a = a 0.a 1 a 2 a 3...

Transkript

1 Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové, že a n =0pro m>n, pak se desetinný rozvojnazývá konečný. Pokud se od nějakého indexu členy nebo skupiny členů opakují, pak je desetinný rozvoj periodický. Věta 1 Číslo je racionální právě když má konečný nebo periodický desetinný rozvoj. Definice 1 Čísla s nekonečným a neperiodickým rozvojem se nazývají iracionální čísla. Radionální a iracionální čísla tvoří množinu reálných čísel R.

2 Definice 1 Necht x = a 0.a 1 a 2 a 3... je kladné reálné číslo. Racionální číslo x n = a 0.a 1...a n se nazývádolní aproximace čísla x. Racionální číslo x n = a 0.a 1...a n se nazývá horní aproximace čísla x. efinice 1 Kladné reálné číslo x = a 0.a 1 a 2 a 3... je větší než kladnéreálné íslo y = b 0.b 1 b 2 b 3... (x >y) pokud existuje index n N takový, že x n > y n. okud neplatí ani jedna z nerovností x > y a y > x, pak jsou si obě čísla avzájem rovna (x = y).

3 Číselné množiny Definice 1 (Omezená množina) Necht A R. Pokud existuje číslo c takové, ze pro každé číslo x A platí, že x c (x c,) pakmnožinu A nazýváme shora (zdola) omezenou a číslo c nazýváme horní (dolní) závorou (event. odhadem, omezením). Množina se nazývá omezená, pokud je omezená shora i zdola. Definice 1 (Minimum, maximum) Necht A R. Pokud existuje číslo a A takové, že pro každé číslo x A platí, že x a (x a,) paka se nazývá maximum (minimum) množiny A. Značíme a =maxa (a =mina) efinice 1 (Supremum a infimum) Necht A 6= podmožina reálných čísel. Supremum množiny A je číslo, které značíme jako sup A a které splňuje 1) pro každý prvekx A platí x sup A 2) žádné číslo x R splňující x<sup A není horní závorou množiny A. Infimum množiny A je číslo, které značíme jako inf A akterésplňuje 1) pro každý prvekx A platí x inf A 2) žádné číslo x R splňující x>inf A není dolní závorou množiny A.

4 Věta 1 (Věta o supremu (infimu)) Necht E R, E 6=. Je-li množina E shora (zdola) omezená, pak existuje sup E (inf E). Příklad 1 Necht A = {r Q r 2 < 2,r > 0}, B= {r Q r 2 > 2,r > 0}. Množina A nemá supremum v množině racionálních čísel a množina B nemá infimum v množině racionálních čísel. Příklad 1 Necht E = {(1 + 1 n )n n N}. Pak je množina E shora omezaná a existuje tedy i její supremum, které označíme jako e a nazýváme jej Eulerovo konstantou.

5 Věta 1 (Bernoulliova nerovnost) 1+n² pro každé n N. 1. Je-li ²> 1 pak platí: (1 + ²) n 2. Je-li ²<1 pak platí: (1 ²) n 1 n² pro každé n N.

6 Věta 1 (Existence odmocniny) Pro každé reálné číslo x 0 a každé přirozené číslo n existuje právě jedno kladné číslo y takové, že Platí Značíme y = n x. y n = x.

7 Zobrazení Definice 1 Necht X a Y jsou neprázdné množiny a D X. Jestliže ke každému x D je přiřazen právě jeden prvek y Y pomocí předpisu f, pak takové přiřazení nazýváme zobrazení množiny D do množiny Y, nebo zobrazení zmnožiny X do množiny Y a zapisujeme jako f : D 7 Y,nebof : X 7 Y,neboy = f(x). Množina D se nazývá definiční obor zobrazení ajejí obraz H = f(d) se nazývá oborhodnotzobrazení. Definice 1 Zobrazení f : X 7 Y se nazývá zobrazení na, je-li H(f) =Y, zobrazení prosté jestliže platí, že pro každé x 1,x 2 D, x 1 6= x 2 = f(x 1 ) 6= f(x 2 ), a zobrazení vzájemně jednoznačné pokudsejedná o zobrazení prosté a zobrazení na.

8 Spočetné a nespočetné množiny efinice 1 Množiny A a B mají stejnou mohutnost (m(a) =m(b), jsou ekvialentní A B), pokud existuje vzájemně jednoznačné zobrazení f : A 7 B. efinice 1 Množina A je konečná pokudm(a) = n pro nějaké n N, je početná, pokud m(a) =m(q), (A N), je nespočetná pokudnení konečná a ení spočetná. ěta 1 Množina reálných čísel je nespočetná.

9 Funkce efinice 1 Zobrazení f : R 7 R se nazývá reálná funkcejednéreálné proměnné. nožina Graf(f) ={(x, y) R R x D(f), y = f(x)} egraffunkcef. efinice 1 Funkce f se nazývá sudá, pokud platí f( x) =f(x), lichá, pokud latí f( x) = f(x), periodická, pokud existuje T>0 tak, že f(x + T )=f(x). efinice 1 Jestliže dvě funkcef a g splňují f(g(x)) = x pro každé x D(f) g(f(x)) = x pro každé x D(g) pak f a g jsou inverzní funkce. Zapisujeme = g 1 a g = f 1.

10 Funkce-pokračování ěta 1 Funkce má inverzní funkci právě když definuje vzájemně jednoznačné obrazení mezi definičním oborem a oborem hodnot. ěta 1 Jestliže má funkce inverzní funkci pak jsou jejich grafy navzájem syetrické podleosyy = x.

11 Limita funkce efinice 1 (Vlastní limita ve vlastním bodě) Necht je funkce definována okolí bodu a R (ne nutně vbodě a!). Pak definujeme lim f(x) =L x a rávě kdyžprokaždé číslo ²>0 existuje číslo δ > 0 takové, že pro každý bodx definičního oboru funkce f splňující 0 < x a < δ plyne, že f(x) L <². efinice 1 (Nevlastní limita ve vlastním bodě) Necht je funkce f defiována v okolí bodu a R (ne nutně vbodě a!). Pak definujeme lim f(x) =+ x a rávě kdyžprokaždé číslo N>0 existuje číslo δ > 0 takové, že pro každý bodx definičního oboru funkce f splňující 0 < x a < δ plyne, že f(x) >N.

12 Limita funkce-pokračování efinice 1 (Vlastní limita v nevlastním bodě) Necht je funkce f definována intervalu (A, + )). Pak definujeme lim f(x) =L x rávě kdyžprokaždé číslo ²>0 existuje číslo δ > 0 takové, že pro každý bodx definičního oboru funkce f splňující N<xplyne, že f(x) L <². ěta 1 (Existence limity) Platí, že lim x a f(x) =L právě když lim x a f(x) = lim x a + f(x) =L.

13 Limita funkce-pokračování ěta 1 Necht lim x a f(x) =L 1 a lim x a g(x) =L 2. Pak platí 1. lim x a (f(x)+g(x)) = L 1 + L 2 2. lim x a (f(x)g(x)) = L 1 L 2 3. lim x a (f(x)/g(x)) = L 1 /L 2 pokud L 2 6=0.

14 Limita funkce-pokračování Věta 1 Necht a R {+, }. 1. Jestliže f(x) g(x) h(x) pro každé x vokolí bodu a a pak lim f(x) = limh(x) =L, x a x a lim g(x) =L. x a 2. Jestliže f(x) g(x) pro každé x vokolí bodu a a pak lim f(x) =, x a lim g(x) =. x a 3. Jestliže f(x) g(x) pro každé x vokolí bodu a a lim f(x) =, x a Věta 1 pak lim g(x) =. x a lim x 0 sin x x =1.

15 Spojitost funkce Definice 1 (Spojitost v bodě) Necht funkce f je definována v okolí bodu x 0. Pak říkáme, že funkce je spojitá pokud platí lim x x 0 f(x) =f(x 0 ). efinice 1 (Spojitost v intervalu) Necht funkce f je definována v intervalu krajními body a a b (a <b). Pak říkáme, že funkce je spojitá v tomto intervalu, okud je spojitá v každém vnitřním bodě a v krajních bodech, pokud jsou prvky ntervalu, je limita v definici spojitosti funkce v bodě nahrazena jednostrannou imitou. Věta 1 Necht f a g jsou spojité funkcevbodě x 0. Pak následující funkce jsou spojité vtomtobodě 1. cf 2. f + g 3. fg f 4. g pokud g(x 0) 6= 0.

16 Věta 1 (O nabývání maxima a minima) Je-li f spojitá funkce na intervalu [a, b], pak je shora i zdola omezaná, tj. existují čísla m a M taková, že m f(x) M x [a, b]. Je-li m = inf x [a,b] f(x) a M = sup x [a,b] f(x), pak existují čísla x 1 a x 2 z intervalu [a, b] taková, že m = f(x 1 ) M = f(x 2 ).

17 Věta 1 (O nabývání maxima a minima) Necht f je spojitá funkcenaintervalu [a, b] a c je libovolné číslo z oboru hodnot této funkce. Pak existuje x 0 [a, b] takové, že f(x 0 )=c. Derivace funkce Definice 1 (Derivace funkce v bodě) Necht funkce f je definována v okolí bodu x 0. pokud existuje vlastní limita f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h x 0 h pak funkce f se nazývá diferencovatelná vbodě x 0.

18 Derivace funkce Definice 1 (Derivace funkce v bodě) Necht funkce f je definována v okolí bodu x 0. pokud existuje vlastní limita f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h x 0 h pak funkce f se nazývá diferencovatelná vbodě x 0. Definice 1 Funkce f 0 se definuje následovně: D(f 0 )={x D(f) lim h x 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h existuje} f 0 f(x + h) f(x0) (x) = lim. h 0 h Funkce f 0 se nazývá derivacefunkcef.

19 Derivace funkce Věta 1 Necht funkce f je diferencovatelná vbodě x 0. Pak je funkce f spojitá v bodě x 0. Věta 1 Necht funkce f a g jsou diferencovatelné vbodě x 0 a c 1,c 2 R. Pak jsou funkce c 1 f(x)+c 2 g(x), f(x)g(x) a f(x) g(x) (g(x 0) 6= 0) diferencovatelné vbodě x 0 aplatí 1. (c 1 f(x 0 )+c 2 g(x 0 )) 0 = c 1 f 0 (x 0 )+c 2 g 0 (x 0 ) 2. (f(x 0 )g(x 0 )) 0 = f 0 (x 0 )g(x 0 )+f(x 0 )g 0 (x 0 ) 3. ³ 0 f(x0 ) g(x 0 ) = f 0 (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g 0 (x 0 ) g 2 (x 0 ). Věta 1 (Derivace složené funkce)necht funkce f je diferencovatelná v bodě y 0 a g je diferencovatelné vbodě x 0 aplatí, že y 0 = g(x 0 ). Pak složená funkce f g je diferencovatelné vbodě x 0 aplatí (f g) 0 (x 0 )=f 0 (y 1 )g 0 (x 0 ).