počet skutečně calculus summatorius 30 3

3 4 krok Výraz pro další postup řešení úloh bude jednodušší, kdž jádříme neznámou h: h = K r, než kdbchom jadřoali r Potom ( S = π r + K ) r Nní už můžeme říci, že se nám podařilo zformuloat matematický problém: hledat minimum funkce S pro r>0 Funkci S nní zderiujeme podle r: ds dr = π Pak položíme ds dr =0Dostaneme odtud ( r K r ) r 3 = K r = 3 V π, h = K r = r Dalším ýpočtem musíme zjistit, zda se jedná o lokální maimum nebo lokální minimum funkce S V příkladu 5 jsme si ukazoali dě možnosti, jak lze toto zjistit, m tomto případě použijeme ýpočet pomocí druhé deriace Platí d ( S dt =π + K ) r 3 > 0, protože r>0 Vpočtené r = 3 K je ted lokálním minimem funkce S Příklad pohb automobilů Ve čtři hodin odpoledne jelo auto A rchlostí 60 km h ke křižoatce zdálené 5 km na ýchod Ve stejném okamžiku projede po této křižoatce auto B rchlostí 30 km h na seer (obr 7) Kd budou tato auta nejblíže k sobě a jaká bude mezi nimi zdálenost? 8 A c s B 0 Obr 7 Pohb automobilů Pojem deriace funkce Deriace a integrál jsou matematické pojm, které mají jak matematice, tak e fzice nezastupitelné uplatnění Podíejme se nní, jakým způsobem je deriace funkce zaedena Deriace Pod pojmem deriace rozumíme ýraz tpu d d = lim Δ Δ 0 Δ Pokud jsou eličin a ázané funkční záislostí = f(), je možno deriaci psát e taru d d = lim Δ 0 f( +Δ) f() = Δ Deriace je ted limita podílu dou přírůstků Δ aδ Je šak třeba zdůraznit, že toto má smsl jen případě, že eličin a jsou nazájem ázán nějakou funkční záislostí = f() ds Pokud bchom e fzice uažoali např podíl,kdeds je diferenciál dt dráh, kterou hmotný bod urazí za časoý interal dt, mátentopodílrozumný a konkrétní smsl, protože určuje elikost okamžité rchlosti hmotného bodu Diferenciál funkce Nekonečně malá eličina diferenciál eličin je eličina, kterou označujeme df Diferenciál df funkce f je za předpokladu, že eistuje deriace f ( 0 )dán ýrazem df = f ( 0 )( 0 ) Diferenciál hmotnosti označujeme dm, df síl, atd 3 Význam deriace jako fzikální eličin Připomeňme si, jak mechanice měříme průměrnou a okamžitou rchlost Průměrná rchlost je definoána jako podíl přírůstku dráh ds a časoého interalu dt, tj p = Δs Δt 5

4 [ ] a n = a a t = g g( 0 sin α gt) = g 0 g ( ) g = g ( ), a n = g = g 0 cos α Nakonec a n = g 0 cos α b) Hledáme místo na trajektorii pohbu, kde je tečná složka zrchlení rona nule Má ted platit a t =0, g( 0 sin α gt) =0, 0 g z čehož 0 sin α gt =0 Ztohot = 0 sin α Tento ztah určuje nejšší bod trajektorie (doba stoupání) g Tečná složka zrchlení je ted rona nule nejšším bodě trajektorie (rchol parabol) Poznámka K tomuto záěru lze také dospět na základě jednoduché úah: zhledem k tomu, že hledáme místo, kde je tečná složka rona nule, musí tomto místě být normáloá složka a n = a = g Toto je ale splněno pouze nejšším bodě trajektorie, tj rcholu parabol Toto bla ukázka dou úloh zaměřených na práci s ektoroými eličinami a jejich deriacemi Další úloh na užití diferenciálu funkce jsou ueden na CD ROMu 4 Deriace elementárních funkcí V dalším tetu, pokud ýsloně neuedeme jinak, budeme uažoat, že máme funkce proměnné, pak budeme deriaci funkce podle proměnné označoat čárkou Pokud bchom derioali podle jiné proměnné než a neblo zřejmé, podle jaké proměnné se deriace proádí, použijeme způsob zápisu deriace pomocí diferenciálů V předcházející části jsme si ukázali, jak lze ze ztahu s = gt pro dráhu olného pádu ododit ztah pro ýpočet elikosti okamžité rchlosti olného pádu = gt Okamžitou rchlost jsme početli jako deriaci dráh podle času Podíejme se teď na deriaci funkce z hlediska matematik Zkusme zderioat kadratickou funkci = podle Deriaci funkce podle matematice běžně značíme = d d Můžeme ted počítat =, +Δ =( +Δ) Potom Δ =( +Δ) =(Δ +Δ)Δ Po úpraě a proedení limitního přechodu dostaneme Δ = lim Δ 0 Δ = lim Δ 0 ( +Δ)Δ Δ Je ted =( ) = Podobným postupem bchom mohli zjistit, že =,( 3 ) =3,( 4 ) = =4 3,( 0 ) = =0 Platí ted pro deriaci mocnin ztah n = n n Obdobně bchom mohli ukázat, že pokud se před derioanou funkcí sktuje konstanta, stačí ji při deriaci tknout Ukažme si to na následujícím příkladu: = , = = +6 Uědomme si ještě jednu ěc, kterou jsme použili při řešení předchozího příkladu, aniž jsme si to uědomili: součet deriujeme tak, že deriujeme postupně jednotlié člen a še pak zase jádříme e taru součtu Obdobným způsobem b blo možno ododit i další praidla pro deriace funkcí, m už si je pouze uedeme a naučíme se je použíat 6 7

5 = B cos ωt cos ωt = B Použitím součtoého zorce dostaneme B =cos ωt sin ωt, dále pak použitím ztahu sin ωt +cos ωt =dostaneme B =cos ωt Po dosazení za cos ωt = do ýše uedené ronice dostááme A B = A, A B = A, Dostali jsme ronici parabol = A B + A b) Nejpre určíme složk jednotliých rchlostí, tj = d dt = d (A cos ωt) = Aω sin ωt, dt = d dt = d (B cos ωt) = Bω sin ωt dt Velikost rchlostije pak dána ztahem = + = ( Aω sin ωt) +( Bω sin ωt), po úpraě = Aω sin ωt + 4B A cos ωt Příklad 9 rh šikmo zhůru Hmotný bod ržený šikmo zhůru počáteční rchlostí o elikosti 0 pod eleačním úhlem α se pohbuje po parabole (pokud zanedbááme odpor prostředí) Pohb parabol je popsán ronicí = r 0 t i cos α + ( 0 t sin α ) gt j Určete a) okamžitou rchlost, normáloé a tečné zrchlení, které má hmotný bod liboolném místě trajektorie, b) místo na trajektorii, kde je tečné zrchlení rono nule Je-li naíc daném bodě 0platí ( ) u = u u Poznámka Speciálním případem deriace součinu dou funkcí, který je prai elmi často užíaný, je situace, že jedna z funkcí je konstantní (deriace konstant je rona nule) Pak deriaci proádíme tím způsobem, že konstantu c tkneme a deriujeme pouze druhou funkci, tj Příklad deriace funkcí Určete deriace následujících funkcí: =5 4 3, 4 = 9 5, 3 = (c u) = c u = =0 3 6 ( ) 4 = 7 5 = = ( ) 3 ( ) ) 3 3 = ( 7 = Další řešené příklad k procičení technik derioání a úloh k samostatné práci (s odkazem na úplné řešení) jsou ueden na přiloženém CD ROMu části Diferenciální počet e fzice 4 9

6 3 Užití diferenciálního počtu e fzice V této části si ukážeme, jak je ýše uedené poznatk z diferenciálního počtu možno použít při řešení úloh 3 Užití diferenciálu funkce V prní kapitole jsme si ukázali, že diferenciál znikne záměnou přírůstku Δ diferenciálem d Na záměně přírůstku Δ diferenciálem d je také založeno odození přibližných zorců (iz CD ROM), kterých se často užíá prai M se ale této části tetu zaměříme spíš na aplikace e fzice Příklad 6 absolutní a relatiní odchlka ýpočtu obsahu čterce Vpočítejte absolutní a relatiní odchlku pro obsah čterce o straně a =(4,5 ± 0,0) cm Místo přírůstku ΔS obsahu čterce budeme počítat jeho diferenciál Platí S = a, S = ds da =a, ds = S (a)da =ada Po dosazení dostaneme (ΔS =ds) ΔS =ds = 4,5 0,0 cm =0,085 cm, což je zároeň absolutní odchlka Relatiní odchlka δs = ds 00% = 0,47% S Obsah čterce pak můžeme psát e taru S =(a ± ada) =(8,06 ± 0,09) cm Příklad 7 matematické kadlo Doba ku matematického kadla τ je dána ztahem l τ = π g O kolik se změní τ, změní-lisedélkal = 00 cm o 0,5 cm(g =9,8 m s )? Jedná se o složenou funkci: = u, u = a Použitím zorce pro deriaci složené funkce obdržíme = u u = a (a ) = a ( ) = a Způsob zápisu derioání složené funkce, který jsme až doposud použíali, je elmi nehodný Na tomto příkladu si ukážeme mnohem jednodušší způsob zápisu Mějme dánu funkci = a Ihned je idět, že je to složená funkce Nahradíme si duchu ýraz a pod odmocninou proměnnou u, deriujeme podle proměnné u = a a násobíme deriací u podle proměnné, tj ýrazem (a ) Dostaneme = a (a ) = a Nakonec, pokud už si techniku derioání íce osojíte, je možno zjednodušit i poslední způsob zápisu tím, že necháme součinitele (a ) a dosadíme za něj ýsledek derioání základu a : = a ( ) = a Další řešené příklad k procičení technik derioání složené funkce a úloh k samostatné práci (s odkazem na úplné řešení) jsou ueden na přiloženém CD ROMu části Diferenciální počet e fzice 8 Druhá deriace Kromě prní deriace se e fzice často setkááme i s druhou deriací (popř i ššími) Jedná-li se např o funkci proměnné, pak druhou deriaci označujeme jako d nebo d Druhý způsob zápisu je hodné použíat případech, kd nederiujeme podle proměnné Pak bchom e ýše uedeném zápisu nahradili proměnnou jinou proměnnou (může to být např t)

7 Pomocí druhé deriace: = d d (3 +3 )=3 +6 Další postup b bl takoý, že do takto počtené druhé deriace postupně dosadíme za určené hodnot,, 3 a určíme znaménko druhé deriace Pokud jde pro daný bod > 0, bude se jednat o lokální minimum, bude-li < 0, bude se jednat o lokální maimum, a pro = 0 můžeme dostat infleníbodted (0) = =0, ( 3) = 3 ( 3) +6 ( 3) = 7 8 = 9 > 0 Pro = 0 jsme dostali inflení bod, pro = 3 nastáá lokální minimum Zjistíme, jak padají funkční hodnot nejbližším okolí zjišťoaného bodu Pro =0je(0) = 0 Pro a = 0,5 je( 0,5) = 0,09, pro b =0,5 je (0,5) = 0,4 Je ted pro a <( a ) <() apro< b () < ( b ) Daná funkce je ted okolí bodu =0rostoucí,atedbod =0 je inflením bodem dané funkce Pro = 3 je( 3) = 6,75 Pro c = 3,5 je( 3,5) = 5,359 Pro d =,5 je(,5) = 5,859 Je ted pro c <( c ) <(), a pro > d je () <( d ) Funkce ted pro = 3 nabýánejmenší hodnotu, jedná se ted o lokální minimum K doplnění našeho postupu si ještě nakresleme graf ýše uedené funkce 6 Poznámka Ve fzice elmi často také použíáme různá zjednodušení zápisů deriací S jedním z nich už jsme se setkali deriaci podle souřadnice jsme zapisoali pomocí čárk, tj např = d d, = d Další zjednodušení, které se roněž d často použíá je zápis deriace podle času pomocí teček, tj např ẏ = d dt, ÿ = d dt 0 Deriace ektoroé eličin Chceme-li např kinematice popsat polohu hmotného bodu prostoru, zaádíme r eličinu polohoý ektor Polohoýektor určuje polohu hmotného bodu zhledem zolenému ztažnému bodu obkle počátek sousta souřadnic Polohoý ektor hmotného bodu prostoru zhledem r k počátku praoúhlé sousta souřadnic je možno pomocí praoúhlých souřadnic j uedeného bodu prostoru (iz obr ) jádřit ztahem A r = i + j + zk, kde i, j, k jsou jednotkoé ektor e směru souřadnicoých os, přičemž r = r = + + z k j 0 i r i 3 0 z zk Obr Polohoý ektor r Potom můžeme rchlost pohbu hmotného bodu definoat ztahem 6 Obr 6 Graf funkce = Dále pak můžeme psát = dr dt = i + j + z k = d dt i + d dt j + dz dt k 3

8 Ve fzice se často setkááme s úlohami tpu, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající a kd tato funkce nabýá etrémních hodnot: maima nebo minima Ukážeme si souislost těchto úloh s deriacemi příslušné funkce Budeme uažoat, že šechn funkce, kterými se budeme zabýat, jsou spojité Intuitině to lze chápat tak, že funkci lze na daném interalu zobrazit spojitou křikou (což si lze předstait tak, že křika není daném interalu žádném bodě přerušená) Z předchozí kapitol už íme, že pokud daném bodě 0 eistuje tečna, je její směrnice tg α dána hodnotou deriace bodě 0,tjplatí tg α = f ( 0 ), kde α (0 ; 80 ) je směroý úhel příslušné tečn Připomeňme si, že je-li úhel α (0 ;90 ), je f ( 0 ) > 0 a daná funkce je bodě o souřadnici 0 (na obr 4 bod A 4 ) rostoucí Bude-li úhel α (90 ; 80 ), je funkce daném bodě (bod A 9 na obr 5) klesající Je-li funkce na daném interalu rostoucí nebo klesající, říkáme, že funkce je na tomto interalu monotónní M se budeme zabýat situací, kd platí f ( 0 ) = 0, na obr 4 tomu odpoídají bod A, A 3, A 5, A 6 V těchto bodech má daná funkce lokální etrém, přesněji řečeno buď lokální maimum nebo lokální minimum Zláštní situace (kd je f ( 0 )=0)nastáá bodě A 0 na obr 5 Zde je prní A 0 deriace funkce rona nule, a přesto nenastane lokální etrém Tento bod se nazýá inflení bod 0 A 9 α Obr 5 Inflení bod Pokud bchom se podíali znou na obr 4, zjistíme, že je tam jeden bod A 7, kde je funkce špičatá tomto bodě funkce nemá deriaci je idět, že pokud bchom chtěli tomto bodě sestrojit tečnu, nelze to udělat jednoznačně (jinak b padala tečna, pokud bchom se blížili k tomuto bodu zlea a jinak zpraa) kde k je konstanta Dráha uražená hmotným bodem čase t je délka úsečk a je dána ztahem s = + = (kt ) +(0,05 0,75kt ) () Konstantu k určíme z podmínk, že čase t =sjes =0,04 m Po dosazení do ronice () a umocnění dostaneme 0,04 =6k +(0,05 3k), po úpraě znikne kadratická ronice 5k 0,3k +0,03 =0, jejímž řešením dostaneme číselnou hodnotu k = 0,006 Po dosazení za k do ronice () dostaneme parametrické ronice hmotného bodu =0,006t, =0,05 0,0045t b) Souřadnice rchlosti pohbu hmotného bodu určíme pomocí deriací souřadnic, tj = d dt = d dt (0,006t )=0,0t, = d dt = d dt (0,05 0,0045t )= 0,009t Velikost rchlosti je pak číselně dána ztahem = + = (0,0t) +( 0,009t) =0,05t Rchlost za s od začátku pohbu pak je =0,05 m s =0,030 m s Číselné hodnot souřadnice zrchlení pohbu hmotného bodu dostaneme pomocí deriací souřadnic rchlosti pohbu, tj a = d = d d dt (0,0t)=0,0, a = d df = d ( 0,009t) = 0,009 dt Velikost zrchlení je pak dána ztahem a = a + a =0,05 m s Velikost zrchlení je konstantní a má hodnotu 0,05 m s Další řešené příklad k deriaci ektoru a úloh k samostatné práci (s odkazem na úplné řešení) jsou ueden na přiloženém CD ROMu části Diferenciální počet e fzice 8 5

9 Etrém funkcí Geometrický ýznam deriace Nechť je dána liboolná křika Nní určíme tečnu k této křice liboolně zoleném bodě M Abchom stanoili tečnu bodě M k dané křice, budeme postupoat takto: kromě bodu M si na křice zolíme ještě bod M (iz obr ), různý od bodu M a určíme sečnu MM Bude-li se bod M pohboat po křice, pak se bude sečna MM otáčet kolem bodu M M Tečnou křik bodě M se nazýá limitní poloha sečn MM, kdž se bod M, který se pohbuje po křice, blíží bodu t M Je-li křika určena ronicí = f(), potom k nalezení její M tečn bodě M =[, ] stačí znát směrnici této tečn 0 Nní se podíáme, jak je možno nalézt směrnici tečn ke Obr Určení tečn křik křice bodě M Zětšíme-li souřadnici bodu M o přírůstek Δ, přejdeme tak k bodu M se souřadnicemi +Δ, +Δ = = f( +Δ) (iz obr 3) Směrnici sečn MM, která je rona tg ϕ, určíme z praoúhlého trojúhelníka MNM Jeho oděsna MN má elikost přírůstku Δ souřadnice bodu M a oděsna NM je odpoídajícím přírůstkem souřadnice : NM = Δ, Δ = f( +Δ) f() 0 ϕ α M ϕ t Δ M N Δ Obr 3 Určení směrnice tečn křik 6 To ale znamená, že tg ϕ = Δ Δ f( +Δ) f() = Δ Bude-li se bod M pohboat po křice k bodu M, potom přírůstek Δ se bude zmenšoat, až se bude blížit nule Proto je třeba při hledání směrnice tečn nalézt limitu podílu Δ pro Δ 0 Označíme-li α úhel, který sírá Δ tečna s osou, dostaneme ýsledek: Δ tg α = lim Δ 0 Δ = lim Δ 0 f( +Δ) f() Δ Δ Protože lim Δ 0 Δ = d d je deriací = f () funkce = f(), můžeme říci, že směrnice (tg α) tečn je deriací souřadnice = f() podle souřadnice bodě M Je-li směrnice tečn =tgα>0, budeme říkat, že daná funkce je rostoucí, je-li naopak směrnice tečn < 0, je daná funkce klesající Pokud b nastala situace, že daná funkce má určitém bodě deriaci ronou nule, tj =0, hoořímeotom,žedanáfunkcemůžemíttomtobodělokální etrém nebo inflení bod Hledáním podmínek, kd má funkce lokální etrém, nebo inflení bod, se budeme zabýat níže uedené kapitole Určoání etrémů funkcí A A 0 A 3 A 5 A α 4 Obr 4 Etrém funkce 7 A 6 A 7 A 8

10 Ve složkách je možno psát = d dt ; = d dt ; z = dz dt Jestliže jsou, a z souřadnice rchlosti, pak elikost rchlosti můžeme určit pomocí ztahu = + + z Dále je možno také určit zrchlení pohbu, které můžeme definoat ztahem = dt = d dt Výše uedený ztah pro zrchlení pohbu je možno dále rozepsat = a + a + a z = d dt + d dt + d z dt = d dt + d dt + d z dt k Ve složkách je možno psát a = d dt = d dt ; a = d dt = d dt ; a z = d z dt = d z dt Analogick jako předchozím případě je možno pro elikost zrchlení psát = a = a + a + a z Nní si ukážeme, jak ýše uedené poznatk použít při řešení úloh Příklad 4 parametrické ronice Hmotný bod se pohbuje roině ronoměrně zrchleným přímočarým pohbem, jehož trajektorie pohbu je číselně dána ronicí = 0,05 0,75 Včase t = 0 s se hmotný bod nachází místě o číselných souřadnicích [0; 0,05] (údaje jsou metrech) a jeho počáteční rchlost je 0 =0m s Za s od začátku pohbu urazí hmotný bod dráhu 0,04 m Určete a) parametrické ronice pohbu hmotného bodu, b) elikost rchlosti a elikost zrchlení záislosti na čase nejpre obecně, pak za s od začátku pohbu a) Vzhledem k tomu, že pohb hmotného bodu je ronoměrně zrchlený s nuloou počáteční rchlostí, můžeme psát parametrické ronice číselně e taru = kt, =0,05 0,75kt, () Shrnutí Etrém spojité funkce, která je definoaná na liboolném interalu, můžeme nalézt mezi následujícími bod: Krajní bod námi uažoaného interalu: na obr 4 tomu odpoídají bod A a A 8 V případě obr 4 je idět, že bodě A nastáá minimum (říkáme také globální minimum) Toto ošem platí, je-li uažoaný interal uzařený Je-li daný interal oteřený, krajní bod nepřipadají úahu Bod, nichž neeistuje deriace: na obr 4 tomu odpoídá bod A 7 3 Bod, nichž je prní deriace rona nule Zde jsme ale zatím neřešili problém, jak zjistit, máme-li počtenou -oou souřadnici, zda tomto bodě bude lokální maimum, lokální minimum, nebo zda se nejedná o inflení bod Lokální etrém V předcházející části jsme dospěli k záěru, jak najít bod, e kterých mohou eistoat lokální etrém funkce, ale neřešili jsme problém, jak šetřit přesněji, o jaký druh lokálního etrému se jedná Na následujícím příkladu se pokusíme nalézt postup, jak tto lokální etrém blíže určit Příklad 5 lokální etrém Nalezněte lokální etrém funkce: f : = Určíme prní deriaci funkce : = d ( ) 4 d = 3 +3 = ( +3) Nní položíme prní deriaci ronou nule: =0Dostaneme ( +3)=0, z čehož, =0, 3 = 3 Nní máme dě možnosti (obě se použíají), jak blíže určit o jaké lokální etrém se jedná 4 9

11 Pod druhou deriací rozumíme funkci, kterou získáme deriací funkce d d (zkráceně ) podle její proměnné ( tomto případě ) Platí 9 Parciální deriace ( ) d d = d d = d d = d d Spojmemparciální deriace se setkááme u funkcí íce proměnných Mějme například funkci u = + 3, kde a jsou nezáisle proměnné a u je záisle proměnná eličina Funkci u(, ) můžeme derioat buď podle proměnné nebo podle proměnné Postup deriace a zápisu deriací padá následoně: Shrnutí Lokální etrém funkce šetřujeme pomocí následujícího postupu: Vpočteme prní deriaci dané funkce Položíme prní deriaci funkce ronou nule a počteme hodnot 0,pro které je prní deriace funkce rona nule 3 Vpočteme druhou deriaci funkce 4 Dosadíme hodnot 0 počtené bodě do druhé deriace 5 Je-li ( 0 ) > 0, nastáá lokální minimum, je-li ( 0 ) < 0, nastáá lokální maimum Je-li ( 0 ) = 0, můžeme dostat inflení bod Poznámka Výpočet druhé deriace není nutné žd proádět, některých případech stačí poronat funkční hodnot bodů okolí bodu, němž je prní deriace rona nule, tak, jak jsme si ukázali příkladu 5 u = ( + 3 )=4, u = ( + 3 )=3 Jestliže deriujeme podle proměnné, poažujeme přitom eličinu za konstantu a naopak, kdž deriujeme podle proměnné poažujeme eličinu za konstantu Tak, jako jsme zaedli druhou deriaci funkce jedné proměnné, je možno také zaést druhé parciální deriace (mohou být i smíšené) Více informací o smíšených parciálních deriacích je uedeno na CD ROMu jako příloze k tomuto tetu část Diferenciální počet e fzice M se tomto tetu parciálními deriacemi zabýat nebudeme tato problematika překračuje rámec tohoto tetu, který je určen přeážné míře pro začátečník S parciálními deriacemi( se můžetesetkatefzicenapř ulnění t (ronice postupné ln = m sin π T je funkcí dou proměnných a λ) t, chceme-li tuto funkci derioat, je tomto případě již nutné zapsat deriaci jako parciální) nebo i při popisu fzikálních polí (např eličina intenzita elektrického pole je šeobecně funkcí souřadnic a může být zároeň i funkcí času) Je třeba si ošem uědomit, že jinak se choá např mocninná funkce se sudým a jinak s lichým eponentem Proto je nutno použíat opatrnější formulaci můžeme dostat místo pouhého dost často běžně použíaného dostaneme Pokud bchom např šetřoali funkci = 4, což je sudá funkce, je = 4 3 Po zderioání je ted =0pro = 0 Proedeme-li druhou deriaci, tj = a dosadímeli za =0,cožje, prokteréje =0,obdržíme = 0 Očekáali bchom, že bodě, kde je = 0, dostaneme inflení bod Ošem z průběhu funkce = 4 je zřejmé, že pro =0 nastalo lokální minimum Zcela jiná situace je u mocninné funkce s lichým eponentem, tj např funkce = 3,kde bodě =0je = 0 V tomto bodě platí, že i = 0 V tomto případě dostaneme inflení bod

12 7 Deriace složené funkce Mějme např funkci =lnsin Je to logaritmická funkce, jejíž argument není nezáisle proměnná nýbrž funkce sin této proměnné Funkce tohoto tpu nazýáme složenými funkcemi Nní nahradíme sin písmenem u Potom =lnu, kdeu =sin Zaedli jsme pomocnou proměnnou u a jádřili funkční záislost na u a u na Jestliže analogick záislosti = + označíme + písmenem u, jádříme tím i tuto záislost jako záislost na u a u na Jestliže obecně určíme pro danou funkci proměnné záislost na pomocné proměnné u a proměnné u na, tjjestliže = f(u), kdeu = ϕ(), potom takoáto záislost na určuje funkci funkce, čili složenou funkci Jestliže záislosti = f(u) nahradímeu pomocí ϕ(), získáme ztah = f[ϕ()] Na tomto způsobu zápisu ihned idíme, že argumentem funkce f není nezáisle proměnná, nýbrž funkce ϕ() Nní si ještě ukážeme, jak takoou funkci derioat Je-li = f(u), u = ϕ(), potom deriace podle proměnné je rona deriaci podle proměnné u, násobené deriací u podle proměnné Výše uedené trzení nebudeme dokazoat, roněž také předpokládáme, že při deriaci jsou splněn šechn předpoklad eistence deriací a spojitost funkcí (e fzice tomu tak bude téměř žd) Důkaz ýše uedených trzení je možno nalézt učebnicích diferenciálního počtu Nní nám už zbýá jen si ukázat, jak zderioat ýše uedené funkce dle uedeného náodu Funkce =lnsin: Funkce = + : =(lnu) u = u u = cos =cotg sin =( u) u = u u = + = + Příklad 3 deriace složené funkce Vpočtěte deriaci funkce = a pro a; a Místo změn času Δτ budeme počítat jeho diferenciál Platí τ = dτ dl = π = π g l, gl Δτ =dτ = π Δl = π gl 0,005 s = 0,005 s 9,8,00 Doba ku se ted za daných podmínek změní o 0,005 s Toto bla ukázka dou úloh zaměřených na užití diferenciálu funkce Další úloh na užití diferenciálu funkce jsou ueden na CD ROMu 3 Deriace ektoroé eličin V prní kapitole jsme si popsali postup, jak derioat ektoroou eličinu Připomeňme si, že ektoroou eličinu (polohoý r ektor) =(,, z) lze jádřit e taru = i + j + zk r Tuto eličinu pak deriujeme tím způsobem, že zderiujeme každou její složku V následujícím příkladu si nejpre ukážeme, jak s takoou ektoroou eličinou pracoat Příklad 8 trajektorie pohbu Pohb tělesa roině je dán ronicí r = A cos ωt i + B cos ωt j, kde A, B, ω jsou konstant Určete a) ronici trajektorie tohoto pohbu, b) elikost rchlosti pohbu tělesa záislosti na čase pohbu a) Danou ronici je možno jádřit pomocí dou složek: = A cos ωt, = B cos ωt Dále budeme postupoat pomocí níže uedených úpra = A cos ωt cos ωt = A 0 3

13 5 Praidla pro deriaci funkcí V následující tabulce si uedeme přehled deriací elementárních funkcí (definiční obor neuádíme, ale je možno si ho ododit z lastností funkcí, které obdržíme po proedení deriace) f : = f() = f () = c, c R =0 = n, n R = n n =e =e =a,(a>0, a ) =a ln a =ln = =log a,(a>0) = ln a =sin =cos =cos = sin =tg = cos =cotg = sin =arcsin = = arccos = =arctg = + = arccotg = + 6 Deriace součtu, rozdílu, součinu, podílu dou funkcí Nechť funkce u = f(), = g() majíderiaceu, daném bodě Potom mají níže uedené funkce roněž deriace daném bodě a platí (u + ) = u +, (u ) = u, (u ) = u + u 0 α 0 a t g a n β Obr 6 Vrh šikmo zhůru a) Ze zadání idíme, že souřadnice pohbu jsou dán ztah = 0 t cos α, = 0 t sin α gt Pro složk rchlosti platí ztah = d dt = 0 cos α, = d dt = 0 sin α gt Nní počteme elikost okamžité rchlosti = + = ( 0 cos α) +( 0 sin α gt), po úpraě = ( 0 g 0 t sin α ) gt = 0 g (Všimněte si, že tato ronice také přímo plýá ze zákona zachoání energie) Sosou sírá ektor okamžité rchlosti úhel β, prokterýplatí cos β = = 0 cos α 0 g Sosou sírá ektor okamžité rchlosti úhel γ =90 β, prokterýplatí cos γ = = 0 sin α gt 0 g Pro normáloé a tečné zrchlení dostaneme a t = d dt = d g d 0 dt g = dt 0 g = g( 0 sin α gt), 0 g 8 5

14 Přechod od měření rchlosti průměrné k rchlosti okamžité jste proáděli tak, že jste postupně čím dál íce zmenšoali časoý interal Z hlediska našich úah to ale znamená, že jste proáděli limitní přechod, neboli Δs = lim Δt 0 Δt = ds dt Deriace dráh podle času ted jadřuje (zatím skalárně) elikost okamžité rchlosti Jak ýše uedenou situaci realizoat praktick si ukážeme na níže uedeném příkladu Příklad olný pád Předpokládejme, že jsme eperimentálně zjistili, že dráha olného pádu je dána ztahem s = gt Odoďte pomocí deriace zorec pro okamžitou rchlost olného pádu Pro elikost okamžité rchlosti hmotného bodu padajícího olným pádem platí = ds dt Zatím ale neumíme proést naznačenou operaci deriace Pokusme se postupně naznačenou deriaci proést souladu s tím, jak jsme deriaci zaedli Platí Pak Δs = s(t +Δt) s(t) = g(t +Δt) gt = g(t +Δt)Δt = ds dt = lim Δs Δt 0 Δt = lim Δt 0 g(t +Δt)Δt = g t = gt Δt Je ted elikost okamžité rchlosti olného pádu dána ztahem = gt Z tohoto ztahu je možno určit elikost okamžité rchlosti olného pádu (g =0m s ) na konci prní sekund =0 m s =0m s 33 Úloh edoucí ke zjišťoání lokálních etrémů funkcí V této části si ukážeme, jak řešit úloh, kde je nutno nalézt lokální etrém funkcí Nejpre si uedeme obecný postup, jak takoé úloh řešit: Zaedeme proměnné a přiřadíme jim smbol Vjádříme eličinu, jejíž maimum nebo minimum budeme hledat, pomocí těchto proměnných 3 Zjistíme ztah mezi proměnnými ze zadání problému, abchom je mohli přeést šechn na jedinou proměnnou 4 Vjádříme eličinu, která se má maimalizoat nebo minimalizoat pomocí jediné proměnné Poznámka Proměnnou e 3 kroku se snažíme zolit tak, ab funkční záislost e 4 kroku bla co nejjednodušší Následující, spíš matematický příklad, nám bude tento postup ilustroat Příklad 0 porch nádob Jaký je nejekonomičtější tar álcoé nádob (např hrnce bez pokličk) s daným objemem, tj jaký je nejmenší porch? krok Nechť r je poloměr a h je ýška nádob krok Porch nádob je dán součtem obsahu dna a stěn pláště, tj S = πr +πrh = π(r +rh) 3 krok Proměnné r a h jsou ázán ztahem pro objem nádob (álce), tj což lze uprait na tar V π = r h = K, V = πr h, (konstanta) 6 7

15 integrál skutečně limitou součtu, čímž blo s požadoanou přesností stanoeno, co Leibniz pouze hrubých rsech tušil Další zpřesňoání, které blo od 7 století založeno na pojmu nekonečně malé eličin, proedl matematik Bernard Bolzano (78 848) a e elké míře francouzský matematik Louis Cauch ( ), který zaedl pojem limita funkce (kolem roku 80) Cauch budoal teorii integrálu pro spojité funkce jedné proměnné O další ýznamný pokrok se zasloužil německý matematik Bernhard Riemann (8 866) Nejdůležitější zobecnění Riemannoa integrálu proedl roce 90 francouzský matematik Henri Lebesque (875 94) Ve ýčtu sětoých matematiků jsme se omezili jen na některé, mnohem podrobněji je možno se s touto problematikou seznámit z hlediska její historie na přiloženém CD ROMu Ani zde není ale ýčet jmen úplný, jsou zde uedena předeším těch matematiků, jejichž práce má nejětší přínos pro fziku Nakonec se ještě zmíníme alespoň o dou (i kdž jich blo mnohem íc) našich ýznačných matematicích, kteří se touto problematikou zabýali Jak již blo ýše uedeno, ke zpřesnění pojmů limita, deriace a spojitost funkce, přispěl Bernard Bolzano Další ýoj dále elmi ýznamně olinil Vojtěch Jarník ( ), autor dodnes použíaných sokoškolských učebnic integrálního a diferenciálního počtu V tomto tetu se budeme dále zabýat pouze užitím diferenciálního počtu e fzice, dále pak bude naazoat další tet, týkající se užití integrálního počtu e fzice Pro pohb prního auta platí = t s, pro pohb druhého auta platí = t Okamžitá zdálenost obou aut je dána ztahem c = + Po dosazení do ztahu pro c dostaneme c = ( t s) +( t) Nní bchom chtěli šetřit, kd bude zdálenost c minimální Výpočet zjednodušíme pomocí následující úah: bude-li c minimální, bude minimální také c Zaměříme se ted na zjišťoání minima funkce c Jeted c =( t s) +( t), c = d(c ) = ( t s) + t = s + dt t +t Položíme c = 0 Pak dostaneme s + t + t =0 t = + s Nní pomocí druhé deriace oěříme, zda pro ýše počtené t skutečně nastáá lokální minimum funkce c c = + > 0 Je idět, že nastalo skutečně lokální minimum Dále určíme, jaká bude minimální zdálenost obou aut: ( c min = s + c min = + + ( s) + = + s s) +, Pro dané hodnot je t =,67 hod = hod 40 minut, c min =55,9 kmauta budou k sobě nejblíže 7 hodin 40 minut Příklad dokonale pružný ráz Dě částice o hmotnostech m a m (m >m ) se pohbují po přímce rchlostmi o elikostech a stejné orientace tak, že dojde k jejich pružnému 4 9

16 Příklad pohb automobilů 8 Příklad dokonale pružný ráz 9 Cičení dokonale nepružný ráz 3 Záěr 3 Literatura 3 { ΔE k = m u m = [(m ] } m m ) +m m + m Nní budeme pomocí deriace hledat, kd bude změna kinetické energie prní částice nejětší: d(δe k ) d = m m m (m + m ) [(m m ) +m ] m Po úpraě (je uedena na CD ROMu) dostaneme d(δe k ) = m m d (m + m ) (m m + m ) Nní položíme prní deriaci ronou nule a jádříme : m m + m =0 = (m m ) m Nakonec ještě pomocí druhé deriace oěříme, zda pro ýše uedené nastane skutečně lokální maimum: d (ΔE k ) d = 4m m < 0 nastalo lokální maimum (m + m ) Cičení dokonale nepružný ráz Dě částice o hmotnostech m a m (m >m ) se pohbují po přímce rchlosti o elikostech a stejné orientace tak, že dojde k jejich nepružnému rázu (srážce) Ukažte, že nárůst kinetické energie částice o hmotnosti m bude maimální, jestliže se před srážkou pohboala rchlostí 0 = m m + m Při řešení předpokládejte, že ráz je dokonale nepružný Naleznete na CD ROMu Na přiloženém CD ROMu také naleznete další úloh edoucí k nutnosti hledat lokální etrém funkcí Kromě toho na CD ROMu také naleznete celou řadu úloh na lokální etrém z předchozích ročníků FO 3