Spojitá náhodná veličina

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Spojitá náhodná veličina"

Transkript

1 Lekce 3 Sojitá náhodná veličina Příad sojité náhodné veličiny je komlikovanější, než je tomu u veličiny diskrétní Je to dáno ředevším tím, že jednotková ravděodobnost jistého jevu se rozkládá mezi nekonečně mnoho realizací sojité náhodné veličiny (každý interval reálné osy obsahuje nekonečně mnoho reálných čísel) To neumožňuje oužít ravděodobnostní funkci, která sloužila jako jeden z rostředků oisu rozdělení ravděodobnosti diskrétní náhodné veličiny Pravděodobnostní funkce byla analogií četnostní funkce ři bodovém třídění datového souboru Alternativou četnostní funkce ři intervalovém třídění datového souboru byla četnostní hustota V souvislosti se sojitou náhodnou veličinou budeme hovořit o hustotě ravděodobnosti Vedle hustoty ravděodobnosti lze k oisu rozdělení ravděodobnosti sojité náhodné veličiny využít také distribuční funkci, jejíž definice je na tyu náhodné veličiny nezávislá distribuční funkce; eonenciální rozdělení; Gaussova křivka; hustota ravděodobnosti; medián; nezávislost; normální rozdělení; normované normální rozdělení; normování; kvantil; ravděodobnostní element; arametry; rovnoměrné rozdělení; rozdělení ravděodobnosti; sojitá veličina; směrodatná odchylka; střední hodnota; variační koeficient; zákon rozdělení ravděodobnosti 31 Rozdělení ravděodobnosti sojité náhodné veličiny U sojitých náhodných veličin řejdeme od ravděodobnosti k hustotě ravděodobnosti, což je množství ravděodobnosti řiadající na jednu (určitou) jednotku šířky intervalu možných hodnot sojité náhodné veličiny Hustota ravděodobnosti je ovšem sojitou veličinou, takže její jednotkovou hodnotu (říslušející jistému jevu) vyjadřujeme jako určitý integrál Hustota ravděodobnosti nemá vlastnosti ravděodobnosti Označíme-li hustotu ravděodobnosti jako f (), latí f ( ) (hustota tedy může nabýt i hodnoty větší než jedna, což uvidíme ozději) Pomocí hustoty ravděodobnosti může být rozdělení ravděodobnosti sojité náhodné veličiny vyjádřeno vzorcem nebo graficky Příklad 31 Dobu trvání výrobní oerace ovažujeme za konstantní s délkou trvání minut Pozorovatel řichází v náhodně zvoleném okamžiku Sojitou náhodnou veličinou X je doba, která ulyne od říchodu ozorovatele do skončení oerace Náhodná veličina se může realizovat v intervalu (;) a její výskyt na celém intervalu je všude stejně možný Pravděodobnost, řiadající na jednotku intervalu čekací doby, je konstantní a je rovna 1 Hustota ravděodobnosti 1 ro < < f ( ) = a její grafické znázornění je na obr 31 jinak Všimněme si ještě hranic intervalu ro sojitou náhodnou veličinu Nezáleží na tom, zda jedna či obě krajní hodnoty do intervalu atří či neatří, takže ro sojitou (ale výhradně ro sojitou!) náhodnou veličinu jsou záisy P( 1 X ) a P ( 1 < X < ) narosto ekvivalentní Co můžeme říci o náhodné veličině, ro kterou P ( X 3) > P( < X < 3) (3 1)

2 Obr 31 Hustota ravděodobnosti sojité náhodné veličiny f() Distribuční funkce sojité náhodné veličiny je (analogicky jako ro diskrétní veličinu) definována jako ravděodobnost F( ) = P( X ), tentokrát ovšem ro < < Dolníme nyní říklad 31 o distribuční funkci, která (odobně jako hustota) ro sojitou náhodnou veličinu se vyskytuje v odobě vzorce nebo grafu Příklad 31 okračování Distribuční funkce na intervalu ( ;) lineárně roste, zatímco ro nabývá nulové hodnoty a ro ro hodnoty jedna, tj F ( ) = ro < < 1 ro Obr 3 Distribuční funkce sojité náhodné veličiny F() Vlastnosti distribuční funkce (solečné ro df diskrétní i sojité nv) Distribuční funkce je ravděodobnost, z čehož lyne F ( ) 1 Distribuční funkce je neklesající (ravděodobnost je nezáorná) a tudíž ro > 1 je F( ) F( 1) Z toho lyne užitečný vztah: P < X ) = F( ) F( ) ( 1 1 V bodech lus a mínus nekonečno je distribuční funkce F ( ) =, F( ) = 1, i když z našich říkladů vidíme, že je běžné, že těchto hodnot distribuční funkce nabývá odstatně dříve, než v nekonečnu Pokud je na nějakém intervalu náhodná veličina X sojitá, je sojitá i distribuční funkce Na grafu distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny vidíme, že do libovolných bodů na distribuční funkci lze dosět z jejich ravého (nikoli již levého) okolí Z toho lyne formulace, že distribuční funkce je vždy alesoň zrava sojitá 3

3 Nyní zbývá zabývat se vztahem distribuční funkce a hustoty sojité náhodné veličiny Je-li distribuční funkce F() sojitá, tudíž k ní eistuje derivace Derivací F () je hustota ravděodobnosti df( ) f ( ) = A oačně distribuční funkce je rimitivní funkcí k hustotě Mezi oběma funkcemi d je tedy vzájemně jednoznačný vztah a F ( t) = f ( ) d t Vlastnosti hustoty ravděodobnosti Hustota je derivace neklesající funkce, nemůže tedy být záorná a f ( ) Shora není hodnota hustoty ravděodobnosti nijak omezena f ( ) d = 1 Jde o ravděodobnost jistého jevu, která odovídá jednotkové loše od křivkou hustoty ravděodobnosti P ( X ) = 1 f ( ) d Pravděodobnost realizace sojité náhodné veličiny na intervalu ( ) 1 1; nebo 1; je určitým integrálem v hranicích 1, Plochu od křivkou hustoty ravděodobnosti lze interretovat jako součet loch elementárních obdélníků, tzv ravděodobnostních elementů f ( ) d f ( ), kde je délka vodorovné strany obdélníku 3 Charakteristiky sojité náhodné veličiny Klíčovými vlastnostmi každé náhodné veličiny je její úroveň a variabilita Charakteristikou úrovně náhodné veličiny je střední hodnota, která ro sojitou náhodnou veličinu X je definována jako E ( X ) = f ( ) d Charakteristikou variability náhodné veličiny je roztyl, který je ro sojitou náhodnou veličinu X definován jako ( X ) E[ E( X )] = [ E( X )] o úravě jako D = f ( ) d Alternativně lze roztyl vyjádřit E ( X ) E ( X ) = f ( ) d f ( ) d Druhou odmocninou roztylu je směrodatná odchylka D (X ) Bezrozměrnou charakteristikou variability je variační koeficient V ( X ) = D( X ) E( X ) Pro sojitou náhodnou veličinu z odstavce 31 vyočteme hodnoty charakteristik Příklad 3 Charakteristiky sojité náhodné veličiny 1 Střední hodnota E ( X ) = f ( ) d = d = =, 1 4

4 3 1 Roztyl (o úravě vzorce) D ( X ) = d, =, =, Směrodatná odchylka D ( X ) =,833 = 1, 4434 Čemu je roven variační koeficient z náhodné veličiny z říkladu 3? (3 ) Úroveň a variabilitu náhodné veličiny měříme omocí střední hodnoty a roztylu, říadně od něj odvozených charakteristik směrodatné odchylky a variačního koeficientu O Vlastnosti střední hodnoty a roztylu Tyto jsou ro sojitou náhodnou veličinu identické s vlastnostmi charakteristik diskrétní náhodné veličiny Kvantily sojitých náhodných veličin Pojem kvantilu je nám neochybně znám (včetně ojmů jako medián, dolní kvartil, rostřední decil, horní ercentil aod) Omezíme se ouze na kvantily sojitých náhodných veličin (ro diskrétní náhodné veličiny kvantily eistují také, ale my je nebudeme v žádné souvislosti oužívat) S kvantily některých sojitých náhodných veličin budeme naoak ozději racovat zcela běžně kvantil (nebo také 1% kvantil) sojité náhodné veličiny X je číslo, které dělí obor možných hodnot této veličiny na dvě části, z nichž do levé adá tato veličina s ravděodobností a do ravé s ravděodobností 1, tj P( X ) =, P( X ) = 1 Přitom ravděodobnost můžeme cháat jako lochu od křivkou hustoty ravděodobnosti nebo jako bod na křivce distribuční funkce Situace je znázorněna na obr 33, kde má součastně růběh hustoty ravděodobnosti a jí odovídající distribuční funkce reálnou odobu (my jsme se ovšem s odobným rozdělením zatím nesetkali) Obr 33 kvantil sojité náhodné veličiny f () F ( ) 1 Situaci na obr 33 můžeme současně vyjádřit: Pomocí hustoty ravděodobnosti Pomocí distribuční funkce P ( X ) = f ( ) d = ) = F( = P( X )

5 Příklad 33 Vyočteme libovolný kvantil sojité náhodné veličiny z odst 31 (zatím žádnou jinou k disozici, nemáme) Zvolíme-li nař =, (tj určíme % kvantil dolní kvartil), bude 1 d =,, Z toho =, a nakonec, = 1, Pro říklad 33 určete 9% kvantil Zatímco medián (, ) může být vhodnou charakteristikou úrovně, tak krajní kvantily mohou sloužit k vymezení intervalu, kam náhodná veličina adá rakticky jistě (nař 1% a 99% kvantil solečně vymezí interval, kam náhodná veličina adá s ravděodobností,98 ro ředstavu si to ukažte na obr 33) Pokud je ravděodobnost,98 ro daný říad stanovenou ravděodobností rakticky jistého jevu, můžeme ředokládat, že jev adnutí náhodné veličiny mimo interval vymezený oběma kvantily je jevem rakticky nemožným a nekalkulujeme, že skutečně nastane, i když je nař X, a náhodná veličina může ve skutečnosti (ovšem velmi vzácně) nabýt jakkoli velké záorné či kladné hodnoty Tento trik s náhodnou veličinou budeme využívat ozději Nezávislost sojitých náhodných veličin V říadě dvojice sojitých náhodných veličin X, Y je jejich solečné rozdělení osáno hustotou ravděodobnosti a distribuční funkcí, funkcemi dvou roměnných f (, y), F(, y), které se oět nazývají sdružené Platí-li f (, y) = f ( ) f ( y) a F (, y) = F( ) F( y), jsou X, Y nezávislé náhodné veličiny 33 Některé zákony rozdělení sojitých náhodných veličin Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení jsme již oznali, rotože nám osloužilo jako modelový říad sojité náhodné veličiny v odst 31 Nabývá-li sojitá náhodná veličina X hodnot z intervalu α; β a její výskyt na tomto intervalu je všude stejně možný, má rovnoměrné rozdělení s hustotou ravděodobnosti 1 roα β f ( ) = β α Čísla α, β, kterými se jednotlivé rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny vzájemně liší, jsou arametry Rovnoměrné rozdělení označíme R [ α;β ] Řekli jsme jinak sice, že se oužívá nař ři stanovení doby čekání na v ravidelných intervalech se oakující jevy nebo že si jím vyomáháme za situace, kdy skutečný tvar rozdělení sojité veličiny není znám, ale jeho význam je hlavně metodický, rotože je nejjednodušším sojitým rozdělením Z tohoto titulu není obtížné na něm ukázat nař výočet charakteristik omocí integrálů (říklad 3) Tento výočet není ovšem nutné rovádět, rotože jeho charakteristiky lze snadno určit z arametrů: α + β ( β α) E ( X ) =, D ( X ) = 1 vztahu = α + ( β α) kvantil rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny určíme ze 6

6 Jaká je ravděodobnost, že rovnoměrně rozdělená náhodná veličina R[ ;1 ] E ( X ) ± D( X )? (3 3) adne do intervalu Eonenciální rozdělení Podobně jako Poissonovo rozdělení, má i eonenciální rozdělení význam ředevším ro technické jevy Tak jako diskrétní Poissonovský roud jevů charakterizuje toky událostí okud jde o četnost jejich výskytů (očet oruch za jednotku času, očet ožadavků na obsluhu, očet růjezdů vozidel, očet vad na výrobcích), eonenciální rozdělení sojité náhodné veličiny X ( > ) charakterizuje dobu (říadně vzdálenost), která ulyne mezi výskyty těchto událostí (doba mezi dvěma oruchami, doba od objevení do odstranění oruchy, doba mezi růjezdy vozidel, ale také vzdálenost sousedních vad na ásu tkaniny aod) Za eonenciálně rozdělenou můžeme za jistých okolností ovažovat i životnost součástí a výrobků (zejména okud k ukončení života výrobku dojde v důsledku náhodné události tyicky žárovky, akumulátory automobilů a další elektrické součástky, k jejichž smrti dochází v důsledku zkratu, řeětí elektrické sítě aod) Hustota ravděodobnosti eonenciálního rozdělení je monotónní klesající funkce 1 ( ) = e δ f ro >, kde δ > je jediný arametr tohoto rozdělení Jeho význam je δ jinak E ( X ) = δ, D ( X ) = δ Distribuční funkcí eonenciálního rozdělení je funkce ro F( ) = 1 e δ ro > Příklad 34 % součástek neselže ani o dosažení 36 měsíců rovozu Doba, za kterou součástka selže, je náhodná veličina s eonenciálním rozdělením Jaká část součástek selže až o ulynutí dvou let rovozu? Při řešení místo určitých integrálů hustoty ravděodobnosti využijeme rovnou dosazení do vzorce distribuční funkce: 36 4 F (36) = 1 e δ =,, z čehož δ = a 1 F (4) = e =, 633 Hranici 4 měsíců řekoná 63 % součástek (37 % součástek selže řed ulynutímm 4 měsíců) Jakou střední hodnotu by musela náhodná veličina mít, aby hranici dvou let rovozu řekonalo 9 % součástek? δ = 8 Obr 34 Distribuční funkce dvou eonenciálních rozdělení 4 1 F (4) =,9 = e δ F(), z čehož získáme δ = 8 měsíců, což je 19 let 7 δ = Obě eonenciální rozdělení (skutečné a ideální) viz obr 34, kde je ro rvní rozdělení vyznačena hodnota F ( 36) =, a ro druhé F ( 4) =,

7 Znázorněte graficky hustoty ravděodobností náhodných veličin, jejichž distribuční funkce jsou na obr 34! Normální rozdělení Hustota ravděodobnosti normálního rozdělení ve zcela obecném říadě je dána jako funkce ( µ ) 1 ( ) = e σ f, ro < < Funkce má symetrický zvonovitý tvar se dvěma infleními body a jmenuje se Gaussova křivka (viz obr 3) Konstanty ve vzorci hustoty ravděo- σ π dobnosti, tj čísla µ,σ, jsou arametry normálního rozdělení Jejich geometrický význam je atrný z obr 3 a jejich vztah k charakteristikám rozdělení je jednoduchý: Obr 3 Normální rozdělení N[ ; ], N[;1], N[1;, ] E ( X ) = µ, D ( X ) = σ f() F() 7 σ = µ = První z arametrů tedy rerezentuje střední hodnotu (arametr olohy) a druhý je roztyl Je zřejmé, že σ = D(X ) (arametr měřítka, vzdálenost souřadnice infleního bodu od souřadnice vrcholu křivky) je směrodatnou odchylkou Obecné normální rozdělení zaisujeme jako N [ µ ; σ ] Vzorec distribuční funkce (vyjadřuje lochu od křivkou hustoty), která je ravidelnou esovitou křivkou s inflením bodem o souřadnici [µ;,] (viz obr 3), neuvádíme (i když tabelované hodnoty této funkce budeme často využívat) Z grafů hustot i distribučních funkcí na obr 3 vylývá, že ravděodobnost odlehlých hodnot je skutečně zanedbatelná a za odlehlou můžeme nař rohlásit už hodnotu, která je od střední hodnoty vzdálena více než ± σ > Normované normální rozdělení Je zřejmé, že obecných normálních rozdělení je nekonečně mnoho, rotože každé kombinaci arametrů µ a σ vyhovuje nějaké normální rozdělení Při normování zavedeme normovanou veličinu U = =, která má (okud veličina X má obecné normální rozdělení) normované X E( X ) X µ D( X ) σ normální rozdělení N [;1 ] Prostřední z normálních rozdělení na obr 3 je současně normovaným normálním rozdělením Jeho hustotu ravděodobnosti (kterou označujeme φ (u) ) znázorníme samostatně na obr 36 Distribuční funkci normovaného normálního rozdělení budeme označovat Φ (u) Z obr 36 znovu vylývá, že za odlehlé (a tudíž zanedbatelné) je možno rohlásit nař už i hodnoty, které se od střední hodnoty liší o více než ± (když budeme hodně řísní, tak ± 3) Smysl 8

8 normování je v tom, že nekonečně mnoho náhodných veličin s obecným normálním rozdělením řevedeme na náhodnou veličinu, která se ro zadané u vyznačuje stálou hodnotou vzdálenosti křivky od osy a stálou lochou od křivkou, zatímco ro zadanou hodnotu obdržíme vždy stejnou hodnotu kvantilu Tyto hodnoty, které lze ručně vyočítat jen obtížně (srovnejme nař s rovnoměrným rozdělením!), je roto vhodné tabelovat, a to dokonce i v dnešní době, která umožňuje jejich stanovení omocí k tomu určených očítačových rogramů (v MS Ecelu nař funkce NORMDIST a NORMINV ro obecné a NORMSDIST a NORMSINV ro normované normální rozdělení) Obr 36 Hustota ravděodobnosti normovaného normálního rozdělení φ(u) u 34 Výočty s normálním rozdělením Při ráci s normálním rozdělením řichází v úvahu tyto tři tyy úloh: k zadané hodnotě náhodné veličiny určit hustotu ravděodobnosti, k zadané hodnotě náhodné veličiny určit distribuční funkci (lochu od křivkou hustoty ravděodobnosti), k zadané ravděodobnosti určit hodnotu kvantilu náhodné veličiny Úlohy ro obecné normální rozdělení se tradičně řeší s využitím rozdělení normovaného Proto se ři řešení všech tří tyů úloh setkáváme s tabelovanými hodnotami normovaného normálního rozdělení Stručné výtahy z těchto tabulek (které dnes už nejsou nutně jen v aírové odobě) jsou v tabulkách 31 až 33 Tab 31 Hustota normovaného normálního rozdělení u,, 1, 1,,, 3, φ (u),399,3,4,13,4,18,4 Obr 37 Náčrt k tab 31 φ(u) 4 φ ( u) = φ( u) Z hodnot v tab 31 lyne, že vrchol křivky má souřadnici,399 a že vlevo i vravo od vrcholu křivka rychle klesá k vodorovné ose Ze symetrie křivky vylývá, že není třeba tabelovat ro záorné hodnoty náhodné veličiny -3 -u -1 1 u 3 9

9 Tab 3 Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení U,, 1, 1,,, 3, Φ (u),,691,841,933,977,994,999 Z tabulky vylývá, že s rostoucím u se hodnoty distribuční funkce se velmi rychle blíží jedné Při tom ze symetrie lyne Φ ( u) = 1 Φ( u) Tabulkové hodnoty využijeme, okud k zadané hodnotě (hodnotám) hledáme ravděodobnost Příklad 3 Plnicí linka ři srávné funkci lní lahve takovým zůsobem, že množství roduktu v obalu je náhodná veličina s normálním rozdělením N [; ] Jaká část lahví vykáže obsah nižší než 49 ml nebo vyšší než 1 ml? Hledáme součet P ( X 49) + P( X 1) ro náhodnou veličinu N [; ] Provedeme normování obou hodnot a ro normované hodnoty stanovíme ravděodobnosti: 49 P ( X 49) = P( U ) = P( U 1) = Φ( 1) = 1 Φ(1) =,19, 1 P ( X 1) = 1 P( X 1) = 1 P( U ) = 1 P( U ) = 1 Φ() =,3 Součet obou ravděodobností je,183 Takže je to řibližně téměř každá átá láhev Na grafu hustoty ravděodobnosti normovaného normálního rozdělení 37 vyznačte obě vyočtené ravděodobnosti! Tab 33 Kvantily normovaného normálního rozdělení P,,9,9,97,99,99,999 u, 1,8 1,64 1,96,36,76 3,9 Tab 33 je inverzní k tab 3, rotože k zadaným ravděodobnostem (lochám od křivkou hustoty ravděodobnosti, hodnotám distribuční funkce) uvádí hodnotu říslušného kvantilu, tj u P( U u ) = Φ( u ) = φ ( u) du = Vzhledem k symetrii je tentokrát u 1 = u (nař,1 = u,99 =, 36 u ), takže není nutno tabelovat hodnoty ro <, Příklad 36 Určíme interval symetrický kolem střední hodnoty, ve kterém se z hlediska obsahu nachází 9 % nalněných lahví Náhodná veličina má oět N [; ] Ze zadání vylývá, že hledáme,% a 97,% kvantil této náhodné veličiny (mezi nimi leží náhodná veličina s ravděodobností,9),, 97 Provedeme normování: u, =, u,97 = a z tab 33 určíme u = u =,96, u 1,96 Dosazením do vztahů ro normované hodnoty získáme,,97 1, 97 = =, 1 Takže P ( 49 X 1) =, 9, 49, 97 = Ukažte tento interval na náčrtu hustoty ravděodobnosti rozdělení N [; ]! 3

10 Σ 1 Sojitá náhodná veličina může nabývat jakékoli reálné hodnoty z celé číselné osy, říadně libovolné její části Rozdělení ravděodobnosti sojité náhodné veličiny může být osáno omocí hustoty ravděodobnosti, která určuje ravděodobnost, řiadající na jednotku intervalu možných hodnot náhodné veličiny 3 Rozdělení ravděodobnosti sojité náhodné veličiny může být rovněž osáno omocí distribuční funkce, která ro každou hodnotu náhodné veličiny stanoví ravidlo, že se náhodná veličina realizuje nejvýše v této hodnotě 4 Pro distribuční funkci i hustotu ravděodobnosti jsme uvedli řadu důležitých vlastností Úroveň a variabilita sojité náhodné veličiny se měří omocí stejných charakteristik jako veličiny diskrétní 6 Pro sojité náhodné veličiny jsme zavedli rovněž systém kvantilů 7 Poznali jsme rovnoměrné, eonenciální, normální a normované normální rozdělení 8 Normální rozdělení je vůbec nejdůležitějším rozdělením a má mnoho alikací, mj i v oblastech, do kterých je směrován tento tet (3 1) Jde o diskrétní náhodnou veličinu, nabývající nejméně jednu z hodnot, 3 1,4434 ( = =, (3 ) V X ), 774 ( X = = (3 3) P 1,13 78,87),7887,113, Sojitá náhodná veličina X, (1;1 ) má distribuční funkci F( ) = log Stanovte a graficky znázorněte její hustotu ravděodobnosti, vyočtěte střední hodnotu a roztyl této náhodné veličiny Určete všechny její kvartily Stanovte ravděodobnost P 4 6) ( X = X Rovnoměrné rozdělení má střední hodnotu a roztyl E ( X ) 3, D ( ) 33, 3 Určete jeho arametry α, β 3 Stanovte ravděodobnost, že veličina s eonenciálním rozdělením s arametrem δ = 1 nabude hodnoty z intervalu E ( X ) ± D( X ) 4 Stanovte ravděodobnost, že náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením nabude hodnoty z intervalu E ( X ) ± D( X ) ( = ( = Pro náhodnou veličinu s normálním rozdělením latí P X 11), 841a sou- časně P X 7), 3 Určete arametry µ,σ Pořiďte náčrt hustoty ravděodobnosti tohoto rozdělení a zadané ravděodobnosti na něm vyznačte 6 V návaznosti na říklad 36 v tetu lekce určete intervaly rovněž ro ravděodobnosti,9 a,99 7 Šířka stavebního otvoru má normální rozdělení se střední hodnotou 81 cm a směrodatnou odchylkou cm Šířka rámu určeného ke vsazení do tohoto otvoru má nor- = 31

11 mální rozdělení se střední hodnotou 8 cm a směrodatnou odchylkou, cm Určete ravděodobnost, s jakou ůjde náhodně vybraný rám vsadit do náhodně vybraného otvoru Pro jednoduchost stačí, aby rozměr rámu X byl menší než rozměr otvoru Y X, Y budeme ovažovat za nezávislé náhodné veličiny a označíme-li Z = X Y, hledáme P ( Z < ) 8 Určete ravděodobnost, že náhodně vybraný rám z úlohy 7 se odaří usadit do náhodně vybraného otvoru nejvýše na třetí okus 3

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

můžeme toto číslo považovat za pravděpodobnost jevu A.

můžeme toto číslo považovat za pravděpodobnost jevu A. RAVDĚODOBNOST - matematická discilína, která se zabývá studiem zákonitostí, jimiž se řídí hromadné náhodné jevy - vytváří ravděodobnostní modely, omocí nichž se snaží ostihnout náhodné rocesy. Náhodné

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost Zůsobilost Menu: QExert Zůsobilost Modul očítá na základě dat a zadaných secifikačních mezí hodnoty různých indexů zůsobilosti (caability index, ) a výkonnosti (erformance index, ). Dále jsou vyočítány

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Metoda momentů Metoda maximální věrohodnosti

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Metoda momentů Metoda maximální věrohodnosti SP3 Odhady arametrů PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Metoda momentů Metoda maimální věrohodnosti SP3 Odhady arametrů Metoda momentů Vychází se z: - P - ravděodobnostní rostor - X je náhodná roměnná s hustotou

Více

Národní informační středisko pro podporu jakosti

Národní informační středisko pro podporu jakosti Národní informační středisko ro odoru jakosti Konzultační středisko statistických metod ři NIS-PJ Analýza zůsobilosti Ing. Vratislav Horálek, DrSc. ředseda TNK 4: Alikace statistických metod Ing. Josef

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Laplaceova transformace.

Laplaceova transformace. Lalaceova transformace - studijní text ro cvičení v ředmětu Matematika -. Studijní materiál byl řiraven racovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za odory grantu IG ČVUT č. 300043 a v rámci

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

2.3.6 Práce plynu. Předpoklady: 2305

2.3.6 Práce plynu. Předpoklady: 2305 .3.6 Práce lynu Předoklady: 305 Děje v lynech nejčastěji zobrazujeme omocí diagramů grafů závislosti tlaku na objemu. Na x-ovou osu vynášíme objem a na y-ovou osu tlak. Př. : Na obrázku je nakreslen diagram

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

3.2 Metody s latentními proměnnými a klasifikační metody

3.2 Metody s latentními proměnnými a klasifikační metody 3. Metody s latentními roměnnými a klasifikační metody Otázka č. Vyočtěte algoritmem IPALS. latentní roměnnou z matice A[řádek,slouec]: A[,]=, A[,]=, A[3,]=3, A[,]=, A[,]=, A[3,]=0, A[,3]=6, A[,3]=4, A[3,3]=.

Více

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií STATISTIKA pro TZP Modul : Pravděpodobnost a náhodné veličiny Prof

Více

SHANNONOVY VĚTY A JEJICH DŮKAZ

SHANNONOVY VĚTY A JEJICH DŮKAZ SHANNONOVY VĚTY A JEJICH DŮKAZ JAN ŠŤOVÍČEK Abstrakt. Důkaz Shannonových vět ro binární symetrický kanál tak, jak měl být robrán na řednášce. Číslování vět odovídá řednášce. 1. Značení a obecné ředoklady

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Aproximativní analytické řešení jednorozměrného proudění newtonské kapaliny

Aproximativní analytické řešení jednorozměrného proudění newtonské kapaliny U8 Ústav rocesní a zracovatelské techniky F ČVUT v Praze Aroximativní analytické řešení jednorozměrného roudění newtonské kaaliny Některé říady jednorozměrného roudění newtonské kaaliny lze řešit řibližně

Více

CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY

CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY Střední růmyslová škola elektrotechnická Pardubice CVIČENÍ Z ELEKRONIKY Harmonická analýza Příjmení : Česák Číslo úlohy : Jméno : Petr Datum zadání :.1.97 Školní rok : 1997/98 Datum odevzdání : 11.1.97

Více

Charakteristika datového souboru

Charakteristika datového souboru Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Model tenisového utkání

Model tenisového utkání Model tenisového utkání Jan Šustek Semestrální rojekt do ředmětu Náhodné rocesy 2005 V této ráci se budu zabývat modelem tenisového utkání. Vstuními hodnotami budou úsěšnosti odání jednotlivých hráčů,

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V komresoru je kontinuálně stlačován objemový tok vzduchu *m 3.s- + o telotě 0 * C+ a tlaku 0, *MPa+ na tlak 0,7 *MPa+. Vyočtěte objemový tok vzduchu vystuujícího z komresoru, jeho telotu a říkon

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

zadání: Je dán stejnosměrný motor s konstantním magnetickým tokem, napájen do kotvy, indukčnost zanedbáme.

zadání: Je dán stejnosměrný motor s konstantním magnetickým tokem, napájen do kotvy, indukčnost zanedbáme. Teorie řízení 004 str. / 30 PŘÍKLAD zadání: Je dán stejnosměrný motor s konstantním magnetickým tokem, naájen do kotvy, indukčnost zanedbáme. E ce ω a) Odvoďte řenosovou funkci F(): F( ) ω( )/ u( ) b)

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

Univerzita Pardubice FAKULTA CHEMICKO TECHNOLOGICKÁ

Univerzita Pardubice FAKULTA CHEMICKO TECHNOLOGICKÁ Univerzita Pardubice FAKULA CHEMICKO ECHNOLOGICKÁ MEODY S LAENNÍMI PROMĚNNÝMI A KLASIFIKAČNÍ MEODY SEMINÁRNÍ PRÁCE LICENČNÍHO SUDIA Statistické zracování dat ři kontrole jakosti Ing. Karel Dráela, CSc.

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Téma 7: Přímý Optimalizovaný Pravděpodobnostní Výpočet POPV

Téma 7: Přímý Optimalizovaný Pravděpodobnostní Výpočet POPV Téma 7: Přímý Otimalizovaný Pravděodobnostní Výočet POPV Přednáška z ředmětu: Pravděodobnostní osuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební Vysoká škola

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@niax.cz Pravděodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, tyy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Termodynamika ideálního plynu

Termodynamika ideálního plynu Přednáška 5 Termodynamika ideálního lynu 5.1 Základní vztahy ro ideální lyn 5.1.1 nitřní energie ideálního lynu Alikujme nyní oznatky získané v ředchozím textu na nejjednodužší termodynamickou soustavu

Více

Matematika III. 27. listopadu Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 27. listopadu Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. listopadu 2017 Typy statistických znaků (proměnných) Typy proměnných: Kvalitativní proměnná (kategoriální, slovní,... ) Kvantitativní proměnná (numerická,

Více

STATISTICKÉ METODY. (kombinovaná forma, 8.4., 20.5. 2012) Matěj Bulant, Ph.D., VŠEM

STATISTICKÉ METODY. (kombinovaná forma, 8.4., 20.5. 2012) Matěj Bulant, Ph.D., VŠEM STATISTICKÉ METODY A DEMOGRAFIE (kombinovaná forma, 8.4., 2.5. 22) Matěj Bulant, Ph.D., VŠEM Řekli o statistice Věřím ouze těm statistikám, které jsem sám zfalšoval. Tři stuně lži - lež, hnusná lež, statistika.

Více

Termodynamické základy ocelářských pochodů

Termodynamické základy ocelářských pochodů 29 3. Termodynamické základy ocelářských ochodů Termodynamika ůvodně vznikla jako vědní discilína zabývající se účinností teelných (arních) strojů. Později byly termodynamické zákony oužity ři studiu chemických

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATICKÁ STATISTIKA.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Oddělení technické elektrochemie, A037. LABORATORNÍ PRÁCE č.9 CYKLICKÁ VOLTAMETRIE

Oddělení technické elektrochemie, A037. LABORATORNÍ PRÁCE č.9 CYKLICKÁ VOLTAMETRIE ÚSTV NORGNIKÉ THNOLOGI Oddělení technické elektrochemie, 037 LBORTORNÍ PRÁ č.9 YKLIKÁ VOLTMTRI yklická voltametrie yklická voltametrie atří do skuiny otenciodynamických exerimentálních metod. Ty doznaly

Více

7. VÝROBNÍ ČINNOST PODNIKU

7. VÝROBNÍ ČINNOST PODNIKU 7. Výrobní činnost odniku Ekonomika odniku - 2009 7. VÝROBNÍ ČINNOST PODNIKU 7.1. Produkční funkce teoretický základ ekonomiky výroby 7.2. Výrobní kaacita Výrobní činnost je tou činností odniku, která

Více

TERMIKA VIII. Joule uv a Thompson uv pokus pro reálné plyny

TERMIKA VIII. Joule uv a Thompson uv pokus pro reálné plyny TERMIKA VIII Maxwellova rovnovážná rozdělovací funkce rychlostí Joule uv a Thomson uv okus ro reálné lyny 1 Maxwellova rovnovážná rozdělovací funkce rychlostí Maxwellova rychlostní rozdělovací funkce se

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

GONIOMETRICKÉ ROVNICE -

GONIOMETRICKÉ ROVNICE - 1 GONIOMETRICKÉ ROVNICE - Pois zůsobu oužití: teorie k samostudiu (i- learning) ro 3. ročník střední školy technického zaměření, teorie ke konzultacím dálkového studia Vyracovala: Ivana Klozová Datum vyracování:

Více

Stabilita prutu, desky a válce vzpěr (osová síla)

Stabilita prutu, desky a válce vzpěr (osová síla) Stabilita rutu, deky a válce vzěr (oová íla) Průběh ro ideálně římý rut (teoretický tav) F δ F KRIT Průběh ro reálně římý rut (reálný tav) 1 - menší očáteční zakřivení - větší očáteční zakřivení F Obr.1

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

7.5.13 Rovnice paraboly

7.5.13 Rovnice paraboly 7.5.1 Rovnice arabol Předoklad: 751 Př. 1: Seiš všechn rovnice ro arabol a nakresli k nim odovídající obrázk. Na každém obrázku vznač vzdálenost. = = = = Pedagogická oznámka: Sesání arabol je důležité,

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Číselné charakteristiky

Číselné charakteristiky . Číselné charakteristiky statistických dat Průměrný statistik se během svého života ožení s 1,75 ženami, které se ho snaží vytáhnout večer do společnosti,5 x týdně, ale pouze s 50% úspěchem. W. F. Miksch

Více

Markovovy řetězce se spojitým časem CTMC (Continuous time Markov Chain)

Markovovy řetězce se spojitým časem CTMC (Continuous time Markov Chain) Markovovy řetězce se soitým časem CTMC (Continuous time Markov Chain) 3 5 1 4 Markovovy rocesy X Diskrétní stavový rostor Soitý obor arametru t { } S e1, e,, en t R t 0 0 t 1 t t 3 t Proces e Markovův

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním

Více

NÁVRH A OVĚŘENÍ BETONOVÉ OPŘENÉ PILOTY ZATÍŽENÉ V HLAVĚ KOMBINACÍ SIL

NÁVRH A OVĚŘENÍ BETONOVÉ OPŘENÉ PILOTY ZATÍŽENÉ V HLAVĚ KOMBINACÍ SIL NÁVRH A OVĚŘENÍ BETONOVÉ OPŘENÉ PILOTY ZATÍŽENÉ V HLAVĚ KOMBINACÍ SIL 1. ZADÁNÍ Navrhněte růměr a výztuž vrtané iloty délky L neosuvně ořené o skalní odloží zatížené v hlavě zadanými vnitřními silami (viz

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová VYBRANÁ ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování hustota pravděpodobnosti f(x) Funkce f(x) je hustotou pravděpodobností (na intervalu a x b), jestliže splňuje následující podmínky:

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Systémové struktury - základní formy spojování systémů

Systémové struktury - základní formy spojování systémů Systémové struktury - základní formy sojování systémů Základní informace Při řešení ať již analytických nebo syntetických úloh se zravidla setkáváme s komlikovanými systémovými strukturami. Tato lekce

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

Pokud světlo prochází prostředím, pak v důsledku elektromagnetické interakce s částicemi obsaženými

Pokud světlo prochází prostředím, pak v důsledku elektromagnetické interakce s částicemi obsaženými 1 Pracovní úkoly 1. Změřte závislost indexu lomu vzduchu na tlaku n(). 2. Závislost n() zracujte graficky. Vyneste také závislost závislost vlnové délky sodíkové čáry na indexu lomu vzduchu λ(n). Proveďte

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Úvěr a úvěrové výpočty 1

Úvěr a úvěrové výpočty 1 Modely analýzy a syntézy lánů MAF/KIV) Přednáška 8 Úvěr a úvěrové výočty 1 1 Rovnice úvěru V minulých řednáškách byla ro stav dluhu oužívána rovnice 1), kde ředokládáme, že N > : d = a b + = k > N. d./

Více

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura

Více

PRŮTOK PLYNU OTVOREM

PRŮTOK PLYNU OTVOREM PRŮTOK PLYNU OTVOREM P. Škrabánek, F. Dušek Univerzita Pardubice, Fakulta chemicko technologická Katedra řízení rocesů a výočetní techniky Abstrakt Článek se zabývá ověřením oužitelnosti Saint Vénantovavy

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

3.1.1 Přímka a její části

3.1.1 Přímka a její části 3.1.1 Přímka a její části Předoklady: Pedagogická oznámka: Úvod do geometrie atří z hlediska výuky mezi nejroblematičtější části středoškolské matematiky. Několik rvních hodin obsahuje oakování ojmů a

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

BH059 Tepelná technika budov Konzultace č. 2

BH059 Tepelná technika budov Konzultace č. 2 Vysoké učení technické v Brně Fakulta stavební Ústav ozemního stavitelství BH059 Teelná technika budov Konzultace č. 2 Zadání P6 zadáno na 2 konzultaci, P7 bude zadáno Průběh telot v konstrukci Kondenzace

Více

Náhodná proměnná. Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1. , x 2. ; x 2. spojité (<x 1

Náhodná proměnná. Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1. , x 2. ; x 2. spojité (<x 1 Náhodná proměnná Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1, x 2,,x n ) spojité () Poznámky: 1. Fyzikální veličiny jsou zpravidla spojité, ale změřené hodnoty jsou diskrétní. 2. Pokud

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

Cyklické kódy. Alena Gollová, TIK Cyklické kódy 1/23

Cyklické kódy. Alena Gollová, TIK Cyklické kódy 1/23 Cyklické kódy 5. řednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Cyklické kódy 1/23 Obsah 1 Cyklické kódy Generující olynom - kódování Kontrolní olynom - objevování chyb Alena Gollová, TIK Cyklické

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti

Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Jiří Michálek CQR při Ústavu teorie informace a automatizace AV ČR v Praze Úvod Ve výzkumné zprávě č 06 Odhady koeficientů způsobilosti a jejich vlastnosti viz

Více

Dynamické programování

Dynamické programování ALG Dynamické rogramování Nejdelší rostoucí odoslounost Otimální ořadí násobení matic Nejdelší rostoucí odoslounost Z dané oslounosti vyberte co nejdelší rostoucí odoslounost. 5 4 9 5 8 6 7 Řešení: 4 5

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

1.5.2 Mechanická práce II

1.5.2 Mechanická práce II .5. Mechanická ráce II Předoklady: 50 Př. : Jakou minimální ráci vykonáš ři řemístění bedny o hmotnosti 50 k o odlaze o vzdálenost 5 m. Příklad sočítej dvakrát, jednou zanedbej třecí sílu mezi bednou a

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více