Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A

Transkript

1 Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A 18. dubna 2016, 11:2013:20 ➊ (1 bod) Nalezn te kritický bod soustavy generujících rovnic e x 6y 6z z = 13, 2e 2x 6y z 3 = 6. Uºijte faktu, ºe prom nná x se p i pokusu konstruovat implicitní funkce chápe jako nezávislá. ➌ (11 bod ) Vy²et ete lokální extrémy funkce z, jeº je zadána rovnicí 10z 2 + 4xy + y 2 + u 2 2xz + 5x 2 + z + 2yz = 1. ➍ (7 bod ) Jakou hodnotou je nutno dodenovat funkci g(x, y) = (y 2) 2 4 x 2 y 2... x 2 + y 2 4,?... x 2 + y 2 = 4, na kruºnici x 2 + y 2 = 4 tak, aby tato funkce byla v bod ( 2, 2) spojitá vzhledem k te n uvedené kruºnice zkonstruované práv v bod ( 2, 2)? Nech β N je pevn zvolené liché íslo. Nalezn te kompaktní tvar jacobiánu zobrazení x = 1 + ϱ cos β (φ); y = 2 + ϱ sin β (φ); z = 3 + 4µ 2 a stanovte p íslu²nou maximální mnoºinu regularity. Pro je výhodné poºadovat lichost ísla β? ➏ (9 bod ) Do parciální diferenciální rovnice 3x 2 2 u x 2 2xy 2 u x y y2 2 u y 2 + 2y u y = 0 zave te nové prom nné r = y3 x a s = xy. Výslednou rovnici maximáln zjednodu²te. Nalezn te také p íslu²nou maximální mnoºinu regularity.

2 Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta B 18. dubna 2016, 11:2013:20 ➊ (1 bod) ➋ (9 bod ) Do parciální diferenciální rovnice x 2 2 u x 2 3y2 2 u y 2 2xy 2 u x y + 4x u x = 0 zave te nové prom nné r = y x a s = yx3. Výslednou rovnici maximáln zjednodu²te. Nalezn te také p íslu²nou maximální mnoºinu regularity. ➌ (11 bod ) Vy²et ete lokální extrémy funkce z, jeº je generována rovnicí z 3 + 3z 2 + 2z(x + y + 3) 2 + 4y 2 + 4(x + 3) 2 = 0. ➍ (7 bod ) Ozna me K = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 4} a denujme funkci g(x, y) takto: g(x, y) = 2(y 2) 3 4 x 2 y 2... (x, y) K, 0... (x, y) K. Vypo ítejte, pod jakým úhlem stoupá/klesá její graf v bod ( 2, 2) ve sm ru te ny kruºnice K sestrojené práv v bod ( 2, 2). Do obrázku (v kartézských sou adnicích) vykreslete mnoºinu W, kterou je t eba vyjmou z R 2, aby na dopl ku R 2 \ W bylo zobrazení x = 2 + ϱ cos(4φ); y = 5 + ϱ cos(2φ) regulární. ➏ (6 bod ) Nalezn te kritický bod soustavy generujících rovnic z + x 2 4x + 6e y = 2, 6z + (x 1) 3 e y = 1. Uºijte faktu, ºe prom nná y se p i pokusu konstruovat implicitní funkce chápe jako nezávislá.

3 Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta N 4. kv tna 2016, 9:1011:10 ➊ (11 bod ) Nalezn te lokální extrémy funkce u(x, y) zadané implicitn rovnicí u 3 + 3u 2 + 2u(x + y) 2 + 4(x + 2) 2 + 4(y 2) 2 = 4. Nalezn te rovnici te né roviny k plo²e x 2 + y 2 + z 2 + 2xy = 1. Výsledek upravte do kompaktního tvaru. ➌ (10 bod ) e²te parciální diferenciální rovnici 2 f x 2 + 4y 2 f x y + 4y2 2 f y 2 2 f x = 4y6 e 6x. Uºijte transformace do sou adnic a = y 2 e 2x, b = y e 2x. Na jaké maximální mnoºin je zadaná transformace regulární? ➍ (6 bod ) Nalezn te konkrétní podobu k ivky y e ax + b = 0, vzhledem k níº je funkce f (x, y) = y 3 +3x 2 y 2 +x 2... (x, y) (x, y) = 0 spojitá v bod (0, 0). Detailn popi²te, o jaké tvrzení se vá² postup opírá. ➎ (5 bod ) Do obrázku (v kartézských sou adnicích) vykreslete mnoºinu W, kterou je t eba vyjmou z R 2, aby na dopl ku R 2 \ W bylo zobrazení x = ϱ cos(4φ) 3; y = 2 + ϱ sin(2φ) regulární. ➏ (1 bod)

4 Zápo tová písemná práce. 2 z p edm tu 01MAB4 varianta A 23. kv tna 2016, 9:0011:00 ➊ (10 bod ) Vy²et ete lokální extrémy funkce f (x, y, z) = x 2 yz 2 na mnoºin M = { (x, y, z) E 3 : x, y, z > 0 16(x 4 + z 4 ) + y 2 = 48 }. ➋ (10 bod ) Pro parametry a > 0 a b R vypo t te ur itý integrál Uºijte v tu o derivaci integrálu s parametrem. 0 e ax2 cos(bx2 ) 1 x dx. ➌ (8 bod ) Vypo t te integrál kde B je kruºnice B (x 3) 2 + y 2 dµ c (x, y), B = { (x, y) E 2 : x 2 + y = 6(x + y) }. ➍ (6 bod ) Nech A = 0, 3) (3, 4) 1, 1) a B = {3} 1, 1). Nech φ(x) = 2x + 6 Θ(x 3) a ψ(y) = arctg(y) jsou vytvo ující funkce Lebesgueovy míry. ƒemu se rovná µ(a) a emu µ(b)? Pozn: Θ(τ) je Heavisideova funkce. Do dvou odd lených obrázk co nejpe liv ji vykreslete tvar mnoºin M 1 = {(x, y) R 2 : (x 2 + y 2 ) 2 x 2 y 2 }, M 2 = {(x, y) R 2 : (x 4 + y 4 ) 3/2 x 4 y 4 }. Vypomoºte si výpo tem v polárních, resp. pseudopolárních sou adnicích. Mnoºiny vy²rafujte, aby bylo z eteln patrno, o jaký útvar jde a jak se ob mnoºiny li²í. Hodnotí se pouze správnost a kvalita obrázk!

5 Zápo tová písemná práce. 2 z p edm tu 01MAB4 varianta B 23. kv tna 2016, 9:0011:00 ➊ (5 bod ) Do obrázku co nejpe liv ji vykreslete tvar mnoºiny {(x, y) R 2 : (x 2 +y 2 ) 2 y 2 x 2 x 2 +y 2 1}. Vypomoºte si výpo tem v polárních sou adnicích. Mnoºinu vy²rafujte, aby bylo z eteln patrno, o jaký útvar jde. Hodnotí se pouze správnost a kvalita obrázku! Nech A = 1, 1) 0, 2) (2, 3) a B = 1, 1) {2}. Nech φ(x) = π + arctg(x) a ψ(y) = 3y + 5 Θ(y 2) jsou vytvo ující funkce Lebesgueovy míry. ƒemu se rovná µ(a) a emu µ(b)? Pozn: Θ(τ) je Heavisideova funkce. ➌ (9 bod ) Nech R > 0 je pevn zvolený parametr. Vypo t te integrál y 2 (x + 2) 2 dµ s (x, y, z), B kde B je plá² koule B = { (x, y, z) E 3 : x 2 + y 2 + z 2 + 2(2x z) = R 2 5 }. ➍ (10 bod ) Nech a (0, 8π) je parametr. Vypo t te integrál Uºijte v tu o derivaci integrálu s parametrem. 0 ln(a 2 + x 2 ) ln(π 2 + x 2 ) π 2 + x 2 dx. ➎ (10 bod ) Vy²et ete lokální extrémy funkce f (x, y, z) = 5 + (xy) 2 z na mnoºin { ( z 2 } M = (x, y, z) E 3 : x, y, z > 0 x 4 + y 4 + = 3. 4)