integrály lze vypočítat snadno pomocí tabulek a klasických integračních metod jako je per partes nebo substituce. Tak například integrály

Transkript

1 6. Numerické integrování derivování Průvodce studiem Při řešení různých úloh je potřeb nlézt hodnotu určitého integrálu. Některé integrály lze vypočítt sndno pomocí tbulek klsických integrčních metod jko je per prtes nebo substituce. Tk npříkld integrály e x dx π cos xdx mjí hodnotu e 1.Čsto všk stčímlázměn v integrovné funkci klsický výpočet se stne složitým nebo dokonce nemožným. Pokuste se vypočítt integrály e x dx π cos x dx uvidíte jk dleko se vám podří dojít! Klsické integrční metody nelze použít vůbec, jestliže integrovná funkce je dán tbulkou (npř. to může být výsledek měření nebo předchozího výpočtu). V této kpitole se budeme zbývt metodmi numerickými pro obecně zdnou úlohu: předpokládáme, že je dán spojitá funkce f n intervlu, b máme vypočítt hodnotu určitého integrálu I = f(x) dx. (6..1) Z geometrického pohledu předstvuje číslo I velikost plochy obrzce, který je vymezen grfem funkce f. Numerické metody jsou nvrhovány tk, že počítjí velikost plochy přibližného obrzce pomocí několik funkčních hodnot. Lze je tedy použít pro jkoukoliv funkci f, dokonce i pro funkci dnou tbulkou, jejich prcnost je reltivně mlá. Při numerickém výpočtu derivce je situce podobná

2 6. NUMERICKÉ INTEGROVÁNÍ ADERIVOVÁNÍ Numerické metody 6.1. Newton-Cotesovy vzorce Cíle Odvodíme Newton-Cotesovy vzorce ukážeme jejich použití. Předpokládné znlosti Interpolční polynom. Interpolční chyb. Výkld Nším cílem je nvrhnout vzorce pro přibližný výpočet integrálu (6..1). Ze zákldního kurzu integrálního počtu víme, že sndno lze integrovt polynomy. Budeme proto postupovt tk, že k funkci f sestvíme interpolční polynom p n ten integrujeme místo f, tj. I = f(x) dx p n (x) dx. (6.1.1) Pro jednoduchost uvžujme n intervlu, b ekvidistntní uzly x i = + iτ, i =, 1,...,n, kde τ =(b )/n.interpolční polynom k funkci f můžeme zpst v Lgrngeově tvru (viz odstvec 5.1.1), tj. n p n (x) = f(x i )ϕ i (x), kde ϕ i (x) = i= n j= j i x x j x i x j. Doszením výrzu pro p n do prvé strny přibližné rovnosti (6.1.1) dostneme Newton-Cotesovy vzorce: kde w i = f(x) dx n w i f(x i ), (6.1.) i= ϕ i (x) dx, i =, 1,...,n (6.1.3)

3 jsou integrční váhy. Abychom lépe ilustrovli tento postup, odvodíme zákldní integrční prvidl. ) Obdélníkové prvidlo.vtomtopřípdě položíme n =,x = +b z interpolční polynom vezmeme konstntní funkci p (x) =f( +b ). Proto ( ) + b f(x) dx (b )f = I Obd. (6.1.4) b) Lichoběžníkové prvidlo dostneme pro n = 1 x =, x 1 = b. Interpolční polynom je přímk Po její integrci je p 1 (x) = x b b f()+x b f(b). f(x) dx b [f()+f(b)] = I Lich. (6.1.5) c) Simpsonovo prvidlo vznikne pro n =x =, x 1 = +b, x = b, kdy je interpolční polynom kvdrtická funkce. Vypočtěme integrční váhy w, w 1 w.dostáváme w = = 1 ϕ (x) dx = t(t 1) b dt = b 6 (x x 1 )(x x ) (x x 1 )(x x ) dx spoužitím substituce x = b t + +b.podobně vypočítáme w 1 = 4 6 (b ) w = 1(b ), tkže 6 f(x) dx b 6 [f()+4f ( ) + b + f(b)] = I Simps. (6.1.6) Příkld Pomocí Newton-Cotesových vzorců (6.1.4), (6.1.5) (6.1.6) vypočtětě přibližnou hodnotu integrálu I = 1 e x dx

4 6. NUMERICKÉ INTEGROVÁNÍ ADERIVOVÁNÍ Numerické metody Řešení: Máme = 1, b =1f(x) =e x.podleobdélníkového prvidl (6.1.4) je I Obd =e =. Lichoběžníkové prvidlo (6.1.5) dává I Lich = [e 1 + e 1 ]= konečně pomocí Simpsonov prvidl (6.1.6) vypočteme I Simps = 6 [e 1 +4e + e 1 ]= Poznmenejme ještě, že přesná hodnot integrálu je I = e 1 e 1 =.354. Poznámk Nejpřesnější hodnoty jsme dosáhli pomocí Simpsonov prvidl. To nás může vést k domněnce, že ještě přesnějších hodnot dosáhneme, použijeme-li Newton- Cotesovy vzorce odvozené z interpolčních polynomů vyšších stupnů. Obecně to všk není prvd. V Rungeho příkldu (příkld ) jsme viděli,že interpolční polynom vysokého stupně může být velice šptnou proximcí. Newton-Cotesovy vzorce dávjí vtkovém přípdě nesmyslnévýsledky. Následující vět ukzuje vyjádření integrční chyby. Vět (i) Necht funkce f má n intervlu, b spojitou druhou derivci. Pk pltí: I I Obd = f (ξ) 4 (b )3, I I Lich = f (ξ) 1 (b )3. (6.1.7) (ii) Necht funkce f má n intervlu, b spojitou čtvrtou derivci. Pk pltí: I I Simps = f (4) (ξ) (b ) 3. 9 Ve všech přípdech je ξ blíže neurčený bodzintervlu(, b)

5 Důkz: Důkz provedeme pouze pro lichoběžníkové prvidlo.vyjádření interpolční chyby z věty má pro interpolční polynom p 1 suzlyx = x 1 = b tvr: f(x) p 1 (x) = f ( ξ) (x )(x b). Integrcí (užitím věty o střední hodnotě integrálního počtu) dostneme I I Lich = f (ξ) = f (ξ) (x )(x b) dx t(t + b) dx = f (ξ) 1 (b )3. Použili jsme substituci t = x. Kontrolní otázky Otázk 1. Jk vzniknou Newton-Cotesovy vzorce? Otázk. Jké jsouzákldní prvidl pro numerický výpočet integrálu? Otázk 3. Znázorněte grficky smysl obdélníkového lichoběžníkového prvidl. Otázk 4. Proč nenírozumnépoužívt Newton-Cotesovy vzorce odvozené zinterpolčních polynomů vysokého stupně? Úlohy k smosttnému řešení 1. Pomocí obdélníkového, lichoběžníkového Simpsonov prvidl vypočtěte přibližné hodnoty integrálů ) e x dx; b) π cos x dx. Výsledky úloh k smosttnému řešení 1. ) I Obd =1.845, I Lich = , I Simps = ; b) I Obd = , I Lich = , I Simps =

6 6. NUMERICKÉ INTEGROVÁNÍ ADERIVOVÁNÍ Numerické metody 6.. Složené vzorce Cíle Vpředchozím odstvci jsme odvodili vzorce pro přibližný výpočet interálu integrcí interpolčního polynomu. Zároveň jsme upozornili n to, že vzorce odvozenézpolynomů vysokého stupně mohou dávt nesmyslné výsledky. Pro přesnější výpočty integrálů se proto používjí složené vzorce, které dostneme slepením zákldních integrční prvidel. Předpokládné znlosti Obdélníkové, lichoběžníkové Simpsonovo prvidlo. Chyby těchto prvidel. Výkld Intervl, b rozdělíme n m stejně dlouhých dílků skrokemh =(b )/m, m, tj. použijeme uzly x i = + ih = + i (b ), m i =, 1,...m. Integrál rozložíme následovně: I = f(x) dx = m xi x i 1 f(x) dx. (6..1) Jestliže kždý dílčí integrál nhrdíme pomocí obdélníkového nebo lichoběžníkového prvidl, dostneme odpovídjící prvidlo složené. ) Složené obdélníkové prvidlojsme již odvodili v odstvci 1.1. Má tvr [ ( ) ( ) ( )] x + x 1 x1 + x xm 1 + x m I SO = h f + f f m ( ) xi 1 + x i = h f. (6..)

7 b) Složené lichoběžníkové prvidlo. V (6..1) provedeme náhrdu podle vzorce (6.1.5), tj. xi f(x) dx h x i 1 [f(x i 1)+f(x i )], dostneme I SL = [ 1 h f(x )+f(x 1 )+...+ f(x m 1 )+ 1 ] f(x m) = ] 1 m 1 [f(x h )+ f(x i )+f(x m ). (6..3) c) Složené Simpsonovo prvidlo. Vtomto přípděrozdělíme intervl, b n m stejně dlouhých dílků, m, s krokem h =(b )/(m), tkže budeme mít lichý počet uzlů x i = + ih, i =, 1,...m. Simpsonovo prvidlo (6.1.6) použijeme n kždém intervlu x i,x i, i =1,...,m,coždává I = f(x) dx = m xi x i f(x) dx Výrz n prvé strně přepíšeme do přehlednějšího tvru: m h 6 [f(x i )+4f(x i 1 )+f(x i )]. I SS = h 3 [f(x )+4f(x 1 )+f(x )+4f(x 3 )+f(x 4 )+...+ f(x m )] [ = h 3 f(x )+4 ] m m 1 f(x i 1 )+ f(x i )+f(x m ). (6..4) Příkld Pomocí prvidel (6..), (6..3) (6..4) vypočtětě přibližnou hodnotu integrálu I = 1 e x dx. Intervl 1, 1 přitom rozdělte n čtyři části. Řešení: () Položíme m = 4, tkže krok bude h =.5 dostneme uzly x = 1, x 1 =.5, x =,x 3 =.5 x 4 =1.Složené obdélníkového prvidlo (6..) má tvr I SO =.5[e.75 + e.5 + e.5 + e.75 ] =

8 6. NUMERICKÉ INTEGROVÁNÍ ADERIVOVÁNÍ Numerické metody (b) Složené lichoběžníkového prvidlo (6..3) vypočítáme pro stejné uzly, tj. I SL = 1.5[e 1 +e.5 +e +e.5 + e 1 ]. = (c) U složeného Simpsonov prvidl (6..4) vezmeme m =, což znmená, že použijeme stejné dělení intevlu jko v předchozích přípdech (protože h = /(m) =.5). Dostneme I SS =.5 3 [e 1 +4e.5 +e +4e.5 + e 1 ] = Vnásledující větě popisujemeřád jednotlivých integrčních prvidel. Vět (i) Necht má funkce f n intervlu, b spojitou druhou derivci. Složené obdélníkové složené lichoběžníkové prvidlo jsou druhého řádu, tj. pltí: I I SO C 1 h, I I SL C h. (ii) Necht funkce f má n intervlu, b spojitou čtvrtou derivci. Složené Simpsonovo prvidlo je čtvrtého řádu, tj. pltí: I I SS C 3 h 4. Konstnty C 1, C C 3 jsou blíže neurčená nezáporná čísl, která nezávisí nkroku h. Důkz: Omezíme se n lichoběžníkové prvidlo. Stčí siuvědomit,že jednoduché lichoběžníkové prvidlojevesloženém lichoběžníkovém prvidle obsženo m- krát. Jestliže tedy chceme vyjádřit chybu, sečteme m-krát výrz pro chybu jednoduchého prvidl (6.1.7). Dostneme I I SL = m f (ξ i ) 1 h3 m f (ξ i ) 1 h3 M 1 h m h = M(b ) h, 1 kde jsme použili M =mx ζ,b f (ζ). Vidíme, že C = M(b )/

9 Příkld 6... Pomocí složených integrčních prvidel (6..), (6..3) (6..4) vypočtěte přibližné hodnoty integrálu I = 1 e x dx skrokemh =.5, h =.5, h =.15 h =.65 porovnejte je s přesnou hodnotou. Řešení: Přesná hodnot je I = Přibližné hodnoty jejich porovnání s přesnou hodnotou uvádíme v tbulce Odtud je vidět, že složené obdélníkové složené lichoběžníkové prvidlo se chovjí podobně, ztímco složené Simpsonovo prvidlo dává výsledky, které jsou přesnější o několik řádů. Tbulk 6..1: Složené integrční vzorce. h I SO I I SO I SL I I SL I SS I I SS Kontrolní otázky Otázk 1. Jk se odvozují složené integrční vzorce? Otázk. Jkého řádu jsou zákldní složená integrční prvidl? Úlohy k smosttnému řešení 1. Pomocí složeného obdélníkového, lichoběžníkového Simpsonov prvidl vypočtěte přibližné hodnotu integrálů ) e x dx pro h =.1; b) π Výsledky úloh k smosttnému řešení cos x dx pro h = π/1. 1. ) I SO = , I SL = , I SS = ; b) I SO =.55375, I SL = , I SS =

10 6. NUMERICKÉ INTEGROVÁNÍ ADERIVOVÁNÍ Numerické metody 6.3. Výpočet integrálu se zdnou přesností Cíle Uintegrčních prvidel z předchozího odstvce není jsnéjkdosáhnout zdné přesnosti. Pro tyto účely použijeme dvojný přepočet, který lzekombinovt s extrpolčními vzorci. Předpokládné znlosti Složená integrční prvidl jejich řád. Tylorův rozvoj. Výkld Ve větě 6..1.jsmeuvedlivzorceproodhdchybysložených integrčních prvidel. Jejich použitím lze určit krok h, kterýzjistí, by chyb vypočtené hodnoty integrálu byl menšínež je zdná tolernce. Tento postup má všk dv háčky. Především (jk je ptrné zdůkzu zmíněné věty) výrz pro odhd chyby závisí nderivcích integrovné funkce, které se odhdujíprcně. Druhý problém spočívá vtom, že výsledné odhdy jsou pesimistické, tkže integrály jsou počítány mnohem přesněji než jepoždováno, což vyžduje zbytečně velký objem výpočtů. Obvykle se proto postupuje tk, že hledný integrál vyčislujeme opkovně, stále přesněji ze shody výsledků se usuzuje, zd již byldosžen poždovná přesnost. Pro tyto účely se osvědčilo postupné zdvojnásobování počtu dílků, n něž rozdělujeme integrční intervl, b. Hovoříme pk o dvojném přepočtu. Celý postup zpíšeme v podobě lgoritmu, kde I(h) oznčuje přibližnou hodnotu integrálu vypočtenou s krokem h pomocíněkterého složeného integrčního prvidl. N zčátku předpokládáme, že integrční intervl, b se rozdělí nm úseků. Symbolem ɛ oznčujeme zdnou přesnost

11 Algoritmus (Dvojný přepočet) Vstup: f,, b, m, ɛ. Vypočti h := (b )/m I(h). Opkuj: polož h := h/, vypočti I(h), dokud I(h) I(h) >ɛ. Výstup: I(h). Příkld Pomocí dvojného přepočtu vypočtěte přibližnou hodnotu integrálu I = 1 e x dx s přesností ɛ =.1. Použijte složené lichoběžníkové prvidlo zčněte s rozdělením integrčního intervlu n m = 4 dílků. Řešení: Výpočet je zznmenán v tbulce Jko výsledek dostáváme I =.354 ±.1. Tbulk 6.3.1: Dvojný přepočet. m h I(h) I(h) I(h) Vdlším ukážeme efektivnější vrintudvojného přepočtu s extrpolčními vzorci, které nejdříve odvodíme. N hodnotu I(h)můžeme pohlížet jko n funkci proměnné h, tkže pro ni můžeme psát Tylorův rozvoj. Odhdy pro chybu podle věty ukzují, že se v tomto rozvoji budou vyskytovt mocniny h

12 6. NUMERICKÉ INTEGROVÁNÍ ADERIVOVÁNÍ Numerické metody odpovídjící řádu příslušného integrčního prvidl vyšší, tj. I(h) =I + Ch p + O(h r ), (6.3.1) kde p je řád r > p. Jestliže vzorec (6.3.1) npíšeme pro h dostneme I(h) =I + p Ch p + O(h r ), (6.3.) protože O((h) r )=O(h r ). Vyloučíme-li z rovností (6.3.1) (6.3.) výrz Ch p dostáváme Odtud vidíme následující: I = I(h)+ I(h) I(h) p 1 1) Veličin I(h) I(h) I 1 (h) =I(h)+ p 1 je lepšíproximcí I než I(h) (jevyššího řádu r). + O(h r ). (6.3.3) (6.3.4) ) Výrz I(h) I(h) E(h) = (6.3.5) p 1 je proximce chyby přibližné hodnoty integrálu I(h), kterou můžeme vzhledem kbodu1)použít tké pro odhd chyby proximce I 1 (h). Postup pro zvyšování přesnosti výsledků získných numerickou metodou podle vzorce (6.3.3) se nzývá Richrdsonov extrpolce.pomocíextrpolčních vzorců (6.3.3) (6.3.4) uprvíme lgoritmus dvojného přepočtu. Algoritmus (Dvojný přepočet s extrpolcí) Vstup: f,, b, m, ɛ. Vypočti h := (b )/m I(h). Opkuj: polož h := h/, vypočti I(h), dokud E(h) >ɛ. Výstup: I 1 (h)

13 Poznámk V lgoritmu potřebujeme znát řád p používného integrčního vzorce. Podle věty je p =pro složené obdélníkové lichoběžníkové prvidlop =4 pro složené Simpsonovo prvidlo. Příkld Pomocí dvojného přepočtu s extrpolcí vypočtěte přibližnou hodnotu integrálu I = 1 e x dx spřesností ɛ = 1 4.Použijete složené lichoběžníkové prvidlozčněte pro m =4. Řešení: Protože p =, budou mít extrpolční vzorce tvr I 1 (h) =I(h)+ I(h) I(h) 3 E(h) = I(h) I(h). 3 Průběh výpočtu je zznmenán v tbulce Tbulk 6.3.: Dvojný přepočet s extrpolcí, lichoběžníkové prvidlo. m h I(h) E(h) Z posledních dvou hodnot ve sloupci I(h) vypočítáme zpřesněnou proximci I 1 (h) = = Jko výsledek dostáváme I =.3544 ±.1. Porovnáním s přesnou hodnotou integrálu I = vidíme, že dosžená přesnost je velmi vysoká. Příkld V předchozím příkldu použijte složené Simpsonovo prvidlo

14 6. NUMERICKÉ INTEGROVÁNÍ ADERIVOVÁNÍ Numerické metody Řešení: Použijeme extrpolční vzorce I 1 (h) =I(h)+ I(h) I(h) 15 E(h) = I(h) I(h). 15 Průběh výpočtu je zznmenán v tbulce Tbulk 6.3.3: Dvojný přepočet s extrpolcí, Simpsonovo prvidlo. m h I(h) E(h) Pomocí extrpolce vypočítáme zpřesněnou proximci I 1 (h) = = Porovnáním s výpočtem v předchozím příkldu vidíme, že poždovné přesnosti jsme dosáhli mnohem dříve. Kontrolní otázky Otázk 1. Vysvětlete princip dvojného přepočtu. Otázk. Jk vzniknou extrpolční vzorce jkou informci poskytují? Úlohy k smosttnému řešení 1. Pomocí dvojného přepočtu vypočtěte hodnoty integrálů ) e x dx; b) π cos x dx spřesností ɛ =.1. Použijte složené lichoběžníkové prvidlo.. Vpředchozí úloze použijte složené Simpsonovo prvidlo extrpolci. Výsledky úloh k smosttnému řešení 1. Poždovnou přesnost dosáhneme: ) pro m = 18, kdy I = ± 1 4 ; b) pro m = 51, kdy I =.5657 ± Poždovnou přesnost dosáhneme: ) pro m =8,kdyI = ± 1 4 ; b) pro m = 3, kdy I = ±

15 6.4. Numerické derivování Cíle Ukážeme jk přibližně vypočítt hodnoty derivcí f (x) f (x) zeznámých funkčních hodnot f(x h), f(x) f(x + h). Předpokládné znlosti Newtonův tvr interpolčního polynomu. Tylorův rozvoj. Výkld Budeme postupovt podobně jkopři odvození Newton-Cotesových vzorců v odstvci 6.1. K funkci f sestvíme interpolční polynom p n ten pk derivujeme místo f. Použijeme přitom Newtonův tvr interpolčního polynomu (5.1.6). 1) Pro uzly x = x x 1 = x + h sestvíme lineární interpolční polynom vyjádříme jeho první derivci: p 1 (t) =f(x)+f[x + h, x](t x) p 1(t) =f[x + h, x]. Z definice poměrných diferencí dostneme p 1(x) = f(x + h) f(x) h f (x). (6.4.1) ) Pro uzly x = x h, x 1 = x x = x+h sestvíme kvdrtický interpolční polynom: p (t) =f(x h)+f[x, x h](t x + h)+f[x + h, x, x h](t x + h)(t x). První druhá derivcemjítvr p (t) = f[x, x h]+f[x + h, x, x h](t x + h), p (t) = f[x + h, x, x h]

16 6. NUMERICKÉ INTEGROVÁNÍ ADERIVOVÁNÍ Numerické metody Doszením t = x úprvou dostáváme p (x) = f(x) f(x h) h + f(x + h) f(x)+f(x h) h h = f(x + h) f(x h) h f (x) (6.4.) p (x) = f(x + h) f(x)+f(x h) h f (x). (6.4.3) Příkld Vypočtěte přibližné hodnoty první druhé derivce pro funkci f(x) =sinx vbodě x =1skrokemh =.1 pomocí vzorců (6.4.1), (6.4.) (6.4.3). Porovnejte je s přesnými hodnotmi. Řešení: Budeme potřebovt funkční hodnoty sin 1 = , sin 1.1 = sin.99 = Podle vzorec (6.4.1), resp. (6.4.) dostneme f (1) p (1) = =.5361,.1 resp. f (1) p (1) = =.543. Přesná hodnot je f (1) = cos 1 =.543, tkže druhá přibližná hodnot je podsttně přesnější. Podle vzorce (6.4.3) vypočítáme druhou derivci f (1) p (1) = =.84. Nyní jepřesná hodnot f (1) = sin 1 = Následující vět ukzuje jký je řád jednotlivých vzorců

17 Vět Necht je funkce f dosttečně hldká(má v okolí bodu x spojitou druhou, třetí, resp. čtvrtou derivci). Pk pltí: p 1 (x) f (x) = h f (ξ), (6.4.4) p (x) f (x) = h f (3) (ξ), 3 (x) f (x) = h f (4) (ξ). 1 p Ve všech přípdech je ξ blíže neurčený bodzokolí x. Důkz: Nejjednodušší způsob jk získt tto tvrzení je použít Tylorův rozvoj. Npříkld pro odvození (6.4.4) stčí vyjádřit první derivci z f(x + h) =f(x)+hf (x)+h f (ξ). Výpočet přibližných hodnot derivcí mohou podsttně ovlivnit zokrouhlovcí chyby. Jmenovtele vzorců totiž obshují prmetr h, kterýmusíbýt mlý, bychom dostli dosttečně přesnou proximci derivce. Součsně ovšem mlá hodnot jmenovtele zlomku zvětšuje zokrouhlovcí chyby v čitteli. Největší dosžitelná přesnost proto musí být jistým kompromisem mezi chybou proximce chybou zokrouhlení. N příkldu vzorce (6.4.1) si ukážeme nlýzu tohoto problému. Oznčme E celk (h) horní odhd celkové chyby, který vzniknejkosoučet odhdu chyby proximce e(h) chyby zokrouhlení z(h), tj. E celk (h) =e(h)+z(h). Podle (6.4.4) je e(h) = Ch.Dále budeme předpokládt, že při výpočtu f(x) dostneme vlivem zokrouhlení porušenou hodnotu f (x), přičemž velikost poruchy je nejvýše κ, tj. f (x) f(x) κ. Pro vzorec (6.4.1) dostáváme následující odhd:

18 6. NUMERICKÉ INTEGROVÁNÍ ADERIVOVÁNÍ Numerické metody f(x + h) f(x) h f (x + h) f (x) h 1 h ( f (x) f(x) + f (x + h) f(x + h) ) κ h = z(h). Odhd celkové chyby má proto tvr E celk (h) =Ch+ κ, viz obrázek Funkce h E celk (h) májediné minimum v bodě h opt = κ C (6.4.5) odpovídjící hodnot E celk (h opt ) předstvuje nejmenší horní odhd celkové chyby. Při výpočtu derivce podle (6.4.1) tedy dojde pro h menšínež h opt prdoxně ke ztrátě přesnosti. E celk (h) e(h) z(h) h opt h Obrázek 6.4.1: Odhd celkové chyby E celk (h). Příkld Vypočtěte přibližnou hodnotu první derivce funkce f(x) = sin x vbodě x = 1 s krokem h =.1 h =.1 pomocí vzorce (6.4.1). Zokrouhlujte přitom n čtyři desetinná míst. Výsledky porovnejte s optimálním krokem h opt

19 Řešení: Vnšem přípdě jeκ =5 1 5 f (ξ) = sin ξ.5 =C. Doszením do vzorce (6.4.5) vypočítáme h opt =.1414, tkže výsledek pro h =.1 by měl být přesnější. Přibližné derivcemjí hodnotu: f (1) f (1) sin(1.1) sin(1).1 sin(1.1) sin(1).1. =. = =.53, =.5. Jejich porovnání s hodnotou f (1) = cos 1 =.543 potvrzuje předchozí závěr. Kontrolní otázky Otázk 1. Jk se odvozují vzorce pro přibližný výpočet derivce? Otázk. Znázorněte grficky smysl vzorců provýpočet první derivce. Otázk 3. Jk ovlivňují výpočet derivcí zokrouhlovcí chyby? Otázk 4. Odvod te podrobně vzth (6.4.5). Úlohy k smosttnému řešení 1. Vypočtěte přibližně první druhou derivci funkce f(x) = cosx v bodě x =1.5 skrokemh =.1. Výsledky úloh k smosttnému řešení 1. f (1.5) podle vzorce (6.4.1); f (1.5) podle vzorce (6.4.); f (1.5).7737 podle vzorce (6.4.3). Shrnutí lekce Ukázli jsme použití zákldních integrčních prvidel vzorců numerického derivování. Viděli jsme, že numerické výpočty integrálů jsou stbilní vzhledem k zokrouhlovcím chybám. Ztímco přibližné výpočty derivcí jsou n zokrouhlovcí chyby poměrně citlivé