K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze Lagrangeovy rovnice 2. druhu Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze Lagrangeovy rovnice 2. druhu Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014"

Transkript

1 K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Lagangeovy ovnce duhého duhu V této aptole ž půde o dynamu, tedy o pohyb soustavy hmotných bodů Téměř ve všech zaímavých případech bude ech pohyb omezen vazbam; nadále budeme uvažovat pouze vazby holonomní Od atézsých souřadnc hmotných bodů předeme zobecněným souřadncím a odvodíme ovnce, teé budou velm užtečné a po řešení příladů, ta v dalších aptolách Výchozím bodem nám bude pncp, teý e analogí zobecněného pncpu vtuální páce DʼAlembetův pncp V předchozí aptole sme se seznáml s pncpem vtuální páce Ten e vša použtelný en v případě ovnováhy, dy síla na aždý hmotný bod e ovna nule V případě, dy se hmotné body pohybuí, e ale síla obecně nenulová Víme, že souvsí se zychlením podle ewtonova záona: m F () ( n) ( n) ( n) Zde ndex n číslue hmotné body, n,, de e počet hmotných bodů Exstue ale t, teý nám umožní použít to, co sme zvládl v pvní aptole, tedy vtuální posunutí a vtuální pác Ve vztazích () převedeme vše na ednu stanu: F m 0 () ( n) ( n) ( n) Výaz na levé staně () má ozmě síly, můžeme ho tedy celý chápat ao sílu Používá se po ně název ztacená síla 3 Podstatné e, že tyto ztacené síly se po aždý hmotný bod ovnaí nule Lze na ně tedy aplovat stený postup, ao δ sme v ap aploval na nomální síly: Vztah () po aždé n vynásobíme vtuálním posunutím a sečteme po všechna n od do : ( n ) F ( n) m( n) ( n) δ ( n) n Síla na aždý bod se sládá ze síly atvní a vazbové, (v) F ( n) δ ( n) n 0 (3) F F + F (v) ( n) ( n) ( n) 4 Podobně ao ve statcém případě popsaném v předchozí aptole e vtuální páce vazbových sl ovna nule: 0 5 Vazbové síly tedy z (3) vypadnou a můžeme říc, že za pohybu soustavy hmotných bodů platí: F ( n) m( n) ( n) δ ( n) n 0 (4) Ja holonomní vazby, ta zobecněné souřadnce sme ž potal v ap Index n píšeme do závoe, abychom zde odlšl číslování ednotlvých bodů od číslování souřadnc, teé zavedeme níže a teé budeme používat velm často číslování souřadnc bude bez závoe 3 Snad poto, že tato síla e za pohybu ovna nule, aoby se tedy eí hodnota ztatla 4 Do síly F přtom zahnueme všechny atvní síly působící na daný bod (např síly od všech ostatních bodů), do síly F ( n) (v) ( n) všechny vazbové síly působící na tento bod 5 Omezueme se přtom samozřemě en na vtuální posunutí slučtelná s vazbam Díy tomu, že de o vazby holonomní, de o posunutí vatná Poznáma po šťoualy : V případě eonomních vazeb e důležtá eště edna věc Vtuální posunutí beeme ta, že se odehávaí oamžtě, tedy že se na ně nespotřebue žádný čas

2 K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Tento výslede se nazývá dʼalembetův 6 pncp Stučně bychom ho mohl vyslovt ta, že: Soustava hmotných bodů se pohybue ta, že vtuální páce ztacených sl př lbovolných vtuálních posunutích slučtelných s vazbam e nulová Přtom vazby omezuící pohyb považueme za holonomní a do ztacených sl nezapočítáváme vazbové síly Matematcy e dʼalembetův pncp dán vztahem (4), čl Soustava hmotných bodů s holonomním vazbam se pohybue pávě ta, že: n F m δ 0 po ( n) ( n) ( n) ( n) lbovolná δ ( n slučtelná s vazbam ) Pomocí dʼalembetova pncpu bychom mohl řešt něteé přílady Po nás vša bude důležtý hlavně poto, že z ně odvodíme Lagangeovy ovnce duhého duhu epve s ovšem vhodně očíslueme souřadnce a další velčny, aby se nám s nm dobře a ednotně pacovalo Konfguační posto V dalším odvozování předeme od vetoů souřadncím Přtom bude užtečné očíslovat s všechny souřadnce plynule vpřed, tedy následuícím způsobem: () ( x, x, x3 ) () ( x4, x5, x6 ) (3) ( x7, x8, x9) (5) (,, ) x x x ( ) aposto steně očíslueme složy sl 7 : F F F F F ( F, F, F ) (,, ) () 3 () Podobné značení zavedeme po hmotnost bodů: m m m m 3 m m m m m m m m ( ) (6) (7) a pvní pohled to může působt neeonomcy zavádět po hmotnost ednoho bodu tř ůzné symboly, ale umožní nám to zapsat napřílad duhý ewtonův záon velm ednoduše po všechny souřadnce: mx F,,, 3 (8) 6 Vyslovueme [dalambéův] 7 Stené číslování budeme používat po složy atvních a vazbových sl

3 K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Fomálně můžeme říc, že polohy hmotných bodů popsueme edným -ozměným vetoem: ( x x x x x ),,,,, (9) Toto můžeme chápat ao polohu edného bodu ve -ozměném postou 8 Tomuto postou se říá onfguační posto 9 Konfguační posto samozřemě v příodě eálně neexstue, e to matematcá abstace Pohyb soustavy hmotných bodů postě fomálně vyadřueme ao pohyb ednoho bodu v -ozměném onfguačním postou Poud vám toto vyadřování přpadá přílš nepřozené, bete to postě ta, že máme souřadnc, teé se mění s časem:,,, 3 x x t (0) Ja pomocí souřadnc onfguačního postou zapsat dʼalembetův pncp, tedy vztah (4), teý platí př pohybu soustavy hmotných bodů? Jednoduše 0 : Zobecněné souřadnce 3 F m x δ x 0 () Se zobecněným souřadncem sme se ž potal v příladu v aptole apřílad polohu matematcého yvadla ednoznačně vyádříme pomocí edné souřadnce ϕ, vz obáze Známe-l hodnotu ϕ, sou atézsé souřadnce dány vztahy x l snϕ y l cosϕ () z 0 Dalším příladem může být pohyb hmotného bodu na naloněné ovně V tomto případě může být ozumné měřt polohu bodu měřítem nataženým podél naloněné ovny; příslušnou souřadnc označíme třeba ξ, vz obáze vlevo Katézsé souřadnce sou opět hodnotou ξ ednoznačně dány : x ξ cosα (3) y ξ snα Vdíme, že zobecněné souřadnce volíme ta, abychom espetoval vazby Hodnoty atézsých souřadnc nemohou být lbovolné, sou omezeny vazbam (Bod napřílad nemůže být zatlačen do naloněné ovny) Zobecněné souřadnce napot tomu mohou mít lbovolné hodnoty (ξ v našem 8 Jde přtom o ftvní bod, nol o eden z hmotných bodů soustavy Taé nám může přpadat tochu zvláštní, že tomuto bodu přísluší řada ůzných hmotností (7) Ale de o fomální vyadřování, a dá se na ně zvynout 9 Konfguac soustavy hmotných bodů, tedy polohy všech hmotných bodů v našem tříozměném postou popsueme polohou ednoho (ftvního) bodu v onfguačním postou 0 Složy vtuálního posunutí δx číslueme steně ao složy polohových vetoů v (5) Kyvadlo ýve v ovně z 0 Místo souřadnc x, x, x 3 zde postě píšeme x, y, z Slon naloněné ovny e onstantní, α onst Hodnotu z zde nepíšeme, může být např z 0 3

4 K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 příladě může být lbovolné) Zobecněných souřadnc e ovšem méně než e ch pávě tol, ol e stupňů volnost soustavy 3 Zobecněné souřadnce budeme označovat symboly q, ndex má hodnoty od do počtu stupňů volnost Katézsé souřadnce sou ednoznačně učeny hodnotam zobecněných souřadnc a času: x x q, q,, q, t,,, 4 (4) Konétním přílady těchto vztahů (po eden stupeň volnost, tedy ) byly () a (3) Záps (4) e ale tochu zdlouhavý, taže často píšeme en x x q, t,,, 3,,,, případně an explcte nepíšeme ozsahy ndexů, poud sme dohodnut, že běží od do a od do : (, ) x x q t t (5) 5 Zobecněné ychlost (a něol pomocných vztahů) dx Z úvodního uzu mechany sme zvylí pacovat s atézsým složam ychlostí v x 6 Ty vysthuí, a ychle se s časem mění souřadnce x Podobně časové devace souřadnc q, dq q vyadřuí ychlost změny zobecněných souřadnc s časem Říáme m zobecněné ychlost Katézsé složy ychlost lze vyádřt pomocí zobecněných ychlostí Zdevueme-l (5) podle času a použeme pavdla o devac složené funce více poměnných, dostáváme dx dq x + + (6) q t q t q Přtom pacální devace na pavé staně (6) sou funcem zobecněných souřadnc Je vdět, že x závsí na q, q a t 7 q a času 3 V obou uvedených příladech byl en eden stupeň volnost, taže sme měl vždy en ednu zobecněnou souřadnc Kdybychom uvažoval nol yvadlo ývaící v edné ovně, ale sfécé yvadlo, potřeboval bychom učení eho polohy dvě souřadnce, napřílad sfécé souřadnce θ a ϕ 4 Př pohybu soustavy se samozřemě zobecněné souřadnce mění s časem, q q( t), taže bychom mohl psát obšíně x x( q( t), q( t),, q( t), t ),,, 5 V nch nebyly atézsé souřadnce explcte závslé na čase Příladem, dy by x byly explcte závslé na čase, by bylo matematcé yvadlo, ehož déla závěsu l by se měnla napřílad něaý obotcý mechansmus by podlužoval délu závěsu, třeba podle vztahu l l0 + v 0 t 6 Zde už používáme číslování souřadnc (5) 7 Poznameneme, že zobecněné souřadnce q a zobecněné ychlost q sou vzáemně nezávslé ázoně e to vdět třeba na stále uváděném příladu yvadla: nezávsle můžeme nastavt polohu yvadla, tedy souřadnc ϕ a nezávsle do yvadla stčt, tedy zadat úhlovou ychlost ϕ 4

5 K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Po další odvození budeme potřebovat devac dostaneme 8 Potřebovat budeme taé devac x podle zobecněné ychlost δ q Devací (6) x podle zobecněné souřadnce q Z (6) po devac plyne 9 q+ q + q q q t q q q t d q + t Odvodl sme tedy následuící pomocná tvzení: d q (7) V dʼalembetově pncpu budeme potřebovat vyádřt eště vtuální posunutí δ x pomocí (vtuálních) změn zobecněných souřadnc δ q Vtuální posunutí beeme ao neonečně malá, pacueme s nm tedy ao s dfeencály Z (5), čl z x x( q, t ), dostaneme dfeencováním δx δq 0 (8) Po další odvození e důležté, že všechny změny souřadnce a ech vtuální posunutí nabývat lbovolných hodnot, taže na δ q sou navzáem zcela nezávslé (Katézsé δ x sou omezena vazbam, zobecněné souřadnce mohou δ q nesou žádná omezení ) 8 Př úpavách využíváme toho, že an nezávsí na q a dále toho, že 0 po t (ůzné složy zobecněných ychlostí sou vzáemně nezávslé) a, taže δ 9 Př úpavách zaměňueme pořadí devování v duhých pacálních devacích (Předpoládáme, že patřčné podmíny sou zde splněny) avíc využíváme toho, že e funcí q a času t apíšeme-l f ( q, t), e totální devace podle času d f f f ( q, t) q +, což e přesně obat na duhém řádu odvození t 0 Pozo, nemáme zde žádný člen s δt Je to díy tomu, že vtuální posunutí beeme ao oamžtá, nemění se př nch čas Až na ech velost, výše sme už zdůazňoval, že vtuální posunutí beeme ao nfntesmální 5

6 K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 DʼAlembetův pncp a zobecněné souřadnce Dosaďme do dʼalembetova pncpu () vtuální posunutí (8): 0 F m x x F m x δq δ ( F m x) δ q (9) Toto musí za pohybu platt po lbovolná δ q Jedná možnost, a toho dosáhnout, e, že všechny členy ve složených závoách v (9) sou ovny nule: ( F m x) 0,,, (0) Tenhle obat byl hozně důležtý teď máme pávě tol ovnc, ol e stupňů volnost! 3 Zobecněné síly Po další úpavy dáme ve vztahu (0) na ednu stanu členy se zychlením a na duhou síly: m x F 4 () Výaz na pavé staně () vypadá ao bychom něa převáděl síly z atézsých do zobecněných souřadnc Ja za chvíl uvdíme na příladech, ono to ta opavdu e! Po pavou stanu () poto zavedeme specální označení a těmto členům budeme říat zobecněné síly Q 3 F q Podíveme se, co vyde ao zobecněná síla v onétních příladech dsutovaných výše Po bod na naloněné ovně, podél níž měříme souřadnc ξ vychází 5 : y Q F + F 0 cos + ( mg) ( sn ) mg sn ξ ξ ξ x y α α α Výsledné Q ξ má ozmě síly doážete ntepetovat, aý má fyzální význam? 6 () Sce nfntesmální, ale vzáemně zcela nezávslá 3 Kdybychom měl v ývaící se tuhé tyč třeba 0 5 hmotných bodů, ta napsat pohybové ovnce (duhé ewtonovy záony) po všechny body bychom nesthl do once vesmíu Kývá-l se tyč v edné ovně, má en eden stupeň volnost a nyní máme po eí pohyb en ednou ovnc! Ještě budeme upavovat, ale už teď e vdět, a e tento přístup výhodný 4 Po ednoduchost už zde explcte nepíšeme, že vztah platí po všechna,, 5 Katézsé souřadnce sou dány vztahy (3) Odvození s případně ozepšte podobně, ať se opavdu vyznáte, a se tady zobecněná síla počítá 6 Po ověření vašch úvah: 6

7 K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Pozo, zobecněná síla nemusí mít vždy ozmě síly! apřílad v případě matematcého yvadla vyde y Qϕ Fx + Fy 0 l cosϕ+ mg ( l snϕ) ϕ ϕ mg l snϕ Opět vychází velčna, teá má fyzální význam 7 V případě, že de o síly onzevatvní, můžeme zobecněné síly odvo z potencální enege V Víme, že po nomální (atvní) síly platí F gad V, ve složách tedy 8 Zobecněné síly učíme z (), am dosadíme (3): V F (3) x Q V V F (4) Zobecněné síly tedy z potencální enege počítáme podobně, ao nomální síly (atézsé složy sl), en místo podle atézsých devueme podle zobecněných souřadnc Zlatý hřeb : odvození Lagangeových ovnc duhého duhu Rovnce () odvozené z dʼalembetova pncpu můžeme s pomocí zobecněných sl zapsat ao x m x Q Zbývá nám upavt ech levou stanu V ní můžeme vyádřt 9 : d d d x ( x ) x x S použtím výše uvedených pomocných vztahů (7) pa postupně dostáváme (5) d d m x m x m x d x 3 m x m x (6) Platí ovšem (ozmyslete s, poč), že x ( x ) a analogcy x ( x ) 7 Poznal ste, aý? 8 Zde už specelně v označení nezdůazňueme, že de o atvní síly 9 Jde o podobnou úpavu, teá se užívá třeba př odvozování ntegace pe pates 7

8 K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Po dosazení do (6) dostáváme d q m x m ( x ) m ( x ) d q mx mx (7) Ovšem výaz ve vntřní závoce není nc ného, než celová netcá enege soustavy hmotných bodů T mx!!! To znamená, že (7) dává d T T m x Výsledný tva ovnc (5) odvozených z dʼalembetova pncpu tedy e: d T T Q q Toto už fatcy sou ýžené Lagangeovy ovnce duhého duhu (8) Po případ onzevatvních sl lze ovnce eště upavt Dosadíme za zobecněné síly Q ze vztahu V V d V (4): Q avíc můžeme napsat Q +, potože duhý člen e nulový, neboť q potencální enege V na ychlostech q nezávsí 30 Z ovnc (8) tedy dostáváme d T T d V V, což můžeme přepsat ao ( T V) ( T V) d 0 q Teď už se samo nabízí zavést velčnu azýváme Lagangeova funce nebo edním slovem lagangán 3 Výsledné ovnce, teé sme odvodl, maí velm ednoduchý tva: L T V (9) d L L q 0 (30) A pávě toto sou Lagangeovy ovnce duhého duhu po případ onzevatvních sl 30 Poznáma po fanšmey : Kupodvu, ovnce, teé odvodíme, funguí ve specálním případě, dy e výhodné zavést V, teé na ychlost závsí Jde o pohyb nabté částce v magnetcém pol 3 Vyslovueme laganžán ; lze se setat s tato počeštěnou psanou podobou 8

9 K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Přílady aneb čemu sou nám Lagangeovy ovnce dobé Odvození na předchozích stánách nebylo neatší ale zísal sme ovnce velm užtečné Poďme se podívat, a se daí aplovat na řešení příladů Matematcé yvadlo aším cílem e vyřešt pohyb yvadla s délou závěsu l Jao zobecněnou souřadnc zvolíme úhel ϕ (vz obáze) epve musíme sestavt lagangán K tomu potřebueme netcou a potencální eneg a potřebueme tyto enege vyádřt pomocí zobecněné souřadnce ϕ a zobecněné ychlost ϕ Počítat netcou eneg přes atézsé složy ychlost x a y by bylo zbytečně složté Půdeme na to ednoduše Hmotný bod se pohybue po užnc, taže eho ychlost e v l ω l ϕ Knetcá enege e tedy T mv ml ϕ Potencální eneg spočteme podle lascého vzoce mgh, de výša V mglcosϕ h y lcosϕ, taže Lagangán e tedy L T V ml + mgl ϕ cos ϕ a eho devace L d L d ( ml ϕ ) ml ϕ, ( mgl cosϕ) mgl snϕ (3) ϕ d ϕ ϕ dϕ Lagangeova ovnce (en edna, potože úloha má en eden stupeň volnost) e obecně a po dosazení (3) onétně: což po vydělení ml dává d L L 0 ϕ ϕ d ( ml ϕ) + mgl snϕ 0, g ϕ+ snϕ 0 (3) l Tuto ovnc už řešíme známým způsobem: po malé výchyly e snϕ ϕ, ovnce e tedy +Ω ϕ 0, de g l ϕ Ω ; eí řešení e ϕ ϕ ( φ) max cos Ω t + Vdíme, že lagangeovsý fomalsmus za nás ovnc nevyřeší umožní vša systematcým způsobem sestavt Postup e asný: Zvolt vhodné zobecněné souřadnce Vyádřt netcou eneg a potencální eneg pomocí zobecněných souřadnc a ychlostí 3 Sestavt lagangán (a případně s boem vypočítat eho potřebné devace) 4 Sestavt Lagangeovy ovnce Tato budeme počítat všechny další přílady 9

10 K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Válec valící se po naloněné ovně Knetcou eneg valícího se homogenního válce učíme napřílad pomocí Köngovy věty 3 ao 3 3 T mv mξ Potencální enege e V mgh, tedy 4 4 V mg ξ snα Lagangán e L T V m ξ + mg ξ α 3 sn 4 L Potřebné pacální devace sou 3 L m ξ, mgsnα Lagangeova ovnce ξ ξ po dosazení dá d ( m ξ) 3 mg sn α 0, z čehož d L L 0 ξ ξ ξ 3 g snα Vyšlo nám zychlení válce podél naloněné ovny Opět stačlo vyádřt netcou eneg, potencální eneg, sestavt lagangán a napsat Lagangeovy ovnce Dvě závaží na ladce Opět půde o poblém známý už z úvodního uzu mechany a pevné ladce s momentem setvačnost J a poloměem R vsí na lanu (zanedbatelné hmotnost) dvě závaží, nalevo hmotnost m, napavo hmotnost m Ja se budou závaží pohybovat? 33 Rychlost obou závaží sou stené, Úhlová ychlost lady e x x x (Místo x budeme psát postě x) ozn ω x R Celová netcá enege e tedy ( ) T mv + mv + J ω m + m + J R x Potencální enege e V m gx + m gx m m gx+ 34 Lagangán e onst Lagangeovy ovnce tedy daí ( ) L T V m + m + J R x m m gx d L L x 0 3 Posíme lasavého čtenáře, aby s z úvodního uzu mechany přpomněl, a netcou eneg př valení spočítat 33 Uvažueme en pohyb závaží nahou a dolů, ne případné ývání do stan Tento přísto e znám pod názvem Atwoodův padosto, používal se měření tíhového zychlení 34 O co pvní závaží stoupne, o to duhé lesne, taže x onst x Hodnota onstanty závsí na délce lana, ale vlastně nás nezaímá, potože potencální enege e učena až na onstantu; v Lagangeových ovncích se L devue, taže aáol avní onstanta vypadne 0

11 K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 d Oud dostaneme po zychlení závaží výslede (( ) ) m + m + J R x + m m g 0 x m m m + m + J R Vdíme, že opot řešení tohoto poblému pomocí duhého ewtonova záona a duhé věty mpulsové (a se to dělalo v úvodním uzu lascé mechany) e řešení pomocí Lagangeových ovnc výazně ednodušší emusíme uvažovat tahy v lanu nalevo a napavo a místo tří ovnc máme ovnou ovnc ednou g Z uvedených příladů e snad vdět, že aplace Lagangeových ovnc není na složtá a opavdu může řešení úloh dost zednodušt Další řešené přílady lze naít v eletoncé sbíce fyzálních úloh 35 Uvedeme poto už en eden přílad, na němž uážeme řešení poblému s více stupn volnost Šmý vh V obou výše uvedených příladech šlo o pohyby s edným stupněm volnost, dostával sme tedy ednou Lagangeovu ovnc Po uázu případu s více stupn volnost, spočteme Lagangeovy ovnce po šmý vh v homogenním tíhovém pol Půde tedy o přílad velm ednoduchý, ehož výslede samozřemě známe 36 Za zobecněné souřadnce zvolíme v tomto případě atézsé souřadnce x, y, z, vz obáze Složy ychlost sou x, y, z, netcá enege e tedy T mv m x + y + z Potencální eneg učíme podle známého vztahu mgh, tedy V lagangán e ( ) mgz, čl L T V m x + y + z mgz (33) Lagangeovy ovnce sou obecně 37 d L L x d L L y y d L L z z 0, 0, 0 (34) Z úvodního uzu mechany nebo už ze střední šoly ho umíme vyřešt elementáně Uvdíme, že Lagangeovy ovnce přozeně daí stený výslede 37 Úloha má tř stupně volnost, máme tedy tř ovnce

12 K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Devace lagangánu (33) sou Rovnce (34) daí po dosazení čl L mx, d L 0, d d ( mx ) ( my ) L my, y 0, 0, (mz) +mg 0, L 0, y L mz, z L mg z x 0, y 0,, (35) z g Fyzální význam zísaných vztahů e asný: zychlení ve vodoovných směech e nulové, svslá složa zychlení má velost g a míří dolů (pot směu osy z) Řešt už ovnce (35) musíme sam, to za nás fomalsmus neudělá 38 Poznameneme, že řešt šmý vh Lagangeovým ovncem e opavdu ao ít s anónem na vabce Šlo opavdu en o lustac a eálně by ndo Lagangeovy ovnce po tato ednoduchý 39 přílad nepoužl Lagangeovy ovnce nám výhodně poslouží ve složtěších stuacích, de by výpočet užívaící sl a duhého ewtonova záona byl výazně omplovaněší 38 Řešení e ovšem ednoduché: x v 0x t+ x, 0 y v 0yt+ y, 0 z gt + v 0z t+ z ; opavdu vydou známé 0 vztahy po šmý vh 39 Souhlasím, výpočet přímo z duhého ewtonova záona e ednodušší a atší

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze Malé kmity Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze Malé kmity Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 4. Malé mty Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Malé mty soustav hmotných bodů Nyní se budeme věnovat chování soustavy hmotných bodů v oolí ovnovážné

Více

Q N v místě r. Zobecnění Coulombova zákona Q 3 Q 4 Q 1 Q 2

Q N v místě r. Zobecnění Coulombova zákona Q 3 Q 4 Q 1 Q 2 Zobecnění Coulombova zákona Uvažme nyní, jaké elektostatcké pole vytvoří ne jeden centální) bodový náboj, ale více nábojů, tzv. soustava bodových) nábojů : echť je náboj v místě v místě.... v místě Pak

Více

Agregace vzájemné spojování destabilizovaných částic ve větší celky, případně jejich adheze na povrchu jiných materiálů

Agregace vzájemné spojování destabilizovaných částic ve větší celky, případně jejich adheze na povrchu jiných materiálů Agregace - úvod 1 Agregace vzáemné spoování destablzovaných částc ve větší cely, případně ech adheze na povrchu ných materálů Částce mohou agregovat, poud vyazuí adhezní schopnost a poud e umožněno ech

Více

Těleso na nakloněné rovině Dvě tělesa spojená tyčí Kyvadlo

Těleso na nakloněné rovině Dvě tělesa spojená tyčí Kyvadlo TEORETICKÁ MECHANIKA INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY Záladní pojmy z mechaniy Mechanicý systém: jaáoli soustava částic nebo těles teré se rozhodneme popisovat (eletron atom Zeměoule planetární systém ).

Více

a polohovými vektory r k

a polohovými vektory r k Mechania hmotných soustav Hmotná soustava (HS) je supina objetů, o teých je vhodné uvažovat jao o celu Pvy HS se pohybují účinem sil N a) vnitřních: Σ ( F + F + L+ F ) 0 i 1 i1 b) vnějších: síly od objetů,

Více

Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005

Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005 Reprezentace přirozených čísel ve ibonacciho soustavě rantiše Maňá, JI ČVUT, 2005 Úvod Ja víme, přirozená čísla lze vyádřit různými způsoby Nečastěi zápisu čísel používáme soustavu desítovou, ale umíme

Více

SMR 1. Pavel Padevět

SMR 1. Pavel Padevět SMR Pavel Padevět Oganzace předmětu Přednášející Pavel Padevět, K 3, D 09 e-mal: pavel.padevet@fsv.cvut.cz Infomace k předmětu: https://mech.fsv.cvut.cz/student SMR Heslo: odné číslo bez lomítka (případně

Více

Rovnováha soustavy hmotných bodů, princip virtuální práce

Rovnováha soustavy hmotných bodů, princip virtuální práce K přednášce NUFY028 Teoretcká mechanka prozatímní učební text, verze 0. Prncp vrtuální práce Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 204 Rovnováha soustav hmotných bodů, prncp vrtuální práce V této kaptole nepůjde

Více

Výslednice, rovnováha silové soustavy.

Výslednice, rovnováha silové soustavy. Výslednce, ovnováha slové soustavy. Základy mechanky, 2. přednáška Obsah přednášky : výslednce a ovnováha slové soustavy, ovnce ovnováhy, postoová slová soustava Doba studa : as 1,5 hodny Cíl přednášky

Více

7. ZÁKLADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ

7. ZÁKLADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ 7. ZÁKADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ 7.. SPOJITÉ SYSTÉMY Téměř všechny fyzálně realzovatelné spojté lneární systémy (romě systémů s dopravním zpožděním lze vytvořt z prvů tří typů: proporconálních členů

Více

Cvičení 5 (Potrubní systémy)

Cvičení 5 (Potrubní systémy) VŠ Techncá unvezta Ostava aulta stoní Kateda pužnost a pevnost (9) Pužnost a pevnost v enegetce (Návody do cvčení) Cvčení (Potubní systémy) uto: aoslav oíče Veze: Ostava 9 PP Cvčení Potubní systémy: Ob

Více

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,

Více

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

Hlavní body. Úvod do dynamiky. Dynamika translačních pohybů Dynamika rotačních pohybů

Hlavní body. Úvod do dynamiky. Dynamika translačních pohybů Dynamika rotačních pohybů Mechanka dynaka Hlavní body Úvod do dynaky. Dynaka tanslačních pohybů Dynaka otačních pohybů Úvod do dynaky Mechanka by byla neúplná, kdyby se nezabývala, důvody poč se tělesa dávají do pohybu, zychlují,

Více

Soustava hmotných bodů

Soustava hmotných bodů Soustava hmotných bodů Těleso soustava hmotných bodů Tuhé těleso - pevný předmět jehož rozměr se nemění každé těleso se skládá z mnoha částc síla působící na -tou částc výsledná síla působící na předmět

Více

Kinematika a dynamika tuhého tělesa

Kinematika a dynamika tuhého tělesa K přednášce UFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text verze 0 9. Kinematika a dynamika tuhého tělesa Leoš Dvořák MFF UK Praha 04 Kinematika a dynamika tuhého tělesa V této kapitole se soustředíme

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Části kruhu. Předpoklady:

Části kruhu. Předpoklady: 2.10.3 Části uhu Předpolady: 0201002 Př. 1: Na užnici ( ;5cm) leží body,, = 8cm. Uči početně vzdálenost tětivy od středu užnice. pávnost výpočtu zontoluj ýsováním. Naeslíme si obáze a využijeme speciální

Více

Kinematika a dynamika tuhého tělesa

Kinematika a dynamika tuhého tělesa K přednášce UFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební tet verze 9. Kinematika a dynamika tuhého tělesa Leoš Dvořák MFF UK Praha 4 Kinematika a dynamika tuhého tělesa V této kapitole se soustředíme na

Více

ZÁKLADY GEOMETRIE KŘIVEK A PLOCH

ZÁKLADY GEOMETRIE KŘIVEK A PLOCH ZÁKLADY GEOMETRIE KŘIVEK A PLOCH Povzoní studní mateál - - Křvky v toozměném postou Úvod E - toozměný eukldovský posto s pevně zvolenou katézskou soustavou P e e V - eho zaměření D Nechť J R Zobazení X

Více

Buckinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003)

Buckinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003) Bucinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003) Formalizace rozměrové analýzy ( výsledné jednoty na obou stranách musí souhlasit ). Rozměr fyziální veličiny Mějme nějaou třídu jednote, napřílad [(g,

Více

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl

Více

Délka kružnice (obvod kruhu) II

Délka kružnice (obvod kruhu) II .10.7 Déla užnice (obvod uhu) II Předpolady: 01006 Př. 1: Bod je od středu užnice ( ;cm) vzdálen 7 cm. Uči početně vzdálenost z bodu do bodu, teý je tečným bodem tečny užnice jdoucí z bodu. vůj výslede

Více

Statika soustavy těles v rovině

Statika soustavy těles v rovině Statka soustavy těles v rovně Zpracoval: Ing. Mroslav yrtus, Ph.. U mechancké soustavy s deálním knematckým dvojcem znázorněné na obrázku určete: počet stupňů volnost početně všechny reakce a moment M

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOL BÁŇSKÁ TECHICKÁ UIVERZIT OSTRV FKULT STROJÍ MTEMTIK II V PŘÍKLDECH CVIČEÍ Č 0 Ing Petra Schreiberová, PhD Ostrava 0 Ing Petra Schreiberová, PhD Vysoá šola báňsá Technicá univerzita Ostrava

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Spojité rozložení náboje

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Spojité rozložení náboje EEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Spojité ozložení náboje Pete Doumashkin MIT 006, překlad: Jan Pacák (007) Obsah. SPOJITÉ OZOŽENÍ NÁBOJE.1 ÚKOY. AGOITMY PO ŘEŠENÍ POBÉMU ÚOHA 1: SPOJITÉ OZOŽENÍ

Více

Geometrická zobrazení

Geometrická zobrazení Pomocný text Geometricá zobrazení hodná zobrazení hodná zobrazení patří nejjednodušším zobrazením na rovině. Je jich vša hrozně málo a často se stává, že musíme sáhnout i po jiných, nědy výrazně složitějších

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

Podpora digitalizace a využití ICT na SPŠ CZ.1.07/1.5.00/

Podpora digitalizace a využití ICT na SPŠ CZ.1.07/1.5.00/ Střední půmyslová šola a Vyšší odboná šola technicá Bno, Soolsá 1 Šablona: Inovace a zvalitnění výuy postřednictvím ICT Název: Téma: Auto: Číslo: Anotace: Mechania, pužnost pevnost Záladní duhy namáhání,

Více

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti F8 KEPLEOVY ZÁKONY Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší udoucnosti F8 KEPLEOVY ZÁKONY Kepleovy zákony po planetání pohy zfomuloval Johannes Keple (1571 1630) na základě měření Tychona Baheho

Více

Základy počítačové grafiky

Základy počítačové grafiky Základy počítačové gafky Pezentace přednášek Ústav počítačové gafky a multmédí Téma přednášky Radozta Motto Světlo se šíří podle fyzkálních zákonů! Př ealstcké zobazení vtuálních počítačových scén e poto

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

3.2.8 Oblouková míra. Předpoklady:

3.2.8 Oblouková míra. Předpoklady: 3..8 Oblouková mía Předpoklady: Pedagogická poznámka: Tato hodina zabee přibližně jednu a půl vyučovací hodiny. Na 45 minut je možné hodinu zkátit buď vynecháním někteých převodů na konci (vzhledem k tomu,

Více

Dynamika vázaných soustav těles

Dynamika vázaných soustav těles Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH J. Tesař, P. Batoš Jihočesá univezita, Pedagogicá faulta, Kateda fyziy, Jeonýmova 0, 37 5 Česé Budějovice Abstat V příspěvu

Více

1 Gaussova kvadratura

1 Gaussova kvadratura Cvičení - zadání a řešení úloh Zálady numericé matematiy - NMNM0 Verze z 7. prosince 08 Gaussova vadratura Fat, že pro něterá rovnoměrná rozložení uzlů dostáváme přesnost o stupeň vyšší napovídá, že pro

Více

e²ení testu 1 P íklad 1 v 1 u 1 u 2 v 2 Mechanika a kontinuum NAFY listopadu 2016

e²ení testu 1 P íklad 1 v 1 u 1 u 2 v 2 Mechanika a kontinuum NAFY listopadu 2016 e²ení testu Mechania a ontinuu NAFY00 8. listopadu 06 P ílad Zadání: Eletron o ineticé energii E se srazí s valen ní eletrone argonu a ionizuje jej. P i ionizaci se ást energie nalétávajícího eletronu

Více

vektor a vrátili jiný vektor. Měli-li jsme jistou pozorovatelnou A, dostali jsme jejím změřením

vektor a vrátili jiný vektor. Měli-li jsme jistou pozorovatelnou A, dostali jsme jejím změřením Operátor hustoty Popsueme-l vývo uzavřeného kvantového systému, vystačíme s většnou s pomem čstého stavu. Jedná se o vektor v Hlbertově prostoru H, který e danému kvantovému systému přdružen. Na daném

Více

F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE

F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Asi nejznámějším konzevativním polem je gavitační silové pole Ke gavitační

Více

Derivace goniometrických funkcí

Derivace goniometrických funkcí Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí

Více

Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,2 m. Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,3 m

Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,2 m. Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,3 m Řešení úloh 1. kola 59. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autoři úloh: J. Thomas (1,, 3, 4, 7), J. Jírů (5), P. Šedivý (6) 1.a) Je-li pohyb kuličky rovnoměrně zrychlený, bude pro uraženou dráhu

Více

Aplikované chemické procesy

Aplikované chemické procesy Aplkované chemcké pocesy Blance eaktoů Chemcký eakto Základní ysy chemckého sou učovány těmto faktoy: způsob přvádění výchozích látek a odvádění poduktů, způsob povádění eakce (kontnuální nebo dskontnuální)

Více

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2 Příklad 5.3 Zadání: Elektron o kinetické energii E se srazí s valenčním elektronem argonu a ionizuje jej. Při ionizaci se část energie nalétávajícího elektronu spotřebuje na uvolnění valenčního elektronu

Více

1 Diference a diferenční rovnice

1 Diference a diferenční rovnice 1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou

Více

Cvičení 2 (MKP_příklad)

Cvičení 2 (MKP_příklad) VŠB Technicá univezita Ostava aulta stoní Kateda pužnosti a pevnosti (9) Úvod do MKP (Návody do cvičení) Cvičení (MKP_přílad) Auto: Jaoslav oíče Veze: Ostava 9 Úvod do Metody onečných pvů př. tyč. Každé

Více

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Velmi stručně o parciálních derivacích Castiglianova věta k čemu slouží Castiglianova věta jak ji použít Castiglianova věta staticky určité přímé nosníky

Více

v 1 = at 1, (1) t 1 = v 1

v 1 = at 1, (1) t 1 = v 1 Příklad Statující tyskové letadlo musí mít před vzlétnutím ychlost nejméně 360 km/h. S jakým nejmenším konstantním zychlením může statovat na ozjezdové dáze dlouhé,8 km? Po ychlost v ovnoměně zychleného

Více

Metoda konjugovaných gradientů

Metoda konjugovaných gradientů 0 Metoda onjugovaných gradientů Ludě Kučera MFF UK 11. ledna 2017 V tomto textu je popsáno, ja metodou onjugovaných gradientů řešit soustavu lineárních rovnic Ax = b, de b je daný vetor a A je symetricá

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

FYZIKA I. Pohybová rovnice. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

FYZIKA I. Pohybová rovnice. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Pohybová rovnce Prof. RNDr. Vlém Mádr, CSc. Prof. Ing. Lbor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová

Více

MECHANIKA I. Jaromír Švígler

MECHANIKA I. Jaromír Švígler MECHNIK I Jaomí Švígle OBSH Předmluva Rozdělení a základní pojm mechank 4 Statka Základní pojm a aom statk Síla Moment síl k bodu a k ose Slová dvojce Základní věta statk Páce a výkon síl a momentu 5 Slové

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ ELEKTRICKÝ POTENCIÁL Elektrcká potencální energe Newtonův zákon pro gravtační sílu mm F = G r 1 2 2 Coulombův zákon pro elektrostatckou sílu QQ F = k r 1 2

Více

4/3.3. bodem v rovině (tvoří rovinný svazek sil), jsou vždy. rovnice z-ová. Pro rovnováhu takové soustavy

4/3.3. bodem v rovině (tvoří rovinný svazek sil), jsou vždy. rovnice z-ová. Pro rovnováhu takové soustavy STROJNICKÁ PŘÍRUČKA čá s t 4, d íl 3, k a p to la 3, str. 1 díl 3, Statka 4/3.3 ROVNOVÁHA TĚLESA Procházejí-l po uvolnění tělesa všechny síly jedním bodem v rovně (tvoří rovnný svazek sl), jsou vždy splněny

Více

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201 6.. Gonometrcký tvar kompleních čísel I Předpoklad: 07, 09, 60 Pedagogcká poznámka: Gonometrcký tvar kompleních čísel není pro student njak obtížný. Velm obtížné je pro student s po roce vzpomenout na

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

V této sekci zobecníme vnější kalkulus z kapitoly 4 operaci vnějšího. se sice na zde zavedené operace budeme odvolávat, vždy ale jen jako

V této sekci zobecníme vnější kalkulus z kapitoly 4 operaci vnějšího. se sice na zde zavedené operace budeme odvolávat, vždy ale jen jako [2.03,1.12,1.14,2.04,2.02,2.02,2.03,2.03,2.02,0,1.03] Kapitola 8 Kovariantní vnější derivace V této seci zobecníme vnější alulus z apitoly 4 operaci vnějšího součinu a vnější derivace na obecnější tenzorové

Více

P. Bartoš, J. Blažek, P. Špatenka. Katedra fyziky, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity, Jeronýmova 10, České Budějovice

P. Bartoš, J. Blažek, P. Špatenka. Katedra fyziky, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity, Jeronýmova 10, České Budějovice VYUŽITÍ MATLABU PŘI STATISTICKÉM ZPRACOVÁNÍ AT PŘI POČÍTAČOVÉM MOELOVÁNÍ EBYEOVA STÍNĚNÍ TECHNIKOU MAKROČÁSTIC P. Batoš, J. Blaže, P. Špatena Kateda fz, Pedagogcá faulta Jhočesé unvezt, Jeonýmova, Česé

Více

11 Základy analytické statiky

11 Základy analytické statiky Zákady anaytcké statky Ve všech dřívěších kaptoách sme rovnce statcké rovnováhy heda ze vztahů mez sovým účnky t. heda sme případy pro které by vektorový součet s a ech momentů roven nue t. heda sme řešení

Více

Matematické modelování ve stavební fyzice

Matematické modelování ve stavební fyzice P6 - Numercké řešení vedení tepla ve stěně Obsa: Stěna z omogennío materálu Stěna z různýc materálů Okraové podmínky Dvorozměrné vedení tepla Rovnce vedení tepla Rovnce kontnuty (v 1D) dq qcd, x qcd, x

Více

3. Mocninné a Taylorovy řady

3. Mocninné a Taylorovy řady 3. Mocninné a Taylorovy řady A. Záladní pojmy. Obor onvergence Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funčních řad. Jsou to funční řady, jejichž členy jsou mocninné funce. V této apitole

Více

R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra

R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra Zadání: Vypočtěte polohu těžiště, momenty setrvačnosti a deviační moment k centrálním osám a dále určete hlavní centrální momenty setrvačnosti, poloměry setrvačnosti a natočení hlavních centrálních os

Více

Using a Kalman Filter for Estimating a Random Constant Použití Kalmanova filtru pro výpočet odhadu konstantní hodnoty

Using a Kalman Filter for Estimating a Random Constant Použití Kalmanova filtru pro výpočet odhadu konstantní hodnoty II. Semnar ASR 007 Instruments and Control, Farana, Smutný, Kočí & Babuch (eds) 007, VŠB-TUO, Ostrava, ISB 978-80-48-7-4 Usng a Kalman Flter for Estmatng a Random Constant Použtí Kalmanova fltru pro výpočet

Více

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení .7. oment síly vzhledem k ose otáčení Předpoklady 70 Pedagogická poznámka Situaci tochu komplikuje skutečnost, že žáci si ze základní školy pamatují součin a mají pocit, že se pouze opakuje notoicky známá

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

Osově namáhaný prut základní veličiny

Osově namáhaný prut základní veličiny Pružnost a pevnost BD0 Osově namáhaný prut základní velčny ormálová síla půsoící v průřezu osově namáhaného prutu se získá ntegrací normálového napětí po ploše průřezu. da A Vzhledem k rovnoměrnému rozložení

Více

Úloha syntézy čtyřčlenného rovinného mechanismu

Úloha syntézy čtyřčlenného rovinného mechanismu Úloha syntézy čtyřčlenného rovnného mechansmu Zracoval: Jaroslav Beran Pracovště: Techncká unverzta v Lberc katedra textlních a ednoúčelových stroů Tento materál vznkl ako součást roektu In-TECH 2, který

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2

Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Jméno: VITALI DZIAMIDAU Číslo zadání: 7 U zobrazeného mechanismu definujte rozměry, hmotnosti a silové účinky a postupně proveďte: 1. kinematickou analýzu

Více

MODELOVÁNÍ HŘÍDELOVÉ SOUSTAVY S ČELNÍMI OZUBENÝMI KOLY. Ing. Karel Jiřička ČVUT v Praze, fakulta strojní

MODELOVÁNÍ HŘÍDELOVÉ SOUSTAVY S ČELNÍMI OZUBENÝMI KOLY. Ing. Karel Jiřička ČVUT v Praze, fakulta strojní MODELOVÁNÍ HŘÍDELOVÉ SOUSAVY S ČELNÍM OZUBENÝM KOLY ng. Kel Jřč ČVU Pze, fult stoní 1. Úod Po sestoání pohyboých onc dsétních soust e hodné yít z Lngngeoých onc duhého duhu fomuloných po zobecněné souřdnce

Více

7 Optická difrakce jako přenos lineárním systémem

7 Optická difrakce jako přenos lineárním systémem 113 7 Opticá difrace jao přenos lineárním systémem 7.1 Impulsová odezva pro Fresnelovu difraci 7. Přenosová funce pro Fresnelovu difraci jao Fourierova transformace impulsové odezvy 7.3 Fourierovsý rozlad

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Pružnost a plasticita II

Pružnost a plasticita II Pružnost a plastcta II 3. ročník bakalářského stua oc. Ing. Martn Kresa Ph.D. Katera stavební mechank Řešení nosných stěn metoou sítí 3 Řešení stěn metoou sítí metoa sítí (metoa konečných ferencí) těnová

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Statika soustavy těles.

Statika soustavy těles. Statika soustavy těles Základy mechaniky, 6 přednáška Obsah přednášky : uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho

Více

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Součást Newtonovské klasická mechanika (v

Více

Newtonův gravitační zákon

Newtonův gravitační zákon Gavitační pole FyzikaII základní definice Gavitační pole je posto, ve kteém působí gavitační síly. Zdojem gavitačního pole jsou všechny hmotné objekty. Každá dvě tělesa jsou k sobě přitahována gavitační

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme. Vrátíme se obecné rovnici přímy:

Více

Chemické reaktory. Inženýrství chemicko-farmaceutických výrob. Chemické reaktory. » Počet fází. » Chemická reakce.

Chemické reaktory. Inženýrství chemicko-farmaceutických výrob. Chemické reaktory. » Počet fází. » Chemická reakce. » Počet fází» homogenní» heteogenní (víefázové)» Chemá eae» neatalyté» atalyté» boeatoy (fementoy)» Chaate tou» deálně míhané» s pístovým toem» s nedoonalým míháním 1 » Výměna tepla» bez výměny tepla (adabatý)»

Více

DOPLŇKOVÉ TEXTY BB01 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ TUHÉ TĚLESO

DOPLŇKOVÉ TEXTY BB01 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ TUHÉ TĚLESO DOPLŇKOÉ TXTY BB0 PAL SCHAUR INTRNÍ MATRIÁL FAST UT BRNĚ TUHÉ TĚLSO Tuhé těleso je těleso, o teé latí, že libovolná síla ůsobící na těleso nezůsobí jeho defoaci, ale ůže ít ouze ohybový účine. Libovolná

Více

Měření tvaru ploch. Postup :

Měření tvaru ploch. Postup : B ěření tvau plo Úol :. Změřte tva plo pomoí souřadnovéo měříío aříení. Poveďte eonstu tvau plo na počítač. Učete polomě sféé plo pomoí sféometu Postup :. ěření tvau plo pomoí souřadnovéo měříío aříení

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regulární systém hustot Vychází se z: -,, P - pravděpodobnostní prostor -, R neprázdná množna parametrů - X X 1,, náhodný vektor s sdruženou hustotou X n nebo s sdruženou pravděpodobnostní

Více

ρ = 0 (nepřítomnost volných nábojů)

ρ = 0 (nepřítomnost volných nábojů) Učební text k přednášce UFY Světlo v izotropním látkovém prostředí Maxwellovy rovnice v izotropním látkovém prostředí: B rot + D rot H ( r, t) div D ρ rt, ( ) div B a materiálové vztahy D ε pro dielektrika

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G. SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí

Více

Derivace goniometrických. Jakub Michálek,

Derivace goniometrických. Jakub Michálek, Derivace goniometrických funkcí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Shrnutí Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech limitách, odvodí se také dvě důležité limity. Vypočítá

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 6.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 6. Příklad 1: Pacovní látkou v poovnávacím smíšeném oběhu spalovacího motou je vzduch o hmotnosti 1 [kg]. Počáteční tlak je 0,981.10 5 [Pa] při teplotě 30 [ C]. Kompesní pomě je 7, stupeň zvýšení tlaku 2

Více

Učební text k přednášce UFY102

Učební text k přednášce UFY102 Matematický popis vlnění vlna - ozuch šířící se postředím zachovávající svůj tva (pofil) Po jednoduchost začneme s jednodimenzionální vlnou potože ozuch se pohybuje ychlostí v, musí být funkcí jak polohy

Více

Difuze v procesu hoření

Difuze v procesu hoření Difuze v procesu hoření Fyziální podmíny hoření Záladní podmínou nepřetržitého průběhu spalovací reace je přívod reagentů (paliva a vzduchu) do ohniště a zároveň odvod produtů hoření (spalin). Pro dosažení

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

1. Dvě stejné malé kuličky o hmotnosti m, jež jsou souhlasně nabité nábojem Q, jsou 3

1. Dvě stejné malé kuličky o hmotnosti m, jež jsou souhlasně nabité nábojem Q, jsou 3 lektostatické pole Dvě stejné malé kuličk o hmotnosti m jež jsou souhlasně nabité nábojem jsou pověšen na tenkých nitích stejné délk v kapalině s hustotou 8 g/cm Vpočtěte jakou hustotu ρ musí mít mateiál

Více

Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory

Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory Výfučtení: Vektory Abychom zcela vyjádřili veličiny jako hmotnost, teplo či náboj, stačí nám k tomu jediné číslo (s příslušnou jednotkou). Říkáme jim skalární veličiny. Běžně se však setkáváme i s veličinami,

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

6 Samodružné body a směry afinity

6 Samodružné body a směry afinity 6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný

Více

vzhledem k ose kolmé na osu geometrickou a procházející hmotným středem válce. c) kužel o poloměru R, výšce h, hmotnosti m

vzhledem k ose kolmé na osu geometrickou a procházející hmotným středem válce. c) kužel o poloměru R, výšce h, hmotnosti m 8. Mechanika tuhého tělesa 8.. Základní poznatky Souřadnice x 0, y 0, z 0 hmotného středu tuhého tělesa x = x dm m ( m) 0, y = y dm m ( m) 0, z = z dm m ( m) 0. Poznámka těžiště tuhého tělesa má v homogenním

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

Řešení testu 2b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY ledna 2016

Řešení testu 2b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY ledna 2016 Řešení testu b Fika I (Mecanika a molekulová fika NOFY. ledna 6 Příklad Zadání: Po kouli o poloměu se be pokluovaní valí malá koule o poloměu. Jaká bude úlová clost otáčení malé koule v okamžiku kd se

Více