B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

Transkript

1 B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

2 Obsah 1 Kartézský součin dvou množin Binární relace Inverzní relace Klasifikace binární relací Ekvivalence

3 1 Kartézský součin dvou množin Definice 1.1 Uspořádanou dvojící prvků nazveme symbol, v němž je první složka a druhá složka, v tomto přirozeném pořadí. Definice 1.2 Dvě uspořádané dvojice se rovnají právě tehdy, jestliže se sobě rovnají první složky a sobě rovnají i druhé složky. V opačném případě považujeme dvojice za různé. Symbolický zápis: Definice 1.3 Kartézským součinem dvou množin prvků takových, že. rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic Zapisujeme: (1) Definice 1.4 Každou množinu lze vyjádřit jedním ze tří ekvivalentních způsobů: Výčtem prvků (2) Graficky (3) Charakteristickou vlastností (4) U konečných množin součin vyjádřit: výčtem graficky. lze pak kartézský U nekonečných množin (např. jsou-li intervaly) je pak graf jedinou přehlednou možností, jak vyjádřit. 3

4 Příklady: 1) Určete kartézský součin množin,. 2) Zakreslete graf kartézského součinu,. 3) Definice: Pokud je, pak hovoříme o kartézské mocnině (kartézském čtverci) a zapisuje =. Zakreslete kartézskou mocninu. 4) Věta: Kartézský součin dvou různých množin není obecně komutativní. Dokažte pomocí grafu. 5) Sestrojte kartézský a uzlový graf kartézského součinu, jsou-li množiny dány výčtem prvků. a. Uzlový graf kartézského součinu sestrojíme takto: Výčtem prvků určíme množinu a každý její prvek znázorníme v rovině jako kroužek, tzv. uzel. Jednotlivé uspořádané dvojice znázorníme jako: smyčku kolem uzlu odpovídající dvojici, orientovanou úsečku směřující od uzlu k uzlu odpovídající dvojici. 4

5 6) Utvořte všechna dvojciferná čísla, která mají na místě jednotek některou z číslic 3, 5, 6 a na místě jednotek některou z číslic 0, 2. Jakou vlastnost mají vytvořená čísla? 7) Sestrojte kartézský graf kartézského součinu, je-li: a), b), 8) Určete množiny, jejichž kartézský součin má následující uzlový graf: a) b) 9) Sestrojte kartézský graf kartézského součinu, je-li:, 10) Zapište množiny, jejichž kartézský součin má následující kartézský graf: 5

6 2 Binární relace Definice 2.1 Binární relací na množině rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu. Zapisujeme: Definice 2.2 Prvním oborem relace nazveme množinu všech jejich prvních složek, značíme. Druhým oborem relace nazveme množinu všech jejich druhých složek, značíme. Poznámka 2.1 Tato vcelku klasická definice však bývá žáky prezentována pouze formálně, bez hlubšího porozumění obsahu. Samotný překlad názvu binární relace říká, že se jedná o dvojčlenný vztah, vztah mezi dvěma prvky. Tento vztah je charakteristickou vlastností mezi prvky 6 x, y, tedy výrokovou formou o dvou proměnných. Jestliže najdeme obor pravdivosti této výrokové formy, získáme množinu, o níž je řeč v definici 2.1. Co žákům uniká, je to, že jméno této nové množiny se ztotožňuje s charakteristickou vlastností mezi prvky. Příklad 2.1,. Je dána charakteristická vlastnost (výroková forma) : Žák (z množiny ) používá dopravní prostředek (z množiny ). Statistickým šetřením se zjistilo, že: Petr jezdí na kole i autem, Jan jezdí jen autem a Eva nepoužívá ani kolo ani auto. Vyjádřete. Je zřejmé, že. je tedy binární relace. Je to množina všech uspořádaných dvojic z, které mají danou vlastnost. Úmluva 2.1 Jestliže, pak používáme i zápis (tzv. infixový zápis) a říkáme, že prvek je v relaci s prvkem Jestliže, říkáme, že relace je dána na množině.

7 Poznámka 2.2 Kartézský součin, event. kartézská mocnina je ve všech dalších aplikacích množina, které říkáme obor proměnné 1 (v teorii množin tzv. základní množina). Obecně obor proměnné značíme. Pro lepší představu lze obor proměnné považovat za nějaké hřiště, na němž se má hrát podle daných pravidel. Tento obor proměnné = hřiště vždy zadává autor úlohy (hry). Příklady: 1) Je daná binární relace. Rozhodněte, zda uspořádané dvojice jsou prvky této relace. 2) Kartézským grafem znázorněte relaci, která je daná výrokovou formou: dává při dělení čtyřmi stejný zbytek, jako při dělení čtyřmi. Přičemž, kde. 3) Pět členů rodiny Procházků bydlí ve společné domácnosti. Otec má 39 let, matka 36 let, dcera 16, babička 63 a teta 34 let. Výčtem prvků zapište relaci, která je daná výrokovou formou osoba je mladší než osoba. Sestrojte její kartézský a uzlový graf. 4) Na množině všech obdélníku (v rovině), jejichž rozměry jsou vyjádřeny celými čísly v cm, určete pomocí rozměrů obdélníky, jejichž obsah je. Který z nich bude mít nejmenší a který největší obvod? 5) Zapište následující relace v množině reálných čísel a graficky je znázorněte. a) číslo je rovno dvojnásobku druhé mocniny čísla, b) číslo je rovno. 6) Zapište následující relace v množině reálných čísel a graficky znázorněte. a) číslo je větší než číslo ; b) číslo je rovno dvojnásobku druhé mocniny čísla ; 7) Sestrojte graf relace. Určete první a druhý obor relace 1 Ve výrokové logice Vennovy diagramy 7

8 3 Inverzní relace Definice 3.1 Nechť je binární relace na množině. Inverzní relací k dané relaci nazveme takovou množinu všech uspořádaných dvojic, pro něž platí, že. Symbolicky: Inverzní relací z příkladu 2.1 k relaci je. Poznámka: Kartézské grafy relací a jsou souměrné podle osy. Příklady: 1) Zapište inverzní relaci z příkladu 3) předchozí kapitoly (př. o rodině Procházků). 2) Zamyslete se, co platí pro spojnice inverzních uspořádaných dvojic ve vztahu k ose. Pomozte si obrázkem viz výše. 3) Pomocí aplikace Geogebra zakreslete do kartézského grafu binární relaci nad množinou danou následujícím výčtem uspoř. dvojic. Nástrojem Osová souměrnost sestrojte inverzní relaci a zapište ji. 8

9 4 Klasifikace binární relací Pojem binární relace, je příliš široký. Mají-li prvky binární relace nějaké další, specifické, vlastnosti, můžeme je podle těchto vlastností roztřídit. Definice 4.1 Nechť je binární relace daná na množině. Pak relace se nazývá: (P) prázdná, jestliže (D) diagonální, jestliže relace obsahuje pouze a jen prvky. (R) reflexivní, jestliže (AR) antireflexivní 2, jestliže (S) symetrická, jestliže (AS) antisymetrická, jestliže (T) tranzitivní, jestliže (AT) antitranzitivní, jestliže (U) úplná, jestliže 4.1 Vlastnosti známých relací Příklad 4.1 a) Relace (rovnost) na množině přirozených čísel je: reflexivní, symetrická, antisymetrická a tranzitivní. b) Relace (menší nebo rovno) na je: reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. c) Relace (menší) na je antireflexivní, antisymetrická a tranzitivní, ale není reflexivní ani symetrická. 2 Někdy také areflexivní, nebo ireflexivní. 9

10 Příklad 4.2 Ve výrokové logice je definovaná 3 na množině výroků a) binární relace. Ukažte na tabulce pravdivostních hodnot, že: a. je reflexivní, tj. b. není symetrická tj. c. je tranzitivní, tj. lze řetězit implikace za sebou. b) binární relace. Ukažte na tabulce pravdivostních hodnot: a. je reflexivní, symetrická a tranzitivní relace. Příklad 4.3 V tomto příkladě ukážeme, že nelze mechanicky aplikovat běžně používanou tranzitivitu (ve smyslu řetězce implikací ). a) Nechť je množina míst v ČR, které mají vlakové nádraží. Relace je dána vztahem: Místo má přímé vlakové spojení s místem. Tvrzení: Relace není tranzitivní. Důkaz: Z Opavy je přímé spojení do Ostravy a zároveň z Ostravy je přímé spojení do Prahy, ale z Opavy není přímé spojení do Prahy. b) Označme množinu všech lidí, relace je definovaná takto: Tvrzení: Relace není tranzitivní. Důkaz: Karel je otcem Petra a zároveň Petr je otcem Jany. Je zřejmé, že Karel je dědečkem, nikoliv otcem Jany. Příklad 4.4 Nechť je množina všech přímek v rovině. Relaci definujme takto: y přímky x, y nemají žádný společný bod, nebo splývají, Relaci nazýváme rovnoběžnost přímek. 3 Pomocí tabulky pravdivostních hodnot 10

11 a) je reflexivní, neboť znamená, že přímka x splývá sama se sebou. b) je symetrická, neboť. c) je tranzitivní, neboť je-li. Příklady: 1) Je daná množina. Určete vlastnosti relace v množině, která je daná následující uzlovým grafem. 2) Je daná množina všech jednociferných sudých přirozených čísel a relace. Nakreslete její uzlový graf a určete její vlastnosti. 3) Je daná množina a relace v této množině. Relaci doplňte minimálním počtem uspořádaných dvojic tak, aby byla a) reflexivní b) symetrická c) tranzitivní 4) Relace na množině obsahuje všechny uspořádané dvojice, kde je zbytek při dělení čísla číslem 3. Relaci graficky znázorněte a určete jejich vlastnosti. 5) Relace na množině obsahuje všechny uspořádané dvojice, kde je násobkem téhož přirozeného čísla jako číslo. Zakreslete a určete vlastnosti. 6) V množině určete aspoň jednu relaci, která je reflexivní a tranzitivní, ale není symetrická. 7) V množině prvních čtyř prvočísel určete alespoň jednu relaci, která je symetrická a tranzitivní a není reflexivní. Znázorněte ji na uzlovém grafu. 11

12 5 Ekvivalence Definice 5.1 Relaci v množině nazýváme relací ekvivalence, právě když je reflexivní, symetrická a tranzitivní. 12

13 6 Citace NOVOTNÁ, Vilma a Bohuslav PISKLÁK. Matematika ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vyd. 1. Ostrava: Ostravská univerzita, Pedagogická fakulta, 2002, 222 s. ISBN