Vliv funkce příslušnosti na průběh fuzzy regulace

Transkript

1 XXVI. ASR '2 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, April 26-27, 2 Paper 2 Vliv funkce příslušnosi na průběh fuzzy regulace DAVIDOVÁ, Olga Ing., Vysoké učení Technické v Brně, Fakula srojního inženýrsví, Úsav auomaizace a informaiky, Technická 2, Brno, davidova@uai.fme.vubr.cz Absrak: Příspěvek se zabývá fakory, keré ovlivňují průběh regulace v regulačních obvodech, ve kerých je ve funkci reguláoru použi fuzzy PI nebo fuzzy PD reguláor. Práce je zaměřena zejména na vliv poču, varu a rozložení funkcí příslušnosi v rámci normalizovaného univerza. Srovnání je provedeno pro různé ypy regulovaných sousav. Regulační obvod je namodelován v Simulinku a fuzzy reguláory jsou realizovány pomocí Fuzzy Logic Toolboxu programového prosředí Malab. Klíčová slova: fuzzy reguláor, fuzzy regulace, fuzzy množina, funkce příslušnosi Úvod V současné době se sále více v oblasi řízení procesů vedle klasických PID reguláorů využívají aké fuzzy reguláory. Jejich výhodou je možnos použií i ehdy, není-li znám vhodný model řízené sousavy či v případech, že řízené objeky vykazují značné nelineariy a meody klasické regulace nedávají dobré výsledky nebo vůbec není možné je použí. 2 Fuzzy regulace Fuzzy regulace je založena na eorii fuzzy množin. Každá množina je určena svou charakerisickou funkcí. Jesliže uvažujeme množinu A a univerzální množinu X, kerou nazýváme univerzum, pak charakerisická funkce označovaná µ A je definována jako zobrazení µ A : X [,] V případě klasických (osrých) množin mapuje ao charakerisická funkce body univerza do dvouprvkové množiny {,}, což znamená, že prvek x X buď do množiny A zcela paří nebo zcela nepaří. Pokud hovoříme o fuzzy množinách, pak se míso názvu charakerisická funkce používá ermín funkce příslušnosi. Ta mapuje univerzum na celý inerval <,>, akže každému bodu x je přiřazeno reálné číslo z ohoo inervalu, keré vyjadřuje míru, s jakou prvek x náleží do množiny A. Pomocí fuzzy množin lze pracova s veličinami, keré nejsou uváděny v numerických hodnoách, ale v jazykové formě. V případě fuzzy regulace, kde jsou ěmio veličinami regulační odchylka, její diference a akční veličina se používají funkce příslušnosi označované jazykovými proměnnými : negaivní velký -NB, negaivní sřední -NM, negaivní malý -NS, nulový -ZO, poziivní malý -PS, poziivní sřední - PM, poziivní velký -PB. Zkrácené vary jsou odvozeny z anglického překladu ěcho názvů. 2. Fuzzy reguláor Blokové schéma fuzzy reguláoru (FR) je uvedeno na obrázku. Teno reguláor se skládá ze ří základních čásí: fuzzifikačního bloku inferenčního bloku deffuzifikačního bloku. - -

2 Vsupními veličinami FR, kerými jsou hodnoy získané z řízeného procesu, jsou osré hodnoy. Bývají o věšinou regulační odchylka e, její první diference de, popř. druhá diference. Ve fuzzifikačním bloku se provádí normalizace, což je přepoče fyzikálních veličin řízeného sysému do inerní číselné reprezenace, kerá se nazývá normalizované univerzum, a dále pak vlasní proces fuzzifikace, při kerém se převádějí vsupní osré hodnoy na fuzzy množiny. Inferenční blok se skládá z vlasního inferenčního mechanismu a báze pravidel. Báze pravidel je vořena fuzzy pravidly ve varu IF anecenden THEN konsekven. Anecenden voří podmínkovou a konsekven důsledkovou čás pravidla. Pomocí inferenčního mechanismu se určuje celková míra splnění podmínkové čási pravidla a pomocí éo hodnoy se vyvozuje (inferuje) míra aplikovaelnosi příslušného konsekvenu. Jelikož k celkovému řešení může přispě několik pravidel, je řeba čásečné výsledky agregova. Jako agregační operáor se používá sjednocení fuzzy množin pomocí operáoru maximum. Výsupem inferenčního mechanismu je edy fuzzy množina, kerá vsupuje do řeí čási FR, deffuzifikačního bloku. Cílem deffuzifikace je z éo fuzzy množiny získa osrou hodnou. Proože hodnoa je ale vyjádřena v inerní reprezenaci FR, je řeba ji ješě pomocí denormalizace přepočía na fyzikální rozměr akční veličiny. Akční veličina u je výsupní veličinou FR. Aby mohl FR pracova, je řeba naplni bázi da a bázi pravidel. Báze da umožňuje správné fungování fuzzifikačního i deffuzifikačního bloku a báze pravidel. Obsahuje informace o funkcích příslušnosi vsupních a výsupních fuzzy množin, o jednolivých univerzech vsupních a výsupních veličin a měřících použiých při normalizaci, resp. denormalizaci. V bázi pravidel je řeba definova vsupní a výsupní veličiny, zvoli jejich hodnoy jazykových proměnných, urči obsah anecendenů a konsekvenů fuzzy pravidel a sesavi ao pravidla. Hodnoy z řízeného pr ocesu Hodnoy do řízeného pr ocesu FUZZY REGULÁTOR Normalizace Fuzzifikace FUZZIFIKA ČNÍ BLOK INFERENČNÍ BLOK Inferenční mechanis mus Báze pravidel Denormalizace Deffu zifikace DEFFUZIFIKA ČNÍ BLOK Báze da posup výpoču ok da Obrázek Blokové schéma fuzzy reguláoru - 2 -

3 2.2 Fakory ovlivňující fuzzy regulaci Na průběh fuzzy regulačního pochodu, resp. procesu regulace s využiím fuzzy reguláoru, může mí vliv celá řada fakorů. Z hlediska vlasního fuzzy reguláoru, popsaného v přecházející kapiole, je o : volba měříka při normalizaci a denormalizaci meoda použiá v inferenčním mechanismu meoda použiá při deffuzifikaci volba funkcí příslušnosi volba jazykových proměnných návrh báze pravidel V dalším čási příspěvku je věnována pozornos volbě funkce příslušnosi. Pro eno účel byly namodelovány v Simulinku regulační obvody, jeden s fuzzy PI reguláorem a druhý s fuzzy PD reguláorem. Použié FR jsou reguláory Mamdaniho ypu [4], keré byly vyvořeny pomocí Fuzzy Logic Toolboxu. Z inferenčních meod byla vybrána meoda MIN-MAX a pro deffuzifikaci meoda ěžišě []. Použiá abulka báze pravidel má var uvedený v [3], kerý je pro sedm funkcí příslušnosi a z něj byla vyvořena modifikace pro pě funkcí příslušnosi. Pro esování byly zvoleny následující regulované sousavy : G G G 2 3 () s () s () s = = = ( s + )( s + )( s + ) ( s + )( s + ) ( s + )( s + ) 3 Vliv funkce příslušnosi Při posuzování vlivu funkce příslušnosi na průběh regulačního pochodu je řeba vzí v úvahu jednak volbu poču funkcí příslušnosi, výšku hladiny průseku, dále pak var funkcí příslušnosi a v neposlední řadě i rozmísění ěcho funkcí v rámci zvoleného univerza. µ () e NB NS ZO PS PB hladina průseku - průsečík e Obrázek 2 Rozložení funkcí příslušnosi - 3 -

4 3. Poče funkcí příslušnosi Poče fuzzy množin nebo-li poče funkcí příslušnosi se volí jako liché číslo věšinou 3, 5, nebo 7, případně 9. Věší hodnoa je používána zcela výjimečně. Obrázek 2 ukazuje příklad rozložení funkcí příslušnosi s vyznačením důležiých bodů. Průběh regulačního procesu pro sousavu s přenosem G (s) a fuzzy PD reguláor pro různý poče funkcí příslušnosi je uveden na obrázku 3. Osaní sledované ypy regulovaných sousav v kombinaci s fuzzy PI nebo fuzzy PD reguláorem vykazovaly obdobné výsledky. Na základě ěcho skuečnosí lze jako nejvhodnější doporuči použií 5 nebo 7 funkcí příslušnosi. V dalším průběhu sledování je používáno 5 funkcí příslušnosi (obrázek 2), keré jsou značeny symboly NB, NS, ZO, PS, PB. Význam ěcho symbolů byl uveden v kapiole 2..9 y() funkce příslušnosi 5 funkcí příslušnosi 7 funkcí příslušnosi Obrázek 3 Průběh regulace v závislosi na poču funkcí příslušnosi 3.2 Výška hladiny průseku Jednolivé fuzzy množiny reprezenující jazykové proměnné musí bý v rámci univerza umísěny ak, aby jejich sjednocení jednak pokrylo celé univerzum a dále, aby žádný prvek univerza neměl hodnou funkce příslušnosi rovnu nule. Pokud by exisoval bod, kerý by nepařil do žádné fuzzy množiny, pak by nebyl splněn anecenden žádného pravidla, ím by nebylo ani žádné pravidlo vyhodnoceno a v akčním zásahu by se objevila nespojios. To znamená, že se jednolivé funkce příslušnosi musí vzájemně překrýva. Jelikož funkce příslušnosi má výšku, je doporučována výška hladiny průseku,5 (obrázek 2). Tehdy je dosahováno nejlepších výsledků z hlediska regulace

5 3.3 Tvar funkcí příslušnosi Funkce příslušnosi mohou mí různý var. Z hlediska snadnosi výpočů se volí var co nejjednodušší, kdy jsou yo funkce složeny z lineárních úseků. Nejčasěji používané vary funkcí příslušnosi jsou Λ -funkce (rojúhelníková), Π -funkce (lichoběžníková), L-funkce, Γ -funkce. Při sledování bylo použio rojúhelníkového (obrázek 4) a lichoběžníkového varu (obrázek 5) funkce příslušnosi. Uvedené funkce lze popsa řemi (a,b,c), resp. čyřmi (a,b,c,d) body. Dále pak pro srovnání byla vybrána aké funkce příslušnosi, kerá nemá var skládající se z lineárních úseků, a o Gaussova křivka. µ A () x µ A () x a b c x a b c d x Obrázek 4 - Λ -funkce příslušnosi Obrázek 5 - Π -funkce příslušnosi.4.2 y().8.6 rojúhelníkový var.4 lichoběžníkový var Gaussova křivka Obrázek 6 Průběh regulace při použií fuzzy PI reguláoru a regulované sousavy G 3 (s) - 5 -

6 y() rojúhelníkový var lichoběžníkový var Gaussova křivka Obrázek 7 Průběh regulace při použií fuzzy PD reguláoru a regulované sousavy G 3 (s) Sejné ypy funkcí příslušnosi byly nasaveny jak u regulační odchylky e, její diference de i u akční veličiny u. Při použií fuzzy PI reguláoru lze výsledky u rojúhelníkové a Gaussovy funkce považova za srovnaelné, lichoběžníkový var vykazoval výsledky horší a vznikala malá rvalá regulační odchylka. Průběh regulace pro fuzzy PI reguláor a regulovanou sousavu G 3 (s) zobrazuje zobrazují grafy uvedené na obrázku 6. Pro kombinace jednolivých regulovaných sousav s fuzzy PD reguláorem byly nejlepší výsledky v případě rojúhelníkového varu funkce příslušnosi, dále pak lichoběžníkového, var Gaussovy křivky dával nejhorší průběh regulace. Spojení fuzzy PD reguláoru a sousavy G 3 (s) je uvedeno na obrázku 7. Další způsob esování spočíval ve srovnání rojúhelníkového varu a lichoběžníkového, kdy ale lichoběžníkový var byl zvolen buď pouze u regulační odchylky nebo pouze u diference regulační odchylky, případně akční veličiny. V regulačním obvodu s fuzzy PD reguláorem při použií lichoběžníkového varu u regulační odchylky došlo k neparnému zvěšení rvalé odchylky a v obvodu s fuzzy PI reguláorem k malé rvalé regulační odchylce. Tao u rojúhelníkového varu nebyla. Pokud byl lichoběžníkový var u diference regulační odchylky, pak především u obvodu s fuzzy PI reguláorem došlo k rozkmiání regulačního průběhu. Exisuje ješě celá řada dalších možnosí kombinací v nasavování varů funkcí příslušnosi. Na základě získaných výsledků lze za nejvhodnější var funkce příslušnosi považova rojúhelníkový var, jak ukazují výsledky znázorněné na obrázcích 6 a Rozložení funkcí příslušnosi v rámci univerza Rozložení funkcí příslušnosi v rámci normalizovaného univerza může bý buď symerické nebo nesymerické. Pro sledování bylo použio symerické rozložení zobrazené na obrázku 8 a nesymerické rozložení se zhušěním funkcí příslušnosi NS a PS, keré je uvedeno na obrázku 9. V obou případech jsou použiy rojúhelníkové vary funkcí příslušnosi

7 NB NS ZO PS PB NB NS ZO PS PB - - Obrázek 8 Symerické rozložení Obrázek 9 Rozložení se zhušěnými funkcemi Cílem bylo zjisi, zda zhušění funkcí příslušnosi v oblasi nuly ovlivňuje průběh regulačního procesu, přičemž oho zhušění bylo aplikováno buď pro vsupní veličinu e, vsupní veličinu de nebo výsupní veličinu u. Při použií fuzzy PD reguláoru došlo k výraznému zlepšení regulačního pochodu zhušěním funkcí příslušnosi regulační odchylky e, zhušění u diference regulační odchylky de je srovnaelné se symerickým rozložením funkcí příslušnosi. Zhušění u akční veličiny u se jeví jako nevhodné. Příklad ěcho průběhů ukazují grafy uvedené na obrázku, kde je použi fuzzy PD reguláor a regulovaná sousava G 3 (s)..9 y() symerické rozložení zhušění e zhušění de zhušění u Obrázek - Porovnání symerického a nesymerického rozložení funkcí příslušnosi pro fuzzy PD reguláor - 7 -

8 .4.2 y().8.6 symerické rozložení zhušění e.4.2 zhušění de zhušění u Obrázek - Porovnání symerického a nesymerického rozložení funkcí příslušnosi pro fuzzy PI reguláor Při použií fuzzy PI reguláoru dává nejlepší výsledky regulační proces se zhušěnými funkcemi příslušnosi u diference odchylky de, vede k podsanému zlepšení z hlediska kmiání a i z hlediska rychlosi usálení. Zhušění u akční veličiny u je éměř srovnaelné se symerickým rozložením. Zhušění u regulační odchylky e vede k silnému rozkmiání a značně prodlužuje dobu usálení regulačního pochodu, a proo není vhodné. Průběhy uvedené na obrázku znázorňují fuzzy PI reguláor a regulovanou sousavu G 3 (s). 4 Shrnuí výsledků Na základě získaných výsledků lze konsaova, že volba funkcí příslušnosi má vliv na průběh fuzzy regulačního procesu. Vhodným nasavením poču funkcí příslušnosi, jejich varu a rozložením ěcho funkcí v rámci normalizovaného univerza lze docíli podsaného zlepšení průběhu regulačního pochodu. Z hlediska poču funkcí příslušnosi je jeví jako nejvhodnější poče 5 nebo 7. Pokud jde o var funkce příslušnosi, lze s úspěchem použí jednoduchý lichoběžníkový var, kerý vykazoval nejlepší výsledky. Jedná-li se o rozložení funkcí příslušnosi v rámci normalizovaného univerza, zde již záleží rovněž na použiém ypu fuzzy reguláoru. V případě fuzzy PI reguláoru dávalo lepší výsledky zhušění funkcí příslušnosi u diference regulační odchylky, u fuzzy PD reguláoru pak zhušění u regulační odchylky. Spolu s vhodnou volbou dalších fakorů ovlivňujících fuzzy regulaci, jako je nasavení normalizovaného univerza, volba inferenčního mechanismu, deffuzifikační meody a v neposlední řadě i báze pravidel, lze fuzzy reguláory využí jako vhodné prosředky pro řízení echnologických procesů, a o i v případech složiějších regulovaných sousav nebo regulovaných sousav obsahujících nelineariy

9 5 Lieraura [] JURA, P., 998. Základy fuzzy logiky pro řízení a modelování. Brno : FEI VUT v Brně, 998 [2] KOLEKTIV., 998. Fuzzy Logic Toolbox. Naick : The Mah Works, Inc., 998 [3] PIVOŇKA, P., 997. Fuzzy reguláory. příloha časopisu Auomaizace, ročník 997 [4] VYSOKÝ, P Fuzzy řízení. Praha : FE ČVUT Praha, 995 Poznámka : Příspěvek vznikl v rámci výzkumného záměru CEZ:J22/98:263 Auomaizace echnologií a výrobních procesů - 9 -