S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

Transkript

1 @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému z průniku definičních oborů, D f D g = D h, přiřazuje součet funkčních hodnot h=f+g. Analogicky: f: y =, g: y =, =, n = součet h=f+g h=f+g h: y = + rozdíl h=f-g h=f-g h: y = součin h=f.g h=f.g h: y = podíl h=f/g h=f/g h: y = / pozor nutno vyloučit čísla, která by vnesla do jmenovatele nulu násobek reálným číslem h= f h= f h: y = umocnění h=f n h=f n h: y = Úkol: Je zadáno f: y = +, g: y = -, šest operací viz výše. = -5, n =. Definujte předpis funkce h pro všech výsledky

2 @8 Svižně derivujte následující funkce a = a = b = roznásobit b = c = - - roznásobit c = d e roznásobit d ' e ' 6 f = - + upravit f = g g ' 9 Úkol: Vypočítejte derivaci funkce y výsledek

3 @0 Dokažte, že pro derivaci mocniny funkce platí a F ' = F.F' F ' = F.F = součin = F'.F + F.F' = F.F' b F ' = F.F' F ' = F.F = součin = F '.F + F.F' = F.F F + F.F' = F.F Poznámka: Analogický vzorec pro derivování mocniny funkce platí pro všechna přirozená čísla větší než : F n ' = nf n- F' n> - přirozené Důkaz bychom snadno provedli matematickou indukcí. Místo důkazu, který si každý může udělat sám, si ukážeme k čemu je to dobré. Je zadána funkce G= + 7 a máme ji zderivovat. Podle dosavadních příkladů bychom nejprve museli funkční předpis upravit umocnit G = a teprve pak derivovat. Použijeme-li vzorec pro derivování mocniny funkce, půjde to rychleji. Musíme si jen uvědomit, že G = + 7 = F 7 kde F = + G = F 7 = 7F 6.F = = + 6 Úpravu roznásobením bychom udělali jen tehdy, kdy to vyžadoval další postup příkladu. Úkol: Zderivujte a G = b G 0 výsledek

4 @0b Dokažte, že pro každá čtyři reálná čísla a,b,c,d, pro která má předpis funkce smysl není ve jmenovateli nula platí, že derivace má předpis y ad bc. c d a b c d Jinými slovy, máme zadanou funkci derivovat. Jde o podíl, použijeme příslušný vzorec. Důkaz: a y' ad c b' c bc d d c a d b c d' a c d c c a d b V kurzu Lineární rovnice a jejich soustavy definujeme pojem determinantu. Nyní se nám tento pojem hodí. Zopakujme: Definice: Determinantem.řádu rozumíme symbol D a c b d, kde a,b,c,d R Hodnotou determinantu. řádu rozumíme číslo D = ad bc Používáme rčení: Vypočtěte determinant a rozumíme tím vypočítat číslo ad-bc. Poznámka: Všimněte si, že hodnotu determinantu dostaneme rozdílem součinů čísel v hlavní diagonále a ve vedlejší diagonále, viz obrázek.

5 Příklady: Poznámka: Derivace funkce a lze přepsat do tvaru c c a c b b d y je podle posledního důkazu d d ad c bc d, což Příklad: Svižně derivujme 5 y --> Determinant. řádu se počítá velmi jednoduše, proto ho dále již nebudu vypisovat. 7 5 y --> Úkol: Svižně derivujte pozor na správné postavení hodnot a, b, c, d v determinantu

6 a d b e c výsledek

7 @08a Je zadáno f: y = +, g: y = -, operací viz výše. = -5, n =. Definujte předpis funkce h pro všech šest součet h=f+g h: y = + = + = rozdíl h=f-g h: y = + + = + + = + součin h=f.g h: y = + - = - podíl h=f/g h: y = + /- // též možno = -/ / násobek h= f h: y = -5 + = -5-5 umocnění h=f n h: y = + Poznámka: V tak zvané vyšší matematice se studují funkce přímo pod mikroskopem. Zavádějí se tam další pojmy, které se složitě definují, a práce s nimi se dá často označit jako umění. Mezi nimi je však jedna operace, která je jednoduchá skoro jako malá násobilka, a která velice moc usnadňuje malovaní grafů funkcí. Jmenuje se derivace. V této kapitole se s ní seznámíme v rozsahu, který nám umožní vytvářet grafy jednodušších funkcí. Nebudeme ji tedy probírat v plném rozsahu, to přenecháme nějakému dalšímu kurzu. Definice: Derivací rozumíme operaci, předpis, který jedné funkci F přiřadí jinou funkci, které říkáme derivace funkce F a značíme F' čti F s čárkou. Operace derivace má tyto vlastnostmi: i derivace součtu je součet derivací F+G' = F' + G' ii derivace rozdílu je rozdíl derivací F-G' = F' - G' iii reálné číslo derivace násobku je násobek derivace F' = F' iv derivace součinu F.G' = F'.G + F.G' v derivace podílu vi speciální případ derivace převrácené hodnoty F ' G ' F vii derivace mocniny F= n pro celé n a n 0, n - n = n n- viii derivace konstanty konstantní funkce F= = 0 F' G G F' F Příklady: použijeme zkráceného zápisu bez pojmenování funkce y = f y = 0 y = 0 nulová funkce y = k y = 0 konstatní funkce y = y = =. - =. 0 = derivace mocniny y = y = =. - =. derivace mocniny y = 5 y = 5 = = 5. derivace mocniny y = n y = n = n. n- derivace mocniny y = 8 y = 8 = 8 = = = 7 7 derivace násobku a mocniny FG'

8 y = k n y = k n = k n = = k.n. n- derivace násobku a mocniny y = + y = + = + = + derivace součtu y = / derivace převrácené hodnoty ' ' y = / ' n n y = / n n n n n n A teď si musíme derivování natrénovat, aby nám šlo hbitě a nezdržovalo nás, abychom pravidla dostali do krve podobně jako malou násobilku. Proč? No protože to je nástroj, který nám pomůže snadno malovat grafy funkcí. pokračování

9 @09 Vypočítejte derivaci funkce y ' ' Příklad: Procvičte si derivování podílu A y y' ' ' Teď trochu rychleji vynecháme první krok, budeme rovnou psát příslušné derivace. B y Úkol: Svižně derivujte a 5 b c výsledek

10 @0a Derivujte a G = F = 5 + G = b G 0 F G ' Úkol: Dokažte, že pro každá čtyři reálná čísla a,b,c,d, pro která má předpis funkce a c ad c b d bc d y smysl není ve jmenovateli nula platí, že derivace má předpis výsledek

11 @7 Příklad: Určete derivaci f = 5 - f ' = 5 - ' = derivace rozdílu = 5 ' - ' = derivace mocniny = 5 - = 5 - g = - g' = [ - ]' = nejprve musíme roznásobit = [ - + ]' = derivace součtu, rozdílu = ' - ' + ' = mocniny, násobku, konstanty = = - Předvedli jsme si derivování pomalu, krok za krokem. Odteď budeme derivovat rychleji základní pravidla si přece již pamatujeme. h = Všimněte si dobře koeficientů a eponentů funkce a derivace jednotlivých členů. h' = = = Funkce nepřímá úměra k má derivaci k ' Dokázat to můžeme dvěma způsoby: I jako podíl F' ' F F k ' ' ' II jako mocnina n = n n- k' = /' = - ' = = - - = -/ Nyní procvičíme derivaci podílu F ' G F' G G FG'

12 5 l jde o podíl F = a G = + l ' ' ' ' m jde o podíl F = 5 a G = + = + + m' 5 ' 5' 5 ' Kde musíme derivovat, tam jsme funkci G rozepsali jinak to zderivovat neumíme, ale tam, kde šlo jen o mocnění resp. opsání funkce G, tam jsme použili sevřený tvar, jak byl zadán. Úkol: Svižně derivujte následující funkce a = b = c = - - d e f = - + g výsledek

13 @00 Svižně derivujte a 5 b 0 c a ' b ' c ' Úkol: Dokažte, že pro derivaci mocniny funkce platí a F ' = F.F' b F ' = F.F' výsledek

14 @0 Svižně derivujte pozor na správné postavení hodnot a, b, c, d v determinantu a 8 ' a b 0 ' b c 0 ' c d 0 ' d e pozor, jde o. mocninu funkce f 5.. ' e KONEC LEKCE