Derivace hustot a. Kapitola Diferenciální operátory divergence a. (rotace)

Transkript

1 [2.03,1.12,1.14,2.04,2.02,2.02,2.03,2.03,2.02,0,1.03] Kapitola 10 Derivace hustot a itegrálí věty Nyí avážeme a látku vyložeou v kapitole 5. Zde byly zavedey itegrovatelé hustoty, hustotí duál a defiovali jsme itegrováí tezorových hustot a forem. V ásledujících kapitolách jsme zavedli další geometrické struktury jako je metricka a kovariatí derivace. Máme tak připraveé prostředky pro defiici difereciálích operátorů působících a růzé typy tezorových hustot a pro formulaci itegrálích vět zobecěí Gausovy a Stokesovy věty Difereciálí operátory divergece a rotace V euklidovském třídimeioálím prostoru jsou velmi užitečé vektorové difereciálích operátory grad, div a rot. Tyto operátory hrají klíčovou roli ve formulaci itegrálích vět. Pomocí hustotího duálu můžeme defiovat aalogie těchto vektorových operátorů působících a vhodé tezorové hustoty a atisymetrické formy. Ukazuje se, že takto defiovaé operátory divergece div a rotace rõt epotřebují dodatečou geometrickou strukturu. Jak operátor div, tak rõt jsou totiž modifikací vější derivace pomocí operace hustotího duálu. Divergece div eí ic jiého ež operace duálí k vější derivaci a rotace rõt je dáa hustotím duálem vější derivace. Defiice D10.1 Divergece a rotace) Pro tezorovou hustotu α Sect Λ p+1 M stupě p + 1 defiujeme divergeci div α Sect Λ p M ásledově: div α = d α. divergece) Podobě defiujeme rotaci rõt ω Sect Λ d p M atisymetrické formy ω A p 1 M vztahem rõt ω = dω. rotace) Pozámka Operátor divergece se v literatuře zavádí s růzou zamékovou kovecí. Zde zvoleá kovece vede k jedoduchému tvaru Gaussovy věty. V aplikacích zaměřeých a atisymetrické formy a k im duálí tezorové hustoty) se častěji 10 1

2 Derivace hustot a itegrálí věty 10 2 zavádí operátor δ lišící se při akci a tezorovou hustotu stupě p + 1 zamékem δα = 1) p+1 div α. Jelikož symbol δ máme již začě přetížeý, zavedeme alterativí začeí d α = δα. Pomocí abstraktích idexů budeme teto operátor psát d α a 1...a p. Ozačeí divergece formálí kotrakcí d α je motivováo výrazem pro divergeci pomocí kovariatí derivace viz větu V10.9 íže. Pozámka Operátor rotace rõt se pro formy vyššího stupě v obecé dimezi většiou ezavádí. Zde uvedeá defiice zobecňuje stadardí operátor rotace z třídimezioálího euklidovského prostoru tak, aby pro ěj platilo zobecěí Stokesovy věty, viz věta V Vlka použitá v ozačeí tohoto operátoru zdůrazňuje, že výsledkem je tezorová hustota. V defiici D10.2 totiž ještě zavedeme rotaci rot jejíž výsledek je atisymetrická forma. Díky vlastostem hustotího duálu a vější derivace okamžitě dostáváme: Lemma V10.1 Vlastosti divergece a rotace) Pro libovolou tezorovou hustotu α Sect Λ p M a atisymetrickou formu ω A p M platí div div α = 0, div rõt ω = 0. V kapitole 6 jsme pomocí metrické struktury zavedli Hodgeův duál defiice D6.14). Te ám umoží defiovat difereciálí operátory i a objektech, které emají charakter hustot. Kokrétě můžeme zavést operátory div a rot působící a atisymetrických formách, dávající jako výsledky opět atisymetrické formy. Defiice D10.2 Divergece a rotace atisymetrických forem) Divergece a rotace a atisymetrických formách jsou defiovaé vztahy: div ω = sig g) 1) pd p) d ω, pro ω A p+1 M, div ω A p M, rot ω = sig g) 1) pd p) dω, pro ω A d p 1 M, rot ω A p M. M10.1 Vektorové operátory pro d = 3 V třídimezioálím prostoru s riemaovskou metrikou se defiují operátory divergece a rotace pro vektorová pole. Využitím idetifikace vektorů a 1-forem můžeme tyto operátory zavést ásledově: div a = div a = d a, rot a = rot a = d a. Pomocí hustotího duálu mají tyto operace tvar Zde d je dimeze variety. div a = g 1/2 div g 1/2 a ) = g 1/2 d g 1/2 a ), Pozámka Obdobě jako pro divergeci a tezorových hustotách zavedeme a formách rot a = g 1/2 rõt a = g 1/2 d a. ozačeí pro divergeci s alterativí zamékovou kovecí Dále se zavádí gradiet skalárí fukce d ω = δω = 1) p div ω pro ω A p+1 M. grad f = df Operátor δ se azývá ko-derivace. Nepřehledé zaméko v těchto defiicích se zjedoduší, pokud si uvědomíme, že iverze k Hodgeovu duálu je právě sig g) 1) pd p). Vztahy pro oba operátory můžeme pak přepsat v alterativí formě: Lemma V10.2 Divergece, rotace a Hodgeův duál) div ω = d ω, rot ω = dω. Viz lemma V6.5 a defiici D10.2. Právě zavedeé operátory jsou aalogické operátorům defiovaým v defiici D10.1 pomocí hustotího duálu. Platí totiž a Laplaceův operátor skalárí fukce a vektorového pole f = div grad f, a = grad div a + rot rot a. Při použití kovece automatického sižováí a zvyšováí idexů jsou tyto operátory speciálím případem operátorů zavedeým v defiicích D10.2 a D10.3.

3 Derivace hustot a itegrálí věty 10 3 Lemma V10.3 Vztahy pro divergece a rotace) Divergece a rotace atisymetrické formy ω A p M lze vyjádřit pomocí divergece a rotace defiovaých pomocí hustotího duálu div ω = g 1/2 div g 1/2 ω ) = g 1/2 d g 1/2 ω ), rot ω = g 1/2 rõt ω = g 1/2 dω. Oba vztahy se dostaou pomocí lemmatu V6.5 a porováím defiic D10.1 a D10.2. Dále defiujeme tzv. vější Laplaceův operátor: Defiice D10.3 Vější Laplaceův operátor) Mějme varietu M dimeze d s metrikou g. Vější Laplaceův operátor azývaý též de Rhamův Laplaceův operátor) působící a atisymetrických formách stupě p defiujeme ω = sig g) 1) pd d dω + 1) d d d ω ). Pomocí defiice D10.2 můžeme přepsat vější Laplaceův operátor v alterativích formách ω = 1) p+1 div d ω d div ω ) = 1) p d div ω + sig g) 1) p+1)d rot rot ω = d dω d d ω = [ d d ] 2 ω = δ dω + d δω = [ d + δ ] 2 ω, 10.1) kde jsme využili d d = d d = 0. Pozameejme, že vější Laplaceův operátor se v obecosti liší od Laplaceova operátoru defiovaého pomocí kovariatí derivace viz větu V10.13 íže Kovariatí derivace itegrovatelých hustot V kapitole 7 jsme zavedli kovariatí derivaci, pomocí které můžeme zkoumat změy obecých tezorových polí. Obdobě můžeme zavést kovariatí derivaci a itegrovatelých hustotách. V aalogii s defiicí D7.4 viz též větu V7.1) defiujeme Defiice D10.4 Kovariatí difereciál a hustotách) Kovariatí difereciál a itegrovatelé hustoty a F w M váhy w je tezorová hustota z T w0 1M splňující a + rb ) = a + r b, ab ) = a ) b + a b ), f = d f, liearita) Leibiz) působeí a fukce) kde f je fukce, a, b itegrovatelé hustoty obecých vah a r R. Kovariatí derivace va ve směru v je pak dáa zúžeím vektorového pole v s kovariatím difereciálem a va = v a.

4 Derivace hustot a itegrálí věty 10 4 Lemma V10.4 Derivace mociy) Kovariatí diferecál mociy hustoty a je a w = w a w 1 a. Dokáže se obdobým způsobem jako vzorec pro derivaci mociy fukce užitím Leibizova pravidla a faktu, že a fukcích se kovariatí derivace chová jako gradiet. Cvičeí C10.1 Ukažte! Kovariatí derivace a itegrovatelých hustotách eí dáa jedozačě. Prostor všech kovariatích derivací a hustotách lze vyšetřovat stejými prostředky jaké jsme použili v kapitole 7 při zkoumáí prostoru kovariatích derivací a tečých tezorových prostorech. Rozdíl dvou kovariatích derivací je pseudoderivace typu 0, 1) působící a itegrovatelých hustotách viz defiici D2.4 přímočaře rozšířeou a prostor itegrovatelých hustot). Aalogicky větě V2.4 lze akce pseudoreivace a hustotě váhy w vyjádřit pomocí akce psudoderivace a hustotě váhy 1: Lemma V10.5 Působeí pseudoderivace a hustotách) Nechť M je pseudoderivace typu p, q) působící a itegrovatelých hustotách. Její působeí a hustotách váhy 1 lze reprezetovat tezorovým polem M T p q M: Ma = M a, a FM. Akce pseudoderivace a hustotu h váhy w pak je Mh = w M h, h F w M. Prví vztah dostaeme, uvážíme-li, že akce pseudoderivace je ultralokálí. Pseudoderivace Ma musí tedy jít apsat jako tezorová operace a díky tomu, že prostor itegrovatelých hustot v jedom bodě) je jedodimezioálí, dostaeme faktorizaci M a. Druhý vztah je aalogický vzorci pro derivace mociy, který lze odvodit pomocí Leibizova pravidla a faktu, že pseudoderivace aihiluje hustoty váhy 0 tj. fukce). Dvě kovariatí derivace a itegrovatelých hustotách se tedy liší pseudoderivací typu 0, 1), která lze charakterizovat 1-formou γ. Kokrétě, pro hustotu a váhy w máme a = a + w γ a. 10.2) Je-li zadáa kovariatí derivace jak a tezorových polích, tak a itegrovatelých hustotách, můžeme defiovat kovariatí derivaci působící a tezorových hustotách T wk l M, tj. a řezech prostorů T k l M Hw M. Stačí požadovat, aby výsledá kovariatí derivace či diferecál) splňovala stadardí vlastosti kovariatích derivací. Pomocí liearity a Leibizova pravidla pak můžeme akci kovariatí derivace a tezorových hustotách redukovat a derivaci a prostých tezorech a prostých hustotách. V kapitole 5 jsme však ukázali, že prostor hustot H U je a každé orietovatelé oblasti U variety M isomorfí s prostorem totálě atisymetrických forem Λ d U. Díky tomu můžeme idukovat kovariatí

5 Derivace hustot a itegrálí věty 10 5 derivaci a hustotách z kovariatí derivace a tečých tezorech stačí požadovat, aby její akce byla ekvivaletí odpovídající akci a totálě atisymetrických formách. Isomorfismus zprostředkující přechod od hustot k formám je urče tezorem orietace ε zavedeým v defiici D5.18. Akci kovariatí derivace a hustoty můžeme tedy zavést požadavkem, aby tezor orietace byl kovariatě kostatí: Defiice D10.5 Rozšířeí kovariatí derivace a hustoty) Mějme a varietě M kovariatí derivaci. Její rozšířeí a itegrovatelé hustoty obecé váhy musí splňovat ε = 0, kde ε je tezor orietace. Pozámka Jelikož podmíka ε = 0 ezávisí a změě zaméka tezoru orietace, defiice eí závislá a volbě orietace. Neí potřebá ai orietovatelost variety, jelikož je dostatečé vyžadovat platost podmíky pouze lokálě, a orietovatelých oblastech. Obdobě rozšíříme i akci pseudoderivace Defiice D10.6 Rozšířeí pseudoderivace a hustoty) Mějme a varietě M pseudoderivaci derivaci M. Její rozšířeí a itegrovatelé hustoty obecé váhy musí splňovat M ε = 0, kde ε je tezor orietace. Věta V10.6 Akce rozšířeé pseudoderivace a hustotách) Mějme pseudoderivaci M, jejíž akce a vektorech je dáa tezorem M T 1 1M, tj. M = tes[m]. Pak rozšířeí pseudoderivace a hustoty váhy w splňuje Ma = w M a. Podmíka M ε = 0 je ekvivaletí podmíce M ε 1 = 0. Vskutku, ε ε 1 = d! [d] δ, čili M` ε ε 1 = 0 a pomocí Leibizova pravidla dostaeme M ε 1 = 0. Lokálě můžeme iverzí tezor orietace ε 1 reprezetovat pomocí libovolé positivě orietovaé formy ω A d M jako ε 1 = ω ω 1. Použitím Leibizova pravidla dostáváme 0 = ω 1 M ω + ω M ω 1 a s pomocí lemmat V1.2 a V1.3 pak můžeme psát M ω = 1 d! ω ωa 1...a d Mω 1 a 1...a d = 1 d! ω ωa 1a 2...a d `M a 1 ω 1 a 2...a d + M a 2 ω 1 a 1...a d +... = d d! ω ωa 1a 2...a d M a 1 ω 1 a 2...a d = d ω M a 1 [d] δ a 2...a d a 1 a 2... a d = M ω Tím jsme dokázali tvrzeí věty pro hustotu váhy 1 tvaru ω. Ovšem v tomto tvaru lze lokálě) zapsat každá hustota váhy 1. Pro hustoty váhy w tvrzeí věty plye z lemmatu V10.5. Dvě kovariatí derivace rozšířeé z tečého prostoru a hustoty se pak liší o pseudoderivaci idukovaou pseudoderivací defiovaou a tečém prostoru

6 Derivace hustot a itegrálí věty 10 6 Věta V10.7 Vztah dvou kovariatích derivací a hustotách) Mějme kovariatí derivace a lišící se pseudoderivací Γ charakterizovaou rozdílovým tezorem Γ Pak rozšířeí a hustoty váhy w splňuje e a = e a + Γ e a = e a w Γ e a. Důležitý příklad rozšířeí kovariatí derivace a hustoty je případ souřadicové kovariatí derivace spojeé se souřadicemi x j. Díky tomu, že d d x = dx 1 dx d, rozšířeí souřadicové kovariatí derivace bude splňovat d d x = 0, 10.3) čili, pro obecou hustotu a s kompoetou a = a[ x i ] dostaeme a = da d d x. 10.4) Kompoety kovariatí derivace tezorové hustoty pak lze vyjádřit pomocí parciálích derivací kompoet a Christoffelových symbolů: Věta V10.8 Souřadice kovariatí derivace tezorových hustot) Nechť je kovariatí derivace charakterizovaá vzhledem k souřadicím x j složkami Γ j kl. Pro obecé tezorové pole α, které je zároveň hustotou váhy w, s kompoetami α k1k2... l, dostáváme 1l 2... α k1k2... l = 1l 2...; αk1k2... l w Γ e 1l 2..., e α k1k2... l 1l Γ k1 e α ek2... l 1l Γ k2 e α k1e... l 1l Γ e l 1 α k1k2... el 2... Γ e l 2 α k1k2... l 1e......, kde čárka začí parciálí derivováí podle x j. Divergece tezorové hustoty zavedeá v defiici D10.1 lze jedoduše vyjádřit pomocí libovolé beztorzí kovariatí derivace Věta V10.9 Divergece pomocí kovariatí derivace) Pro libovolou kovariatí derivaci bez torze platí ) a1...a p div α = α a1...ap, případě d α = α. Pozámka Teto vztah divergece ke kovariatí derivaci je motivací pro ozačeí alterativího operátoru divergece d α zavedeého v pozámce k defiici D10.1. Nabízelo by se dokoce užít přímo ozačeí α. Zak d ve výrazech d α = α při užití idexů d α) a 1...a p = d α a 1...a p = α a 1...a p ) však zdůrazňuje fakt, že divergece ezávisí a kokrétí volbě beztorzí kovariatí derivace. Navíc, pro kovariatí derivci s torzí je výraz pro divergeci trochu složitější, viz margiálii M10.2. Vyjdeme z defiice D10.1 divergece, defiice D5.19 hustotího duálu a vyjádřeí vější derivace pomocí derivace kovariatí věta V7.20):...a `div p α a1 = ` d 1...a p 1 α a = d p)! ε 1 a 1...a d d ap+1 α ap+2...a d = d p d p)! ε 1 a 1...a d [ap+1 α ap+2...a d ] 1 = d p 1)!p+1)! a 1a 1...ad p+1 ` ε ε b1...b p+1 a p+2...a d α b 1...b p+1 = ` d [d] ap+1 δ a 1...a p+1 c p+2...c d p+1 b 1...b p+1 c p+2...c d α b 1...b p+1 = α a 1...a p. M10.2 Divergece a derivaci s torzí Pro kovariatí derivaci s torzí se vztah k divergeci mírě komplikuje. Pro p 1 platí div α ) a1...ap = k α a1...apk + T k α a1...apk 1) p p 2 T [a1 kl α a2...ap]kl. Pro p = 0 posledí čle vymizí. Při alterativí volbě zaméek lze s výhodou užít jié pořadí idexů d α ) a1...ap = k α ka1...ap + T k α ka1...ap p 2 T [a1 kl α kl a2...ap]. Tyto vztahy odvodíme rozkladem kovariatí derivace a její beztorzí část a pseudoderivaci determiovaou torzí podle lemmatu V7.15 a užitím věty V10.9.

7 Derivace hustot a itegrálí věty 10 7 V závěru jsme použili vlastosti tezoru orietace vztah ii) věty V5.6) a atisymetrické jedotky věta V1.2). Užitím souřadicové kovariatí derivace dostaeme vyjádřeí divergece a rotace pomocí souřadic: Lemma V10.10 Divergece a rotace v souřadicích) Pro tezorovou hustotu α stupě p + 1 platí div α ) 1... p = α 1... p,, div) tj. div α = α 1...p, x... 1 x d d x. p Pro rotaci atisymetrické formy ω stupě d p 1 dostaeme rõt ω) 1...p = σ ω p+2... d, p+1, rot) p+1 1,... p kde hodoty idexů p+2,..., d jsou jedozačě dáy podmíkou, že jsou růzé od hodot idexů 1,..., p+1 a jsou uspořádaé podle velikosti, tj. p+2 < < d. Zaméko σ je zaméko permutace všech idexů 1,..., d vůči d-tici 1, 2,..., d. Prví vztah je přímé užití souřadicové kovariatí derivace ve větě V10.9. Druhý vztah pak plye ze souřadicového vyjádřeí vější derivace viz lemma V4.1) a tezoru orietace vztah iv) v lemmatu V5.6). Dále se obraťme k druhým kovariatím derivacím hustot. Věta V10.11 Operátor křivosti a hustotách) Komutátor druhé kovariatí derivace je dá operátorem křivosti k l l k + T kl = R kl, který a hustotách působí jako pseudoderivace pro hustotu a váhy w lze psát R kl a = w r kl a. Tezor křivosti r kl derivace a H M lze explicitě vyjádřit jako r kl = d k o 1 l o ), kde o je libovolá hustota váhy 1. To že komutátor působí a hustotách jako pseudoderivace se dokazuje stejě jako obdobé tvrzeí platé pro tečé tezory lemma V7.21). Akce operátoru křivosti a hustoty je pak dáa větou V10.6, kde r kl charakterizuje akci a hustotách váhy 1. Vyjádřeí tezoru r kl dostaeme, rozepíšeme-li vější derivaci pomocí kovariatí derivace věta V7.20 či margiálie M7.7), použijeme Leibizovo pravidlo a pravidlo pro derivováí mociy: d k`o 1 l o = k`o 1 l o l`o 1 k o + T kl o 1 o = o 1` k l o l k o + T kl o o 2` k o) l o) l o) k o) = o 1 R kl o = r kl. Pokud je působeí kovariatí derivace a hustotách dáo rozšířeím derivace z tečého prostoru, dostaeme i rozšířeí tezoru křivosti. M10.3 Derivace aihilující hustotu Podle 10.3) souřadicová kovariatí derivace aihiluje souřadicový objemový elemet d d x. Je přirozeé se ptát, zda ke každé hustotě a existuje kovariatí derivace, která ji ailihuje. Odpověď je kladá. Nechť je libovolá souřadicová derivace, pomocí které defiujeme 1-formu λ = a 1 a. Pak beztorzí kovariatí derivace lišící se od rozdílovým tezorem Γkl = 1 δ d + 1 k λ l + δ ) l λ k, tj. = + tes[γ], zachovává hustotu a: a = 0. Díky Tor[ ] = 0 a symetrii Γ okamžitě dostáváme torzi derivace T = 0, aplikací vět V10.11 a V10.12 a hustotu a pak podmíku a Riemaův tezor R kl = 0. *) Můžeme si položit i opačou otázku: kdy k daé beztorzí kovariatí derivaci existuje hustota, která je touto derivací aihilováa? Odpověď je alespoň lokálě, a topologicky jedoduchých oblastech) dáa právě podmíkou *). Již jsme ukázali, že se jedá o podmíku utou. Předpokládejme yí, že je tato podmíka splěa. Podle věty V10.11 tak pro libovolou hustotu o váhy 1 máme d o 1 o ) = 0. Podle Poicareho lemmatu V4.5 musí a topologicky jedoduché oblasti) existovat fukce, azvěme ji log f, taková že o 1 o = d log f = f 1 df. Dostáváme tak, že hustota fo je derivací aihilováa: fo) = 0.

8 Derivace hustot a itegrálí věty 10 8 Věta V10.12 Riemaův tezor působící a hustotách) Pro kovariatí derivaci idukovaou z tečého prostoru je operátor křivosti dá Riemaovým tezorem, tj. a hustotách váhy w působí: R kl o = w TrR kl o. Připomeňme, že TrR kl = R kl Pozámka Obdobě jako pro operátor křivosti působící a tečém prostoru viz defiice D7.21 a D7.22 a větu V7.23) budeme užívat též operátor Ra, b) = a k b l R kl = a b a b [a, b], pro který platí Ra, b) o = tes[ra, b)] o = w Ra, b) o. Vztahy mezi komutátory a operátory křivosti kopírují obdobé vztahy a tečém prostoru viz defiice D7.21, D7.22 a větu V7.23. Operátor křivosti a tečém prostoru je pseudoderivace dáa Riemaovým tezorem. Její rozšířeí a hustoty je dáo větou V10.6. Nakoec ukážeme vztah mezi Laplaceovým operátorem vytvořeým pomocí kovariatí derivace a vějším Laplaceovým operátorem zavedeým v defiici D10.3. Platí Věta V10.13 Weitzeböckova idetita) Mějme varietu s metrikou g. Nechť 2 = g ab a b je Laplaceův operátor defiovaý pomocí metrické kovariatí derivace a je vější Laplaceův operátor z defiice D10.3. Pro vější formu ω stupě p platí tzv. Weitzeböckova idetita ω a1...a p = 2 ω a1...a p + p Ric [a1 ω a 2...a p] p p 1) R m[a1a 2 2 ω m a 3...a p]. Podle 10.1) k určeí ω potřebujeme vyčíslit div d ω a d div ω. Použitím věty V10.9 a vyjádřeím vější derivace pomocí kovariatí věta V7.20) a vlastosti atisymetrizace dostaeme `div d ω = d a 1...a a1 ω a2...a p p = 1) p 2 ω a1...a p 1) k ak ω a1... a p. Obdobě d a1`div ω a 2...a p = d a1 ω a2...a p = 1) k ak ω a1... a p Vidíme, že pro ω = 1) p+1 div d ω d div ω) dostáváme 2 ω plus čle, který budeme dále upravovat: 1) p 1) k g aˆ a ak ak a ωa1... a p = 1) p+k g a R aak ω a1... a p..

9 Derivace hustot a itegrálí věty 10 9 Zde jsme zaměili komutátor beztorzí kovariatí derivace operátorem křivosti. Akce operátoru křivosti a ω je součtem zúžeí Riemaova tezoru s každým idexem formy ω. Rozdělíme sčítace a ty se zúžeým idexem před a po chybějícím idexu a k a a sčítaec odpovídající idexu. Dostaeme k 1 X 1) p+k R m a k al ω a1...a l 1 m... a p l=1 + + {z} 1) p+k R m a k ω a1...a p = X 1) k+l+1 R m a l ak ω a1...a p m + X k, l k, l 1 l<k p,a l 1) p+k Ric m a k ω a1...a p m. m 1 k<l p l=k+1 1) p+k R m a k al ω a1... 1) k+l R a k m al ω a1...a p m,a l {z} ma l+1... a p Zde jsme v prví sumě využili symetrii Riemaova tezoru vůči záměě prvího a druhého páru idexů a s pomocí atisymetrie ω jsme prokomutovali idex m a předposledí pozici. V posledím čleu jsme vedle symetrií Riemaova tezoru užili defiic Ricciho tezoru. Nyí v prví sumě zaměíme idexy m a a sčítací idexy k a l a tak s využitím atisymetrie ω v idexech m a zjistíme, že obě sumy jsou totožé. Dohromady dostáváme: 2 X k, l 1 k<l p 1) k+l+1 R m a k al ω a1...a p,a l m + 1) k Ric m a k ω ma1...a p = 2 p! 2!p 2)! Rm p! [a 1 a2 ω a3...a p]m 1!p 1)! Ric m[a 1 ω m a 2...a p], přičemž jsme použili rozpis vějšího ásobeí pomocí atisymetrizace defiice D4.2) a pomocí vztahů z margiálie M4.2. Zbývá ám tedy dokázat 2 R m [a 1 a2 ω a3...a p]m = R m[a1 a 2 ω m a 3...a p]. *) Teto vztah plye ze symetrií Riemaova tezoru a prví Biachiho idetity viz věta V7.28) zúžeé ve dvou idexech s atisymetrickou tezorem 0 = `R mab + R mab + R mba σm = R mab σ m `R mab R amb σm. Užitím atisymetrie v m dostaeme tvrzeí *) a po dosazeí i dokočeí celého důkazu.

10 Derivace hustot a itegrálí věty Itegrálí věty Tato podkapitola je eúplá obsahuje pouze zěí ěkolika podob itegrálích vět bez dalších kometářů. Podkapitola bude časem rozšířea. Věta V10.14 Gaussova Stokesova věta pro formy) ω A d 1 M Ω M dω = ω. ω A d p M, N je podvarieta M dimeze dim N = d p + 1 dω N = ω. Ω N Věta V10.15 Stokesova věta) ω A d p M, N je podvarieta M dimeze dim N = d p + 1 Ω N ) a1...a p 1 rõt ω dsn a1...a p 1 = ω ap+1...a d dσ ap+1...a d Věta V10.16 Gaussova věta) α Sect Λ p x M, N je podvarieta M dimeze dim N = d p + 1 Ω N ) a1...a p 1 div α dsn a1...a p 1 = α a1...ap. ds a1...a p. Příklad P10.1 Speciálí případy) Newtoův vzorec p = d, γ ohraičeá křivka v M, dim γ = 1, dim γ = 0, f FM Z = ˆf df γ γ γ 10.5) Stokesova věta p = d 1, S ohraičeá plocha v M, dim S = 2, dim S = 1, ω A 1 M Z Z rõt ω) dss = ω dσ S 10.6a) S Z S Z = dω S ω S S S 10.6b) Gaussova věta p = 1, Ω ohraičeá oblast v M, dim Ω = d, dim = d 1, α Sect Λ 1 x M Z Z div α = α ds 10.7) Ω