Grafické riešenie sústav lineárnych rovníc a nerovníc

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Grafické riešenie sústav lineárnych rovníc a nerovníc"

Transkript

1 VaFu-T List Grafické riešenie sústav lineárnch rovníc a nerovníc RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Poznáš nejaké metód na riešenie sústav lineárnch rovníc? Ž: Pravdaže, najčastejšie používam dosadzovaciu metódu, ale nieked aj sčitovaciu. U: Dobre, dnes si povieme o ďalšej metóde, ktorú môžeme použiť na vriešenie sústav dvoch lineárnch rovníc s dvoma neznámmi, a to o grafickej metóde. Ž: Z toho usudzujem, že asi budeme kresliť nejaké graf. To ab som išiel pohľadať pravítko... U: Usudzuješ správne, pravítko sa ti naozaj zíde. Poďme na to. Uvažujme o sústave dvoch lineárnch rovníc s dvoma neznámmi, ktorú môžeme v základnom tvare zapísať napríklad takto: a + b = c a + b = c, pričom a, b, c, a, b, c sú reálne koeficient. Z každej z týchto rovníc vjadri. Ž: Ak to urobím v prvej rovnici, dostanem vjadrenie Z druhej rovnice dostanem U: Nepripomína to to niečo? = a b + c b. = a b + c b. Ž: Ale áno, vzerá to ako rovnica lineárnej funkcie. U: Presne tak. Zistili sme teda, že jednoduchými ekvivalentnými úpravami dokážeme sústavu dvoch lineárnch rovníc s dvoma neznámmi prepísať do tvaru sústav dvoch lineárnch funkcií. U: A môžeme prejsť ku grafom, pretože vieme, že... Ž:... grafom lineárnej funkcie je priamka. U: Pre úplnosť dodám, že grafick vieme znázorniť aj rovnice s jednou neznámou. Tie b nám mohli vzniknúť, ak b v našej sústave boli niektoré koeficient nulové. Najprv sa pozrime na prípad rovnice = c. Ž: To je rovnica konštantnej funkcie. Jej grafom je priamka rovnobežná s osou. U: Výborne! Prejdime na rovnicu tpu = c. Ž: Všetk bod, ktoré majú rovnakú -ovú súradnicu ležia na priamke rovnobežnej s osou. Lenže tá nepredstavuje graf funkcie!

2 VaFu-T List U: Máš pravdu, takáto priamka nie je grafom žiadnej funkcie. Vieme ju však zostrojiť a to nám stačí. Vráťme sa teda naspäť k tomu, že grafick hľadáme riešenie sústav dvoch lineárnch rovníc. Ž: Už sme povedali, že každej rovnici vieme priradiť priamku, teda na obrázku nám vzniknú dve priamk. Aha, mslím, že viem, čo bude nasledovať jednoducho sa pozrieme, kde sa tie dve priamk preťali a budeme mať výsledok! U: Podstatu si celkom dobre vstihol, vskúšajme to najprv na jednom konkrétnom príklade a potom sa ešte vrátime k niektorým detailom. U: Grafick rieš sústavu lineárnch rovníc v R, teda v karteziánskom súčine R R: + = = 5. Ž: Dobre, tak začnem prvou rovnicou, prepíšem si ju do tvaru lineárnej funkcie = + a keďže viem, že jej grafom je priamka, stačí mi na jej zostrojenie poznať dva bod. Pripravím si ich do tabuľk: U: Vidím, že si si šikovne zvolil priesečník s osami. Ž: Podobne to bude aj s druhou rovnicou, kde Aj tu si pripravím dva bod = 5.,5 5 U: Môžeš do jedného obrázka nakresliť oba graf a vznikne toto:

3 VaFu-T List 5 = 5 P 5 = + 5 Ž: Priesečník je jasný je to bod P [; ]. U: Je to bod, ktorý leží na oboch grafoch, teda jeho súradnice vhovujú obom daným rovniciam. Pre istotu b sme však mali urobiť skúšku správnosti. Ž: Skúšku? A načo? U: Nepoužívali sme len ekvivalentné úprav, ale sme aj kreslili. Čo keď v skutočnosti nie je riešením [; ], ale [,9;,5]? Ž: To sa mi nepáči, načo mi je potom taká metóda? U: Uznávam, že grafická metóda má isté obmedzenia, nieked však môže dobre poslúžiť, napríklad pri riešení lineárnch optimalizačných úloh. Takže sa nedurdi a urob radšej tú skúšku. Ž: No dobre, tak ju urobím zvlášť pre pravú a ľavú stranu každej z rovníc: Ľ = + = + = ; P = ; Ľ = P Ľ = = = 6 = 5; P = 5; Ľ = P No vidíte, predsa som mal pravdu, je to riešenie. U: Áno, a keďže našou úlohou bolo riešiť sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámmi, výsledok zapíšeme takto: K = {[; ]}.

4 VaFu-T List U: V predchádzajúcej úlohe sme sa stretli so situáciou, keď grafmi príslušných lineárnch funkcií boli dve rôznobežné priamk, ktoré mali jeden spoločný bod. Skús sa teraz zamslieť nad tým, aké ďalšie možnosti b mohli nastať. Ž: Mohlo b sa stať, že b nám všli dve rovnobežk, tie nemajú spoločný bod, teda to b znamenalo, že sústava rovníc nemá riešenie. U: Súhlasím, a ešte? Ž: Ešte? Rôznobežk boli, rovnobežk tiež... U: Presnejšie b sme mohli povedať, že dve rôzne rovnobežk, pretože treťou možnosťou je situácia, keď obe priamk splnú, sú totožné. Ž: No to je dosť čudná situácia, veď to ako keb som mal len jednu priamku. U: Nezabudni však, že v skutočnosti riešiš sústavu dvoch lineárnch rovníc. Ž: Aha, takže potom má sústava nekonečne veľa riešení, pretože každý bod, ktorý leží na tejto zdvojenej priamke predstavuje riešenie. U: Presne tak, môžeme teda naše úvah zhrnúť takto: Sústava dvoch lineárnch rovníc s dvoma neznámmi má jediné riešenie práve vted, ak graf príslušných lineárnch funkcií sú rôznobežné priamk nekonečne veľa riešení práve vted, ak graf príslušných lineárnch funkcií sú totožné priamk nemá riešenie práve vted, ak graf príslušných lineárnch funkcií sú rôzne rovnobežk U: Grafick vieme znázorniť aj riešenie lineárnej nerovnice s dvoma neznámmi. Nech je daná jedna z nerovníc < f(), > f(), f(), f(), kde f je lineárna funkcia. Ukážeme si to na príklade nerovnice < +. Najprv zostrojíme graf funkcie = f(). Môžeš to urobiť. Ž: Čiže mám zostrojiť graf funkcie = +. To je ľahké, grafom je priamka prachádzajúca bodmi [; ] a [; 5]. Tu je obrázok:

5 VaFu-T List 5 = + 5 U: Teraz nájdi niekoľko riešení našej nerovnice. Teda niekoľko bodov, ktorých súradnice spĺňajú podmienku < +. Ž: Napríklad bod [5; ], [; ], [; ]... Mslím, že sú to bod, ktoré ležia pod našou priamkou. Lebo napríklad bod [ ; ], ktorý leží nad priamkou, nám už nevhovuje. U: Máš pravdu. Graf funkcie = f() rozdelil rovinu na dve polrovin. Jedna z nich obsahuje všetk usporiadané dvojice, ktoré sú koreňmi nerovnice. Ž: Ako zistíme, ktorá z polrovín to bude? U: Dosadíme jeden konkrétn bod, ktorý neleží na grafe funkcie, do nerovnice. Výhodné je napríklad dosadzovať bod [; ]. Ž: Skúsim to. Dosadím bod [; ] do mojej nerovnice < + a dostanem <. To platí. U: Teda riešením je tá polrovina, z ktorej si vbral bod. Ž: A keb som dostal nepravdivý výrok, riešením b bola druhá polrovina? U: Presne tak. Ešte doplním, že v prípade ostrých nerovníc tpu < f(), > f() hraničná priamka = f() nepatrí do oboru pravdivosti nerovnice. Preto ju vznačíme čiarkovanou čiarou. V prípade neostrých nerovníc tpu f(), f() je grafickým znázornením riešenia polrovina aj s hraničnou priamkou. Ž: Dokončím teda moju úlohu hraničná priamka je vznačená čiarkovanou čiarou.

6 VaFu-T List 6 U: Na nasledujúcom obrázku je žltou farbou vznačená množina všetkých usporiadaných dvojíc, ktoré sú koreňmi nerovnice < +. < + 5 U: Teraz, keď už vieš grafick znázorniť riešenie jednej lineárnej nerovnice s dvoma neznámmi, hravo zvládneš aj sústavu takýchto nerovníc. Ž: Samozrejme. Najprv do jedného obrázka zostrojím grafické znázornenie riešení jednotlivých nerovníc. To sú isté polrovin. A potom si uvedomím, že hľadám bod, ktoré vhovujú každej z nerovníc, teda vznačím prienik všetkých polrovín. U: Výborne.

7 VaFu5- List 7 Príklad : Grafick riešte v R sústav rovníc: a) + = 7 b) = 8 c) + = = + = + =. Ž: Začnem prvou sústavou + = =. Najprv z prvej rovnice vjadrím, dostanem = + 7, čo predstavuje lineárnu funkciu. Preto viem, že jej grafom je priamka a na jej určenie mi stačia dva bod, napríklad takéto: 7 To isté spravím s druhou rovnicou, teda najprv vjadrím takto: = 5 + a potom k tomu nájdem dva bod. Nechcem tam veľmi mať štvrtin, tak skúsim... napríklad takto: U: Celkom dobre ti to všlo, môžeš zostrojiť graf. Ž: Tu sú a vidno z toho, že sa obe priamk pretli v bode P [ ; ].

8 VaFu5- List 8 5 P = + 7 = 5 + U: Nezabudni však na skúšku správnosti. Ž: Čiže dosadím do pôvodných rovníc za číslo a za číslo : Ľ = + = + = + 8 = 7, P = 7, Ľ = P Ľ = 5 + = 5 ( ) + = =, P =, Ľ = P U: Takže môžeme napísať K = {[ ; ]}. Ž: Môžem prejsť na druhú sústavu = 8 + =. Takisto najprv z prvej rovnice vjadrím, dostanem = a k tomu si pripravím do tabuľk dva bod ležiace na grafe získanej funkcie: U: Zrejme to isté zopakuješ s druhou rovnicou.

9 VaFu5- List 9 Ž: Samozrejme, dostanem = + a do tabuľk si dám takéto hodnot: U: A tu je obrázok so zostrojenými grafmi: = = Ž: Veď sú to rovnobežk, teda táto sústava nemá riešenie! U: Áno, smbolick zapíšeme K =. To, že sústava nebude mať riešenie si si mohol uvedomiť už skôr z rovníc lineárnch funkcií = = + predsa vidno, že ich graf budú rovnobežk. Vieš prečo? Ž: Keď ste ich napísali takto pod seba, už to vidím aj ja koeficient pri sú v oboch rovniciach rovnaké, preto majú priamk rovnaký sklon. U: Ja pre úplnosť dodám, že absolútne koeficient, čiže čísla a v rovniciach týchto funkcií sú rôzne, preto graf budú rôzne rovnobežk.

10 VaFu5- List Ž: Tak už mi ostala len posledná sústava rovníc: + = 6 + =. Zopakujem predchádzajúci postup z prvej rovnice vjadrím = + 6. Grafom tejto funkcie je priamka a k tomu si pripravím jej priesečník s osami: 6 No a ešte druhú rovnicu vnásobím tromi a potom vjadrím : No moment, dostal som takú istú funkciu! U: Čo z toho vplýva? = + 6. Ž: Z toho vplýva, že graf nemusím kresliť, lebo to budú dve totožné priamk. U: Ja som to predsa len pre istotu nakreslil, vzerá to takto: 6 5 = + 6 Ako to bude s riešeniami našej sústav? Ž: Bude ich mať nekonečne veľa.

11 VaFu5- List U: Takže zapíšeme Ž: Áno. U: Nie. K = R? Ž: Prečo zase? U: Porozmýšľaj podľa teba vhovuje každá usporiadaná dvojica reálnch čísel. Teda aj [; ] alebo [; 5]? Pozri sa na graf. Ž: Nesedí to. Ale aj tak je predsa nekonečne veľa riešení! U: To som nepoprel. Ide len o to, ako šikovne zapísať, že nám vhovujú iba tie usporiadané dvojice, ktorých obraz ležia na našej priamke. Ž: Tak to neviem, ako to zapísať. U: Jednoducho, -ová súradnica sa môže meniť ľubovoľne, ale každému odpovedá jediné podľa vzťahu, ktorý si sám našiel: Preto výsledok zapíšeme takto: Prípadne použijeme zápis = + 6. K = {[; + 6], R}. K = {[ ] } 6 ;, R. Ten vstihuje situáciu, ak -ovú súradnicu ľubovoľne meníme, ale každému odpovedá jediné podľa vzťahu = 6. Úloha : Grafick riešte v R sústav rovníc: a) + + = b) = c) = 8 + = = = +. Výsledok: a) [ ; 9 ], b), c) {[ ; + ] }, R

12 VaFu- List Príklad : Riešte grafick v R sústavu rovníc: ( + ) ( ) = ( ) ( + ) ( ) ( + ) = ( + 7) ( ). Ž: Asi niet inej pomoci, než to začať upravovať. Takže najprv roznásobím zátvork a dostanem: + = = + 7. U: Výraz na oboch stranách síce nie sú lineárne, ale práve nelineárn člen môžeme od oboch strán odčítať. Ž: Aj ostatné člen môžem z pravej stran odčítať. Dostanem + = = a tú druhú rovnicu ešte predelím tromi, ab som mal menšie čísla. Teda + = + =. U: A to už je celkom pekná sústava dvoch lineárnch rovníc, ktorú máme riešiť grafick. Ž: Najprv z oboch rovníc vjadrím : = + = +. Tým som získal vjadrenia lineárnch funkcií. Ich graf sú priamk, pripravím si po dva bod, ktoré nanesiem do grafu: Môžem to hneď nakresliť, tu je výsledok:

13 VaFu- List P 5 5 = + = + U: Dobre, teda podľa teba je riešením... Ž:... usporiadaná dvojica [5; ]. Ale pre istotu to overím skúškou, predsa len na tom grafe to nie je až také jednoznačné. U: Súhlasím. Ž: Takže dosadzujem do rovníc v zadaní za číslo 5 a za číslo : Všlo to! U: Výborne, môžeme teda zapísať, že Ľ = (5 + )( ) = 8 = P = (5 )( + ) = 6 = Ľ = P Ľ = (5 )( + ) = 8 = P = (5 + 7)( ) = = Ľ = P K = {[5; ]}.

14 VaFu- List Úloha : Riešte grafick v R sústavu rovníc: + = Výsledok: K = {[ ; ] }, R,5 = 5

15 VaFu- List 5 Príklad : Spotrebiteľ chce kúpiť väčšie množstvo istého druhu tovaru, najviac však 7 kg. Má dve možnosti nákupu:. Tovar kúpi v predajni v bezprostrednej blízkosti svojho bdliska, kde za kg zaplatí,.. Zájde svojím autom k výrobcovi, u ktorého kg tohto tovaru stojí iba,9. Musí však navše zaplatiť za benzín dopredu si spočítal, že to bude,5. Pri akom množstve tovaru bude pre spotrebiteľa finančne výhodnejšie nakúpiť tovar priamo u výrobcu? (Nepočítame stratu času ani amortizáciu auta.) Úlohu riešte grafick aj výpočtom. Ž: Celkom zaujímavá úloha, tipoval b som, že je výhodnejšie ísť tam, kde je to lacnejšie, najmä pri väčšom nákupe. U: Znie to logick, otázne je však práve to, ked to začne bť výhodnejšie. Ž: Tak sa do toho pusťme. Najprv si zavediem označenie keďže zaplatená suma závisí od množstva kúpeného tovaru, urobím to takto:... množstvo tovaru v kilogramoch... celkové náklad v eurách Teraz ešte nájsť závislosť. Začnem tým jednoduchším prípadom, ak b sa tovar nakupoval v predajni. Tam sa za kilo zaplatí,, teda za kilogramov to bude,. U: Áno, dostávame teda rovnicu prvej funkcie f : =,, čo je rovnica priamej úmernosti. Ako bude vzerať jej graf? Ž: Grafom priamej úmernosti je priamka, na jej zostrojenie si pripravím hoci aj takéto dva bod: U: S tými dvoma bodmi súhlasím, ale s tou priamkou veru nie. Ž: Čo zase... Aha, spotrebiteľ chce kúpiť najviac 7 kilogramov a zrejme nebude kupovať záporné množstvá. Teda definičný obor je D(f ) = ; 7. Preto grafom nie je priamka, ale len úsečka. U: Teraz to je v poriadku, skús ešte druhú možnosť nákupu.

16 VaFu- List 6 Ž: Pri druhej možnosti, keď pôjde po tovar k výrobcovi, zaplatí za každé kilo tovaru,9, teda za kilogramov to bude,9, ale ešte musíme pripočítať náklad na benzín, teda dostávam rovnicu f : =,9 +,5. A to je rovnica lineárnej funkcie, teda jej grafom je priamka. Opravujem sa, úsečka, pretože D(f ) = ; 7. U: Na jej zostrojenie budeš opäť potrebovať dva bod. Ž: Napríklad takéto: 5,5 59 A môžem sa pustiť do kreslenia grafov. Tu je výsledok: f f U: Dobre, a teraz skús interpretovať, čo vidíš. Ž: Zdá sa, že sa graf pretínajú niekde okolo hodnot = 8, ale úplne presné to nie je. U: Tak to skúsme overiť výpočtom.

17 VaFu- List 7 Ž: Dobre, chcem vedieť, ked je to cenovo rovnako, či kúpi doma alebo pôjde k výrobcovi. Takže má platiť, =,9 +,5. Odtiaľ mi vjde = 8. U: Výborne, teda pre spotrebiteľa je výhodnejšie zájsť po tovar k výrobcovi, ak ho chce kúpiť viac ako 8 kilogramov. Ž: Čím viac pritom nakúpi, tým to bude výhodnejšie, pretože graf sa od seba vzďaľujú. Najvýhodnejšie to bude pre = 7. Úloha : Nákladné auto všlo po ceste o 8 hodine ráno z mesta M smerom do mesta N. Išlo priemernou rýchlosťou 5 km/h. O 9 hod za ním všlo tiež z mesta M osobné auto priemernou rýchlosťou 8 km/h. a) Ked a v akej vzdialenosti od mesta M dostihne osobné auto nákladné auto? b) Zistite, či to bude pred alebo za mestom N, ktoré je od mesta M vzdialené 5 kilometrov. Úlohu riešte grafick. Výsledok: a) o. hodine vo vzdialenosti km, b) za mestom N

18 VaFu- List 8 Príklad : V roku 7 si domáci odberatelia elektrickej energie v Slovenskej republike mohli vbrať jednu z týchto sadzieb (cen sú uvedené bez DPH): ŠTANDARD MINI pozostáva z pevnej mesačnej platb Sk na mesiac a z platb,5 Sk za kwh spotrebovanej energie. ŠTANDARD MAXI pozostáva z pevnej mesačnej platb 9 Sk na mesiac a z platb, Sk za kwh spotrebovanej energie. Určte grafick, ktorá sadzba je výhodnejšia pri ročnej spotrebe 7 resp. kwh. U: Zaujímal si sa nieked o to, koľko doma platíte za elektrinu? Ž: Pravdu povediac, ani nie. Samozrejme viem, že keď nechám všade rozsvietené, budeme platiť viac. To mi mama stále pripomína, ale koľko presne, to neviem. U: Tak potom asi nevieš ani to, že si môžeš vbrať z viacerých možností a je dobré vedieť vpočítať, ktorá je pre vašu domácnosť výhodnejšia. Ž: To znie zaujímavo, žeb predsa tie funkcie na niečo boli? U: Isteže, tak poďme na to. Ž: Najprv si ešte raz prečítam tet... Niečo mi tu nesedí. Hovorí sa o poplatkoch za mesiac, ale v otázke je ročná spotreba. Tak ako? U: Presne tak, ako to v prai funguje každý mesiac platíte určitý poplatok za elektrinu, je to vlastne záloha. A raz za rok sa zisťuje celková ročná spotreba, na základe ktorej sa urobí vúčtovanie. A buď vám vrátia preplatok, alebo od vás pýtajú nedoplatok. Ž: To mi niečo hovorí. U: To som rád a teraz už poďme úlohu matematick zapísať. Aké premenné v nej vstupujú? Ž: Spotreba energie v kwh, ak som dobre pochopil tak za rok, tú si označím písmenom. No a písmenom si označím sumu, ktorú treba zaplatiť za mesiac... alebo za rok? Zase neviem. U: Za rok, budeme sa na to dívať z pohľadu ročného zúčtovania. Ž: No dobre. Takže pri prvej sadzbe ŠTANDARD MINI zaplatíme každý mesiac Sk, čiže za rok 6 Sk a k tomu ešte,5 Sk za kwh. Teda za kwh to bude,5 a spolu dostávam vzťah = 6 +,5. U: Veľmi dobre, pokračuj. Ž: Pri sadzbe ŠTANDARD MAXI zaplatíme každý mesiac 9 Sk, čiže za rok 9 = 788 Sk a k tomu ešte, Sk za kwh. Bude to podobná rovnica = 788 +,. U: Výborne, v oboch prípadoch to sú lineárne funkcie, ich grafmi sú polpriamk, keďže definičný obor sú len nezáporné čísla. A tu je obrázok:

19 VaFu- List = 788 +, = 6 +, U: Z grafov máme určiť, ktorá sadzba je výhodnejšia pri spotrebe 7 resp. kwh ročne. Ž: Výhodnejšie je samozrejme zaplatiť menej, pri hodnote = 7 dáva nižšiu hodnotu prvá funkcia = 6 +,5, ale pri spotrebe kwh už dáva menšiu hodnotu druhá funkcia = 788 +,. Takže pri spotrebe 7 kwh je výhodnejšia sadzba ŠTANDARD MINI a pri spotrebe kwh zase sadzba ŠTANDARD MAXI. U: Výborne, ja len dodám, že nie je veľmi ťažké vpočítať, že sadzba ŠTANDARD MINI je výhodnejšia len pri spotrebe do 98 kwh ročne.

20 VaFu-5 List Príklad 5: Grafick riešte v R sústav: a) b) + < 5 =,5. Ž: V prvej časti mám grafick riešiť sústavu troch jednoduchých lineárnch nerovníc. Pozriem sa na každú z nich zvlášť. Začnem nerovnicou. Zostrojím hraničnú priamku = pomocou bodov [; ] a [; ]. U: Tým sa ti rovina rozdelí na dve polrovin. Ako rozhodneš, ktorá z nich ti vhovuje? Ž: Jednoducho, dosadím do nerovnice bod [; ]. Hops! Bod [; ] leží na hraničnej priamke, takže to nebol najlepší nápad. U: Nič sa nedeje, treba zobrať iný bod. Ž: Tak napríklad bod [; ]. Keď ho dosadím do mojej nerovnice, dostanem. A to platí, teda polrovina, v ktorej leží bod [; ] znázorňuje všetk riešenia prvej nerovnice. Tu je k tomu obrázok: U: Výborne, rovnakým spôsobom zvládneš aj ďalšie nerovnice. Ž: Druhá nerovnica je. Zostrojím hraničnú priamku =. Potom si vezmem nejaký bod, ktorý na nej neleží, napríklad bod [; ]. Dosadím jeho súradnice do nerovnice a dostanem. To neplatí, teda polrovina, z ktorej som vbral bod mi nevhovuje. Riešením bude druhá polrovina.

21 VaFu-5 List U: Na nasledujúcom obrázku to máme znázornené. Ž: Ešte mi ostala posledná nerovnica. Hraničná priamka = je kolmá na os -ovú a pretína ju v bode. Všetk bod, ktoré majú -ovú súradnicu menšiu ako ležia od nej naľavo, teda grafické znázornenie tretej nerovnice je takéto: U: Veľmi dobre, ostáva už len dokončiť riešenie sústav. Ž: To znamená, že nájdem prienik troch polrovín, ktoré som zakreslil pri jednotlivých nerovniciach. Výsledkom je takýto trojuholník:

22 VaFu-5 List 6 5 U: Riešením našej sústav nerovníc sú teda všetk usporiadané dvojice čísel, ktorých obraz ležia v danom trojuholníku, vrátane jeho hranice. Ž: Môžem sa pustiť do druhej úloh. Opäť začínam nerovnicou, teraz je to + < 5. Takže najprv zostrojím hraničnú priamku = 5 pomocou bodov [ ; ] a [ ; ]. Potom dosadím bod [; ] do nerovnice. Dostal som vzťah < 5, čo neplatí. Teda vznačím tú polrovinu, ktorá neobsahuje bod [; ]. U: Podotýkam, že hraničná priamka do množin riešení nepatrí, keďže sme pracovali s ostrou nerovnicou. Ž: Pokračujem ďalej. Tu však nemám ďalšiu nerovnicu, ale rovnicu =,5. Grafick znázorním priamku s rovnicou =,5 a hľadám jej prienik s polrovinou. Tu je to nakreslené riešením je červená polpriamka bez krajného bodu:

23 VaFu-5 List =,5 + < 5 Úloha 5: Grafick riešte v R sústav: a) + b) = + > 5 +. Výsledok: a) + = + = 5

24 VaFu-5 List b) = + =

25 VaFu-6 List 5 Príklad 6: Grafick riešte v R sústavu nerovníc: + +. U: Na úvod si pripomeňme, ako grafick riešime sústavu nerovníc. Najprv grafick znázorníme množinu riešní každej z nerovníc a potom vznačíme prienik týchto množín. Ž: Tie nerovničk vzerajú celkom jednoducho, hneď sa pustím do prvej. Chcem teda grafick znázorniť riešenie nerovnice +. Začnem zostrojením priamk s rovnicou + =. Tá mi rozdelí rovinu na dve polrovin. O tom, ktorá z nich mi vhovuje, rozhodnem pomocou hocijakého bodu neležiaceho na priamke. Najľahšie sa pracuje s bodom [; ]. Takže do nerovnice + dosadím za aj za nul a dostanem. Toto je pravda, takže polrovina obsahujúca bod [; ] je grafickým vjadrením prvej nerovnice. U: Ukážeme si to hneď aj na obrázku: + Ž: Rovnako budem postupovať s druhou nerovnicou. Zostrojenie hraničnej priamk = zvládnem ľahko pomocou bodov [; ] a [; ]. Potom napríklad pomocou bodu [; ] zistím, že riešením je polrovina, ktorá ho obsahuje.

26 VaFu-6 List 6 U: Ide ti to ako po masle, vidím, že tomu rozumieš. Ž: Rovnaký postup zvolím aj pri posledných dvoch nerovniciach + a. Hraničné priamk sú + = a =. V oboch prípadoch bod [; ] patrí do hľadanej polrovin. Takže ak to všetko nakreslím aj s predchádzajúcimi dvoma polrovinami, ich prienikom je takýto útvar:

27 VaFu-6 List 7 U: Áno, teda riešením našej sústav štroch nerovníc sú všetk usporiadané dvojice, ktorých obraz vtvoria takýto štvorec. Pre zaujímavosť dodám, že sústavu nerovníc v zadaní možno nahradiť jedinou nerovnicou Úloha 6: Grafick riešte v R sústavu: +. Výsledok: = ; ; = = =

28 VaFu-7 List 8 Príklad 7: Nájdite sústav lineárnch nerovníc s dvoma neznámmi, ktorých riešenia sú znázornené na obrázkoch: a) b) U: Najprv si zopakujme, čo je grafickým vjadrením množin koreňov lineárnej nerovnice s dvoma neznámmi. Ž: Je to polrovina, pričom pri neostrej nerovnici do nej patrí aj hraničná priamka, ale pri ostrej nerovnici tam nepatrí. U: A ako nájdeš tú hraničnú priamku? Ž: Ako grafické vjadrenie zodpovedajúcej rovnice. U: Výborne. Pozrime sa teda na prvý obrázok. Je na ňom znázornený trojuholník ako výsledok grafického riešenia nejakej sústav nerovníc. Koľko asi bolo tých nerovníc? Ž: Zrejme tri, lebo trojuholník vznikne ako prienik troch polrovín. U: Tvojou úlohou je teda nájsť tie tri polrovin a im zodpovedajúce nerovnice. Pre ľahšiu orientáciu navrhujem označiť vrchol trojuholníka. Ž: Dobre, tak nech sa trojuholník volá UFO, pričom U [; ], F [; ] a O [; ]. F O U

29 VaFu-7 List 9 Najľahšie bude vjadriť polrovinu OUF. Jej hraničnou priamkou je os a všetk bod ležiace nad ňou majú kladnú -ovú súradnicu. Takže prvá nerovnica je. U: Skús pokračovať polrovinou OF U. Ž: Začnem hraničnou priamkou. Ležia na nej bod O [; ] a F [; ]. Z toho usudzujem, že jej rovnica je jednoduchá: =. Lenže ja potrebujem nerovnicu. Preto si skúsim tipnúť, že b to mohlo bť. A overím to pomocou bodu U. Takže dosadím jeho súradnice a dostanem. Hm, nevšlo. Teda som si zle tipol a nerovnica má bť opačne:. U: Ide ti to výborne, ostala posledná polrovina UF O. Ž: Najprv potrebujem zistiť rovnicu hraničnej priamk UF. To ale nebude také ľahké. U: Ale zase ani ťažké. Priamka U F predstavuje graf nejakej lineárnej funkcie a t na nej poznáš dva bod. Ž: Poznám, ale čo s nimi? U: Spomeň si na rovnicu lineárnej funkcie. Ž: Tá je = a + b. Aha, už rozumiem. Dosadím do tejto rovnice za a súradnice bodov U a F. Takže pre bod U [; ] dostanem A pre bod F [; ] dostanem rovnicu = a + b. = a + b. U: Tým si dostal jednoduchú sústavu dvoch lineárnch rovníc s dvoma neznámmi.

30 VaFu-7 List Ž: A hravo ju vriešim. Z prvej rovnice vjadrím Dosadím do druhej rovnice odkiaľ b = a. = a a, a =. Potom b =, teda priamka UF má rovnicu = +. Ja ale potrebujem nerovnicu. Vezmem si na pomoc bod O [; ]. Keďže tento bod má patriť mojej polrovine a <, tak jej nerovnica bude +. U: Súhlasím, len možno krajší zápis b bol +. V rámčeku je zhrnuté riešenie úloh. + U: Keď si tak dobre zvládol trojuholník, nebude ti snáď robiť problém ani štvorec, ktorý máme na ďalšom obrázku:

31 VaFu-7 List Ž: Mslím, že nie. Je jasné, že teraz potrebujem štri nerovnice. Ak sa však dobre pozriem na ten štvorec, tak vidím, že všetk jeho bod majú ohraničené súradnice. A to tak, že -ové súradnice sú len medzi a. Teda prvé dve nerovnice sú U: OK,. Tiež -ové súradnice sa menia od po, preto ďalšie dve nerovnice sú A je to.,. Úloha 7: Nájdite sústavu lineárnch nerovníc s dvoma neznámmi, ktorej riešenie je znázornené na obrázku: Výsledok: + < ; < ; + < ; <

Funkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H.

Funkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H. FUNKCIA, DEFINIČNÝ OBOR, OBOR HODNÔT Funkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H. Množina D definičný obor Množina H obor hodnôt Funkciu môžeme

Více

Lineárne nerovnice, lineárna optimalizácia

Lineárne nerovnice, lineárna optimalizácia Opatrenie:. Premena tradičnej škol na modernú Gmnázium Jozefa Gregora Tajovského Lineárne nerovnice, lineárna optimalizácia V tomto tete sa budeme zaoberat najskôr grafickým znázornením riešenia sústav

Více

Kvadratické funkcie, rovnice, 1

Kvadratické funkcie, rovnice, 1 Kvadratické funkcie, rovnice, 1. ročník Kvadratická funkcia Kvadratickou funkciu sa nazýva každá funkcia na množine reálnych čísel R daná rovnicou y = ax + bx + c, kde a je reálne číslo rôzne od nuly,

Více

Súmernosti. Mgr. Zuzana Blašková, "Súmernosti" 7.ročník ZŠ. 7.ročník ZŠ. Zistili sme. Zistite, či je ľudská tvár súmerná

Súmernosti. Mgr. Zuzana Blašková, Súmernosti 7.ročník ZŠ. 7.ročník ZŠ. Zistili sme. Zistite, či je ľudská tvár súmerná Mgr. Zuzana Blašková, "úmernosti" 7.ročník ZŠ 1 úmernosti 7.ročník ZŠ Mgr. Zuzana Blašková 2 ZŠ taničná 13, Košice Osová súmernosť určenie základné rysovanie vlastnosti úlohy s riešeniami osovo súmerné

Více

Iracionálne rovnice = 14 = ±

Iracionálne rovnice = 14 = ± Iracionálne rovnice D. Rovnica je iracionálna, ak obsahuje neznámu pod odmocninou. P. Ak ide o odmocninu s párnym odmocniteľom, potom musíme stanoviť definičný obor pod odmocninou nesmie byť záporná hodnota

Více

VaFu16-T List 1. Kvadratická funkcia. RNDr. Beáta Varinčíková

VaFu16-T List 1. Kvadratická funkcia. RNDr. Beáta Varinčíková VaFu6-T List Kvadratická funkcia RNDr. Beáta Varinčíková U: Vieme, že funkcia predstavuje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. V prípade, že jedna veličina závisí od druhej mocnin druhej veličin, hovoríme

Více

Na aute vyfarbi celé predné koleso na zeleno a pneumatiku zadného kolesa vyfarbi na červeno.

Na aute vyfarbi celé predné koleso na zeleno a pneumatiku zadného kolesa vyfarbi na červeno. Kružnica alebo kruh Aký je rozdiel medzi kružnicou a kruhom si vysvetlíme na kolese auta. Celé koleso je z tohto pohľadu kruh. Pneumatika je obvod celého kolesa obvod kruhu a obvod kruhu nazývame inak

Více

TC Obsahový štandard - téma Výkonový štandard - výstup

TC Obsahový štandard - téma Výkonový štandard - výstup Mocniny a odmocniny, zápis veľkých čísel Finančná matemati ka UČEBNÉ OSNOVY DEVIATY ROČNÍK TC Obsahový štandard - téma Výkonový štandard - výstup Vklad, úrok, úroková miera Dane zvládnuť základné pojmy

Více

Prevody z pointfree tvaru na pointwise tvar

Prevody z pointfree tvaru na pointwise tvar Prevody z pointfree tvaru na pointwise tvar Tomáš Szaniszlo 2010-03-24 (v.2) 1 Príklad (.(,)). (.). (,) Prevedenie z pointfree do pointwise tvaru výrazu (.(,)). (.). (,). (.(,)). (.). (,) Teraz je funkcia

Více

M úlohy (vyriešené) pre rok 2017

M úlohy (vyriešené) pre rok 2017 M úlohy (vyriešené) pre rok 2017 Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktorého ciferný súčet je 2017 Ak má byť prirodzené číslo s daným ciferným súčtom čo najmenšie, musí mať čo najviac číslic 9 Pretože

Více

8. Relácia usporiadania

8. Relácia usporiadania 8. Relácia usporiadania V tejto časti sa budeme venovať ďalšiemu špeciálnemu typu binárnych relácií v množine M - reláciám Najskôr si uvedieme nasledujúce štyri definície. Relácia R definovaná v množine

Více

Skákalka. Otvoríme si program Zoner Callisto, cesta je Programy Aplikácie Grafika Zoner Callisto.

Skákalka. Otvoríme si program Zoner Callisto, cesta je Programy Aplikácie Grafika Zoner Callisto. Skákalka Otvoríme si program Zoner Callisto, cesta je Programy Aplikácie Grafika Zoner Callisto. Vyberieme si z ponuky tvarov kruh a nakreslíme ho (veľkosť podľa vlastného uváženia). Otvoríme si ponuku

Více

VECIT 2006 Tento materiál vznikol v rámci projektu, ktorý je spolufinancovaný Európskou úniou. 1/4

VECIT 2006 Tento materiál vznikol v rámci projektu, ktorý je spolufinancovaný Európskou úniou. 1/4 Príklad 1 Naučte korytnačku príkaz čelenka. Porozmýšľajte nad využitím príkazu plnytrojuhol60: viem plnytrojuhol60 opakuj 3 [do 60 vp 120 Riešenie: definujeme ďalšie príkazy na kreslenie trojuholníka líšiace

Více

3 Determinanty. 3.1 Determinaty druhého stupňa a sústavy lineárnych rovníc

3 Determinanty. 3.1 Determinaty druhého stupňa a sústavy lineárnych rovníc 3 eterminanty 3. eterminaty druhého stupňa a sústavy lineárnych rovníc Začneme úlohou, v ktorej je potrebné riešiť sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych. a x + a 2 x 2 = c a 22 a 2 x + a 22 x 2 = c 2

Více

Riešenie nelineárnych rovníc I

Riešenie nelineárnych rovníc I Riešenie nelineárnych rovníc I Ako je už zo samotného názvu hodiny parné budeme sa venovať spôsobom výpočtu nelineárnych rovníc. Prečo je riešenie takýchto rovníc nevyhnutné? Nielen v samotnom chemickom

Více

Matematika test. Cesta trvala hodín a minút.

Matematika test. Cesta trvala hodín a minút. GJH-Prima Test-16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Súčet Matematika test Na tento papier sa nepodpisuj. Na vypracovanie tejto skúšky máš čas 20 minút. Test obsahuje 18 úloh a má 4 strany. Úlohy

Více

1. Otec, mama a dcéra majú spolu 69 rokov. Koľko rokov budú mať spolu o 7 rokov? a) 76 b) 90 c) 83 d) 69

1. Otec, mama a dcéra majú spolu 69 rokov. Koľko rokov budú mať spolu o 7 rokov? a) 76 b) 90 c) 83 d) 69 Typové úlohy z matematiky - PS EGJT LM - 8-ročné bilingválne štúdium Bez použitia kalkulačky 1. Otec, mama a dcéra majú spolu 69 rokov. Koľko rokov budú mať spolu o 7 rokov? a) 76 b) 90 c) 83 d) 69 2.

Více

Limita funkcie. Čo rozumieme pod blížiť sa? y x. 2 lim 3

Limita funkcie. Čo rozumieme pod blížiť sa? y x. 2 lim 3 Limita funkcie y 2 2 1 1 2 1 y 2 2 1 lim 3 1 1 Čo rozumieme pod blížiť sa? Porovnanie funkcií y 2 2 1 1 y 2 1 2 2 1 lim 3 1 1 1-1+ Limita funkcie lim f b a Ak ku každému číslu, eistuje také okolie bodu

Více

Imagine. Popis prostredia:

Imagine. Popis prostredia: Priemerný človek si zapamätá približne: - 10 % z toho, čo číta, - 20 % z toho, čo počuje, - 30 % z toho, čo vidí v podobe obrazu, - 50 % z toho, čo vidí a súčasne počuje, - 70 % z toho čo súčasne vidí,

Více

Riešené úlohy Testovania 9/ 2011

Riešené úlohy Testovania 9/ 2011 Riešené úlohy Testovania 9/ 2011 01. Nájdite číslo, ktoré po vydelení číslom 12 dáva podiel 57 a zvyšok 11. 57x12=684 684+11=695 Skúška: 695:12=57 95 11 01. 6 9 5 02. V sude je 1,5 hektolitra dažďovej

Více

Začínam so zadaním z NEPOUŽÍVAME ROZSAH POKIAĽ HO MUSÍME PRESKOČIŤ

Začínam so zadaním z NEPOUŽÍVAME ROZSAH POKIAĽ HO MUSÍME PRESKOČIŤ Chcela som urobiť rozumný tútoriál, netuším či to niekomu pomože, pevne verím že aspoň jeden taký sa nájde pretože keď tomu rozumiem ja tak musí aj total magor tomu rozumieť! Začínam so zadaním z 9.11.2010

Více

7. Relácia ekvivalencie a rozklad množiny

7. Relácia ekvivalencie a rozklad množiny 7 Relácia ekvivalencie a rozklad množiny V tejto časti sa budeme venovať špeciálnemu typu binárnych relácií na množine - reláciám ekvivalencie a ich súvisu s rozkladom množiny Relácia ekvivalencie na množine

Více

Ak stlačíme OK, prebehne výpočet a v bunke B1 je výsledok.

Ak stlačíme OK, prebehne výpočet a v bunke B1 je výsledok. Hľadanie riešenia: ak poznáme očakávaný výsledok jednoduchého vzorca, ale vstupná hodnota, ktorú potrebujeme k určeniu výsledku je neznáma. Aplikácia Excel hľadá varianty hodnoty v určitej bunke, kým vzorec,

Více

Matematika test. Mesačne zaplatí. Obvod obdĺžnikovej záhrady je. Jedna kniha stojí Súčet

Matematika test. Mesačne zaplatí. Obvod obdĺžnikovej záhrady je. Jedna kniha stojí Súčet 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Súčet Matematika test Na tento papier sa nepodpisuj. Na vypracovanie tejto skúšky máš čas 20 minút. Test obsahuje 13 úloh a má 4 strany. Úlohy môžeš riešiť v ľubovoľnom poradí.

Více

i j, existuje práve jeden algebraický polynóm n-tého stupˇna Priamym dosadením do (2) dostávame:

i j, existuje práve jeden algebraický polynóm n-tého stupˇna Priamym dosadením do (2) dostávame: 0 Interpolácia 0 Úvod Hlavnou myšlienkou interpolácie je nájs t funkciu polynóm) P n x) ktorá sa bude zhodova t s funkciou fx) v n rôznych uzlových bodoch x i tj P n x) = fx i ) = f i = y i i = 0 n Niekedy

Více

3D origami - tučniak. Postup na prípravu jednotlivých kúskov: A) nastrihanie, alebo natrhanie malých papierikov (tie budeme neskôr skladať)

3D origami - tučniak. Postup na prípravu jednotlivých kúskov: A) nastrihanie, alebo natrhanie malých papierikov (tie budeme neskôr skladať) 3D origami - tučniak Na výrobu 3D tučniaka potrebujeme: 27 bielych kúskov = 2 biele A4 kancelárske papiere, 85 čiernych (resp. inej farby) kúskov = 6 kancelárskych A4 papierov rovnakej farby, 3 oranžové

Více

Obrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu. Obrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu

Obrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu. Obrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu Cvičenie:.. Pre každú zo sietí uvedených dole určite minimálny celkový čas, ktorý zaberie dokončenie projektu, minimálne časové ohodnotenie E(v) u jednotlivých vrcholov a kritickú cestu. (a) Obrázok..

Více

Kreslenie vo Worde Chceme napríklad nakresliť čiaru priamku. V paneli ponúk klikneme na Vložiť a v paneli nástrojov klikneme na Tvary.

Kreslenie vo Worde Chceme napríklad nakresliť čiaru priamku. V paneli ponúk klikneme na Vložiť a v paneli nástrojov klikneme na Tvary. Kreslenie vo Worde Chceme napríklad nakresliť čiaru priamku. V paneli ponúk klikneme na Vložiť a v paneli nástrojov klikneme na Tvary. V roletke klikneme na ikonku Čiara. Ukazovateľom myši, keď nim prejdeme

Více

Matematika test. 1. Doplň do štvorčeka číslo tak, aby platila rovnosť: (a) 9 + = (b) : 12 = 720. (c) = 151. (d) : 11 = 75 :

Matematika test. 1. Doplň do štvorčeka číslo tak, aby platila rovnosť: (a) 9 + = (b) : 12 = 720. (c) = 151. (d) : 11 = 75 : GJH-Prima 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Súčet Test-13 Matematika test Na tento papier sa nepodpisuj. Na vypracovanie tejto skúšky máš čas 20 minút. Test obsahuje 13 úloh a má 4 strany. Úlohy môžeš riešiť

Více

Všeobecná rovnica priamky v rovine

Všeobecná rovnica priamky v rovine VoAg09-T List 1 Všeobecná rovnica priamky v rovine RNDr.Viera Vodičková U: Všeobecná rovnica priamky je jeden zo spôsobov ako môžeme analyticky vyjadriť priamku, čiže priradiť jej rovnicu. Ž: Ja tiež poznám

Více

To bolo ľahké. Dokážete nakresliť kúsok od prvého stromčeka rovnaký? Asi áno, veď môžete použiť tie isté príkazy.

To bolo ľahké. Dokážete nakresliť kúsok od prvého stromčeka rovnaký? Asi áno, veď môžete použiť tie isté príkazy. Opakuj a pomenuj Nakreslime si ovocný sad Príklad 1 Pomocou príkazového riadku skúste s korytnačkou nakresliť ovocný stromček. Vaša postupnosť príkazov sa možno podobá na nasledujúcu:? nechfp "hnedá? nechhp

Více

Diplomový projekt. Detská univerzita Žilinská univerzita v Žiline Matilda Drozdová

Diplomový projekt. Detská univerzita Žilinská univerzita v Žiline Matilda Drozdová Diplomový projekt Detská univerzita Žilinská univerzita v Žiline 1.7.2014 Matilda Drozdová Pojem projekt Projekt je určitá časovo dlhšia práca, ktorej výsledkom je vyriešenie nejakej úlohy Kto rieši projekt?

Více

Riešenie cvičení z 3. kapitoly

Riešenie cvičení z 3. kapitoly Riešenie cvičení z 3. kapitoly Cvičenie 3.1. Prepíšte z prirodzeného jazyka do jazyka výrokovej logiky: (a) Jano pôjde na výlet a Fero pôjde na výlet; (1) vyjadrite túto vetu pomocou implikácie a negácie

Více

KOMISNÝ PREDAJ. Obr. 1

KOMISNÝ PREDAJ. Obr. 1 KOMISNÝ PREDAJ Komisný predaj sa realizuje na základe komisionárskej zmluvy, pričom ide v podstate o odložený predaj, kde práva k výrobku alebo tovaru prevedie dodávateľ (výrobca, komitent) na predajcu

Více

11. téma: Zaokrúhľovanie, práca so zaokrúhlenými číslami

11. téma: Zaokrúhľovanie, práca so zaokrúhlenými číslami 11. téma: Zaokrúhľovanie, práca so zaokrúhlenými číslami I. Úlohy na úvod 1. a) Zaokrúhlite nadol, b) zaokrúhlite nahor, c) zaokrúhlite číslo 5,47 na desatiny, číslo 483,203 na jednotky, číslo 2 996 789

Více

DOBROPISY. Dobropisy je potrebné rozlišovať podľa základného rozlíšenia: 1. dodavateľské 2. odberateľské

DOBROPISY. Dobropisy je potrebné rozlišovať podľa základného rozlíšenia: 1. dodavateľské 2. odberateľské DOBROPISY Dobropisy je potrebné rozlišovať podľa základného rozlíšenia: 1. dodavateľské 2. odberateľské 1. DODAVATEĽSKÉ to znamená, že dostanem dobropis od dodávateľa na reklamovaný, alebo nedodaný tovar.

Více

VoKu21-T List 1. Kružnica. RNDr. Viera Vodičková

VoKu21-T List 1. Kružnica. RNDr. Viera Vodičková VoKu21-T List 1 Kružnica RNDr. Viera Vodičková U: O kružnici si už určite počul. Ž: Samozrejme. S kružnicou sa stretávame všade. Je to také koliesko. A teraz vážne. Kružnica je daná stredom a polomerom.

Více

Rozklad mnohočlenov na súčin

Rozklad mnohočlenov na súčin KrAv05-T List 1 Rozklad mnohočlenov na súčin RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Teraz si ukážeme, ako môžeme rozložiť mnohočlen na súčin mnohočlenov čo najnižšieho stupňa. Napr. 3x 3xy 3xx y), alebo 3x y )

Více

Ako funguje stav účtu - prehľad o platbách na zdravotné odvody

Ako funguje stav účtu - prehľad o platbách na zdravotné odvody Ako funguje stav účtu - prehľad o platbách na zdravotné odvody Vo svojej Elektronickej pobočke odteraz vidíte nielen svoj stav účtu od roku 2009, ale máte aj možnosť preddavky 1 na poistné alebo dlh zaplatiť

Více

Zvyškové triedy podľa modulu

Zvyškové triedy podľa modulu Zvyškové triedy podľa modulu Tomáš Madaras 2011 Pre dané prirodzené číslo m 2 je relácia kongruencie podľa modulu m na množine Z reláciou ekvivalencie, teda jej prislúcha rozklad Z na systém navzájom disjunktných

Více

Môj dom Pracovné listy na rozvoj slovnej zásoby a komunikačných schopností pre prípravný a 1. ročník ZŠ Mgr. Eva Buchelová 2013

Môj dom Pracovné listy na rozvoj slovnej zásoby a komunikačných schopností pre prípravný a 1. ročník ZŠ Mgr. Eva Buchelová 2013 Škola 21. storočia Dopytovo orientovaný projekt Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS projektu 26110130435 Aktivita 1.1 Môj dom Pracovné listy

Více

KrAv02-T List 1. Polynómy. RNDr. Jana Krajčiová, PhD.

KrAv02-T List 1. Polynómy. RNDr. Jana Krajčiová, PhD. KrAv02-T List 1 Polynómy RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Povieme si niečo o polynómoch, resp. mnohočlenoch. Ž: A je medzi polynómom a mnohočlenom nejaký rozdiel? U: Práveže žiaden. Slovo polynóm je gréckeho

Více

Tipy na šetrenie elektrickej energie Použitie časového spínača Časť I Kuchynský bojler

Tipy na šetrenie elektrickej energie Použitie časového spínača Časť I Kuchynský bojler Tipy na šetrenie elektrickej energie Použitie časového spínača Časť I Kuchynský bojler V oboch nami monitorovaných objektoch sa kuchyne zásobujú teplou vodou z 10-litrového zásobníka s elektrickým ohrevom,

Více

Téma : Špecifiká marketingu finančných služieb

Téma : Špecifiká marketingu finančných služieb Téma : Špecifiká marketingu finančných služieb Marketing predstavuje komplex činností, ktorý zahrňuje všetky činnosti od nápadu až po uvedenie produktu na trh. Cieľom marketingu je potom predať: správny

Více

Vážení používatelia programu WISP.

Vážení používatelia programu WISP. Vážení používatelia programu WISP. V súvislosti s Kontrolným výkazom DPH (ďalej iba KV) sme doplnili od verzie IS WISP 165.3633 a DB 165.1414 údaje potrebné pre ďalšie spracovanie a vyhotovenie súboru

Více

Výstupný test projektu KEGA pre 7. roč. ZŠ. Verzia A

Výstupný test projektu KEGA pre 7. roč. ZŠ. Verzia A Výstupný test projektu KEGA pre 7. roč. ZŠ Verzia A Meno: Problém U1 U2 Súčet 1 Zákusky pre hostí 2 Terminovaný vklad 3 Doprava po Ukrajine 4 Preprava nákladu 5 Krémy na tvár výhodne 6 Evidenčné čísla

Více

Test z matematiky na prijímacie skúšky do 1. ročníka osemročného štúdia

Test z matematiky na prijímacie skúšky do 1. ročníka osemročného štúdia Test z matematiky na prijímacie skúšky do 1. ročníka osemročného štúdia v školskom roku 2014/2015 Skupina A Kód žiaka: dátum: 12. máj 2014 1. Barborka si kupuje v obchode pečivo za centov, dva jogurty

Více

VYSPORIADANIE PREHRADENÝCH ZÁVÄZKOV A POHĽADÁVOK

VYSPORIADANIE PREHRADENÝCH ZÁVÄZKOV A POHĽADÁVOK VYSPORIADANIE PREHRADENÝCH ZÁVÄZKOV A POHĽADÁVOK Funkcia Vysporiadanie pohľadávok a záväzkov umožňuje riešiť preplatky pohľadávok a záväzkov, prípady, kedy je úhrada vyššia ako hodnota uvedená na doklade.

Více

Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV

Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV TEST MATEMATIKA školský rok 2015/2016 POKYNY PRE PRÁCU

Více

D- 1.strana D- 2.strana D- 3.strana D. - SPOLU TEST I. ČASŤ TEST

D- 1.strana D- 2.strana D- 3.strana D. - SPOLU TEST I. ČASŤ TEST D- 1.strana D- 2.strana D- 3.strana D. - SPOLU TEST Počet bodov Podpis 1 Podpis 2 I. ČASŤ TEST 1. Jedna strana trojuholníka meria 4cm a druhá 7cm. Ktoré z uvedených čísel môže byť obvodom tohto trojuholníka?

Více

Výstupný test projektu KEGA pre 7. roč. ZŠ. Verzia B

Výstupný test projektu KEGA pre 7. roč. ZŠ. Verzia B Výstupný test projektu KEGA pre 7. roč. ZŠ Verzia B Meno: Problém U1 U2 Súčet 1 Nehody 2 Zákazka 3 Nákup kozmetiky 4 Štvormiestne kupé 5 Kúpa auta 6 Čokoládové kocky Súčet bodov za test Nehody V minulom

Více

Návod na použitie zápisníka jedál

Návod na použitie zápisníka jedál Návod na použitie zápisníka jedál Sme nesmierne radi, že si sa rozhodla používať tento zápisník jedál. Práve zapisovaním svojho jedálnička ľudia chudnú oveľa rýchlejšie, majú prehľad nad tým, čo zjedia

Více

15. Príkazy vetvenia

15. Príkazy vetvenia Príkaz vetvenia je zložený riadiaci príkaz. Používame ho vtedy, keď potrebujeme, aby sa určitý príkaz alebo príkazy vykonal/vykonali iba vtedy, keď je splnená nejaká podmienka. V programe sa vykoná iba

Více

PLASTOVÉ KARTY ZÁKAZNÍKOV

PLASTOVÉ KARTY ZÁKAZNÍKOV PLASTOVÉ KARTY ZÁKAZNÍKOV OBSAH 1 Plastové karty základné informácie... 1 2 Distribúcia plastových kariet zákazníkom... 1 2.1 Jednorázová hromadná distribúcia kariet... 1 2.2 Pravidelná distribúcia plastových

Více

Obvod štvorca a obdĺžnika

Obvod štvorca a obdĺžnika Obvod štvorca a obdĺžnika 1. Vypočítaj obvod štvorca, ktorého strana je: a) a = 5 cm c) a = 39 dm b) a = 14 mm d) a = 104 m e) a = 24 cm f) a = 48 dm g) a = 1 037 mm h) a = 59 m 2. Vypočítaj obvod obdĺžnika,

Více

Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie)

Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie) Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie) Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Cvičenie 1 Beáta Stehlíková, FMFI UK Bratislava www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Príklad 1: Zhody

Více

Automatický timer pre DX7 návod na inštaláciu a manuál

Automatický timer pre DX7 návod na inštaláciu a manuál Automatický timer pre DX7 návod na inštaláciu a manuál Upozornenie: Aj keď je modul pre DX7 obvodovo takmer totožný s modulom pre DX6i, majú niektoré súčiastky odlišnú hodnotu a v procesore je úplne iný

Více

NEVLASTNÁ VODIVOSŤ POLOVODIČOVÉHO MATERIÁLU TYPU P

NEVLASTNÁ VODIVOSŤ POLOVODIČOVÉHO MATERIÁLU TYPU P NEVLASTNÁ VODIVOSŤ POLOVODIČOVÉHO MATERIÁLU TYPU P 1. VLASTNÉ POLOVODIČE Vlastnými polovodičmi nazývame polovodiče chemicky čisté, bez prímesí iných prvkov. V súčasnosti je najpoužívanejším polovodičovým

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

Zvládanie námietok a metaprogramy

Zvládanie námietok a metaprogramy Zvládanie námietok a metaprogramy MANUÁL K ONLINE TRÉNINGU www.majsterpredaja.sk Technika 3 prstov na zvládanie námietok Štruktúra: 1. UZNAJ 2. ODKLOŇ POZORNOSŤ 3. DAJ ALTERNATÍVU Námietka - nemám čas

Více

KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SÚČINU

KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SÚČINU KOMBINATORIKA MODERNÉ VZDELÁVANIE PRE VEDOMOSTNÚ SPOLOČNOSŤ/ PROJEKT JE SPOLUFINANCOVANÝ ZO ZDROJOV EÚ KÓD ITMS PROJEKTU: 26110130645 UČIŤ MODERNE, INOVATÍVNE, KREATÍVNE ZNAMENÁ OTVÁRAŤ BRÁNU DO SVETA

Více

V nej je potrebné skontrolovať správnosť prenesených a prepočítaných zostatkov z roku 2008.

V nej je potrebné skontrolovať správnosť prenesených a prepočítaných zostatkov z roku 2008. WinJU ročná uzávierka a prechod na euro Postup prechodu na EURO Vo Win aplikáciách nie je kvôli euru zakladané nové dátové prostredie, ale pokračuje sa v pôvodnej dátovej štruktúre do konca roku 2008 budú

Více

Studentove t-testy. Metódy riešenia matematických úloh

Studentove t-testy. Metódy riešenia matematických úloh Studentove t-testy Metódy riešenia matematických úloh www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Jednovýberový t-test z prednášky Máme náhodný výber z normálneho rozdelenia s neznámymi parametrami Chceme

Více

Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie)

Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie) Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie) Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Beáta Stehlíková, FMFI UK Bratislava www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Príklad 1: Zhody kariet

Více

PODPROGRAMY. Vyčlenenie podprogramu a jeho pomenovanie robíme v deklarácii programu a aktiváciu vykonáme volaním podprogramu.

PODPROGRAMY. Vyčlenenie podprogramu a jeho pomenovanie robíme v deklarácii programu a aktiváciu vykonáme volaním podprogramu. PODPROGRAMY Podprogram je relatívne samostatný čiastočný algoritmus (čiže časť programu, ktorý má vlastnosti malého programu a hlavný program ho môže volať) Spravidla ide o postup, ktorý bude v programe

Více

ZOBRAZOVANIE NA VÝKRESOCH - ZÁKLADY PREMIETANIA

ZOBRAZOVANIE NA VÝKRESOCH - ZÁKLADY PREMIETANIA ZOBRAZOVANIE NA VÝKRESOCH - ZÁKLADY PREMIETANIA Pri kolmom premietaní môžeme zvoliť šesť smerov premietania, ale ich priemety nemajú rovnakú dôležitosť: A. hlavné priemety v smere: N - pohľad z predu (nárys),

Více

HODINA S EKOSTOPOU FORMULÁR AKTIVITY

HODINA S EKOSTOPOU FORMULÁR AKTIVITY HODINA S EKOSTOPOU FORMULÁR AKTIVITY Autor Kontakt Škola Bc. Veronika Sokolová e-mail: sok.ver@gmail.com telefón: 944166095 MŠ Azovská 1, 040 12 Košice Súťažná kategória A Oblasť ekologickej stopy ELEKTRINA

Více

MANUÁL K TVORBE CVIČENÍ NA ÚLOHY S POROZUMENÍM

MANUÁL K TVORBE CVIČENÍ NA ÚLOHY S POROZUMENÍM MANUÁL K TVORBE CVIČENÍ NA ÚLOHY S POROZUMENÍM Cvičenia na úlohy s porozumením si vieme pre žiakov vytvoriť v programe, ktorý stiahneme zo stránky http://www.education.vic.gov.au/languagesonline/games/comprehension/index.htm.

Více

Formuláre PowerPoint MGR. LUCIA BUDINSKÁ,

Formuláre PowerPoint MGR. LUCIA BUDINSKÁ, Formuláre PowerPoint MGR. LUCIA BUDINSKÁ, 30.11.2016 Formuláre https://docs.google.com/forms/u/0/ Online formulár Správa výsledkov Google vám sám vytvorí tabuľku s odpoveďami, alebo dokonca aj grafy Možnosť

Více

užite si voľnosť a volajte za menej so Šikovnou voľbou

užite si voľnosť a volajte za menej so Šikovnou voľbou ponuka mobilných služieb bez viazanosti od 25. 10. 2013 užite si voľnosť a volajte za menej so Šikovnou voľbou ušetrite so Šikovnou voľbou ne Vďaka jasným pravidlám programu Šikovná voľba nikdy neminiete

Více

1. súkromné gymnázium v Bratislave, Bajkalská 20, Bratislava A. 2 B. 6 C. 9 D. 14 A. 21 B. 36 C. 24 D. 33

1. súkromné gymnázium v Bratislave, Bajkalská 20, Bratislava A. 2 B. 6 C. 9 D. 14 A. 21 B. 36 C. 24 D. 33 V úlohách s výberom odpovede je vždy len jedna správna možnosť. Vyber a zakrúžkuj ju. 1. Vypočítaj: 24 :4 8 A. 2 B. 6 C. 9 D. 14 2. Vypočítaj: 3 5 1 2 A. 21 B. 36 C. 24 D. 33 3. Súčet dvoch za sebou idúcich

Více

Naformátuj to. Naformátuj to. pre samoukov

Naformátuj to. Naformátuj to. pre samoukov Naformátuj to pre samoukov PREDHOVOR Publikácia je praktickou príručkou pre každého, kto hľadá jednoduché a ucelené vysvetlenie MS Word z oblasti formátovania dokumentu. Príručka obsahuje jednoduché a

Více

2.4 Hustota kvapalín PL KEGA 130UK/2013

2.4 Hustota kvapalín PL KEGA 130UK/2013 Úloha (Lapitková et al., 2010, s. 85) Úloha: Urč hustoty kvapalín v poradí voda, med, olej. Pomôcky: voda, med, jedlý olej, digitálne váhy (s presnosťou na 0,1 g), kadička so stupnicou v mililitroch (odmerný

Více

REBRÍČKY. Predaj CD za mesiac 4U2Rock. Počet CD predaných za mesiac. K-Band D. A. R. Metalfolk. Mesiac

REBRÍČKY. Predaj CD za mesiac 4U2Rock. Počet CD predaných za mesiac. K-Band D. A. R. Metalfolk. Mesiac Ukážky uvoľnených úloh z matematickej gramotnosti PISA 2012 REBRÍČKY V januári vyšli nové CD skupín 4U2Rock a K-Band. Vo februári nasledovali CD skupín D.A.R. a Metalfolk. V uvedenom grafe je znázornený

Více

Ako započítať daňovú licenciu

Ako započítať daňovú licenciu Ako započítať daňovú licenciu 1. Zápočet daňovej licencie a jej evidencia... 1 2. Započítanie DL v plnej sume... 1 3. Nárok na čiastočný zápočet DL... 2 4. Bez nároku na zápočet, daň < DL... 3 5. Bez nároku

Více

NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 9, 1.časť

NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 9, 1.časť Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 9, 1.časť Stupeň vzdelávania: ISCED 2 - nižšie sekundárne vzdelávanie Vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami

Více

Množiny, relácie, zobrazenia

Množiny, relácie, zobrazenia Množiny, relácie, zobrazenia Množiny "Množina je súhrn predmetov, vecí, dobre rozlíšiteľných našou mysľou alebo intuíciou" "Množina je súbor rôznych objektov, ktoré sú charakterizované spoločnými vlastnosťami,

Více

1. Gigabajty si hneď v prvom kroku premeníme na gigabity a postupne premieňame na bity.

1. Gigabajty si hneď v prvom kroku premeníme na gigabity a postupne premieňame na bity. 1 PRÍKLADY V INFORMATIKE: Skratky 1 : b bit B bajt kb kilobit kb kilobajt Mb megabit MB megabajt Gb gigabit GB gigabajt Tb terabit TB terabajt Tabuľka č. 1 1 B = 8 b 1 kb = 1 024 b = (1 024 : 8) B = 128

Více

Informačný list 1. Čo je energia? Všetci potrebujeme energiu! Energia doma

Informačný list 1. Čo je energia? Všetci potrebujeme energiu! Energia doma Informačný list 1 Čo je energia? Ľudia potrebujú energiu, aby sa mohli hrať a hýbať. Energiu získajú z jedla. Potrebuješ energiu, aby si mohol rásť. Dokonca aj keď spíš, potrebuješ energiu. Aj zvieratá

Více

Matematika pre tretiakov. Ako reaguje séria učebných materiálov M. Belica a J. Striežovskej na zmeny v išvp

Matematika pre tretiakov. Ako reaguje séria učebných materiálov M. Belica a J. Striežovskej na zmeny v išvp Matematika pre tretiakov Ako reaguje séria učebných materiálov M. Belica a J. Striežovskej na zmeny v išvp INFOSERVIS Prezentácia je dostupná na www.aitec.sk Otázky dávajte aj priebežne. Stíšte si, prosím,

Více

ČÍSELNÉ RADY. a n (1) n=1

ČÍSELNÉ RADY. a n (1) n=1 ČÍSELNÉ RADY Budeme sa zaoberať výrazmi, ktoré obsahujú nekonečne veľa sčítancov. Takéto výrazy budeme nazývať nekonečné rady. V nasledujúcom príklade je ilustrované, ako môže takýto výraz vzniknúť. Príklad.

Více

Matice. Matica typu m x n je tabuľka s m riadkami a n stĺpcami amn. a ij. prvok matice, i j udáva pozíciu prvku

Matice. Matica typu m x n je tabuľka s m riadkami a n stĺpcami amn. a ij. prvok matice, i j udáva pozíciu prvku Matice Matice Matica typu m x n je tabuľka s m riadkami a n stĺpcami a11 a12... a1 n a21 a22... a2n............ am1 am2... amn a ij prvok matice, i j udáva pozíciu prvku i- čísluje riadky J- čísluje stĺpce

Více

Zachovanie mentálnej mapy pri interakcií s grafom. RNDr. Jana Katreniaková PhD.

Zachovanie mentálnej mapy pri interakcií s grafom. RNDr. Jana Katreniaková PhD. Zachovanie mentálnej mapy pri interakcií s grafom RNDr. Jana Katreniaková PhD. Cieľ Nájsť spôsob, ako obmedziť zmeny pri kreslení hrán grafov (vizualizácia) počas používateľskej interakcie. Kreslenie grafov

Více

NAKUPUJEME A POČÍTAME

NAKUPUJEME A POČÍTAME Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Více

Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium. Adresovanie pamäte

Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium. Adresovanie pamäte Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium Pamäťový operand Adresovanie pamäte Priama nepriama a indexovaná adresa Práca s jednorozmerným poľom Praktické programovanie assemblerových funkcií Autor:

Více

Slovné úlohy o pohybe

Slovné úlohy o pohybe Slovné úlohy o pohybe 1. Dvaja turisti vyjdú o 7. hodine proti sebe z miest A a B. Prvý ide z miesta A a prejde za hodinu 5 km, druhý Z miesta B prejde za hodinu 6 km. Miesta sú vzdialené 38,5 km. Kedy

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Škola a školské pomôcky

Škola a školské pomôcky Škola 21. storočia Dopytovo orientovaný projekt Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS projektu 26110130435 Aktivita 1.1 Škola a školské pomôcky

Více

7.1 Návrhové zobrazenie dotazu

7.1 Návrhové zobrazenie dotazu 7.1 Návrhové zobrazenie dotazu Ovládanie návrhového zobrazenia, ktoré je jedným z možností zobrazenia dotazu, je nevyhnutné pri tvorbe zložitejších dotazov, pretože v ňom môžeme definovať akýkoľvek dotaz

Více

Starogrécky filozof Demokritos ( pred n.l) Látky sú zložené z veľmi malých, ďalej nerozdeliteľných častíc - atómov

Starogrécky filozof Demokritos ( pred n.l) Látky sú zložené z veľmi malých, ďalej nerozdeliteľných častíc - atómov STAVBA ATÓMU Starogrécky filozof Demokritos (450-420 pred n.l) Látky sú zložené z veľmi malých, ďalej nerozdeliteľných častíc - atómov Starogrécky filozof Aristoteles (384-322 pred n.l) Látky možno neobmedzene

Více

Súťaž Vráťme knihy do škôl je tu už po 5-krát!

Súťaž Vráťme knihy do škôl je tu už po 5-krát! Súťaž Vráťme knihy do škôl je tu už po 5-krát! O súťaži Internetové kníhkupectvo abcknihy.sk v spolupráci s partnermi Bratislavským samosprávnym krajom a vydavateľstvami Ikar, Raabe a vydavateľskou značkou

Více

Ročník 7. ročník Predmet Biológia Školský rok 2014/2015 Tvorca materiálu Mgr. Milada Rajterová

Ročník 7. ročník Predmet Biológia Školský rok 2014/2015 Tvorca materiálu Mgr. Milada Rajterová Financované Prijímateľ: Názov projektu: Kód projektu: Aktivita, resp. názov seminára z Finančného mechanizmu EHP a ŠR SR Základná škola s materskou školou kráľa Svätopluka Šintava Revitalizuj a zachráň

Více

DANE A DAŇOVÝ SYSTÉM V SR

DANE A DAŇOVÝ SYSTÉM V SR DANE A DAŇOVÝ SYSTÉM V SR Na tomto svete nie je nič isté, iba dane a smrť. Benjamin Franklin, 1789 DAŇ Povinná, zákonom stanovená platba, ktorú odvádza daňový subjekt, t.j. fyzická alebo právnická osoba,

Více

MEP ekonomika podniku učtovníctvo 1. časť Ekonomika podniku

MEP ekonomika podniku učtovníctvo 1. časť Ekonomika podniku MEP ekonomika podniku učtovníctvo 1. časť Ekonomika podniku (časť: úvod do podvojného účtovníctva) - kolobeh hospodárských prostriedkov, - súvaha, výsledovka, - účtovníctvo, účet, - podvojná sústava účtovníctva,súvzťažné

Více

1. LABORATÓRNE CVIČENIE

1. LABORATÓRNE CVIČENIE MENO: ROČNÍK A TRIEDA: 1. LABORATÓRNE CVIČENIE ROVNOMERNÝ POHYB - ZÁVISLOSŤ POLOHY OD ČASU Cieľ: Naučiť sa pracovať so senzorom polohy a ako sú rôzne druhy pohybu prezentované na grafe závislosti polohy

Více

Súhrnný výkaz v roku Ing. Mgr. Martin Tužinký, PhD.

Súhrnný výkaz v roku Ing. Mgr. Martin Tužinký, PhD. v roku 2015 Ing. Mgr. Martin Tužinký, PhD. SV je povinný podať platiteľ DPH, ktorý: Dodal tovar oslobodený od dane z tuzemska do IČŠ osobe, ktorá je identifikovaná pre daň v IČŠ ( 43 ods. 1 ZDPH). Premiestnil

Více

Imagine. Popis prostredia:

Imagine. Popis prostredia: Priemerný človek si zapamätá približne: - 10 % z toho, čo číta, - 20 % z toho, čo počuje, - 30 % z toho, čo vidí v podobe obrazu, - 50 % z toho, čo vidí a súčasne počuje, - 70 % z toho čo súčasne vidí,

Více

Pozičné číselné sústavy. Dejiny. Číselná sústava je spôsob, akým sú zapisované čísla pomocou znakov (nazývaných cifry).

Pozičné číselné sústavy. Dejiny. Číselná sústava je spôsob, akým sú zapisované čísla pomocou znakov (nazývaných cifry). Duda, Džima, Mačák Pozičné číselné sústavy Číselná sústava je spôsob, akým sú zapisované čísla pomocou znakov (nazývaných cifry). Podľa spôsobu určenia hodnoty čísla z daného zápisu rozlišujeme dva hlavné

Více

Zákon č. 595/2003 Z. z. Dodatočné daňové priznanie k dani z príjmov právnickej osoby za rok 2015

Zákon č. 595/2003 Z. z. Dodatočné daňové priznanie k dani z príjmov právnickej osoby za rok 2015 Dodatočné daňové priznanie k dani z príjmov právnickej osoby za rok 2015 1 povinnosť podať daňové priznanie (DP): podľa 15(1) daňového poriadku má každý, komu táto povinnosť vyplýva zo ZDP alebo ten, koho

Více

Pracovný list č Pracovný list č Pracovný list č Pracovný list č Pracovný list č Pracovný list č.

Pracovný list č Pracovný list č Pracovný list č Pracovný list č Pracovný list č Pracovný list č. Obsah 1 Úvod... 7 2 Aké môžu byť príčiny malého úspechu žiakov v matematike... 8 2.1 Špecifické poruchy učenia... 8 2.2 Príčiny spôsobené ďalšími vplyvmi... 8 2.3 Vplyv osobnostných vlastností žiaka...

Více