2-Kinematika Bodu KINEMATIKA

Transkript

1 7 -Kinematika Bodu KINEMATIKA Kinematika-úod Kinematika jako část mechaniky je nauka o pohybu těles bez ohledu na síly, které pohyb způsobily. Tělesa nebudou mít našich úahách hmotnost a budou popsána jen sými geometrickými lastnostmi. Ty budou během pohybu neměnné tj. u těles nebudeme uažoat deformace. Kinematika bodu Pohybující se těleso můžeme nahradit hmotným bodem (částicí), jestliže pro popis jeho pohybu nejsou rozhodující jeho lastní rozměry. To je případě, že rozměry tělesa jsou z hlediska dané rozlišoací schopnosti zanedbatelné nebo jestliže šechny části tělesa se pohybují stejně rychle a e stejném směru. Jako hmotný bod si můžeme tedy předstait např. bednu sesouající se po nakloněné roině. Model bodoého tělesa šak již není možné použít pro otáčející se hřídel, neboť různé části se daném okamžiku pohybují různě rychle a různých směrech. V kinematice uažujeme pohyby jen po stránce geometrické tj. bez ohledu na jejich hmotnost, proto dále budeme použíat ýraz bodoé těleso. Pro popis pohybu musíme ždy stanoit, zhledem ke které souřadné soustaě pohyb yšetřujeme tj. na začátku řešení úloh zolíme soustau souřadnicoých os (soustau souřadnic). V technické mechanice zpraidla souřadnou soustau zpraidla spojíme s rámem (tj. se zemí). Hodnoty rychlostí a zrychlení takoé soustaě budeme nazýat absolutní. Když se těleso zhledem k takoé soustaě nepohybuje, říkáme, že je klidu. V některých případech je ýhodné popř. nutné zaádět i soustay spojené s pohybujícími se tělesy. V kinematice je sice jedno, jaký pohyb ykonáá ztažná soustaa zhledem k jiným souřadnicoým soustaám (tělesům), musíme si šak uědomit, že dráha zkoumaného pohybu podstatně záleží na ýběru ztažné soustay. Např. dráha letadla je jiná soustaě spojené s rotující Zemí a jiná soustaě spojené se stálicemi. Podobně ertikálně uložený píst automobilu ykonáá zhledem k álci a karoserii posuný přímočarý pohyb ale zhledem k nepohyblié silnici se píst pohybuje podle sinusoky. Orientaci a polohu souřadných os můžeme olit liboolně, zpraidla ji olíme e směru pohybu (ten je určen ektorem rychlosti). Např. pro popis pohybu po nakloněné roině je tedy hodné použíat osu x e směru nakloněné roiny tj. nikoli horizontálně. Podobně liboolná je i olba druhu souřadnic. Např. pro popis pohybu po kružnici je zřejmě hodné použití polárních souřadnic. V kinematice předpokládáme, že pohyb je zadán, jsou-li zadány některé ze základních kinematických eličin zhledem ke zolené (ztažné) soustaě souřadnic jako funkce času a souřadnic. Polohu tělesa yjadřujeme funkcemi času t. V klasické mechanice poažujeme čas t za spojitou eličinu, která probíhá e šech souřadnicoých soustaách stejně, nezáisle na jejich pohybu. Při sledoání pohybu zpraidla zolíme začátek odečítání času čas t=t =. Časoým úsekem t rozumíme rozdíl mezi hodnotami času okamžicích t a t 1. Při pohybu těles obecném případě se pohybují jednotlié body tělesa různým způsobem. Při alení se kola po kolejnici, se jeho střed pohybuje přímočaře a trajektorie bodů na obodu kola ytářejí cykloidy. Proto před yšetřoáním pohybu těles je hodné začínat studium pohybu na případě bodoého tělesa. Mimo to některé praktické úlohy o pohybu těles, lze řešit na základě znalostí řešení pohybu bodu. Spojitou křiku, kterou opisují body při sém pohybu nazýáme trajektorie bodu. Je-li trajektorie bodu přímka, nazýá se pohyb přímočarý, je-li trajektorie křika (ne nutně 7

2 8 -Kinematika Bodu roinná), pohyb se nazýá křiočarý. Základní prostoroě časoé charakteristiky pohybu bodu jsou poloha, rychlost, zrychlení. Základní úlohou kinematice bodu je zjištění záislosti polohy bodu na čase (zákon pohybu). Nyní si rozebereme jak ze zadané záislosti polohy bodu na čase určíme jeho rychlost a zrychlení nebo obráceně jak ze zadaného zrychlení nebo zadané rychlosti určíme časoý ýoj polohy..1 Kinematika bodu při přímočarém pohybu Přímočarý pohyb je nejjednodušším případem pohybu bodu, dráha je určena pomocí jedné souřadné osy s, kterou zpraidla orientujeme e směru pohybu tj. e směru ektoru rychlosti..1.1 Základní kinematické eličiny Poloha bodu na přímce je určena jen jednou souřadnicí. Počátek souřadnic je pený bod O a od něj odečítáme polohoý ektor r určující polohu bodu daném okamžiku. Při numerických ýpočtech týkajících se přímočarého pohybu polohoý ektor yjadřujeme pomocí jeho zdálenosti od počátku tj. odlehlosti s (obr..1a). Hodnota s je přitom záporná případě nesouhlasu orientace polohoého ektoru a směru souřadné osy, opačném případě je kladná. Záislost odlehlosti na čase s=s(t) nazýáme zákon pohybu. Posunutí bodu r je změna jeho polohy (iz obr..1b) a yjadřujeme jej pomocí skalárního rozdílu s = s -s. Posunutí je kladné, jestliže se bodoé těleso posunulo kladném směru souřadné osy, opačném případě je záporné. Při posunutí tělesa zaádíme průměrnou rychlost r s stř =, stř = (.1) t t Od posunutí odlišujeme celkoou prošlou dráhu l, což je ždy kladný skalár. Prošlá dráha s časem ždy narůstá l ( t) = li, kde l i = si (.a) Při přemístění po dráze l zaádíme střední hodnotu elikosti rychlosti (dráhoou rychlost) stř l =, (.b) t kde t je čas průchodu po dráze l. Obecně tedy průměrná elikost rychlosti není totéž jako elikost průměrné rychlosti. Pozn. 1. Vektor rychlosti se angličtině překládá "elocity", elikost rychlosti "speed". Pozn.. V případě, že během pohybu se bodoé těleso rátí do ýchozí polohy, pak je r průměrná rychlost stř = =, ale střední hodnota elikosti rychlosti je od nuly různá! t Okamžitá hodnota rychlosti je dána ztahem r = lim (.3) t t Opět při numerických ýpočtech ektor rychlosti yjadřujeme pomocí elikosti tj. kladného skaláru s tím, že případě nesouhlasu orientace ektoru rychlosti a směru souřadné osy použijeme před hodnotou modulu ektoru rychlosti záporné algebraické znaménko. Např. jestliže osa s je orientoána zlea dopraa (obr..1, ronici.4 yznačeno na leé straně šipkou), pak ektor rychlosti reprezentujeme pomocí skaláru 8

3 9 -Kinematika Bodu ds ( +) = (.4) Jestliže se tedy bod pohybuje dopraa, je rychlost kladná, jestliže se pohybuje dolea, je rychlost záporná. Známe-li záislost rychlosti na čase, pak přemístění bodu z polohy P do polohy P můžeme yjádřit pomocí ztahu s =, prošlou dráhu pomocí l t P, tp t P, =. tp Obr..1 Zrychlení bodu je definoáno jako změna rychlosti, pro okamžité zrychlení tedy platí d d r a = = (.5) Lze také použíat zápis a = ɺ = rɺɺ. Při numerických ýpočtech je elikost ektoru zrychlení reprezentoána skalárem d d s ( +) a = = (.6) Zrychlení je určeno silami, které způsobují pohyb tj. záisí od poahy působících sil. Lze ho tedy určit z pohyboých ronic, jejichž sestaoáním se zabýá dynamika. Obecně zrychlení a může být funkcí času t, rychlosti, polohoé souřadnice s nebo jejich kombinací. Hodnotu polohy nebo rychlosti pak musíme zjistit integrací ze zrychlení. Např. při pohybu odporoém prostředí je zrychlení úměrné rychlosti tj. je známa funkce a=f(). Pak kromě definičních ztahů pro rychlost a zrychlení můžeme také yužít yjádření zrychlení pomocí deriace rychlosti podle dráhy. Platí totiž 1 ( ) a = d ds = d = d (.7) ds ds ds 9

4 1 -Kinematika Bodu Známe- li tedy záislosti a=f() popř. =(s), je těchto případech hodné pro nalezení relací mezi zbýajícími kinematickými eličinami použíat nikoli diferenciální ztahy (.4) resp. (.6) ale diferenciální ztah 1 ads=d= d (.8).1. Skalární reprezentace ektorů V rámci kinematiky bodoého tělesa hledáme relace mezi jednotliými kinematickými eličinami platnými pro jeden a ten samý bod. Při ýpočetním řešení úloh týkajících se ztahů mezi ektoroými eličinami přitom býá častou chybou použíání spráného znaménka. V technické mechanice, pokud yjadřujeme ztahy mezi ektoroými eličinami pomocí ronic, zapisujeme jednotlié ektory zpraidla s kladným znaménkem, bez ohledu na jejich orientaci zhledem k souřadným osám. Např. ztah mezi ektory na obr..a a.b yjádříme obou případech součtem tj. píšeme F = F + F x y F = F + F ' ' ' x y Obr.. Při numerických ýpočtech, které ychází z ektoroých ronic, yjadřujeme ektory pomocí skalárů a půodní ektoroé ronice nahrazujeme ronicemi složkoými tj. ztahy mezi skaláry. Obecně u skaláru sice znaménko patří k hodnotě a hodnoty skalárních eličin by neměly záiset ;na olbě souřadnic. Jestliže šak skaláry použíáme jako reprezentanty ektoroých eličin, pak hodnota těchto skalárů je kladná, jestliže je příslušný ektor souhlasně kolineární s osou do které ektor promítáme, opačném případě je záporná. Jinými sloy, při změně orientace souřadné osy se změní i znaménko příslušné skalární reprezentace. Zápornost souřadnic ektorů přitom můžeme proést pomocí záporného algebraického znaménka jen tehdy, jestliže je souřadnice ektoru yjádřena pomocí čísla, kladné fyzikální konstanty (např. graitační zrychlení g) nebo pomocí modulu složky ektoru (např. ). V posledním případě šak musíme mít jistotu, jak je ektor orientoán, protože jestliže x je záporné, pak x =- x a znaménko by bylo aplikoáno x. Proto případech, že u některých ektorů si nejsme jisti jejich orientací, poažujeme šechny jejich složky za kladné. Za tohoto předpokladu pak sestaujeme k ektoroým ronicím příslušné ronice složkoé, proedeme ýpočet a podle numerických hodnot proedeme případné korekce smyslů složek popř. rozhodneme o charakteru pohybu (tj. zda-li je počáteční poloha kladná, zda-li je x 1

5 11 -Kinematika Bodu počáteční pohyb e směru souřadné osy, na kterých úsecích dráhy je pohyb zrychlený popř. zpomalený apod.). Př..1 Zjistěte prošlou dráhu a přemístění od t 1 =1 s do t =5 s pro kámen ržený zhůru počáteční rychlostí = 3m/s. Pro graitační zrychlení použijte hodnotu g=1 m/s. Řešení: Kladný směr souřadné osy orientujeme e směru pohybu tj. směrem zhůru., souřadnice zrychlení pak bude záporná tj. bude platit d = a ( t ) = 3 1t t 1t + 3 prot 3 ( t ) = 1t 3 prot m Pak přemístění ( ) s = ( t ) = 1t + 3 = m Prošlá dráha ( ) ( ) l = 1t t = Př.. Těleso koná přímočarý pohyb s konstantním zrychlením o elikosti a=,6m s -. V čase t = se nachází e zdálenosti d=,5m od počátku souřadné osy, po určité době bod projde počátkem. V čase t 1 =4s je jeho rychlost 1 =. Určete: a) funkční záislost rychlosti na čase; b) čas průchodu počátkem t P ; c) funkční záislost odlehlosti na čase; d) průměrnou rychlost a střední dráhoou rychlost pro časoý interal t=t -t, kde t =1s Řešení: Jako kladný směr souřadné osy s zolíme zlea dopraa. Vzhledem k tomu, že neznáme orientaci počáteční polohy (zda je naprao nebo naleo od počátku souřadnic), neznáme směr počáteční rychlosti a směr zrychlení, předpokládáme, že šechny tyto ektory jsou kladně orientoané ůči zolenému směru souřadné osy (zmiňoaná nejistota yznačena čárkoaně). a r o O s =d s Obr.. 3 Pohyb je s konstantním zrychlením, proto pro yjádření záislosti ektoru rychlosti na čase použijeme ztah = + at, který reprezentujeme pomocí složkoé ronice ( +) = +, 6t (a) Po dosazení 1 = pro t 1 =4s dostááme =-,4 m/s. Na začátku pohybu je znaménko rychlosti a zrychlení opačné, tj. pohyb je ronoměrně zpožděný. Záislost rychlosti na čase =(t)=-,4 +,6t t Vektoroou ronici r = r + t + a reprezentujeme pomocí složkoé ronice t ( +) s = s, 4t +, 6 (b) 11

6 1 -Kinematika Bodu Položíme-li hodnotu odlehlosti s= dostááme kadratickou ronici pro čas průchodu t p bodu počátkem, 3t P, 4tP + s = (c) Kořeny této ronice ( t ), 1 ±, 144, 3s P = (d) 1,, 3 Pro hodnotu s =,5 m jsou oba kořeny komplexní tj. pokud by počáteční poloha bodu byla naprao od počátku pak by bod jej nemohl dosáhnout. Proto možná počáteční hodnota odlehlosti je s = -,5 m. Pro s = -,5 m dostááme jeden kořen kladný tj. čas průchodu počátkem t P1 =9,7 s. Záporný kořen t P =-1,71 s odpoídá času průchodu počátkem který předcházel poloze s. Záislost odlehlosti na čase (zákon pohybu) je tedy dána ztahem s=s(t)=-,5-,4t +,3t (e) Pro t =1s dostááme hodnotu odlehlosti s =,1 m. Hodnota střední rychlosti časoém s s, 1+, 5 interalu t=t -t je stř = = =, 6 m/s. Pro určení hodnoty střední dráhoé t t 1 rychlosti musíme nejpre zjistit odlehlost s 1 při které se bod zastail. Dosazením t 1 =4 s do ronice (e) dostááme s 1 =-,98 m. Celkoá prošlá dráha do času t =1s tedy je l =.,98- l1 + l,5+,1=1,56 m a střední hodnota elikosti rychlosti stř =,156 m/s. t t.1.3 Základní úlohy kinematiky bodu Při yšetřoání pohybu bodu je základní úlohou zjistit záislost polohy bodu na čase tj. získání zákona pohybu. Základními kinematickými eličinami jsou a,, s a t. Pohyb bodu je zcela popsán šesti záislostmi s=s(t), =(t), a=a(t), =f(s), a=g(s), a=h(). Pokud z experimentu nebo pozoroání známe záislost některé z prních tří kinematických eličin na čase, záislosti zbýajících eličin na čase pak získáme derioáním nebo integrací. Relace mezi jednotliými eličinami pak najdeme yloučením času. Při integraci musíme znát polohu a rychlost nějakém daném okamžiku, aby bylo možné stanoit integrační konstanty. a) Přímočarý pohyb ronoměrně zrychlený : a=konst. Je-li a konstantní, ronice (.4) resp. (.6) se mohou přímo integroat. Např. pro počáteční podmínky s = s, = okamžiku t = dostááme ze ztahu a= d po separaci proměnných (tj. na každé straně ronice se yskytuje jen jedna neznámá) ztah t d = a = + at (.9) Protože dále je podle definice = ds, bude po separaci a integraci 1

7 13 -Kinematika Bodu s 1 = ds s = s + + at (.1) s Záislost =(s) bychom mohli získat yloučením času t z ronice (.9 a dosazením do (.9). Výhodnější je šak aplikace ztahu (.8)ze kterého yplýá s = = = + (.11) s a ds d a( s s ) a( s s ) Pozn. Nikdy neaplikujte ztahy (.9), (.1) popř. (.11) pokud se nepřesědčíte že skutečně platí a=const! b) Zrychlení přímočarého pohybu je funkcí času: a=f(t). Z ronice a= d obdržíme po separaci proměnných a integraci ztah pro rychlost a pro odlehlost s t t d = f ( t) = + f ( t) (.1) s s t t ds = f ( t) s = s + f ( t) (.13) c) Zrychlení přímočarého pohybu je funkcí rychlosti : a=f(). Separujeme a integrujeme a dostááme ztah pro záislost času na rychlosti t d d = t = f ( ) f ( ) (.14) Určíme-li inerzí z tohoto ztahu rychlost jako funkci času = ( t ), můžeme dosadit do ds ( t) = a integrací určit zákon pohybu tj. s=s(t). Alternatině lze použít i ronici (.6), kde po dosazení za zrychlení a po separaci proměnných obdržíme integrací d s = s + (.15) f ( ) Tento ztah nám určí funkční záislost mezi rychlostí a souřadnicí polohy = f ( s ). Aplikací ds ztahu ( t) = a integrací můžeme opět zjistit zákon pohybu s=s(t). d) Zrychlení je funkcí souřadnice: a=f(s). Použitím ztahu (.8) pak můžeme psát s s = = + s s d f ( s) ds f ( s) ds (.16) e) Rychlost je funkcí souřadnice =g(s): ds Použijeme definiční ztah ( t) =. Separací a integrací obdržíme 13

8 14 -Kinematika Bodu t s s ds ds = t = g( s) g( s) (.17) s s Tím je opět určena souřadnice polohy jako funkce času. V každém případě řešení diferenciálních ronic integrací záleží na taru funkcí. V případě, že je funkce složitá, proádíme integraci numericky na počítačích (např. pomocí Maple). Příklad.3 Loď plae přímočaře rychlostí. a) Určete záislost rychlosti a odlehlosti lodě na čase, když náhle motory ypneme a loď se začne důsledku odporu prostředí zastaoat se zrychlením a = k, kde k je kladná konstanta. b) Určete, na jaké dráze l z se loď zastaí, jestliže náhle zapneme motory zad a loď se začne důsledku odporu prostředí a zpětném chodu motorů zastaoat se zrychlením a = -k 1 -k. Obr..4 Řešení: a) Podle (.6) platí Dosadíme a integrujeme Odkud t d a = (a) d k = (b) 1 = d k 1 1 kt = + (c) = (d) + 1 kt Záislost odlehlosti na čase určíme ze ztahu = ds : t s ds = ds = = ds 1+ kt 1+ kt 1+ kt s = 1 ln(1 + kt ) (e) k b) Pro ýpočet dráhy zastaení l z použijeme ztah (.8) tj. 1 a ds= d (f) 14

9 15 -Kinematika Bodu l z d ds = (g) k 1 k Zaedeme substituci y = pro kterou platí y =, dy = d = d : dy l z ln( k1 k y) 1 ( 1 ) y ln k ln k k y ln y 1 1 = = + = + = k + k y k k k k + k y Pro dráhu do zastaení tedy dostááme ztah l z 1 k1 + k ln = k k1. Kinematika bodu při křiočarém pohybu Při křiočarém pohybu se bodoé těleso pohybuje po obecné prostoroé nebo roinné křice...1 Způsob určení polohy bodu Poloha bodu je jednoznačně určena polohoým ektorem bodu zhledem na liboolný počátek, polohoý ektor je přitom funkcí času. Množina koncoých bodů polohoého ektoru je trajektorie bodu. Při hledání parametrických ronic popisujících trajektorii bodu pomocí souřadnic zpraidla postupujeme tak, že e startoací poloze t= sledoaný bod umístíme do počátku nebo na některou z os ztažného systému a pomocí trigonometrie nalezneme souřadnice bodu pro liboolný čas t různý od nuly. Při řešení kinematiky bodu při křiočarém pohybu je důležitý hodný ýběr souřadnicoého systému. Ten ybíráme podle typu řešené úlohy Určení polohy bodu kartézských souřadnicích V kartézské soustaě souřadnic zadáme souřadnice x, y, z bodu M (obr..4) jako známé funkce času, tj. x=x(t), y=y(t), z=z(t) (.18) Ronice (.18) jsou parametrické ronice určení trajektorie, parametr je čas t. Máme-li určit trajektorii souřadnicoém (explicitním) taru, musíme parametr t yloučit a zjistit funkci f(x,y,z)=...1. Určení polohy bodu e álcoých, polárních a sférických souřadnicích. Ve álcoých souřadnicích (obr..5) se určuje poloha bodu poloměrem ρ, úhlem φ (azimutem) a souřadnicí z. Pohyb bodu bude zadán, když budeme znát funkce ρ=ρ(t), φ=φ(t), z=z(t) (.19a) Transformační ronice, které přeádějí álcoé souřadnice do kartézských jsou: x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z k (.19b) Při pohybu bodu roině místo álcoých souřadnic použíáme souřadnice polární, které dostaneme z álcoých položením z=. Jako ektory báze přitom použíáme jednotkoý ektor e směru radiálním e ρ (e směru ρ) a jednotkoý ektor e ϕ e směru transerzálním (příčném) -iz obr..6. Polohoý ektor bodu je pak dán ztahem 15

10 16 -Kinematika Bodu M r = ρ e ρ (.19c) e ϕ e ρ r M Obr..6 Obr..5 Ve sférických souřadnicích je pohyb bodu popsán parametrickými ronicemi r = r( t ), ϑ = ϑ( t ), ϕ = ϕ( t ). Transformací x = r sinϑ cos ϕ, y = r sinϑ sin ϕ, z = r cosϑ (.) můžeme od sférických souřadnic přejít k souřadnicím kartézským. Poznámka1: Válcoé resp. polární souřadnice použíáme případech kdy je to účelnější z hlediska popisu pohybu (např. při pohybu bodu po kružnici stačí místo dou kartézských souřadnic x(t) a y(t) jen zadat φ(t)) nebo je to ýhodné z hlediska měření (např. sledujeme-li pohyb letadla letícího e známé ýšce měřením úhlu nad horizontem). Podobně souřadnice sférické použíáme při analýze pohybu po porchu koule popř. při analýze sférických pohybů. Poznámka : Použití polárních souřadnic je ýhodné pro analýzu pohybu bodoého tělesa pohybujícího se podél rotujícího ramene. V tomto případě je radiální souřadnice ρ(t) určena záislostí polohy bodu na rameni a příčná souřadnice φ(t) je určena úhlem pootočení ramene Přirozený způsob určení polohy bodu Předpokládejme že trajektorii bodu známe (např. roině je to funkce f(x,y)=). Nechť O je liboolný pený (námi zolený) bod na trajektorii (obr..7). Zolíme-li kladný smysl přírůstku oblouku na trajektorii, pak polohu bodu M liboolném okamžiku t určíme ze zdálenosti (odlehlosti) bodu M od peného bodu O záislosti na čase. Poloha bodu bude tedy určena záislostí s M = s M (t) (.1) 16

11 17 -Kinematika Bodu s M Obr..7.. Určení rychlosti při křiočarém pohybu V prostoru je poloha bodu okamžiku t určena polohoým ektorem r(t) a okamžiku t + t ektorem r (t+ t) (obr..8). Bod se přitom může pohyboat po obecné prostoroé křice, přemístění bodu r můžeme dostat diferencí hodnot průodiče. Okamžitou rychlost definujeme jako deriaci přemístění podle času tj. r d r = lim =. (.) t t Jak je z obr. (.8) zřejmé, je to ektor, který má směr tečny k trajektorii a jeho smysl je orientoán e směru pohybu bodu. Obr Rychlost bodu kartézských souřadnicích Při souřadnicoém způsobu popisu pohybu rozkládáme obecný křiočarý pohyb do přímočarých, simultánně probíhajících pohybů e směru souřadných os. Např. kartézské souřadnicoé soustaě jsou zadány souřadnice bodu jako funkce času x=x(t), y=y(t), z=z(t) (.3) Pokud ztažný souřadný systém je nepohybliý (např. je spojen s rámem), pak ektory báze tohoto kartézského systému i, j,k nejsou funkcemi času. Pak ze ztahu pro průodič bodu r = x i + y j + z k yplýá 17

12 18 -Kinematika Bodu dr = = xɺ i + yɺ j + zɺ k (.4a) tj. složky rychlosti x, y, z jsou dány deriacemi odpoídajících souřadnic podle času = xɺ, = yɺ, = zɺ (.4b) Modul rychlosti je určen ztahem x y z a směr rychlosti je určen směroými kosiny ɺ ɺ ɺ (.5) = x + y + z x y z cos α =, cos β =, cosγ = (.6)... Rychlost bodu e álcoých a polárních souřadnicích Sledujeme-li pohyb bodu polárních souřadnicích, jsou zadány záislosti polárních souřadnic na čase tj. ϕ=φ(t) a ρ=ρ(t). Vzhledem k tomu, že ektory báze polárních souřadnic se pohybují, je nutné při deriaci ztahu (.) uažoat i jejich časoou deriaci. Přitom deρ deϕ platí = ɺ ϕ ej, = ɺ ϕ eρ. Po úpraách pro rychlost polárních souřadnicích pak dostááme ztah = ɺ ρ e + ρɺ ϕ e (.7) ρ V polárních souřadnicích se rychlost se tedy rychlost rozkládá e dě zájemně kolmé složky: radiální ρ =ɺ ρ a příčnou ϕ = ρ ϕɺ - iz obr..9. Modul rychlosti určíme opět podle ztahu ϕ = ρ + = ɺ ρ + ρ ɺ ϕ = xɺ + yɺ (.8) p e ϕ e ρ obr..9 Pozn. 1 To, že polárních souřadnicích je obecně nenuloá radiální složka neznamená, že rychlost není tečná k dráze pohybu, protože radiální a příčný směr polárních souřadnic není obecně totožný s normálou a tečnou dráhy bodu. 18

13 19 -Kinematika Bodu Pozn. Ronice (.8) nám pomáhá při přechodu od kartézských souřadnic k polárním a obráceně....3 Rychlost bodu přirozených souřadnicích Bod M se pohybuje po známé křice obr..1. Za čas t se bod přemístí do polohy M 1. Platí, sečna přejde bodě M tečnu tj. lim r =τ σ. t Pro ektor rychlosti platí dσ = τ, = (.9) kde τ je jednotkoý tečný ektor orientoaný e smyslu kladného přírůstku oblouku σ. Obr Určení zrychlení bodu při křiočarém pohybu Zrychlení kartézských souřadnicích Nechť je zadán pohyb nepohyblié kartézské souřadnicoé soustaě: x=x(t), y=y(t), z=z(t) (.3) Pak složky zrychlení a x, a y, a z jsou rony druhým deriacím odpoídajících souřadnic podle času nebo prní deriacím podle času odpoídající souřadnice rychlosti tj. jsou dány ztahy a = ɺ = ɺɺ x, a = ɺ = ɺɺ y, a = ɺ = ɺɺ z (.31) Modul zrychlení je určen ztahem a směr je určen směroými kosiny x x y y z z ɺɺ ɺɺ ɺɺ (.3) a = x + y + z a a x y az cos αa =, cos βa =, cosγ a = (.33) a a a 19

14 -Kinematika Bodu.3.3. Zrychlení e álcoých souřadnicích a polárních souřadnicích Derioáním ztahu (.7) bychom pro yjádření ektoru zrychlení e álcoých souřadnicích dostali ztahy M a = ( ɺɺ ρ ρϕɺ ) e + ( ρϕɺɺ + ɺɺ ρϕ) e + ɺɺ z e (.34) Průměty zrychlení na radiální a příčnou osu tedy jsou ρ ϕ a ρ = ( ɺɺ ρ ρϕɺ ), a ϕ = ( ρϕɺɺ + ɺɺ ρϕ). (.35) Pro modul zrychlení opět platí ztahy umožňující přechod od álcoých souřadnic k souřadnicím kartézským a = a + a + a = ɺɺ x + ɺɺ y + ɺɺ z (.36) ρ ϕ z Vztahy pro rychlost a zrychlení bodu polárních souřadnicích můžeme také získat * * i ϕ( t ) i ϕ( t ) sledoáním komplexního čísla Z = A ( t )e = ρ( t )e a jeho deriací komplexní i Gaussoě roině. Reálné části součinitelů u e ϕ pak ždy yjadřují složky ektorů r, a a do osy ρ (tj. složky radiální), imaginární části pak složky těchto ektorů do osy φ (tj. složky příčné). Pro průodič platí i r = ρ e ϕ (.37a) z * * Čili r = Re A = ρ, r = Im A = ρ Pro rychlost ϕ ( ρ iρϕ ) i = rɺ = ɺ + ɺ e ϕ (.37b) Čili = Re A = ɺ ρ, = Im A = ρϕɺ ρ a pro zrychlení Čili * * ϕ * aρ Re A, aϕ Im A ( ρ ρϕ ) i ( ρϕ ρϕ ) a i = rɺɺ = ɺɺ ɺ + ɺɺ + ɺɺ e ϕ (:37c) = = ɺɺ ρ ρϕɺ = = ρϕɺɺ + ɺɺ ρϕ Zrychlení bodu přirozených souřadnicích V bodě M prostoroé křiky můžeme konstruoat tz. průodní trojhran, tořený tečnou τ, normálou n ( oskulační roině) a binormálou b pro který platí b = τ x n (.38) Tyto ektory jsou jednotkoé a ytáří bázi přirozených souřadnic. Při pohybu roině ektor zrychlení leží oskulační roině a pro jeho rozklad do směru tečného a normáloého platí ztahy sɺ a = aττ + a n n = ɺɺ sτ + n, (.39) R kde R je poloměr oskulační kružnice (oskulační kružnice daném místě aproximuje dráhu kruhoým obloukem). Průmět zrychlení do směru tečného k dráze se nazýá tečné zrychlení a τ = ɺ = ɺɺ s (.4a) Průmět zrychlení do normály se nazýá normáloé zrychlení sɺ an = = R R (.4b)

15 1 -Kinematika Bodu Hodnota zrychlení e směru binormály je nuloá tj. a = (.4c) b Tečné zrychlení charakterizuje změnu modulu rychlosti a normáloé zrychlení změnu směru rychlosti. Normáloé zrychlení ždy míří donitř oblouku dráhy. Modul ektoru zrychlení je roen a = a + a = ɺɺ x + ɺɺ y (.41) τ n Při sledoání pohybů nás často zajímá úloha nalezení a n, protože tato složka zrychlení určuje elikost odstředié síly. Máme li pohyb zadán kartézských souřadnicích tj. známe x=x(t), y=y(t) postupujeme následoně. Derioáním zjistíme x,(t) y (t), a x (t), a y (t). Následně pak proderioáním elikosti rychlosti podle času zjistíme a t (t). Nakonec použitím ztahu an = a a τ zjistíme a n (t) a R(t). Je-li rychlost bodu pohyb bodu s konstantní elikostí rychlosti tj. a τ =, pohyb nazýáme ronoměrný. Když, a τ jsou stejného znaménka, potom modul rychlosti bodu se zětšuje a pohyb se nazýá zrychlený. Když šak znaménka jsou nazájem různá, modul rychlosti se zmenšuje a pohyb je zpožděný (retardoaný). Normáloé zrychlení a n = přímých úsecích dráhy, inflexních bodech křiočarého pohybu ( R = ) a okamžicích, kdy je elikost rychlosti bodu nuloá. V případě že a τ =const a sign(a τ )=sign() pak pohyb nazýáme ronoměrně zrychlený, je-li sign(a τ )= - sign() pak ronoměrně zpožděný. Poznámka1: V přirozených souřadnicích postačuje pro určení kinematiky bodu znalost dou funkcí s(t) a R(t). Musíme mít šak zadánu trajektorii. Poznámka : Přímočarý pohyb můžeme poažoat za zláštní případ pohybu křiočarého, při kterém je τ ektor konstantní co do směru. V případě přímočarého pohybu jednu z os souřadného systému zpraidla ztotožníme se směrem pohybu (např. při sledoání pohybu na nakloněné roině ztotožníme některou z os kartézského souřadného systému se sklonem nakloněné roiny). Směr osy přitom orientujeme e směru pohybu (ten je určen směrem ektoru rychlosti). 1

16 -Kinematika Bodu Příklad.4 Vozítko na horské dráze se pohybuje po spirále (šrouboici) s konstantní rychlostí =6m/s; ýška záitu šrouboice je h=1m. Určete elikost zrychlení ozíku, je-li poloměr záitu ρ=5m., ozítko poklesne o ýšku záitu ždy za 1 otočku T. ρ h Obr..11 Řešení: a) Pohyb je po álci, použijeme álcoé souřadnice = ɺ ρe + ρϕɺ e + zɺ e ρ j z Vzhledem k tomu, že ρ je konstantní a pro ýšku záitu h platí, elikost rychlosti je rona = ( ρϕɺ ) + ( ) (b) z z h Vzhledem k tomu, že h = z T = π z ϕ ɺ ϕ = π ɺ (a) Dosazením do (b) dostááme pro ϕɺ ztah ɺ ϕ = = =, 374 m/s ( ) h h πρ + ρ + π ( c ) Oud yplýá, že ϕɺ je konstantní. Je-li ϕɺ je konstantní, pak podle (b) je konstantní i z. Ze ztahu pro zrychlení e álcoých souřadnicích a = ɺɺ ɺ e + ɺɺ + ɺɺ e + ɺɺ e (d) ( ρ ρϕ ) ρ ( ρϕ ρϕ) ϕ z z pak yplýá, že daném případě je elikost celkoého zrychlení rona

17 3 -Kinematika Bodu a Ze ztahu pro zrychlení můžeme určit při pohybu bodu po álcoé šrouboici určit i poloměr oskulační kružnice tj. poloměr šrouboice R = ρϕɺ =6,54 m/s h ρ + ɺ ϕ + π ( πρ z ) + h ( ρϕɺ ) R = = = = a n ρϕɺ ρϕɺ ( π ) ρ Vzhledem k tomu, že pro úhel stoupání šrouboice platí πρ cos β = πρ + h ( ) (e) (f ) h β π ρ dostááme dosazením do (d) ztah R = (g) cos ρ β b) řešení pomocí kartézských souřadnic R ρ x = ρ cosɺ ϕt y = ρ sinɺ ϕt, z = zt proderioáním podle času dostááme 3

18 4 -Kinematika Bodu xɺ = ρϕɺ sinɺ ϕt yɺ = ρϕɺ cosɺ ϕt zɺ = z oud ɺɺ ɺ = ρ ϕ + z ɺ ɺ x = ρϕ cosϕt, ɺ ɺ ɺɺ y = ρϕ sinϕt ɺɺ z = a = ρϕɺ Z těchto ztahů bychom mohli určit záislost odlehlosti na čase t h s( t ) = xɺ + yɺ + zɺ dτ = t ρ ɺ ϕ + ɺ ϕ = t ( π ).3.4 Kinematika kruhoého pohybu Pohybuje-li se bod po kružnici, potom souřadnice ρ =konst.=r, což je poloměr kružnice - obr..1. Poloha bodu je úplně určena úhlem φ. Deriace úhlu podle času se nazýá úhloá rychlost ω = ɺ ϕ, druhá deriace úhlu podle času úhloé zrychlení α = ɺ ω = ɺɺ ϕ. Použitím ztahů pro rychlost a zrychlení přirozených souřadnicích pak dostááme ztahy = rɺ ϕ = rω (.4) a n =r, a τ =r ω α (.43) V případě, že úhloé zrychlení α=konst., pak pro záislosti ϕ=ϕ(t) a ω=ω(t) platí obdobné φ Obr..1 ztahy jako pro pohyb přímočarý s konstantním zrychlením tj. platí ω = ω + α (.44) t Protože dále je podle definice ω= d ϕ, bude po separaci a integraci ω ϕ 1 ω = dϕ ϕ = ϕ + ω + α t (.45) ω ϕ Vyloučením času t můžeme získat hned záislost ω=ω(ϕ). 4

19 5 -Kinematika Bodu ω ϕ d = d = ( ) (.46) ω ϕ α ω ω ϕ ω ω α ϕ ϕ V případě, že pohyb kruhoý je ronoměrný tj. ω=konst, pak definujeme dobu oběhu T podle ztahu π ω = (.47) T Pozn. Pro nalezení ztahů ϕ=ϕ(t), ω=ω(t), α=α(t), ω=f(ϕ), α=g(ϕ), α=h(ω) použíáme stejných postupů jako jsou zmiňoány kap.. tj. získááme je integrací definičních diferenciálních ztahů ω= d ϕ dω 1 d, α= a ( ω ) dω α = ω dϕ = dϕ.. Př..5 Vyšetřete pohyb bodu, jehož polohoý ektor záisí na čase podle ronice 1 1 r = i Acosωt + j Asinωt, kde A = 6m, ω = 4 π s. Určete ektor rychlosti a jeho elikost jako funkci času Určete jednotkoý ektor rychlosti e jako funkci času Určete ektor zrychlení a jeho elikost funkci času Určete tečné a normáloé zrychlení funkci času Vypočítejte poloměr křiosti dráhy hmotného bodu funkci času Řešení: d r d Rychlost hmotného bodu je podle ztahu = = ( i Acosωt + j Asin ωt). 1 1 Tedy = Aω ( i sinωt + j cosωt), kde A = 6 m, ω = π s. 4 Velikost ektoru rychlosti určíme podle ztahu ( ) ( ) 1 1 = x + y = Aω sinωt + Aω cos ωt = Aω. Po dosazení = 3π ms. 1 1 Jednotkoý ektor rychlosti e = = Aω ( i sinωt + j cosωt). Aω Oud e = i sinωt + j cosωt Zrychlení je podle ztahu (.5) d a = = d A ω ( i sinω t + jcosω t ). a = Aα i cosωt + jsinωt = ω r. Tedy ( ) Velikost zrychlení je dána ztahem x y ( cos ) ( sin ) Po dosazení 1 a = 3π ms. 8 a = a + a = Aω αt + Aω ωt = Aω. Velikost tečného zrychlení ypočítáme ze ztahu a ( Aω ) kruhoý). Vzhledem k tomu, že a =, yplýá ze ztahu τ τ d d = = = (ronoměrný pohyb a a + = τ, že a n = a. a n 5

20 6 -Kinematika Bodu Tedy a =, τ 1 a n = a = 3π ms. 8 Poloměr křiosti R ypočteme ze ztahu.4 Harmonický pohyb R =. Po dosazení dostááme R = 6m. a n Z hlediska technické praxe je ýznamný případ pohybů, kdy je působící síla úměrná ýchylce a rací pohybující se bod neustále do počáteční polohy (např. těleso na pružině, kyadlo apod.). Takoý pohyb se nazýá harmonický, typickým příkladem harmonického pohybu je kmitání částí těles kolem ronoážné polohy. Podle. Newtonoa zákona je u takoého pohybu zrychlení úměrné ýchylce tj. platí Označíme-li a = x ii budeme mít a = Ω x (.48) x ii + Ω x = (.49) Je to diferenciální ronice druhého řádu bez praé strany, její řešení x=x(t) je možné hledat na bázi harmonických funkcí, např. e taru x = Acos Ω t + B sin Ω t (.5a) Diferenciální ronici (.49) šak yhouje i řešení e taru x = C sin( Ω t + ϕ) (.5b) Aplikací praidla pro sinus součtu dou úhlů dostaneme ztah x = C sinϕ cos Ω t + C cosϕ sin Ω t (.5c) Ze sronání (.5a) a (.5c) dostááme A = C sin ϕ; B = C cosϕ (.51) Pak C = A + B se nazýá amplituda, (.5) A ϕ = arctg se nazýá počáteční fáze, (.53) B Ω je lastní úhloá frekence. (.54) Rychlost při harmonickém pohybu je π xɺ = CΩcos( Ω t + ϕ ) = CΩsin Ω t + ϕ + (.55) a zrychlení ( ϕ ) sin ( ϕ π ) ɺɺ x = CΩ sin Ω t + = CΩ Ω t + + (.56) Konstanty A, B nebo C a ϕ jsou integrační konstanty, které záisí na počátečních podmínkách. 6

21 7 -Kinematika Bodu x = x, xɺ () = dostááme Např. pro počáteční podmínky ( ) x = Acos Ω t + Bsin Ω t (a) = AΩsin Ω t + B Ωcos Ω t (b) Řešením těchto ronic dostááme pro konstanty A, B ztahy, A = x B = (c) Ω Pro uedené počáteční podmínky má řešení harmonického pohybu tar x = x cos Ω t + sin Ωt Ω Poznámka: Ronice harmonického pohybu je rona průmětu ronoměrného kruhoého pohybu do některého z os kartézského souřadného systému..5 Kinematika současných pohybů bodů.5.1 Kinematika současných pohybů olných bodů Při současných pohybech bodů pohybujících se po drahách které se protínají nebo splýají často řešíme úlohu nalezení polohy a času srážky. Úlohu řešíme tak, že napíšeme zákony pohybu pro oba body, zjistíme čas srážky z podmínky ronosti poloh a následným dosazením doby srážky do některého ze zákonů pohybu určíme polohu srážky. Achilleů paradox: Jsou-li dě ozidla jedoucí za sebou a zadní ozidlo jede rychleji, než ozidlo před ním, každodenní zkušenost říká, že je přední ozidlo dříe či později předjeto. Nicméně, přední ozidlo nestojí a tak když se do stejného bodu dostane ozidlo rychlejší, to pomalejší je již o kus dál a tak neustále dokola e stále kratších interalech. Jak se tedy mohou ozidla předjet? Úloha je z historie známá jako paradox Achilla a žely (Achilles je rychlejší ozidlo, ale yběhl později, žela je pomalejší, dobíhané ozidlo). Ty dílčí interaly mezi nimi se stále zkracují a pokud Achilles i žela se pohybují ronoměrně, pak se zkracují geometrickou řadou. Ta má konečný součet, třebaže má nekonečně mnoho členů. Součet dílčích interalů udáá práě zdálenost, po které Achilles želu dohoní. V tom okamžiku mají oba stejnou polohu. Poté tedy už běží Achilles epředu a žela ho (marně) dobíhá..5. Kinematika současných pohybů zájemně ázaných bodů V některých případech pohyb jednoho bodoého tělesa záisí na pohybu jiného bodoého tělesa např. spojení tyčí nebo lanem. Jestliže body jsou spojeny lanem konstantní délky (např. lano je edeno přes pené kladky nebo obliny) a úseky lana spojující body nemění sůj směr (obr..1a), pak pro nalezení ztahů mezi kinematickými eličinami jednotliých bodů odečítáme polohoé souřadnice jednotliých bodů následujícím způsobem: 1) zdálenosti bodů odečítáme od peného bodu (nebo pené přímky) ) dááme jim kladný smysl e směru od referenčního peného bodu 3) úseky lana, jejichž délka se během pohybu nemění do souřadnic nezapočítááme Součet těchto souřadnic je roen délce lana (mimo jeho neproměnných úseků). Proderioáním tohoto součtu polohoých souřadnic podle času pak dostaneme ztah mezi rychlostmi spojených bodů. sa + sb = const. dsb dsa + = tj. B = A,aB = aa Komplikoanější případ nastáá, jestliže úseky lana spojující body mění sůj směr (obr..1b). V tomto případě je nutné polohoé souřadnice odečítat následujícím způsobem: 1) zaedeme pený souřadný systém, jednu z os orientujeme e směru zadaného pohybu (d) 7

22 8 -Kinematika Bodu ) odečteme polohoé souřadnice e směru os 3) yjádříme celkoou délku lana pomocí polohoých souřadnic Opět proderioáním tohoto součtu polohoých souřadnic podle času dostaneme ztah mezi rychlostmi spojených bodů. h Pro celkoou délku lana platí: l = l + l DA CD ( ) l = h + x + h y Obr..1a Obr..1b Proderioáním podle času dostááme záislost rychlost i S na rychlosti A ztah dy 1 x dx 1 x = S A = = h + x h + x Za předpokladu konstantní rychlosti A pak dalším proderioáním podle času dostááme pro zrychlení bodu S ztah d y x dx 1 dx as = = A ( h + x ) ( h + x ) Poznámka1: Zrychlení záaží S je tedy nenuloé i při konstantní rychlost A Poznámka : V případě, že některý z bodů koná pohyb rotační, použijeme pro yjádření jeho polohy souřadnice polární. 8

23 9 -Kinematika Bodu Př..5 Ramenem jeřábu otáčíme e sislé roině kolem bodu O lanem, které je naíjeno na ronoměrně se otáčející buben. Zjistěte záislost úhloé rychlosti zedání ramene jeřábu na úhloé rychlosti otáčení bubnu ω b (iz obr..13). y B h A O l φ A x ω b r Obr..13 Označíme: OA = OA = l,ob = h. x = l cos ϕ, y = h l sin ϕ, BA = x + y Záislost zkracoání délky lana na čase je dána otáčením bubnu tj. A A A A s(t)= rωb t rϕb BA BA = l cosϕ + h l sinϕ l Po umocnění a úpraách dostááme pro záislost úhlu otáčení jeřábu φ na úhlu otočení bubnu ztah rϕb ϕ = arcsin ( h + l rϕb ) hl Proderioáním dostááme pro záislost úhloé rychlosti ω zedání ramene jeřábu na úhloé rychlosti ω otáčení bubnu ztah b = = ( ) ( ) ( + ωb ) rωbt h l r t ω = ɺ ϕ = hl 1 sinϕ 9

24 3 -Kinematika Bodu Kontrolní otázky 1) Jaký je rozdíl mezi dráhou a odlehlostí? ) Co je to zákon pohybu? 3) Vztahy pro rychlost a zrychlení přirozených souřadnicích? 4) Proč při kruhoém pohybu použíáme souřadnice polární? 5) Jak stanoíte jednotkoý tečný ektor k dráze znáte-li x=x(t), y=(t)? 6) Vyjádřete zrychlení pomocí deriace rychlosti podle dráhy? 7) Definujte harmonický pohyb? 8) V jakém taru předpokládáme řešení ronice harmonického pohybu, k čemu použíáme okrajoé podmínky? 9) Z jaké podmínky se zjistí čas srážky dou bodů pohybujících se po stejných nebo protínajících se drahách? 1) Jak řešíme úlohu nalezení souislostí mezi rychlostmi a zrychleními bodů ázaných lanem? 3