RNDr. Michal Horák, CSc. Mikroelektronické prvky a struktury

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "RNDr. Michal Horák, CSc. Mikroelektronické prvky a struktury"

Transkript

1 RNr. Michal Horák, Sc. Mikroelektroické rvky a struktury Vysoké učeí techické v rě 11

2 eto učebí text byl vyracová v rámci rojektu vroského sociálího fodu č. Z.1.7/../7.391 s ázvem ovace a moderizace bakalářského studijího oboru Mikroelektroika a techologie a magisterského studijího oboru Mikroelektroika (MM. Projekty vroského sociálího fodu jsou fiacováy vroskou uií a státím rozočtem České reubliky.

3 Mikroelektroické rvky a struktury 1 Obsah 1 ÚVO... 7 ZAŘAZNÍ PŘMĚ V SJNÍM PROGRAM ÚVO O PŘMĚ VSPNÍ S POOVOČ POOVOČ: SRKRA A HMKÉ SOŽNÍ NRGOVÉ PÁSY V PVNÝH ÁKÁH FRMHO-RAOVA ROZĚOVAÍ FNK ŠÍŘKA ZAKÁZANÉHO PÁS POOVOČ KONNRA KRONŮ A ĚR V POOVOČÍH Polovodič vlastí (itrisický Polovodiče tyu a Rovovážá kocetrace elektroů a děr v olovodičích Rovice elektrické eutrality elotí závislost kocetrace elektroů a děr RF A FÚZ NOSČŮ NÁOJ V POOVOČÍH rift osičů áboje, driftová rychlost Pohyblivost elektroů a děr v olovodičích Hustota driftového toku, vodivost olovodiče ifúze osičů áboje Proudová hustota v olovodičích NROVNOVÁŽNÉ NOSČ NÁOJ V POOVOČ Geerace osičů áboje v olovodičích Rekombiace osičů áboje v olovodičích Výsledá geeračě-rekombiačí rychlost, doba života ifúze a drift erovovážých osičů áboje ROVN KONNY Odvozeí rovice kotiuity Soustava základích olovodičových rovic SHRNÍ KAPOY KONRONÍ OÁZKY A PŘÍKAY PŘHO PN A POOVOČOVÉ OY PŘHO PN V ROVNOVÁŽNÉM SAV KRKÉ PO V OHZNÉ VRSVĚ PN PŘHO VOAMPÉROVÁ HARAKRSKA PŘHO PN Voltamérová charakteristika ideálího řechodu Saturačí roud -řechodu Vliv geerace a rekombiace uvitř ochuzeé vrstvy Vliv vysoké ijekce Vliv sériového odoru Vliv teloty Voltamérová charakteristika reálého řechodu Staoveí arametrů diody z voltamérové charakteristiky PRŮRAZ PŘHO PN uelový (Zeerův růraz řechodu aviový růraz řechodu ARÉROVÁ KAPAA PŘHO PN Vzik bariérové kaacity a -charakteristika řechodu Staoveí arametrů diody z charakteristiky kaacita-aětí... 57

4 Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií V v rě 4.6 KOMPXNÍ AMAN PŘHO PN Vzik difúzí kaacity řechodu Komlexí admitace a její frekvečí závislost iearizovaý ekvivaletí obvod řechodu PŘHO PN V MPSNÍM RŽM MO OY V PROGRAM SP SHRNÍ KAPOY KONRONÍ OÁZKY A PŘÍKAY PŘHO KOV-POOVOČ, SHOKYHO OY RŮZNÉ YPY KONAKŮ KOV-POOVOČ SMĚRŇJÍÍ KONAK KOV-POOVOČ YP N směrňující kotakt kov-olovodič tyu s vějším aětím lektrické ole v ochuzeé vrstvě řechodu kov-olovodič tyu Kaacita ochuzeé vrstvy řechodu kov-olovodič tyu Schottkyho jev Vliv vázaého áboje a rozhraí kov-olovodič Fyzikálí mechaismy růchodu roudu Schottkyho kotaktem SHOKYHO OY Voltamérová charakteristika Schottkyho diody Staoveí výšky Schottkyho bariéry Vliv mioritích osičů áboje iearizovaý ekvivaletí obvod Schottkyho diody Porováí Schottkyho diod a olovodičových diod s řechodem OHMKÉ KONAKY SHRNÍ KAPOY KONRONÍ OÁZKY A PŘÍKAY HROPŘHOY MARÁY PRO HROPŘHOY PÁSOVÉ AGRAMY HROPŘHOŮ KRKÉ PO V OHZNÉ VRSVĚ HROPŘHO PRŮHO PRO HROPŘHOM KAPAA HROPŘHO HROPŘHOY MZ POOVOČ S OŠNO MŘÍŽKOVO KONSANO SHRNÍ KAPOY KONRONÍ OÁZKY A PŘÍKAY POÁRNÍ RANZSORY SRKRA POÁRNÍHO RANZSOR VOAMPÉROVÉ HARAKRSKY A PARAMRY POÁRNÍHO RANZSOR Jedorozměrý model biolárího trazistoru Saturačí a zbytkové roudy trazistoru Voltamérové charakteristiky biolárího trazistoru Stejosměré arametry biolárího trazistoru SHRNÍ KAPOY KONRONÍ OÁZKY A PŘÍKAY... HYA! ZÁOŽKA NNÍ FNOVÁNA.

5 Mikroelektroické rvky a struktury 3 Sezam obrázků ORÁZK 3.1: KRONOVÝ OA AOM KŘMÍK ORÁZK 3.: KRYSAOVÁ MŘÍŽKA YPKÝH POOVOČŮ A ROZOŽNÍ KRONOVÉHO OAK V KOVANNÍM KRYSA GRMANA (VRSVN PROPOJJÍ MÍSA S SJNO HSOO NÁOJ ORÁZK 3.3: NRGOVÉ PÁSY V PVNÝH ÁKÁH ORÁZK 3.4: FRMHO-RAOVA ROZĚOVAÍ FNK A FRMHO NRG ORÁZK 3.5: ZÁVSOS NRNSKÉ KONNRA A ŠÍŘKY ZAKÁZANÉHO PÁS NA POĚ PRO POOVOČ S, G, GAAS ORÁZK 3.6: PÁSOVÝ AGRAM POOVOČ YP N A P ORÁZK 3.7: POOHA PŘÍMĚSOVÝH HAN V KŘMÍK ORÁZK 3.8: NGNROVANÝ, SAĚ GNROVANÝ A GNROVANÝ POOVOČ N NO P. 16 ORÁZK 3.9: ZÁVSOS KONNRA KRONŮ A ĚR NA POĚ ORÁZK 3.1: RF NOSČŮ NÁOJ V POOVOČ... ORÁZK 3.11: ZÁVSOS RFOVÉ RYHOS KRONŮ A ĚR NA NNZĚ KRKÉHO PO V RŮZNÝH POOVOČÍH ORÁZK 3.1: ZÁVSOS POHYVOS KRONŮ A ĚR NA KONNRA ONORŮ NO AKPORŮ. 1 ORÁZK 3.13: ZÁVSOS POHYVOS KRONŮ A ĚR NA POĚ.... ORÁZK 3.14: K OVOZNÍ VZAH PRO HSO RFOVÉHO OK... 3 ORÁZK 3.15: RZSVA S, G, GAAS, GAP V ZÁVSOS NA KONNRA PŘÍMĚSÍ PŘ POĚ 3 K. 4 ORÁZK 3.16: HSOA FÚZNÍHO OK (PRO KRONŮ A ĚR ORÁZK 3.17: GNRA NOSČŮ NÁOJ V POOVOČ... 6 ORÁZK 3.18: NĚKRÉ RKOMNAČNÍ PROSY V POOVOČÍH... 7 ORÁZK 3.19: RF A FÚZ NROVNOVÁŽNÝH NOSČŮ NÁOJ V POOVOČ... 9 ORÁZK 3.: K OVOZNÍ ROVN KONNY ORÁZK 4.1: YPKÁ SRKRA POOVOČOVÉ OY S PŘHOM PN A JJÍ ZJNOŠNÝ JNOROZMĚRNÝ MO ORÁZK 4.: PŘHO PN V ROVNOVÁŽNÉM SAV: YNAMKÁ ROVNOVÁHA NA PŘHO, VZNK OHZNÉ VRSVY, PÁSOVÝ AGRAM ORÁZK 4.3: KONAKNÍ NAPĚÍ RŮZNÝH PN PŘHOŮ ORÁZK 4.4: PÁSOVÝ AGRAM PN PŘHO Z NAPĚÍ A S NAPĚÍM V PROPSNÉM A V ZÁVĚRNÉM SMĚR, MO SRMÉHO PN PŘHO ORÁZK 4.5: ÁNÍ PŘHO PN: ZJNOŠNÝ JNOROZMĚRNÝ MO SRKRY, KONNRA NOSČŮ A PROOVÁ HSOA V PROPSNÉM A V ZÁVĚRNÉM SMĚR ORÁZK 4.6: VV GNRAČNĚ-RKOMNAČNÍHO PRO NA KOVÝ PRO PN PŘHO. 4 ORÁZK 4.7: VV GNRAČNĚ-RKOMNAČNÍH PROSŮ V OHZNÉ VRSVĚ NA HARAKRSK PN PŘHO V PROPSNÉM SMĚR (VVO A PONÍ ZÁVSOS ZÁVĚRNÉHO PRO PN PŘHO (VPRAVO ORÁZK 4.8: VV MSNÍHO KOFN Z ROVN ( 4.4 NA HARAKRSK PN PŘHO. 43 ORÁZK 4.9: VZNK SÉROVÉHO OPOR V SRKŘ OY A JHO VV NA VOAMPÉROVO HARAKRSK ORÁZK 4.1: ROZÍ MZ VOAMPÉROVO HARAKRSKO ÁNÍHO PN PŘHO A RÁNÉ POOVOČOVÉ OY ORÁZK 4.11: SANOVNÍ PARAMRŮ OY Z VOAMPÉROVÉ HARAKRSKY ORÁZK 4.1: NOVÁNÍ KRON PŘS PONÁOVO ARÉR PN PŘHO MZ GNROVANÝM POOVOČ ORÁZK 4.13: AVNOVÝ A NOVÝ PRŮRAZ PN PŘHO. ZÁVSOS PRŮRAZNÉHO NAPĚÍ, ŠÍŘKY OHZNÉ VRSVY PŘ PRŮRAZ A MAXMÁNÍ NNZY KRKÉHO PO

6 4 Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií V v rě V OHZNÉ VRSVĚ NA KONNRA PŘÍMĚSÍ PRO SRMÝ NSYMRKÝ PN PŘHO Z RŮZNÝH POOVOČŮ... 5 ORÁZK 4.14: AVNOVÉ NÁSONÍ KRONŮ A ĚR V ZÁVĚRNÉ VRSVĚ PN PŘHO ORÁZK 4.15: VZNK ARÉROVÉ KAPAY PN PŘHO ORÁZK 4.16: ZÁVSOS ARÉROVÉ KAPAY NA NAPĚÍ PRO RŮZNÁ M Z ROVN ( ORÁZK 4.17: VZAH MZ ŠÍŘKO OHZNÉ VRSVY, KAPAO PŘHO A KONNRAÍ PŘÍMĚSÍ ORÁZK 4.18: VZNK FÚZNÍ KAPAY PN PŘHO A GRAFKÉ RČNÍ YNAMKÉ VOVOS. 58 ORÁZK 4.19: PRŮĚH KONNRA MNORNÍH NOSČŮ NÁOJ V SRKŘ OY... 6 ORÁZK 4.: FÚZNÍ VOVOS A KAPAA. NX OZNAČJ VČNY NZÁVSÉ NA FRKVN. 61 ORÁZK 4.1: NARZOVANÝ KVVANNÍ OVO PŘHO PN A OY... 6 ORÁZK 4.: PŘHO PN V MPSNÍM RŽM ORÁZK 4.3: ZÁVSOS OY ZPOŽĚNÍ S A OY POKS R NA POMĚR R / F ORÁZK 5.1: PÁSOVÉ AGRAMY KOV A POOVOČ YP N PŘ VYVOŘNÍM KONAK. 69 ORÁZK 5.: VZNK SMĚRŇJÍÍHO KONAK (VVO A NSMĚRŇJÍÍHO KONAK (VPRAVO MZ POOVOČM YP N A KOVM... 7 ORÁZK 5.3: PÁSOVÉ AGRAMY ČYŘ RHŮ KONAKŮ KOV-POOVOČ (Z VNĚJŠÍHO NAPĚÍ. 7 ORÁZK 5.4: PÁSOVÉ AGRAMY SMĚRŇJÍÍHO PŘHO KOV-POOVOČ N Z NAPĚÍ A S PŘOŽNÝM NAPĚÍM V PROPSNÉM A V ZÁVĚRNÉM SMĚR... 7 ORÁZK 5.5: K VÝPOČ NNZY A PONÁ KRKÉHO PO OHZNÉ VRSVY SHOKYHO PŘHO KOV-POOVOČ N ORÁZK 5.6: SNÍŽNÍ PONÁOVÉ ARÉRY NA SHOKYHO PŘHO VVM ZRAOVÝH S ORÁZK 5.7: VV POVRHOVÝH SAVŮ ORÁZK 5.8: FYZKÁNÍ MHANSMY RANSPOR NOSČŮ NÁOJ SHOKYHO KONAKM. 76 ORÁZK 5.9: RŮZNÉ SRKRY SHOKYHO O ORÁZK 5.1: NÁČRK SRKRYA A PÁSOVÝ AGRAM SHOKYHO OY ORÁZK 5.11: SANOVNÍ VÝŠKY SHOKYHO ARÉRY Z VOAMPÉROVÉ HARAKRSKY. 79 ORÁZK 5.1: SANOVNÍ VÝŠKY SHOKYHO ARÉRY Z PONÍ ZÁVSOS PRO PŘ KONSANNÍM NAPĚÍ ORÁZK 5.13: SANOVNÍ VÝŠKY SHOKYHO ARÉRY Z HARAKRSKY KAPAA- NAPĚÍ. 8 ORÁZK 5.14: NARZOVANÝ KVVANNÍ OVO SHOKYHO OY ORÁZK 5.15: SRKRA OHMKÉHO KONAK... 8 ORÁZK 6.1: NÁRNÍ POOVOČ ZNÁZORNĚNÉ V AGRAM [A, G ]. SPOJOVAÍ ČÁRY VYZNAČJÍ MOŽNÉ KOMNA NÁRNÍH SOČN A VZNK RNÁRNÍHO POOVOČ, NAPŘ. AAS-A X GA 1-X AS-GAAS. GRAF VPRAVO KAZJ VV HMKÉHO SOŽNÍ RNÁRNÍHO POOVOČ NA MŘÍŽKOVO KONSAN ORÁZK 6.: PÁSOVÉ AGRAMY VO RŮZNÝH POOVOČŮ PŘ VYVOŘNÍM HROPŘHO. NA ORÁZK JSO VYZNAČNY VČNY, KRÉ RČJÍ VZH PÁSOVÉHO AGRAM HROPŘHO ORÁZK 6.3: YPY HROPŘHOŮ PO VZÁJMNÉ POOHY NA VOVOSNÍHO A VRHO VANČNÍHO PÁS ORÁZK 6.4: RŮZNÉ YPY HROPŘHOŮ G/GAAS ORÁZK 6.5: PÁSOVÝ AGRAM HROPŘHO N-AGAAS/P-GAAS: VZNK HROPŘHO A HROPŘHO Z NAPĚÍ. OONÉ PÁSOVÉ AGRAMY MÁ ŘAA AŠÍH HROPŘHOŮ S POOVOČ A V ORÁZK 6.6: PRNP VZNK GRAOVANÉHO HROPŘHO. V RČÉ OAS POOVOČ S PYN MĚNÍ HMKÉ SOŽNÍ MARÁ A ŮSK S MĚNÍ

7 Mikroelektroické rvky a struktury 5 VČNY g, Δ, Δ V. POSPNÉ ZVYŠOVÁNÍ MOÁRNÍHO OSAH HNÍK MĚNÍ PRŮĚH HAN A V A ŠÍŘK ZAKÁZANÉHO PÁS G ORÁZK 6.7: VV GRAOVANÉ VRSVY NA PRŮĚH NRGOVÝH HAN V OKOÍ HROPŘHO... 9 ORÁZK 6.8: PÁSOVÝ AGRAM HROPŘHO N-AGAAS/P-GAAS S PŘOŽNÝM NAPĚÍM. 91 ORÁZK 6.9: MHANSMY RANSPOR KRKÉHO NÁOJ PŘS SRMÝ HROPŘHO NP. 93 ORÁZK 6.1: PÁSOVÝ AGRAM SRMÉHO HROPŘHO NP PRO RŮZNÁ APĚÍ V PROPSNÉM SMĚR. NAPĚÍ VZRŮSÁ ZVA OPRAVA O NY PO KONAKNÍ NAPĚÍ V bi. 93 ORÁZK 6.11: KAPAA OHZNÝH VRSV SRMÉHO HROPŘHO NP ORÁZK 6.1: AOMOVÁ SRKRA MŘÍŽKOVĚ NPŘZPŮSONÝH VRSV NGAAS A GAAS. 95 ORÁZK 6.13: K FN KRKÉ OŠŤKY ORÁZK 6.14: ZÁVSOS ŠÍŘKY ZAKÁZANÉHO PÁS NA MOÁRNÍM OSAH GRMANA V VRSVÁH SG ORÁZK 6.15: PŘÍKAY PÁSOVÝH AGRAMŮ RŮZNÝH HROSKRKR SG ORÁZK 7.1: PRVNÍ POÁRNÍ RANZSOR: FOOGRAF A SHÉMAKÝ ŘZ SRKRO. 98 ORÁZK 7.: PŘÍČNÝ ŘZ KŘMÍKOVÝM POÁRNÍM RANZSORM NPN ORÁZK 7.3: PŘÍČNÝ ŘZ KŘMÍKOVÝM POÁRNÍM RANZSORM PNP; VVO RANZSOR SSRÁOVÝ, VPRAVO ARÁNÍ ORÁZK 7.4: SRKRY RZSORŮ... 1 ORÁZK 7.5: PÁSOVÉ AGRAMY POÁRNÍHO RANZSOR NPN A PNP... 1 ORÁZK 7.6: PÁSOVÉ AGRAMY POÁRNÍHO RANZSOR NPN PRO ČYŘ MOŽNÉ RŽMY ČNNOS. 1 ORÁZK 7.7: PRNP ČNNOS POÁRNÍHO RANZSOR (AKVNÍ NORMÁNÍ RŽM, RANZSOR NPN ORÁZK 7.8: OKY KRONŮ A ĚR V SRKŘ RANZSOR (AKVNÍ NORMÁNÍ RŽM, RANZSOR NPN ORÁZK 7.9: JNOROZMĚRNÝ MO POÁRNÍHO RANZSOR NPN ORÁZK 7.1: PRŮĚHY KONNRA MNORNÍH A MAJORNÍH NOSČŮ V SRKŘ RANZSOR NPN PRO ČYŘ RŽMY ČNNOS RANZSOR ORÁZK 7.11: OKY KRONŮ A ĚR V JNOROZMĚRNÉM MO RANZSOR

8 6 Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií V v rě Sezam tabulek AKA 3.1: PARAMRY VYRANÝH POOVOČŮ AKA 3.: HONOY PARAMRŮ PRO MO POHYVOS PO ROVN ( AKA 4.1: PRŮĚH PONÁ A NNZY KRKÉHO PO NA SRMÉM PN PŘHO. 37 AKA 4.: RÁNÁ A MAGNÁRNÍ SOŽKA FÚZNÍ AMAN PN PŘHO AKA 4.3: ZÁKANÍ ROVN A VYRANÉ PARAMRY MO OY V SMÁOR SP. 65 AKA 5.1: ČÍSNÉ HONOY VÝŠK SHOKYHP ARÉRY Φ N, VÝSPNÍ PRÁ Φ M A KRONOVÉ AFNY χ PRO VYRANÉ POOVOČ A KOVY AKA 5.: PRŮĚH NNZY A PONÁ KRKÉHO PO V OHZNÉ VRSVĚ... 7 * m AKA 5.3: HONOY POMĚR m Z ROVN ( 5.6 PRO NĚKRÉ POOVOČ AKA 5.4: POROVNÁNÍ PN-O A SHOKYHO O AKA 6.1: VV HMKÉHO SOŽNÍ POOVOČ NA ŠÍŘK ZAKÁZANÉHO PÁS... 85

9 Mikroelektroické rvky a struktury 7 1 Úvod čebí text Mikroelektroické rvky a struktury je základí studijí literaturou ro stejojmeý ředmět, který je zařaze ve studijím rogramu lektrotechika, elektroika, komuikačí a řídicí techika (KR jako oviý ředmět magisterského studijího oboru Mikroelektroia (M-M. Základí ideou výuky je ukázat a zdůrazit vztahy mezi fyzikálím riciem součástky, realizací struktury součástky v itegrovaém obvodu a jejím matematickým modelem oužívaým v simulátorech elektroických obvodů. Zařazeí ředmětu ve studijím rogramu Předmět Mikroelektroické rvky a struktury (MMPR je vyučová jako oviý ředmět v zimím semestru rvího ročíku magisterského studijího oboru Mikroelektroika v týdeím rozsahu hod. ředášek + hod. cvičeí a očítači, celkem za semestr tedy hod, čemuž odovídá jeho ohodoceí 5 kredity. Nejdůležitější odboré ředměty ředcházejícího bakalářského stuě studia, a ěž ředmět MMPR avazuje, jsou lektroické součástky, lektrotechika,, Modelováí a očítačová simulace, z teoretických ředmětů ak Fyzika, a Matematika,,. Předokládá se, že osluchač je schoe alikovat základí ozatky o olovodičových součástkách a základí riciy teorie obvodů k aalýze jedoduchých obvodů s diodami a trazistory, a to jak k aalýze teoretické (res. očetí ebo ručí, tak k aalýze a simulacím s využitím simulátorů elektroických obvodů. Z matematiky očekáváme zalost difereciálího a itegrálího očtu fukcí jedé roměé. Výklad fyzikálích vlastostí olovodičů a olovodičových součástek byl v ředcházejícím studiu roztříště do růzých ředmětů (lektroické součástky, Fyzika, roto se sažíme o systematický a okud možo odrobý výklad zde a látku robíraou dříve v odstaté míře rozšiřujeme..1 Úvod do ředmětu Předmět Mikroelektroické rvky a struktury rozšiřuje a rohlubuje ozatky o olovodičových součástkách z ředmětu bakalářského stuě studia lektroické součástky a úroveň, která odovídá magisterskému stui studia secializace Mikroelektroika. ílem ředmětu lektroické součástky bylo sezámit se s voltamérovými charakteristikami a dalšimi vlastostmi a arametry součástek. Předmět Mikroelektroické rvky a struktury by měl ukázat souvislosti a vztahy mezi vlastostmi výchozího olovodičového materiálu, geometrií a toologií olovodičové struktury a elektrickými vlastostmi olovodičové součástky, rvky jejího ekvivaletího obvodu a arametry jejího matematického modelu. Velmi stručě by bylo možé charakterizovat obsah ředmětu takto: od ohybu elektroů a děr k vlastostem součástky. veďme kokrétí říklad: Pro ávrháře elektroických obvodů je závěrý roud diody zravidla ezajímavý, rotože je to rakticky ula. Pro secialistu v oboru Mikroelektroika je však závěrý roud diody velmi výzamý, rotože z jeho aěťové a telotí závislosti lze odvodit řadu ozatků o struktuře diody, říadě o strukturích oruchách, ežádoucích říměsích aod. K tomu je ovšem otřeba vědět, že závěrý roud má složku difúzí a geeračě-rekombiačí, že tyto složky mají růzou telotí závislosti, že závisejí a aětí atd. Je rostě otřeba ovládat fyziku olovodičových součástek a sledovat souvislosti a vztahy mezi fyzikálí teorií a elektrotechickou raxí.

10 8 Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií V v rě. Vstuí test Než začete studovat ředložeý studijí text, rojděte si zde uvedeé úlohy, které Vám ukážou, a kolik Vaše současé zalosti odovídají vstuím ožadavkům a úsěšé studium ředmětu MMPR. 1. úloha V tabulce jsou uvedey výsledky měřeí fyzikálí veličiy x a fyzikálí veličiy y, jejichž fukčí závislost lze osat rovicí y A[ex( x / 1]. Nakreslete graf tabelovaé fukce a určete hodoty kostat A,. x,,4,6,8,1,1,14,16,18,,,4,6,8,3 y,14,3,56,86 1,4 1,74,38 3,19 4,4 5,59 7,3 9,54 1,4 16,1,8. úloha Pásový diagram určité olovodičové struktury je akresle a obrázku. Odovězte a tyto otázky: a Nakreslete růběh elektrostatického oteciálu uvitř struktury. b Nakreslete růběh itezity elektrického ole uvitř struktury. c Je struktura v rovovážém stavu ebo eí? d Jaká je kietická eergie elektroů e 1, e, e 3? e Jaká je kietická eergie děr d 1, d, d 3? f Jaký ty vodivosti má olovodič v oblastech (, 1 / 3, ( 1 / 3, / 3, ( / 3,? 3. úloha V jakém režimu racuje křemíkový biolárí trazistor, jestliže aětí mezi jeho elektrodami jsou: a,7 V, 5, V b,7 V, 5, V c,7 V, 5, V e,7 V, 5, V f 5, V,,7 V 4. úloha Vyočtěte aětí a diodě a roud rocházející diodou v obou obvodech. ioda je křemíková s rahovým aětím,7 V, aájecí aětí N1 15 V, N 1 V, rezistory R R R R 1 kω N1 + N + N1 + N R 1 R 3 R 1 R 3 1 R R 4 R R 4

11 Mikroelektroické rvky a struktury 9 5. úloha Na obrázku je akresleo schéma zaojeí křemíkového biolárího trazistoru. a Vyočtěte roudy,, a aětí,, za ředokladu, že racoví bod trazistoru je astave do aktivího ormálího režimu. b Načrtěte výstuí charakteristiky trazistoru. Naište rovici zatěžovací římky a ačrtěte její olohu ve výstuích charakteristikách, vyzačte souřadice jejich růsečíků s osami a olohu racovího bodu. R 43 kω trazistor: zesíleí β h 1 5 arlyho aětí 8 V + V R kω R 1 kω 6. úloha K astaveí racovího bodu trazistoru JF s kaálem tyu je oužit obvod a obrázku. a rčete hodotu odoru R S a iterval, v ěmž se může ohybovat hodota odoru R tak, aby byly slěy tyto odmíky: trazistorem rotéká roud 1 / SS, racoví bod trazistoru je v režimu saturace, eí řekroče maximálí ztrátový výko kolektoru P max 5 mw. b Zázorěte a výstuí charakteristice možé olohy racovího bodu. razistor: SS 18 ma P 4 V P max 5 mw R G GS R S + 3 V R S 7. úloha Pracoví bod trazistoru MOSF je astave zaojeím odle obrázku a rčete, o jaký ty trazistoru MOSF jde. b Vyočtěte olohu racovího bodu trazistoru, tj. aětí GS, roud a aětí S. c Nakreslete řevodí charakteristiku a výstuí charakteristiky trazistoru a zázorěte v ich olohu zatěžovací římky a racovího bodu trazistoru. razistor: K,4 ma / V P + 3 V R G MΩ + 1 V R kω S GS

12 1 Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií V v rě 3 Polovodiče Jak ázev olovodiče aovídá, jde o materiály, jejichž elektrická vodivost je ěkde mezi dobrými vodiči (jako zlato ebo měď a izolátory (jako jsou růzé keramiky ebo lasty. aková charakteristika olovodičů je ovšem velmi hrubá, a roto se v této kaitole sezámíme s vlastostmi elektroů a děr v olovodičích detailěji. 3.1 Polovodiče: struktura a chemické složeí yickými olovodiči jsou křemík Si a germaium Ge, oba rvky z V. skuiy eriodické soustavy rvků. Nejčastěji oužívaým materiálem v mikroelektroice je křemík: řevážá většia diod, trazistorů, tyristorů, itegrovaých obvodů a dalších olovodičových součástek se už asi ůl století vyrábí z křemíku. Křemík Si stejě jako další olovodič germaium Ge jsou rvky ze čtvrté skuiy eriodické soustavy, což zameá, že ve vější sluce elektroového obalu mají čtyři elektroy azývaé valečí elektroy, které zrostředkovávají chemickou vazbu atomů. lektroový obal atomu křemíku je akresle a Obrázek 3.1. Obrázek 3.1: lektroový obal atomu křemíku. Valečí elektroy dvou sousedích atomů, které mají oačý si, vytvářejí elektroový ár, a jsou solečě sdíley oběma atomy vytvoří elektroový oblak, který oba atomy obklouje, jak je vidět a Obrázek 3.. Protože valečí elektroy jsou čtyři, může se každý atom vázat rostředictvím solečě sdíleého elektroového áru rávě se čtyřmi sousedími atomy. hemická vazba založeá a solečém sdíleí elektroů, se azývá vazba kovaletí. V krystalech křemíku ebo germaia jsou jedotlivé atomy usořádáy v kubické lošě cetrovaé mřížce, viz Obrázek 3.. Kromě křemíku a germaia existují i další olovodiče. Výzamou skuiou jsou tzv. biárí olovodiče A V, kde A je rvek ze třetí skuiy eriodické soustavy se třemi valečími elektroy (Ga,, Al a V je rvek z áté skuiy eriodické soustavy s ěti valečími elektroy (P, As, Sb, N. Kombiací těchto rvků vzikají olovodiče jako ař. GaAs, As, Sb, GaP, GaN, které se široce využívají v otoelektroice ebo ke kostrukci seciálích vysokofrekvečích a mikrovlých trazistorů (MSF, HM. Krystalová struktura těchto olovodičů je oět akreslea a obr. 3,3. Stále výzamější skuiou biárích olovodičů jsou materiály A V V, kde oba rvky A, jsou ze čtvrté skuiy eriodické soustavy. V raxi se od devadesátých let ulatňuje ředevším SiGe a itezívě je zkoumá olovodič Si. Méě často se v raxi setkáváme s biárími olovodiči tyu A V, jako jsou ař. olovodiče ZS, PbS, dse, de.

13 Mikroelektroické rvky a struktury 11 erárí olovodiče jsou tvořey třemi rvky. Praktické využití acházejí zejméa kombiace rvků třetí a áté skuiy eriodické soustavy, jako ař. Al x Ga 1-x As, x Ga 1-x P, x Ga 1-x As a další (ísmeo x v chemických vzorcích udává molárí obsah daého rvku. Pro seciálí účely, ař. jako detektory ifračerveého zářeí, se oužívají i jié tyy terárích olovodičů, ař. Hg x d 1-x e. Zejméa v otoelektroice se oužívají i olovodiče složeé ze čtyř růzých rvků. Obrázek 3.: Krystalová mřížka tyických olovodičů a rozložeí elektroového oblaku v kovaletím krystalu germaia (vrstevice roojují místa se stejou hustotou áboje. 3. ergiové ásy v evých látkách Kvatová fyzika ás učí, že eergie elektrou v obalu atomu emůže být libovolá, ale abývá ouze zcela určitých hodot, defiovaých ravidly kvatové fyziky dovoleé eergiové hladiy, a ichž se může elektro acházet, jsou diskrétí, viz Obrázek 3.1. V molekulách se vlivem vzájemého silového ůsobeí jedotlivých atomů tyto diskrétí eergiové hladiy štěí a více hladi a v evých látkách tak vzikají sojité ásy eergiových hladi. vitř těchto ásů může elektro abývat libovolých hodot eergie z daého ásu, jedotlivé ásu jsou však od sebe odděley zakázaými itervaly eergie. Struktura eergiových ásů (ásové diagramy kovů, olovodičů a dielektrik se (ři určitém zjedodušeí liší ouze šířkou zakázaého ásu: u kovů je ulová, u olovodičů meší ež řibližě 5 ev, u dielektrik větší, viz Obrázek 3.3 Obrázek 3.3: ergiové ásy v evých látkách.

14 1 Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií V v rě 3.3 Fermiho-iracova rozdělovací fukce ergiové hladiy uvitř ásů mohou aebo emusí být obsazey elektroy. Pravděodobost, že a elektroové hladiě se achází elektro, udává tzv. Fermiho-iracova rozdělovací fukce f (, F 1, ex k F + 1 ( 3.1 Zde k je oltzmaova kostata, je absolutí telota a arametr F je tzv. Fermiho eergie (též Fermiho hladia. Při telotě absolutí uly jsou všechy eergiové hladiy od Fermiho hladiou zalěy elektroy a všechy eergiové hladiy ad Fermiho hladiou jsou rázdé, jak je zázorěo Obrázek 3.4: Fermiho-iracova rozdělovací fukce a Fermiho eergie. 3.4 Šířka zakázaého ásu olovodiče Šířka zakázaého ásu olovodiče g je základím arametrem, který určuje vlastosti olovodičových materiálů. Pokud se zabýváme ouze elektrickými vlastostmi olovodičů, můžeme šířku zakázaého ásu ovažovat za eměou. Ve skutečosti však mírě závisí a telotě, což se rojevuje ři studiu otických vlastostí olovodičů (závislost g a telotě se také měří otickými exerimety. Matematicky lze telotí závislost g osat emirickým vztahem g a ( g ( ( 3. b + Šířka zakázaého ásu závisí i tlaku, res. a aětí v tahu, které a olovodič ůsobí. Přitom záleží a to, zda je o amáháí tzv. hydrostatickým (všesměrovým tlakem ebo o amáháí tlakem či tahem v určitém směru. ato závislost achází raktické využití v olovodičových símačích tlaku. 3.5 Kocetrace elektroů a děr v olovodičích Kocetrace elektroů a děr v olovodičích do začé míry určuje jejich elektrické a otické vlastosti a je velmi výrazě závislá a telotě a a kocetraci říměsí (doorů a akcetorů veseých do základího olovodičového materiálu. Zde si ostuě uvedeme základí ojmy a vztahy, které umožňují kocetraci elektroů a děr vyočítat aebo aoak z aměřeé kocetrace osičů áboje určit jié arametry olovodiče.

15 Mikroelektroické rvky a struktury Polovodič vlastí (itrisický Vlastí eboli itrisický olovodič eobsahuje žádé říměsi. když ve skutečosti eí možé vyrobit ideálě čistý olovodič, má smysl uvažovat o itrisickém olovodiči jako o vhodém limitím modelu, který umožňuje vysvětlit řadu jevů a vlastostí. ůležitou vlastostí itrisického olovodiče je, že kocetrace volých elektroů je stejá jako kocetrace děr. Je to dáo tím, že volé elektroy v itrisickém olovodiči mohou vzikout jediě tak, že se uvolí elektro z kovaletí vazby mezi atomy a a jeho místě zůstae rázdé místo díra. Jiými slovy můžeme teto roces osat tak, že elektro řeskočí z valečího ásu do vodivostího, kde se ohybuje jako volý, a ve valečím ásu zůstae volá díra. Protože ři tyické šířce zakázaého ásu běžých olovodičů 1eV a ři běžé telotě 3 K je ravděodobost takového řeskoku malá, je i kocetrace volých elektroů a děr ízká. Solečá hodota kocetrace elektroů a děr se azývá itrisická kocetrace i a latí ro i vztah: g 3/ g i N NV ex ex ( 3.3 k k Zde N, N V jsou veličiy závislé a kokrétím olovodičovém materiálu (tzv. efektiví hustoty stavů 3/ ve vodivostím a valečím ásu a a telotě, obě dvě jsou úměré ; je už čistě materiálová kostata, která se odvodí z N o vyloučeí telotí závislosti. Závislost itrisické N V g kocetrace a telotě ro olovodiče Si, Ge, GaAs je a Obrázek 3.5 Fermiho hladia F ve vlastím olovodiči leží téměř urostřed zakázaého ásu a ozačuje se jako itrisická hladia i. Obrázek 3.5: Závislost itrisické kocetrace a šířky zakázaého ásu a telotě ro olovodiče Si, Ge, GaAs.

16 14 Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií V v rě abulka 3.1: Parametry vybraých olovodičů. [Ozačeí: d mřížková kostata, ε rel relativí ermitivita, N, N V veličiy z rovice ( 3.3, a,b koeficiety z rovice ( 3. ] olovodič d [m] ε rel N [cm -3 ] N V [cm -3 ] g [ev] g [ev] a b [K] ři 3 K ři 3 K ři 3 K ři K [1-4 ev/k] Ge,565 16,, ,3.1 18,664,744 4,77 35 Si,543 11,9 3, , ,14 1,17 4,73 65 GaAs,565 1,9 3, , ,44 1,519 5,45 4 As,66 14,6 8, , ,354,417,76 93 P,587 1,4 5, , ,353 1,44 3,63 16 GaN,45 9,5, , ,445 3,57 9, Polovodiče tyu a Kocetraci elektroů a děr v olovodičích lze velmi výrazě zvýšit zavedeím říměsí, doováím olovodiče. Polovodič s říměsemi se azývá doovaý ebo také extrisický. xistují dva tyy říměsí, doory a akcetory. oory jsou atomy zavedeé do krystalové mřížky olovodiče, které mají o jede elektro více ež je otřeba k vytvořeí kovaletích chemických vazeb s okolími atomy (ař. v křemíku jsou doory rvky z áté skuiy eriodické soustavy fosfor P ebo arse As. Kocetrace doorů N je výzamým techologickým arametrem olovodičového materiálu, ohybuje se zravidla v rozmezí 1 14 cm -3 až 1 19 cm -3. V eergiovém ásovém diagramu se řítomost doorů rojeví existecí doorové hladiy, která leží těsě od hladiou, rozdíl je ioizačí (též aktivačí eergie dooru, tyicky ěkolik desítek mev, viz Obrázek 3.6. K uvolěí adbytečého elektrou od doorového atomu a k jeho řechodu do vodivostího ásu tak stačí dodat je velmi malou eergii. Poté, co uvolěé elektroy řejdou do vodivostího ásu, zůstávají v krystalové mřížce + ioizovaé doory s kladým ábojem o kocetraci N. Pravděodobost, že doorová hladia je obsazea elektroem, je dáa vztahem f (, F 1 g 1 ex k F + 1 ( 3.4 eto vztah se od Fermiho-iracovy rozdělovací fukcí ( 3.1 liší bezrozměrým faktorem degeerace g, který je statistickým vyjádřeím skutečosti, že obsazováí eergiových hladi ve vodivostím ásu volými elektroy a obsazováí diskrétích eergiových hladi atomu elektroy jsou dva růzé fyzikálí rocesy: doorovou hladiu může obsadit elektro s libovolým siem, ale jakmile je tato hladia obsazea, žádý další elektro (i když má oačý si a i už řejít emůže. + Pro kocetraci ioizovaých doorů N tak latí + N N N ( 1 f, g F g ex 1 k ( 3.5 Akcetory jsou aoak atomy, kterým aoak jede valečí elektro k vytvořeí chemických vazeb se sousedími atomy chybí (ař. v křemíku jsou akcetory rvky ze třetí skuiy eriodické soustavy, zravidla bór. Kocetrace akcetorů N A může abývat řádově stejých hodot jako kocetrace doorů. V eergiovém ásovém diagramu se řítomost akcetorů rojeví existecí

17 Mikroelektroické rvky a struktury 15 Obrázek 3.6: Pásový diagram olovodiče tyu a. akcetorové hladiy A ležící těsě ad hladiou V, rozdíl A V je ioizačí (aktivačí eergie akcetoru, obvykle oět ěkolik desítek mev Obrázek 3.6. lektro vázaý v chemické vazbě tak může velmi sado řejít z valečího ásu a hladiu A a ve valečím ásu se vytvoří díra. Poté, co jsou akcetorové hladiy obsazey elektroy, vzikají ioizovaé akcetory o kocetraci N A. Pravděodobost, že a akcetorové hladiě je zachyce elektro, je f A ( A, F g A 1 A ex k F + 1 a ro kocetraci ioizovaých akcetorů latí N A N A N A f A, g A 4 A F g A ex + 1 k ( 3.6 ( 3.7 Na Obrázek 3.7 je zázorěa oloha říměsových hladi růzých atomů v křemíku. Příměsi, které vytvářejí eergiové hladiy těsě ode dem vodivostího ásu ebo těsě ad vrcholem valečího ásu, se mohou ulatit doory ebo akcetory. Prvky, které vytvářejí tzv. hluboké hladiy oblíž středu zakázaého ásy, se ulatňují jako rekombiačí cetra. Obrázek 3.7: Poloha říměsových hladi v křemíku.

18 16 Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií V v rě Rovovážá kocetrace elektroů a děr v olovodičích Řekeme, že olovodič se achází v rovovážém stavu (ve stavu termodyamické rovováhy, jestliže a ěj eí řiložeo žádé vější elektrické aětí, edoadá a ěj žádé zářeí, které by mohlo geerovat elektroy a díry, celý olovodič je udržová a kostatí telotě, eí v ěm žádý telotí gradiet, eůsobí a ěj žádé tlakové ebo tahové síly. Podle olohy Fermiho hladiy F vzhledem ke du vodivostího ásu ebo vzhledem k vrcholu valečího ásu V rozlišujeme olovodič edegeerovaý, slabě degeerovaý ebo degeerovaý; v každém z těchto říadů může jít o ty ebo, viz Obrázek 3.8. Obrázek 3.8: Nedegeerovaý, slabě degeerovaý a degeerovaý olovodič ebo. V edegeerovaých olovodičích ro kocetraci rovovážých elektroů děr latí: F i F N ex i ex ( 3.8 k k F V F i NV ex i ex ( 3.9 k k Zde i je itrisická kocetrace a i je itrisická hladia (tj. Fermiho hladia v itrisickém olovodiči. Vyásobeím rovic (3.8 a (3.9 dostaeme velmi důležitý a často užívaý vztah, který latí ve všech edegeerovaých olovodičích: i ( Rovice elektrické eutrality Za odmíek termodyamické rovováhy musí být olovodič elektricky eutrálí. Pokud by totiž ebyl, vzájemé silové ůsobeí kladých a záorých ábojů by vedlo k tomu, že by se elektrický áboj rozložil tak, aby olovodič byl elektricky eutrálí. Rovice elektrické eutrality vyjadřuje, že celkový kladý áboj, tvořeý děrami o kocetraci a ioizovaými doory o kocetraci N + je komezová celkovým záorým ábojem, tvořeým elektroy o kocetraci a ioizovaými akcetory o kocetraci + ( N A N A : + N + ( 3.11

19 Mikroelektroické rvky a struktury elotí závislost kocetrace elektroů a děr Na Obrázek 3.9 je zázorěa závislost kocetrace elektroů ebo děr a telotě. Vysvětleí uvedeme ro olovodič tyu, v olovodiči tyu je situace aalogická. Obrázek 3.9: Závislost kocetrace elektroů a děr a telotě. Při velmi ízkých telotách blížících se absolutí ule jsou všechy elektroy vázáy v chemických vazbách ve valečím ásu ebo a doorových hladiách. Se vzrůstající telotou začíají elektroy z doorových hladi ostuě řecházet do vodivostího ásu a kocetrace volých elektroů vzrůstá až do teloty, ři íž jsou (téměř všechy doory ioizovaé. ato telota se azývá rví ioizačí telota a závisí a kocetraci doorů a a jejich ioizačí eergii. ěžě se ohybuje v desítkách kelviů, výjimkou jsou velmi silě doovaé olovodiče, u ichž výrazě vzrůstá. Prví ioizačí telota je atolik ízká, že teelá eergie estačí k tomu, aby se elektroy mohly uvolit z chemické vazby a řecházet z valečího ásu do vodivostího. Proto se ři dalším zvyšováí teloty kocetrace volých elektroů eměí a rakticky se rová kocetraci doorů, kocetrace děr je zaedbatelě malá. erve až se telota zvýší atolik, že teelá eergie je dostatečá k vyvoláí velkého možství řeskoků elektroů řes zakázaý ás, zače kocetrace elektroů rudce arůstat. Současě se ovšem zvyšuje i kocetrace děr, rotože o každém elektrou zůstává ve valečím ásu volá díra. Při určité telotě řevýší kocetrace volých elektroů a děr kocetraci doorů a olovodič se zače chovat jako vlastí kocetrace elektroů a děr je rakticky stejá. elota, ři íž teto jev astae, se azývá druhá ioizačí telota, závisí a šířce zakázaého ásu olovodiče a dosahuje hodot ěkolika stovek kelviů. elotí iterval mezi rví a druhou ioizačí telotou vymezuje oblast říměsové vodivosti olovodiče, kdy se olovodič chová jako vyhraěý ty ebo (odle doováí s kostatí kocetrací osičů áboje. Při ižších telotách ež rví ioizačí telota vodivost olovodiče rudce klesá, rotože ejsou k disozici volé osiče áboje. Při vyšších telotách ež druhá ioizačí telota se aoak olovodič chová jako vlastí a stírá se rozdíl mezi tyem a. Prví a druhá ioizačí telota tak vymezují maximálí fyzikálě možý telotí iterval oužitelosti určité olovodičové součástky. Ve skutečosti je telotí iterval oužitelosti součástky omeze i dalšími jevy, jako je ař. telotí roztažost a mechaická evost kotaktů (ři velkém sížeí teloty se mohou kotakty odtrhout. oizačí teloty ředstavují limit, který z fyzikálích důvodů elze řekročit.

20 18 Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií V v rě Příklad 3.1: Kocetrace elektroů a děr v olovodiči. 16 cm -3 Vzorek křemíku tyu (-Si je doová ouze doory o kocetraci N,5.1. Předokládáme, že ři telotě 3 K jsou všechy doory ioizovaé. Vyočtěte kocetraci elektroů a děr. Řešeí: trisická kocetrace elektroů a děr v křemíku ři telotě 3 K je i cm -3 (zjistíme ař. z grafu a Obrázek 3.5, takže N >>. Kocetraci volých elektroů ve vzorku Si vyočítáme užitím rovice ( 3.11 sado, eboť oložíme, N A, N N 16 N,5.1 cm Kocetraci děr vyočteme omocí rovice ( 3.1 : i cm. N -3 Je vidět, že kocetrace děr je o moho řádů meší ež kocetrace elektroů, takže její zaedbáí v rovici elektrické eutrality bylo orávěé. Pozámka: V aalogické situaci bychom ro olovodič tyu doovaý akcetory dostali: i + : N A, N i A Příklad 3.: Kocetrace elektroů a děr v olovodiči. Vzorek olovodiče -As je doová ouze doory o kocetraci N, cm. Předokládáme, že ři telotě 3 K jsou všechy doory ioizovaé. Vyočtěte kocetraci elektroů a děr. Řešeí: trisická kocetrace elektroů a děr v As ři telotě 3 K je i 7, cm (vyočteme omocí údajů v abulka 3.1. V rovici ( 3.11 oět oložíme N A, N N, ale kocetraci děr zaedbávat ebudeme. žitím ( 3.1 ostuě dostaeme kvadratickou rovici ro kocetraci i + N + N N i kterou vyřešíme odle zámého vzorečku: N + N + 4i 1 i 15 N ,4.1 cm N Kocetraci děr doočítáme omocí ( 3.1 : i cm 1 i 14 3 N ,4.1 N << Všiměte se, že okud by bylo ( 1 i N , mohli bychom teto čle od odmociou zaedbat a dostali bychom N, jako v Příklad 3.1. Zde však je ( i N, 39, takže je uté ři výočtu užít řesější vztahy, kokrétě elze zaedbat v rovici el. eutrality ( aková

21 Mikroelektroické rvky a struktury 19 situace astává, když itrisická kocetrace je velká (u olovodičů s malou šířkou zakázaého ásu ebo když kocetrace doujících říměsí je malá jiými slovy, okud veličiy i a N jsou řádově srovatelé. Pozámka: V aalogické situaci bychom ro olovodič tyu doovaý akcetory dostali: A i A N N, A i A N N Příklad 3.3: Závislost kocetrace elektroů a telotě ři ízkých telotách Odvoďte vztah ro výočet závislosti kocetrace elektroů a telotě v olovodiči, který je doová doory o kocetraci N. važujte oblast ízkých telot, kdy ejsou všechy doory ioizovaé a kdy kocetraci volých děr lze zaedbat. Řešeí: Rovice elektrické eutrality ( 3.11 se v tomto říadě zjedoduší a + N a o dosazeí z ( 3.5 a ( 3.8 dostaeme ex 1 ex k N k g N F F d Prví čle rovice řeíšeme tak, aby se v ěm objevila exerimetálě měřitelá veličia, ioizačí eergie dooru : ex 1 ( ( ex + k N k g N F F ravíme do tvaru kvadratické rovice ro fukci k F ex ex ex ex + F F N k N k k g N a vyřešíme ji odle zámého vzorečku ro řešeí kvadratických rovic: + ± k g N k g N N N N k F ex ex 4 ex xoeciálí fukce a levé straě osledí rovice abývá je kladých hodot, takže v čitateli zlomku a ravé straě vyhovuje zaméko lus. Po další úravě obdržíme koečý výsledek: + 1 ex 4 1 ex ex k N N g k g N k N F

22 Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií V v rě Příklad 3.4: Závislost kocetrace elektroů a telotě ři vysokých telotách Odvoďte vztah ro výočet závislosti kocetrace elektroů a telotě v olovodiči, který je doová doory o kocetraci N. važujte oblast vysokých telot, kdy jsou všechy doory ioizovaé a kdy kocetraci volých děr už elze zaedbat. Řešeí: Rovice elektrické eutrality ( 3.11 má v tomto říadě tvar + N tedy stejý jako v Příklad 3., takže vztahy odvozeé v tomto říkladě jsou oužitelé i zde: 1 N N i 1 N 1 + N N N V g ex k 1 1 i N + NV g N N 1 4 ex 1 N N k 3.6 rift a difúze osičů áboje v olovodičích V kovech se setkáváme ouze s jediým mechaismem vedeí roudu: jestliže a kovový vodič řiložíme vější aětí, uvedou se jeho ůsobeím volé elektroy do usměrěého a usořádaého ohybu a zače rocházet elektrický roud. V olovodičích existují dvě ezávislé říčiy ohybu osičů áboje: gradiet oteciálu elektrického ole a gradiet kocetrace osičů rift osičů áboje, driftová rychlost rift je ohyb osičů áboje vyvolaý elektrickým olem. Pokud eí a olovodič řiložeo vější elektrické ole, ohybují se osiče áboje chaotickým teelým ohybem. V elektrickém oli se k tomuto chaotickému ohybu řidává ještě usořádaý usměrěý ohyb vyvolaý silovým ůsobeím ole. lektro ebo díra se ři svém ohybu srážejí s kmitajícími atomy krystalové mříže, s ioizovaými a eutrálími říměsemi, s ostatími elektroy a děrami a s dalšími oruchami a říměsemi v krystalu. Mezi dvěma srážkami se elektroy a díry ohybují jako volé částice a jsou urychlováy elektrickým olem. Srážka změí áhodě směr i velikost jejich rychlosti. Vzdáleost, kterou osiče áboje v růměru urazí mezi dvěma srážkami, se azývá středí volá dráha. Obrázek 3.1: rift osičů áboje v olovodiči. lektroy ebo díry se ohybují odle zaméka elektrického áboje roti směru, res. ve směru elektrického ole rychlostí azývaou driftová rychlost elektroů v.drift ebo děr v, drift, která závisí a itezitě elektrického ole odle vztahu (tučě jsou ozačey vektory

23 Mikroelektroické rvky a struktury 1 v,drift μ, v, μ ( 3.1 drift Veličia μ, res. μ, je driftová ohyblivost elektroů ebo děr. Závisí a telotě, a kocetraci doorů, akcetorů, elektroů a děr, ve slabých elektrických olích (zhruba do itezity 1 4 V/cm až 1 5 V/cm ezávisí a itezitě elektrického ole. Ve slabém elektrickém oli je tedy driftová rychlost římo úměrá itezitě elektrického ole. V silém elektrickém oli u olovodičů jako je křemík ebo germaium dochází k tzv. asyceí driftové rychlosti: driftová rychlost dosáhe maximálí hodoty, ozačovaé jako saturačí rychlost v sat a s rostoucí itezitou elektrického ole dále evzrůstá, viz Obrázek ergie, kterou osiče áboje získávají od elektrického ole, je okamžitě odčeráváa ři jejich srážkách s jiými částicemi v krystalu. Saturačí rychlosti dosahují ař. elektroy ebo díry v závěré oblasti řechodu kolektorbáze biolárích trazistorů. olovodičů A V (jako je ař. GaAs, P a další má obdobá závislost výrazě odlišý růběh, viz oět Obrázek riftová rychlost s itezitou elektrického ole ejrve strmě vzrůstá, dosahuje maxima a otom výrazě klesá a určitou hodotu, která už dále a itezitě elektrického ole ezávisí. Přesé vysvětleí tohoto jevu vyžaduje hlubší zalost fyziky olovodičů a ásových diagramů. Jev achází raktické využití v Guových diodách, kde umožňuje vzik domé silého elektrického ole ohybujících se od katody k aodě. Obrázek 3.11: Závislost driftové rychlosti elektroů a děr a itezitě elektrického ole v růzých olovodičích Pohyblivost elektroů a děr v olovodičích riftová ohyblivost osičů áboje závisí a kocetraci doorů a akcetorů, a telotě a také a kocetraci volých elektroů a děr. Závislost ohyblivosti elektroů a děr a kocetraci doorů ebo akcetorů ve slabém elektrickém oli je akreslea a Obrázek 3.1. Je vidět, že do kocetrace říměsí asi 1 16 cm -3 zůstává ohyblivost téměř kostatí, ak s rostoucí kocetrací říměsí výrazě klesá (rotože vzrůstá ravděodobost srážky osiče áboje s říměsovým atomem. Obrázek 3.1: Závislost ohyblivosti elektroů a děr a kocetraci doorů ebo akcetorů.

24 Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií V v rě Na Obrázek 3.13 jsou grafy závislosti driftové ohyblivosti elektroů a děr a telotě ro růzé kocetrace doorů a akcetorů. Vidíme, že ři telotách řibližě ad 1 K ohyblivost osičů áboje se vzrůstající telotou klesá (rotože se zvětšuje ravděodobost srážky osiče s kmitajícím atomem krystalové mříže. Obrázek 3.13: Závislost ohyblivosti elektroů a děr a telotě. Pro účely modelováí olovodičových součástek je třeba tyto závislosti osat vhodými matematickými vztahy. yto vztahy se zravidla odvozují tak, že se metodami kvatové fyziky sočítají ravděodobosti srážek osičů áboje s kmitajícími atomy krystalové mříže, s ioizovaými a eutrálími říměsemi, s ostatími elektroy a děrami a s dalšími oruchami a říměsemi v krystalu a výsledek se ještě zkombiuje s exerimetálími údaji získaými měřeím. ak vzikají růzé semiemirické rovice, které modelují závislosti z Obrázek 3.1 a Obrázek Jako říklad si uvedeme často oužívaý vztah ( 3.13, který modeluje závislost ohyblivosti a celkové kocetraci doorů a akcetorů N ři telotě 3 K; hodoty arametrů ro ěkteré olovodiče jsou uvedey v abulka 3.. μ μ mi μ max μ N N ref mi α abulka 3.: Hodoty arametrů ro model ohyblivosti odle rovice ( ( 3.13 olovodič μ mi [cm / Vs] μ [cm / Vs] N [cm -3 ] max ref α Si, 74, ,6.1 16,77 Si, 49, ,6.1 17,7 GaAs, ,.1 16,55 Si, 4, 95,.1 17,76 Si, 15,9 14 1,7.1 19,34 Vztah ( 3.13 zdaleka eí jediý, který lze ajít v odboré literatuře, a eí ai uiverzálí, elatí ař. ro ohyblivost děr v GaAs tyu. Rověž k číselým hodotám arametrů uvedeým v tabulce je třeba ozameat, že hodoty udávaé v růzých odborých člácích se často liší. elotí závislost ohyblivosti v itervalu telot, kdy se běžě olovodičové součástky oužívají, lze jedoduše modelovat tak, že ohyblivost ři telotě 3 K se vyočítá aříklad užitím ( 3.13 a ro jiou telotu ak latí

25 Mikroelektroické rvky a struktury 3 η μ( μ(3 K. ( K kde η je semiemiricky staoveý arametr, η,, 3, viz Obrázek V silém elektrickém oli závisí driftová rychlost a itezitě elektrického ole odle grafů akresleých a Obrázek 3.11, takže i ohyblivost musí být závislá a itezitě elektrického ole. xistuje oět celá řada růzých semiemirických vztahů, které tuto závislost modelují. Jako říklad si uvedeme vztah ro závislost ohyblivosti elektroů v křemíku a itezitě elektrického ole ři telotě 3 K: μ( 7 μ(, v 1,1.1 cm/s, β 1 β sat β μ( 1 + vsat ( 3.15 Pro modelováí složitější závislosti ohyblivosti elektroů v GaAs a itezitě elektrického ole ři telotě 3 K se často oužívá teto vztah: 3 μ( + vsat 4 krit 7 3 μ (, v 1,.1 cm/s, 4,.1 V/cm 4 sat krit ( krit K číselým arametrům v rovicích ( 3.15, ( 3.16 je oět třeba ozameat, že jejich hodoty udávaé v odboré literatuře se často liší Hustota driftového toku, vodivost olovodiče Vztah ro hustotu driftového toku (roudu elektroů j, drift ebo děr j, drift se odvodí bezrostředě z defiice této veličiy: je to áboj řeášeý elektroy ebo děrami, který rojde za jedotku času jedotkovou lochou kolmou ke směru ohybu osičů áboje, viz Obrázek 3.14: Obrázek 3.14: K odvozeí vztahu ro hustotu driftového toku. j j.drift.drift ev ev,drift,drift eμ eμ, drift, drift σ σ ( 3.17 Veličiy σ, σ jsou elektroová a děrová složka vodivosti (koduktivity olovodiče, celková vodivost (koduktivita olovodiče je jejich součtem: σ eμ, σ eμ, σ σ + σ e( μ + μ ( 3.18 o závislosti vodivosti olovodiče a kocetraci doorů a akcetorů a a telotě se romítá závislost ohyblivosti elektroů a děr a těchto veličiách diskutovaá v ředcházející části a také telotí závislost kocetrace elektroů a děr. Závislost rezistivity růzých olovodičů a kocetraci říměsí ři telotě 3 K je v grafech a Obrázek Z grafů je vidět, že řibližě latí: arůst kocetrace říměsí o jede řád zameá okles rezistivity (árůst koduktivity také o jede řád.

26 4 Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií V v rě Obrázek 3.15: Rezistivita Si, Ge, GaAs, GaP v závislosti a kocetraci říměsí ři telotě 3 K.

27 Mikroelektroické rvky a struktury ifúze osičů áboje alším mechaismem, který se ulatňuje ři vedeí roudu v olovodičích, je difúze. ifúze je ohyb elektroů ebo děr vyvolaý jejich rozdílou kocetrací (kocetračím sádem, gradietem kocetrace. Obrázek 3.16: Hustota difúzího toku (roudu elektroů a děr. Pro hustotu difúzího toku (roudu elektroů a děr latí vztahy: j j,dif,dif e grad( e grad( ( 3.19 Veličiy a se azývají difúzí kostaty. Souvisejí s ohyblivostí, v edegeerovaém olovodiči latí tzv. isteiův vztah, který říká, že oměr difúzí kostaty a ohyblivosti je stejý ro elektroy i ro díry a závisí ouze a telotě: Poměr μ μ k e ( 3. k e je tzv. telotí aětí, veličia často užívaá ve fyzice olovodičových součástek Proudová hustota v olovodičích V ředcházejících kaitolách jsme uvedli vztahy ro hustotu driftového toku (roudu ( 3.17 a difúzího toku (roudu ( 3.19 v olovodiči. K celkové roudové hustotě v olovodiči obecě řisívá dirft i difúze a elektroy a díry, což lze vyjádřit ásledujícími rovicemi. (i elková roudová hustota se skládá ze složky elektroové a děrové, každá z těchto složek má složku driftovou a difúzí: j j j ( j, drift + j, dif + ( j, drift + j, + ( eμ + e grad( + ( eμ e grad( ( eμ grad( ϕ + e grad( + ( eμ grad( ϕ e grad( dif ( 3.1 (ii Při jiém úhlu ohledu se celková roudová hustota skládá ze složky driftové a difúzí a každá z těchto složek má složku elektroovou a děrovou: j j drift + ( j, drift + j, drift + ( j, dif + j, dif ( e( μ + μ + e( grad( grad( j dif ( 3.

28 6 Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií V v rě 3.7 Nerovovážé osiče áboje v olovodiči Zahříváí olovodiče ebo ozářeí olovodiče elektromagetickým zářeím vhodého kmitočtu jsou dva tyické rocesy, které vedou k árůstu kocetrace osičů áboje ad hodotu kocetrace rovovážé a ke vziku erovovážých osičů áboje. Jestliže zářeí řestae doadat ebo olovodič řestaeme zahřívat, erovovážé osiče áboje oměrě rychle zaikají. ěmito rocesy se budeme yí zabývat odroběji Geerace osičů áboje v olovodičích Geerace je roces, ři ěmž v olovodiči vzikají (jsou geerováy áry elektro-díra. Rychlost geerace g udává očet árů elektro-díra, které jsou v jedotkovém objemu olovodiče geerováy za jedotku času; měří se zravidla v cm -3 s -1. xistují dva základí mechaismy geerace árů elektro-díra, geerace teelá a geerace světelá (obecěji zářeím. Podstatou teelé geerace je řechod elektrou z valečího ásu do vodivostího vlivem tela. S rostoucí telotou se zvyšuje itezita kmitáí atomů v krystalové mříži a vzrůstá ravděodobost, že dojde k arušeí chemické vazby, k uvolěí elektrou z chemické vazby mezi atomy, jiými slovy k teelé excitaci elektrou z valečího ásu do vodivostího, a tak vziká ár volý elektro ve vodivostím ásu volá díra ve valečím ásu. Geerace zářeím zameá, že vzik ových osičů áboje je vyvolá doadajícím elektromagetickým zářeím. oadá-li a olovodič zářeí vhodého kmitočtu (zravidla viditelé světlo ebo blízké ifračerveé zářeí, je eergie fotou elektromagetického zářeí absorbováa, chemická vazba je arušea, elektro se uvolí a řechází z valečího ásu do vodivostího. Oět tak vziká ár volý elektro ve vodivostím ásu volá díra ve valečím ásu. Mezi rocesy geerace je možé také zahrout laviové ásobeí osičů ebo tuelováí ři růrazu -řechodu v závěrém směru. Obrázek 3.17: Geerace osičů áboje v olovodiči Rekombiace osičů áboje v olovodičích Rekombiace je roces, ři ěmž v olovodiči zaiká ár elektro-díra. Rychlost rekombiace r udává očet árů elektro-díra, které v jedotkovém objemu olovodiče zaikou (zrekombiují za jedotku času; měří se zravidla v cm -3 s -1. Rozlišujeme růzé mechaismy rekombiace odle zůsobu řestuu elektrou z vodivostího ásu do valečího ebo odle toho, v jakém odobě se ři tomto řestuu uvolí eergie a kam je tato eergie ředáa. Podle zůsobu řestuu elektrou z vodivostího ásu do valečího rozlišujeme rekombiaci římou a eřímou. Při římé (též meziásové rekombiaci řechází elektro římo z vodivostího ásu do valečího. Při eřímé rekombiaci řejde elektro z vodivostího ásu ejrve a hladiu

29 Mikroelektroické rvky a struktury 7 tzv. rekombiačího cetra v zakázaém ásu, a í krátce setrvá a terve z í řechází do valečího ásu. Jako rekombiačí cetra fugují růzé říměsi áhodě ebo záměrě zavedeé do olovodiče, které vytvářejí tzv. hluboké eergiové hladiy v okolí středu zakázaého ásu, viz Obrázek 3.7, ebo eergiové hladiy vytvořeé ejrůzějšími oruchami krystalové mříže. yickým rvkem vytvářejícím rekombiačí cetra v křemíku, je zlato. Jestliže elektro řejde z vodivostího ásu do valečího, uvolí se eergie odovídající šířce zakázaého ásu olovodiče. ato eergie může být využita růzým zůsobem. Pokud se uvolěá eergie vyzáří ve formě kvata elektromagetického zářeí (obvykle v oblasti viditelé ebo blízké ifračerveé, jde o zářivou rekombiaci. Pokud se tato eergie využije jiým zůsobem, jde o tzv. ezářivou rekombiaci. Při ezářivé rekombiaci je eergie ejčastěji ředáa krystalové mřížce olovodiče ve formě tela. V olovodičích s vysokou kocetrací elektroů ebo děr může být eergie ředáa ař. jiému elektrou ve vodivostím ásu, který řejde a vyšší eergiovou hladiu; teto ty rekombiace se azývá Augerova ebo také tříčásticová rekombiace.. Přímá rekombiace je zravidla zářivá a astává u ěkterých olovodičů tyu A V (tyicky astává u GaAs, emůže astat ař. u AlAs. Neřímá rekombiace bývá zravidla ezářivá (ař. u Si, Ge, ale může robíhat i zářivě (ař. u GaN. Zářivá rekombiace rověž emůže astat u mookrystalického křemíku ebo germaia. ůvody roč zářivá rekombiace emůže astat, jsou zcela riciiálí: eí slě záko zachováí hybosti v soustavě elektro, díra, foto (bližší vysvětleí by vyžadovalo hlubší zalosti teorie ásové struktury. Obrázek 3.18: Některé rekombiačí rocesy v olovodičích Výsledá geeračě-rekombiačí rychlost, doba života vedeme dva matematické modely rekombiačí rychlosti R, které se často oužívají ři modelováí olovodičových součástek. Rovovážou kocetraci elektroů a děr ozačíme,, erovovážou kocetraci adbytečých elektroů a děr, a jejich rozdíl Δ, Δ. Platí tedy: + Δ, + Δ ( 3.3 V olovodiči eustále robíhají geeračí a rekombiačí rocesy. Naříklad v rovovážém stavu je za jedotku času teelě geerová určitý očet árů elektro-díra a stejý očet árů elektro-díra zase zaiká rekombiací, takže rovovážá kocetrace elektroů a děr zůstává eměá a rovovážý stav je vlastě stavem dyamické rovováhy. Je-li olovodič zahřát a vyšší telotu, zvýší se rychlost teelé geerace r a současě se zvýší i rychlost zěté rekombiace g, až se akoec vytvoří ustáleý stav dyamické rovováhy, kdy se rychlosti geerace r a rekombiace g vyrovají, r g, a kocetrace elektroů a děr (v tomto říadě rovovážá, odovídající zvýšeé telotě se s časem eměí. Podobá situace astává i v říadě, že a olovodič zače doadat zářeí, které geeruje áry elektro-díra rychlostí g. Kocetrace volých osičů áboje ejrve vlivem zářeí vzrůstá, ale současě vzrůstá i očet árů, které zětě rekombiují, zvýší se tedy i rychlost rekombiace r. Nakoec se vytvoří oět ustáleý stav dyamické rovováhy, kdy očet zářeím geerovaých osičů a očet zětě rekombiujících osičů za jedotku času je stejý, r g, a erovovážá kocetrace elektroů a děr se s časem eměí.

30 8 Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií V v rě Každý vygeerovaý elektro tak setrvá ve vodivostím ásu jako volý je o určitou dobu, aalogické tvrzeí latí i ro díry. Středí doba života elektrou τ ebo díry τ je statisticky určeá středí doba od geerace osiče áboje o jeho zětou rekombiaci. Pokud geerace a rekombiace robíhají eřímo řes eergiové hladiy v zakázaém ásu, může být středí doba života elektroů ve vodivostím ásu odlišá od středí doby života děr ve valečím ásu. Pro elektroy a díry zavádíme veličiu R r g ozačovaou jako výsledá, res. čistá geeračě-rekombiačí rychlost, která souvisí s jejich středí dobou života takto: R R r r g g τ τ Δ τ Δ τ ro elektroy ro díry ( 3.4 Neřímá ezářivá rekombiace řes hladiu t rekombiačího cetra v zakázaém ásu je tyická ro křemík ebo germaium. Matematicky ji oisuje Shockleyův-Readův-Hallův model, zkráceě model SRH. eto rekombiačí roces v sobě zahruje čtyři ezávislé děje: (i řechod elektrou z vodivostího ásu a jeho zachyceí a hladiě t rekombiačího cetra, (ii řechod elektrou z hladiy rekombiačího cetra do valečího ásu a eutralizaci díry, (iii řechod elektrou z valečího ásu a hladiu rekombiačího cetra a vzik volé díry, (iv emisi elektrou z hladiy rekombiačího cetra do vodivostího ásu a vzik volého elektrou. Matematický rozbor těchto rocesů vede k závěru, že výsledá geeračě-rekombiačí rychlost je R SRH i τ ( + + τ ( + t t ( 3.5 Zde, jsou erovovážé kocetrace elektroů a děr, i je itrisická kocetrace ( 3.1, t, t jsou kocetrace vyočteé odle ( 3.8, ( 3.9 s tím, že místo dosadíme eergiovou hladiu rekombiačího cetra akcetorů, t. Veličiy τ a τ τ τ N τ, τ + N A N N A 1 + ref ref N N Číselé hodoty kostat z osledí rovice ro křemík jsou N ref N ref 15 cm -3 7,1.1 jié vztahy ež ( 3.6. F jsou časové kostaty závislé a kocetraci doorů a 4 ( 3.6 τ 4,.1 s, τ 3,5.1 s,. V odboré literatuře lze ajít i mírě odlišé číselé hodoty a rověž i Pro dobu života odle ( 3.4 a s využitím ( 3.3 dostaeme SRH + t + Δ + t + Δ τ τ + τ ( Δ + + Δ Pokud jsou odchylky Δ, Δ od rovovážé kocetrace malé, lze je zaedbat a doba života je kostatí, závislá je a rovovážé kocetraci elektroů a děr a a materiálových arametrech. V oačém říadě, ři velkých odchylkách Δ, Δ, určuje ( 3.7 tzv. okamžitou dobu života, závislou a okamžité kocetraci erovovážých osičů áboje. Přímá (meziásová zářivá rekombiace je tyickým rekombiačím rocesem v ěkterých olovodičích A V. Zahruje dva a sobě ezávislé rocesy: (i řechod elektrou z vodivostího ásu do valečího, řičemž je vyzáře foto o eergii hν a ár elektro-díra zaiká; rychlost g 5

ASYNCHRONNÍ STROJE. Obsah

ASYNCHRONNÍ STROJE. Obsah VŠB TU Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky Katedra obecé elektrotechiky ASYCHROÍ STROJE Obsah. Výzam a oužití asychroích motorů 2. rici čiosti asychroího motoru 3. Rozděleí asychroích motorů 4.

Více

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma 3. Decibelové veličiy v akustice, kmitočtová ásma V ředchozí kaitole byly defiováy základí akustické veličiy, jako ař. akustický výko, akustický tlak a itezita zvuku. Tyto veličiy ve v raxi měí o moho

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST ... m n RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:

Více

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W )

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W ) 5. Sdíleí tepla. pomy: Pomem tepelá eergie ozačueme eergii mikroskopického pohybu částic (traslačího, rotačího, vibračího). Měřitelou mírou této eergie e teplota. Teplo e část vitří eergie, která samovolě

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Vícekanálové čekací systémy

Vícekanálové čekací systémy Vícekaálové čekací systémy taice obsluhy sestává z ěkolika kaálů obsluhy, racujících aralelě a avzájem ezávisle. Vstuy i výstuy systému mají oissoovský charakter. Jedotky vstuující do systému obsadí ejrve

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základy měřeí eelektrických veliči.. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, aby bylo ožě split požadovaý úkol měřeí, tj. získat iformaci

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

elektrické filtry Jiří Petržela základní pojmy

elektrické filtry Jiří Petržela základní pojmy Jiří Petržela základí ojmy základí ojmy z oblati elektrických filtrů základí ojmy elektrický filtr je lieárí dvojbra, který bez útlumu roouští je určité kmitočtové ložky, které obahuje vtuí igál rouštěé

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

HYDROMECHANICKÉ PROCESY. Doprava tekutin Čerpadla a kompresory (přednáška) Doc. Ing. Tomáš Jirout, Ph.D.

HYDROMECHANICKÉ PROCESY. Doprava tekutin Čerpadla a kompresory (přednáška) Doc. Ing. Tomáš Jirout, Ph.D. HROMECHANICKÉ PROCES orava tekti Čeradla a komresory (ředáška) oc. Ig. Tomáš Jirot, Ph.. (e-mail: Tomas.Jirot@fs.cvt.cz, tel.: 435 68) ČERPALA Základy teorie čeradel Základí rozděleí čeradel Hydrostatická

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY

BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY VYSOKÉ UČEÍ TECHICKÉ V BRĚ BRO UIVERSITY OF TECHOLOGY FAKULTA STROJÍHO IŽEÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A IFORMATIKY FACULTY OF MECHAICAL EGIEERIG ISTITUTE OF AUTOMATIO AD COMPUTER SCIECE MODELY HROMADÉ OBSLUHY

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor. 5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Experimentální postupy. Koncentrace roztoků

Experimentální postupy. Koncentrace roztoků Experimetálí postupy Kocetrace roztoků Kocetrace roztoků možství rozpuštěé látky v roztoku. Hmotostí zlomek (hmotostí proceta) Objemový zlomek (objemová proceta) Molárí zlomek Molarita (molárí kocetrace)

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu 2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

6.1 Systémy hromadné obsluhy

6.1 Systémy hromadné obsluhy 6. Systémy hromadé obsluhy Proces usoojováí áhodě i hromadě vziajících ožadavů a obsluhu se azývá roces hromadé obsluhy. Předmětem teorie hromadé obsluhy, ědy taé ozačovaé jao teorie frot (z aglicých slov

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ

INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 2. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ CZ..07/..00/08.000 VZDUCHOTECHNIKA Ig. PAVEL ŽITEK TENTO

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

V následující tabulce jsou uvedeny jednotky pro objemový a hmotnostní průtok.

V následující tabulce jsou uvedeny jednotky pro objemový a hmotnostní průtok. 8. Měření růtoků V následující tabulce jsou uvedeny jednotky ro objemový a hmotnostní růtok. Základní vztahy ro stacionární růtok Q M V t S w M V QV ρ ρ S w ρ t t kde V [ m 3 ] - objem t ( s ] - čas, S

Více

7. VÝROBNÍ ČINNOST PODNIKU

7. VÝROBNÍ ČINNOST PODNIKU 7. Výrobní činnost odniku Ekonomika odniku - 2009 7. VÝROBNÍ ČINNOST PODNIKU 7.1. Produkční funkce teoretický základ ekonomiky výroby 7.2. Výrobní kaacita Výrobní činnost je tou činností odniku, která

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava ENERGETIKA U ŘÍZENÝCH ELEKTRICKÝCH POHONŮ. 1.

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava ENERGETIKA U ŘÍZENÝCH ELEKTRICKÝCH POHONŮ. 1. Katedra obecé eletrotechiy Faulta eletrotechiy a iformatiy, VŠB - TU Ostrava EERGETIKA U ŘÍZEÝCH EEKTRICKÝCH POHOŮ Předmět : Rozvody eletricé eergie v dolech a lomech. Úvod: Světový tred z hledisa eletricé

Více

2. Úvod do indexní analýzy

2. Úvod do indexní analýzy 2. Úvod do idexí aalýzy 2.. Motivace Tato kaitola se zabývá srováváím ukazatelů v datových souborech, které se liší buď časově ebo rostorově ebo věcě. Nejdůležitější je srováváí ukazatelů z časového hlediska.

Více

7 Obyčejné diferenciální rovnice

7 Obyčejné diferenciální rovnice - 9 - Občejé difereciálí rovice 7 Občejé difereciálí rovice 7 Základí ojm Difereciálí rovice Defiice Občejou difereciálí rovicí -tého řádu rozumíme rovici F(,,,, ( ) ) ebo, je-li takzvaě rozřešea vzhledem

Více

6. Vliv způsobu provozu uzlu transformátoru na zemní poruchy

6. Vliv způsobu provozu uzlu transformátoru na zemní poruchy 6. Vliv zůsobu rovozu uzlu transformátoru na zemní oruchy Zemní oruchou se rozumí sojení jedné nebo více fází se zemí. Zemní orucha může být zůsobena řeskokem na izolátoru, růrazem evné izolace, ádem řetrženého

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

2.3.6 Práce plynu. Předpoklady: 2305

2.3.6 Práce plynu. Předpoklady: 2305 .3.6 Práce lynu Předoklady: 305 Děje v lynech nejčastěji zobrazujeme omocí diagramů grafů závislosti tlaku na objemu. Na x-ovou osu vynášíme objem a na y-ovou osu tlak. Př. : Na obrázku je nakreslen diagram

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Metodický postup pro určení úspor primární energie

Metodický postup pro určení úspor primární energie Metodický postup pro určeí úspor primárí eergie Parí protitlaká turbía ORGRZ, a.s., DIVIZ PLNÉ CHNIKY A CHMI HUDCOVA 76, 657 97 BRNO, POŠ. PŘIHR. 97, BRNO 2 z.č. Obsah abulka hodot vstupujících do výpočtu...3

Více

SA4. Popis konstrukce a funkce STAVEBNICE HYDRAULICKÝCH HC 7100 11/98. pmax 31 MPa Q 0,5-42 dm 3. min -1 Nahrazuje HC 7100 5/95

SA4. Popis konstrukce a funkce STAVEBNICE HYDRAULICKÝCH HC 7100 11/98. pmax 31 MPa Q 0,5-42 dm 3. min -1 Nahrazuje HC 7100 5/95 STAVEBNICE HYDRAULICKÝCH AGREGÁTŮ ŘADY SA4 HC 7100 11/98 max 31 MPa Q 0,5-42 dm 3. mi -1 Nahrazuje HC 7100 5/95 Sestaveí hydraulického agregátu zákazickým zůsobem z tyizovaých odskui Objemy ádrží 10 až

Více

Geometrická optika. Vznikají tak dva paprsky odražený a lomený - které spolu s kolmicí v místě dopadu leží v jedné rovině a platí:

Geometrická optika. Vznikají tak dva paprsky odražený a lomený - které spolu s kolmicí v místě dopadu leží v jedné rovině a platí: Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Byla vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým ejsou potřeba zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

11. STUDIUM JEVŮ GEOMETRICKÉ A VLNOVÉ OPTIKY POMOCÍ CENTIMETROVÝCH VLN

11. STUDIUM JEVŮ GEOMETRICKÉ A VLNOVÉ OPTIKY POMOCÍ CENTIMETROVÝCH VLN 8 11. STUDIUM JEVŮ GEOMETRICKÉ A VLNOVÉ OPTIKY POMOCÍ CENTIMETROVÝCH VLN Měřicí potřeby: 1) Guova dioda s vysílací trychtýřovou atéou ) apájecí zdroj pro Guovu diodu 3) přijímací atéa 4) polovodičová dioda

Více

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ

Více

MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems

MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueig systems Prof. RNDr. Ig. Miloš Šeda, Ph.D. Vysoé učeí techicé v Brě, Faulta strojího ižeýrství, Ústav automatizace a iformatiy e-mail: seda@fme.vutbr.cz Abstrat

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Formát souboru zahraničních plateb CFA pro MCC 3.20 / HC 4.0 / SMO / MCT 3.20

Formát souboru zahraničních plateb CFA pro MCC 3.20 / HC 4.0 / SMO / MCT 3.20 Zahraičí latebí styk CZA 3.2 CZ Verze ro kliety ČSOB Formát souboru zahraičích lateb CFA ro MCC 3.20 / HC 4.0 / SMO / MCT 3.20 (30.04. 2007 verze 7) Formát souboru zahraičích lateb (*.CFA ) ro Český zahraičí

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Ideální struktura MIS Metal-Insulator-Semiconductor M I S P. Ideální struktura MIS. Ideální struktura MIS. Ochuzení. Akumulace U = 0 U > 0 U < 0 U = 0

Ideální struktura MIS Metal-Insulator-Semiconductor M I S P. Ideální struktura MIS. Ideální struktura MIS. Ochuzení. Akumulace U = 0 U > 0 U < 0 U = 0 truktura M Akuulace, ochuzeí, slabá a silá iverze rahové apětí, způsob vziku iverzí vrstv Kapacitor M, proud dielektrickou vrstvou razistor MOF truktura, pricip čiosti deálí VA charakteristika odporová

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI 1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

Inovace studia molekulární a buněčné biologie reg. č. CZ.1.07/2.2.00/

Inovace studia molekulární a buněčné biologie reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ Iovace studia molekulárí a buěčé biologie reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0354 Předmět: LRR/CHP1/Chemie pro biology 1 Roztoky, teorie kyseli a zásad Mgr. Karel Doležal Dr. Cíl předášky: sezámit posluchače s

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

FYZIKÁLNÍ SEKCE. Vzorové řešení první série úloh

FYZIKÁLNÍ SEKCE. Vzorové řešení první série úloh FYZIKÁLNÍ SEKCE Přírodovědecká fakulta Masarykovy uiverzity v Brě KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ Z FYZIKY 9. ročík 2002/2003 Vzorové řešeí prví série úloh (25 bodů) Vzorové řešeí úlohy č. 1 Voda (7 bodů) Z daých

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Téma: 11) Dynamika stavebních konstrukcí

Téma: 11) Dynamika stavebních konstrukcí Počítačová podpora statických výpočtů Téma: ) Dyamika stavebích kostrukcí Katedra stavebí mechaiky Fakulta stavebí, VŠB V Techická uiverzita Ostrava Rozděleí mechaiky Statika Zabývá se problematikou působeí

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

8.3.1 Vklady, jednoduché a složené úrokování

8.3.1 Vklady, jednoduché a složené úrokování 8..1 Vklady, jedoduché a složeé úrokováí Předoklady: 81 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží

Více

HYDROPNEUMATICKÝ VAKOVÝ AKUMULÁTOR

HYDROPNEUMATICKÝ VAKOVÝ AKUMULÁTOR HYDROPNEUMATICKÝ AKOÝ AKUMULÁTOR OSP 050 ŠEOBECNÉ INFORMACE ýočet hydroneumatického akumulátoru ZÁKLADNÍ INFORMACE Při výočtu hydroneumatického akumulátoru se vychází ze stavové změny lynu v akumulátoru.

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15 VŠB - T Ostrava, FE MĚŘENÍ PARAMETRŮ OVĚTLOVACÍCH OTAV VEŘEJNÉHO OVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGLÁTOR E5 Řešitelé: g. taislav Mišák, Ph.D., Prof. g. Karel okaský, Cc. V Ostravě de.8.2007 g. taislav Mišák, Prof.

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Stanovení Boltzmannovy konst. pomocí VA char. PN přechodu

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Stanovení Boltzmannovy konst. pomocí VA char. PN přechodu ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V RAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: etr Česák Datum měřeí: 6..000 Studjí rok: 00000, Ročík: Datum odevzdáí: 0..000 Studjí skua: 5 Laboratorí skua: 4 Klasfkace:

Více