Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka

Transkript

1 Celkové hodnocení BI-MLO (nevyplňujte!) Semestr Zkouška Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka BI-MLO Písemná zkouška 9. února 2016 Matematická logika FIT ČVUT v Praze Varianta B Jméno: Login: Příjmení: Podpis: Písemná zkouška trvá 90 minut a sestává ze tří částí. Pro úspěšné složení zkoušky potřebujete z každé části získat alespoň polovinu bodů. Pracujte samostatně a pamatujte, že ČVUT považuje opisování za závažný prohřešek. Nepoužívejte žádné pomůcky kromě tužky. Pište čitelně! 1. část První část zkoušky sestává z osmi elementárních otázek po čtyřech bodech. Ze čtyř nabízených odpovědí mohou být správné všechny, žádná, nebo cokoli mezi tím. Správné odpovědi zřetelně zaznamenejte do tabulky níže. Bodové hodnocení: úplné korektní řešení 4b, jedna odlišnost 2b, více odlišností 0b. Pro úspěšné složení této části potřebujete získat 16 bodů z 32 možných. a) b) c) d) Body

2 2 1. Které z následujících formulí jsou výrokové tautologie? a) (P Q) ( P Q) b) (P Q) ( P Q) c) (P Q) ( P Q) d) (P Q) (Q P ) 2. Nalezněte minimální tvary Booleovské funkce f(a, B, C) = m(1, 2, 3, 4, 5, 6) a) (A B) ( A C) (B C) b) (A B) ( A C) (B C) c) ( A B) (A C) ( B C) d) ( A B) (A C) ( B C) 3. Které z následujících formulí jsou důsledky {P (Q R), R (S T ), (P Q), T S}? a) P b) P P c) P S T d) P Q R S T 4. Booleova algebra výroků nad výrokovými proměnnými A, B, C, D má a) čtyři atomy b) osm atomů c) osm prvků d) šestnáct prvků 5. Které z následujících formulí jazyka se dvěma unárními predikáty p, q jsou logicky platné? a) (( x)p(x) ( x)q(x)) (( x)(p(x) q(x))) b) (( x)(p(x) q(x))) (( x)p(x) ( x)q(x)) c) (( x)(p(x) q(x))) (( x)p(x) ( x)q(x)) d) (( x)p(x) ( x)q(x)) (( x)(p(x) q(x))) 6. Úplná teorie v jazyce L a) obsahuje jako axiom buďto ϕ nebo ϕ, pro každou formuli ϕ jazyka L b) dokazuje buďto ϕ nebo ϕ, pro každou formuli ϕ jazyka L c) dokazuje buďto ϕ nebo ϕ, pro každou uzavřenou formuli ϕ jazyka L d) dokazuje ϕ ϕ, pro každou formuli ϕ jazyka L 7. Uvažte následující interpretace jazyka s jediným binárním relačním symbolem R. Které z nich splňují sentenci ( x)( y)( z)(r(x, z) R(y, z))? a) množina celých čísel opatřená obvyklým uspořádáním b) množina přirozených čísel opatřená relací dělitelnosti c) množina všech konečných podmnožin celých čísel opatřená inkluzí d) množina všech přímek v rovině opatřená relací rovnoběžnosti 8. Na Booleově algebře (B, +,,, 0, 1) uvažte binární operaci x y = (x y ) + (y x ). Které z následujících formulí platí ve struktuře (B,, 0)? a) ( x)(x 0 = x) b) ( x)(x x = 0) c) ( x)( y)(x y = 0) d) ( x)( y)((x y) = (y x) )

3 2. část Druhá část sestává ze tří početních příkladů po šesti bodech. Podrobně a přehledně popište své kroky a úvahy. Pro úspěšné složení této části potřebujete získat 9 bodů z 18 možných. 3 Pomocná tabulka pro hodnocení 2. části (nevyplňujte!): Příklad Celkem 1. Najděte disjunktivní a úplný konjunktivní tvar následujícíh formulí. S pomocí normálního tvaru pak rozhodněte, která formule je (nebo není) logickým důsledek kterých ostatních. P (Q R), P (Q (R P )), (P Q) (P R)

4 4 2. V jazyce {<, =, 0, f}, kde f je unární funkční symbol, napište formuli, která vyjadřuje následující tvrzení o reálných funkcích: ostře klesající funkce nemá minimum. Pak formuli znegujte tak, aby negace stála jen u atomických podformulí. 3. Uvažte následující formuli v jazyce s binárním predikátem r. Rozhodněte, zda je tato formule logicky platná, splnitelná, či kontradiktorická. Pokud není kontradiktorická, popište nějakou intepretaci, kde platí. Pokud není logicky platná, popište nějakou intepretaci, kde neplatí. ( x)( y)(r(x, y) x = y)

5 3. část Třetí část sestává ze čtyř teoretických otázek po pěti bodech. Přesně formulujte požadované definice, věty a důkazy, podrobně a přehledně popište své úvahy a argumenty. Pro úspěšné složené této části potřebujete získat 10 bodů z 20 možných. 5 Pomocná tabulka pro hodnocení 3. části (nevyplňujte!): Příklad Celkem 1. Vyslovte větu o kompaktnosti výrokové logiky a s její pomocí ukažte, že je-li výroková formule důsledkem výrokové teorie, je už důsledkem nějaké její konečné části. 2. Definujte pojem modelu teorie a sporné teorie v predikátové logice. Ukažte, že teorie, která má model, je bezesporná.

6 6 3. Definujte uspořádání Booleovy algebry oběma obvyklými způsoby a ukažte, že jsou ekvivalentní. Dále ukažte, že pro každé dva prvky každé Booleovy algebry platí x y y x y. 4. Pro každou z následujících grup napište nějakou formuli jazyka {, 1, 1} teorie grup, která v dané grupě platí, ale v ostatních dvou neplatí. (a) celá čísla s obvyklým sčítáním (b) kladná reálná čísla s obvyklým násobením (c) permutace množiny {1, 2, 3} se skládáním