VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ"

Transkript

1 VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ (1) Trezor má 6 otočných zámků s číslicemi 0 9. O kódu víme pouze to, že v něm žádná z číslic není dvakrát. O kolik možných nastavení se může jednat? Analogicky odvoďte obecné řešení. (2) Trezor má k otočných zámků s n znaky. O kódu víme pouze to, že se v něm žádný znak neopakuje dvakrát. O kolik možných nastavení se může jednat? Z řešení předchozího příkladu vyplývá: k- členná variace z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý prvek vyskytuje nejvýše jednou. Označujeme ji V(k;n). Počet V(k;n) všech k-členných variací z n prvků je: V(k;n) = (3) K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté. a) Určete počet vlajek, které lze z látek těchto barev sestavit. b) Kolik z těchto vlajek bude mít žlutý pruh nahoře? c) Kolik z těchto vlajek bude mít žlutý pruh? d) Kolik z těchto vlajek nebude mít dole modrý pruh? (4) Určete počet všech šesticiferných čísel, jejichž dekadickém zápisu se každá z číslic vyskytuje nejvýše jednou. Kolik z těchto číslic je menších než ?

2 (5) O telefonním čísle spolužáka jste ji zapamatovali pouze, že je devítimístné, začíná trojkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné pětadvaceti. Určete, kolik telefonních čísel připadá v úvahu. (6) každému maximálně jednu hodinu denně, má-li se skládat z osmi vyučovacích hodin a jedné hodiny volna. která může nastat až po prvních čtyřech vyučovacích hodinách. která může nastat až po prvních čtyřech vyučovacích hodinách, a první hodinu má být matematika. která může nastat až po prvních čtyřech vyučovacích hodinách, a matematika nemá být po čtvrté vyučovací hodině.

3 (7) Turnaje ve skoku do dálky se účastní 30 sportovců. Kolik možných variant může nastat při závěrečném ceremoniálu na stupních vítězů? (8) Pětadvaceti členná třída, v níž je 10 dívek a 15 chlapců si mezi sebou volí: mluvčího třídy, službu na třídnici, pokladníka a nástěnkáře. a) Kolika způsoby lze vybrat mluvčího třídy, službu na třídnici, pokladníka a nástěnkáře? b) Kolika způsoby je lze vybrat, aby jednu funkci měla dívka? c) Kolika způsoby je lze vybrat, aby alespoň jednu funkci měla dívka? d) Kolika způsoby je lze vybrat, aby mluvčí třídy byl hoch? e) Kolika způsoby je lze vybrat, aby mluvčí třídy byl hoch a pokladník dívka? f) Kolika způsoby je lze vybrat, aby mluvčí třídy byl hoch a pokladník dívka či obráceně? (9) Určete počet prvků, z nichž lze utvořit 240 dvoučlenných variací?

4 (10) Určete počet prvků, z nichž lze utvořit dvakrát více čtyřčlenných variací než tříčlenných variací. (11) Určete počet všech pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer 0, 1, 3, 4, 5, 7, 9. Určete počet všech sudých pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer 0, 1, 3, 4, 5, 7, 9. (12) Určete počet všech přirozených nejvýše pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer: 1, 3, 4, 5, 7, 9. Určete počet všech přirozených nejvýše pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer: 0, 1, 3, 4, 5, 7, 9.

5 VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ (řešení) (1) Trezor má 6 otočných zámků s číslicemi 0 9. O kódu víme pouze to, že v něm žádná z číslic není dvakrát. O kolik možných nastavení se může jednat? počty možností na každém zámku Celkem = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = Analogicky odvoďte obecné řešení. (2) Trezor má k otočných zámků s n znaky. O kódu víme pouze to, že se v něm žádný znak neopakuje dvakrát. O kolik možných nastavení se může jednat? n n-1 n-2 n-3 n-4 n-5 n-k+1 k zámků celkem = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4).(n-k+1) součin k čísel Z řešení předchozího příkladu vyplývá: k- členná variace z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý prvek vyskytuje nejvýše jednou. Označujeme ji V(k;n). Počet V(k;n) všech k-členných variací z n prvků je: V(k;n) = n(n-1)(n-2)(n-3) (n-k+1) (3) K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté. a) Určete počet vlajek, které lze z látek těchto barev sestavit. celkem = V(3;5) =5 x 4 x 3 = 60 b) Kolik z těchto vlajek bude mít žlutý pruh nahoře? celkem = V(2;4) = 4 x 3 = 12 c) Kolik z těchto vlajek bude mít žlutý pruh? celkem = 3 x (2;4) = 36 d) Kolik z těchto vlajek nebude mít dole modrý pruh? celkem = V(3;5) V(2;4) = = 48 (4) Určete počet všech šesticiferných čísel, jejichž dekadickém zápisu se každá z číslic vyskytuje nejvýše jednou. 1 9 kamkoliv, 0 kamkoliv kromě prvního místa 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = neboli 9 x V(5;9) = Kolik z těchto číslic je menších než ? 2 x V(5;9) = 2 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =

6 (5) O telefonním čísle spolužáka jste ji zapamatovali pouze, že je devítimístné, začíná trojkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné pětadvaceti. Určete, kolik telefonních čísel připadá v úvahu V(6;7) = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = V(6;7) = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = V(6;7) = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = celkem = 3 x V(6;7) = (6) každému maximálně jednu hodinu denně, má-li se skládat z osmi vyučovacích hodin a jedné hodiny volna. volné hodiny nebývají na začátku (první) ani na konci (poslední) V(9;14) 2 x V(8;13) = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 2 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = x = která může nastat až po prvních čtyřech vyučovacích hodinách. volné hodiny (VH) nebývají na začátku (první) ani na konci (poslední) 13 x 12 x 11 x 10 x 1(VH) x 9 x 8 x 7 x 6 = V(8;13) = x 12 x 11 x 10 x 9 x 1(VH) x 8 x 7 x 6 = V(8;13) 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 1(VH) x 7 x 6 = V(8;13) 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 1(VH) x 6 = V(8;13) celkem = 4 x V(8;13) = která může nastat až po prvních čtyřech vyučovacích hodinách, a první hodinu má být matematika. volné hodiny (VH) nebývají na začátku (první) ani na konci (poslední) 1(MA) x 12 x 11 x 10 x 1(VH) x 9 x 8 x 7 x 6 = V(7;12) = (MA) x 12 x 11 x 10 x 9 x 1(VH) x 8 x 7 x 6 1(MA) x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 1(VH) x 7 x 6 1(MA) x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 1(VH) x 6 celkem: 4 x V(7;12) = která může nastat až po prvních čtyřech vyučovacích hodinách, a matematika nemá být po čtvrté vyučovací hodině. 1(MA) x 12 x 11 x 10 x 1(VH) x 9 x 8 x 7 x 6 = V(7;12) = a totéž pro volné hodiny po 5., 6., 7. hodině 12 x 1(MA) x 11 x 10 x 1(VH) x 9 x 8 x 7 x 6 = V(7;12) = a totéž pro volné hodiny po 5., 6., 7. hodině 12 x 11 x 1(MA) x 10 x 1(VH) x 9 x 8 x 7 x 6 = V(7;12) = a totéž pro volné hodiny po 5., 6., 7. hodině 12 x 11 x 10 x 1(MA) x 1(VH) x 9 x 8 x 7 x 6 = V(7;12) = a totéž pro volné hodiny po 5., 6., 7. hodině celkem = 4 x 4 x V(7;12) =

7 (7) Turnaje ve skoku do dálky se účastní 30 sportovců. Kolik možných variant může nastat při závěrečném ceremoniálu na stupních vítězů? V(3;30) = 30 x 29 x 28 = (8) Pětadvaceti členná třída, v níž je 10 dívek a 15 chlapců si mezi sebou volí: mluvčího třídy, službu na třídnici, pokladníka a nástěnkáře. a) Kolika způsoby lze vybrat mluvčího třídy, službu na třídnici, pokladníka a nástěnkáře? V(4;25) = 25 x 24 x 23 x 22 = b) Kolika způsoby je lze vybrat, aby jednu funkci měla dívka? dívka - mluvčí: V(3;15) = 15 x 14 x 13 = totéž pro jinou funkci každá dívka může mít funkci celkem = 10 x 4 x V(3;15) = c) Kolika způsoby je lze vybrat, aby alespoň jednu funkci měla dívka? V(4;25) V(4;15) = = (odečítáme možnosti, kdy mají funkce pouze hoši) Kolika způsoby je lze vybrat, aby mluvčí třídy byl hoch? 15 x V(3,24) = 15 x 24 x 23 x 22 = (15 možností na mluvčího) d) Kolika způsoby je lze vybrat, aby mluvčí třídy byl hoch a pokladník dívka? 15 x 10 x V(2,23) = 150 x 23 x 22 = (15 možností na mluvčího, 10 na pokladnici) e) Kolika způsoby je lze vybrat, aby mluvčí třídy byl hoch a pokladník dívka či obráceně? 2 x 15 x 10 x V(2,23) = (9) Určete počet prvků, z nichž lze utvořit 240 dvoučlenných variací? V(2;n) = 240 n(n-1) = 240 n 2 n 240 = 0 n = 16 a (-15) počet prvků je 16

8 (10) Určete počet prvků, z nichž lze utvořit dvakrát více čtyřčlenných variací než tříčlenných variací. V(4;n) = 2 x V(3;n) n(n-1)(n-2)(n-3) = 2n(n-1)(n-2) n 3 = 2 n = 5 počet prvků je 5 (11) Určete počet všech pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer 0, 1, 3, 4, 5, 7, 9. V(5;7) V(4;6) = Určete počet všech sudých pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer 0, 1, 3, 4, 5, 7, 9. na konci 0 V(4;6) = 360 na konci 4 V(4;6) V(3;5) = = 300 celkem = 660 (12) Určete počet všech přirozených nejvýše pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer: 1, 3, 4, 5, 7, 9. V(1;6) = 6 V(2;6) = 6 x 5 = 30 V(3;6) = 6 x 5 x 4 = 120 V(4;6) = 6 x 5 x 4 x 3 = 360 V(5;6) = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 720 celkem = Určete počet všech přirozených nejvýše pěticiferných čísel s různými číslicemi, která lze sestavit z cifer: 0, 1, 3, 4, 5, 7, 9. V(1,6) = 6 V(2;7) V(1;6) = 7 x 6 6 = 36 V(3;7) V(2;6) = 7 x 6 x 5 6 x 5 = 180 V(4;7) V(3;6) = 7 x 6 x 5 x 4 6 x 5 x 4 = 720 V(5;7) V(4;6) = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 6 x 5 x 4 x 3 = celkem = 3 102

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál.

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál. Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin

Více

A 2.C. Datum: 13.5.2010

A 2.C. Datum: 13.5.2010 Jméno: Řešení Datum: 13.5.2010 A 2.C 1) Vojenskou kolonu budou tvořit dva terénní vozy UAZ, tři auta Praga V3S a čtyři Tatry 138. Kolika způsoby lze kolonu seřadit, jestliže: a) Na pořadí vozidel nejsou

Více

9) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel,

9) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, Kombinatorika konzultační příklady 1) Z města A do města B vedou 2 cesty. Z města B do města C vedou 3 cesty. Kolika způsoby lze dojít z města A do města C? 2) Určete počet všech přirozených trojciferných

Více

kombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková

kombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková 1) Děti z hudební školy Písnička, mezi nimiž byla i dvojčata Dita a Zita, psaly v rámci hudební nauky písemnou práci z not. Kolik možností oznámkování mohla

Více

Příklad 1. Řešení 1a ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 3 Příklad 1 a) Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, v jejichž desítkovém zápisu se vyskytuje každá číslice nejvýše jednou s tím, že na prvním místě nesmí stát nula, jak je obvyklé při chápání

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol VARIACE

Více

Kombinatorika, základní kombinatorická pravidla, pravidlo součtu, pravidlo součinu

Kombinatorika, základní kombinatorická pravidla, pravidlo součtu, pravidlo součinu Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: Název projektu: Číslo projektu: Autor: Tematická oblast: Název DUMu: Kód: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Inovace výuky na GSN

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České

Více

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. Variace 1 Kombinatorika Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kombinatorika, faktoriály, kombinační

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

Teorie. Kombinatorika

Teorie. Kombinatorika Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_1_17 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování Předpoklady: 9109 Pedagogická poznámka: Tato hodina slouží jednak ke zopakování probraného, ale zejména k praktickému nácviku kombinatoriky v situaci, ve které

Více

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS) KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto

Více

Kombinatorika. 1. Variace. 2. Permutace. 3. Kombinace. Název: I 1 9:11 (1 z 24)

Kombinatorika. 1. Variace. 2. Permutace. 3. Kombinace. Název: I 1 9:11 (1 z 24) Kombinatorika 1. Variace 2. Permutace 3. Kombinace Název: I 1 9:11 (1 z 24) Název: I 1 10:02 (2 z 24) Variace Jsou to skupiny prvků, ve kterých: záleží na pořadí prvků značíme je Název: I 1 10:02 (3 z

Více

Kombinatorika možnosti využití v učivu matematiky na základní škole

Kombinatorika možnosti využití v učivu matematiky na základní škole Kombinatorika možnosti využití v učivu matematiky na základní škole Růžena Blažková, Irena Budínová Kombinatorika je matematická disciplína, která se zabývá rozdělováním, uspořádáváním, výběrem prvků z

Více

Opakovací test. Kombinatorika A, B

Opakovací test. Kombinatorika A, B VY_32_INOVACE_MAT_193 Opakovací test Kombinatorika A, B Mgr. Radka Mlázovská Období vytvoření: listopad 2012 Ročník: čtvrtý Tematická oblast: matematické vzdělávání Klíčová slova: maturita, přijímací zkoušky,

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé

Více

Pracovní list č. 4 Počítáme s pravděpodobností

Pracovní list č. 4 Počítáme s pravděpodobností racovní list č. 4 očítáme s pravděpodobností Cíl cvičení: Tento pracovní list je určen pro cvičení předmětu Kvantitativní metody II (přednáška 3.1). Je zaměřen především pro práci s kalkulačkou, program

Více

9.1.1 Základní kombinatorická pravidla I

9.1.1 Základní kombinatorická pravidla I 9.. Základní kombinatorická pravidla I Předpoklady: Př. : Ve třídě je 7 děvčat a 3 kluků. Kolik máme možností jak vybrat dvojici klukholka, která bude mít projev na maturitním plese? Vybíráme ze 7 holek

Více

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204 9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika 1. KOMBINATORIKA Průvodce studiem Na střední škole se někteří z vás seznámili se základními pojmy z kombinatoriky. V této kapitole tyto pojmy zopakujeme a prohloubíme vaše znalosti. Předpokládané znalosti

Více

Přirozená čísla. Přirozená čísla jsou množinou čísel, která udává počet počítaných objektů

Přirozená čísla. Přirozená čísla jsou množinou čísel, která udává počet počítaných objektů Přirozená čísla Přirozená čísla jsou množinou čísel, která udává počet počítaných objektů ( osob, zvířat, věcí). Číslo 0 mezi přirozená čísla nepatří. Množinu přirozených čísel označujeme N N = {1, 2,

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

9.1.8 Kombinace I. Předpoklady: 9107

9.1.8 Kombinace I. Předpoklady: 9107 9.1.8 Kombinace I Předpoklady: 9107 Př. 1: Urči, kolika způsoby je možné ze třídy s 1 studenty vybrat dva zástupce do studentské rady (bez rozlišení funkce). Vybíráme dvojici z 1 studentů: 1. student 1

Více

5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů?

5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů? 0. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Kombinatorika ) V restauraci mají na jídelním lístku 3 druhy polévek, 7 možností výběru hlavního jídla, druhy moučníku. K pití si lze objednat kávu, limonádu

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Při řešení mnoha praticých problémů se setáváme s úlohami, ve terých utváříme supiny z prvů nějaé onečné množiny Napřílad máme sestavit rozvrh hodin z daných předmětů, potřebujeme

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s

Více

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení 2. intermezzo - Tucet dalších příkladů. Příklad 1: Čtyři studenti jisté vysoké školy skládají zkoušku z matematiky. Kolik existuje případů, že každý z nich bude mít jinou známku? Počítejte s čtyřstupňovou

Více

9.1.6 Permutace I. Předpoklady: 9101, 9102, 9104

9.1.6 Permutace I. Předpoklady: 9101, 9102, 9104 9.1.6 Permutace I Předpoklady: 9101, 9102, 9104 Pedagogická poznámka: První tři příklady jsou opakování, je možné je přeskočit, nebo použít na zkoušení. Př. 1: Vyřeš slovní úlohy. a) Na plese se losuje

Více

POSLOUPNOSTI. 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2

POSLOUPNOSTI. 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2 POSLOUPNOSTI 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2 n+1n, d) a n = n! n n 2. 2. Najděte předpis pro n-tý člen

Více

Variace. Mocniny a odmocniny

Variace. Mocniny a odmocniny Variace 1 Mocniny a odmocniny Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Mocniny a odmocniny Obor přirozených

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly METODICKÝ LIST DA6 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost dělitel a násobek, sudá a lichá čísla, prvočísla a čísla složená Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky:

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Autor Tematická oblast Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Elementární teorie čísel. Ročník 1. Datum

Více

Prvočísla a čísla složená

Prvočísla a čísla složená Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

Více

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít 0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ Čas ke studiu kapitoly: 30 minut Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít základní pojmy kombinatoriky vztahy pro výpočet kombinatorických úloh - 6 -

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 125 N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l e a k t i v n ě

N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 125 N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l e a k t i v n ě N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 125 N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l e a k t i v n ě - i n t e r a k t i v n ě Č í s l o p r o j e k t u

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Sbírka úloh z kombinatoriky

MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Sbírka úloh z kombinatoriky MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fakulta Bakalářská práce z matematiky Sbírka úloh z kombinatoriky pro středoškoláky Brno 2007 Petr Šurek Prohlášení: Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta:

Kód uchazeče ID:... Varianta: Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 01 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 1. Mějme dvě čísla zapsaná v sedmičkové soustavě 3456 7 a 3310 7. Vyjádřete

Více

Mgr. Marcela Sandnerová

Mgr. Marcela Sandnerová Mgr. Marcela Sandnerová Základní kombinatorická pravidla Kombinatorické pravidlo součinu Kombinatorické pravidlo součtu Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 1 Kolika způsoby si může Pavel připravit

Více

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově METODICKÉ LISTY výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02.0005 Sada metodických listů: KABINET MATEMATIKY Název metodického

Více

CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13

CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 1 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník. Jakou část obsahu kruhu

Více

pravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků

pravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: Název projektu: Číslo projektu: Autor: Tematická oblast: Název DUMu: Kód: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Inovace výuky na GSN

Více

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina:

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina: KMA/MAT1 Matematika 1 Přednáška č. 2 Jiří Fišer 26. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 26. září 2016 1 / 24 Součin, podíl a mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru Dvě nenulová

Více

jsou všechna reálná čísla, pro která platí: E: x ( ; 2) (2; )

jsou všechna reálná čísla, pro která platí: E: x ( ; 2) (2; ) Příklad 1. Kolik sudých přirozených čísel lze vytvořit z číslic 0, 3, 6, 9, jestliže se žádná číslice neopakuje? A: 14 B: 18 C: 26 D: 30 E: 22 Příklad 2. Definičním oborem funkce y = 1 x x 2 4 jsou všechna

Více

Doplňkové materiály k učebnici matematiky pro gymnázia

Doplňkové materiály k učebnici matematiky pro gymnázia Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Bc. Lenka Balounová Doplňkové materiály k učebnici matematiky pro gymnázia Diplomová práce Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jiří Herman, PhD. Brno 010 Na tomto

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta: b. 1. Z původní ceny byl výrobek zlevněn o 10 % a potom ještě o 8 % nové ceny.

Kód uchazeče ID:... Varianta: b. 1. Z původní ceny byl výrobek zlevněn o 10 % a potom ještě o 8 % nové ceny. Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 014 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 35 1. Z původní ceny byl výrobek zlevněn o 10 % a potom ještě o 8 % nové ceny.

Více

Kombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky

Kombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky Kombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky Jiří Fišer 30.zářía5.října2010 JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října2010 1/12 Variacek-tétřídyznprvků: = uspořádanéskupinyokprvcíchvybranýchznprvků.

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků dělitelnosti

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků dělitelnosti METODICKÝ LIST DA8 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost dělitelnost čtyřmi, šesti, osmi a devíti Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky:

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

II. kolo kategorie Z5. Z čísel a vyškrtneme celkem 5 číslic. Pak od většího z takto vzniklých

II. kolo kategorie Z5. Z čísel a vyškrtneme celkem 5 číslic. Pak od většího z takto vzniklých II. kolo kategorie Z5 Z5 II 1 Z čísel 959 362 a 192 075 vyškrtneme celkem 5 číslic. Pak od většího z takto vzniklých čísel odečteme číslo menší. Jaký nejmenší rozdíl můžeme dostat? Řešení. Z jednoho čísla

Více

FVL UO, Brno 2016 str. 1

FVL UO, Brno 2016 str. 1 Příklad 1. Z uvedených možností vyerte tu, která odpovídá dané větě (je s danou větou ekvivalentní): Nesložím zkoušku neo půjdu na ples. A: Nesložím zkoušku neo nepůjdu na ples. B: Nesložím zkoušku a nepůjdu

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:

Více

Počítání s neúplnými čísly 1

Počítání s neúplnými čísly 1 Aproximace čísla A: Počítání s neúplnými čísly 1 A = a ± nebo A a, a + Aproximace čísla B: B = b ± β nebo B b β, b + β nebo a A a+ nebo b β B b + β Součet neúplných čísel odvození: a + b β A + B a+ + (b

Více

DĚLITEL A NÁSOBEK DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL VY_32_INOVACE_TR_01-20_MA-6. autor Hana Trundová. vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

DĚLITEL A NÁSOBEK DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL VY_32_INOVACE_TR_01-20_MA-6. autor Hana Trundová. vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Základní škola, Šlapanice, okres Brno-venkov, příspěvková organizace Masarykovo nám. 1594/16, 664 51 Šlapanice www.zsslapanice.cz MODERNÍ A KONKURENCESCHOPNÁ ŠKOLA reg. č.: CZ.1.07/1.4.00/21.2389 DĚLITEL

Více

N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 1 2 5, R A P O T Í N N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l

N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 1 2 5, R A P O T Í N N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 1 2 5, R A P O T Í N N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l e a k t i v n ě - i n t e r a k t i v n ě Č í s l o

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dělitelnost Rozklad na součin prvočísel. Dušan Astaloš

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dělitelnost Rozklad na součin prvočísel. Dušan Astaloš METODICKÝ LIST DA10 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost Rozklad na součin prvočísel Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti:

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 015 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 1 1. Původní cena knihy byla 50 Kč. Pak byla zdražena o 15 %. Jelikož nešla

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu Označení materiálu Název školy Autor Tematická oblast Ročník Anotace Metodický pokyn Zhotoveno CZ.1.07/1.5.00/34.0061 VY_42_INOVACE_M.2.01 Integrovaná střední škola

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209 9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

2 Důkazové techniky, Indukce

2 Důkazové techniky, Indukce Důkazové techniky, Indukce Náš hlubší úvod do matematických formalismů pro informatiku začneme základním přehledem technik matematických důkazů. Z nich pro nás asi nejdůležitější je technika důkazů matematickou

Více

Kritéria dělitelnosti

Kritéria dělitelnosti Kritéria dělitelnosti Jaroslav Zhouf, Pedf UK Praha Kritéria dělitelnosti slouží k rozhodování o tom, zda je určité přirozené číslo n dělitelné určitým přirozeným číslem k. Každé takové kritérium se snaží

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Časová náročnost této hodiny je podobná hodině předchozí. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou definici. Definice

Více

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické

Více

(1) Nové cvičení využívající aplikační SW NIS Z.Szabó, 2007/08. Evidence pacienta od vstupu do nemocnice po propuštění

(1) Nové cvičení využívající aplikační SW NIS Z.Szabó, 2007/08. Evidence pacienta od vstupu do nemocnice po propuštění Evidence pacienta od vstupu do nemocnice po propuštění Příjem pacienta Po přihlášení uživatele je CareCenter nastaveno pro práci s daty pacienta s aktuální epizodou. Zavřete tabulku pro výběr dat pacienta

Více

Pravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:

Pravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web: Pravd podobnost a statistika - cvi ení Simona Domesová simona.domesova@vsb.cz místnost: RA310 (budova CPIT) web: http://homel.vsb.cz/~dom0015 Cíle p edm tu vyhodnocování dat pomocí statistických metod

Více

Gymnázium Chotěboř Adresa: 583 01 Chotěboř, Jiráskova 637 Tel.: 569669361, 775669361 www: www.gch.cz, e-mail: gch@gch.cz

Gymnázium Chotěboř Adresa: 583 01 Chotěboř, Jiráskova 637 Tel.: 569669361, 775669361 www: www.gch.cz, e-mail: gch@gch.cz Gymnázium Chotěboř Adresa: 583 01 Chotěboř, Jiráskova 637 Tel.: 569669361, 775669361 www: www.gch.cz, e-mail: gch@gch.cz Přijímací zkouška z matematiky (osmileté studium) 1. termín 22. 4. 2014 Hledá se

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU

Více

Matematická olympiáda ročník ( ) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Z5 II 2 Z5 II 3

Matematická olympiáda ročník ( ) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Z5 II 2 Z5 II 3 1 of 6 20. 1. 2014 12:14 Matematická olympiáda - 49. ročník (1999-2000) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Jirka půjčil Mirkovi předevčírem přibližně 230 Kč, tj. 225

Více

Úvodní část: Představení se a úloha na zjištění kolik nám je let.

Úvodní část: Představení se a úloha na zjištění kolik nám je let. Anežka Pekárková, Romana Bredová Výuka 12.10.2011, sudý týden Cíl: Procvičit sčítání a odčítání v různých prostředích Úvodní část: Představení se a úloha na zjištění kolik nám je let. ÚLOHA: Od čísla 100

Více

1.5.2 Číselné soustavy II

1.5.2 Číselné soustavy II .. Číselné soustavy II Předpoklady: Př. : Převeď do desítkové soustavy čísla. a) ( ) b) ( ) 4 c) ( ) 6 = + + + = 7 + 9 + = a) = 4 + 4 + 4 = 6 + 4 + = 9 b) 4 = 6 + 6 + 6 = 6 + 6 + = 6 + + = 69. c) 6 Pedagogická

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky. Bakalářská práce. Dagmar Štěbrová. Kombinatorika ve škole

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky. Bakalářská práce. Dagmar Štěbrová. Kombinatorika ve škole UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Bakalářská práce Dagmar Štěbrová Kombinatorika ve škole Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a přírodopis se zaměřením na vzdělávání

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

3 Množiny, Relace a Funkce

3 Množiny, Relace a Funkce 3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli

Více

Český tenisový svaz. 1. Pravidla pro kategorie MINITENIS a BABYTENIS. 2. Soutěžní řád pro kategorie MINITENIS a BABYTENIS

Český tenisový svaz. 1. Pravidla pro kategorie MINITENIS a BABYTENIS. 2. Soutěžní řád pro kategorie MINITENIS a BABYTENIS Český tenisový svaz 1. Pravidla pro kategorie MINITENIS a BABYTENIS 1.1. Pravidla minitenisu 1.2. Pravidla babytenisu 2. Soutěžní řád pro kategorie MINITENIS a BABYTENIS 2.1. Společná ustanovení pro soutěže

Více

Kombinatorika. Irina Perfilieva. 19. února logo

Kombinatorika. Irina Perfilieva. 19. února logo Kombinatorika Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 19. února 2008 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických

Více

1. Základní poznatky z matematiky

1. Základní poznatky z matematiky . Základní poznatky z matematiky. Určete opačné číslo k číslu (3 5). a) 8 b) 8 c) 8 d) 8. Čísla,, 0, 3,, 8 9, seřaďte od největšího k nejmenšímu. a), 3,, 8 9,, 0, b), 3,, 8 9,, 0, c) 3,,, 8 9,, 0, d),,

Více

Číslování a číslovací plány v telefonní síti

Číslování a číslovací plány v telefonní síti EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Číslování a číslovací plány v telefonní síti PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI Podpora kvality výuky informačních a telekomunikačních technologií ITTEL CZ.2.17/3.1.00/36206

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Tato hodina zabere opět minimálně 70 minut. Asi ji čeá rozšíření na dvě hodiny. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou

Více

MATEMATIKA 9 Přijímací zkoušky na nečisto

MATEMATIKA 9 Přijímací zkoušky na nečisto 787 Střední průmyslová škola stavební, Hradec Králové, Pospíšilova tř. MATEMATIKA 9 Přijímací zkoušky na nečisto 7. 3. 2017 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 17 Maximální bodové hodnocení: 50

Více

MATEMATIKA V ÚPRAVĚ PRO NESLYŠÍCÍ DIDAKTICKÝ TEST 12 SP-3-T SP-3-T-A

MATEMATIKA V ÚPRAVĚ PRO NESLYŠÍCÍ DIDAKTICKÝ TEST 12 SP-3-T SP-3-T-A MATEMATIKA V ÚPRAVĚ PRO NESLYŠÍCÍ DIDAKTICKÝ TEST 12 SP-3-T SP-3-T-A Obsah testového sešitu je chráněn autorskými právy. Jakékoli jeho uži, jakož i uži jakékoli jeho čás pro komerční účely či pro jejich

Více

Základní kombinatorické principy

Základní kombinatorické principy Základní kombinatorické principy 1.1 Princip bijekce je vzájemně jednoznačné přiřazení prvků dvou množin: jedna množina pro nás může být nepřehledná a vztahy v ní dokážeme těžko postihnout, zatímco druhá

Více

1.5.1 Číselné soustavy

1.5.1 Číselné soustavy .. Číselné soustavy Předpoklady: základní početní operace Pedagogická poznámka: Tato hodina není součástí klasické gymnaziální sady. Upřímně řečeno nevím proč. Jednak se všichni studenti určitě setkávají

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Znaky dělitelnosti - Procvičování. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Znaky dělitelnosti - Procvičování. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce METODICKÝ LIST DA11 Název tématu: Autor: Předmět: Znaky dělitelnosti - Procvičování Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky: fixační samostatná práce, případně

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Studijní program Informatika, bakalářské studium. 2015, varianta A

Studijní program Informatika, bakalářské studium. 2015, varianta A Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2015, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a,

Více