MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ"

Transkript

1 MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ Podklady k soustředění č. 1 Řešení úloh 1. dílčí téma: Řešení úloh ve stavovém prostoru Počáteční období výzkumu v oblasti umělé inteligence (50. a 60. léta) bylo charakterizováno představou, že několik jednoduchých ale mocných technik umožní vytvářet inteligentní všeřešící programy. Používané techniky byly založeny na vnitřním (strojovém) modelu světa a na schopnosti vytvářet v tomto modelu plán pro řešení dané úlohy. Model světa byl obvykle založen na stavovém prostoru. 1.1 Základní definice Def. 1.1: Stavový prostor S p = (S, Φ) je dvojce tvořená 1. množinou stavů S = {s} 2. množinou operátorů (přechodů mezi stavy) Φ = {φ} s k = φ ki (s i ) (s k se nazývá následník, s i se nazývá předchůdce) Příkladem stavového prostoru jsou možná rozložení disků u hlavolamu Hanojské věže. Tento hlavolam je tvořen třemi tyčkami, na kterých je navlečeno několik různě velikých disků. Jeden stav tohoto prostoru je vidět na Obr. 1. Velikost stavového prostoru tohoto hlavolamu samozřejmě záleží na počtu disků, pro n disků je to 3 n (každý z n disků může být na jedné ze tří tyček), pro tři disky je stavový prostor znázorněn na Obr. 2. Použitý formalismus kóduje pozicí velikost disku (první zleva je největší disk) a číslem tyčky (1 je levá krajní tyčka). Obr. 1 Hanojské věže (stav (112)) 1

2 Obr. 2 Stavový prostor hanojských věží Operátory se odvodí na základě pravidla, že se postupně přesouvají disky mezi tyčkami, přičemž: 1. může se přesouvat vždy jeden disk, 2. větší disk se nemůže položit na menší. Celkem je k dispozici 6 operátorů: φ 12, φ 13, φ 21, φ 23, φ 31, φ 32, kde φ ki znamená přesuň volný disk z k na i. Jiným příkladem je rozložení osmi číslic v mřížce 3x3 u hlavolamu lišák (Obr. 3). Tento stavový prostor obsahuje 9! = stavů _ 5 Obr. 3 Lišák V tomto stavovém prostoru jsou definovány 4 operátory: φ 1 : když _ není v horním řádku, přesuň _ nahoru φ 2 když _ není v dolním řádku, přesuň _ dolů φ 3 : když _ není v levém sloupci, přesuň _ vlevo φ 4 : když _ není v pravém sloupci, přesuň _ vpravo Def. 1.2: Úloha ve stavovém prostoru (S p, s 0, G) je definována jako stavový prostor, tj. 1. množina stavů S = {s} 2. množina přechodů mezi stavy Φ = {φ} plus 2

3 3. počáteční stav s 0 4. množina koncových stavů G = {g} V případě Hanojské věže je počáteční stav na Obr. 4 a (jediný) koncový stav na Obr. 5. Obr. 4 Hanojské věže - počáteční stav Obr. 5 Hanojské věže - koncový stav V případě lišáka je počátečním stavem libovolné uspořádání číslic a jediným koncovým stavem stav z Obr _ Obr. 6 Lišák - koncový stav V případě, že pomocí stavového prostoru chceme reprezentovat šachy, bude počátečním stavem výchozí rozložení figurek na šachovnici a množinou koncových stavů např. všechny pozice, ve kterých bílý dává mat. Velikost stavového prostoru je asi (průměrně 35 možností v každém tahu, průměrná délka partie 50 tahů). Def. 1.3: Řešení úlohy ve stavovém prostoru je nalezení posloupnosti operátorů φ 1 φ 2 φ d takových, že s 1 = φ 1 (s 0 ) s 2 = φ 2 (s 1 ) s 3 = φ 3 (s 3 )... g = φ d (s d-1 ) neboli nalezení cesty z počátečního stavu s 0 do některého z koncových stavů g (d je délka cesty). Def. 1.4: Řídící strategie je algoritmus, který v každém kroku volí vhodný operátor: musí vést k prohledávání (musí zabraňovat cyklům) musí být systematické 3

4 Def. 1.5: Strom řešení úlohy je grafová reprezentace procesu hledání řešení kde uzly odpovídají stavům a hrany odpovídají přechodům mezi stavy daným aplikací operátorů. Ve chvíli, kdy pro nějaký stav je použitelných více operátorů se stává klíčovou otázka, který operátor zvolit. Pro volbu prvního operátoru v případě hanojských věží ukazuje příslušný podstrom Obr. 7, pro volbu prvního operátoru v případě hlavolamu lišák ukazuje příslušný podstrom Obr. 8. Volba operátoru pro daný stav může být založena na myšlence postupně zkusit aplikovat všechny použitelné operátory, může být založena na nějakém kritériu, které hodnotí vhodnost jednotlivých operátorů, nebo může být volba operátoru náhodná. Obr. 7 První krok Hanojské věže Obr. 8 První krok lišák 1.2 Prohledávání stavového prostoru Metody prohledávání lze dělit do tří základních skupin: 4

5 slepé - úplné prohledávání nevyužívající žádné dodatečné informace zde postupně aplikujeme všechny použitelné operátory, heuristické - úplné nebo částečné prohledávání využívající hodnocení zvolené cesty zde operátory vybíráme na základě nějakého kritéria, náhodné zde volíme operátory náhodně. Systematické (nenáhodné) strategie (resp.algoritmy) jsou založeny na expanzi (rozvinutí) daného stavu (uzlu). Rozvinutím uzlu se myslí aplikace všech použitelných operátorů; získáme tak všechny následníky daného uzlu. Algoritmy obvykle využívají dva seznamy: seznam rozvinutých uzlů ROZVIN a seznam nerozvinutých uzlů NEROZVIN. Slepé prohledávání do šířky Při prohledávání do šířky jsou následníci vybíráni pro expanzi ze seznamu typu fronta (Obr. 9). Postupně procházíme strom řešení po vrstvách a prohledáme všechny uzly, které mají menší hloubku než je hloubka koncového stavu. Každý uzel přitom navštívíme nejvýše jednou. Schematicky je tento způsob znázorněn na Obr. 10, postup algoritmu pak na Obr. 11. Při tomto způsobu prohledávání máme jistotu, že vždy nalezneme optimální řešení (koncový stav s nejmenší hloubkou). Obr. 9 Algoritmus prohledávání do šířky 5

6 Obr. 10 Schéma prohledávání do šířky krok NEROZVIN ROZVIN 1 A Ø 2 B, C A 3 C, D, E A, B 4 D, E, F, G, H A, B, C Konec Obr. 11 Postup algoritmu do šířky Obr. 12 Lišák - prohledávání do šířky (převzato z Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.) 6

7 Slepé prohledávání do hloubky Při prohledávání do hloubky jsou následníci vybíráni pro expanzi ze seznamu typu zásobník (Obr. 13). Na rozdíl od prohledávání do šířky můžeme některými uzly procházet vícekrát, neboť se často musíme navracet (tzv. backtracking). Schematicky je tento způsob znázorněn na Obr. 14, postup algoritmu na Obr. 15. Při tomto způsobu prohledávání nemusíme nalézt optimální řešení (koncový stav s nejmenší hloubkou) a dokonce žádné řešení (pokud má stavový prostor nekonečnou větev, do které zabloudíme ). Pro úlohy s konečným stavovým prostorem a s jedním koncovým stavem ale nalezneme stejné řešení jako při prohledávání do šířky. Obr. 13 Algoritmus prohledávání do hloubky Obr. 14 Schéma prohledávání do hloubky 7

8 krok NEROZVIN ROZVIN 1 A Ø 2 B, C A 3 D, E, C A, B 4 I, J, E, C A, B, D 5 J, E, C A, B, D, I 6 E, C A, B, D, I, J 7 C A, B, D, I, J, E 8 F, G, H A, B, D, I, J, E, C Konec Obr. 15 Postup algoritmu "do hloubky" Všimněme si, že pokud bychom při slepém prohledávání do hloubky místo první zleva, tak jak je znázorněno na Obr. 14 zvolili strategii první zprava, Nalezli bychom koncový stav podstatně rychleji (Obr. 16). krok NEROZVIN ROZVIN 1 A Ø 2 C, B A 3 H, G, F, B A, C Konec Obr. 16 Postup algoritmu "do hloubky" zprava Heuristické prohledávání Heuristické prohledávání je založeno na kritériu (heuristice), které umožňuje posoudit vhodnost použití jednotlivých operátorů aplikovatelných na daný stav. Vhodnost operátoru můžeme intuitivně chápat jako to, do jaké míry nás použití operátoru přiblíží ke koncovému stavu (řešení úlohy). Def. 1.6: Heuristická funkce je funkce, která každému stavu s přiřadí číslo, vyjadřující jeho kvalitu z hlediska řešení úlohy. Vhodnost operátoru (a tedy kvalita příslušného následníka) může být v dané úloze definována různě. Různé podoby kritéria samozřejmě ovlivní volbu operátorů a tím i dobu (počet kroků) potřebných k nalezení řešení. Vraťme se k hlavolamu lišák (Obr. 8), kde můžeme jako možné heuristiky uvažovat např.: H1: počet chybně umístěných číslic, H2: Manhattan vzdálenost od koncového stavu. Význam první heuristiky je zřejmý. Druhá heuristika vyjadřuje, kolik tahů (ve směru vodorovném resp. svislém) je každá chybně umístěná číslice vzdálena od své správné pozice. Podíváme-li se na volbu operátoru pro první tah dle Obr. 8, pak kvalitu stavů 1 až 4 pro obě heuristiky vidíme v Tab. 1. Obě heuristiky vyhodnotí jako nejlepší tah 1 3. Pro druhý tah už budou doporučení obou heuristik odlišná (Tab. 2). Zatímco heuristika H1 vyhodnotí jako stejně kvalitní tahy 3 6 i 3 7 (a měli bychom tedy uvažovat obě možnosti), heuristika H2 vyhodnotí jako nejlepší tah 3 7, což je tah, skutečně vedoucí nejrychleji k řešení úlohy. 8

9 stav 1 stav 2 stav 3 stav 4 H H Tab. 1 Lišák - heuristiky pro první tah stav 3 stav 6 stav 7 stav 8 H H Tab. 2 Lišák - heuristiky pro druhý tah Gradientní prohledávání (hill climbing) Heuristické prohledávání do hloubky, kde heuristikou je odhad vzdálenosti ke koncovému stavu. Následníky rozvinutého uzlu nejprve uspořádáme dle heuristiky a pak zařadíme do zásobníku. Obr. 17 Gradientní prohledávání Lokální varianta tohoto algoritmu je založena na tom, že pro daný stav volíme dle heuristiky nejlepšího následníka a pracujeme pouze s ním. Seznam NEROZVIN je tedy jednoprvkový. Tato varianta tedy hledá pouze lepší uzel, než je ten současný. To může způsobit řadu problémů: 9

10 uváznutí v lokálním extrému (žádný následník není lepší než rozvíjený uzel, který ale nepředstavuje řešení problému), problém plošiny (rozvíjený uzel i jeho následníci jsou stejně kvalitní není tedy jasné kterým směrem postupovat). Problém uváznutí v lokálním extrému ilustruje na příkladě hlavolamu lišák Obr. 19. Žádný z následníků uvedeného stavu není ve smyslu heuristiky H1 lepší. Prohledávání by tedy skončilo. Obr. 18 Lokální varianta gradientního prohledávání a 2 b 8 _ 4 c 6 d Obr. 19 Lokální extrém hlavolamu lišák 10

11 2. dílčí téma: Teorie her Základy matematické teorie her položili v první pol. 20. století John von Neumann a Oskar Morgernstern. Teorie her je disciplína aplikované matematiky, která analyzuje široké spektrum konfliktních rozhodovacích situací, které mohou nastat kdekoliv, kde dochází ke střetu zájmů. Herněteoretické modely se pak snaží tyto konfliktní situace nejen analyzovat, ale sestavením matematického modelu daného konfliktu a pomocí výpočtů se snaží nalézt co nejlepší strategie pro konkrétní účastníky takových konfliktů. Teorie her se uplatňuje v mnoha oblastech lidské činnosti od ekonomie, přes politologii až například po sociologii a biologii. 2.1 Základní pojmy Základem většiny matematických modelů z oblasti teorie her je předpoklad racionality. Očekáváme, že každý hráč se chová tak, aby maximalizoval svůj zisk (výhru). To znamená, že: o o hráč si na základě stabilních preferencí stanovuje cíle a volí si strategie k co možná nejefektivnějšímu dosažení těchto cílů. hráč je konfrontován s určitým počtem situací a dokáže si je seřadit podle svých preferencí od nejvýhodnější po nejméně výhodnou. Toto seřazení musí být úplné, tj. musí pokrývat všechny situace, a tranzitivní, tj. pokud dá hráč přednost situaci A před situací B a situaci B před situací C, musí dát přednost situaci A před situací C. Na základě preferencí situací je odvozena užitková funkce (utility function) hráče. Jediným cílem hráče je potom maximalizace hodnoty užitkové funkce. Předpoklad racionality (každého hráče) je to, co odlišuje teorii her (a příslušné strategie) od teorie rozhodování. Jsou ale i pojetí, která chápou teorii rozhodování (popsanou v předcházející kapitole) jako speciální typ her, kdy jeden z hráčů je příroda, pro kterou předpoklad racionality neplatí. Budeme-li hledat analogii s teorií rozhodování, pak hráči jsou účastnící rozhodovacího problému, strategie jsou rozhodnutí a hodnoty užitkové funkce (výhry, výplaty) jsou důsledky rozhodnutí. Typy her Hry (a jejich modely) můžeme posuzovat z celé řady hledisek. Jsou to počet hráčů obvykle předpokládáme konečný počet hráčů; nejmenší možný počet je 2 a to budou hry na které se dále zaměříme (příkladem mohou být šachy, dáma, piškvorky, ale i bilaterální politická vyjednávání), počet strategií může být konečný i nekonečný; nás budou zajímat hry s konečným počtem strategií (šachy, dáma, piškvorky). U nekonečných strategií hraje roli i načasování jednotlivých tahů, typ výhry rozlišují se tzv. hry s konstantním součtem a hry s nekonstantním součtem; pro hry s konstantním součtem platí, že pro každou volbu strategií je součet výplatních funkcí (výher) všech hráčů konstantní speciálním případem her s konstantním součtem jsou hry s nulovým součtem, při kterých to, co jeden hráč vyhraje musí druhý hráč (v případě her o dvou hráčích) prohrát příkladem jsou šachy, piškvorky apod. U her s nenulovým součtem zisk jednoho hráče nemusí pro jiného hráče nutně znamenat ztrátu (vězňovo dilema i různá vyjednávání). počet tahů hry strategické předpokládají, že hráči provedou jeden tah (rozhodnutí) současně (např. kámen-nůžky-papír nebo vězňovo dilema), hry tahové jsou založeny na sekvenci tahů, při kterých se hráči střídají (šachy, piškvorky) 11

12 dostupná informace hry s úplnou informací (např. šachy) a hry s neúplnou informací (např. poker); v hrách s úplnými informacemi má každý hráč k dispozici stejné informace týkající se hry jako všichni ostatní. spolupráce u kooperativních hrách mohou hráči vytvářet koalice případně se mezi sebou domlouvat, u nekooperativních hrách to možné není Ne všechny kombinace jednotlivých hledisek mohou nastat: každá hra dvou hráčů s konstantním součtem je nekooperativní pro takovou hru se někdy používá termín antagonistická hra. Hra v normálním tvaru Def. 3.7 Hra v normálním tvaru je definována množinou { Q X,..., X, u ( x,... x ),..., u ( x,..., x )}, 1 n 1 1 n n 1 n kde Q = {1,,n} jsou hráči, množiny X 1,,X n jsou množiny strategií a u i (x 1,,x n ) jsou výhry hráče i pro jednotlivé strategie. Hra v normálním tvaru je obvykle znázorněna pomocí matice. Hru pro dva hráče vidíme na Obr. 20. Zde hráč číslo 1 vybírá ze strategií s 1,,s k a hráč číslo 2 vybírá ze strategií t 1,,t l. Předpokládejme, že se jedná o hru s nulovým součtem, v takové hře u 1 (s i, t j ) = -u 2 (s i, t j ) a proto stačí zapisovat jen hodnotu užitkové funkce (výhry) pro jednoho hráče. hráč 1 hráč 2 t1 s1 u s2 u s k u k1 t2 u u u k 2 tl u Obr. 20 Hra pro dva hráče v normálním tvaru. u u 1t 2t kl Příklad hry kámen-nůžky-papír je na Obr. 21 hráč 1 hráč 2 K N P K N P Obr. 21 Hra kámen-nůžky-papír v normálním tvaru Hra v explicitním tvaru Explicitní tvar hry bývá používána k formalizaci her, ve kterých hraje roli pořadí tahů. Hry jsou reprezentovány jako stromy (viz obrázek vlevo). Každý uzel zde reprezentuje místo, ve kterém některý z hráčů vybírá tah, každá hrana odpovídá možnému tahu. 12

13 Příklad 3.1: Tic-Tac-Toe (neboli americké piškvorky) se hrají na čtvercové síti 3x3 políčka. První z hráčů maluje křížky, druhý maluje kolečka. Hráči se střídají a vyhraje ten, komu se podaří umístit tři své symboly do řádku, do sloupce nebo na diagonálu. Hrubý odhad počtu pozic vychází z toho, že v každém z 9 polí může být o, x, nebo mezera, tedy 3 9 = Podobně hrubý odhad počtu různých partií vychází z toho, že první tah může být do některého z 9 polí, druhý tah do některého z 8 polí atd, tedy 9! = (Obr. 22). Hrací pole je ale symetrické a ne všechny možné kombinace symbolů je přípustná (např. devět x ). Je tedy různých partií (web). Obr. 22 Tic-tac-toe bez uvažování symetrie 2.2 Optimální strategie Antagonistické hry Cílem každého racionálního hráče je vyhrát, jinými slovy maximalizovat svoji výhru. Zabývejme se pouze strategiemi antagonistických her dvou hráčů, které jsou zapsány v normálním tvaru (viz Obr. 20). Uvedený zápis vyjadřuje hodnoty výher (výplat) hráče č. 1. Tento hráč volí mezi svými strategiemi (řádky i matice u(s i,t j )) tak, aby jeho výhra byla maximální. Přitom ví, že jeho protihráč, hráč č. 2 bude své strategie volit tak, aby výhru hráče č. 1 minimalizoval. Hráč č. 1 tedy volí takovou strategii s*, pro který minimální hodnota jeho výhry (v rámci tohoto řádku) bude ze všech řádků maximální: s* = max i min j u(s i,t j ) Hráč. č. 2 postupuje analogicky. Mezi svými strategiemi (sloupci j matice u(s i,t j )) volí tu strategii t*, pro kterou maximální hodnota jeho prohry (v rámci tohoto sloupce) bude ze všech sloupců minimální. t* = min j max i u(s i,t j ) 13

14 Def. 3.2: Nechť u(s*,t*) = max i min j u(s i,t j ) = min j max i u(s i,t j ) Potom u(s*,t*) se nazývá sedlový bod matice a představuje tzv. cenu hry. Dvojce strategií (s*,t*) se nazývá rovnovážný bod. Teorie her se snaží nalézt v každé hře rovnovážný bod, v němž hráči volí takové strategie, že žádný z nich nemá důvod svou strategii změnit za předpokladu, že nikdo z ostatních svou strategii nezmění. Pokud rovnovážný bod existuje, optimální strategie obou hráčů se nazývají ryzí strategie. Příklad: Pro hru v normálním tvaru uvedenou na Obr. 23 má rovnovážný bod podobu (s 2, t 1 ). Pro prvního hráče je totiž min u(s 1, t j ) = 2 a min u(s 2, t j ) = 3 a tedy max min u(s,t) = u(s 2, t 1 ) což odpovídá strategii s 2. Pro druhého hráče je pak max u(s i, t 1 ) = 3 a max u(s i, t 2 ) = 4 a tedy min max u(s,t) = u(s 2, t 1 ) což odpovídá strategii t 1. hráč 1 s s 1 2 hráč 2 t 1 t Obr. 23 Příklad hry v normálním tvaru Ne vždy ale rovnovážný bod a tedy ryzí strategie existuje. Uvažujme hru znázorněnou maticí z Obr. 24. Hráč č. 1 zvolí strategii s 2, neboť pro ní je min j u ij největší (je to prvek u 21 =7). Hráč č. 2 zvolí strategii t 1, neboť pro ní je max i u ij nejmenší (je to prvek u 21 =9). Obě hodnoty se ale od sebe liší. Tato hra nemá rovnovážný bod a proto pro ní neexistuje ryzí strategie. hráč 1 s s 1 2 hráč 2 t 1 t Obr. 24 Hra bez sedlového bodu Def. 3.3: Nechť máme maticovou hru popsanou maticí z Obr. 20. Nechť p1 + p2 + + p k = 1 a zároveň pi > 0 Pak hru s výplatní funkcí q1 + q2 + + q l = 1 a zároveň qi > 0 π ( p, q) = nazveme smíšeným rozšířením původní hry. k l i= 1 j= 1 p u i ij q j Stručně řečeno, smíšené rozšíření (a smíšené strategie) znamená, že každý z hráčů vybírá ze svých strategií s určitou pravděpodobností. Smíšenou strategii jednotlivých hráčů můžeme hledat jako extrém výplatní funkce, tedy jako hodnoty p a q pro které π(p, q) bude maximální (minimální). Ve výše uvedené hře tedy 14

15 z toho π(p, q) = 11p 1 q p 1 (1- q 1 ) + 7 q 1 (1- p 1 ) + 9(1- p 1 ) (1- q 1 ) = 8 p 1 q 1 4 p 1 2 q π ( p, q) = 8q p 1 π ( p, q) = 8p q = 0 2 = 0 a tedy q 1 = 1/2 a tedy p 1 = 1/4 Hráč č. 1 tedy volí strategii (1/4, 3/4) a hráč č. 2 volí strategii (1/2, 1/2). Pro tyto strategie je cena hry π(p, q) maximální a rovná se 8. Podobně nemá ryzí strategii ani hra kámen-nůžky-papír. Smíšená strategie pro oba hráče je (1/3, 1/3, 1/3). Neantagonistické hry V případě neantagonistických her nejde výhra jednoho hráče na úkor hráčů ostatních. Hráči se o svých strategiích mohou (kooperativní hry) či nemohou (nekooperativní hry) domlouvat. Ukážeme se příklady hodnocení strategií her obou typů. Budeme opět uvažovat jen hry dvou hráčů, kterou můžeme tentokrát znázornit pomocí dvojmatice výplat (Obr. 25). Hodnota u ij odpovídá výplatě prvního hráče v případě strategií s i (první hráč) a t j (druhý hráč), hodnota v ij odpovídá výplatě druhého hráče v případě strategií s i (první hráč) a t j (druhý hráč). hráč 2 hráč 1 t1 s1 ( u11, v s2 ( u21, v s k ( uk1, v k1 ) ) ) t2 ( u, v ( u ( u k 2, v, v k 2 ) ) ) tl ( u, v Obr. 25 Dvojmaticová hra ( u ( u 1t 2t kl, v, v 1t 2t kl ) ) ) Def. 3.4: Dvojice strategií (s*, t*) se nazývá rovnovážný bod, právě když u(s,t*) < u(s*,t*) pro všechna s v(s*,t) < v(s*,t*) pro všechna t Věta 3.3: Nechť rovnovážnému bodu odpovídá prvek (u ij,v ij ). Potom u ij = max k u kj v ij = max k v ik Příklad: vězňovo dilema Vězňovo dilema patří k nejznámějším příkladům nekooperativních her. Dva vězni jsou obviněni ze stejného trestného činu. Pokud se oba přiznají (P), budou oba odsouzeni na 5 let (přiznání je polehčující okolnost). Pokud budou oba zapírat (Z), budou oba odsouzeni za menší delikt na 1 rok. Pokud se přizná jen jeden, bude v roli korunního svědka osvobozen, ale druhý obviněný bude odsouzen na 10 let. Příslušný zápis této hry v normálním tvaru je na Obr. 26. Čísla v dvojmatici udávají výši trestu. Cílem hráčů je tuto hodnotu minimalizovat, neboli zvolit strategii, pro kterou bude maximální výše trestu (pro možné strategie spoluobviněného) minimální. Tedy 15

16 vězeň č. 1 vězeň č. 2 s* = min i max j u ij t* = min j max i v ij Z toho vychází rovnovážná strategie (s*, t*) = (přiznat, přiznat). Pohledem na dvojmatici ovšem zjistíme, že vhodnější (z hlediska výše trestu) by byla strategie (zapírat, zapírat), neboť v tomto případě by výše trestu pro oba byla nižší proto název hry dilema. Žádný z obviněných totiž neví, zda jeho komplic nepodlehne pokušení přiznat se a vyváznout bez trestu. vězeň 2 Z P Z (1,1) (10,0) vězeň 1 P (0,10) (5,5) Obr. 26 Vězňovo dilema Příklad: manželská domluva Manželé řeší otázku, jak strávit večer. Manžel by chtěl jít na fotbal, manželka preferuje divadlo. Večer však chtějí strávit společně. Tuto hru můžeme znázornit maticí uvedenou na Obr. 27. manžel manželka fotbal divadlo fotbal (2,1) divadlo (0,0) (0,0) (1,2) Obr. 27 Manželská domluva Tato hra má dvě ryzí strategie v rovnovážných bodech (fotbal, fotbal) a (divadlo, divadlo). Platí totiž, že prvek (2,1) představuje maximum v prvním řádku i prvním sloupci a prvek (1,2) představuje maximum ve druhém řádku i druhém sloupci. Hra má i jednu smíšenou strategii. 2.3 Hledání vhodné strategie Minimaxová strategie Za předpokladu racionality protihráče volím takový tah, aby následný nejlepší tah protihráče byl z mého pohledu nejméně nebezpečný. Minimaxovou strategii mohu hledat na základě zápisu hry v rozvinutém tvaru. Tento zápis je tvořen stromem, kde každému uzlu přiřadíme hodnoty na základě hodnot výher (hodnot funkce u) v podstromu daného uzlu. Jednotlivé uzly stromu se dělí do MAX úrovní (uzly se sudou hloubkou) a MIN úrovní (uzly s lichou hloubkou). Na každé MAX úrovni vybírá první hráč tah, který maximalizuje hodnotu určitého kritéria, na každé MIN úrovni vybírá druhý hráč tah, který minimalizuje hodnotu tohoto kritéria. (kritériu hodnotí tahy z pohledu prvního hráče). Tímto kritériem je tzv. MINIMAX hodnota: u( n) pro n listový uzel MINIMAX ( n) = max s MINMAX ( s) pro n je MAX uzel min sminmax ( s) pro n je MIN uzel kde s jsou všichni následníci uzlu n. Ohodnocování uzlů probíhá od spodu - od listů reprezentujících koncovou situaci hry směrem ke kořeni. Příklad takto ohodnoceného stromu vidíme na Obr. 28. Je zřejmé, že první hráč zvolí tah odpovídající první větvi zleva. 16

17 Obr. 28 Volba strategie dle minimaxu Aplikace minimaxového přístupu předpokládá, že známe celý strom řešení. V reálných hrách to může být nepřekonatelný problém. Jak již bylo zmíněno, hra tic-tac-toe má různých partií, strom řešení pro šachy pak může mít okolo uzlů (průměrný počet větvení 35, průměrná délka partie 50 tahů). Navíc, časová náročnost algoritmu O(b d ), tedy exponenciální podle hloubky prohledávání (a paměťová náročnost je O(bd) jde totiž o prohledávání do hloubky). Řešením je: omezit hloubku prohledávání pracovat pouze s odhady místo s přesnými hodnotami užitku pro jednotlivé uzly Příklad: Tic-Tac-Toe. Obr. 29 ukazuje volbu prvního tahu s využitím minimaxu pro hru tic-tac-toe. Kritérium, kterým se hodnotí jednotlivé uzly je počet možných vítězných pozic X minus počet možných vítězných pozic O. Obr. 29 Tic-tac-toe volba prvního tahu dle minimaxu 17

Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry)

Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) Teorie her a ekonomické rozhodování 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) 3.1 Neantagonistický konflikt Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

3. ANTAGONISTICKÉ HRY

3. ANTAGONISTICKÉ HRY 3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

TGH13 - Teorie her I.

TGH13 - Teorie her I. TGH13 - Teorie her I. Jan Březina Technical University of Liberec 19. května 2015 Hra s bankéřem Máte právo sehrát s bankéřem hru: 1. hází se korunou dokud nepadne hlava 2. pokud hlava padne v hodu N,

Více

Hanojská věž. T2: prohledávání stavového prostoru. zadání [1 1 1] řešení [3 3 3] dva možné první tahy: [1 1 2] [1 1 3]

Hanojská věž. T2: prohledávání stavového prostoru. zadání [1 1 1] řešení [3 3 3] dva možné první tahy: [1 1 2] [1 1 3] Hanojská věž zadání [1 1 1] řešení [3 3 3] dva možné první tahy: [1 1 2] [1 1 3] který tah je lepší? (co je lepší tah?) P. Berka, 2012 1/21 Stavový prostor 1. množina stavů S = {s} 2. množina přechodů

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

Základy umělé inteligence

Základy umělé inteligence Základy umělé inteligence Automatické řešení úloh Základy umělé inteligence - prohledávání. Vlasta Radová, ZČU, katedra kybernetiky 1 Formalizace úlohy UI chápe řešení úloh jako proces hledání řešení v

Více

TEORIE HER - ÚVOD PŘEDNÁŠKA. OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáška 2. Zuzana Bělinová

TEORIE HER - ÚVOD PŘEDNÁŠKA. OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáška 2. Zuzana Bělinová PŘEDNÁŠKA 2 TEORIE HER - ÚVOD Teorie her matematická teorie rozhodování dvou racionálních hráčů, kteří jsou na sobě závislí Naznačuje, jak by se v takové situaci chovali racionální a informovaní hráči.

Více

Úvod do teorie her

Úvod do teorie her Úvod do teorie her. Formy her a rovnovážné řešení Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 208 ÚTIA AV ČR Program. Definujeme 2 základní formy pro studium různých her: rozvinutou, strategickou. 2.

Více

3 Teorie her. 3.1 Základní pojmy. 3.1.1 Typy her

3 Teorie her. 3.1 Základní pojmy. 3.1.1 Typy her 3 Teorie her Základy matematické teorie her položili v první pol. 20. toletí John von Nemann a Okar Morgerntern. Teorie her je diciplína aplikované matematiky, která analyzje široké pektrm konfliktních

Více

Mikroekonomie magisterský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 1 Teorie her pro manažery Obsah 5.1 Teorie her jako součást mikroekonomie 5.2 Základní pojmy teorie

Více

Základy umělé inteligence

Základy umělé inteligence Základy umělé inteligence Hraní her (pro 2 hráče) Základy umělé inteligence - hraní her. Vlasta Radová, ZČU, katedra kybernetiky 1 Hraní her (pro dva hráče) Hraní her je přirozeně spjato s metodami prohledávání

Více

Úvod do teorie her

Úvod do teorie her Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu

Více

Slepé prohledávání do šířky Algoritmus prohledávání do šířky Při tomto způsobu prohledávání máme jistotu, že vždy nalezneme koncový stav, musíme ale p

Slepé prohledávání do šířky Algoritmus prohledávání do šířky Při tomto způsobu prohledávání máme jistotu, že vždy nalezneme koncový stav, musíme ale p Hanojská věž Stavový prostor 1. množina stavů S = {s} 2. množina přechodů mezi stavy (operátorů) Φ = {φ} s k = φ ki (s i ) zadání [1 1 1] řešení [3 3 3] dva možné první tahy: [1 1 2] [1 1 3] který tah

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 7. Hry s neúplnou informací

Teorie her a ekonomické rozhodování. 7. Hry s neúplnou informací Teorie her a ekonomické rozhodování 7. Hry s neúplnou informací 7.1 Informace Dosud hráči měli úplnou informaci o hře, např. znali svou výplatní funkci, ale i výplatní funkce ostatních hráčů často to tak

Více

KOOPERATIVNI HRY DVOU HRA CˇU

KOOPERATIVNI HRY DVOU HRA CˇU 8 KOOPERATIVNÍ HRY DVOU HRÁČŮ 291 V této kapitole se budeme zabývat situacemi, kdy hráči mohou před začátkem hry uzavřít závaznou dohodu o tom, jaké použijí strategie, vygenerovaný zisk si však nemohou

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry

Teorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry Teorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry (chybějící či chybná indexace ve skriptech) 5.1 Opakovaná hra Hra až dosud hráči hráli hru jen jednou v reálu se konflikty neustále opakují (firmy nabízí

Více

Dvou-maticové hry a jejich aplikace

Dvou-maticové hry a jejich aplikace Dvou-maticové hry a jejich aplikace Obsah kapitoly. Hry s konstantním součtem Hra v normálním tvaru (ryzí strategie) Smíšené strategie. Hry s nekonstantním součtem Nekooperativní hra Dvou-maticová hra

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 4. Hry v rozvinutém tvaru

Teorie her a ekonomické rozhodování. 4. Hry v rozvinutém tvaru Teorie her a ekonomické rozhodování 4. Hry v rozvinutém tvaru 4.1 Hry v rozvinutém tvaru Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada po sobě následujících

Více

Obsah prezentace. Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest

Obsah prezentace. Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest Obsah prezentace Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest 1 Základní pojmy Vrchol grafu: {množina V} Je to styčná vazba v grafu, nazývá se též uzlem, prvkem

Více

4EK201 Matematické modelování. 10. Teorie rozhodování

4EK201 Matematické modelování. 10. Teorie rozhodování 4EK201 Matematické modelování 10. Teorie rozhodování 10. Rozhodování Rozhodování = proces výběru nějaké možnosti (varianty) podle stanoveného kritéria za účelem dosažení stanovených cílů Rozhodovatel =

Více

Algoritmizace prostorových úloh

Algoritmizace prostorových úloh INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Grafové úlohy Daniela Szturcová Tento

Více

Anotace. Středník II!! 7. 5. 2010 programování her.

Anotace. Středník II!! 7. 5. 2010 programování her. Anotace Středník II!! 7. 5. 2010 programování her. Teorie her Kombinatorická hra je hrou dvou hráčů. Stav hry je určen pozicí nějakých předmětů. Všechny zúčastněné předměty jsou viditelné. Jde o tzv. hru

Více

Aplikace teorie her. V ekonomice a politice Ing. Václav Janoušek

Aplikace teorie her. V ekonomice a politice Ing. Václav Janoušek Aplikace teorie her V ekonomice a politice Ing. Václav Janoušek Co je teorie her a její využití Teorie her obor aplikované matematiky a operační analýzy, sloužící k analýze konfliktních a strategických

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 8. Vyjednávací hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 8. Vyjednávací hry Teorie her a ekonomické rozhodování 8. Vyjednávací hry 8. Vyjednávání Teorie her Věda o řešení konfliktů Ale také věda o hledání vzájemně výhodné spolupráce Teorie vyjednávání Odvětví teorie her dohoda

Více

Dokumentace programu piskvorek

Dokumentace programu piskvorek Dokumentace programu piskvorek Zápočtového programu z Programování II PRM045 Ondřej Vostal 20. září 2011, Letní semestr, 2010/2011 1 Stručné zadání Napsat textovou hru piškvorky se soupeřem s umělou inteligencí.

Více

Prohledávání do šířky = algoritmus vlny

Prohledávání do šířky = algoritmus vlny Prohledávání do šířky = algoritmus vlny - souběžně zkoušet všechny možné varianty pokračování výpočtu, dokud nenajdeme řešení úlohy průchod stromem všech možných cest výpočtu do šířky, po vrstvách (v každé

Více

Úloha ve stavovém prostoru SP je <s 0, C>, kde s 0 je počáteční stav C je množina požadovaných cílových stavů

Úloha ve stavovém prostoru SP je <s 0, C>, kde s 0 je počáteční stav C je množina požadovaných cílových stavů Stavový prostor a jeho prohledávání SP = formalismus k obecnějšímu uchopení a vymezení problému, který spočívá v nalezení posloupnosti akcí vedoucích od počátečního stavu úlohy (zadání) k požadovanému

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování 6. Kooperativní hry více hráčů

Teorie her a ekonomické rozhodování 6. Kooperativní hry více hráčů Teorie her a ekonomické rozhodování 6. Kooperativní hry více hráčů (chyby ve skriptech) 6.1 Koaliční hra Kooperativní hra hráči mají možnost před samotnou hrou uzavírat závazné dohody dva hráči (hra má

Více

Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu

Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Vzdálenosti a grafy Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Je dán neorientovaný neohodnocený graf G = (V,E,I) vzdálenost uzlů u a v v neorientovaném souvislém grafu G je délka nejkratší cesty spojující

Více

Hry v rozvinutém tvaru a opakované hry. Hry v rozvinutém tvaru

Hry v rozvinutém tvaru a opakované hry. Hry v rozvinutém tvaru Hry v rozvinutém tvaru a opakované hry Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Výkladová část 1) Hry v rozvinutém tvaru 2) Opakované hry I. Konečně opakované hry

Více

Úvod do teorie her ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH KOMPETENCÍ AKADEMICKÝCH PRACOVNÍKŮ OSTRAVSKÉ UNIVERZITY V OSTRAVĚ A SLEZSKÉ UNIVERZITY V OPAVĚ

Úvod do teorie her ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH KOMPETENCÍ AKADEMICKÝCH PRACOVNÍKŮ OSTRAVSKÉ UNIVERZITY V OSTRAVĚ A SLEZSKÉ UNIVERZITY V OPAVĚ ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH KOMPETENCÍ AKADEMICKÝCH PRACOVNÍKŮ OSTRAVSKÉ UNIVERZITY V OSTRAVĚ A SLEZSKÉ UNIVERZITY V OPAVĚ Úvod do teorie her David Bartl, Lenka Ploháková OSNOVA Úvod (hra n hráčů ve strategickém

Více

Dokažte Větu 2(Minimax) ze třetího dílu seriálu pro libovolnou hru s nulovým součtem, ve kterémákaždýhráčnavýběrprávězedvoustrategií.

Dokažte Větu 2(Minimax) ze třetího dílu seriálu pro libovolnou hru s nulovým součtem, ve kterémákaždýhráčnavýběrprávězedvoustrategií. Teorie her º Ö ÐÓÚ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò º Ù Ò ¾¼½ ÐÓ ½º HráčIsitajněnapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho ivestejnou chvílisirovněžhráčiinapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho

Více

Úvod do teorie grafů

Úvod do teorie grafů Úvod do teorie grafů Neorientovaný graf G = (V,E,I) V množina uzlů (vrcholů) - vertices E množina hran - edges I incidence incidence je zobrazení, buď: funkce: I: E V x V relace: I E V V incidence přiřadí

Více

Dva podniky vedou mezi sebou spor, k jehož vyřešení může každý z nich podniknout jednu

Dva podniky vedou mezi sebou spor, k jehož vyřešení může každý z nich podniknout jednu Zadání příkladu: Dva podniky vedou mezi sebou spor, k jehož vyřešení může každý z nich podniknout jednu ze tří akcí: a/ žalovat druhý podnik u soudu strategie Z b/ nabídnout druhému podniku spojení strategie

Více

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13. Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

Řešení: PŘENESVĚŽ (N, A, B, C) = přenes N disků z A na B pomocí C

Řešení: PŘENESVĚŽ (N, A, B, C) = přenes N disků z A na B pomocí C Hanojské věže - 3 kolíky A, B, C - na A je N disků různé velikosti, seřazené od největšího (dole) k nejmenšímu (nahoře) - kolíky B a C jsou prázdné - úkol: přenést všechny disky z A na B, mohou se odkládat

Více

2 HRA V EXPLICITNÍM TVARU

2 HRA V EXPLICITNÍM TVARU 2 HRA V EXPLICITNÍM TVARU 59 Příklad 1 Hra Nim. Uvažujme jednoduchou hru, kdy dva hráči označme je čísly 1, 2 mají před sebou dvě hromádky, z nichž každá je tvořena dvěma fazolemi. Hráč 1 musí vzít z jedné

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2014, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a,

Více

12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ

12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ 12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ 543 Ne v každé hře mají všichni hráči úplné informace o výplatních funkcích ostatních. Ve skutečnosti je většina situací s informací neúplnou. Například: V aukcích zpravidla

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 9. Modely nedokonalých trhů

Teorie her a ekonomické rozhodování. 9. Modely nedokonalých trhů Teorie her a ekonomické rozhodování 9. Modely nedokonalých trhů 9.1 Dokonalý trh Dokonalý trh Dokonalá informovanost kupujících Dokonalá informovanost prodávajících Nulové náklady na změnu dodavatele Homogenní

Více

5 Orientované grafy, Toky v sítích

5 Orientované grafy, Toky v sítích Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost

Více

Stručný úvod do teorie her. Michal Bulant

Stručný úvod do teorie her. Michal Bulant Stručný úvod do teorie her Michal Bulant Čím se budeme zabývat Alespoň 2 hráči (osoby, firmy, státy, biologické druhy apod.) Každý hráč má určitou množinu strategií, konkrétní situace (outcome) ve hře

Více

Rozhodovací procesy v ŽP HRY A SIMULAČNÍ MODELY

Rozhodovací procesy v ŽP HRY A SIMULAČNÍ MODELY Rozhodovací procesy v ŽP HRY A SIMULAČNÍ MODELY Teorie her proč využívat hry? Hry a rozhodování varianty her cíle a vítězné strategie (simulační) Modely Operační hra WRENCH Cv. Katedra hydromeliorací a

Více

Prohledávání do šířky a do hloubky. Jan Hnilica Počítačové modelování 15

Prohledávání do šířky a do hloubky. Jan Hnilica Počítačové modelování 15 Prohledávání do šířky a do hloubky Jan Hnilica Počítačové modelování 15 1 Prohledávací algoritmy Úkol postupně systematicky prohledat vymezený stavový prostor Stavový prostor (SP) možné stavy a varianty

Více

State Space Search Step Run Editace úloh Task1 Task2 Init Clear Node Goal Add Shift Remove Add Node Goal Node Shift Remove, Add Node

State Space Search Step Run Editace úloh Task1 Task2 Init Clear Node Goal Add Shift Remove Add Node Goal Node Shift Remove, Add Node State Space Search Po spuštění appletu se na pracovní ploše zobrazí stavový prostor první předpřipravené úlohy: - Zeleným kroužkem je označen počáteční stav úlohy, který nemůže být změněn. - Červeným kroužkem

Více

MODELY OLIGOPOLU COURNOTŮV MODEL, STACKELBERGŮV MODEL

MODELY OLIGOPOLU COURNOTŮV MODEL, STACKELBERGŮV MODEL MODELY OLIGOPOLU COURNOTŮV MODEL, STACKELBERGŮV MODEL DOKONALÁ KONKURENCE Trh dokonalé konkurence je charakterizován velkým počtem prodávajících, kteří vyrábějí homogenní produkt a nemohou ovlivnit tržní

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

TEORIE HER. Základní pojmy teorie her. buď racionální (usiluje o optimální výsledek hry) nebo indiferentní (výsledek hry je mu lhostejný)

TEORIE HER. Základní pojmy teorie her. buď racionální (usiluje o optimální výsledek hry) nebo indiferentní (výsledek hry je mu lhostejný) TEORIE HER V dosavadních přednáškách jsme probírali jedno či vícekriteriální optimalizaci, ale v těchto úlohách byly předem pevně dané podmínky a ty se nijak neměnily v závislosti na našem rozhodnutí Také

Více

2. Řešení úloh hraní her Hraní her (Teorie a algoritmy hraní her)

2. Řešení úloh hraní her Hraní her (Teorie a algoritmy hraní her) Hraní her (Teorie a algoritmy hraní her) 4. 3. 2015 2-1 Hraní her pro dva a více hráčů Počítač je při hraní jakékoli hry: silný v komplikovaných situacích s množstvím kombinací, má obrovskou znalost zahájení

Více

Simplexová metoda. Simplexová tabulka: Záhlaví (účelová funkce) A ~ b r βi. z j c j. z r

Simplexová metoda. Simplexová tabulka: Záhlaví (účelová funkce) A ~ b r βi. z j c j. z r Simplexová metoda Simplexová metoda, je jedním ze způsobů, jak řešit úlohy lineárního programování. Tato metoda vede k cíly, nelezení optimálního řešení, během konečného počtu kroků, pokud se při prvním

Více

Hraní her. (Teorie a algoritmy hraní her) Řešení úloh hraní her. Václav Matoušek /

Hraní her. (Teorie a algoritmy hraní her) Řešení úloh hraní her. Václav Matoušek / Hraní her (Teorie a algoritmy hraní her) 8. 3. 2019 2-1 Hraní her pro dva a více hráčů Počítač je při hraní jakékoli hry: silný v komplikovaných situacích s množstvím kombinací, má obrovskou znalost zahájení

Více

KOOPERATIVNÍ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, JÁDRO HRY, HRA VE TVARU CHARAKTERISTICKÉ FUNKCE, SHAPLEYOVA HODNOTA CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ?

KOOPERATIVNÍ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, JÁDRO HRY, HRA VE TVARU CHARAKTERISTICKÉ FUNKCE, SHAPLEYOVA HODNOTA CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? KOOPERATIVNÍ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, JÁDRO HRY, HRA VE TVARU CHARAKTERISTICKÉ FUNKCE, SHAPLEYOVA HODNOTA CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekonomická vědní disciplína, která se

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. Úvodní informace Obsah kursu 1. Úvod do teorie her

Teorie her a ekonomické rozhodování. Úvodní informace Obsah kursu 1. Úvod do teorie her Teorie her a ekonomické Úvodní informace Obsah kursu 1. Úvod do teorie her Úvodní informace Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Místnost: 433 NB Konzultace: Středa 6:30 7:30, 19:30 20:30 Čtvrtek E-mail: jana.seknickova@vse.cz

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Model tahové hry s finančními odměnami

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Model tahové hry s finančními odměnami VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Obor: Statistika a ekonometrie Název bakalářské práce Model tahové hry s finančními odměnami Autor: Vedoucí bakalářské práce: Rok: 009 Markéta

Více

VÍCEKRITERIÁLNÍ MANAŢERSKÉ ROZHODOVÁNÍ V PODMÍNKÁCH RIZIKA A NEJISTOTY

VÍCEKRITERIÁLNÍ MANAŢERSKÉ ROZHODOVÁNÍ V PODMÍNKÁCH RIZIKA A NEJISTOTY Internetový časopis o jakosti Vydavatel: Katedra kontroly a řízení jakosti, FMMI, VŠB-TU Ostrava VÍCEKRITERIÁLNÍ MANAŢERSKÉ ROZHODOVÁNÍ V PODMÍNKÁCH RIZIKA A NEJISTOTY ÚVOD Všemi sekvenčními manažerskými

Více

Grafové algoritmy. Programovací techniky

Grafové algoritmy. Programovací techniky Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být

Více

Grafové algoritmy. Programovací techniky

Grafové algoritmy. Programovací techniky Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být

Více

{Q={1,2};S,T;u(s,t)} (3.3) Prorovnovážnéstrategie s,t vehřesnulovýmsoučtemmusíplatit:

{Q={1,2};S,T;u(s,t)} (3.3) Prorovnovážnéstrategie s,t vehřesnulovýmsoučtemmusíplatit: 3 ANTAGONISTICKÉ HRY 3. ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,

Více

Koaliční hry. Kooperativní hra dvou hráčů

Koaliční hry. Kooperativní hra dvou hráčů Koaliční hry Obsah kapitoly. Koalice dvou hráčů 2. Koalice N hráčů Studijní cíle Cílem tohoto tematického bloku je získání základního přehledu o kooperativních hrách a jejich aplikovatelnosti. Student

Více

Varianty Monte Carlo Tree Search

Varianty Monte Carlo Tree Search Varianty Monte Carlo Tree Search tomas.kuca@matfyz.cz Herní algoritmy MFF UK Praha 2011 Témata O čem bude přednáška? Monte Carlo Tree Search od her podobných Go (bez Go) k vzdálenějším rozdíly a rozšíření

Více

Algoritmy pro hraní tahových her

Algoritmy pro hraní tahových her Algoritmy pro hraní tahových her Klasické deskové hry pro dva hráče: Šachy Dáma Go Piškvorky Reversi Oba hráči mají úplnou znalost pozice (na rozdíl např. od Pokeru). 1 Základní princip Hraní tahových

Více

PŘÍKLADY DVOJMATICOVÉ HRY

PŘÍKLADY DVOJMATICOVÉ HRY PŘÍKLADY DVOJMATICOVÉ HRY Příklad 1 SOUTĚŽ O ZAKÁZKY Investor chce vybudovat dva hotely Jeden nazveme Velký (zkratka V); ze získání zakázky na něj se očekává zisk ve výši 30 milionů Druhý nazveme Malý

Více

TEORIE HER

TEORIE HER TEORIE HER 15. 10. 2014 HRA HRA Definice Hra je činnost jednoho či více lidí, která nemusí mít konkrétní smysl, ale přitom má za cíl radost či relaxaci. HRA Definice Hra je činnost jednoho či více lidí,

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

Hlavolamy a teorie grafů

Hlavolamy a teorie grafů Hlavolamy a teorie grafů Petr Kovář 1 petr.kovar@vsb.cz 1 Vysolá škola báňská Technická univerzita Ostrava, Škola matematického modelování, 2009 Přehled přednášky Úloha hanojských věží Část 1. Co není

Více

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ MATEMATICKÁ metodický list č. 1 Řešení úloh Cílem tohoto tematického celku je vysvětlení vybraných pojmů z oblasti řešení úloh. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Řešení úloh ve stavovém

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

A4B33ZUI Základy umělé inteligence

A4B33ZUI Základy umělé inteligence LS 2014 Jméno: A4B33ZUI Základy umělé inteligence 11. 6. 2014 O1 O2 O3 O4 O5 Total (50) Instrukce: Na vypracování máte 150 min, můžete použít vlastní poznámky v podobě ručně popsaného listu A4. Použití

Více

Dijkstrův algoritmus

Dijkstrův algoritmus Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Dva kompletně řešené příklady

Dva kompletně řešené příklady Markl: Příloha 1: Dva kompletně řešené příklady /TEH_app1_2006/ Strana 1 Dva kompletně řešené příklady Úvod V této příloze uvedeme úplné a podrobné řešení dvou her počínaje jejich slovním neformálním popisem

Více

PQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase

PQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase -stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase ermutace s předepsanými intervaly Označme [n] množinu {1, 2,..., n}. Mějme permutaci π = π 1, π 2,..., π n množiny [n]. Řekneme, že množina S

Více

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE . LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke

Více

popel, glum & nepil 16/28

popel, glum & nepil 16/28 Lineární rezoluce další způsob zjemnění rezoluce; místo stromu směřujeme k lineární struktuře důkazu Lineární rezoluční odvození (důkaz) z Ë je posloupnost dvojic ¼ ¼ Ò Ò taková, že Ò ½ a 1. ¼ a všechna

Více

Operační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM.

Operační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM. Operační výzkum Síťová analýza. Metoda CPM. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ Metodický list č. 1 Název tématického celku: Řešení úloh Cílem tohoto tematického celku je vysvětlení vybraných pojmů z oblasti řešení úloh. Tématický celek je rozdělen do

Více

Ing. Alena Šafrová Drášilová, Ph.D.

Ing. Alena Šafrová Drášilová, Ph.D. Rozhodování Ing. Alena Šafrová Drášilová, Ph.D. Rozhodování??? video Obsah typy rozhodování principy rozhodování rozhodovací fáze základní pojmy hodnotícího procesu rozhodovací podmínky rozhodování v podmínkách

Více

Státnicová otázka 6, okruh 1

Státnicová otázka 6, okruh 1 Státnicová otázka 6, okruh 1 Vojtěch Franc, xfrancv@electra.felk.cvut.cz 7. února 2000 1 Zadání Statické optimalizace. Lineární a nelineární programování. Optimální řízení a rozhodování v dynamických systémech,

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů

4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů 4EK311 Operační výzkum 5. Teorie grafů 5. Teorie grafů definice grafu Graf G = uspořádaná dvojice (V, E), kde V označuje množinu n uzlů u 1, u 2,, u n (u i, i = 1, 2,, n) a E označuje množinu hran h ij,

Více

5.7 Kooperativní hry 5.7.1 Kooperativní hra 2 hráčů 5.7.2 Kooperativní hra N hráčů 5.8 Modely oligopolu 5.9 Teorie redistribučních systémů 5.

5.7 Kooperativní hry 5.7.1 Kooperativní hra 2 hráčů 5.7.2 Kooperativní hra N hráčů 5.8 Modely oligopolu 5.9 Teorie redistribučních systémů 5. Mikroekonomie bakalářský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 6 Teorie her, volby teorie redistribučních systémů a teorie veřejné Obsah 5.7 Kooperativní hry 5.7.1

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Hry a UI historie. von Neumann, 1944 algoritmy perfektní hry Zuse, Wiener, Shannon, přibližné vyhodnocování

Hry a UI historie. von Neumann, 1944 algoritmy perfektní hry Zuse, Wiener, Shannon, přibližné vyhodnocování Hry a UI historie Hry vs. Prohledávání stavového prostoru Hry a UI historie Babbage, 1846 počítač porovnává přínos různých herních tahů von Neumann, 1944 algoritmy perfektní hry Zuse, Wiener, Shannon,

Více

BCH kódy. Alena Gollová, TIK BCH kódy 1/27

BCH kódy. Alena Gollová, TIK BCH kódy 1/27 7. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK 1/27 Obsah 1 Binární Alena Gollová, TIK 2/27 Binární jsou cyklické kódy zadané svými generujícími kořeny. Díky šikovné volbě kořenů opravuje kód

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 65. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 1. Kolika způsoby je možno vyplnit čtvercovou tabulku 3 3 čísly,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby součet čísel v každém čtverci

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Teorie her. Kapitola 1. 1.1 Základní pojmy. 1.1.1 Základní pojmy

Teorie her. Kapitola 1. 1.1 Základní pojmy. 1.1.1 Základní pojmy Kapitola 1 Teorie her Dosud jsme se věnovali jednokriteriální či vícekriteriální optimalizaci, kde ve všech úlohách byly předem pevně dané podmínky a ty se nijak neměnily v závislosti na našem rozhodnutí.

Více

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem 1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více