Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2007, ročník VII, řada stavební článek č.???

Transkript

1 Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Techncké unverzty Ostrava číslo, rok 007, ročník VII, řada stavební článek č.??? Petr Konečný SIMULACE KORELOVANÝCH NEPARAMETRICKÝCH ROZDĚLENÍ V RÁMCI METODY SBRA Abstrakt Příspěvek se zabývá ověřením procesu generování korelovaných neparametrckých rozdělení, hstogramů, v rámc metody SBRA (vz. [4], [3]). Proces generování korelovaných hstogramů využívá transformace korelovaných gaussových rozdělení na rozdělení obecná dle [7], [8]. Aplkovatelnost procesu e ověřena na příkladu naměřených vzorků korelované meze kluzu f y a meze pevnost f u z [9].. ÚVOD Stávaící přístup v rámc pravděpodobnostního přístupu metodou SBRA uvažue většnu proměnných, až na výmky tzv. exstenční závslost (zatížení mostovým eřábem, dvou-komponentní větrná ružce), ako vzáemně nezávslé. Publkace TERECO [3] sce uvádí stý přístup pro tvorbu korelovaných obecných rozdělení, který e ovšem z pohledu autora nedostatečný. Generování korelovaného normálního (gaussova) rozdělení e poměrně známý proces, kterým se pro účely aplkace v Anthllu zabýval rovněž Menčík [6]. Generování obecných rozdělení e ovšem náročněší oříšek. Tento problém se pro menší počet smulací podařlo vyřešt za pomoc tzv. smulovaného žíhání brňenský kolektv, kolem prof. Nováka [] a [0]. Tento přístup e ovšem pro větší počet smulací nutných pro přímou metodu Monte Carlo nevhodný, neboť e velm výpočetně náročný. Naděným přístupem se eví metoda prezentována Phoonem [7] a [8]. Tento přístup se opírá o generování obecných rozdělení na podkladě korelačních koefcentů naměřeného souboru, dstrbučních funkcí ednotlvých naměřených velčn, korelovaného normálního rozdělení a vhodné transformace normálního rozdělení na rozdělení obecné [3].. PŘÍSTUP K ŘEŠENÍ Model pro generování korelovaných rozdělení e aplkován na základě práce Phoona et all (vz. např. [7], [8]) a obohacen o přímou aplkac na dskrétní hstogram. 3. NUMERICKÝ MODEL Zstěte korelac mez daty meze kluzu a meze pevnost získaných z měření dle [9] a nasmulute 5 ts. příslušně korelovaných realzací. 3.. Načtení dat Na třech následuících obrázcích sou zobrazeny hstogram meze kluzu f y, hstogram meze pevnost f u. a vztah mez velčnam f y a f u. Tyto data odpovídaí 47 zkoušeným vzorkům dle [9]. Dle seskupení mravenště na Obr. se očekávat, že tato data budou korelována. Petr Konečný, Ing., VŠB TU Ostrava, Fakulta stavební, katedra stavební mechanky, L. Podéště 875, Ostrava- Poruba, petr.konecny@vsb.cz

2 Obr.. Hstogram meze kluzu f y [MPa], data dle [9]. Obr.. Hstogram meze pevnost f u [MPa], data dle [9].

3 Obr. 3. Korelace mez mezí kluzu f y a mezí pevnost f u [MPa], data dle [9]. 3.. Pearsonův korelační součntel Vzáemný vztah f y a f u e vyšetřen s využtím Personova korelačního součntele, zde označeného r p. r p, cov x x s s což lze dle [] vyádřt ako: p, s s N N x m x m, K, K cov x x x. x N. m. m var( x ) var( x ) x N. m x N. m r () kde sou mez kluzu f y, mez pevnost f u, x, x korelované vektory, s, s směrodatné odchylky příslušných vektorů, m, m artmetcké průměry příslušných vektorů, N e počet prvků ve vektorech a. K ()

4 Následná korelační matce potvrzue domněnku o korelac neboť korelace mez ednotlvým vektory e 0.643: R p (3) Transformace korelační matce Vzhledem k odlšnost normálního rozdělení a rozdělení obecného charakterzovaného např. hstogramem e doporučeno v [7] opravt korelační matc R p () následuícím vztahem za účelem popsu korelace ednotlvých tříd hstogramu (fraktlová korelace). r sn r p, (4) 6 Fraktlová korelace e tedy popsána následovně: R (5) Získaná korelační matce R musí splnt podmínku poztvní defntnost, aby bylo možno realzovat vektory korelovaného normálního rozdělení. Výstupy následuícího testu hledaícího tzv. egenvalues musí být větší rovny nule. R [ ] 0 eg (6) Podmínka e splněna a korelační matce R e poztvně defntní 3.4. Generování korelovaných normálních rozdělení Korelovaná normální rozdělení e možno dle [3] generovat dvěm způsoby Egen dekopozcí č dále uvedenou Choleskho faktorzací. kde Y W k n Y W Q (7) [ k, n] [ k, n] [ k, k ] e matce náhodných korelovaných realzací normálního rozdělení e matce náhodných nekorelovaných realzací normálního rozdělení počet vektorů (korelovaných proměnných) počet požadovaných realzací (počet smulací)a matce Q e Choleskho faktorzací korelační matce R splňuící podmínku QT Q = R: chol Q[, k ] R k (8) Generování korelovaných normálních rozdělení v programu Anthll [] e popsáno v Příloze. Na následuícím obrázku Obr. 4 e zobrazeno 5 ts. realzací korelovaného normálního rozdělení.

5 Obr. 4. Korelovaná normální rozdělení Y 3.5. Transformace normálního rozdělení na rozdělení rovnoměrné Získané dva vektory normálních rozdělení ež maí vhodnou korelac e potřeba transformovat na rozdělení rovnoměrné (unformní) Y F s využtím dstrbuční funkce normálního rozdělení (vz. např. []): Y F =.5 Y 0 erf (9) kde erf e tak zvaná error functon ž lze vypočítat numercky, č rozvnout pomocí vhodného polynomu (pro obor Y F <-.5;.5> např x x x x x x x x x x erf x x (0) Dstrbuční funkce normálního rozdělení e rozdělení rovnoměrné, které e vhodné pro generování obecného rozdělení, např. hstogramu. Toto rozdělení Y F e zobrazeno na Obr. 5 (rozdělení pro. vektor realzací Y F vypadá obdobně). Korelace dvou rovnoměrných rozdělení e zobrazena na Obr. 6. Rozsah ntervalu a pravdelná schodovtost rozdělení bude vysvětleno dále.

6 Obr. 5. Upravené rovnoměrné rozdělení získané z normálního transformací dle (9) Poznámka: Schodovtost rozdělení e pravděpodobně dána nevhodným zvoleným počtem tříd pro grafcké zobrazení rozdělení a nemá vlv na kvaltu procesu, ak naznačue další obrázek. Obr. 6. Korelovaná rovnoměrná rozdělení Y F

7 3.6. Transforamce rovnoměrného rozdělení na rozdělení obecné Příslušné neparametrcké rozdělení e následně získáno za pomocí nverzní transformace dstrbuční funkce hledaného rozdělení dle vztahu: X F () Dstrbuční funkce e zde získána prostým seřazením naměřených hodnot, přčemž každá hodnota má své pořadí dle velkost. V souboru e 47 dvoc dat (f y a f u ), a proto nverzní dstrbuční funkce/řada má 47 hodnot. Náhodné realzace budou tedy z řady vybírány za pomocí rovnoměrného rozdělení generovaného předchozím postupem. Je patrné, že e třeba rovnoměrné rozdělení lehce poupravt tak, aby eho výstupem byla celá čísla v rozsahu -47. Výsledné hstogramy meze kluzu f y a meze pevnost f u získané na základě 5 ts. realzacích sou zobrazeny na Obr. 7 resp. na. Obr. 8. Vzáemná korelace uvedených velčn e vyobrazena na Obr. 9. Obr. 7. Hstogram meze kluzu f y [MPa], 5 ts. smulací Obr. 8. Hstogram meze pevnost f u [MPa], 5 ts. smulací

8 Obr. 9. Smulovaná korelace mez mezí kluzu f y a mezí pevnost f u [MPa], 5 ts. smulací Ověření smulačního procesu Pro ověření smulačního procesu e následně ověřena korelační matce R p,k náhodně generovaných korelovaných realzací a porovnána s původní matcí R p. Pearsonův korelační koefcent e: R p (),k Je vdět že rozdíl mez korelačním součntel e v řádu 0,006, což e velm povzbuzuící vzhledem k počtu pouhých 5 ts. aplkovaných smulací. Kvalta smulace hstogramů e ověřena fraktlová korelací. Porovnáním shody ve frekvenc ednotlvých sloupců hstogramů původních a smulovaných. Frekvence smulovaných e podělena počtem smulací a vynásobena 47 (počtem naměřených vzorků). Shoda e vdět ž porovnáním obrázků (meze kluzu Obr. a Obr. 7, resp. mez pevnost Obr. a Obr. 8). Pro mez kluzu mez pevnost e shodně pearsonův korelační koefcent roven ZÁVĚR Příspěvek, ež e založen na prác K.K. Phoona at all [7], naznačue možnost generování korelovaných neparametrckých rozdělení s využtím transformovaných korelovaných normálních rozdělení. Ve stud e provedena analýza korelace meze kluzu f y a meze pevnost f u,. Data sou získána z práce [9]. Na základě této korelace e vytvořena dvoce korelovaných normálních vektorů. Tyto sou transformovány na dvě rovnoměrná korelovaná rozdělení, které slouží pro vytvoření obecného rozdělení (např. hstogramu). Hstogram e vytvořen standardním postupem nverzní transformací z rovnoměrného rozdělení dokumentovaným např. v [4].

9 Pops korelace e v této plotní stud postaven na Pearsonovém korelačním koefcentu, který může být nahrazen Spearmanovým koefcentem pořadové korelace vhodněším pro neparametrcká rozdělení. Uvedený postup umožňue smulovat větší množství korelovaných velčn a eví se využtelný v rámc metody SBRA včetně přímé smulace technkou Monte Carlo. Další vývo by měl směřovat k hlubšímu prověření vhodnost a efektvty transformačního procesu, testování možných aplkací (např ocelové táhlo s otvorem) a po důkladném prověření k mplementac přístupu např. v rámc software Anthll. Poděkování Proekt byl realzován za fnanční podpory ze státních prostředků prostřednctvím Grantové agentury České republky. Regstrační číslo proektu e GA ČR 03/07/0557. Lteratura [] ANTHILL [on-lne] dostupné na www [] VOŘECHOVSKÝ, M. and NOVÁK, D. (00) Correlated random varables n probablstc smulaton. In Scheßl, Gebbeken, Keuser, and Zlch (eds), 4th Internatonal Ph.D. Symposum n Cvl Engneerng held n Munch, Germany, volume, pages Mllpress, Rotterdam, 00. [3] MAREK, P., BROZZETTI J., GUŠTAR, M., TIKALSKY, P., EDITORS. Probablstc Assessment of Structures usng Monte Carlo Smulaton. Bascs, Exercses, Software. (Second extended edton)., Publsher: ITAM Academy of Scences of Czech Republc, Prosecká 76, Prague 9, Czech Republc, 003 ISBN [4] MAREK, P., GUŠTAR, M., BATHON, L. Smulaton-Based Relablty Assesment for Structural Engneers. Boca Taton, Florda, CRC Press, 995, ISBN [5] MATLAB [on-lne] dostupné na www [6] MENČÍKJ J. (003) Smulační posuzování spolehlvost př korelovaných velčnách. n Sborník 4. Konference Spolehlvost, Ostrava, , DT Ostrava, ISBN , s [7] PHOON, K., K. (004) APPLICATION OF FRACTILE CORRELATIONS AND COPULAS TO NON- GAUSSIAN RANDOM VECTORS, IN CD-ROM PROCEEDINGS OF THE.ND INTERNATIONAL ASRANET COLLOQUIUM (5-7 JULY 004), BARCELONA, SPAIN. [8] PHOON, K., K., QUEK, S., T., HUANG, H., Smulaton of non-gaussan Processes usng fractle correlaton, n Probablstc Engneerng Mechancs, vol 9, p. 87-9, 004. [9] ROZLÍVKA, L., FAJKUS, M. (003) Reálné pevnostní hodnoty konstrukčních ocelí a rozměrové úchylky válcovaných materálů pro pravděpodobnostní posuzování spolehlvost ocelových nosných prvků a konstrukcí metodou SBRA,: Spolehlvost konstrukcí Sborník referátů, Dům technky Ostrava, Ostrava, 003 ISBN [0] VOŘECHOVSKÝ, M. (007) Stochastc computatonal mechancs of quasbrttle structures. Habltaton thess presented at Brno Unversty of Technology, Brno, Czech Republc, [] WEISSTEIN, E. W. "Correlaton Coeffcent." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [on-lne] dostupné na www [] WEISSTEIN, E.W. "Erf." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [on-lne] dostupné na www [3] IMAN, R.C. AND CONOVER, W. J., A Dstrbuton Free Approach to Inducng Rank Correlaton Among Input Varables, ournalcommuncatons n Statstcs, 98, vol.b, pp

10 5. PŘÍLOHA: GENEROVÁNÍ KORELOVANÉHO NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ V PROGRAMU ANTHILL [] Na podkladě korelační matce R (vz. část 3.3 Pearsonův korelační součntel) a postupu uvedeného v 3.4 Generování korelovaných normálních rozdělení. vygenerute dvě vzáemně korelované normální rozdělení v programu Anthll. Uvažute 5 ts. smulací. 5.. Vstupní parametry Do výpočtu vstupuí dvě vzáemně nezávslá useknutá normální rozdělení N(0;) W a W dále matce Q = chol(r) (vz. (8)) eíž řád odpovídá počtu proměnných. 5.. Korelace normálních rozdělení Korelace e mez vzáemně nezávslé velčny vnesena vyřešením soustavy rovnc reprezentované: q q Y N W Q w w w q w q w q w q (3), q q kdy Q e převzato z (8) a e: Q[ k, k ] cholr (8) pak vychází že: y N y N w w q q w w q q 5.3. Výstupy z programu Anthll w w.0 w 0.66 w 0.0 w 0.75 Uvedená procedura 5 ts. opakována programem Anthll. Na následuících výstupech sou lustrovány ednotlvé kroky. (4) Obr. 0. Hstogramy nekorelovaných normálních rozdělení w a w - N(0;) Obr.. Hstogramy korelovaných normálních rozdělení y N a y N - N(0;), parametr korelace r = 0.643

11 Obr. 0 zobrazue nekorelované normální rozdělení. Obr. přestavue předchozí normální rozdělení po transformac (3) a Obr. zobrazue D dagram (mravenště) vzáemného vztahu dvoc rozdělení. Obr Souhrn a závěry Mravenště nekorelovaných normálních rozdělení w, w a korelovaných normálních rozdělení y N, y N pro 5 ts. smulací. Zvolený postup, založený na obecně známých postupech (vz. např. v [7]) umožňue přehledně generovat korelovaná normální rozdělení za pomocí smulační technky Monte Carlo v rámc programu Anthll []. V příkladu e demonstrována korelace dvou proměnných, ale zdá se že aplkace na 3 a více proměnné e rovněž možná. Generování bylo otestováno pro ml smulačních kroků. Proces trval na PC Celeron 300 MHz as 6 mn. Zdá se tedy, že proces není nkterak výpočtově náročný. V Anthllu byla použta useknutá normální rozdělení a patrně proto e zřetelný stý rozdíl mez mnmálním a maxmálním hodnotam velčnam w a y N. Zatímco w e původní useknuté rozdělení, y N e korelováno z w a w. Tímto procesem došlo k rozmazání (zvětšení) mnmální a maxmální hodnoty. Oponentura: Doc. Ing. Mroslav Vořechovský, Ph.D.