Matematické základy fotogrammetrie, souřadnicové soustavy, transformace

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematické základy fotogrammetrie, souřadnicové soustavy, transformace"

Transkript

1 Mateatické áklad fotograetrie, souřadnicové soustav, transforace

2 oříení sníků ěření hodnot Fotograetrické pracování - transforace - vrovnání - korelace Fotograetrické výstup

3 Sníkové orientace Fotograetrie řeší přepočet poloh bodu e sníkových souřadnic do reálných souřadnic požadovaného sstéu. řed vlastní transforací souřadnic a následný vhodnocování LMS je nutné provést rekonstrukci poloh sníacího aříení v době poříení sníku tv. orientaci sníků. ro ěřické úkol a pro následnou tvorbu ap je nebtné přesně nát: polohu středu proítání vhlede k rovině sníku vnitřní orientaci polohu středu proítání k vnější souřadnicí a orientaci os áběru v prostoru vnější orientaci.

4 Souřadnicové soustav ve fotograetrii a hlavní souřadnicové soustav ssté sníkových souřadnic ssté odelových souřadnic ssté geodetických souřadnic b poocné souřadnicové soustav ssté fiktivních sníkových souřadnic ssté souřadnic svislého sníku

5 Ssté sníkových souřadnic dvě sníkové souřadnice rovinné!!, letecká poení FM počátek souřadnicové soustav střed sníku M, kde M je průsečík spojnic ráových naček souřadnicové os osa spojnice horiontálních R; vpravo osa na osu v rovině sníku;orientace v ateatické sslu česká konvence os letecký poení sníek

6 Sníkové souřadnice-schéa Charakteristik: 2D souřadnice v rovině sníku vsoká přesnost ěření řád µ H M ideál H M obecný případ Vni - d, d d

7 rientace os poení sníek rientace os letecký sníek

8 Ssté odelových souřadnic tři odelové souřadnice,, v ěřítku, pravoúhlé, prostorové počátek střed proítání souřadnicové os: osa ve sěru letu osa kolá v pravotočivé sěru osa orientace k enitu sěr nad.výšek

9 rovina - horiontální rovina rovnoběžná se sníkovou rovinou, nebo stejná rovina jako geodetický ssté rotace ω ϕ kole os priární kole os sekundární κ kole os terciální terciální kladný sěr pravotočivý on.: stereodvojice - počátek leží ve středu proítání levého sníku

10

11 Ssté geodetických souřadnic tři geodetické souřadnice,, nejčastěji prostorové, pravoúhlé výsledná souřadnicová soustava objektu, nejčastěji S-JTSK pro katastr, ákladní ap apod., WGS-84, ETRS89 aj. GS, u poení FM ožné i vlastní ístní souřadnicové soustav

12 rvk vnitřní orientace rvk vnitřní orientace přesně definují polohu středu proítání vhlede k rovině sníku. Uožňují rekonstruovat svaek paprsků, který v okažiku epoice vtvořil ěřický sníek. Střed proítání je střed výstupní pupil konstanta koor f určuje se s přesností na setin. poloha hlavního sníkového bodu, který le totožnit se střede sníku jako průsečíke ráových naček u správně seříené koor M H, jinak je potřeba určit d a d distore objektivu - je udána výrobce pro danou kooru či objektivu

13 rvk vnější orientace Vnější orientace určuje polohu sníacího sstéu středu proítání vstupní pupil vhlede k reálný souřadnicí. Určují i orientaci os áběru v prostoru Její prvk jsou většinou nenáé. K prvků vnější orientace patří šest následujících hodnot: tři souřadnice středu optického sstéu v dané souřadné soustavě o, o, o tři úhl definující polohu os áběru vůči souřadnicový osá sěr os áběru, sklon os áběru a pootočení sníku - ω,ϕ, κ

14 κ - pootočení sníku ve vlastní rovině rotace okolo os 3 ϕ - podélný sklon sklon os áběru od svislice ve sěru letu rotace okolo os 2 ω - příčný sklon sklon os áběru od svislice napříč sěru letu rotace okolo os

15 Určení prvků vnitřní orientace Kalibrační protokol obsahuje inforace o konstantě koor f, přesné souřadnice ráových naček a radiální kreslení. řesné ěření roěrů fotografie ráových naček, f je na okraji fotografie poto le rekonstruovat polohu středu proítání.

16 Určení prvků vnější orientace rvk vnější orientace se určují dodatečně početně - analtické etod - a nebo epirick, nejčastěji poocí tv. vlícovacích bodů V ávislosti na konkrétních postupech orientace sníků jeden sníek, překrývající se dvojice, blok sníků je apotřebí ít jistý iniální počet bodů, u nichž je náa poloha,, resp.,,. Vlícovací bod ohu být načené či nenačené. Jejich přesné souřadnice se dříve jišťoval geodetick, V současné době převládají etod GS určují souřadnice středu proítání. Tři úhl rotace se určují ěření IMS inertial easuring unit. V některých případech je ožné s dostatečnou přesností určit prvk vnější orientace přío ěření GS v reálné čase s přesností cca 5 c.

17 Určení prvků vnější orientace Vnější orientace odelu a pooci vlícovacích bodů je ted aložena nejprve na procesu prostorového protínání pět a - vlícovacích bodů do odelu o vpočtení prvků vnější orientace a obnovení odelu je poto ožno určovat polohu všech ostatních bodů prostorový protínání vpřed b.

18 Relativní a absolutní orientace ředevší u pracování sníků analtickýi postup na stereoplotrech se určení prvků vnější orientace provádí ve dvou krocích. Relativní orientace orientace stereoskopického páru v přístroji tak, ab vtvořil stereoodel v relativních souřadnicích libovolně prostorově orientovaný, be vab na geodetické souřadnice. Absolutní orientace pootočení rotace a posun stereoodelu Absolutní orientace pootočení rotace a posun stereoodelu do geodetických souřadnic poocí vlícovacích bodů.

19

20 ákladní transforační vtah v FGM Transforace souřadnic vájené obraení ei 2 kartéskýi souřadnicovýi ssté a rovinné transforace shodnostní posun, otočení podobnostní posun, otočení, ěna ěřítka 2 identické bod, použití ve FM - např. převod aěřených vlícovacích bodů, ei ístní a geodet. soustavou afinní posun, otočení, ěna ěřítka, tvaru kosení 3 ident. bod, např. převod ěřených plošných souř. do soustav sníkových souřadnic poocí ráových naček kolineární středové obraení dvou rovinných souř. sstéů achovává dvojpoěr, 4 ident. bod, ve FM jednosníková fotograetrie b prostorové transforace

21

22 Vtah ei souřadnýi soustavai Fotograetrie řeší převod sníkových souřadnic objektu,, na souřadnice geodetické,,. Tento převod ahrnuje obecně tři dílčí úkol: postupnou ěnu orientace soustav sníkových souřadnic tv. rotaci, 2 posunutí tv. translaci počátku soustav sníkových souřadnic 3 ěnu ěřítka Celou transforaci le řešit postupně po krocích, které ahrnují převod sníku do ideální poloh kolý sníek, poté převod do soustav odelových souřadnic a konečně převod souřadnic odelových na geodetické.

23 Rotace ootočení sníkového souřadného sstéu tak, ab tento bl rovnoběžný se souřadný sstée geodetický. Modelové souřadnice,, jsou souřadnice rovnoběžné s reálný sstée,,. ískáe je rotací původního sstéu sníkových souřadnic f.,, Rotace je ve vtaích ei těito trojroěrnýi souřadnýi soustavai vjádřena tv. rotační aticí M o roěru 3 3: M

24 dvoení rotační atice Rotace v trojroěrné sstéu spočívá v trojí postupné pootočení vžd kole jedné os sstéu Nejprve se ssté otočí o úhel - ω kole os, poté o úhel ϕ kole os a konečně o úhel κ kole os

25 . ootočení kole os o úhel ω Souřadnice bodu A v nové soustavě, pootočené o úhel ω původní soustav, : nové souřadnice, původní souřadnice, cosω sinω sinω cosω v aticové ápisu: cosω sinω 0 sinω cosω a nebo kráceně: M

26 2. ootočení kole os o úhel ϕ φ sinφ cos 2 2 φ cosφ sin 2 sin 0 cos φ φ v aticové ápisu: Souřadnice bodu A v dvakrát rotované sstéu budou: cos 0 sin 0 0 sin 0 cos φ φ φ φ M a nebo kráceně:

27 3. ootočení kole os 2 o úhel κ v aticové ápisu: Souřadnice bodu A v již třikrát rotované sstéu,, : κ sinκ cos 2 2 κ cosκ sin sin cos κ κ a nebo kráceně: cos sin 0 sin cos κ κ κ κ M

28 Celý proces postupných rotací původního sstéu souřadnic,, do nového sstéu, který bude rovnoběžný se sstée geodetických souřadnic le vjádřit následovně: M M M M M M M M a nebo kráceně

29 Vlastnosti rotační atice Jednotlivé prvk atice představují tv. sěrové cosin rotace a jsou určen následujících vtahů: cosφ cosκ 2 - cosφ sinκ 3 sinφ 2 cosω sinκ sinω sinφ cosκ 22 cosω cosκ sinω sinφ sinκ 23 -sinω cosφ 3 sinω sinκ cosω sinφ cosκ 32 sinω cosκ cosω sinφ sinκ 33 cosω cosφ Rotační atice je aticí ortogonální, která á následující vlastnost: M M ted inverní atice se rovná atici transponované. Tato vlastnost je ve fotograetrii důležitá pro sestavení vtahu určujícího sníkové souřadnice bodu: M T a nebo: T

30 odínka kolinearit Bod na eské povrchu, obra tohoto bodu na sníku a střed proítání leží na jedné příce. sníkové souřadnice libovolného bodu p, p. sníkové souřadnice středu proítání,, f. a geodetické souřadnice středu proítání,,. a je vektor e středu proítání do bodu p na sníku A je vektor bodu do bodu na eské povrchu odínka kolinearit: a k A A k ěřítkové číslo

31 Rovnice kolinearit Velikost vektoru a vjádřená sníkovýi souřadnicei: Velikost vektoru A vjádřená skutečnýi souřadnicei: o p o p o p A f a o p o p Vtah ei sníkovýi souřadnicei libovolného bodu a skutečnýi souřadnicei tohoto bodu vjádřený poocí rotační atice M: A M k a tj.aticově: M k f p p p p p

32 Rovnice kolinearit Výše uvedený vtah le vjádřit jako soustavu tří rovnic: [ ] 3 2 o p k [ ] o p k [ ] k f odělíe-li první a druhou rovnici rovnicí třetí, obdržíe tv. rovnice kolinearit. Tto definují vtah ei sníkovýi a skutečnýi souřadnicei: o p f o p f

33 Analogick le kolineární vtah vužít inverně pro určení skutečných souřadnic bodu následovně: Rovnice kolinearit f f o p f f o p Kolineárních rovnic je ve fotograetrii ožné vužít k určování prvků vnější orientace a dále předevší k transforaci souřadnic každého bodu na sníku do nové poloh vjádřené v geodetické souřadné sstéu ted např. k tvorbě ortofoto.

34 Je ta ale jeden problé: Rovnice kolinearit f f o p f f o p ro každý sníkový bod eistuje nekonečné nožství řešení e dvou ěřených hodnot potřebujee vpočítat 3 nenáé souřadnice jednoho sníku nele rekonstruovat polohu 3D objektu 2D souřadnic sníkových Co s tí? potřebujee inforaci o souřadnici nebo potřebujee ještě jeden sníek

35 působ určení prvků vnější orientace V ávislosti na počtu pracovávaných sníků jeden sníek či stereopár a s tí související potřebné počtu lícovacích bodů le k fotograetrický prace vužít následujících řešení, která vužívají výše odvoených kolineárních rovnic: pětné proítání space resection určení prvků vnější orientace saostatně pro jeden sníek prostorové protínání vpřed space forward intersection určení prvků vnější orientace společně pro dvojici překrývajících se sníků blokové vrovnání bundle block adjustent určení prvků vnější orientace bloku sníků etodai aerotriangulace

36 Ve fotograetrii eistuje několik postupů k určení šesti nenáých prvků vnější orientace o, o, o, ω,ϕ, κ. Tto postup le rodělit na:. očetní - skládá se e dvou kroků. Nejprve se provede relativní orientace, jejíž áklade je ěření tv. vertikálních parala na in. pěti bodech ve vhodnocovací přístroji. oté následuje výpočet šesti nenáých prvků a tv. absolutní orientace 2. Analtické vužívá se příého vtahu ei sníkovýi a geodetickýi souřadnicei áklade je ěření sníkových souřadnic. 3. Epirické relativní orientace aložená na postupné ruční odstraňování vertikálních parala na orientačních bodech a následná absolutní orientace posun, otočení a určení ěřítka.

Stereofotogrammetrie

Stereofotogrammetrie Stereootogrammetrie Princip stereoskopického vidění a tzv. yziologické paralaxy Paralaxa je relativní změna v poloze stacionárních objektů způsobená změnou v geometrii pohledu. horizontální yziologická

Více

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé.

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé. 1 Určování poloh bodů pomocí souřadnic Souřadnicové výpočt eodetických úloh řešíme v pravoúhlém souřadnicovém sstému S-JTSK, ve kterém osa +X je orientována od severu na jih a osa +Y od východu na západ.

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO NMSP GEODÉZIE A KARTOGRAFIE PRO AKADEMICKÝ ROK 009 010 OBOR: GEODÉZIE A KARTOGRAFIE 1. tg ( α ) = o tg α B) cot gα C) tgα D) sin( 90 α) o. cotg 70 = B) 0

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Transformace dat mezi různými datovými zdroji

Transformace dat mezi různými datovými zdroji Transformace dat mezi různými datovými zdroji Zpracovali: Datum prezentace: BUČKOVÁ Dagmar, BUC061 MINÁŘ Lukáš, MIN075 09. 04. 2008 Obsah Základní pojmy Souřadnicové systémy Co to jsou transformace Transformace

Více

4. Souřadnicové soustavy ve fotogrammetrii, vlivy působící na geometrii letecké fotografie

4. Souřadnicové soustavy ve fotogrammetrii, vlivy působící na geometrii letecké fotografie 4. Souřadnicové soustavy ve fotogrammetrii, vlivy působící na geometrii letecké fotografie Podle orientace osy záběru dělíme snímky ve fotogrammetrii na snímky svislé (kolmé), šikmé, ploché a horizontální

Více

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA Rovinné přetvoření Rovinné přetvoření, neboli, jak se také často nazývá, geometrická transformace je vlastně lineární zobrazení v prostoru s nějakou soustavou souřadnic. Jde v něm o přepočet souřadnic

Více

Souřadnicové výpočty I.

Souřadnicové výpočty I. Geodézie přednáška 7 Souřadnicové výpočt I. Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Výpočet směrníku a délk stran v základním i podrobném bodovém poli

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK OBOR: GEODÉZIE A KARTOGRAFIE TEST.

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK OBOR: GEODÉZIE A KARTOGRAFIE TEST. FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 0 0 OBOR: GEODÉZIE A KARTOGRAFIE Část A TEST A) cos cos b) tg c) ( ) A) cos b) c) cotg cotg cotg A3) Hodnota

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

3. Souřadnicové výpočty

3. Souřadnicové výpočty 3. Souřadnicové výpočty 3.1 Délka. 3.2 Směrník. 3.3 Polární metoda. 3.4 Protínání vpřed z úhlů. 3.5 Protínání vpřed z délek. 3.6 Polygonové pořady. 3.7 Protínání zpět. 3.8 Transformace souřadnic. 3.9 Volné

Více

2.8.6 Parametrické systémy funkcí

2.8.6 Parametrické systémy funkcí .8.6 Parametrické sstém funkcí Předpoklad:, 0,, 50, 60 Stejně jako parametrická rovnice zastupuje mnoho rovnic najednou, parametrick zadaná funkce zastupuje mnoho funkcí. Pedagogická poznámka: Názornost

Více

Odhad přesnosti rotačního laserového skeneru a optimalizace jeho konfigurace

Odhad přesnosti rotačního laserového skeneru a optimalizace jeho konfigurace 1 Úvod Odhad přesnosti rotačního laserového skeneru a optializace jeho konfigurace V této práci je řešena probleatika odhadu a posouzení přesnosti laserového a optického rotačního skeneru dále jen LaORS.

Více

Výukové texty. pro předmět. Automatické řízení výrobní techniky (KKS/ARVT) na téma

Výukové texty. pro předmět. Automatické řízení výrobní techniky (KKS/ARVT) na téma Výukové texty pro předmět Automatické řízení výrobní techniky (KKS/ARVT) na téma Podklady a grafická vizualizace k určení souřadnicových systémů výrobních strojů Autor: Doc. Ing. Josef Formánek, Ph.D.

Více

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky. 5 Vektor II Předpoklad: 4 Umíme už vektor sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složk Př : Na obrázku je nakreslena síla Nakresli do obrázku síl a tak, ab platilo = + Kolik má úloha řešení?

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Lineární transformace

Lineární transformace Lineární transformace 1995-2015 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.c http://cgg.mff.cuni.c/~pepca/ 1 / 28 Požadavk běžně používané transformace posunutí, otočení, většení/menšení, kosení,..

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

6.2.1 Zobrazení komplexních čísel v Gaussově rovině

6.2.1 Zobrazení komplexních čísel v Gaussově rovině 6.. Zobraení komplexních čísel v Gaussově rovině Předpoklad: 605 Pedagogická ponámka: Stihnout obsah hodin je poměrně náročné. Při dostatku času je lepší dojít poue k příkladu 7 a btek hodin spojit s úvodem

Více

6.1 Shrnutí základních poznatků

6.1 Shrnutí základních poznatků 6.1 Shrnutí ákladních ponatků Prostorová a rovinná napjatost Prostorová napjatost v libovolném bodě tělesa je v pravoúhlé soustavě souřadnic obecně popsána 9 složkami napětí, které le uspořádat do matice

Více

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka. OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která

Více

VÝPOČET VÝMĚR. Zpracováno v rámci projektu CTU 0513011 (2005)

VÝPOČET VÝMĚR. Zpracováno v rámci projektu CTU 0513011 (2005) VÝPOČET VÝMĚR Zpracováno v rámci projektu CTU 0513011 (2005) Výměry se určují: Početně: - z měr odsunutých z mapy (plánu), - z měr, přímo měřených v terénu, - z pravoúhlých souřadnic, - z polárních souřadnic.

Více

Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb

Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Kinematika tuhého tělesa Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Úvod Tuhé těleso - definice všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti těleso se nedeformuje, nemění tvar počet

Více

10. PŘEVODY S OZUBENÝMI KOLY 10. TRANSMISSION WITH GEAR WHEELS

10. PŘEVODY S OZUBENÝMI KOLY 10. TRANSMISSION WITH GEAR WHEELS 10. PŘEVOY S OZUBENÝMI KOLY 10. TRANSMISSION WITH GEAR WHEELS Jedná se o převody s tvarový styke výhody - relativně alé roěry - dobrá spolehlivost a životnost - dobrá echanická účinnost - přesné dodržení

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

6.16. Geodetické výpočty - GEV

6.16. Geodetické výpočty - GEV 6.16. Geodetické výpočty - GEV Obor: 36-46-M/01 Geodézie a katastr nemovitostí Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 8 Platnost učební osnovy: od 1.9.2010 1) Pojetí vyučovacího

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

Podrobné polohové bodové pole (1)

Podrobné polohové bodové pole (1) Podrobné polohové bodové pole (1) BUDOVÁNÍ NEBO REVIZE A DOPLNĚNÍ PODROBNÉHO POLOHOVÉHO BODOVÉHO POLE Prohloubení nabídky dalšího vzdělávání v oblasti Prohloubení nabídky zeměměřictví dalšího vzdělávání

Více

2. Vyplňování. Transformace.

2. Vyplňování. Transformace. 2. Vplňování, transformace Cíl Po prostudování této kapitol budete umět vplňovat a šrafovat ohraničenou oblast zobrazovat objekt 3D do rovin odvodit vztah pro zobrazení 3D objektů do rovin Výklad 2.. Algoritm

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Praktikum I Mechanika a molekulová fyzika

Praktikum I Mechanika a molekulová fyzika Oddělení fzikálních praktik při Kabinetu výuk obecné fzik MFF UK Praktiku I Mechanika a olekulová fzika Úloha č. II Název: Studiu haronických kitů echanického oscilátoru Pracoval: Matáš Řehák stud.sk.:

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Centrovaná optická soustava

Centrovaná optická soustava Centrovaná optická soustava Dvě lámavé kulové ploch: Pojem centrovaná optická soustava znamená, že splývají optické os dvou či více optických prvků. Základním příkladem takové optické soustav jsou dvě

Více

Měření výkonu jednofázového proudu

Měření výkonu jednofázového proudu Měření výkonu jednofázového proudu Návod k laboratornímu cvičení Úkol: a) eznámit se s měřením činného výkonu zátěže elektrodynamickým wattmetrem se dvěma možnými způsoby zapojení napěťové cívky wattmetru.

Více

Předloha č. 2 podrobné měření

Předloha č. 2 podrobné měření Předloha č. 2 podrobné měření 1. Zadání 2. Zápisník 3. Stručný návod Groma 4. Protokol Groma 5. Stručný návod Geus 6. Protokol Geus 7. Stručný návod Kokeš 8. Protokol Kokeš 1 Zadání 1) Vložte dané body

Více

3. Obecný rovinný pohyb tělesa

3. Obecný rovinný pohyb tělesa . Obecný rovinný pohyb tělesa Při obecném rovinném pohybu tělesa leží dráhy jeho jednotlivých bodů v navzájem rovnoběžných rovinách. Těmito dráhami jsou obecné rovinné křivky. Všechny body ležící na téže

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací kouška na MFF UK v Prae Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2013, varianta A U každé deseti úloh je nabíeno pět odpovědí: a, b, c,

Více

Vytyčovací sítě. Výhody: Přizpůsobení terénu

Vytyčovací sítě. Výhody: Přizpůsobení terénu Typ liniové sítě záleží na požadavcích na přesnost. Mezi tyto sítě patří: polygonové sítě -> polygonový pořad vedený souběžně s liniovou stavbou troj a čtyřúhelníkové řetězce -> zdvojený polygonový pořad

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v rovině Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace shodné transformace (shodnosti, izometrie) převádějí objekt

Více

MODERNÍ GLOBÁLNÍ GEODETICKÝ REFERENČNÍ GEOCENTRICKÝ SYSTÉM

MODERNÍ GLOBÁLNÍ GEODETICKÝ REFERENČNÍ GEOCENTRICKÝ SYSTÉM WORLD GEODETIC SYSTEM 1984 - WGS 84 MODERNÍ GLOBÁLNÍ GEODETICKÝ REFERENČNÍ GEOCENTRICKÝ SYSTÉM Pro projekt CTU 0513011 (2005) s laskavou pomocí Ing. D. Dušátka, CSc. Soustava základních geometrických a

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

GEOGRAFICKÁ SLUŽBA ARMÁDY ČESKÉ REPUBLIKY

GEOGRAFICKÁ SLUŽBA ARMÁDY ČESKÉ REPUBLIKY GEOGRAFICKÁ SLUŽBA ARMÁDY ČESKÉ REPUBLIKY VOJENSKÝ GEOGRAFICKÝ A HYDROMETEOROLOGICKÝ ÚŘAD Popis a zásady používání světového geodetického referenčního systému 1984 v AČR POPIS A ZÁSADY POUŽÍVÁNÍ V AČR

Více

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl

Více

Fotogrammetrické 3D měření deformací dálničních mostů typu TOM

Fotogrammetrické 3D měření deformací dálničních mostů typu TOM Fotogrammetrické 3D měření deformací dálničních mostů typu TOM Ing. Karel Vach CSc., s.r.o. Archeologická 2256, 155 00 Praha 5 http://www.eurogv.cz 1 Objekt SO 208 2 Technické zadání: - provést zaměření

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Geometrické transformace pomocí matic

Geometrické transformace pomocí matic Geometrické transformace pomocí matic Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 2. dubna 2010 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 2/3 GPS - Výpočet drah družic školní rok

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Tvorba dat pro GIS. Vznik rastrových dat. Přímo v digitální podobě družicové snímky. Skenování

Tvorba dat pro GIS. Vznik rastrových dat. Přímo v digitální podobě družicové snímky. Skenování Vznik rastrových dat Tvorba dat pro GIS Přednáška 5. Přímo v digitální podobě družicové snímky Skenováním z analogové podoby: Mapy Letecké snímky na fotografickém materiálu Pořizov izování dat Podle způsobu

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Shodnostní Helmertova transformace

Shodnostní Helmertova transformace Shodnostní Helmertova transformace Toto pojednání ukazuje, jak lze určit transformační koeficienty Helmertovy transformace za požadavku, aby představovaly shodnostní transformaci. Pro jednoduchost budeme

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 2 2/6 Transformace souřadnic z ETRF2000 do

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Součtové vzorce. π π π π. π π π. Předpoklady: není možné jen tak roznásobit ani rozdělit:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Součtové vzorce. π π π π. π π π. Předpoklady: není možné jen tak roznásobit ani rozdělit: .3.5 Součtové vzorce Předpoklad: 30 Závorku ve výrazu sin ( ) + není možné jen tak roznásobit ani rozdělit: 0 = sin ( ) = sin + sin + sin = + =. Způsob, jakým goniometrické funkce vrábějí ze zadaných čísel

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

Pro mapování na našem území bylo použito následujících souřadnicových systémů:

Pro mapování na našem území bylo použito následujících souřadnicových systémů: SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY Pro mapování na našem území bylo použito následujících souřadnicových systémů: 1. SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY STABILNÍHO KATASTRU V první polovině 19. století bylo na našem území mapováno

Více

Přehled vhodných metod georeferencování starých map

Přehled vhodných metod georeferencování starých map Přehled vhodných metod georeferencování starých map ČVUT v Praze, katedra geomatiky 12. 3. 2015 Praha Georeferencování historická mapa vs. stará mapa georeferencování umístění obrazu mapy do referenčního

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207 78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat

Více

Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství. Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ. VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008

Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství. Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ. VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008 Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008 METODY MĚŘENÍ DÉLEK PŘÍMÉ (měřidlo klademe přímo do měřené

Více

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] 1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,

Více

Body, vektory, geometrie, algebra

Body, vektory, geometrie, algebra Bod, vektor, geometrie, algebra a A b v B Bod a vektor v geometrii a algebře Pojem bod v geometrii považuji a dostatečně námý a protože jeho definice není matematick snadná, nebudu ho definovat. Jen chci

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v prostoru Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace stejný přístup jako ve 2D shodné transformace (shodnosti,

Více

7.1.2 Kartézské soustavy souřadnic II

7.1.2 Kartézské soustavy souřadnic II 7..2 Kartéské soustav souřadnic II Předpoklad: 70 Zavedení kartéské soustav souřadnic minulé hodin: Kartéskou soustavou souřadnic v rovině naýváme dvojici číselných os, v rovině, pro které platí:. obě

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

Mechanika II.A Třetí domácí úkol

Mechanika II.A Třetí domácí úkol Mechanika II.A Třetí domácí úkol (Zadání je částečně ze sbírky: Lederer P., Stejskal S., Březina J., Prokýšek R.: Sbírka příkladů z kinematiky. Skripta, vydavatelství ČVUT, 2003.) Vážené studentky a vážení

Více

ZÁKLADNÍ PARAMETRY GYROSKOPU

ZÁKLADNÍ PARAMETRY GYROSKOPU ZÁKLADNÍ PARAMETRY GYROSKOPU v Vektor obvodové rchlosti Moment hbnosti r Hlavní osa otáčení Vektor úhlové rchlosti SLEDOVÁNÍ OTÁČENÍ ZEMĚKOULE POMOCÍ GYROSKOPU t hlavní osa t = 0 rovník Groskop je na rovníku,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

Metodický pokyn. k zadávání fotogrammetrických činností pro potřeby vymezování záplavových území

Metodický pokyn. k zadávání fotogrammetrických činností pro potřeby vymezování záplavových území Ministerstvo zemědělství ČR Č.j.: 28181/2005-16000 Metodický pokyn k zadávání fotogrammetrických činností pro potřeby vymezování záplavových území Určeno: K využití: státním podnikům Povodí Zemědělské

Více

14. TRANSFORMACE SOUŘADNÉHO SYSTÉMU

14. TRANSFORMACE SOUŘADNÉHO SYSTÉMU Transformace souřadnic 14 14. TRANSFORMACE SOUŘADNÉHO SYSTÉMU Transformace souřadného systému je implementována od softwarové verze 40.19 primárního procesoru a 6.201 sekundárního procesoru formou příslušenství

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Více

ω JY je moment setrvačnosti k ose otáčení y

ω JY je moment setrvačnosti k ose otáčení y ZÁKLADNÍ USPOŘÁDÁNÍ MECHANICKÝCH GYROSKOPŮ POUŽITÝCH NA LETADLE 3 2 1 ω 3 2 1 ω 3 ω Kardanův ávěs ω a) 4 Groskop se dvěma stupni volnosti 3 b) Groskop se třemi stupni volnosti Groskop se otáčí úhlovou

Více

Určení geometrických a fyzikálních parametrů čočky

Určení geometrických a fyzikálních parametrů čočky C Určení geoetrickýc a yzikálníc paraetrů čočky Úkoly :. Určete poloěry křivosti ploc čočky poocí séroetru. Zěřte tloušťku čočky poocí digitálnío posuvnéo ěřítka 3. Zěřte oniskovou vzdálenost spojné čočky

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY ABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jéno: Petr Česák Datu ěření: 7.. Studijní rok: 999-, Ročník: Datu odevzdání:.5. Studijní skupina: 5 aboratorní skupina: Klasifikace:

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovnice RNDr. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Grafické řešení soustav rovnic a nerovnic VY INOVACE_0 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Soustav lineárních rovnic Soustavou

Více

Fyzika I mechanika. Rozdělení fyziky podle jednotlivých oborů, tj. podle jevů, které zkoumá:

Fyzika I mechanika. Rozdělení fyziky podle jednotlivých oborů, tj. podle jevů, které zkoumá: Fika I mechanika Úvod Základní fikální pojm Fika (fsis je řeck příroda) bla původně vědou o přírodě, ted souhrnem všech přírodních věd, které se s postupem dějin osamostatnil. Fika si však achovává ústřední

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Semestrální Projekt 1 Měření rychlosti projíždějících vozidel za použití jedné kalibrované kamery

Semestrální Projekt 1 Měření rychlosti projíždějících vozidel za použití jedné kalibrované kamery 1 Semestrální Projekt 1 Měření rchlosti projíždějících voidel a použití jedné kalibrované kamer (version reprint 2005) Jaromír Brambor 17.5.2000 2 1. ÚVOD Tento semestrální projekt se abývá měřením rchlosti

Více

Digitalizace starých glóbů

Digitalizace starých glóbů Milan Talich, Klára Ambrožová, Jan Havrlant, Ondřej Böhm Milan.Talich@vugtk.cz 21. kartografická konference, 3. 9. - 4. 9. 2015, Lednice Cíle Vytvoření věrného 3D modelu, umožnění studia online, možnost

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie a pozemková evidence

2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie a pozemková evidence 2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie a pozemková evidence Přednáška č.7 Vytyčování, souřadnicové výpočty, podélné a příčné profily Vytyčování Geodetická činnost uskutečněná odborně a nestranně na

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Mechanismy - úvod. Aplikovaná mechanika, 8. přednáška

Mechanismy - úvod. Aplikovaná mechanika, 8. přednáška Mechanismy - úvod Mechanismus je soustava těles, spojených navzájem vazbami. Mechanismus slouží k přenosu sil a k transformaci pohybu. posuv rotace Mechanismy - úvod Základní pojmy. člen mechanismu rám

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více