DETERMINATION OF VALUE AT RISK AND CONDITIONAL VALUE AT RISK BY ASSUMING ELLIPTICAL DISTRIBITION
|
|
- Karla Holubová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 DETERMINATION OF VALUE AT RISK AND CONDITIONAL VALUE AT RISK BY ASSUMING ELLIPTICAL DISTRIBITION [Stanoení Value at Risk a Conditional Value at Risk za předpokladu eliptických rozdělení praděpodobnosti] Kateřina Zelinkoá, Aleš Kresta Vysoká škola báňská-technická unierzita Ostraa, Ekonomická fakulta, Sokolská 33, 70 Ostraa katerina.zelinkoa@sb.cz Vysoká škola báňská-technická unierzita Ostraa, Ekonomická fakulta, Sokolská 33, 70 Ostraa ales.kresta@sb.cz Abstract: The importance of risk management is nowadays one of the most important actiities of financial institutions. One of the most commonly used methods for measuring and managing market risk is the indicator of Value at Risk (the minimum predicted loss for gien significant leel and time horizon and Conditional Value at Risk (the aerage of epected losses that eceed the alue of the Value at Risk. The aim of submitted article is the estimation of Value at Risk and Conditional Value at Risk for gien shares of stock s portfolio assuming elliptical distribution of probability. Significant leel is determined for 5 %, 0 %, 5%, % and 0.5 % for time horizon one day. Firstly, fitting probability of time series will be estimated. It can be assumed that the least appropriate type of distribution for the time series will be the normal distribution. Net, VaR and CVaR will be calculated for all gien probability distribution. Due to the fact that it is assumed that empirical time series and portfolio time series will correspond to either Student or Laplace distribution then the most appropriate model for estimating VaR and CVaR will be these two distributions. Keywords: Conditional Value at Risk, Elliptical distribution, Laplace distribution, Student distribution, Value at Risk. JEL classification: G, G4 Doručeno redakci: 7..06; Recenzoáno: 9..06;.4.06; Scháleno k publikoání: Úod Value at Risk (VaR je nástrojem použíaným od počátku 80. let minulého století řadou finančních institucí, který slouží k odhadoání elikosti ztráty (hodnoty VaR, kterou může na trhu za nezměněných podmínek dosáhnout inestor s určitou praděpodobností předem stanoeném období. Value at Risk je poažoán za základní měřítko pro kantifikaci tržního, pojistného, nebo kreditního rizika, také se použíá pro stanoení kapitáloého požadaku bankách či pojišťonách. Problematice Value at Risk je ěnoána řada publikací, ze kterých se ychází daném článku, nejkompleněji se obecně dané problematice ěnuje Aleander (008b, Hull (007 a Jorion (007. Artzner et al. (999 charakterizoal tz. Conditional Value at Risk (CVaR, jež lze definoat jako průměrnou elikost očekáaných ztrát, které přeýší hodnotu Value at Risk. Jedná se o eličinu, která tedy yjadřuje střední hodnotu ztráty případě, že ztráta bude yšší než hodnota Value at Risk. Tato eličina splňuje šechny aiomy koherentní míry rizika a z toho důodu je íce doporučoána jako míra rizika než práě Value at Risk. Nicméně při měření rizikoosti finančních institucí se použíá práě hodnota VaR. Tradiční rozdělení praděpodobnosti pro ýpočet Value at Risk analytickou metodou, jež bude aplikoána daném příspěku, se předpokládá normální rozdělení praděpodobnosti. Nicméně, prai tento předpoklad platí jen zřídka, protože konce rozdělení jsou silnější než 95
2 u normálního rozdělení, protože empirické praděpodobnostní rozdělení finančních ýnosů má oproti normálnímu rozdělení yšší špičatost a nenuloou šikmost, iz Fama (965. Jednou z možných alternati je použít Studentoo rozdělení praděpodobnosti nebo Laplaceoo rozdělení praděpodobnosti. Práě tato rozdělení náleží do tz. eliptických rozdělení. Studentoo rozdělení má těžké konce a úzce souisí s normoaným normálním rozdělením. Platí, že s rostoucím stupněm olnosti se k normálnímu rozdělení přibližuje. Pokud hodnota stupňů olnosti je ětší než 30, tak se toto rozdělení poažuje již za normální. Čím nižší je stupeň olnosti, tím nižší je rchol křiky funkce hustoty a tím těžší jsou její konce. Laplaceoo (oboustranné eponenciální rozdělení se yskytuje případech, kdy jsou náhodné eličiny měřeny za podmínek kolísání rozptylu kolem určité střední hodnoty (Artl a Artloá, 003. Ve sronání s normálním rozdělením je Laplaceoo rozdělení špičatější a má delší konce. Cílem příspěku je stanoit Value at Risk a Conditional Value at Risk pro akcioé portfolio za předpokladu eliptických rozdělení, tzn. normálního, Studentoo a Laplaceoo rozdělení praděpodobnosti a zjistit, jak se od sebe tyto hodnoty liší. Value at Risk a Conditional Value at Risk za předpokladu eliptických rozdělení Ukazatel Value at Risk je definoán dle Zmeškala et al. (004 jako nejmenší predikoaná ztráta na dané hladině praděpodobnosti za daný časoý interal. Také lze charakterizoat Value at Risk jako jednostranný interal spolehliosti potencionálních ztrát hodnoty portfolia po danou dobu držení, což lze zapsat: X -VaR ( F ( = P α,δt α ( kde F ( je distribuční funkce, je hladina spolehliosti and t je časoý horizont. Normální rozdělení je prai značně yužíáno díky sým lastnostem, zejména jednoduchosti, která spočíá potřebě pouze dou snadno zjistitelných parametrů (,. Normální rozdělení praděpodobnosti je jedním z nejznámějších rozdělení praděpodobností spojité náhodné eličiny. Náhodná proměnná X má normální rozdělení, jestliže se funkce hustoty roná (Aleander, 008a, ( ( X ep, ( kde =E( zobrazuje střední hodnotu, yjadřuje rozptyl a náhodná proměnná nabýá hodnot z interalu (- ;. Při odhadu parametrů daného rozdělení je použita metoda maimální ěrohodnosti. Normální rozdělení má zásadní ýznam, protože mnoho náhodných eličin oblasti ekonomie buď mají normální rozdělení, nebo lze rozdělení těchto náhodných eličin normálním rozdělením alespoň aproimoat. Normální rozdělení má použití šude tam, kde je kolísání náhodné eličiny způsobeno součtem elkého počtu nepatrných zájemně nezáislých liů. Vztah pro ýpočet Value at Risk za předpokladu normálního rozdělení má tar VaR (, (3 kde je inerzní funkce k distribuční funkci normoaného normálního rozdělení, je hladina ýznamnosti, je směrodatná odchylka, střední hodnota. Studentoo t-rozdělení je kontinuální rozdělení praděpodobnosti, kterým lze yčíslit střední hodnotu a normální distribuci populace. Lze jej použít za předpokladu, že daný zorek údajů 96
3 97 je malý (Cipra, 008. Studentoo t-rozdělení úzce souisí s normoaným normálním rozdělením a s rostoucím stupněm olnosti se k normálnímu rozdělení přibližuje. Pokud je 30, tak se toto rozdělení již poažuje za normální. Čím nižší je stupeň olnosti, tím yšší je rchol křiky funkce hustoty a tím těžší jsou její konce. Funkce hustoty pro Studentoo t- rozdělení s stupni olnosti je definoána následujícím ztahem (Lewis, 003, ( ( t t f, (4 kde gamma funkce Г je rozšířením funkce faktoriálu n! na neceločíselné hodnoty. Náhodná proměnná, která má Studentoo t-rozdělení, se značí. ~ t T Věrohodnostní funkce Studentoa rozdělení ychází z funkce hustoty (4 a je dána N i k n t L (,...,,...,, (. Nyní se ěrohodnostní funkce zlogaritmuje a pomocí optimalizační úlohy, jež se maimalizuje, se stanoí stupně olnosti log ln ln ln ln( L i, (5 Vztah pro ýpočet Value at Risk za předpokladu Studentoa rozdělení praděpodobnosti je následující ( ( t VaR. (6 Laplaceoo rozdělení se yskytuje případech, kdy jsou náhodné eličiny měřeny za podmínek kolísání rozptylu kolem určité střední hodnoty. Ve sronání s normálním rozdělením je Laplaceoo rozdělení špičatější a má delší konce. Funkce hustoty pro Laplaceoo rozdělení praděpodobnosti je dána (Beirlant et al., 004, f ep (, (7 kde zobrazuje střední hodnotu, > 0 yjadřuje směrodatnou odchylku a náhodná proměnná nabýá hodnot z interalu (- ;. Laplaceoo rozdělení se literatuře objeuje často jako jedna z forem obecnějších rozdělení doporučoaných pro popis choání finančních časoých řad. A připouští ýskyt ýrazněji odchýlených hodnot a yužíá se jako robustní alternatia normálního rozdělení. Pro ýpočet hodnoty Value at Risk portfolia akcií za předpokladu Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti, lze yužít následující ztah ln( VaR. (8 Conditional Value at Risk (CVaR se také nazýá Epected Shortfall (ES nebo Epected Tail Loss (ETL. Conditional Value at Risk lze definoat jako průměrnou elikost očekáaných ztrát, které přeýší hodnotu Value at Risk. Jedná se o eličinu, která tedy yjadřuje střední hodnotu ztráty případě, že ztráta bude yšší než hodnota Value at Risk. Tedy hodnota CVaR je ždy yšší než hodnota VaR. Matematicky lze CVaR yjádřit následoně
4 X EX X CVaR VaR, (9 kde VaR je očekáaná ztráta, X je náhodná eličina yjadřující zisk či ztrátu a předstauje hodnotu VaR na hladině ýznamnosti α. Hodnota CVaR má lepší ypoídací schopnost než VaR, protože splňuje šechny čtyři podmínky pro koherentní míru rizika, které jsou monotónost, subadditiita, homogenita a translační inariance. Vzhledem k tomu, že CVaR udáá konkrétní hodnotu ztráty při překročení hladiny neočekáané ztráty, umožňuje riziko popsat kompleněji než při použití VaR. Výpočet pro hodnotu Conditional Value at Risk za předpokladu normálního rozdělení má tar ( CVaR ep z. (0 Vztah pro ýpočet CVaR za předpokladu Studentoa rozdělení praděpodobnosti je následující _ CVaRh,, ( t ( ( ( f( (. ( Vztah pro ýpočet CVaR za předpokladu Laplaceoa rozdělení (Zhuo et al, 04 je následující kde, CVaR ( ln g(, g(, ln,, ( g g je definoáno jako, / zjistit jako. g a lze jednoduše analyticky Stanoení VaR a CVaR pro portfolio akti Metodologie Value at Risk a přístup Conditional Value at Risk budou aplikoány na akcioé portfolio, které je sestaeno deseti nejíce obchodoatelných akcií na americkém trhu druhém kartálu tohoto roku. Nejpre jsou popsána a analyzoána stupní data. Dále je z těchto akcií sestaeno portfolio, přičemž áhy jednotliých akcií portfoliu jsou stejné, tzn. 0,. Pro dané portfolio akti je stanoena hodnota Value at Risk a Conditional Value at Risk pro různé stupně praděpodobnosti.. Popis a analýza empirických dat Ceny akcií byly zjišťoány za období od ledna 009 do listopadu 05. Za toto období je k dispozici 93 denních záěrečných kurzů pro každou akcii. Ceny akcií byly zjišťoány z databáze portálu Portfolio je složeno z deseti titulů, znamená to, že je také ystaeno deseti rizikoým faktorům, které jsou předstaoány cenami jednotliých akcií. Po zjištění potřebných informací o daném portfoliu a sestaení časoých řad ýoje cen jednotliých akcií byla ypočtena další data, potřebná pro ýpočet hodnoty Value at Risk. Těmito daty byly denní ýnosy těchto akcií. Tyto denní ýnosy byly ypočteny spojitě. Z 93 denních kurzů bylo ypočteno 930 denních spojitých ýnosů dle ztahu Pt R ln, (3 P t 98
5 kde R je ýnos, P t je cena akcie čase t a P t- je cena čase t-. Nejpre byly ypočteny logaritmické ýnosy dle ztahu (3. Výpočty základních charakteristik jednotliých ýnosů jsou zobrazeny následující tabulce. Tabulka : Základní charakteristiky akcií N Střední hodnota Směrodatná odchylka Šikmost Špičatost Min Ma Apple 930 0,07%,9% -0,540 7,6997-9,7% 3,0% Applied_Material 930-0,005%,8% -0,660 4,976-3,5% 3,3% Cisco 930-0,00%,008% -0,454,5480-7,7% 4,8% Fo 930 0,05%,499% 0,50 8,5069-7,0% 8,9% Intel 930 0,004%,954% -0,067 4,976-3,%,% Micron 930 0,04% 3,798% -0,795 4,46-0,3%,% Microsoft 930 0,00%,864% 0,40 9,375 -,5% 7,% Powershares 930 0,037%,433% -0,077 7,396-9,4%,5% Sirius 930-0,06% 3,906% -0,4864 8,8690-6,8%,3% Yahoo 930-0,00%,406% -0,7309 8,7683-3,4%,3% Zdroj: lastní ýpočty na základě dat z Dle Tabulky lze idět ypočtené základní stupní parametry, jako jsou střední hodnota, směrodatná odchylka, šikmost a špičatost. Je zřejmé, že střední hodnota a směrodatná odchylka ýnosů se pohybují kolem nuly. Koeficient šikmost neboli třetí centrální normoaný moment může být kladný nebo záporný podle toho, na kterou stranu jsou odchylky od střední hodnoty ětší. Pokud je křika hustoty praděpodobnosti symetrická zhledem ke střední hodnotě, je koeficient šikmosti nuloý. Míry šikmosti poukazují na asymetrické rozdělení ýnosů, a to leostranné, tedy mimo akcii FOX a MICROSOFT, jejímž případě není hodnota záporná, ale kladná. Koeficient špičatosti neboli čtrtý centrální normoaný moment charakterizuje rozdělení finančního instrumentu a poronáá dané rozdělení s normálním rozdělením praděpodobnosti. Pro normální rozdělení praděpodobnosti by byl koeficient špičatosti roen třem. V případě ýsledku ětšího než tři jsou odchylky od střední hodnoty ětší než u normálního rozdělení. Na základě Tabulky lze také pozoroat, že špičatost ýnosů akcií je o poznání yšší, než je charakteristické pro normální rozdělení (hodnota by měla být nuloá. Již z pohledu na hodnoty koeficientu šikmosti a špičatosti je zřejmé, že normální rozdělení není hodné pro modeloání těchto časoých řad. Toto lze potrdit i pomocí Kolgomoro Smirnoa testu (K-S test, iz Tabulka, pomocí kterého můžeme pro šechny časoé řady na % hladině praděpodobnosti zamítnout nuloou hypotézu, že řady odpoídají normálnímu rozdělení. 99
6 Tabulka : Kolmogoro Smirnoů test Normální Studentoo Laplaceoo df Sig. Sig. Sig. Apple 930 0,000 0,0 0,033 Applied_Material 930 0,000 0,009 0,0 Cisco 930 0,000 0,00 0,0 Fo 930 0,000 0,00 0,0 Intel 930 0,000 0,04 0,034 Micron 930 0,000 0,049 0,065 Microsoft 930 0,000 0,0 0,09 Powershares 930 0,000 0,065 0,07 Sirius 930 0,000 0,00 0,008 Yahoo 930 0,000 0,004 0,04 Zdroj: lastní ýpočty programu SPSS H : soubor má dané rozdělení praděpodobnosti Sig. > 0,0 (tučně zýrazněné 0 H : soubor nemá dané rozdělení praděpodobnosti Sig. < 0,0 V případě normálního rozdělení se zamítá nuloá hypotéza dle p-hodnoty, tedy dané časoé řady nesplňují předpoklad normálního rozdělení praděpodobnosti. P-hodnota (Sig. <, tzn. že p-hodnota, která je prezentoána jako Sig. je menší než zolená hladina praděpodobnosti %. V případě Studentoa a Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti není zamítnuta nuloá hypotéza e šech případech. Dané časoé řady odpoídají ětšinou Laplaceou rozdělení praděpodobnosti.. Výpočet VaR a CVaR pro akcioé portfolio Portfolio je složeno z deseti akcií, jež jsou analyzoány předchozí kapitole. Předpokládá se, že áhy akcií portfoliu jsou stejné. Tabulka 3: Základní charakteristiky portfolia Střední hodnota Směrodatná odchylka Šikmost Špičatost Minimum Maimum Portfolio 0,03 %,43% -0,036 7,677-9 % % Zdroj: lastní ýpočty V Tabulce 3 lze idět ypočtené základní stupní parametry, jako jsou střední hodnota, směrodatná odchylka, šikmost a špičatost. Je zřejmé, že střední hodnota a směrodatná odchylka ýnosů se pohybují kolem nuly. Koeficient šikmosti poukazuje na asymetrické rozdělení ýnosů, a to leostranné. Koeficient špičatosti je yšší, než je charakteristické pro normální rozdělení. Z třetího a čtrtého centrálního momentu je zřejmé, že normální rozdělení není hodné pro modeloání daného portfolia. Toto lze potrdit i pomocí K-S testu, jež ýsledky pro portfolio jsou zobrazeny Tabulce 4. Tabulka 4: K-S test portfolia Normální Studentoo Laplaceoo Sig. Sig. Sig. Portfolio 0,000 0,069 0,06 Zdroj: lastní ýpočty 00
7 V případě normálního rozdělení se zamítá nuloá hypotéza dle p-hodnoty (Sig., tedy portfolio nesplňuje předpoklad normálního rozdělení praděpodobnosti. Vzhledem k tomu, že stupní data odpoídala přeážně Laplaceou rozdělení, se předpokládá, že dané portfolio ěrohodně popisuje také práě Laplaceoo rozdělení, což se potrdilo. Portfolio má Studentoo rozdělení na hladině praděpodobnosti % a Laplaceoo rozdělení má dokonce při 5 %. Dále byly proedeny QQ ploty. Obrázek : QQ ploty portfolia Zdroj: lastní zpracoání SPSS Podle QQ plotů se ukázalo, že normální rozdělení praděpodobnosti nepopisuje ěrohodně empiricky napozoroaná data. Nasbíraná data ykazují těžší konce rozdělení oproti zkoumaným teoretickým rozdělením praděpodobnosti. Z toho důodu je hodné stanoit VaR a CVaR pomocí jiných typů rozdělení, které akceptují těžší konce rozdělení. Mezi takoé přístupy patří práě použití Studentoo rozdělení a Laplaceoo rozdělení. V případě QQ plotu pro Studentoo rozdělení lze idět, že konce nepřiléhají teoretickému rozdělení praděpodobnosti. Z toho důodu není hodné použíat ani Studentoo rozdělení. Nejlépe odpoídá empirické rozdělení s teoretickým rozdělením práě u QQ plotu Laplaceoa rozdělení a to i přesto, že některé hodnoty zcela nedoléhají. Nyní se odhadne hodnota VaR a CVaR za předpokladu normálního, Studentoa a Laplaceoa rozdělení pro stanoené portfolio akti. I když testoání normality ukázalo, že dané portfolio neodpoídá ěrohodně normálnímu ani Studentou rozdělení, tak i přesto je ypočtena hodnota VaR a CVaR za předpokladu těchto dou typů rozdělení a to z toho důodu, aby bylo zřejmé, jaká chyba může nastat při nehodném použití rozdělení praděpodobnosti. Nejpre se musí odhadnout parametry ztahů VaR a CVaR za předpokladu šech uedených rozdělení praděpodobnosti. Jednotlié parametry pro portfolio ychází z Tabulky 3, ošem chybí jeden parametr a to stupně olnosti pro Studentoo rozdělení. Stupně olnosti se odhadnou pomocí metody maimální ěrohodnosti za pomocí optimalizační úlohy, kdy je použit ztah (5. Tabulka 5: Odhad stupňů olnosti Portfolio Stupně olnosti - 4,70 Logaritmická funkce -57,8 Zdroj: lastní ýpočty Nyní jsou známy šechny parametry, a tudíž se může přejít k samotnému ýpočtu hodnoty VaR a CVaR. Hladina ýznamnosti je stanoena e ýši 5 %, 0 %, 5%, % a 0,5%. Časoý horizont je jeden den. V následující tabulce jsou ukázány ypočítané hodnoty VaR 0
8 za předpokladu normálního rozdělení dle (3, za předpokladu Studentoa rozdělení dle ztahu (6, přičemž stupně olnosti jsou uedeny Tabulce 5 a Laplaceoa rozdělení dle ronice (8. Tabulka 6: Odhad hodnoty VaR 5% 0% 5% % 0,5% Normální,78%,0%,83% 4,00% 4,43% Studentoo,54%,99%,77% 4,87% 5,99% Laplaceoo,46%,96%,80% 4,75% 5,60% Zdroj: lastní ýpočty Z Tabulky 6 je patrné, že hodnota VaR pro portfolio za předpokladu Laplaceoa rozdělení a hladiny ýznamnosti 0,5 % je e ýši 5,6 %, což znamená, že za předpokladu hladiny ýznamnosti 0,5 % bude predikoaná ztráta ětší nebo rona práě 5,6 % z hodnoty daného portfolia. Vzhledem k tomu, že odhad hodného typu rozdělení pro portfolio je práě model s Laplaceoým rozdělením, lze očekáat, že tato hodnota je nejlepší. V případě použití normálního rozdělení by byla predikoaná ztráta podhodnocena, tzn., že by finanční instituce držely nižší obnos peněz, než očekáaly. Naopak, při použití modelu VaR se Studentoým rozdělením, je hodnota VaR nadhodnocena, tzn., že by finanční instituce držely ětší množstí peněz. Dosažené hodnoty Value at Risk z Tabulky 6 jsou pro lepší názornost zobrazeny do grafu, iz obrázek. Jak je tomto grafu znázorněno, hodnota VaR s rostoucí praděpodobností nepřekročení této ztráty roste. Obrázek : Hodnoty VaR pro portfolio při yužití různých hladinách ýznamnosti Zdroj: lastní zpracoání V Obrázku lze názorně idět rozdíly hodnot VaR za předpokladu různých rozdělení praděpodobnosti při daných hladinách ýznamnosti. Křika, která znázorňuje hodnotu VaR za předpokladu Studentoa rozdělení, je téměř totožná s křikou, která znázorňuje hodnoty VaR za předpokladu Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti. 0
9 Také byly ypočítány hodnoty pro CVaR za předpokladu normálního rozdělení dle (0, Studentoa rozdělení dle ztahu ( a Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti (. Hodnoty jsou uedeny Tabulce 7. Tabulka 7: Odhad hodnoty CVaR 5% 0% 5% % 0,5% Normální,67% 3,0% 3,54% 4,58% 4,97% Studentoo 3,00% 3,69% 4,89% 7,54% 8,56% Laplaceoo,0%,6% 3,3% 4,9% 5,6% Zdroj: lastní ýpočty Z definice CVaR yplýá, že hodnoty CVaR by měly být yšší než hodnoty VaR, což pro šechny ypočtené modely platí. Hodnota CVaR za předpokladu Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti pro hladinu ýznamnosti 0,5 % znamená, že střední hodnota ztráty případě, že ztráta bude yšší než hodnota Value at Risk je e ýši 5,6 %. Vzhledem k tomu, že časoá řada daného portfolio nejlépe odpoídala Laplaceou rozdělení, lze očekáat, že tato hodnota je nejlepší. V případě použití normálního rozdělení by byla predikoaná ztráta podhodnocena, tzn., že by finanční instituce držely nižší obnos peněz, než očekáaly. Naopak, při použití modelu VaR se Studentoým rozdělením, je hodnota VaR nadhodnocena, tzn., že by finanční instituce držely ětší množstí peněz. Opět pro lepší orientaci jsou hodnoty CVaR znázorněny graficky, iz Obrázek 3. Obrázek 3: Hodnoty CVaR pro portfolio při yužití různých hladinách ýznamnosti Zdroj: lastní zpracoání Z Obrázku 3 je zřejmé, že hodnoty CVaR za předpokladu Studentoa a Laplaceoa rozdělení pro různé hladiny praděpodobnosti nejsou téměř totožné jako případě hodnot VaR. S rostoucí hladinou ýznamnosti klesá hodnota CVaR pro šechny uedené modely. Nejyšší hodnoty CVaR dosahují modely za předpokladu Studentoa rozdělení praděpodobnosti pro šechny hladiny ýznamnosti a naopak nejnižší hodnoty CVaR jsou za předpokladu Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti a to pro hladiny ýznamnosti 5 %, 0 % a 5 %. 03
10 .3 Diskuse Fama (965 uedl e sém článku, že ýnosy nemají normální rozdělení, ykazují yšší špičatost a těžší konce, což odpoídá i ýsledkům tomto článku. Práě pro ýnosy s yšší špičatostí a těžšími konci lze očekáat, že mohou splňoat práě Studentoo nebo Laplaceoo rozdělení praděpodobnosti. Z deseti uedených akcií dle K-S testu práě pět splňuje Studentoo rozdělení praděpodobnosti a osm časoých řad Laplaceoo rozdělení. Vzhledem k tomu, že u šech uedených časoých řad není přijata nuloá hypotéza, tak je hodné oěřoat další typy rozdělení praděpodobnosti pro empiricky napozoroaná data, např. NIG rozdělení. Jak lze idět z ýsledků odhad hodnoty VaR, iz Tabulka 6, tak míra rizika za předpokladu normálního rozdělení je yšší při yšších hladinách ýznamnosti. Při 5% hladině ýznamnosti se dané hodnoty při různých typech praděpodobnosti neliší a při nižších než 5% hladině ýznamnosti jsou hodnoty VaR za předpokladu Studentoa a Laplaceoa rozdělení naopak yšší než za předpokladu normálního rozdělení. Výsledky VaR za předpokladu Studentoa a Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti se ýrazně neliší za šech uedených hladin ýznamnosti, z toho důodu je hodné proést erifikaci daných modelů. Aleander (008b e sé publikaci dochází ke stejným ýsledkům při ilustratiním příkladu na sronání hodnoty VaR za předpokladu normálního a Studentoa rozdělení. Stejný průběh ýsledků při daných hladinách ýznamnosti je i při odhadu hodnoty CVaR, iz Tabulka 7. Záěr Cílem daného článku bylo stanoit Value at Risk a Conditional Value at Risk pro akcioé portfolio za předpokladu eliptických rozdělení, tzn. normálního, Studentoo a Laplaceoo rozdělení praděpodobnosti a zjistit, jak se od sebe tyto hodnoty liší. Nejpre byl proeden K- S test jednotliých časoých řad, tzn. ýnosů jednotliých akcií, kde se zjistilo, že časoé řady na hladině praděpodobnosti % nemají normální rozdělení, Studentou rozdělení odpoídají pět akcií a Laplaceoo rozdělení ěrohodně popisuje osm časoých řad. Dále byl proeden stejný test pro dané portfolio. Portfolio nejlépe popisuje Laplaceoo rozdělení praděpodobnosti na hladině praděpodobnosti 5 % a na hladině praděpodobnosti % odpoídá portfolio i Studentou rozdělení. Z toho důodu se předpokládá, že nejhodnější model stanoení VaR a CVaR je práě za předpokladu Laplaceoa rozdělení. I přesto byla ypočtena hodnota VaR a CVaR za předpokladu normální a Studentoa rozdělení, aby se dané hodnoty mohly poronat a ilustroat elikost chyby při nehodném použití modelu. V případě použití normálního rozdělení by byla predikoaná ztráta podhodnocena oproti hodnotě VaR za předpokladu Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti při nižších hladinách ýznamnosti (0,5 % a % tzn., že by finanční instituce držely nižší obnos peněz, než očekáaly. Při yšších hladinách ýznamnosti tomu bylo naopak. Při použití modelu VaR se Studentoým rozdělením, je hodnota VaR nadhodnocena, za předpokladu nižších hladin ýznamnosti (0,5 % a %, tzn., že by finanční instituce držely ětší množstí peněz. Pro lepší názornost byly ýsledky graficky zobrazeny. Poděkoání Tento článek znikl za podpory projektu grantu GP3-8300P Modeloání finančních časoých řad a odhad rizika. Literatura [] ALEXANDER, C., 008a. Quantitae Methods in Finance. Chichester: John Wiley& Sons. ISBN
11 [] ALEXANDER, C., 008b. Value at Risk models. Chichester: John Wiley& Sons, ISBN [3] ARTL, J. a M. ARTLOVÁ, 003. Finanční časoé řady. Praha: Grada. ISBN [4] ARTZNER, P., F. DELBAEN, J.-M. EBER a D. HEATH, 999. Coherent measures of risk. Mathematical finance, 9(3, ISSN [5] BEIRLANT, J., Y. GOEGEBEUR, J. SEGERS a J. TEUGELS, 004. Statistics of Etremes: Theory and Applications. Chichester: John Wiley& Sons. ISBN [6] CIPRA, T., 008. Finanční ekonometrie. Praha: Ekopress. ISBN [7] FAMA, E. F., 965. The behaior of stock market prices. Journal of Business, 38(, ISSN [8] HULL, J., 007 Risk Management and Financial Institutions. New Jersey: Pearson Education. ISBN [9] JORION, P., 007. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk.. yd. New York: McGraw-Hill. ISBN [0] LEWIS, N., 003. Market Risk Modelling. London: Risk Books. ISBN [] ZHUO, S., Q. LU, L. HAN, Y. LIU a F. HU, 04. A mean-cvar-skewness portfolio optimization model based on asymmetric Laplace distribution. Annals of Operations Research, 6(, ISSN [] ZMEŠKAL, Z. et al., 004. Financial models. Ostraa: VŠB TU Ostraa. ISBN
Determination Value at Risk via Monte Carlo simulation Stanovení Value at Risk pomocí metody simulace Monte Carlo
Determination Value at Risk via Monte Carlo simulation Stanovení Value at Risk pomocí metody simulace Monte Carlo Kateřina Zelinková 1 Abstract The financial institution, namely securities firms, banks
Více1) Zvolíme vztažný výkon; v tomto případě to může být libovolné číslo, například S v
A1B15EN kraty Příklad č. 1 V soustaě na obrázku je označeném místě trojfázoý zkrat. rčete: a) počáteční rázoý zkratoý proud b) počáteční rázoý zkratoý ýkon c) nárazoý proud Řešení: 1) olíme ztažný ýkon;
Více4 Brzdová zařízení kolejových vozidel
4 Brzdoá zařízení kolejoých ozidel 4. Součinnost brzdoých systémů Praidla součinnosti různých brzdoých systémů, které jsou současně instaloány na ozidle, musí být stanoena tak, aby byl maximálně yžitý
VíceZápočtová práce STATISTIKA I
Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru
VíceMetodologie pro Informační studia a knihovnictví 2
Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Modul 5: Popis nekategorizovaných dat Co se dozvíte v tomto modulu? Kdy používat modus, průměr a medián. Co je to směrodatná odchylka. Jak popsat distribuci
VíceKvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát
Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát Jiří Havlický 1 Abstrakt Článek je zaměřen na stanovení a zhodnocení citlivosti výše očekávané a neočekávané ztráty plynoucí z podstupovaného
VíceMetodologie pro Informační studia a knihovnictví 2
Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Modul V: Nekategorizovaná data Metodologie pro ISK 2, jaro 2014. Ladislava Z. Suchá Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Modul 5: Popis
VíceUNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.
UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace
VíceVLIV SLUNEČNÍHO ZÁŘENÍ NA VĚTRANÉ STŘEŠNÍ KONSTRUKCE
VLIV SLUNEČNÍHO ZÁŘENÍ N VĚTRNÉ STŘEŠNÍ KONSTRUKCE ZÁKLDNÍ PŘEDPOKLDY Konstrukce douplášťoých ětraných střech i fasád ke sé spráné funkci yžadují tralé ětrání, ale případě, že proedeme, zjistíme, že ne
VíceSborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2012, ročník XII, řada stavební článek č.
borník ědeckých prací Vsoké škol báňské - Technické unierzit Ostraa číslo 1, rok 01, ročník XII, řada staební článek č. 14 Michal KRAU 1, Darja KUBEČKOVÁ KULINOVÁ ANALÝZA ZÁVILOTI VZDUCHOTĚNOTI BUDOVY
Více1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA
N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy
VíceAnalýza dat na PC I.
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Lékařská a Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Analýza dat na PC I. Popisná analýza v programu Statistica IBA výuka Základní popisná statistika Popisná statistika
VíceSTANOVENÍ DISPERZNÍ KŘIVKY ZE ZÁZNAMŮ SEISMICKÝCH POVRCHOVÝCH VLN PŘI HARMONICKÉM ZDROJI
TANOVENÍ DIPEZNÍ KŘIVKY ZE ZÁZNAMŮ EIMICKÝCH POVCHOVÝCH VLN PŘI HAMONICKÉM ZDOJI. Gaždoá, J. Vilhelm Uniersita Karloa Praha, Přírodoědecká fakulta Abstrakt Příspěek se zabýá stanoením disperzní křiky porchoých
VíceK Mechanika styku kolo vozovka
Mechanika styku kolo ozoka Toto téma se zabýá kinematikou a dynamikou kola silničních ozidel. Problematika styku kolo ozoka má zásadní ýznam pro stanoení parametrů jízdy silničních ozidel, neboť má li
VíceZkraty v ES Zkrat: příčná porucha, prudká havarijní změna v ES nejrozšířenější porucha v ES při zkratu vznikají přechodné jevy Vznik zkratu:
Zkraty ES Zkrat: příčná porucha, prudká haarijní změna ES nejrozšířenější porucha ES při zkratu znikají přechodné jey Vznik zkratu: poruchoé spojení fází nazájem nebo fáze (fází) se zemí soustaě s uzemněným
Více2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student
Více6. OBROBITELNOST MATERIÁLŮ
6. OBROBITELNOST MATERIÁLŮ Po úspěšném a aktiním absoloání této KAPITOLY Budete umět: Obecné pojmy a terminologii obrobitelnosti. Stanoit základní kritéria obrobitelnosti a součinitel obrobitelnosti. Popsat
VíceVnitřní energie ideálního plynu podle kinetické teorie
Vnitřní energie ideálního plynu podle kinetické teorie Kinetická teorie plynu, která prní poloině 9.století dokázala úspěšně spojit klasickou fenoenologickou terodynaiku s echanikou, poažuje plyn za soustau
VíceJarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test)
Jarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test) Autoři: Carlos M. Jarque and Anil K. Bera Předpoklady: - Výběrová data mohou obsahovat chybějící pozorování (chybějící hodnoty) vhodné zejména
VíceSmlouva o dílo. Článek 1 Předmět smlouvy
RADA PRO ROZHLASOVÉ A TELEVIZNÍ VYSÍLÁNÍ Rada pro rozhlasoé a teleizní ysílání Skřetoa t\i\j 6,120 00 Praha 2 Tel.: 4 i 20 274 813 830 / Fax: 420 27/4 810 885 www.rrt.cz Smloua o dílo uzařená níže uedeného
VícePrůzkumová analýza dat
Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se
VíceTestování hypotéz. 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test
Testování hypotéz 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test Testování hypotéz proces, kterým rozhodujeme, zda přijmeme nebo zamítneme nulovou hypotézu
VíceMetodologie pro ISK II
Metodologie pro ISK II Všechny hodnoty z daného intervalu Zjišťujeme: Centrální míry Variabilitu Šikmost, špičatost Percentily (decily, kvantily ) Zobrazení: histogram MODUS je hodnota, která se v datech
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceJednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)
Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze
VíceValue at Risk. Karolína Maňáková
Value at Risk Karolína Maňáková Value at risk Historická metoda Model-Building přístup Lineární model variance a kovariance Metoda Monte Carlo Stress testing a Back testing Potenciální ztráta s danou pravděpodobností
VícePorovnání dvou výběrů
Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů
VíceIntervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
VíceVýpočet stability (odolnosti koryta)
CVIČENÍ 5: VÝPOČET STABILITY KORYTA Výpočet stability (odolnosti koryta) Výpočtem stability se prokazuje, že koryto jako celek je pro nárhoé hydraulické zatížení stabilní. Nárhoé hydraulické zatížení pro
Vícevzdálenost těžiště (myslí se tím těžiště celého tělesa a ne jeho jednotlivých částí) od osy rotace
Přehled příkladů 1) Valiý pohyb, zákon zachoání energie ) Těžiště tělesa nebo moment setračnosti ýpočet integrací - iz http://kf.upce.cz/dfjp/momenty_setracnosti.pdf Nejčastější chyby: záměna momentu setračnosti
VíceModelování vývoje výnosů zahraničního aktiva pro českého investora
Modelování vývoje výnosů zahraničního aktiva pro českého investora Aleš Kresta 1 Abstrakt Příspěvek je zaměřen na modelování výnosů závisejících na vývoji dvou rizikových faktorů, konkrétně je v příspěvku
VíceADDS cviceni. Pavlina Kuranova
ADDS cviceni Pavlina Kuranova Testy pro dva nezávislé výběry Mannův Whitneyho test - Založen na Wilcoxnově statistice W - založen na pořadí jednotlivých pozorování (oba výběry spojeny do jednoho celku)
VíceIntervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY
zhanel@fsps.muni.cz ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY 1. URČENÍ TYPU ŠKÁLY (nominální, ordinální, metrické) a) nominální + ordinální neparametrické stat. metody b) metrické
VíceCENTRAL EUROPEAN MEDIA ENTERPRISES LTD. z anglického originálu) PRVNÍ POLOLETÍ. tok vzrostl o 53,7 mil. USD na 27,1 mil. USD.
CENTRAL EUROPEAN MEDIA ENTERPRISES LTD. OZNAMUJE VÝSLEDKY ZA DRUHÉ TLETÍ A PRVNÍ POLOLETÍ z anglického originálu) - se - OIBDA VNEM DRUHÉ TLETÍ kurzu o 8% na 166,8 mil. USD kurzu zrostla o 44% na 46,8
VícePříručka k měsíčním zprávám ING fondů
Příručka k měsíčním zprávám ING fondů ING Investment Management vydává každý měsíc aktuální zprávu ke každému fondu, která obsahuje základní informace o fondu, jeho aktuální výkonnosti, složení portfolia
Vícetečné napětí (τ), které je podle Newtona úměrné gradientu rychlosti, tj. poměrnému
III. TERMODYNAMIKA PROUDÍCÍCH PLYNŮ A PAR Termodynamika plynů a par sleduje změny stau látek za předpokladu, že jsou látky klidu, nebo že li rychlosti proudění látky má zanedbatelný li na změnu termodynamického
VícePříručka k měsíčním zprávám ING fondů
Příručka k měsíčním zprávám ING fondů ING Investment Management vydává každý měsíc aktuální zprávu ke každému fondu, která obsahuje základní informace o fondu, jeho aktuální výkonnosti, složení portfolia
VíceTestování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času
Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek
VíceAplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik
Aplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik Ondřej Pavlačka Praha, 18. ledna 2011 Cíle projektu Vytvořit matematický model pro oceňování přijímaného
Více5EN306 Aplikované kvantitativní metody I
5EN306 Aplikované kvantitativní metody I Přednáška 5 Zuzana Dlouhá Předmět a struktura kurzu 1. Úvod: struktura empirických výzkumů 2. Tvorba ekonomických modelů: teorie 3. Data: zdroje a typy dat, význam
VíceKvantifikace akciového a měnového rizika pomocí metodologie Value at Risk
Kvantifikace akciového a měnového rizika pomocí metodologie Value at Risk Petr Gurný 1 Abstrakt V příspěvku je diskutována problematika kvantifikace rizika v portfoliu akciového fondu. Pomocí metodologie
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
VíceUni- and multi-dimensional parametric tests for comparison of sample results
Uni- and multi-dimensional parametric tests for comparison of sample results Jedno- a více-rozměrné parametrické testy k porovnání výsledků Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Katedra analytické chemie, Universita
VíceDynamika vozidla Hnací a dynamická charakteristika vozidla
Dynamika ozidla Hnací a dynamická charakteristika ozidla Zpracoal: Pael BRABEC Pracoiště: VM Tento materiál znikl jako součást projektu In-TECH, který je spoluinancoán Eropským sociálním ondem a státním
VíceUrčujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.
1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový
VíceCharakteristika datového souboru
Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex
VíceNáhodná proměnná. Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1. , x 2. ; x 2. spojité (<x 1
Náhodná proměnná Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1, x 2,,x n ) spojité () Poznámky: 1. Fyzikální veličiny jsou zpravidla spojité, ale změřené hodnoty jsou diskrétní. 2. Pokud
VíceČíselné charakteristiky
. Číselné charakteristiky statistických dat Průměrný statistik se během svého života ožení s 1,75 ženami, které se ho snaží vytáhnout večer do společnosti,5 x týdně, ale pouze s 50% úspěchem. W. F. Miksch
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceZměna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.
Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných
VíceVýpočet stability (odolnosti koryta)
CVIČENÍ 5: VÝPOČET STABILITY KORYTA Výpočet stability (odolnosti koryta) Výpočtem stability se prokazuje, že koryto jako celek je pro nárhoé hydraulické zatížení stabilní. Nárhoé hydraulické zatížení pro
VíceStatistická analýza jednorozměrných dat
Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická, Katedra analytické chemie Licenční studium GALILEO Interaktivní statistická analýza dat Semestrální práce z předmětu Statistická analýza jednorozměrných
VíceNárodníinformačnístředisko pro podporu jakosti
Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI SEMESTRÁLNÍ PRÁCE
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Ekonomická fakulta Studentská 2 461 17 Liberec 1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE STATISTICKÝ ROZBOR DAT Z DOTAZNÍKOVÝCH ŠETŘENÍ Gabriela Dlasková, Veronika Bukovinská Sára Kroupová, Dagmar
Více2.4.5 Deformace, normálové napětí II
.4.5 Deformace, normáloé napětí II ředpoklady: 00404 Sledujeme, jak záisí ε (relatiní prodloužení) na (normáloém napětí) deformační křika. oznámka: Graf ukazuje záislost ε na pro ocel. Deformační křiky
VíceVýznam stress testingu v oblasti risk managemementu
Význam stress testingu v oblasti risk managemementu Daniel Heinrich 1 Abstrakt V příspěvku je popsána podstata a význam stressového testování v oblasti risk managementu finančních institucí, postup a techniky
VíceTestování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,
VíceIČ (bylo-li přiděleno) / rodné číslo: dále jen Klient. 1. Předmět Smlouvy
Rámcoá smloua č. o poskytoání platebních služeb (dále jen Smloua ) souladu s ustanoeními zákona č. 284/2009 Sb., o platebním styku mezi těmito smluními stranami: se sídlem, IČ 47972840 společnost edená
VíceZměna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.
Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných
VíceRovnovážné modely v teorii portfolia
3. září 2013, Podlesí Obsah Portfolio a jeho charakteristiky Definice portfolia Výnosnost a riziko aktiv Výnosnost a riziko portfolia Klasická teorie portfolia Markowitzův model Tobinův model CAPM - model
VícePOROVNÁNÍ PŘESNOSTI MODELOVÁNÍ VÝNOSŮ PORTFOLIA PRO RŮZNÁ OBDOBÍ NA TRHU
POROVNÁNÍ PŘESNOSTI MODELOVÁNÍ VÝNOSŮ PORTFOLIA PRO RŮZNÁ OBDOBÍ NA TRHU Aleš Kresta Klíčová slova: modelování výnosů, kopula funkce, NIG model, VaR Key words: returns modelling, copula functions, NIG
VíceÚloha č. 2 - Kvantil a typická hodnota. (bodově tříděná data): (intervalově tříděná data): Zadání úlohy: Zadání úlohy:
Úloha č. 1 - Kvantily a typická hodnota (bodově tříděná data): Určete typickou hodnotu, 40% a 80% kvantil. Tabulka hodnot: Varianta Četnost 0 4 1 14 2 17 3 37 4 20 5 14 6 7 7 11 8 20 Typická hodnota je
VícePřenosové linky. Obr. 1: Náhradní obvod jednofázového vedení s rozprostřenými parametry
Přenosoé linky Na obr. je znázorněno náhradní schéma jednofázoého edení s rozprostřenými parametry o délce l (R označuje podélný odpor, X podélnou reaktanci, G příčnou konduktanci a B příčnou susceptanci,
VícePearsonův korelační koeficient
I I.I Pearsonův korelační koeficient Úvod Předpokládejme, že náhodně vybereme n objektů (nebo osob) ze zkoumané populace. Často se stává, že na každém z objektů měříme ne pouze jednu, ale několik kvantitativních
VíceStatistika pro geografy
Statistika pro geografy 2. Popisná statistika Mgr. David Fiedor 23. února 2015 Osnova 1 2 3 Pojmy - Bodové rozdělení četností Absolutní četnost Absolutní četností hodnoty x j znaku x rozumíme počet statistických
VíceTRANSPORT VLHKOSTI VE VZORCÍCH IZOLAČNÍCH MATERIÁLŮ
TRANSPORT VLHKOSTI VE VZORCÍCH IZOLAČNÍCH MATERIÁLŮ Gunnar Kűnzel, Mlosla Lnda Abstract V příspěku jsou uedeny analoge elčn a parametrů př transportu lhkost zorkem materálu e formě desky a elektrckém obodu.
VíceSemestrální práce z předmětu Pravděpodobnost, statistika a teorie informace
České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Semestrální práce z předmětu Pravděpodobnost, statistika a teorie informace Životnost LED diod Autor: Joel Matějka Praha, 2012 Obsah 1 Úvod
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI EKONOMICKÁ FAKULTA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI EKONOMICKÁ FAKULTA Semestrální práce Semestrální práce z předmětu Statistický rozbor dat z dotazníkového šetření Vypracoval: Bonaconzová, Bryknarová, Milkovičová, Škrdlová
VíceSbírka A - Př. 1.1.5.3
..5 Ronoměrný ohyb říklady nejnižší obtížnosti Sbírka A - ř...5. Kolik hodin normální chůze (rychlost 5 km/h) je od rahy zdálen Řím? Kolik dní by tuto zdálenost šel rekreační chodec, který je schoen ujít
VíceNárodní informační středisko pro podporu kvality
Národní informační středisko pro podporu kvality STATISTICKÁ REGULACE POMOCÍ VÝBĚROVÝCH PRŮMĚRŮ Z NENORMÁLNĚ ROZDĚLENÝCH DAT Ing. Jan Král, RNDr. Jiří Michálek, CSc., Ing. Josef Křepela Duben, 20 Co je
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ Semestrální práce z předmětu Matematické modeloání Dopraní nehoda ŠKOLNÍ ROK: 7/8 DATUM ODEVZDÁNÍ: 7.1.8 ROČNÍK: 4 VYPRACOVAL: Bc.Ondřej Tyc OBOR: KOSTRUKCE
VíceUniverzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT
Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT STATISTICKÁ ANALÝZA JEDNOROZMĚRNÝCH DAT Seminární práce 1 Brno, 2002 Ing. Pavel
VíceČeské účetní standardy
České účetní standardy ing. u Vykazoání w Oceňoání x Odpisoání, postup účtoání y Inentarizace z Analytická eidence { Podrozahoá eidence Zeřejňoání České účetní standardy 2017 2 41 1 u Vykazoání - yhl.
VíceIDENTIFIKACE BIMODALITY V DATECH
IDETIFIKACE BIMODALITY V DATECH Jiří Militky Technická universita v Liberci e- mail: jiri.miliky@vslib.cz Milan Meloun Universita Pardubice, Pardubice Motto: Je normální předpokládat normální data? Zvláštnosti
VíceVLIV STATISTICKÉ ZÁVISLOSTI NÁHODNÝCH VELIČIN NA SPOLEHLIVOST KONSTRUKCE
IV. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Posudek - poruchy - havárie 25 23.až 24.4.2003 Dům techniky Ostrava ISBN 80-02-055-7 VLIV STATISTICKÉ ZÁVISLOSTI NÁHODNÝCH VELIČIN NA SPOLEHLIVOST
VíceKUJCP01AHBXK /& 2* ČI. V. Předběžný odborný odhad prokazatelné ztráty, odst. 3 ve znění Smlouvy:
/& 2* KUJCP01AHBXK Smloua o záazku eřejné služby k zajištění základní dopraní obslužnosti Jihočeského kraje linkoou osobní dopraou č. 010/09/56/00/06 (dodatek č. 6) uzařená mezi smluními stranami: 1. JIHOČESKÝ
VíceStatistická analýza dat v psychologii. Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead Barevná srdíčka kolegyně
VícePRŮZKUMOVÁ ANALÝZA JEDNOROZMĚRNÝCH DAT Exploratory Data Analysis (EDA)
PRŮZKUMOVÁ ANALÝZA JEDNOROZMĚRNÝCH DAT Exploratory Data Analysis (EDA) Reprezentativní náhodný výběr: 1. Prvky výběru x i jsou vzájemně nezávislé. 2. Výběr je homogenní, tj. všechna x i jsou ze stejného
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství
1 PŘÍLOHA KE KAPITOLE 11 2 Seznam příloh ke kapitole 11 Podkapitola 11.2. Přilité tyče: Graf 1 Graf 2 Graf 3 Graf 4 Graf 5 Graf 6 Graf 7 Graf 8 Graf 9 Graf 1 Graf 11 Rychlost šíření ultrazvuku vs. pořadí
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VícePřednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení
Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;
VíceZNALOSTI A DOVEDNOSTI ČESKÝCH MUŽŮ V OBLASTI INFORMAČNÍ BEZPEČNOSTI - VÝSLEDKY STATISTICKÉ ANALÝZY
ZNALOSTI A DOVEDNOSTI ČESKÝCH MUŽŮ V OBLASTI INFORMAČNÍ BEZPEČNOSTI - VÝSLEDKY STATISTICKÉ ANALÝZY Knowledge and skills of Czech men in the field of information security - the results of statistical analysis
VíceStatistické vyhodnocování ankety pilotního projektu Kvalita výuky na Západočeské univerzitě v Plzni
Statistické vyhodnocování ankety pilotního projektu Kvalita výuky na Západočeské univerzitě v Plzni Kvantifikace dat Pro potřeby statistického zpracování byly odpovědi převedeny na kardinální intervalovou
VíceManuál pro zaokrouhlování
Manuál pro zaokrouhlování k předmětu Pravděpodobnost a Statistika (PS) Michal Béreš, Martina Litschmannová 19. března 2019 Obsah 1 Úvod 2 2 Obecné poznámky 2 2.1 Typy zaokrouhlování...........................................
Více3. VEKTOROVÝ POČET A ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Euklidoský prostor. VEKTOROVÝ POČET A ANALYTICKÁ GEOMETRIE Průodce studiem Geometrii lze budoat metodou syntetickou nebo metodou analytickou. Při syntetické metodě pracujeme přímo s geometrickými objekty.
VíceMOŽNOSTI APROXIMACE ROZDĚLENÍ KOLEKTIVNÍHO RIZIKA
MOŽNOSTI APROXIMACE ROZDĚLENÍ KOLEKTIVNÍHO RIZIKA a) Viera Pacáková, b) Veronika Balcárková a) Univerzita Pardubice, Fakulta ekonomicko-správní, Ústav matematiky, b)univerzita Pardubice, Fakulta ekonomicko-správní,
Více3.3. Operace s vektory. Definice
Operace s ektory.. Operace s ektory Výklad Definice... Nechť ϕ je úhel do nenloých ektorů, (obr. ). Skalárním sočinem ektorů, rozmíme číslo, které bdeme označoat. (někdy strčně ) a které definjeme roností.
VíceIDENTIFICATION OF ELASTICITY CONSTANTS BY A BAR ETALON IDENTIFIKACE ELASTICKÝCH KONSTANT PRUTOVÝM ETALONEM
40. MEZINÁODNÍ KONEENCE EXPEIMENTÁLNÍ ANALÝZY NAPĚTÍ 40 th INTENATIONAL CONEENCE EXPEIMENTAL STESS ANALYSIS 3. 6. VI. 2002, PAHA/PAGUE, CZECH EPUBLIC IDENTIICATION O ELASTICITY CONSTANTS BY A BA ETALON
VíceTLOUŠŤKOVÁ A VÝŠKOVÁ STRUKTURA A JEJÍ MODELOVÁNÍ
TLOUŠŤKOVÁ A VÝŠKOVÁ STRUKTURA A JEJÍ MODELOVÁNÍ 1 Vlastnosti tloušťkové struktury porostu tloušťky mají vyšší variabilitu než výšky světlomilné dřeviny mají křivku početností tlouštěk špičatější a s menší
VíceBezpečnostní obvody (BO)
Bezpečnostní obody (BO) rčeno pro studenty bakalářských studijních programů na FBI Poznámka:!!! Níže uedené texty neobsahují změny termínech, přístupech a e lastním proedení bezpečnostních systémů yolané
VíceMATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 8 Statistický soubor s jedním argumentem Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
Vícey = 0, ,19716x.
Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému
VíceFYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený translační pohyb
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Ronoměrný, ronoměrně zrychlený neronoměrně zrychlený trnslční pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hláč, Ph.D. Doc.
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceŘešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
Více