Evaluation of Interferograms Using a Fourier-Transform Method

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Evaluation of Interferograms Using a Fourier-Transform Method"

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Katedra fzk Vhodnocování nterferogramů metodou Fourerov transformace Evaluaton of Interferograms Usng a Fourer-Transform Method dplomová práce Studní program: Studní obor: Vedoucí práce: Geodéze a kartografe Geodéze a kartografe prof. RNDr. Antonín Mkš CSc. Bc. Petr Pokorný Praha 4

2

3 Čestné prohlášení Prohlašu že sem předloženou prác vpracoval samostatně a že sem uvedl veškeré použté nformační zdroe v souladu s Metodckým poknem o etcké přípravě vsokoškolských závěrečných prací. V Tehově dne Bc. Petr Pokorný

4 Poděkování Předkládaná práce b nemohla vznknout bez rad a konzultací se člen Skupn aplkované optk př katedře fzk FSv ČVUT v Praze. Zeména bch rád poděkoval mému vedoucímu dplomové práce prof. RNDr. Antonínu Mkšov CSc. dále doc. Ing. Jřímu Novákov Ph.D. a v neposlední řadě Ing. Pavlu Novákov Ph.D. za ech odborné přpomínk a návrh. Za užtečné poznámk ke korektuře práce děku Anežce Kabátové. V Tehově dne Bc. Petr Pokorný

5 Abstrakt Práce představue teoretcké poznatk k pochopení prncpu nterferometrckých měření zeména e věnována pozornost metodě vhodnocení nterferogramů pomocí Fourerov transformace. Neprve e ukázána matematcká formulace Fourerov transformace pro spoté a dskrétní případ dále e představena nterferometre ako technka velm přesného měření s náležtostm předzpracování vhodnocení a závěrečného zpracování dat. Následue část specalzovaná na způsob vhodnocení pomocí Fourerov transformace s popsem ednotlvých dílčích kroků. Vhodnocení smulovaných a reálných dat e prováděno ve vlastní vtvořené aplkac. Klíčová slova Interferometre nterferogram metoda Fourerov transformace unwrappng

6 Abstract Thess presents a theoretcal background for comprehenson of nterferometrcal prncples. Under maor attenton s nterferogram evaluaton usng a Fourer-transform method. Frstl a mathematcal formulaton of Fourer transform for contnuous and dscrete data ponts s presented. Subsequentl nterferometr as a technque for a precse measurement s descrbed n common wth preprocessng evaluaton and postprocessng of measured data. The Fourertransform method for nterferogram analss s successvel and thoroughl depcted n the followng part. Smulated and real data evaluaton s performed n own applcaton. Kewords Interferometr nterferogram Fourer-transform method unwrappng

7 Obsah ÚVOD...8 FOURIEROVA TRANSFORMACE.... DEFINICE FOURIEROVY TRANSFORMACE.... DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE....3 SOUVISLOST FOURIEROVY TRANSFORMACE DISKRÉTNÍ FOURIEROVY TRANSFORMACE A FOURIEROVÝCH ŘAD INTERFERENCE SVĚTLA INTENZITA A KONTRAST ROVINNÉ MONOCHROMATICKÉ HARMONICKÉ VLNY PRINCIP SUPERPOZICE INTERFERENCE A KONTRAST LINEÁRNĚ POLARIZOVANÝCH MONOCHROMATICKÝCH VLN STEJNÉ FREKVENCE INTERFERENCE A KONTRAST MONOCHROMATICKÝCH ELIPTICKY POLARIZOVANÝCH VLN STEJNÉ FREKVENCE KOHERENCE VLNĚNÍ Prostorová koherence Časová koherence INTENZITA A KONTRAST POLYCHROMATICKÉHO A KVAZIMONOCHROMATICKÉHO ZÁŘENÍ INTERFEROMETRIE DVOUSVAZKOVÁ A STŘIHOVÁ INTERFEROMETRIE Dvousvazková nterferometre Střhová nterferometre ZÁZNAM A VYHODNOCENÍ INTERFEROGRAMU Záznam nterferenčního pole Předzpracování zaznamenaných dat Model šumu v měřeném nterferogramu Potlačení vsokofrekvenčního a nízkofrekvenčního náhodného šumu Elmnace nerovnoměrné ntenzt pozadí nterferogramu Úprava kontrastu nterferogramu Výběr relevantní vhodnocované oblast maskování Vhodnocení nterferogramu Vztah fázového a dráhového rozdílu základní podmínka metodk vhodnocení Detekce a polnomální apromace nterferenčních proužků s následným vhodnocením fázového rozdílu Interferometre s posuvem fáze Interferometre se zaváděním nosné frekvence Konečné zpracování dat postprocessng Analtcké vádření dskrétních rekonstruovaných dat Odstranění zbtkových vlvů neednoznačně určené prostorové frekvence

8 Obsah 5 VYHODNOCENÍ INTERFEROGRAMŮ METODOU FOURIEROVY TRANSFORMACE UNWRAPPING ÚVOD DO PROBLEMATIKY UNWRAPPINGU RESIDUA MAPY KVALITY A MASKY ALGORITMY SLEDUJÍCÍ PŘEDEM URČENOU CESTU PFA Goldstenův algortmus GA Qualt-Guded Path Followng algortmus QGPFA Mask-Cut algortmus MCA Flnnův algortmus FA METODY MINIMALIZUJÍCÍ NORMU MNM Algortm nemenších čtverců bez vah ULS Vážený mult-grd WMG Metoda sdružených gradentů s předpodmíněním PCG Metoda mnma L P -norm DALŠÍ KOMBINOVANÉ ALGORITMY ANALÝZA ALGORITMŮ UNWRAPPINGU ZDROJE POUŽITÝCH ALGORITMŮ VLIV NÁHODNÉHO ŠUMU NA ALGORITMY UNWRAPPINGU VLIV RESIDUÍ OBRAZU FÁZOVÉHO ROZDÍLU NA ALGORITMY UNWRAPPINGU VYHODNOCENÍ SIMULOVANÝCH A REÁLNÝCH DAT VÝPOČETNÍ SOFTWARE K VYHODNOCENÍ INTERFEROGRAMU POMOCÍ FTM VYHODNOCENÍ SIMULOVANÝCH A REÁLNÝCH DAT ZÁVĚR...4 POUŽITÁ LITERATURA...4 SEZNAM OBRÁZKŮ...5 SEZNAM TABULEK SEZNAM PŘÍLOH

9 Úvod V různých technckých oblastech e nutné bezkontaktně a s velkou přesností určovat tvar ploch nebo ech odchlk od nomnální hodnot. Jednou z metod takového měření může být nterferometre s následným numerckým vhodnocením a analýzou. V současnost se vužívá vhodných algortmů které zpracovávaí dodané měřené nterferogram na nchž e zaznamenána ntenzta vznklá nterferencí zpravdla dvou vln [ 9] edné odrážeící se od referenční ploch a druhé od ploch testované. Je známo několk postupů pro měření a vhodnocování nterferogramů přehled lze nalézt např. v [3 ]. Jeden z nch e založen na použtí dskrétní Fourerov transformace. Metoda e to v současnost dík vspělým výpočetním softwarům numerck snadno provedtelná navíc přnáší některé výhod oprot ným způsobům. Například samotný postup vhodnocení částečně potlačue varace v ampltudě měřené ntenzt a pro vhodnocení nám postačue pouze eden obraz. Ve frekvenčním spektru sme také schopn provádět fltrace obrazu a částečně tak elmnovat šum vznklý náhodným chbam použtého detektoru. I kdž metoda Fourerov transformace neposktue nepřesněší výsledk oprot metodám ež vužívaí více měřených obrazů může být aplkována pro velm přesné analýz dnamckých sstémů. Samotné provedení výpočtu Fourerov transformace e totž v pra prováděno zakomponováním do hardwaru měřícího zařízení. Oblastm aplkací nterferometre sou například testování optckých sférckých a asférckých prvků [ ] vsokorchlostní dnamcká 3D proflometre mkromechanckých zařízení [ 4] analýza hoření plamenů [5] optcká tomografe nestaconárního vsokorchlostního toku plnů [6] tzv. spekl nterferometre pro kvanttatvní měření 3D deformačních polí [7] analýz napětí [8] proměřování tenkých vrstev [9] charakterstk laserového plazmatu [] analýz mega-gaussovských magnetckých polí v laserově produkovaných plazmatech [] měření pro určování prostorové koherence a ndeů lomů prostředí [ 3] určování prostorových polarzací [4 6] nebo spektroskopcká polarmetre [7]. Z bologckých a medcínských aplkací menume použtí v tomograf [8 9] měření dnamk topografe trhln [3] nebo měření deformací bologckých tkání [3]. Z oblast měření etrémních fzkálních evů to pak sou například měření etrémně malých magnetckých polí s použtím elektronové holografe [3 34] a měření deformací krstalckých mřížek se sub-ångstromovou 8

10 Úvod přesností [35]. Sateltní nterferometre umožňue určovat například pohb tektonckých desek a zemětřesení [36] oceánské slap [37] mapování přehrad a nádrží [38] a další. Práce předkládá teoretcké podklad k pochopení problematk nterferometre ako přesné bezkontaktní metod pro měření optckých ploch a vhodnocení nterferogramů metodou Fourerov transformace. První část e věnována matematcké formulac Fourerov transformace pro spoté a dskrétní případ následue kaptola popsuící fzkální původ nterference světla pro monochromatcké kvazmonochromatcké a polchromatcké záření. V další část e představena nterferometre ako technka měření eí základní prncp a postup získávání předzpracování vhodnocení a konečných úprav analzovaných obrazů. Následue kaptola věnovaná přímo metodě Fourerov transformace s náležtostm které e nutné př rekonstrukc reálných fázových polí provádět. Jednou z částí tohoto procesu e tzv. unwrappng. Tento matematcký problém e stěžení a nekomplkovaněší př rekonstrukc reálných polí a proto e mu věnována celá další kaptola. Algortm prováděící unwrappng sou následně analzován v předposlední kaptole. Závěrem e představen výpočetní software vtvořený pro vhodnocení nterferogramů metodou Fourerov transformace s ehož vužtím e provedeno zpracování a analýza smulovaných reálných měřených dat. V přílohách e uveden seznam prací ež autor publkoval v meznárodních mpaktovaných a v českých recenzovaných časopsech po dobu svého bakalářského a magsterského studa na Fakultě stavební ČVUT v Praze. Následně také soups soutěžních prací autora s nmž se účastnl meznárodních a celofakultních soutěží. Datovou přílohou e vtvořená aplkace VI-FTM pro vhodnocení nterferogramů metodou Fourerov transformace v prostředí MATLAB Ra přeložená pro 3btový operační sstém Wndows. 9

11 Fourerova transformace Představme nní základní matematcký nástro této práce. Je ím tzv. Fourerova transformace a nverzní Fourerova transformace [39 44]. Uplatnění obecně nachází všude tam kde e třeba vádřt a analzovat perodcký neperodcký sgnál získaný v čase. V techncké pra se Fourerova transformace vužívá zeména z toho důvodu že slouží k převodu sgnálu z tzv. časové oblast rozuměme záznam určtého evu sgnálu v čase do tzv. oblast frekvenční t. umožňue zstt aké frekvence zaznamenaný ev sgnál obsahue. Frekvenční oblast nám poté nese některé důležté nformace které bchom ze záznamu v čase nemohl získat. Z potřeb technků a fzků vznkla tzv. dskrétní Fourerova transformace DFT toto označení blo poprvé použto roku 967 [45 46]. Blo totž nutné analzovat měřená data dskrétní povah. Vědecká veřenost ž dříve od roku 85 [4] ovšem znala tzv. Besselov vztah které sou nní defncí DFT. Nástup rozvoe tohoto matematckého aparátu nastal roku 965 kd Coole a Tuke publkoval obdvuhodně rchlý algortmus výpočtu DFT dnes známý ako rchlá Fourerova transformace FFT z angl. Fast Fourer Transform. Neustále se zdokonaluící výpočetní technka tento rozvo en umocnla. V současnost DFT FFT nachází uplatnění např. ve zpracování sgnálu nebo analýze obrazu [47 48] ale v dalších dscplínách.. Defnce Fourerov transformace V lteratuře různých vědeckých oblastí se používaí různé způsob defnc spoté Fourerov transformace v N dmenzích a eí nverze [4]. Tuto rozdílnost lze pokrýt zavedením tří nenulových reálných konstant A B a k. Konstanta k musí být reálná bezpodmínečně konstant A a B mohou být komplení ale e to bezúčelné. Konstant sou svázán podmínkou vplývaící z tzv. fundamentální vět o Fourerově transformac [4 4] k AB =. π Nechť sou komplení funkce f a FX absolutně ntegrovatelné a po částech hladké reálných proměnných a X E N. Potom e Fourerova transformace funkce f defnována ako [4]

12 Fourerova transformace a nverzní Fourerova transformace ako kx N N FT{ f } = F X = A L f ep d FT kx N N { F X} = f = B L F X ep d X 3 kde FT{ } značí operátor Fourerov transformace a FT - { } operátor nverzní Fourerov transformace. Jádro ntegrální Fourerov transformace K X = ep kx e smetrcké neboť platí [39 4 4] K X = K X 4 a dále faktorzovatelné t. [39 4 4] = N K X K X 5 = což v některých případech velm usnadňue výpočet Fourerova ntegrálu a 3. Ukažme s nní tzv. fundamentální větu o Fourerově transformac [4] a z ní důsledek pro podmínku. Nechť pro funkc f estue Fourerův ntegrál potom v bodech spotost platí [4] FT { FT{ f }} = FT{ FT { f }} = f 6 což lze snadno ukázat dosazením z a FT { FT{ f }} = B = N N L A L f ρ ep N kxρ d ρ ep kx N N N AB L f ρ L ep[ k ρ X] d X d ρ. d N X 7 Integrál ve složené závorce e tzv. Dracova dstrbuce [39 4] N [ ρ X] X π L ep k d = δ ρ 8 k kde δ ρ e Dracova funkce [39 4]. Dosazením do 7 dostáváme N

13 Fourerova transformace FT N π N { FT{ f }} = AB f ρ ρ d ρ. k L δ 9 Integrál v 9 e dík vlastnostem Dracov dstrbuce roven f v bodech spotost funkce f a v bodech konečné nespotost e roven střední hodnotě. Ab platlo tvrzení fundamentální vět musí dík 9 platt πab = k což e podmínka. V dalším tetu budeme uvažovat hodnot konstant A = B = k = π čl defnueme Fourerovu transformac ako a nverzní Fourerovu transformac ako πx N FT{ f } = F X = L f ep d FT πx N { F X} = f = L F X ep d X. 3. Dskrétní Fourerova transformace Jelkož měřená data sou dskrétní povah a ech počet e konečný e nutné představt nástro pro ech Fourerovskou transformac. Podrobný včerpávaící pops vlastností a způsobů výpočtů může čtenář naít např. v [4]. V této část představíme pouze ednodmenzonální a dvodmenzonální tvar protože t sou vužíván v techncké pra nečastě. Velm rchlý způsob výpočtu publkoval Coole a Tuke roku 965 [49] ech metoda e dnes používána pod názvem rchlá Fourerova transformace FFT z angl. Fast Fourer Transform. Matematcké softwar např. MATLAB maí eí algortm zpravdla mplementované. V programovacím azce C sou volně k dspozc free software pod GNU General Publc Lcense knhovn proektu FFTW [5] vznkaícího na Massachusetts Insttute of Technolog v Bostonu USA. Tto knhovn nabízí možnost výpočtu v edné nebo více dmenzích

14 Fourerova transformace voltelného rozsahu vstupních reálných kompleních dat a sou považován za nerchleší a neoptmalzovaněší. Defnc dskrétní Fourerov transformace v edné dmenz můžeme psát ako [ ] N = k n= nkπ / N F f ep k = K N 4 n kde f n n =... N e posloupnost N konečných kompleních čísel = -. Jednodmenzonální zpětnou dskrétní Fourerovu transformací potom rozumíme N k = nkπ / N f = F ep n = K N. 5 n k N Jestlže e F k ve vztahu 5 obrazem f n ze vztahu 4 sou-l hodnot F k výsledkem dskrétní Fourerov transformace na posloupnost čísel f n potom 5 vadřue původní posloupnost a e nverzní ke vztahu 4. Toto tvrzení plne z dosazení 4 do 5 f n = N = N v= N k= N v N = f N fv k= v ep ep vkπ / N ep nkπ / N [ n v kπ / N ] 6 kde dále platí N pokud v n ep[ n v kπ / N ] = N pokud = k = v n 7 a tudíž můžeme 6 smbolck rozepsat ako f f + f f f. 8 n = n N Tímto sme vslovené tvrzení snadno dokázal. V některých lteraturách může čtenář nalézt defnce odlšné zpravdla o násobnou konstantu případně znaménko v eponentu. Odlšnost e ekvvalentní zavádění konstant ve spotém případě Fourerov transformace. M ovšem budeme uvažovat výše uvedené defnce 4 a 5 elkož t sou zpravdla používán v moderních výpočetních sstémech. Přesněší název b bl konečná fntní dskrétní Fourerova transformace protože máme k dspozc konečnou posloupnost dskrétních dat nechť čtenář srovná s defncí Fourerov spoté transformace. Pro ednoduchost zápsu ovšem tuto skutečnost budeme zanedbávat. 3

15 Fourerova transformace Geometrck lze posloupnost kompleních čísel F k k =... N nterpretovat ako obecnou soustavu vektorů se společným počátkem [43 44]. Defnční vztah 4 pro F k poté můžeme považovat za rozklad každého vektoru do soustav N vektorů f n. Jelkož e v techncké pra často vžadována analýza dvorozměrných obrazů představme také dvorozměrnou dskrétní Fourerovu transformac. Ta e nečastě defnována ako [ ] mkπ / M ep nlπ N M = N f ep / k l m n m= n= F 9 kde f mn e dvorozměrná posloupnost m =... M n =... N perodcká s perodou M v ndeu m a s perodou N v ndeu n. Inverzní transformace e poté defnována ako = M N F ep / m n k l k= l= mkπ / M ep nlπ N f. MN.3 Souvslost Fourerov transformace dskrétní Fourerov transformace a Fourerových řad Abchom demonstroval vužtelnost Fourerov transformace v technckých oblastech zabýveme se nní eí souvslostí s Fourerovým řadam. Jech vužtí nachází uplatnění např. ve spektrální analýze sgnálů zpracování obrazu apod. [47 48]. Uvažume případ edné proměnné a defnume Fourerovu řadu. Steně ako tomu blo v předchozích částech v různých lteraturách se můžou defnce lšt v závslost na volbě konstant. Fourerova řada k dané obecně komplení spoté funkc ft perodcké s perodou P P > e defnována ako [ ] = k= kde = - a pro koefcent C k platí πkt / P < t < ξ t C ep k P C = f tep πkt / P dt k = ± ± K. k P 4

16 Fourerova transformace Jak e patrné z hodnot koefcentů C k sou počítán z hodnot v ntervalu perodct. Pokud funkce nebude perodcká můžeme považovat celý eí defnční obor za perodu a tak koefcent vpočíst. I pro funkc na konečném ntervalu různou od nul lze koefcent určt a to snadno ako t + P πkt / P dt k = ± ± K C = f t ep 3 k P t kde t t t + P. Pro reálné funkce ft bude platt ak vplývá z C = k Ck k = K. 4 Dále lze vztah a pro reálné funkce s užtím Eulerova vzorce [39 4] přepsat ako cosϕ snϕ r ep ϕ r + = 5 πkt πkt ξ t = a + a cos + b sn 6 k k k = P P kde a a b k k = = = P P P P P P f t dt = C πkt f t cos P πkt f tsn P dt = Re dt = Im { C } k { C } k = K k 7 kde Re{ } a Im{ } značí reálnou a magnární složku. Vztah a lze také přepsat ako [4 43] πkt ξ t = A + Ak cos + φk 8 k = P kde A A k = a = C = a + b k φ = argc k k k = C Im = arctan Re k { C } k { C } k k = K. 9 5

17 Fourerova transformace V techncké pra e úloha kd hledáme koefcent 9 rozvoe 8 nazývána harmoncká analýza. Opačný problém kd z koefcentů sestavueme daný sgnál e nazýván harmoncká sntéza [4]. Každý sgnál sme ted schopn rozložt do řad kosnusovek určt ech ampltudu A k a počáteční fáz ϕ k. Velčna C k e nazývána komplení ampltudou. Je výhodné používat společně s komplením vádřením kdž v pra u reálných sgnálů má smsl uvažovat en reálné složk harmonckého rozvoe s kladným frekvencem ω kde ω = πk/p. Ze základních vlastností Fourerových řad menume tto [4]: Posloupnost částečných součtů ξ n konvergue k f v průměru čl platí: lm P n ξ t f t dt =. 3 n Mez funkcí f a koefcent eí Fourerov řad platí tzv. Parservalova rovnost: P P f t dt = k= C k. 3 Koefcent Fourerov řad konverguí k nule: lm C =. 3 k k Z výše uvedených vlastností lze odvodt tvrzení že má-l být funkce apromována trgonometrckým polnomem n-tého stupně ve smslu nemenších čtverců suma kvadrátů odchlek má být mnmální potom e tímto polnomem právě částečný součet Fourerov řad [4]. Souvslost Fourerov řad a Fourerov transformace ted vsthue následuící. Jak může být ukázáno [4] pro estenc Fourerov řad transformace fntních funkcí sou nutné stené podmínk. Potom lze určt ak koefcent Fourerov řad tak Fourerovu transformac této funkce která bude mít užtím tvar P = f tep πkt / P FT{ f t} = F k / P dt. 33 Porovnáním a 33 dostáváme tvrzení [4]: Koefcent C k Fourerov řad fntní funkce f sou rovn hodnotám Fourerov transformace F této funkce děleným délkou perod. Platí ted C k = F k / P k = ± ± K. 34 P 6

18 Fourerova transformace V pra nás ovšem nevíce bude zaímat souvslost dskrétní Fourerov transformace s Fourerovou řadou elkož měřená a analzovaná data sou zpravdla dskrétní povah. Lze ukázat že přímé vádření funkce F Fourerov transformace a čísel C k kompleních ampltud pomocí dskrétních čísel F k dskrétní Fourerov transformace není obecně možné. Platí však přblžná vádření [4] k C F F F 35 k k k N T NT kde N značí počet dskrétních bodů T = P/N. Vztah 35 sou závslé na tom ak dobře e splněna podmínka 3 čl ak budou koefcent C k klesat s rostoucím k nebo ak bude funkce Fk/NT na základním ntervalu klesat s rostoucím k/nt. Přblžné vztah 35 předou v rovnost pouze tehd pokud nebo pokud F k NT k π = > 36 NT T C k = k > N /. 37 Na následuících obrázcích e demonstrována analýza sgnálu a eho rekonstrukce pomocí DFT. Nechť funkce ft e dána součtem tří funkcí f t f t a f 3 t πk f t = cos t + φ 38 P kde k = ϕ = k = 5 ϕ = π/3 k 3 = 9 ϕ 3 = π/5 a P = π. Pro DFT e dále voleno N = 69. Obr. zobrazue vpočtené ampltud A k a počáteční fáze ϕ k s vužtí DFT dle vztahů 35 a 9. Pro přehlednost bl zvolen mamální stupeň zobrazovaného k = 5. Ze samotné část b obr. není patrné které počáteční fáze sou relevantní pro daný harmoncký rozvo. V kombnac s částí a ovšem zšťueme že sou to pouze t kde k = k = 5 a k = 9 což e v souladu s naším zadáním ednotlvých funkcí f t které nám svým součtem defnuí funkc ft. Část c zobrazue polární graf kde sou prezentován pouze domnantní prvk v rozvo. Pro velkost vpočtených ampltud platí A k což odpovídá našm zadaným funkcím a velkost počátečních fází e ϕ =.39. ϕ 5 = π/3 a ϕ 9 = π/5. 7

19 Fourerova transformace Obr. Funkce ft = f t + f t + f 3 t Obr. Zobrazení a ampltud A k vpočtených pomocí DFT b počátečních fází ϕ k a c polárního zobrazení domnantních členů rozvoe 8

20 Fourerova transformace Obr. 3 Zobrazení a rekonstruované funkce ξt a b eího rozdílu od původní funkce ft Na obr. 3 následně vdíme rekonstruovanou funkc ξt a eí rozdíl od původní funkce ft. Odchlk v rekonstrukc nastal z výše popsaných důvodů př použtí DFT elkož transformace není počítána přes neomezený nterval ale pouze pro fntní funkc a dskrétní data. 9

21 3 Interference světla Představme nní teoretcké poznatk nezbtné k popsu nterference čl nutné k pochopení vznku nterferenčních obrazců echž prostorové rozložení e zaznamenáváno na detektorech záření a následně dnes zpravdla analtck vhodnocováno. Celá problematka b s zasluhovala mnohem větší prostor než zde může být posktnut k hlubšímu studu ted doporučíme čtenář dostupnou lteraturu [ 8]. 3. Intenzta a kontrast rovnné monochromatcké harmoncké vln Zabýveme se nní vztah pro rovnné monochromatcké vln ež sou základem a účnným nástroem pro pops šíření světla ve formě elektromagnetckých vln. Základní kostru tvoří Mawellov rovnce spoené s materálovým rovncem a hrančním podmínkam [ ]. Pomocí nch můžeme popsat veškeré ev které nastávaí v nám všetřovaných stuacích. Vděme z Ampérova zákona celkového proudu ak e znám v dferencálním tvaru Mawellových rovnc [ ] D r t rot H r t = r t + 39 t kde Hr t e vektor ntenzt magnetckého pole r t vektor proudové hustot volných náboů vodvých proudů Dr t e vektor elektrcké ndukce r značí polohový vektor od zdroe pole a t čas. Dále pak z Faradaova ndukčního zákona který zní [ ] B r t rot E r t = 4 t kde Er t e vektor ntenzt elektrckého pole a Br t vektor magnetcké ndukce. Závslost mez velčnam uvažume ve formě materálových rovnc [ ] D r t = ε E r t B r t = µ H r t 4 kde ε značí permtvtu prostředí a μ permeabltu. Rovnce 39 4 platí za předpokladu že všechna tělesa sou v kldu materálové konstant nesou závslé na čase a vektorech pole a

22 Interference světla v pol nesou permanentní magnet a feromagnetcká prostředí. Pro zednodušení a přehlednost zápsu budeme v dalším tetu vnechávat označení závslost na poloze a čase čl použeme např. E = Er t. Násobme rovnc 39 skalárně vektorem ntenzt elektrckého pole rovnc 4 vektorem ntenzt magnetckého pole a tto od sebe odečtěme potom s užtím 4 dostáváme H E H rot E E rot H = µ H E ε E t t ε E H rot E E rot H = E t B +. µ 4 Úprava levé stran 4 známá z vektorové algebr [39 4] následně vede k [ 5 5] grad ε E t B µ E H + + = E 43 což e tzv. Pontngův teorém. Lze ho zapsat s užtím hustot energí také ako [5] u pole + u grad N + = 44 medum t kde N = E H e tzv. Pontngův vektor [ ] u pole e obemová hustota energe elektromagnetckého pole a u medum e obemová hustota energe dodaná polem do prostředí. Ukažme s nní význam Pontngova vektoru. Integrume rovnc 44 přes obem V uzavřen plochou S ted grad N dv = + dv. 45 t V u pole umedum S užtím Gauss-Ostrogradského vět [39 4] můžeme psát kde n e ednotkový vektor vněší normál. Z výše uvedeného plne že tok Pontngova vektoru z obemu V ohrančeného plochou S odpovídá rchlost ztrát energe v tomto obemu. Pontngův vektor tak defnue tok energe prostorem. Intenzta záření I e dána ako časová střední hodnota velkost Pontngova vektoru [ 4 5]. Časovou střední hodnotu musíme uvažovat proto že žádný senzor není schopen regstrovat okamžtou hodnotu vlnění. Ted V u pole umedum dv Nn ds = + 46 t S V

23 Interference světla I = T T N = E H = N dt = E H dt. 47 T T Dále defnume tzv. kontrast K ako [ 4 8] K I I ma mn = 48 ma I + I mn kde I ma značí mamální ntenztu v obraze a I mn ntenztu mnmální. Uvažume nní rovnnou monochromatckou harmonckou vlnu pro kterou platí [ ] ε E = E ep[ kr ω t + δ ] H = n E 49 µ kde E e vektor počáteční ampltud k e vlnový vektor obecně komplení prozatím uvažume pouze reálný k = kn k = ω/v = π/λ e vlnové číslo [ 4 5] v e rchlost šíření vlnění λ e vlnová délka r e polohový vektor lbovolného bodu na vlnoploše polohový vektor od zdroe vlnění k dané vlnoploše ω e úhlová frekvence δ značí počáteční fáz n e ednotkový normálový vektor vlnoploch vektor ve směru šíření rovnné vln = /. Pro určení směru šíření energe rovnné vln dosaďme ze vztahu 49 do vztahu pro Pontngův vektor dostáváme N = E H = ε E µ ε µ n E = [ EE n En E] = EE n = E n ε µ ε µ. 5 Vdíme že Pontngův vektor rovnné vln e kolneární s normálovým vektorem vlnoploch a energe se tak šíří ve směru který tato normála určue. Pro aplkace kde neuvažueme např. absorpc prostředí e relevantní pouze reálná část výrazů 49. Pro vektor elektrcké ntenzt í získáme ako E E = { ep[ kr ω t + δ ] + ep[ kr ωt + ]} δ 5 čl uvážením polovn součtu daného kompleního čísla s číslem kompleně sdruženým. Užtím Eulerova vzorce dále platí Pro ntenztu dostáváme dosazením do 47 kr ω + δ E = E cos t. 5

24 Interference světla I = T T T ε ε E dt 53 µ T µ dt = E cos kr ωt + δ kde předpokládáme neměnnost prostředí s časem čl odmocnnu z poměru permtvt a permeablt prostředí můžeme vtknout před ntegrál. Po provedené ntegrac dostáváme I ε = E + [ sn kr + δ sn kr ωt + δ ]. 54 µ ωt Předpokládáme-l např. detektor s odezvou T = -9 s a zelené světlo s frekvencí ω 4 5 Hz bude ωt = 4 5 z čehož e patrné že druhý člen v závorce 54 můžeme zanedbat protože bude přblžně 6 krát menší než člen první. Pro ntenztu záření můžeme ted s ohledem na výše uvedené předpoklad psát ε I = E. 55 µ Uvažume nní průchod záření absorbuícím prostředím které e v reálných aplkacích přítomno. Zaveďme tzv. komplení nde lomu [ 4 5] n = n + 56 ω κ ω kde n ω e nde lomu prostředí a κ ω e tzv. nde absorpce. Jak nde naznačuí nde lomu prostředí a nde absorpce e závslý na frekvenc záření které daným prostředím prostupue. Pro vlnový vektor poté dostáváme k π kn = k nn = nn = k + ω λ = ω n + κ n = k k r 57 kde k a λ e vlnové číslo a vlnová délka ve vakuu n e komplení nde lomu prostředí vádřený vztahem 56. Dosazením do rovnce rovnné vln 49 vede k E = E = E = E ep ep ep [ k r k r ] r + ωt + δ [ k r ω r t + δ k r] [ k r ωt + δ ] ep[ k r]. r 58 Je ted patrné že v tomto případě dochází k tlumení vln a to eponencálně vzhledem k velkost ndeu absorpce. Pro ntenztu vlnění prostupuícího tímto prostředím poté platí 3

25 Interference světla ε ε ε I = E = E ep[ k r] = E ep[ αd] 59 µ µ µ kde α značí tzv. koefcent absorpce [ 4 5] α = k =k κ ω a vzdálenost d = nr značí vzdálenost bodu vlnoploch od eího zdroe. Z výše uvedeného vplývá že ntenzta eponencálně klesá se vzdáleností. Vztah 59 se nazývá Boguer-Lambertův zákon [ 4 5]. Obr. 4 demonstrue vlv absorpce prostředí na ntenztu záření. Obr. 4 Závslost ntenzt záření na vzdálenost pro koefcent absorpce α = I =.5 ε/μ E ; a závslost v rovně = potom d = b závslost v rovně kde d = + / 3. Prncp superpozce Před vslovením samotného prncpu superpozce musíme uasnt sté termín. Je nutné rozlšovat ntenztu elektromagnetckého vlnění I časovou střední hodnotu Pontngova vektoru a velkost vektorů pole vektoru ntenzt elektrckého pole E a vektoru magnetcké ntenzt H. Důvod proč e toto rozlšení zdůrazněno obasní další část tetu. Uvažume nní lneární prostředí ted takové ehož vlastnost nezávsí na ntenztě světelné vln šířící se tímto prostorem. Tento případ nastává pokud ntenzta vln není přílš velká. Potom platí tzv. prncp superpozce pro vektor elektromagnetckého pole [ 5]: Výsledný vektor ntenzt pole v daném místě prostoru v němž se nachází několk zdroů světla e roven vektorovému součtu dílčích vektorů ntenzt které v daném místě vtváří ednotlvé zdroe světla navzáem nezávsle. Ted pro případ vektoru ntenzt elektrckého pole Er t v bodě r čase t a k zdroů světla můžeme psát E r t E r t. 6 = k = 4

26 Interference světla V případě slných elektromagnetckých polí prncp superpozce platt nebude. Např. u výkonných laserů e velkost vektoru ntenzt elektrckého pole E řádově 7 V/m [4] což e srovnatelné s ntenztou pole uvntř atomů. Pro účel této práce ale takováto pole neuvažueme vstačíme ted s prncpem superpozce 6. Popsem výsledné ntenzt elektromagnetckého vlnění I které vznkne složením více polí splňuících prncp superpozce se budou zabývat následuící část. 3.3 Interference a kontrast lneárně polarzovaných monochromatckých vln stené frekvence Představme nní prncp superpozce pro určení ntenzt výsledného pole v případě dvou lneárně polarzovaných [ 5] rovnných monochromatckých vln stené úhlové frekvence echž vektor E a E sou rovnoběžné ale šíří se v různých směrech daných vlnovým vektor k a k. Tento poměrně ednoduchý případ se v pra velm vužívá. V laboratořích e možné snadno vtvořt vln lneárně polarzované a téměř deálně monochromatcké. S užtím 49 pro takovéto dvě vln píšeme E E = E = E ep ep [ k r ωt + δ ] [ k r ωt + δ ] 6 kde E a E značí počáteční ampltud a δ a δ počáteční fáze r e polohový vektor od počátku soustav souřadnc. Výsledné pole e dáno prncpem superpozce 6 ako E = E + E. 6 Pro eho ntenztu poté s užtím 47 5 a 6 neuvažueme-l absorpc prostředí píšeme I ε ε ε = N = E H = E = E + E = µ µ µ E + E E + E. 63 Provedením naznačených početních operací dostáváme + E E + E * * * * = E + E + EE + EE = E + E + EE EE E Pokud platí * * E E + E E 65 5

27 Interference světla potom dochází k tzv. nterferenc světla. Prostor ve kterém dochází k nterferenc e nazýván nterferenční prostor. Levá strana 65 e tzv. nterferenční člen [4]. Pokud e tento člen nulový nedochází k nterferenc. Užtím vztahů 6 pro ně dostáváme E E { [ k k r + δ δ ]} + E E ep{ - [ k k + δ δ ]} * * EE = EE ep + r a dále užtím Eulerova vzorce 66 E E * + E E * = E + E = E E E E { cos[ k k r + δ δ ] + sn[ k k r + δ δ ]} { cos[ k k r + δ δ ] sn[ k k r + δ δ ]} cos[ k k r + δ δ ]. 67 Výslednou ntenztu v místě r ted můžeme vádřt ako I r = = I ε µ E r + I + ε µ r + E I r I ε + E E cos µ r cos[ r + δ δ ] k k [ k k r + δ δ ] 68 kde I r a I r značí ntenzt první a druhé vln v místě r a vužl sme rovnoběžnost vektorů počátečních ampltud. Jak e z 68 patrné bude ntenzta konstantní pokud k r + δ = πm + C k 69 δ kde m e celé číslo a C e konstanta. Mamum ntenzt bude pro C = a mnmum pro C = π. Porovnáním s vektorovou rovncí rovn známou z matematk vdíme že 69 určue posloupnost rovn s konstantní ntenztou a tto rovn sou kolmé na vektor k k. Pro určení vzdálenost dvou po sobě následuících rovn uvažume rovnu m a m +. Dostáváme ted k k r π m + δ δ = m + C k k r + δ = π m + + C. δ m+ 7 Vzdálenost Δ těchto rovn e rovna proekc vektoru r m+ r m na ednotkový vektor kolmý k rovnám normálový vektor k k. Ted k k Odečteme-l od sebe vzáemně rovnce 7 dostaneme = r m + r m. 7 k k k r m r π = + m k. 7 6

28 Interference světla Dosazení do 7 následně vede ke vztahu = π k k = λ n n 73 kde sme dále použl defnce vlnového vektoru k = kn k = π/λ n a n značí ednotkové normálové vektor rovnných vlnoploch. Pro čtverec velkost ech rozdílu dále platí n n = n n n n = n n + n n n n = cosα = 4sn α 74 kde α značí úhel mez normálovým vektor. Dosazením do 73 pro vzdálenost mez rovnam konstantní ntenzt dostáváme λ =. 75 α sn Ze vztahu 69 můžeme včíst že přenos energe probíhá v perodckých vrstvách kolmých na vektor k k také ted na n n. Vložíme-l do nterferenčního pole detektor záření budeme regstrovat rozložení ntenzt které se proeví tzv. nterferenčním proužk. Vzdálenost dvou sousedních nterferenčních proužků regstrovaných detektorem bude závslá na sklonu tohoto detektoru vůč vektoru n + n vůč ose úhlu α. Bude-l normála detektoru svírat s tímto vektorem úhel β potom detekovaná vzdálenost mez proužk bude =. 76 β cos β Na obr. 5 e zobrazen ukázkový nterferenční obrazec dvou rovnných harmonckých vln. Obr. 5 Interferenční obrazec pro dvě rovnné harmoncké vln zeleného světla o úhlové frekvenc ω = 4 5 Hz v rovně z kolmé na osu ve vzdálenost d = od počátku soustav souřadnc; ednotkové normálové vektor rovn volen n = [] n = / 5[] δ = δ = I = I = 7

29 Interference světla Pro určení kontrastu K specfkume přesně hodnot I ma a I mn tím způsobem že I ma představue mamální hodnotu ednoho nterferenčního proužku eden z bílých proužků na obr. 5 a I mn mnmální hodnotu ntenzt proužku vedlešího tmavý proužek. S užtím 69 ted můžeme psát I I ma mn = I = I + I + I + + I I I I [ πm] π m + cos cos[ ] 77 a ted kontrast pro nterferenční obrazec vznklý nterferencí dvou lneárně polarzovaných monochromatckých harmonckých vln stené frekvence echž vektor ampltud sou rovnoběžné bude dán vztahem [ 4 9] K =. 78 I I I + I Jak ale blo řečeno nemusí k nterferenc doít vžd. Podmínka 65 říká že k nterferenc dochází pokud nterferenční člen není roven nule. Pro rovnné monochromatcké vln 6 poté s 67 pro levou stranu 65 dostáváme E E * + E E * = E E cos [ k k r + δ δ ] = T T = E E E E cos [ k k r + δ δ ] k k cos[ r + δ δ ] dt 79 kde sme vužl rovnoběžnost vektorů počátečních ampltud. Ab k nterferenc došlo musí platt podmínka k k E E cos[ r + δ δ ]. 8 Jelkož E a E nebudou nulové bude 8 splněno právě tehd kdž kde l e celé číslo. π k l 8 k r + δ δ + π Lze snadno ukázat že pro lneárně polarzovaná záření echž rovn polarzace nebudou rovnoběžné ak tomu blo v předchozím případě ale budou svírat úhel ψ bude platt pro ntenztu vztah [ k k + δ δ ] cosψ I r = I r + I r + I r I r cos r 8 8

30 Interference světla a pro kontrast poté II K = cosψ. 83 I + I 3.4 Interference a kontrast monochromatckých elptck polarzovaných vln stené frekvence Představme nní případ dvou nterferuících elptck polarzovaných monochromatckých vln stené frekvence [ 5]. Případ kruhově nebo lneárně polarzovaných vln e en specálním případem tohoto. Vln budou popsán steným rovncem ako 6 ovšem počáteční ampltud nebudou rovnoběžné. Vlnové vektor spolu svíraí úhel α. Rozložíme-l výsledný vektor ntenzt elektrckého pole do směru kolmého a rovnoběžného s rovnou ež e dána vlnovým vektor k a k potom dostáváme E + E + E E = E + E = + E 84 kde značí složk kolmé složk rovnoběžné. Pro velkost ednotlvých složek užtím kosnové vět platí E E = E = E + E + E E = E = E + E + E E cosα. 85 Pro ntenztu dostáváme [ E r + E r ] = I r I r ε ε ε I r = E r = E r + E r = + µ µ µ. 86 Výsledná ntenzta e tudíž dána ako součet ntenzt v ednotlvých složkách. Použeme-l pro ně vztah 68 uvažueme-l každou ze složek ako ntenztu rovnné harmoncké vln potom můžeme s použtím 8 psát I r = I r + I r + I r I r cos [ k k r + δ δ ] k k r + δ δ I r = I r + I r + I r I r cos [ ] cosα. 87 9

31 Interference světla Zavedením substtuce = k r + δ δ v bodě r vádřt ako k a Φ = δ δ δ + δ lze výslednou ntenztu I r = I = I + r + I r + I I r I r r + I r cos r + I r + Φ + I r I r cos cosα. 88 Rozepsáním a úpravou vztahu 88 můžeme ntenztu elptck polarzované vln vádřt také ako = K [ + cos + δ ] I r I r + I r + I r + I r 89 kde K e kontrast nterferenčního pole daný výrazem K = I r I r cos Φ + I r I r cosα I r + I r + I r + I + I r r I rsn Φ 9 a δ e konstantní fázový člen pro který platí δ = arctan I r I I r I r cosφ + r sn Φ I r I. 9 r cosα Výše uvedené vztah lze snadno převést na lneárně nebo kruhově polarzované vln. Lneární polarzace ve stené rovně nastává tehd pokud I r = I r. Potom pro ntenztu a kontrast dostáváme = [ k k r + δ ] I r δ = I r + I r + I r I r cos 9 I r I r K =. 93 I r + I r Pro kruhově polarzované vln bude platt I r = I r = I r a I r = I r = I r dosazení do výše uvedených vztahů poté vede k kde [ I r + I r ][ + + δ ] K I r = cos 94 K = I r I r cosφ + I r I r cosα I r + I r + I r I rsn Φ 95 3

32 Interference světla I r I r sn Φ δ = arctan. 96 I r I r cosφ + I r I r cosα 3.5 Koherence vlnění Výše odvozené vztah nesou zcela kompletní přesně řečeno v reálných aplkacích neplatí úplně. Podíváme-l se na ně podrobně musíme e doplnt předpokladem že po celou dobu průběhu nterference bla vlnění tzv. koherentní. Výše uvedené vztah platí za deálního případu tzv. absolutní koherence. Rozumíme tím že během celého šíření daného vlnění nedošlo ke změně frekvence ampltud an počáteční fáze. Reálná záření ovšem tto deální vlastnost nemaí alespoň k mnmálním změnám dochází. Vztah pro ntenztu a kontrast e ted nutné doplnt. Koherence vlnění vadřue vzáemnou korelac souvslost vlnění které vchází ze dvou míst světelného zdroe např. eden světelný zdro a stínítko se dvěma štěrbnam obr. 6 potom mluvíme o tzv. prostorové koherenc [ 9] nebo korelac vlnění vcházeícího z ednoho zdroe zkoumaného s časovým odstupem poté hovoříme o tzv. časové koherenc [ 9] Prostorová koherence Uvažume stuac zobrazenou na obr. 6. B E stínítko ρ τ S pozorovací rovna CCD senzor zdro záření ρ τ B E Obr. 6 Prostorová koherence [4] Nechť ze zdroe záření vchází vlnění které dopadá na stínítko v němž sou praktck bodové otvor B a B. Vlnění v bodě B charakterzue vektor elektrcké ntenzt E a obdobně v bodě B vektor E. Z otvorů se vlnění šíří dál a dopadá na pozorovací rovnu např. CCD senzor. 3

33 Interference světla 3 Zhodnoťme nní aká bude vzáemná korelace koherence vlnění doucích z bodů B do bodu S na senzoru po drahách ρ =. Pro ednoduchost uvažume lneárně polarzované vlnění čl můžeme bez ztrát na obecnost přstoupt ke skalárnímu popsu. Čas který vlnění E potřebue k překonání vzdálenost ρ mez bod B a S označme τ obdobně pro vlnění E použeme označení τ. Aplkace prncpu superpozce poté pro vlnění v bodě S v čase t vede k τ τ + = t E t E t E. 97 Pro ntenztu následně dostáváme př skalární formulac vztahu 47 [ ][ ]. τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ = + + = = t E t E t E t E t E t E t E t E t E t E t E t E t E t E I 98 Uvědomíme-l s že posun počátku odečítání času nebude mít vlv na ntegrální střední hodnotu ve smslu t E t E t E t E = τ τ 99 můžeme se zavedením označení t E t E I t E t E I = = a posunutím počátku o τ psát t E t E t E t E I I t E t E t E t E I I I τ τ τ τ τ τ = = kde τ = τ τ. U členu I sme vužl vlastnost 99 v tom smslu že platí I t E t E t E t E = = + + τ τ τ τ. Úpravou posledního členu ve poté pro výslednou ntenztu v bodě S dostáváme Re t E t E I I I = τ. 3 Korelace všetřovaných vln bude ted dána posledním členem Re t E t E +τ. Zavedeme-l nní tzv. funkc vzáemné koherence [ 9] Γ τ vztahem t E t E + = Γ τ τ 4

34 Interference světla a tzv. komplení stupeň koherence γ τ výrazem [ 9] potom pro ntenztu v bodě S dostáváme γ τ = Γ τ = E t + τ E t 5 I I I I Užtím Eulerova vzorce můžeme psát pro Re[γ τ] [ γ ] I = I + I + II Re τ. 6 [ ] τ γ τ cosϕ Re γ = 7 kde φ e argument kompleního čísla γ τ. Porovnání se skalární formou 68 vede pro tento argument k ρ ρ π ϕ = π δ δ = ρ ρ + δ τ λ λ + 8 λ kde λ e střední vlnová délka vlnových délek λ a λ Δδ τ e fázový rozdíl mez vlněním v otvoru B a v otvoru B ρ = značí vzdálenost mez bodem B a S. Pro ntenztu v bodě S dosazením ze 7 do 6 dostáváme I = I + ϕ. 9 + I I I γ τ cos Velčna γ τ se bude měnt v ntervalu od do. Z 9 e patrné že pro γ τ = nedode k nterferenc. O takovém vlnění vcházeícím z bodů B a B říkáme že e nekoherentní. Pokud γ τ = e takové vlnění tzv. absolutně koherentní. Jestlže bude platt nerovnost < γ τ < potom nazýváme vlnění částečně koherentní. Užtím znalostí o oboru hodnot funkce cosφ můžeme vslovt závěr o mamální hodnotě ntenzt v bodě I ma nebo naopak o eí mnmální hodnotě I mn. Platí I ma = I + I + I I γ τ I = I + I I I γ τ. ma Dosazením do vztahu 48 dostáváme ted pro kontrast I ma I I mn I K = = γ τ. I + I I + I ma mn 33

35 Interference světla Výše uvedený vztah nám říká že kontrast e přímo úměrný modulu stupně koherence γ τ. V pra se nám toto proeví méně č více kontrastním zaznamenaným proužk v nterferenčním pol. Specální případ nastane pokud bod S leží na ose bodů B a B. Potom e časové zpoždění τ = a platí γ = Γ = E t E t. I I I I Všechna monochromatcká vlnění sou absolutně koherentní. Proto se nám modul stupně koherence nevsktoval ve vztazích odvozených v předchozích částech práce. Praktck všechn případ vlnění používaného v pra sou částečně koherentní. Na reálných datech ted pozorueme určté rozložení kontrastu nterferenčních proužků Časová koherence Časová koherence popsue korelac závslost vlnění vcházeícího z ednoho zdroe zkoumaného v ednom bodě v různé časové okamžk. Komplení stupeň koherence γ τ bude mít v tomto případě tvar γ τ = Γ τ = E t + τ E t. 3 I I Předpokládeme nní bodový zdro světla např. atom enž vzařue vlnění o střední frekvenc ν po dobu t. Takto vznklé vlnové pulz které vsílá atom zcela nahodle nesou navzáem korelován a nemůže mez nm doít k nterferenc [4]. Stuace e vhodným modelem která nám dobře popsue reálnou stuac. Uvažume nní následuící případ. Záření z bodového světelného zdroe postupue po dvou cestách a dopadá na senzor v bodě S. První e cesta přímá a světlo urazí od zdroe vzdálenost ρ. Druhá nechť vede přes lbovolnou optckou soustavu zrcadel a světlo urazí vzdálenost ρ. Předpokládeme dále stené prostředí v obou cestách. Všetřovaná stuace e zobrazena na obr. 7. Dráhový rozdíl δρ mez oběma vlněním bude dán vztahem δρ = ρ ρ. 4 Inde přede v nde druhý zdro e totožný s prvním. 34

36 Interference světla bodový zdro záření ρ S ρ optcká soustava pozorovací rovna CCD senzor Obr. 7 Časová koherence [4] Pro rchlost šíření vlnění c potom dostáváme pro dobu δt potřebnou k uražení tohoto dráhového rozdílu δ t = δρ c. 5 Bude-l tato doba menší než doba t po kterou bodový zdro atom vzařue vlnový pulz δt < t potom se spolu setkaí v bodě S dvě část steného vlnového pulzu které spolu mohou nterferovat. V případě opačném δt > t nterference není možná protože mez nahodle vslaným různým pulz nemůže nastat žádná korelace. Délka trvání ednoho vlnového pulzu e nazývána koherenční čas a e označována ako τ koh [ 5]. Je-l doba potřebná k uražení dráhového rozdílu mez dvěma cestam z bodového zdroe do ednoho bodu v prostoru menší než koherenční čas τ koh může doít k nterferenc. Vzdálenost kterou záření urazí za koherenční čas τ koh e nazývána koherenční délka l koh [ 5]. Lze vádřt ve tvaru [ 5] λ l = cτ = 6 koh koh π λ kde c e rchlost šíření vlnění λ e střední vlnová délka a Δλ e spektrální šířka vlnění. Chceme-l ted dosáhnout dobrého kontrastu v nterferenčním obrazc e třeba použít takový zdro světla ehož koherenční délka bude mnohem větší než e nevětší dráhový rozdíl mez nterferuícím vlnam. Musí ted platt l >>δρ. 7 koh 35

37 Interference světla Jak e vdět z rovnce 6 koherenční délka bude tím větší a tím lepší kontrast nterferenčního obrazce čím menší bude spektrální šířka rozsah vlnových délek. V pra sou používán laserové zdroe záření echž koherenční délka e řádově 6 m a více [4]. Jsme s nm tak schopn zastt dobré podmínk pro získávání dat k dalšímu vhodnocení. 3.6 Intenzta a kontrast polchromatckého a kvazmonochromatckého záření Výše uvedené vztah měl za úkol vnést nadhled do studované problematk vznku nterferenčních proužků. Nní sme schopn vslovovat předpoklad a závěr u komplkovaněších reálných stuací. Nečastě v pra používané laserové zdroe sou generátor tzv. kvazmonochromatckého záření 3 některé aplkace vžaduí použtí záření polchromatckého 4. Intenztu v nterferenčním pol dvou staconárních polchromatckých záření neuvažueme-l polarzační vlastnost a můžeme ted použít skalární pops v bodě Q můžeme vádřt pomocí tzv. obecného nterferenčního zákona 6 ako [ 9] [ γ ] I Q = I Q + I Q + I Q I Q Re τ 8 kde Re[γ τ] e reálná část kompleního stupně vzáemné koherence γ τ τ e vzáemné časové zpoždění. Pro kontrast poté platí II K = Re[ γ τ ]. 9 I + I Pro kvazmonochromatcké záření dostáváme pro ntenztu v bodě Q s použtím vztahů 8 a 9 [ πf + δ ] I Q = I Q + I Q + I Q I Q γ τ cos t τ kde δ τ a γ sou funkcem vzáemného časového zpoždění τ pomalu proměnné vůč τ funkc cos πf t f e střední frekvence záření. Pro kontrast následně platí 3 Kvazmonochromatcké záření e záření velm úzké spektrální šířk. Jným slov spektrální šířka Δλ e mnohem menší než vlnová délka daného záření λ. 4 Polchromatcké záření e záření více vlnových délek. 36

38 Interference světla K II = γ τ. I + I Kvazmonochromatcké záření e tzv. částečně koherentní a kontrast nterferenčního pole závsí na hodnotě γ. τ 37

39 4 Interferometre Interferometre e bezkontaktní optcká metoda vužívaící nterferenc světla která umožňue ve výsledku určovat relatvní vzdálenost s velm vsokou přesností. Vlnová pole v optce která sou popsatelná teorí elektromagnetckého pole [ ] sou charakterzována defnována parametr které hovoří o ech vlastnostech a chování. Především mez tto parametr patří ampltuda fáze frekvence a polarzační stav daného vlnového pole. Odraz od ploch kterou buď přímo všetřueme nebo se něakým způsobem podílí v procesu měření způsobue změnu těchto parametrů. Budeme-l schopn určt změnu fáze vln odražené od všetřované ploch oprot fáz vln odražené od ploch referenční získáme tak kvanttatvní nformace o rozdílnost tvarů těchto ploch. V pra ovšem nesme schopn měřt přímo frekvenc nebo fáz čl eí změnu. Neestuí totž tak ctlvé detektor echž odezva b bla porovnatelná s perodou osclací použtého optckého záření. Tto nformace zeména fáz nebo frekvenc tak získáváme nepřímým metodam kd měříme pouze ntenztu záření časovou střední hodnotu energe ak blo představeno v dřívěší část práce. Potom tzv. nverzním postup zpětně určueme fáz nebo frekvenc těchto vlnových polí ze zaznamenaných hodnot ntenzt. Jednou z šroké skupn metod vvíených v pra pro získávání nformací o fáz e zmíněná metoda nterferometre založená na vhodnocení nterferenčních obrazců vznklých nterferencí částečně koherentních vlnových polí [ 9]. Omezuící podmínkou pro tto metod e právě koherence použtých vlnových polí. Tato podmínka e nutná protože ak blo ukázáno v předchozí kaptole ntenzta v nterferenčním pol polchromatckého a zeména vužívaného kvazmonochromatckého záření záření laserů e závslá na hodnotě kompleního stupně vzáemné koherence. Nevýhodou nterferometrckých měření e také vsoká ctlvost na termomechancké vlastnost prostředí změna vlhkost teplot tlaku nepříznvé vbrace apod. a omezený rozsah vhodnocené fáze. Pro mamální přesnost sou dále kladen zvýšené požadavk na realzac měření laboratorní podmínk. I kdž př realzac měření dochází k některým poměrně závažným komplkacím e nterferometre v techncké pra používána právě pro svou velm vsokou přesnost a to v řádu nanometrů zlomků vlnových délek použtého záření [6 ]. S rozvoem technologí blo možno vvnout algortm a metod které sou náročné na výpočetní kapact a které dovoluí potlačovat nepříznvé vlv. V důsledku toho se nterferometre stala běžnou součástí všude tam kde e třeba znát velm přesné prostorové vztah [ 36]. Neen v pozemských aplkacích nachází tato metoda uplatnění. Jmenume dále například SAR nebo InSAR nterferometr 38

40 Interferometre [37 38] ež slouží k získávání prostorových nformacích o topograf zemského terénu. Interference zde nastává př záznamu sgnálu odraženého od povrchu porovnáním s referenčním sgnálem na družc. V další část práce se budeme zabývat zeména nterferometrí používanou v pra aplkované optk. Rozuměme ted měření př výrobě a kontrole optckých prvků ak rovnných planárních sférckých tak asférckých. Prncp nterferometre popsané v této a v dalších kaptolách sou ale převedtelné do ných aplkací. Bez možnost dostatečně přesně změřt tvar vráběné optcké ploch nesme schopn tuto plochu a tím další komponent vrobt protože nebudeme schopn formulovat eí vlv na výsledný záměr. Nečastě máme ve výrobě zadán nomnální tvar optcké ploch a cílem kontrolních metod ted nterferometre e poté určt odchlk od tohoto tvaru. T vznkaí ako důsledek technologckých procesů výrob. Na výkresech ednotlvých součástí sou uváděn přesnost s akou maí být vroben a cílem e potvrdt nebo vvrátt ech dodržení v rámc povolených výrobních tolerancí. Jeden ze způsobů vužívaící nterferenc světla e porovnání s tzv. kalbrem kontrolním prvkem který e vroben o eden nebo více řádů přesně. Kalbr e přkládán na kontrolovanou optckou plochu a př dobrém osvětlení sou patrné nterferenční proužk z echž tvaru lze posuzovat míru dodržení tolerancí [6 ]. Touto pohledovou zkouškou může zkušený vhodnocovatel odhadnout velkost výrobní chb s rámcovou přesností až λ/8 [] kde λ značí vlnovou délku světla použtého př kontrole. Takovýto způsob kontrol e však časově fnančně náročný a pro každý tvar vráběné ploch musí být vroben specální kalbr. Navíc může doít k poškození vráběné ploch nebo kalbru př ech manpulac. V mnulost blo snahou takovéto a podobné kontrolní metod nahrazovat způsob bezkontaktním a plně automatzovaným a e tomu tak dnes. Bezkontaktní kontrolu vráběných prvků lze realzovat použtím vhodně konstruovaných nterferometrů a to buď Fzeauova nebo Twman-Greenova tpu [ ] většnou doplněných o další prvk např. dfraktvní optcké element pro měření rotačně smetrckých asférckých ploch [54 55]. S vývoem technk zeména CCD senzorů z angl. Charge-Coupled Devce [56] vsokého rozlšení a pezoelektrckých posuvů [57] se u těchto nterferometrů přešlo k plně automatzovanému analtckému vhodnocování tvaru kontrolovaných ploch. Vužívaí se vhodné algortm umožňuící určt fáz všetřovaného vlnového pole na základě záznamu 39

41 Interferometre ntenzt pole nterferenčního které vznká v důsledku nterference polí všetřovaného a referenčního. Tato fáze přímo souvsí s kvaltou testované optcké ploch. Přesnost těchto nterferometrckých analtckých metod e v řádu λ/ až λ/ a více [6 ]. Vhovue tak naprosté většně požadavků na měření topografe ploch v optckém průmslu. V další část se seznámíme s různým praktckým varantam získávání a vhodnocování dat pořzovaných nterferometrckým metodam. 4. Dvousvazková a střhová nterferometre Tato část má za úkol představt dva základní prncp vznku nterferenčních polí v pra kontrol optckých prvků. Respektve způsob realzace měření takovým způsobem ab k vznku nterferenčních polí došlo. Těmto prncp sou: dvousvazková nterferometre střhová nterferometre. Poznameneme zde že možných metod e celá řada ne en tto dvě. V prác se o nch ale zmňovat nebudeme pro další studum odkážeme čtenáře na příslušnou lteraturu [ ]. 4.. Dvousvazková nterferometre Dvousvazková nterferometre vužívá k vznku nterferenčního pole dva svazk záření ak už název napovídá. Zpravdla vznkaí dělením počátečního svazku na dva které po průchodu optckou soustavou společně nterferuí. Tímto postupem lze nastavt takové podmínk ab nterference nastala. Jeden zpravdla laserový zdro totž umožňue snadno generovat lneárně polarzované vstupní záření a také zaručue dostatečnou koherentnost svazků. V kontrole optcké výrob se nečastě používaí nterferometr Twman-Greenova nebo Fzeauova tpu [ ] echž prncpelní schéma e zobrazeno na obr. 8 a obr. 9. V případě Twman-Greenova nterferometru představený roku 98 [6] svazek generovaný ve zdro záření prochází přes obektv na kolmátor kde e transformován na rovnné vln. Dále pokračue na dělč svazků. Na něm vžd dode k částečnému průchodu a částečnému odrazu. Jedna část vlnění ted prode dělčem a pokračue k testované ploše druhá část děleného svazku se odráží a de k referenční ploše. Od testované referenční ploch se následně paprsk odrážeí na dělč se eden opět láme a druhý prode přímo. Tímto způsobem prochází tto svazk až 4

42 Interferometre k pozorovací rovně kde nterferuí a m zaznamenáváme rozložení ntenzt nterferenčního pole. referenční plocha zdro záření laser obektv kolmátor dělč svazků pozorovací rovna CCD senzor testovaná plocha Obr. 8 Základní konfgurace nterferometru Twman-Greenova tpu [6] Optcké komponent musí být co nečstší ab se pokud možno neproevoval nepříznvé dfrakční ev. Dále zeména dělč svazků musí být vsoké kvalt. Pro potlačení paraztní nterference se nečastě používaí antreflení vrstv. Také materál dělče musí být etrémně homogenní. Od rovn na které dochází k odrazu se očekává že e vrobena s mnmálně dvonásobnou přesností než akou požadueme od vhodnocovaných vlnoploch [6]. Základní konfgurace Fzeauova nterferometru e zobrazena na obr. 9. Jedná se také o dvousvazkový nterferometr ak tomu blo v případě Twman-Greenova poloha referenčního elementu e ale ná testovaná referenční plocha leží v ednom ramen. Interferometr se ted lší dráhovým rozdílem. V případě testování deální rovnné planparalelní skleněné desk platí pro Fzeaův nterferometr vztah [6 9] δ ρ F = nd kde n e nde lomu skla desk a d e eí tloušťka. Pro Twman-Greenův nterferometr poté [6 9] δρ = n d. 3 TG 4

43 Interferometre Pro včerpávaící pops testování optckých elementů odkážeme čtenáře na dostupnou odbornou lteraturu např. [6 9 ]. zdro záření laser obektv dělč svazků kolmátor pozorovací rovna CCD senzor referenční plocha testovaná plocha Obr. 9 Prncpelní schéma nterferometru Fzeauova tpu [6] Referenční vlnoplocha nám ted vznká odrazem od referenční ploch. Porovnáním s vlnoplochou odraženou od ploch testované poté můžeme usuzovat o odchlkách tvaru testované ploch od referenční. Vhodnocením nterferogramu dostáváme nformace o fázovém rozdílu vlnoploch testované a referenční což nám nese nformace o rozdílu dráhovém. Pomocí Twman-Greenova a Fzeauova nterferometru můžeme testovat různé optcké element. Nesnazší e testování planparalelních desek nebo členů se sférckým povrchem. Měření topografe asférckých ploch e komplkovaněší a nebla prozatím vvnuta obecná metoda která b umožňovala testovat se stenou přesností lbovolnou asférckou plochu []. Pro testování asférckých optckých ploch sou užíván specální adapter a dfraktvní optcké element které sou navržen pro každou testovanou asférckou plochu zvlášť pro tvar této ploch. Tto element sou ale velm drahé a ech výroba e časově náročná několk týdnů. Komerčně sou pro účel nterferometrcké bezkontaktní kontrol a měření topografe asférckých ploch v optce dostupné přístroe např. od frm ZYGO [58] 4D-Technolog [59] ESDI [6] Schneder [6] OptoTech [6] nebo Troptcs [63]. Dfraktvní optcké element pro měření asférckých ploch nabízí např. frm Dffracton Internatonal [55] a Slos Technolog [54]. Na trhu se obevuí né způsob měření asférckých ploch např. tzv. Aspherc Sttchng Interferometer ASI frm QED Technologes USA [64]. 4

44 Interferometre 4.. Střhová nterferometre Další z metod ak dospět k nterferenc e založena na ném prncpu než výše představené nterferometr Twman-Greenova a Fzeaova tpu. Jedná se o způsob kd necháváme nterferovat vlnu s ednou nebo více vlnam které sou však prostorově modfkovaným kopem vln původní [5 9]. Praktck e vznk referenční vln realzován pomocí různých optckých prvků např. planparalelních desek dfrakčních prvků polarzačních prvků apod. kd dochází k příčnému posunu nebo pootočení vln původní. Na obr. e zobrazeno prncpelní schéma tzv. Murtho nterferometru který e pro střhovou nterferometr používán zeména pro svou ednoduchost. Jako dělcí člen e zde totž použta planparalelní deska. + regstrovaný obraz + pozorovací rovna CCD senzor dr = d planparalelní deska zdro záření laser obektv kolmátor Obr. Murtho střhový nterferometr [6] Přítomnost planparalelní desk v Murtho nterferometru způsobí posun vlnoploch o dr = d d. V překrtové oblast vznká nterferenční obrazec který následně vhodnocueme. Pro optcký dráhový rozdíl bude platt [6 9] δρ = W + d + d W. 4 M Budeme-l předpokládat že posun dr e dostatečně malý abchom mohl užít Talorova rozvoe [39 4] se zanedbáním členů všších než lneárních čl že gradent fáze W bude na ntervalu dr téměř konstantní potom můžeme pro dráhový rozdíl δρ M psát 43

45 Interferometre δρ M W W = W + d + d W = d + d = W dr. 5 Z výše popsaného můžeme vslovt závěr že střhová nterferometre nevhodnocue fázový rozdíl a tím deformac vlnoploch W přímo ale výstupem e eí gradent sklon. Vhodnou metodou numerckou ntegrací poté můžeme gradent přepočítat na samotnou deformac vlnoploch. 4. Záznam a vhodnocení nterferogramu Průběh laboratorního měření a následného zpracování ať se edná o dvousvazkovou nebo střhovou nterferometr můžeme dělt do následuících kroků: záznam nterferenčního pole předzpracování zaznamenaných dat vhodnocení dat konečné zpracování tzv. postprocessng 5. V následuící část ednotlvé bod podrobně rozebereme. 4.. Záznam nterferenčního pole Záznam dat nterferogramu e prvním bodem analýz. V současnost se v naprosté většně používá záznamu v dgtální formě nečastě s vužtím CCD senzorů poměrně vsokého rozlšení které sou umístěn v rovně pozorování rovně detekce optckého záření. Výhodou dgtální analýz nterferogramů e že může být použto různých technk zpracování obrazu [47 48] k potlačení nepříznvých vlvů např. šumu nerovnoměrného rozložení ntenzt pozadí a podobně. Intenzta zaznamenávaného nterferenčního pole I e spotou funkcí souřadnc. Abchom mohl data zpracovávat dgtální formou dochází k plošné dskretzac spotého zaznamenávaného sgnálu tzv. dgtalzac [47 48]. Dgtální obraz e ve výsledku dskrétní funkcí dvou proměnných čl hodnot sou zaznamenán pro ednotlvé dskrétní bod dané polohou kde =... N a =... M M a N představuí počet obrazových 5 Slovo postprocessng ak e na první pohled patrné není českého původu ovšem běžně se v techncké pra používá a tak se mu zde nebudeme vhýbat. 44

46 Interferometre bodů rozměr senzoru v ednotlvých směrech a. Pro obrazové bod v rovně senzoru se používá název pel [47 48]. Př dgtalzac dochází k průměrování dopadaící ntenzt I přes aktvní oblast pelu a nezáporná fntní funkce I pro kterou platí < I < 6 e převáděna do rozmezí I d I I. 7 h Hodnot dolní a horní hrance I d a I h ohrančuí nterval který e nazýván škálou stupňů šed [47 48]. Běžně se následně nterval transformue na rozmezí až L kde L e počet stupňů šed. Ve výpočetních sstémech např. MATLAB [65] sou poté takovéto dskrétní funkce ukládán ve formě matc se kterým se dále pracue. Př dgtalzac e nutné správně zvolt množství dskrétních bodů kterým budeme spotý sgnál nahrazovat. Musíme ted vhodně volt tzv. vzorkovací frekvenc obrazu. Tuto frekvenc určueme pomocí tzv. Nqust-Shannonova krtéra 6 které říká [66]: Jestlže funkce ft neobsahue frekvence všší než W Hz potom e kompletně určena svým hodnotam v sér oddělených bodů které sou od sebe vzdálen /W sekund. Nqust toto krtérum publkoval roku 98 [67] Shannon ho poté upravl do výše představené přesněší podob roku 949 [66]. Jným slov pro správné určení záznam spotého sgnálu musíme zvolt takové vzorkování ehož frekvence musí být mnmálně krát všší než e nevšší frekvence spoté funkce která nese danou nformac. To pro případ nterferometre znamená mnmálně dva obrazové bod na eden nterferenční proužek. Vzhledem k dalším nepříznvým faktorům ako e například šum apod. e ale v pra vhodněší zvolt vzorkovací frekvenc alespoň 4krát větší než e mamální frekvence obrazu. Kromě samotné dskretzace obrazu e další součástí dgtalzace tzv. kvantování obrazové funkce [47 48]. Jedná se o přřazení dskrétní celočíselné hodnot každému obrazovému bodu v závslost na ampltudě vstupního sgnálu. Počet celočíselných kvantovacích úrovní musí být dostatečně velký ab dobře reprezentoval spotý průběh zaznamenávané ntenzt a nedocházelo 6 Toto krtérum blo nezávsle publkováno ným autor proto v některých lteraturách můžeme nalézt né označení. M se ovšem budeme držet nepoužívaněšího Nqust-Shannonovo nebo en Nqustovo krtérum. 45

47 Interferometre ke zkreslení a vnku falešných hran. Pro potřeb nterferometre postačue použtí úrovní šed. Sgnál e poté kvantován do N hladn. V pra se nečastě používá 8-btové kvantování obrazové nformace čl přřazení 8 = 56 hladn. Hodnot spotého obrazu sou tak rovnoměrně rozložen do ntervalu od do 55. Pro specální aplkace může být použto kvantování všší -btové nebo -btové. +I b 55 a π/ π 3/π I = a + bcosδϕ +Δϕ Obr. Nqust-Shannonovo krtérum pro nterferometr Z obr. můžeme snadno odvodt vlv Nqust-Shannonova krtéra pro fázový rozdíl a gradent fáze všetřovaného nterferogramu. Uvažume pro ednoduchost pouze ednodmenzonální případ. Čárkovaná křvka smbolzue spotou funkc ntenzt nterferenčního pole I = a + bcosδϕ. Jak blo řečeno na ednu perodu světlý a tmavý proužek sou třeba mnmálně pel. Na obr. e naznačena ech poloha modrým úsečkam s číslem které udává ech přřazenou kvantovanou hodnotu. Je patrné že pro změnu fázového rozdílu mez dvěma pel bude platt V lneárním přblížení můžeme změnu fázového rozdílu zapsat ako φ π. 8 φ φ = 9 kde značí eden ze směrů který uvažueme. Potom ted můžeme psát důsledek Nqust- Shannonova krtéra na fázový rozdíl a gradent všetřované fáze nterferenčního obrazce a to φ φ π φ = π. 3 Pro určení mnmálního počtu vzorků potřebných k záznamu nterferogramu postupueme následovně. Dgtalzume-l obraz v rozsahu mn a ma s počtem N vzorků potom snadno 46

48 Interferometre dostáváme Δ = ma mn /N. Dosazení do výše uvedených vztahů vede k podmínce pro mnmální počet vzorků φ N > ma N φ ma mn π π mn Předzpracování zaznamenaných dat Zaznamenaná dgtalzovaná data sou zatížena vlvem spoust vněších vntřních faktorů. Jako příklad menume vlastnost optcké soustav kterou svazek prochází. Může docházet k nerovnoměrným odrazům nebo propustné materál nepropouští záření stenoměrně. Přítomností nečstot nebo ných částc může docházet k paraztním dfrakčním nebo nterferenčním evům. V neposlední řadě samotný detektor nemusí být rovnoměrně ctlvý př stené ntenztě nemusí regstrovat pro ednotlvé pel stené hodnot. Všechn a eště další komplkace ako např. mechancké vlastnost laboratorního prostředí proudění vzduchu měnící nde lomu prostředí mechancké vbrace způsobuící nestabltu ednotlvých komponent nterferometru apod. vedou k vznku tzv. šumu. Důležtou mšlenkou e [68] že fázový rozdíl nterferuících vln který se snažíme vhodnott není samotný zaznamenávaný sgnál. Je to nformace která e tímto sgnálem nesena. Proto e důležté provést úprav k potlačení šumu v samotném sgnálu ted v zaznamenaném nterferogramu ne až ve vhodnoceném fázovém rozdílu. Cílem předzpracování dat e ted metodam zpracování obrazu co nevíce potlačt výše nepříznvé rušvé faktor v samotném nterferogramu. V obraze můžeme rozlšt šum na vsokofrekvenční který se proevue zrntostí větší č menší hustot a nízkofrekvenční v ehož důsledku dochází k pomalým změnám v rozložení zaznamenané ntenzt s ohledem k frekvencím orgnálního obrazu frekvenc nterferenčních proužků. Praktck můžeme rozdělt proces předzpracování do čtř kroků: potlačení vsokofrekvenčního a nízkofrekvenčního náhodného šumu určení a elmnace nerovnoměrné ntenzt pozadí nterferogramu úprava kontrastu výběr relevantní vhodnocované oblast maskování. 47

49 Interferometre 4... Model šumu v měřeném nterferogramu Abchom mohl něakým způsobem modelovat danou stuac vděme ze vztahu pro ntenztu nterferenčního pole kvazmonochromatckého záření čl záření nevíce používaného v pra. Tato ntenzta e dána vztahem ak blo odvozeno dříve I r = I r + I r + I r I r γ τ cos φ 3 r kde r značí polohu bodu ve kterém ntenztu analzueme γ τ e modul kompleního stupně vzáemné koherence závslý na časovém zpoždění τ nterferuících vln Δϕr e fázový rozdíl. Pro kontrast poté platí Zaveďme nní pro ednoduchost zápsu substtuc I r I r K r = γ τ. 33 I r + I r a r = I r + I r b r = I r I r γ. 34 τ Vztah 3 poté můžeme přepsat ako I r = a r + b rcos φ r 35 a pro kontrast 33 dostáváme b r K r =. 36 a r Původní vztah pro ntenztu 3 lze pomocí 35 a 36 zapsat ako [ + rcos φ ] I r = a r K r. 37 Vlv šumu nní můžeme snadno modelovat zavedením tzv. adtvního šumu N a r a šumu multplkatvního N m r. Budeme-l dále značt ar ako tzv. nerovnoměrné rozložení ntenzt pozadí potom můžeme pro náš model psát [ + K rcos r ] N m r N I r = a r φ + r Potlačení vsokofrekvenčního a nízkofrekvenčního náhodného šumu Pro zpravdla vsokofrekvenční adtvní šum můžeme uvažovat normální rozdělení Nμσ [ ] se střední hodnotou μ = a varancí σ = konst. elkož vznk tohoto šumu a 48

50 Interferometre přpsueme součtu mnoha náhodných nezávslých procesů zeména elektronckému šumu fotodetektoru. Protože se edná o proměnný proces ted př každém záznamu dostáváme ná data ale se stenou střední hodnotu μ potom lze eho vlv zmenšt průměrem z více zaznamenaných nterferogramů. Dostaneme ted sadu n snímků I r kde =... n se směrodatnou odchlkou σ = σ kde dále předpokládáme směrodatnou odchlku nezašuměného obrazu nulovou tudíž směrodatná odchlka obrazu se šumem bude totožná se směrodatnou odchlkou šumu samotného. Výsledný obraz získaný průměrem vadřue poté vztah n I r = I r = n 39 a eho směrodatnou odchlka aplkací statstcké teore zákona hromadění směrodatných odchlek pro nezávslá měření [44] výraz n σ nσ σ σ = = = = I n n n. 4 Jak e patrné výsledná směrodatná odchlka obrazu získaného průměrem z n snímků klesne n- krát. Na obr. e smulován vlv průměrování obrazu. Na část a e původní obraz na část b obraz se smulovaným šumem a eho výběrová směrodatná odchlka [44] na část c poté obraz po průměrování z 5 smulací zavedení šumu. Obr. Zobrazení a C. F. Gausse bez šumu b se zavedeným adtvním šumem se střední hodnotu μ = a směrodatnou odchlkou σ = 5 c průměrovaný obraz z 5 smulací zavedení šumu 49

51 Interferometre Ze smulace e patrné že výběrová směrodatná odchlka př ednom semutí obrazu odpovídá směrodatné odchlce šumu. Pro 5 smulací b teoretcká hodnota směrodatné odchlk měla být s vužtím vztahu 4 σ = 6.7 což e hodnota totožná s vpočtenou výběrovou směrodatnou odchlkou. V některých případech nemáme k dspozc možnost opakovaného snímání nterferenčního obrazu a nemůžeme deálně potlačt adtvní šum. Poté nastupuí technk zpracování obrazu. Uvedeme zde základní výčet a mšlenk které sou k potlačení šumu fltrování používán. Dá-l se předpokládat prncp superpozce čl předpokládáme-l adtvní šum můžeme provádět tzv. fltrac dgtálního obrazu [47 48]. Zde používáme buď fltr v tzv. prostorové oblast nebo fltr v oblast frekvenční. Pro náš případ se budeme zabývat pouze fltrováním obrazu daného ve stupních šed. Takový obraz totž bude reprezentovat zaznamenané rozložení ntenzt nterferenčního pole. Fltrace v prostorové oblast znamená že upravueme obraz ako takový. Fltrace v oblast frekvenční e prováděna tím způsobem že snímek e nedříve do frekvenční oblast převeden vhodnou transformací Fourerova transformace tam e provedena fltrace a následně e prováděna transformace nverzní. Popsané schéma zobrazue obr. 3. PŮVODNÍ OBRAZ TRANSFORMACE FREKVENČNÍ FILTRACE PROSTOROVÁ FILTRACE INVERZNÍ TRANSFORMACE FILTROVANÝ OBRAZ Obr. 3 Schéma frekvenční a prostorové fltrace 5

52 Interferometre Zabýveme se neprve prostorovou fltrací. Pro ednoduchost zápsu můžeme použít k popsu této fltrace tzv. operátor dskrétní konvoluce [47 48]. Pro náš případ obrazu I můžeme psát a b I h = I s t h s t 4 s= a t= b kde h e fltr 7 o rozměrech a + b + a a b sou sudá čísla. Fltr nám ted představue matc o lchém počtu sloupců a řádků. Prvk této matce sou celá čísla v závslost na úloze kterou fltr má. Záps konvoluce říká že algortmus prochází vstupní data pel po pelu. Na pozc nastaví střed matce fltru pozc s = a t = násobí pel po pelu hodnot fltru s odpovídaícím hodnotam vstupních dat a výsledek uloží na polohu. Estue velké množství rozlčných tpů fltrů v závslost na úloze. Jmenume například lneární fltr tpu dolní propust h D [47 48] který odstraňue složk vsokých frekvencí vsokofrekvenční šum. Matcově ho můžeme pro rozměr 3 3 zapsat ako c = h D K c c c 4 c kde K e konstanta která e volena v souladu se zachováním dnamckého rozsahu dat a c e celé kladné číslo. Nevýhodou použtí tohoto fltru e že př odstranění vsokých frekvencí dochází k rozostření obrazu. Opakem e fltr tpu horní propust h H který potlačue frekvence nízké h = 8 D Kromě nízkých frekvencí obrazu potlačue fltr horní propust střední ntenztu pozadí. Kromě lneárních fltrů lze použít pro fltrac dgtálního obrazu v prostorové oblast fltrů nelneárních které na okolí bodu aplkuí né operace. Příkladem může být medánový fltr [47 48]. 7 Fltr může být také zaměňováno za okno kernel konvoluční matce apod. 5

53 Interferometre Potlačení multplkatvního šumu e velm obtížné. Zpravdla e způsoben tzv. koherentním spekl šumem který se dá modelovat negatvním eponencálním pravděpodobnostním rozdělením s vsokým kontrastem [47 48]. V pra ale neestue žádný obecný postup který b tento šum deálně elmnoval případně částečně potlačl. Estuí však různé technk které se o to snaží. Pro částečné potlačení multplkatvního šumu lze použít výše popsanou fltrac dgtálního obrazu. Předpokládeme že sme dostatečně odfltroval šum adtvní čl rovnc 38 můžeme psát ako Logartmováním poté dostáváme [ + K rcos φ r ] N I r a r r. 44 { a r [ + K rcos r ]} ln N r ln I r ln φ Na rovnc 45 následně aplkueme výše popsané metod prostorové fltrace. Jelkož bl multplkatvní šum převeden na formu adtvní dode k eho odfltrování. Zpětným odlogartmováním poté získáme původní obraz s potlačeným multplkatvním šumem. Další vhodnou metodou úprav obrazu e tzv. adaptvní fltrace [47 48]. Je založena na určení průběhu nterferenčních proužků např. pomocí gradentu obrazové funkce. Fltrace e poté prováděna pouze v ech směrech. Dík takovému přzpůsobení k obrazu nedochází k nadměrnému rozostření nterferenčních proužků což e v některých případech důležté např. nterferogram s vsokým počtem proužků. Fltrace ve frekvenční oblast vužívá vlastností Fourerov transformace která nám převádí obraz z prostorové do frekvenční oblast čl říká nám aké frekvence se v obraze nacházeí. Volbou vhodného fltru poté můžeme ednotlvé frekvence potlačovat a nverzní transformací získat obraz bez nch. Samotné použtí fltrů masek s ostrým hranam vede dík vlastnostem dskrétní Fourerov transformace která e př vhodnocování používána ke vznku nepříznvých struktur v rekonstruovaném obraze. Vužívá se proto dvorozměrných oken používaných v dgtální analýze sgnálu s plnulým přechodem založených například na Hammngově okně [ ] Elmnace nerovnoměrné ntenzt pozadí nterferogramu Pro vrovnání nerovnoměrné ntenzt pozadí lze použít výše uvedené způsob fltrace. Máme konkrétně na msl fltr tpu dolní propust který elmnue vsoké frekvence v obraze. Jestlže 5 m m

54 Interferometre zvolíme okno konvoluční matce kernel dostatečně velké oprot mnmální prostorové frekvenc nterferenčních proužků dochází poté k ech vhlazování a výsledný obraz představue odhad střední hodnot rozložení ntenzt a r. Po odečtení od rovnce 35 následně dostaneme nterferogram s vváženou hodnotou ntenzt pozadí. Na obr. 4 e ednoduchý případ pro reálný snímek zobrazen. Obr. 4 a Reálný nterferogram a b eho podoba po odstranění nerovnoměrného rozložení ntenzt pozadí s použtím průměruícího fltru [47 48] Jnou možností e vužtí apromace průběhu ntenztního proflu v obraze pomocí dvorozměrných polnomů. O dvourozměrné apromac bude podrobně poednáno v část 4..4 zde na ní ted odkážeme. Prncpem e určt průběh nerovnoměrné ntenzt pozadí ako funkc dvou proměnných. Poté ž snadno můžeme eí vlv potlačt Úprava kontrastu nterferogramu Jak e z část b na obr. 4 patrné došlo ke ztrátě nformace co se týče deálního rozložení hodnot nterferogramu není ted deálně vužto n-btové škál obrazu. Pro vhodnocení nterferogramů e vhodné a v některých případech nutné ab bl ednotlvé nterferenční proužk od sebe dobře rozeznatelné. Přchází ted na řadu tzv. úpravou kontrastu. Jednou z možností úprav kontrastu e vrovnání hstogramu [47 48]. Hstogram dgtálního obrazu př n-btovém kódování enž obsahue hodnot asu od do n e dskrétní funkce hr k = n k kde r k e hodnota k-té ntenzt tzv. ntenztní úroveň a n k e počet pelů v obraze kterým e tato ntenzta přřazena. Často se používá tzv. normalzovaný hstogram pr k. Ten vznká snadno dělením funkce hr k celkovým počtem pelů. Pro obraz o rozměrech ted dostáváme M N h r n k k n p r = = k = K. 46 k NM NM 53

55 Interferometre Normalzovaný hstogram nám ným slov představue pravděpodobnost výsktu ntenztní úrovně r k v obraze. Součet členů normalzovaného hstogramu e roven. Pro pochopení prncpu vrovnání hstogramu uvažume nní spotý případ ntenztních hodnot. Cílem e získat takové hodnot výsledného obrazu které budou rovnoměrně rozložen na celém zaznamenávaném ntervalu. Předpokládeme spotou funkc r pro kterou platí r L kde L = n. Defnume nní transformační funkc Tr která přřazue pelu vstupního obrazu o ntenztní hodnotě r ntenztní hodnotu s v obraze výstupním. Můžeme ted psát s = T r r = K L. 47 Předpokládeme že funkce Tr bude strktně monotónní [39 4]. To musí být dodrženo ab steným hodnotám r bla přřazena edna hodnota s. Podíváme-l se na ntenztní úrovně ako na náhodné proměnné s hustotou pravděpodobnost p r r na ntervalu r L potom ntenztní hodnot s budou dán transformací [47 48] r s = T r = L p t d t. 48 Jak e patrné pravá strana rovnce 48 e kumulatvní hustota pravděpodobnost dstrbuční funkce náhodné proměnné r. Pro získání nformace o hustotě pravděpodobnost p s s vužeme základní znalost teore pravděpodobnost která říká že známe-l hustotu pravděpodobnost p r r a vztah pro transformac Tr potom platí [47 48] dr ps s = pr r. 49 ds Dferencováním vztahu 47 a dosazením z 48 dostáváme r ds dr dt r = dr r d = L p t d t dr r 5 = L p r. r Dosazením do vztahu 49 dostáváme p s = p r = s = L p r L L s r K 5 r 54

56 Interferometre kde sme mohl bez komplkací odstrant absolutní hodnotu protože hodnot hustot pravděpodobnost p r r sou vžd kladné. Je patrné že hustota pravděpodobnost p s s bude mít s užtím transformace 48 rovnoměrné pravděpodobnostní rozdělení [ ] bez ohledu na tvar hustot pravděpodobnost p r r což e v souladu s naším zadáním ted že výsledný obraz musí mít rovnoměrně rozložené ntenztní hodnot na celém svém ntervalu ným slov pravděpodobnost výsktu ednotlvých ntenztních hodnot musí být stená. Pro dskrétní případ přede transformace 48 na tvar k k L s = T r = L p r = n k = K L. 5 k k r = MN = Na obr. 5 e ukázán vlv vrovnání hstogramu na nterferogram z obr. 4 b. Na obr. 6 poté normalzované hstogram před a po provedení vrovnání. Obr. 5 a Původní nterferogram a b eho podoba po vrovnání hstogramu Obr. 6 Normalzované hstogram a původního obrazu a b obrazu po provedení vrovnání 55

57 Interferometre Výběr relevantní vhodnocované oblast maskování Tzv. maskování dat e nutné v tom případě estlže př vhodnocení apror známe oblast obrazu které nesou v místech detekovaného nterferenčního pole. Tato stuace může snadno nastat pokud užíváme clonu kruhového nebo elptckého tvaru a CCD senzor e obdélníkový. Jným případem může být nedostatečný kontrast některých oblastí který b měl fatální dopad na určté tp vhodnocovacích metod např. metod automatcké detekce středu nterferenčních proužků vz dále. Maskou bude matce steného rozměru ako vhodnocovaný obraz eíž prvk budou pro místa která odpovídaí pelu kde není detekováno nterferenční pole a kde pole detekováno e. Určení takové oblast lze provést manuálně nebo například užtím hodnot kontrastu nterferogramu Kr. V takovém případě e stanovena prahová hodnota T která oddělue data přatelná a nepřatelná k vhodnocení. Poté ted bude pro prvk mask Mr platt K r < T M r = 53 K r T kde r značí polohu pelu Vhodnocení nterferogramu Předzpracované obraz metodam popsaným v předchozí část zlepšuí šanc na kvaltněší a spolehlvěší rekonstrukc nterferometrckých dat. V pra se pro vhodnocení a získání údaů o fázovém rozdílu nterferuících vln vužívaí různé prncp. Dle ednotlvých způsobů se pak sestavuí metodk pro záznam a frm dle nch konstruuí ednotlvé nterferometr. Z klasckých metod vhodnocení nterferogramu menume tto: detekce nterferenčních proužků a ech polnomální apromace s následným výpočtem fázového rozdílu nterferometre s posuvem fáze nterferometre se zaváděním nosné frekvence FTM. V další část tetu bude představen pops obecných prncpů ednotlvých metod. Pro podrobné poednání o problematce odkážeme čtenáře na dostupnou odbornou lteraturu. 56

58 Interferometre Vztah fázového a dráhového rozdílu základní podmínka metodk vhodnocení Než přstoupíme k charakterstce ednotlvých metod nterferometre ukážeme základní vztah pro převod fázového rozdílu na rozdíl dráhový. Jak blo odvozeno v předchozí část práce vztah pro zaznamenávanou ntenztu nterferenčního pole v bodě r vznklou dvěma rovnným monochromatckým vlněním e I r = a r + b rcos φ r 54 kde ar a br znační střední ntenztu pozadí a ampltudu ntenzt Δϕr e fázový rozdíl daný vztahem k k r + φ r = δ 55 kde k a k sou vlnové vektor r e polohový vektor Δδ e počáteční fázový rozdíl. Dosazením za vlnové vektor k = kn = π/λn kde k e vlnové číslo λ vlnová délka použtého záření a n určue směr přcházeícího paprsku normálový vektor rovnné vlnoploch dostáváme φ r = k n k n π = n λ π n λ r + δ r + δ. 56 Jelkož v nterferometrech používáme eden zdro záření můžeme s dovolt položt počáteční fázový rozdíl Δδ roven nule a vlnová čísla ztotožnt. Tato úprava vede na π φ r = kρ ρ = W r 57 λ kde ρ a ρ sou průmět polohového vektoru r do směrů daných normálovým vektor n a n Wr značí nám hledaný dráhový rozdíl. Jestlže budou směr šíření nterferuících vln stené a vektor ρ a ρ rovnoběžné potom dráhový rozdíl přímo udává odchlku testované od referenční ploch. Snadno í ted získáme pomocí vztahu λ W r = φ r. 58 π Podíváme-l se na vztah 54 poté ze znalost gonometrckých funkcí můžeme pro kosnus fázového rozdílu psát [ k φ r πl] cos φ r = cos

59 Interferometre kde k = { } určue znaménko fázového rozdílu a l e lbovolné celé číslo. Použtí ednoho nterferogramu a pouhá nverze vztahu 54 b vnesla do vhodnocení neednoznačnost. Metodk měření ted musí být takové ab určení fázového rozdílu blo ednoznačné případně s výmkou znaménka. To umožňue například znalost aprorní nformace o průběhu fáze užtí více fázově posunutých nterferogramů nebo zavedení lneární prostorové frekvence. O těchto metodách bude v následuícím tetu dskutováno Detekce a polnomální apromace nterferenčních proužků s následným vhodnocením fázového rozdílu Jednou z metod vhodnocování fázového rozdílu nterferuících vln e analtcké vádření poloh nterferenčních proužků a následné vhodnocení [6 9]. Pro tuto metodu postačue eden nterferogram ovšem e nutná další aprorní znalost o průběhu fázového rozdílu. Dále musíme předpokládat že lokální etrém zaznamenané ntenzt odpovídaí etrémům vztahu 54 ným slov data předpokládáme s odfltrovaným šumem vrovnanou nerovnoměrnou ntenztou pozadí a upraveným kontrastem. Přesnost této metod se pohbue okolo λ/ [6] kde λ e vlnová délka použtého záření. Prncp metod e snadný a patrný z obr. 7. Budou-l splněn předchozí předpoklad a skutečné rozložení ntenzt bude odpovídat vztahu 54 potom úsek mez mamem nesvětleším místem a mnmem netmavším místem ednoho nterferenčního proužku odpovídá fázovému rozdílu Δϕ = π. Budeme-l schopn určt polohu mam nterferenčních proužků potom mez sousedníma dvěma bude fázový rozdíl roven π a s aprorní znalostí sklonu známe přblžný tvar všetřované ploch sme ted schopn určt hodnotu konstant k ve vztahu 59 můžeme daný fázový rozdíl rekonstruovat. +I b a I ma I = a + bcosδϕ Δϕ = π I mn +Δϕ Obr. 7 Prncp metod detekce nterferenčních proužků a následného vhodnocení fázového rozdílu 58

60 Interferometre Jednotlvé krok postupu vhodnocení ted budou: určení středu nterferenčních proužků a ech polnomální apromace číslování proužků přřazením nterferenčního řádu rekonstrukce fázového rozdílu eho globální prostorová apromace nterpolace dat mez nterferenčním proužk. Detekce středů nterferenčních proužků e možná různým způsob. Prncpelně de o určení poloh lokálních mam obrazu čl lze použít různé technk založené na aplkac funkconální analýz [39 4] případně né vhodné metod zpracování dgtálního obrazu např. segmentace obrazu použtí Yatagaho matc apod. [6 47]. Číslováním nterferenčních proužků rozumíme přřazením relatvní výšk fázového rozdílu ednotlvým proužkům. Schematcký postup b mohl být zapsán takto: výběr výchozího proužku a přřazení počáteční hodnot volba vzestupného nebo sestupného číslování vzhledem k výchozímu proužku a danému směru číslování ednotlvých proužků. Předpokládáme-l že vhodnocovaný fázový rozdíl bude dostatečně spotá a hladká plocha což můžeme u testování optckých komponent předpokládat můžeme vslovt následuící pravdla: sousední nterferenční proužk se mohou lšt o nebo a ne nak nekončí-l proužek na hranc vhodnocované oblast nterferogramu de o uzavřený proužek proužk steného čísla se nesměí vzáemně křížt. Z výše popsaného základního prncpu e patrné že e-l nterferenčnímu proužku přřazeno číslo nterferenčního řádu k potom eho rozdíl oprot výchozímu proužku bude kπ. Výslednou rekonstrukc fázového rozdílu nterpolac dat mez ednotlvým nterferenčním proužk provádíme některým z postupů globální polnomcké apromace. Podrobně o nch bude poednáno v další část práce. 59

61 Interferometre Na obr. 8 e demonstrováno číslování ednotlvých středů nterferenčních proužků a následná rekonstrukce fázového rozdílu. Obr. 8 a Číslování středů nterferenčních proužků a b rekonstrukce fázového rozdílu Interferometre s posuvem fáze Interferometre s posuvem fáze PSI z angl. Phase Shftng Interferometr e metoda která rekonstruue fázový rozdíl s vužtím více nterferogramů lšících se od sebe o fázovou modulací fázový posuv v čase [6 7 7]. Přesnost těchto metod vhodnocení e poměrně vsoká až λ/ a více. Fázový posuv se nečastě u koherentních vlnových polí zavádí do referenčního svazku pomocí pezoelektrckého posuvu rotuící planparalelní desk posuvných hranolů pohbuící se dfrakční mřížk nebo dalších komponent [6 9]. Velm výhodné e použtí referenčního posuvného zrcátka na pezoelektrckém posuvu ehož pohb se děe ve směru rovnoběžném s dopadaícím referenčním svazkem. Potom s užtím 58 dostáváme pro fázový posuv δ v závslost na posuvu zrcátka d π δ = d 6 λ kde λ e vlnová délka použtého záření. Prncp samotného vhodnocení vchází opět ze základní rovnce I r = a r + b rcos φ r 6 6

62 Interferometre kde ar a br znační střední ntenztu pozadí a ampltudu ntenzt Δϕr e fázový rozdíl referenční a testované vlnoploch. Ve vztahu se nám vsktuí tř neznámé ar br a Δϕr obecně musíme ted provést mnmálně tř měření ntenzt. Jednou z metod e zavedení známého fázového posuvu δ čl vztah 6 pro -tý měřený nterferogram přede na tvar [ φ r + δ ] = K N 3 I r = a r + b rcos N 6 kde předpokládáme že velčn ar a br sou pro všechn nterferogram konstantní a není přítomna chba v zavedení fázového posuvu δ. Pro měření e poté možno výpočet provést metodou nemenších čtverců [ ] kde vztah 6 eště upravíme na tvar I r = a r + b r cos φ r cosδ b r sn φ r sn δ = c r + c r cosδ + c r sn δ 63 kde ak e patrné c r = ar c r = brcosδϕr a c r = brsnδϕr. Vztah 63 e lneární a snadno ho můžeme přepsat matcově pro N měření ako kde = A 64 I r I r = M I N r A = M cosδ cosδ M cosδ N snδ snδ M snδ N c r = c r. c r 65 Řešení soustav 64 e pro nadbtečný počet měření čl kd N > 3 dáno známým vztahem výpočtu ve smslu metod nemenších čtverců T A A T A Vhodnocovaný fázový rozdíl poté dostaneme ako =. 66 c = r φ r arctan. 67 c r Jak e z výše uvedeného patrné pro určení fázového posunu v bodě r obrazu o rozměrech e třeba řešt M N soustav rovnc. M N 6

63 Interferometre V pra bývá však obtížné měření zavedení přesné hodnot fázového posuvu δ. Častě e proto užíváno metod kd e zaváděn konstantní fázový posuv ehož hodnotu ovšem nemusíme přesně znát naopak bývá výsledkem výpočtu. Tím se ovšem do vztahu pro detekovanou ntenztu dostává čtvrtá neznámá a musíme ted provádět mnmálně čtř měření. Výhodou této metod však e že neen že určíme fázový rozdíl nterferuících vln bez přesné znalost fázového posuvu ednotlvých obrazů ale samotný fázový posuv může sloužt ke kontrole a kalbrac zařízení enž tuto modulac zaznamenávaného sgnálu realzue. Základním čtřkrokovým vhodnocue čtř měření algortmem e tzv. Carrého algortmus [7]. Vužívá obecného vztahu že měřenou ntenztu v každém bodě r nterferogramu s můžeme zapsat ako [7 7] I N r = a r + b r cos φ r α r = K N 68 kde fázový posuv mez ednotlvým snímk e α N = 4. Pro ednoduchost zápsu budeme v dalším vnechávat značení závslost na poloze čl např. Ir = I. Vhodnou úpravou lze ukázat že platí a pro fázový rozdíl Δϕ platí I I I I 4 3 I I cos α = 69 I I4 + I I3 I + I4 + 3I 3I3 I + I3 I I4 3 φ = arctan. 7 Mmo tohoto e známa celá řada dalších N-krokových PSI algortmů různých autorů [6 7] které danou problematku vhodnocení fázového rozdílu dvou nterferuících vln řeší. Př měření e nutné vbrat takový algortmus který bude co neméně ctlvý na chbu měření ntenzt nterferuících vln která se proeví ak ve výsledných hodnotách fázového rozdílu tak v hodnotách určeného fázového posuvu. Obecně čím větší počet kroků výpočtu tím bude algortmus méně ctlvý na chb. Na druhou stranu se tím zvšue náročnost na pořízení snímků a samotného vhodnocení. V pra sou nevíce rozšířen algortm tříkrokové a pětkrokové. Jak ukazue [7] nebo [7] sou pětkrokové algortm vhovuící ve většně praktckých případů ak v nárocích na přesnost vhodnocení tak v rchlost výpočtu. 6

64 Interferometre Metoda nterferometre s posuvem fáze skýtá ted několk výhod oprot ným prncpům: e známo velké množství algortmů různých vlastností složk adtvního a multplkatvního šumu sou automatck potlačován výpočetním postupem s vhodným prvk de o velm přesnou metodu. Nevýhodou e ovšem nutnost použtí více nterferogramů čl odpadá možnost aplkace této metod u měření a analýz rchle se vvíeících dnamckých procesů Interferometre se zaváděním nosné frekvence Tento způsob rekonstrukce fázového rozdílu bude podrobně popsán v další část práce. Zde se seznámíme zeména s možností zavádění tzv. lneární nosné frekvence do vhodnocovaného nterferogramu a se základním prncpem vhodnocení. Podíváme-l se na metod posunu fáze PSI popsané v předchozí část můžeme vslovt mmo né tto závěr [6]: pro metod PSI sou třeba mnmálně tř měřené nterferogram deální počet e pět abchom co nevíce potlačl vlv vbrací a dalších nežádoucích evů u metod PSI musíme měření tří nebo více snímků provádět v co nekratším časovém ntervalu znaménko u fázového rozdílu e ednoznačně určeno náklad na měřící zařízení sou poměrně vsoké pokud e zaštěno stálé prostředí bez vbrací fluktuací vzduchu apod. potom metod PSI dosahuí velm vsoké přesnost přblžně λ/ a všší. Oprot tomu o metodách zavádění nosné frekvence platí o čemž se přesvědčíme v následuících kaptolách: k vhodnocení e třeba pouze eden nterferogram vbrace celého sstému nesou závažným problémem elkož e vužíván pouze eden snímek z ednoho snímku nesme schopn určt znaménko fázového rozdílu e třeba znát apror mnmálně ednu další nformac k vhodnocení sou nutné sofstkované matematcké aparát v laboratorních podmínkách e přesnost odhadována na λ/ λ/5. 63

65 Interferometre I kdž metod zavádění lneární nosné frekvence dosahuí menší přesnost než metod PSI sou často vužíván zeména pro svoí potřebu pouze ednoho snímku. Maí ted potencál u vhodnocování dnamckých procesů aplkací v reálném čase. Předpokládeme že rozdělení zaznamenané ntenzt nterferogramu bez zavedené nosné frekvence bude dáno známým vztahem I r = a r + b rcos φ r 7 kde ar a br znační střední ntenztu pozadí a ampltudu ntenzt Δϕr e fázový rozdíl referenční a testované vlnoploch r = e polohový vektor a předpokládáme monochromatcké lneárně polarzované nterferuící vln. Referenční testovanou vlnoplochu uvažume pro názornost rovnnou. Prncp zavedení lneární nosné frekvence naznačue obr θ ϕ r r ϕ t r ϕ r r ϕ t r +z +z Δϕr ϕ r r + Fr Obr. 9 Zavádění lneární nosné frekvence u rovnných vlnoploch [6] Předpokládeme že dvě rovnné vlnoploch kolmé na směr šíření se šíří ve směru os z. Fáz referenční vlnoploch označume ϕ r r a vlnoploch testované ϕ t r. Pro fázový rozdíl Δϕr poté můžeme psát Zaveďme nní funkc Fr = F vztahem φ r = φ t r φ r. 7 r F r = k snθ + snθ snθ snθ = π + λ λ = π f + f = πf r 73 64

66 Interferometre kde f = f f = λ - snθ snθ e tzv. lneární prostorová nosná přenosová frekvence θ a θ sou sklon ve směrech os a ak e naznačeno na obr. 9 pro případ θ k = π/λ e vlnové číslo daného záření. Jak e vdět funkce Fr e rovncí rovn nakloněné vzhledem k souřadným osám. Praktckou realzac zavedení této funkce lze provést náklonem referenční ploch nterferometru která však nemusí být obecně rovnná. Tvar referenční vlnoploch ϕ r r může být různý. Zavedení náklonu z angl. tlt bude mít ovšem stený vlv funkce Fr bude mít stený tvar ako v 73. Pro ntenztu nterferenčního pole 7 dostáváme přčtením funkce Fr k fázovému rozdílu Δϕr [ πf r + φ ] I r = a r + b r cos r 74 což e výchozí rovnce pro vhodnocení nterferogramů metodou zavádění nosné frekvence. Jný způsob zápsu enž bude vužíván e dán aplkací Eulerova vzorce α cos α + snα = ep 75 kde =. S eím vužtím lze snadno vztah 74 přepsat na tvar I r = a r + b r ep = a r + c rep { [ πf r + φ r ]} + b rep{ [ πf r + φ r ]} πf r + c rep πf r 76 kde c r = b rep c r = b rep [ φ r ] [ φ r ] 77 sou vzáemně kompleně sdružené funkce. Zavedení nosné frekvence se vužívá př vhodnocení nterferogramů metodou Fourerov transformace o čemž poednávaí další část této práce. Jak bude ukázáno aplkací Fourerov transformace na vztah 76 dostaneme frekvenční Fourerovské spektrum které bude právě dík zaváděné nosné frekvenc charakterstcké třem odděleným spektrálním komponent a můžeme ho zapsat ako FT I r } = A f + C f f + C f + 78 { f 65

67 Interferometre kde ednotlvé komponent A f C f f a C f f příslušeí třem sčítancům na pravé straně rovnce 76. Ve frekvenční oblast poté probíhá fltrace ednoho z bočních spekter které nese nformac a rekonstruovaném fázovém rozdílu. Posunem tohoto spektra takovým způsobem ab f = se zbavíme zaváděné nosné frekvence a nverzní Fourerovou transformací získáme cr z něhož poté snadno získáme rekonstruovaný fázový rozdíl nterferuících vln ako [ c r ] [ c r ] Im φ r = arctan. 79 Re Odvození výše uvedených vztahů bude provedeno v následuící část práce. Data rekonstruovaná fáze získaná vhodnocením nterferogramu pomocí Fourerov transformace budou zpravdla v rozmezí hodnot od π do +π v závslost na defnc funkce arctan ve výpočetním softwaru. Ideální vhodnocený obraz bez šumu a dalších vlvů bude ted obsahovat místa nespotost velkost π. Odstraněním těchto míst nespotost se zabývá tzv. unwrappng. Tomuto matematckému problému bla a e v pra věnována značná pozornost protože na eho vřešení závsí přesnost celého výsledku. Pokud data neobsahuí šum a další rušvé vlv e odstranění nespotostí trválním problémem. Ovšem pokud e šum přítomný ako ve všech praktckých případech stuace se komplkue. Shrnutí procesu vhodnocení nterferogramu metodou Fourerov transformace e zobrazeno na obr.. INTERFEROGRAM SE ZAVEDENOU LINEÁRNÍ NOSNOU FREKVENCÍ FREKVENČNÍ FILTRACE A CENTRACE BOČNÍHO SPEKTRA ODSTRANĚNÍ NESPOJITOSTÍ FÁZOVÉHO ROZDÍLU FOURIEROVA TRANSFORMACE INVERZNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE REKONSTRUOVANÝ FÁZOVÝ ROZDÍL INTERFERUJÍCÍCH VLN Obr. Schéma metod Fourerov transformace 66

68 Interferometre V pra e obecně nazýván tento postup metodou Fourerov transformace FTM z angl. Fourer Transform Method nebo Fourerovská analýza nterferenčních proužků FFA z angl. Fourer Frnge Analss. Metodu poprvé představl Takeda et. al. roku 98 [73]. Od té dob e v popředí zámu zeména proto že k vhodnocení potřebue pouze eden zaznamenaný nterferogram a e ted vhodným adeptem na analýzu dnamckých procesů. Ovšem má své nevýhod především nžší přesnost vhodnocení oprot metodám PSI nesme schopn určt z ednoho snímku znaménko rekonstruovaného fázového rozdílu a analýza e náročněší na výpočetní kapact kdž se současným rchlým rozvoem výpočetní technk přestává být tento argument prot eímu použtí relevantní. I přes tto všechn nedostatk nachází metoda uplatnění. Roku 4 představl Kemao obměněnou verz metod Fourerov transformace edná se o metodu Fourerov transformace pomocí fltračních oken WFT z angl. Wndowed Fourer Transform [74 76]. Výsledný obraz vhodnocený pomocí FTM který e defnovaný na uzavřeném ntervalu bude ovlvněn dík vlastnostem Fourerov transformace defnované na ntervalu od do. WFT algortmus se snaží tuto nepříemnou vlastnost potlačt. Prncpem e užtí modfkované transformace která pomocí oken transformue spektrum do omezených oblastí. Frekvenční spektrum WFT poté dává frekvenční nformac v každém pelu obrazu což FTM samotná neposktue a e možné provádět operace vedoucí ke kvaltněší rekonstrukc fázového rozdílu. Výpočetní nárok sou ovšem pro WFT velm vsoké. Jnou z metod vužívaící Fourerovu transformac představl Faban et. al. [77 78]. Jedná se o převedení problému na tzv. Pfaffovu parcální dferencální rovnc. Zavedeme novou funkc hr defnovanou ako c r h r = = ep[ φ r ]. 8 c r Pro gradent funkce hr dervováním 8 podle r dostáváme [ φ r ] [ φ r ] = h r [ φ ] h r = ep r. 8 Úpravou poté vádříme gradent fázového rozdílu ako [ φ r ] = h r. 8 h r Užtím 77 a 8 dále dostáváme 67

69 Interferometre 68 [ ] = r r r r r c c c c φ. 83 Gradent ted můžeme vádřt pomocí funkcí cr a c * r získávaných pomocí Fourerov transformace ze zaznamenaného nterferenčního obrazce. Další řešení e postaveno na následuící úvaze. Gradent fázového rozdílu skalárně násoben s vektorem elementárních přírůstků ve směrech souřadncových os a čl s vektorem dr = d d e ným vádřením totálního dferencálu čl můžeme psát [ ] d d d d r r r r r r P = + = = φ φ φ φ 84 kde Pr e dferencál skalární funkce kterou pro nás bude právě fázový rozdíl. Vztah 84 můžeme ted přepsat ako d d d = + r r r φ φ φ 85 což e tzv. Pfaffova dferencální rovnce. Grafcké vádření stuace e zobrazeno na obr.. Obr. Pfaffova dferencální rovnce Řešení Pfaffov dferencální rovnce e známé. Jednou z možností e postupná ntegrace. Volíme-l počáteční bod ntegrací podél cest rovnoběžných s osam souřadnc dospěeme do bodu podle vztahu d d φ φ φ φ = + 86 kde řešení e závslé na volbě počáteční podmínk Δϕ. To e důsledek toho že řešení rovnce 85 generue nekonečné množství ploch ež sou rovnoběžné levá strana této rovnce d r φ d r φ + + +Δϕr dδϕ

70 Interferometre totž bude platt pro akoukol z takto určených ploch. Abchom dosáhl ednoznačného řešení e ted nutné zvolt počáteční podmínku Konečné zpracování dat postprocessng Výstupem vhodnocení sou zpravdla reálná data ež ovšem potřebuí další závěrečné úprav. Jmenume zeména: výběr a maskování oblastí kde neblo nterferenční pole zaznamenáváno analtcké vádření rekonstruovaných dskrétních dat rozvoem v řad polnomů apromace rekonstruovaných dat u metod zavádění nosné lneární prostorové frekvence dále odstranění zbtkových vlvů neednoznačně určené prostorové frekvence. Prncp prvního kroku e totožný s výběrem relevantní vhodnocované oblast o kterém blo řečeno v kaptole předzpracování. Cílem e místům kde neblo zaznamenáno nterferenční pole přřadt nulové nebo nak užvatelem určené hodnot. Další část práce podrobně poedná o apromac rekonstruovaných dat rozvoem v řad polnomů a o odstranění zbtkových vlvů neednoznačně určené prostorové frekvence Analtcké vádření dskrétních rekonstruovaných dat Rekonstruovaná data z vhodnocení sou dskrétní povah čl de o matce reálných hodnot. Takováto forma e ovšem nevhodná pro další aplkace ako například mplementace do automatckých procesů výrob analtcký pops zobrazovacích vlastností ednotlvých optckých členů a celých optckých soustav kde se tto komponent vsktuí a podobně. Vhodným způsobem e použtí koefcentů rozvoe v řadu funkcí kterým dskrétní data vádříme. Poté dostáváme několk málo numerckých hodnot které budou reprezentovat celou plochu. Tento způsob rekonstrukce budeme dále nazývat apromace dat [79 8]. Rekonstruovanou plochu reprezentovanou dskrétním měřeným dat s můžeme představt ako neznámou funkc dvou proměnných kterou lze nahradt rozvoem v řadu ných nám známých funkcí. Určením koefcentů rozvoe získáme analtcké vádření ploch což e naším cílem. Obecně e dobře znám rozvo v zobecněnou Fourerovu řadu [39 4] který vžívá ortogonálních funkcí na určté oblast. Dík ortogonaltě [39 4] e výpočet koefcentů velm snadný čehož blo vužíváno zeména v době kd náročné numercké výpočt bl komplkovaným 69

71 Interferometre problémem. S nástupem a neustálým vlepšováním výpočetní technck není nezbtné vužívat pouze ortogonální funkce ale lze ploch funkce vadřovat rozvoem v lbovolné funkce. K výpočtu koefcentů těchto rozvoů poté slouží numercké metod například známá metoda nemenších čtverců [ ] nebo optmalzační algortm [8 83]. Obecný postup apromace pomocí ortogonálních sstémů funkcí můžeme popsat následovně. Uvažume ortogonální sstém s vahou ρ funkcí dvou proměnných φ n ntegrovatelných s kvadrátem na oblast S [39 4]. Dále předpokládeme že rekonstruovaná plocha e reprezentována funkcí f také ntegrovatelnou s kvadrátem na stené oblast. Z matematk e dobře známo že za výše uvedené stuace lze funkc f vádřt rozvoem v tzv. zobecněnou Fourerovu řadu platí f = k = α ϕ 87 k k kde ρ f ϕ d d k α k S = ρ ϕ d d. 88 S Jestlže e sstém φ n úplný čl neestue žádná od nul různá funkce ortogonální ke všem funkcím tohoto sstému potom zobecněná Fourerova řada 87 konvergue v průměru k funkc f platí [39 4] k lm n f n k= α ϕ =. 89 k k Užeme-l prvních N + členů rozvoe 87 potom apromueme funkc f tzv. částečným součtem zobecněné Fourerov řad f α ϕ. 9 N k= Pro dskrétní data která analzueme v techncké pra potom ntegrace analtcká přede v ntegrac numerckou máme-l k dspozc dostatečně hustou síť měřených bodů. k k Užtí rozvoů v ortogonální sstém funkcí naskýtá další výhod. Pro směrodatnou odchlku σ f rozvoe 9 na oblast S totž dostáváme 7

72 Interferometre 7 d d d d d d = = = = = = + = = N k k S N k k k S S N k N k k k N k k k S S S f S S S S S S f σ ϕ α ϕ ϕ α α ϕ α σ 9 kde sme vužl ortogonálnost funkcí na oblast S a platí ted [39 4] d = S k S ϕ ϕ. 9 Z výsledku 9 e možno vslovt tvrzení že směrodatná odchlka apromace pomocí akéhokol sstému ortogonálních polnomů e mnmální a přdání nebo odebrání členů neovlvní ostatní koefcent apromace a není e ted nutné přepočítávat. Jak už blo řečeno s nástupem výpočetní technk a eím neustálým zlepšováním není třeba používat výhradně ortogonálních polnomů. Můžeme volt lbovolné funkce které svou lneární kombnací nelépe vádří apromovanou funkc ve smslu nám zvolené podmínk. Odebrání nebo přdání dalších členů rozvoe e otázkou mnmální námah a výhoda snadných výpočtů koefcentů a ech zachování tvaru př přdání nebo odebrání členů rozvoe ž není tak důležtá. Volme nní pro dskrétní měřená data označení nezávsle proměnných =... k; =... l. Výraz 9 lze matcově přepsat ako f Aα N l k N l k l k N N l k f f f α α α ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ M L L L L L L L M 93 kde f sou dskrétní data získaná z měření φ k sou včíslené funkce voleného sstému v místech α k sou nám hledané koefcent k =... N. Chbu apromace v ednotlvých bodech vádříme ako f Aα ε =. 94 Na vztah 94 následně klademe podmínk a numerckým výpočtem chceme určt koefcent α takovým způsobem ab tto podmínk bl splněn. Nečastě bývá volena podmínka mnma součtu čtverců chb čl musí platt [44 8 8] = mn. = ε ε T M 95

73 Interferometre Nalezení řešení lze odvodt například použtím funkconální analýz. Provedeme-l dervac výrazu M = Aα f T Aα f podle koefcentů α nebol vpočteme-l gradent funkce Mα dostáváme M M α = = α α T = A Aα A T T T T T T Aα f Aα f = α A Aα α A f + f f T f. α 96 Pro staconární bod αˆ poté užtím podmínk M = platí Pro Hessán funkce M [8 83] dostáváme T T A A A f αˆ =. 97 M T T T T T T M α = = A Aα A f = α A A A f = A A. 98 α α α Jelkož e matce A T A smetrcká a tudíž poztvně defntní [39 4] potom koefcent určené podle 97 představuí mnmum funkce Mα. O smetr A T A se můžeme přesvědčt snadno dosazením z 93 kd dostáváme pro ednotlvé prvk M mn m =... N+ n =... N+ M = k l m n m ϕ n = = ϕ. 99 Dík komutatvnost násobení dvou skalárních funkcí e patrné že platí M mn = M nm čl matce Mα e smetrcká. V některých případech e však nverze v 97 komplkovaná výpočet může být nestablní problém e poté vhodné řešt optmalzačním algortmem například Levenberg-Marquardt [8 83] kd mnmalzueme tzv. mertní cílovou funkc 95 N + proměnných. Proměnným sou koefcent rozvoe a algortmus hledá takové ech hodnot pro které bude 95 mnmální. Z matematk sou znám různé sad polnomů č funkcí vhodných k apromac na různých oblastech kvůl ortogonaltě. Výpočet metodou nemenších čtverců však nevžadue ortogonální funkce na dané oblast a posktue tak možnost volb. Dále není nezbtné volt pro apromac pouze podmínku metod nemenších čtverců. Další možnou e kromě ných např. mnmalzace L norm k+ l + M = ε. = 7

74 Interferometre Čl suma absolutních hodnot chb apromace v ednotlvých bodech má být mnmální. V pra e ovšem nevíce vužíváno zmíněné podmínk nemenších čtverců. Lze totž ukázat že tato apromace e také tzv. nelepším nestranným odhadem a tzv. nepravděpodobněším odhadem uvažueme-l normální pravděpodobnostní rozdělení ednotlvých měření vz např. [44]. Vhodným ukazatelem kvalt apromace e aposterorně určovaná výběrová směrodatná odchlka rozdílu rekonstruovaných a původních dat ež e dána vztahem [44] s = T Aαˆ f Aαˆ f k + l + N kde čtatel představue sumu čtverců rozdílů měřených dat od rekonstruovaných pomocí rozvoe v řadu sstémů funkcí φ k kde koefcent rozvoe sou dané vztahem 97 nebo výsledkem optmalzačního procesu a menovatel představue počet nadbtečných měření čl rozdíl počtu všech měřených dat k + l + a počtu určovaných N koefcentů. Jak e patrné výběrová směrodatná odchlka může být spočtena pouze pro nadbtečný počet dat čl kd počet dskrétních měřených bodů bude větší než počet členů rozvoe. To e v našem případě vhodnocování nterferometrckých dat bezproblémově splněno. Obecně veškeré lneární polnomcké apromace kd rozvo e dán ako lneární kombnace koefcentů a sstému funkcí lze zastřešt rozvoem v obecnou mocnnnou řadu kterou můžeme psát ako [39 4 8] N M k = l = kl k l f α kde a sou konstant N a M představuí stupeň rozvoe pro ednotlvé proměnné. Koefcent α kl sou počítán některým z výše uvedených postupů. V pra se pro apromac čtvercových oblastí používaí velm často tzv. Legendreov polnom stupně n. Pro ednu dmenz sou defnované ako [39 4 8] n d P n n = n n n! d 3 sou ortogonální pro s vahou ρ = a lze e generovat přímo ze vztahu 3 nebo splňuí rekurentní relac n n = P P 4 n n n n Pn 73

75 Interferometre kde platí P = a P =. Rozšíření na dvě proměnné lze provést snadno ako N N f α P P. 5 k= l= Ze čtvercové oblast a na které sou Legendreov polnom defnován e lze zavedením substtuce kl k l b + a = b a d + c = d c 6 snadno transformovat na oblast obdélníkové kde platí a b a c d. Na obr. e zobrazen vlv stupně apromace Legendreovým polnom na výsledná data. Obr. Apromace původních dat červené tečk Legendreovým polnomem modrá křvka a stupně N = a c stupně N = 6 a b d odchlk apromovaných od původních hodnot Pro apromace oblastí kruhových se v pra kontrol optckých prvků velm často vužívaí tzv. Zernkeho funkce [84 85] které pro stupeň n a řád m vznknou ako m Zn r θ = R m Zn r θ m n cos mθ r sn mθ m = n n = K n K n n 7 74

76 Interferometre kde r a θ π značí polární souřadnce a R n m r e tzv. Zernkeho radální polnom defnovaný ako n m k n k m! n k R n r = r n = K 8 k= n + m n m k! k! k! kde n m musí být sudé. Někd bývaí funkce 7 označen ako Z nμ r θ kde μ = n + m/. Rozvo v řadu bude dán vztahem f = N N m m [ α Z r θ + β Z r θ ] kl n kl n k= l= N N k= l= m m [ α R r cos mθ + β R rsn mθ ]. kl n kl n 9 Zernkeho funkce sou ortogonální na ednotkovém kruhu D platí ted [84 85] D D m Z r θ Z n m n r θ r dr dθ = δ nn δ n + mm + δ µ n Z r θ Z θ d dθ πδ δ µ µ r r r = n n nn n + µµ δ e tzv. Kroneckerovo delta [39 4] δ = pro δ = pro =. Obdobně ako Legendreov polnom můžeme transformovat na obdélníkové oblast můžeme Zernkeho funkce transformovat na oblast elptcké s hlavním poloosam a a b pomocí substtuce b tanθ = tanθ r = a cosθ + b snθ. a Obr. 3 zobrazue ukázku Zernkeho funkcí. Dva výše zmíněné případ sou apromacem ortogonálním sstém funkcí. Jak blo řečeno se současnou technkou lze volt funkce v podstatě lbovolné. Numerck sou pak hledán takové koefcent ež splní požadované podmínk kladené na odchlk rekonstruovaných a původních dat. Jako příklad takovýchto apromací ukažme tzv. Sedelov polnom [4 7] které sou defnován ako W m m α cos θ + β sn = N n n r r θ nm nm n= m= θ 75

77 Interferometre kde r a θ sou polární souřadnce defnované ako v předcházeícím případě α nm a β nm sou koefcent rozvoe. Obr. 3 Zernkeho funkce do stupně n = 3 V některých stuacích apror víme že apromovaná plocha bude rotačně smetrcká. Potom musí platt W r θ = W r θ + π 3 a ted n m musí být sudé číslo n m a vmzí všechn člen se snθ. Velkou výhodou těchto polnomů e ech ednoduchost a snadná fzkální nterpretace koefcentů rozvoe u rotačně smetrckých oblastí. Oprot Zernkeho funkcím ovšem Sedelov polnom nesou ortogonální. Zobecněním polnomckých apromací e vužtí raconálních funkcí [86 87] kd v čtatel menovatel vstupue polnom. Funkc kterou chceme popsat potom vádříme například pomocí vztahu f N = = M = = α k β k P N = Q M k = + t = t. 4 76

78 Interferometre 77 Tento rozvo ž ale nelze rozepsat matcově tak snadno ako v 93 a nelze užít přímo odhadu koefcentů rozvoe metodou nemenších čtverců 97 ve které bl předpokládán lneární rozvo. Jednou z možností e použít optmalzační algortmus [8 83] který bude vhledávat mnmum mertní funkce M ež bude mít pro podmínku metod nemenších čtverců tvar = = = k l M ε 5 kde Q P M N f = ε. 6 Optmalzační algortmus nade lokální mnmum mertní funkce 5 ted hodnot koefcentů ve smslu nemenších čtverců. Jedna z podmínek správného určení mnma mertní funkce e ovšem nutnost zadání přblžných počátečních hodnot které budou dostatečně blízko hledanému řešení. Samozřemě bude závset na tvaru mertní funkce pro ednoduché průběh bude optmalzace úspěšná př velm nepřesné volbě přblžných parametrů. V pra takto ednoduché případ ovšem nastávaí zřídkakd. Pro určený přblžných hodnot počátečních parametrů můžeme u apromace raconální funkcí vužít tvaru enž budeme nazývat lnearzovaný. Zvolíme-l s v rozvo 4 β = a získáme tak K K f β β β β β α α α α α α 7 můžeme vádřt chbu apromace v lnearzované podobě ako = = = = = M k N k f f β α ε. 8 Vztah 8 lze už snadno zapsat ve formě matcového zápsu pro množnu měřených dat ako. f Aα ε = = l k l k l l k k l k l k f f f f f f f f f M M M L L M M M M M M M L L L L M β β α α α ε ε ε 9

79 Interferometre Po této úpravě určíme hodnot počátečních koefcentů pomocí 97 a můžeme přstoupt k mnmalzac mertní funkce 5 s opravam 6. Tento postup určení přblžných hodnot koefcentů a následné optmalzace e nutný protože koefcent z 9 neodpovídaí správným koefcentům pro rozvo 4 ve smslu nemenších čtverců. Výsledné řešení b neblo doslovnou apromací ve smslu nemenších čtverců. Místo mnmalzace sum čtverců oprav 6 b bl totž použt oprav ε = P f Q. N M Pro správné určení hodnot α k a β k e ted nutné vzít výsledek z 9 pouze ako počáteční stav a dále mnmalzovat mertní funkc 5 s opravam 6. Další možnost výpočtu koefcentů pro apromac raconální funkce e založena na úvaze rozvoe modelu 5 v Talorovu řadu [39 4]. Předpokládeme měřená data f uspořádána do sloupcové matce Z. Rozvo e závslý na volbě parametrů α sloupcová matce koefcentů α k a β k. Označíme-l počáteční parametr ako α a ech přírůstek ako dα můžeme psát pro první člen Talorova rozvoe Z α Z α = Z α + dα Z α + dα α kde Zα vadřue včíslení modelu 5 pro počáteční hodnot parametrů určené výše zmíněným postupem z lnearzovaného modelu Zα měřené hodnot. Chbu lnearzace následně vádříme ako Z α ε = dα [ Z α Z α ] = Adα f. α Tím e vřešen problém nelneárnost modelu 4 protože včíslíme-l hodnot matce A Jakobho matce matce dervací modelu podle počítaných parametrů a f' pomocí měřených dat a funkčních hodnot pro počáteční α můžeme pomocí 97 určt vrovnané hodnot přírůstků a následně vrovnané hodnot parametrů αˆ = α αˆ + d. 3 Proces e ale třeba dík lnearzac teratvně opakovat dokud se hodnot vrovnaných koefcentů nepřestanou lšt v ednotlvých řešeních o tolerovanou hodnotu. 78

80 Interferometre Funkcí a polnomů ež e možné vužít k apromac nterferometrck rekonstruovaných dat e celá řada. V článku [8] 8 lze nalézt příklad a analýzu apromace asférckých ploch dalším funkcem např. rozvoem v trgonometrckou Fourerovu řadu [ ] řadu Čebševových polnomů [ ] nebo sférodálních vlnových funkcí [89 9] Odstranění zbtkových vlvů neednoznačně určené prostorové frekvence Př rekonstrukc fázového rozdílu nterferuících polí pomocí metod vužívaících zaváděnou prostorovou lneární frekvenc nedode př vhodnocení k eímu dostatečně přesnému určení. Rekonstruovaná data budou touto zbtkovou frekvencí ovlvněna. Zadání ovšem požadue určt fázový rozdíl bez eího vlvu. Seznámení s možností vřešení tohoto problému má za úkol následuící část. Předpokládeme že rekonstruovaný fázový rozdíl Δϕ r bude ovlvněn zbtkovou lneární prostorovou frekvencí f r = f r f r. Potom můžeme psát f f φ = φ + π + 4 r r r kde Δϕ e fázový rozdíl bez vlvu nosné frekvence ž chceme určt. Jeden ze způsobů ak určt velkost zbtkové nosné frekvence e použtí rozvoe v řadu polnomů nebo funkcí představených v předcházeící kaptole. Každý z těchto rozvoů s můžeme totž obecně zapsat ako f = a + a + a + O 5 kde a = značí koefcent rozvoe až do lneárních členů O značí ostatní člen uvažovaného rozvoe lbovolného stupně. Sloučením vztahů 4 a 5 dostáváme a porovnáním členů stených mocnn poté f f a + a + a + O = φ + π + 6 r r a + O = φ a = πf a = πf r r. 7 8 Jedná se o článek publkovaný autorem této práce v časopse Jemná mechanka a optka v řínu roku 3. 79

81 Interferometre Je ted patrné že člen a a a nesou nformac o zbtkové nosné frekvenc kterou se nepodařlo elmnovat př vhodnocení. Rekonstruovaný fázový rozdíl bez vlvu této frekvence ted dostaneme ako čímž e daný problém řešen. φ = φ a a 8 r 8

82 5 Vhodnocení nterferogramů metodou Fourerov transformace Zabýveme se nní důkladně vhodnocením nterferogramu se zavedenou prostorovou lneární nosnou frekvencí metodou Fourerov transformace FTM. Poprvé tuto metodu roku 98 představl Takeda [73]. Od té dob se na eím vývo a zdokonalování podílelo mnoho vědců. Uvažume ž předzpracovaný nterferogram čl obraz fltrovaný od šumu a s vrovnaným kontrastem. Potom můžeme zaznamenané rozdělení ntenzt popsat vztahem enž sme odvodl v předchozích kaptolách [ πf r + φ ] I r = a r + b rcos r 9 kde r = e polohový vektor ar představue ntenztu pozadí společně s nechtěným zbtkovým šumem v ntenztě vznkaícím nerovnoměrným odrazem nebo přenosem světla od obektu který se nepodařlo dostatečně odfltrovat br e varace v ampltudě ež také zahrnue část nedostatečně odfltrovaného šumu f e prostorová přenosová frekvence Δϕr e fázový rozdíl dvou nterferuících vln. Dále předpokládeme že ar br a Δϕr se mění pomalu vzhledem k frekvenc f. Naším cílem e nalézt výraz pro fázový rozdíl Δϕr. Užtím Eulerova vzorce můžeme 9 přepsat do pro nás vhodného tvaru ako I r = a r + b rep = a r + c rep { [ πf r + φ r ]} + b rep{ [ πf r + φ r ]} πf r + c rep πf r 3 kde c r = b rep c r = b rep [ φ r ] [ φ r ] 3 sou vzáemně kompleně sdružené funkce =. Proveďme nní dvourozměrnou Fourerovu transformac vztahu 3 defnovanou ako [ πrf ] d FT I r} = I rep r 3 { 8

83 Vhodnocení nterferogramů metodou Fourerov transformace čl FT{ I r} = + + = + a rep b rep b rep a rep c rep [ πrf ] dr [ φ r ] ep[ πf r] ep[ πrf ] [ φ r ] ep[ πf r] ep[ πrf ] [ πrf ] dr + c rep[ πr f f ] [ πr f + f ] dr. dr dr dr 33 Výraz 33 můžeme dále zapsat ako kde sme užl FT I r } = A f + C f f + C f + 34 { f C f f A f = C f + f = = = = a rep b rep c rep b rep c rep [ πrf ] dr [ φ r ] ep[ πr f f ] [ πr f f ] dr [ φ r ] ep[ πr f + f ] [ πr f + f ] dr. dr dr 35 Bude-l se ar br a Δϕr měnt pomalu vzhledem k frekvenc f potom budou Fourerova spektra A f C f f a C f + f v rovnc 34 oddělena nosnou frekvencí f a půde e snadno fltrovat. Mama C f f a C f + f se budou nacházet právě v pozc f a f ak e patrné z 35 kde tto pozce určuí mama eponencel. Smbolcké znázornění rozložení frekvenčního spektra 34 pro ednodmenzonální případ e zobrazeno na obr. 4. Frekvenční spektrum nterferogram bez přítomnost šumu e následně na obr. 5. 8

84 Vhodnocení nterferogramů metodou Fourerov transformace + FT { I r} f Obr. 4 Smbolcké znázornění Fourerovských spekter se zavedenou prostorovou nosnou frekvencí pro ednodmenzonální případ +f +f Obr. 5 a Interferogram bez přítomnost šumu a b eho reálná složka frekvenčního spektra Nní proveďme nverzní Fourerovu transformac spektra C f + f defnovanou ako ted po dosazení dostáváme { C f + f } = f + f ep[ πrf ] C df FT 36 FT { C f + f } = = = c ρep c ρep c ρep [ πρ f + f ] dρ ep[ πrf ] [ πρf ] dρ ep[ π r ρ f ] [ πρf ] δ r ρ dρ df df 37 kde δr ρ e Dracova funkce [39 4]. Z eích vlastností plne že v bodech spotost bude ntegrace 37 rovna 83

85 Vhodnocení nterferogramů metodou Fourerov transformace FT { C f + f } = b rep = c rep[ πf r]. { [ πrf + φ r ]} 38 Logartmueme-l výraz 38 dostáváme ln FT { C f + f } = ln b r + lnep = ln b r [ φ r + πrf ]. { [ φ r + πrf ]} 39 Hledaná funkce Δϕr e tak získávána z magnární část výrazu ln FT { C f + f} zatímco nechtěné varace v ampltudě z část reálné. Snadnou úpravou 39 dostáváme [ FT { C f + f }] π φ r = Im ln rf. 4 Jným a zeména používaným [73 9 9] způsobem výpočtu funkce Δϕr e užtí vlastností kompleních čísel a Eulerova vzorce kd platí a dále ted α = cosα snα c = K ep K 4 snα Im c α = arctan = arctan. 4 cosα Re c S 38 a 4 tak můžeme psát πrf [ FT { C f + f }] [ ] FT { C f + f } Im φ r = arctan. 43 Re + Hledanou funkc Δϕr tudíž snadno získáme ako [ FT { C f + f ] } π [ FT { C f + f }] Im φ r = arctan rf. 44 Re Ve vztahu 44 sme se nepříznvých varací v ampltudě br zbavl podílem magnární a reálné část. Obdobně bchom postupoval př určení funkce Δϕr užtím spektra C f f steným postupem ako v předchozím získáváme [ FT { C f f ] } π [ FT { C f f }] Im φ r = arctan rf. 45 Re 84

86 Vhodnocení nterferogramů metodou Fourerov transformace Ze vztahů 44 a 45 e patrné že pro ednoznačné určení fázového rozdílu Δϕr musíme přesně určt prostorovou nosnou frekvenc f elkož musíme odečítat a tak nám eí hodnota ovlvní výsledek. V pra se nepoužívá výše zmíněný postup doslova. Neprovádí se nverzní Fourerova transformace přímo na C f f nebo C f + f. Funkce arctan e ve výpočetních softwarech defnována zpravdla na ntervalu od π do π a tak v rekonstruovaném obraze dostáváme místa nespotost mez nmž b dík přítomnost prostorové nosné frekvence měla rekonstruovaná plocha velké sklon velké gradent. Př odstraňování nespotostí b poté docházelo ke značným komplkacím ež sou způsoben právě vlvem prostorové nosné frekvence. Postup e volen ted ný [73 9 9] a může být zapsán v následuících bodech: provedení Fourerov transformace zaznamenaného obrazu odfltrování střední a edné z bočních složek frekvenčního spektra vhledání mama druhé boční složk frekvenčního spektra centrace této boční složk čl f C f + f C f C f f C f nverzní Fourerova transformace na centrovanou složku odstranění nespotostí rekonstruovaného obrazu tzv. unwrappng. Jelkož vektor prostorové nosné frekvence tímto způsobem centrací přede ve vektor nulový po nverzní transformac bočních spekter dostáváme úpravou 38 výraz FT FT { C f } = b rep { C f } = b rep { φ r } = c r { φ r } = c r 46 rekonstruovaný fázový rozdíl ted snadno získáme ako [ FT { C ] f } [ FT { C f }] [ FT { C ] [ ] f } FT { C f } Im Im φ r = arctan = arctan. 47 Re Re Tento postup ovšem naráží na nutnost správného určení mama bočních spekter a tím prostorové nosné frekvence. Jestlže data nebudou obsahovat šum poté e to problém trvální a ve výpočetních softwarech snadno provedtelný. Pro reálná data to ovšem tak ednoduché není. Přítomnost šumu může značně ovlvňovat polohu mama bočního spektra. Získávaná mamální hodnota z dat nebude odpovídat poloze nosné frekvence a centrace tak nebude správná. 85

87 Vhodnocení nterferogramů metodou Fourerov transformace Problém určení poloh mama lze řešt následuícím snadným způsobem. Představme s stuac znázorněnou na obr. 6. Levá a střední složka bl odfltrován. V pravé složce šum ovšem způsobí přítomnost nesprávného mama. Polohu odpovídaící nosné frekvenc lze poté nalézt váženým průměrem a to sce ako f FT{ I r} f = 48 FT{ I r} kde f znační frekvence pro které m odpovídaící hodnot FT { I r } přesáhl volenou konstantu T. odfltrované složk + FT{ I r} mamum bočního spektra za přítomnost šumu T +f +f Obr. 6 Určení mama bočního spektra Tímto způsobem lze odhadnout polohu ež odpovídá zavedené prostorové nosné frekvenc. Výsledek není ale také zcela stoprocentní. Pokud b hodnota nesprávného mama bla velká eho váha b velm ovlvnla vážený průměr. Jestlže hodnota prostorové nosné frekvence nebude určena přesně lze vlv nestot potlačt úpravou rekonstruovaného obrazu. Tento postup bl představen v část konečného zpracování dat. Nabízí se také varanta vhledání poloh mama robustním způsob s detekcí odlehlých vzorků [44]. Po určení prostorové nosné frekvence přchází na řadu samotná fltrace spektra. Použtí masek s ostrým přechodem kd dochází ke skoku mez hodnotam mask nespotě vede k nechtěným evům ve výsledném obraze. Používaí se ted fltr založené na pozvolném potlačování nežádoucích hodnot např. fltr založené na tzv. Hammngově okně a dalších technkách běžně používaných ve zpracování obrazu [47 48]. 86

88 Vhodnocení nterferogramů metodou Fourerov transformace Jak už blo výše zmíněno hodnot funkce arctan sou ve výpočetních softwarech zpravdla defnován v rozmezí od π do π. Ideální vhodnocený obraz bez šumu a dalších vlvů bude tím pádem obsahovat místa nespotost velkost π. Odstraněním těchto míst nespotost se zabývá tzv. unwrappng. Tomuto matematckému problému bla a stále e v pra věnována značná pozornost protože na eho vřešení závsí přesnost celého výsledku. Odstranění nespotostí u deálního obrazu e trválním problémem a lze ho řešt snadným algortmem. Pro data obsahuící šum čl reálná data e stuace komplkovaněší. Algortmům unwrappngu se věnue další kaptola této práce. Obr. 7 shrnue výše popsaný postup vhodnocení nterferogramu pomocí FTM. Předzpracovaný nterferogram Inverzní Fourerova transformace Fourerova transformace fltrace a centrace bočního spektra Odstranění nespotostí unwrappng a zbtkového vlvu nosné frekvence Rekonstruovaný dráhový rozdíl nterferuících vln Obr. 7 Schéma vhodnocení nterferogramu pomocí FTM 87

89 Vhodnocení nterferogramů metodou Fourerov transformace Užtím metod Fourerov transformace sme získal nám hledanou funkc Δϕr. Pro určení prostorového rozdílu této funkc odpovídaícímu užeme ž dříve odvozený vztah λ W r = φ r. 49 π Pro určení fázového rozdílu nám ted př použtí FTM postačue eden obraz nterferenčního pole. Ze vztahu pro výpočet Δϕr e vdět že dode k potlačení vlvu varací v ampltudě. Dále tím že př samotném výpočtu užíváme frekvenčního spektra můžeme provádět fltrace ve frekvenční oblast a získávat tak kvaltněší výsledk s odfltrovaným šumem. FTM ted sama o sobě umožňue potlačt nepříznvé vlv. Nastávaí př ní ale některé komplkace ako neednoznačné určení prostorové nosné frekvence které vhodnocení ztěžuí. Použtí FTM dále naráží na to že teoretck e př odvozování používáno Fourerov transformace na neomezeném ntervalu ovšem př reálném zpracování e použto eí fntní dskrétní form. Ta ovlvňue zeména oblast v hrančních částech obrazu kde dochází k odchlkám od skutečných hodnot. Estuí metod mž lze tento nepříznvý ev částečně potlačt ovšem není prozatím známý ednoznačný způsob který b problém řešl úplně. Jednou z metod e maskování pruhu pelů po kompletním vhodnocení v hrančních oblastech. Čl výsledná data nebudou vůbec hodnot o fázovém rozdílu v těchto částech obrazu obsahovat. Další metodou e etrapolace nterferenčních proužků mmo oblast zaznamenaného nterferenčního pole. Iteratvní algortmus představue Gerchberg v [93] Rodder a Rodder v [9] a eho modfkovanou verz poté Massg a Heppner v [9] kde e použto specálního frekvenčního fltru s měkkým hranam. Jnou možnost etrapolace představue Da a Wang v [94]. Prncp Gerchbergova algortmu e založen na následuící mšlence. Uvažume zaznamenané rozložení ntenzt nterferenčního pole dané vztahem I r = M r[ a r + c repπf r + c rep πf ] 5 r kde Mr e funkce mask ež pomocí hodnot a určue zda se edná o prostor nterferenčního pole nebo ne cr a c * r sou dán vztah 3. Aplkací Fourerov transformace na 5 dostáváme [9 93] FT I r } = FT{ M r} [ A f + C f f + C f + ] 5 { f kde * značí konvoluc. Pokud Mr = pro všechna r potom př dostatečně velké zaváděné nosné frekvenc bude frekvenční spektrum 5 rozděleno do tří ednoznačně 88

90 Vhodnocení nterferogramů metodou Fourerov transformace dentfkovatelných částí středního a dvou středově smetrckých bočních. Boční spektra budou stuována v kruhových oblastech s poloměrem f c a pro ech ednoznačné rozlšení od středního musí platt f > f c. Jestlže Mr bude obsahovat hodnot a poté eí nespotý charakter ovlvní frekvenční spektrum 5. Uvažume nní vztah 5 ve formě I r J r = M r a r = M r K r cos[ πf r + φ ] r 5 kde sme vužl vztahu pro kontrast b r K r =. 53 a r Fourerovu transformac aplkovanou na 5 lze poté vádřt ako [9 93] * FT J r } FT{ M r} [ C J f f + C f + ] 54 { = f J kde C J a C * J sou boční spektra upraveného nterferogramu Jr. Kdb nebl omezený maskou Mr bla b spektra koncentrována ve dvou kruzích o středech +f a f s poloměrem f c. Pokud ted položíme všechn hodnot mmo oblast těchto kruhů rovnu nule potom nverzní Fourerovou transformací dostaneme upravený obraz s nterferenčním proužk mmo místa původního zaznamenaného nterferenčního pole. Jelkož ale neznáme poloměr f c přesně e eho hodnota volena epermentálně a algortmus probíhá teratvně. Př každé terac sou navíc na místa původního obrazu dosazován původní hodnot ab blo zachováno dané měření beze změn. Schéma etrapolačního algortmu e ukázáno na obr. 8. PŮVODNÍ UPRAVENÝ OBRAZ Jr FOURIEROVA TRANSFORMACE NULOVÁNÍ SPEKTER MIMO VHODNÉ OBLASTI EXTRAPOLOVANÝ OBRAZ N terací NAVRÁCENÍ ORIGINÁLNÍCH HODNOT INVERZNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE Obr. 8 Schéma etrapolace nterferenčních proužků 89

91 Vhodnocení nterferogramů metodou Fourerov transformace Vztah 5 předpokládá znalost průběhu členu ar čl funkc střední hodnot ntenzt pozadí zaznamenaného nterferenčního pole. Jeí určení e možno provést různým způsob. Jedním z nch e např. postup popsaný v kaptole o předzpracování nterferogramu kd použtím dostatečně šrokého průměruícího fltru tuto střední hodnotu ntenzt můžeme odhadnout. 9

92 6 Unwrappng 6. Úvod do problematk unwrappngu Data rekonstruovaná fáze nterferenčního pole 9 získaná vhodnocením nterferogramu pomocí Fourerov transformace budou zpravdla v rozmezí hodnot od π do +π v závslost na defnc funkce arctan ve výpočetním softwaru. Ideální vhodnocený obraz bez šumu a dalších vlvů bude ted obsahovat místa nespotost velkost π. Odstraněním těchto míst se zabývá tzv. unwrappng. Matematcký problém odstraňování nespotost rekonstruovaného obrazu fáze e odborník řešen po několk desetletí [68]. Prvotní mšlenka e velm snadná ovšem e aplkovatelná pouze na deální data čl data vznkaící z nterferogramů nezatížených šumem dskontnutam nebo resdu. Tto ev ovšem na reálných datech sou. Šum vznká přrozeně už př samotném snímání obrazu. V současnost záznam probíhá nečastě na CCD z angl. Charge-Coupled Devce senzor [56] nebo m obdobné kde není stoprocentně zaručena stená ctlvost všech pelů. Snímaný obraz homogenního rovnoměrného osvětlení potom nemusí být homogenní bude zatížen náhodným šumem. Dskontnut a resdua mohou př vhodnocování optckých ploch vznkat např. v důsledku náhodných prachových částc nečstot na snímač nebo vhodnocovaném obektu nebo drobným poškozením povrchů. Př radarové nterferometr SAR a InSAR Interferometr [37 38] atp. samotný zkoumaný povrch není spotou plochou uvážíme-l přítomnost lesů stavebních obektů a dalších. Zeména radarová nterferometre a vhodnocování fází př ní přspělo velkou mírou k rozvo algortmů unwrappngu které sou dost sofstkované na to ab alespoň částečně elmnoval výše popsané komplkace. Základní přehled algortmů přnáší Ghgla a Prtt [68] kteří ve své prác detalně popsuí ech prncp aplkuí e na případech SAR nterferometre a posktuí ech zdroové kód. Následue celá řada autorů např. [95 98] kteří publkoval různé další algortm a postup mž lze tuto poměrně komplkovanou úlohu řešt. 9 Fáze nterferenčního pole získávaná rekonstrukcí nterferogramu odpovídá fázovému rozdílu dvou nterferuících vln případně s adtvně přdanou nosnou frekvencí. Překlad slova unwrappng z anglčtn b zněl as ako odstranění nespotostí obrazu. V tetu se ovšem budeme držet anglckého tvaru zeména pro ednoduchost zápsu. Od toho se také odvíí použtí spoení unwrapped fáze a wrapped fáze čl fáze s odstraněným nespotostm a fáze s nespotostm doposud neodstraněným. 9

93 Unwrappng Pro pochopení problému neprve uvažume deální obraz fáze bez šumu dskontnut původní fáze e ted spotá a resduí. Odstranění nespotostí potom můžeme provést následuícím ednoduchým způsobem [73]. Vtvoříme novou funkc ϕ c c z angl. correcton se kterou přčtením k rekonstruované fáz ϕ w w z angl. wrapped dostaneme výslednou fáz bez nespotostí ϕ u u z angl. unwrapped čl platí φ = φ + φ. 55 u w Funkce ϕ c bude v počátečním kroku nulová. Následue výpočet fázové dference Δϕ w. Neprve provedeme unwrappng pouze v ednom směru ve směru os. Jednotlvé pel obrazu fáze označume ndeem a kde N M. Potom pro fázovou dferenc počátečního řádku obrazu = píšeme c φ = φ φ. 56 w w w V místech kde není nespotost bude dference malá což vplývá z našeho úvodního předpokladu spotost původní fáze. Tam kde nespotost e se ovšem bude v absolutní hodnotě blížt k π. Na -té pozc potom přčteme resp. odečteme k funkc ϕ c hodnotu π. Přčtení nebo odečtení π bude závset na znaménku dference. Jestlže bude záporná budeme π přčítat a naopak. Pro první řádek funkce ϕ c ted platí + pokud φ < T w φ c = φc + π pokud φw T φw < 57 π pokud φ T φ > w w kde T značí testovací hodnotu např..9 π rozhoduící o tom zda na -té pozc e dskontnuta nebo není. Uvážíme-l Nqustovo krtérum [66 67] potom pro eden proužek nterferogramu potřebueme mnmálně pel obrazu fáze. Z toho plne že fáze vlnoploch se nezmění mez pel o více než π. Následně můžeme volt testovací hodnotu například T =.9 π. Od prvního řádku se bude odvíet unwrappng pro sloupce steným způsobem. Neprve výpočtem dference φ = φ φ = K M 58 w w následně rozhodnutím o znaménku pro funkc ϕ u a přčtením nebo odečtením π w 9

94 Unwrappng 93 > < + < + =. pokud π pokud π pokud w w w w w c c T T T φ φ φ φ φ φ φ 59 Následuící obr. 9 zobrazue testovací data ϕ použta bla funkce peaks v prostředí MATLAB v reálné podobě a ve wrapped formě která e pro testování získána snadno ako [ ] cos sn arctan w φ φ φ =. 6 Jná možnost smulace wrapped dat e dána vztahem = π π R w φ φ φ 6 kde R{ } značí operátor zaokrouhlení k neblžšímu celému číslu. Obr. 3 ukazue data rekonstruovaná za použtí výše uvedeného ednoduchého algortmu a rozdíl rekonstruovaných dat od dat původních. Obr. 9 Zobrazení a testovacích dat funkce peaks v původní podobě a b ve wrapped formě

95 Unwrappng Obr. 3 Zobrazení a rekonstruovaných dat po unwrappngu b rozdílu rekonstruovaných dat po unwrappngu od skutečných hodnot Jak e z výše uvedeného obrázku patrné bla původní spotá fáze snadno zrekonstruována z wrapped form s přesností v řádu -5 čl s přesností odpovídaící zaokrouhlovacím chbám počítače. Než předeme k uvedení algortmů vužívaných u reálných dat která nesou bez šumu a resduí zmíníme se o unwrappngu deálního obrazu který ovšem nebude dostatečně vzorkován. Jak ž blo vícekrát zmíněno v důsledku Nqust-Shannonova krtéra nesmí mez dvěma pel být větší změna fáze než π čl Δϕ π. Dferencální přírůstek fáze získáme snadno ako φ φ = 6 kde Δ představue vzdálenost mez dvěma pel. Jestlže zaznamenáváme obraz v rozsahu mn a ma s počtem N vzorků potom snadno dostáváme Δ = ma mn /N. Dosazení do výše uvedeného vztahu vede k podmínce pro mnmální počet vzorků φ N > ma N φ ma mn π π mn. 63 Pro ukázku vlvu nedostatečného vzorkování z angl. under samplng na unwrappng uvažume fáz danou vztahem ϕ = cos na ntervalu. Užtím 63 dostáváme N > sn. 64 π 94

96 Unwrappng Jelkož mamální hodnota funkce sn e dostáváme ted podmínku pro dostatečné vzorkování N > /π Obraz bude tím pádem vhodně zaznamenán př N 7. Na obr. 3 a obr. 3 e daná stuace zobrazena. Obr. 3 a Funkce ϕ = cos modrá čárkovaná a vzorkování př N = červeně a N = 5 zeleně; b wrapped fáze a eí vzorkování Obr. 3 a Skutečná fáze modře čárkovaně a unwrappng př dostatečném vzorkování červeně; b skutečná fáze modře čárkovaně a unwrappng př nedostatečném vzorkování zeleně Jak e na první pohled patrné př nedostatečném vzorkování unwrappng selhává. Důvod e ednoduchý. Mez prvním a druhým bodem na obr. 3 b př nedostatečném vzorkování zeleně algortmus určí rozdíl hodnot větší než π což e správě a unwrappng mez těmto bod proběhne korektně ak e patrné na obr. 3 b. Ovšem u dalších bodů ž tomu tak není. Mez druhým a třetím e rozdíl větší než π čl algortmus přčetl hodnotu π kdž neměl. Následně e rozdíl menší než π ale bod leží za zlomem čl korekce měla proběhnout ale neproběhla. Výše popsaný ednoduchý algortmus unwrappngu ted př nedostatečném vzorkování selhal. 95

97 Unwrappng U reálného obrazu fáze úloha unwrappngu nebude tak snadná př dostatečném vzorkování. Obraz bude obsahovat místa pel která nebudou odpovídat skutečné hodnotě akou bchom dostal pro reálný obraz. Tato místa nazýváme resdua. Je ted nutné hodnott kvaltu obrazu a unwrappng už není tak snadným ako v deálním případe. Vtváříme poté tzv. mask nebo map kvalt které sou vstupním údaem pro dané algortm. Pro pochopení sofstkovaněších algortmů uveďme mšlenku kterou představl Itoh 98 [99]. Nechť W e tzv. wrap operátor kterým získáme wrapped fáz v hodnotách mez π a +π čl v edné dmenz pšme { φ } = πk φ = W φ + 65 w kde značí polohu v obraze a k e dskrétní funkce celých čísel N. Tato funkce může být reprezentována např. pomocí vztahu 6. Defnume dále operátor dference Δ ako { φ } = φ φ { k } = k k. 66 Použtím operátoru dference na wrap operátor dostáváme s 65 a 66 výraz { W{ } = { φ } + π { k } Opětovné použtí wrap operátoru na rovnc 67 vede k φ. 67 { { W{ } = { φ } + π[ { k } k ] W φ + 68 kde k a k značí funkce celých čísel příslušných k prvnímu a druhému wrap operátoru. Předpokládáme-l dále že bude platt tzv. podmínka hladkost { } π π < Δ φ 69 čl že absolutní hodnota rozdílu dvou sousedních bodů fáze nebude větší než π potom dík defnc wrap operátoru pro který také platí rozsah oboru hodnot od π do +π vplývá a ted [ { } + k ] π k = 7 { φ } = W{ { W{ φ } = W{ { φ }. 7 w Je patrné že fáz ež splňue podmínku hladkost 69 můžeme rekonstruovat pomocí vztahu 96

98 Unwrappng { { φ } + W w = φ = φ. 7 Ve dvou dmenzích lze postupovat následovně. Neprve se například vhodnotí první řádek = { { } M = φ + W w = φ φ 73 kde W značí wrap operátor a Δ operátor dference ve směru řádku. Sloupce poté můžou být unwrappován od tohoto úvodního řádku { { } N + W w = φ = φ φ 74 kde Δ e operátor dference ve směru sloupce. Prncpelní schéma ukazue obr. 33 N M Obr. 33 Prncpelní schéma ednoduchého D unwrappngu Itohovým algortmem Na obr. 34 a obr. 35 e tento Itohův algortmus demonstrován pro ednodmenzonální případ. Itohův algortmus e specálním případem N-dmenzonálního vztahu = N φ r φ d r + φ r 75 C který říká že unwrappng fáze po křvce C z bodu r do bodu r lze provést ako ntegrac fázového gradentu po křvce C pokud známe hodnotu gradentu podél této křvk a hodnotu fáze v bodě r. 97

99 Unwrappng Obr. 34 a Wrap operátor použtý na funkc ϕ = cos b operátor dference použtý na výsledek z část a Obr. 35 Zobrazení a rekonstruované funkce pomocí Itohova algortmu a b rozdíl od původní hodnot Vztah 75 e základem pro detekování resduí ve vhodnocovaném obrazu fáze. Pokud b bla fáze nterferogram deální bude platt neen vztah 75 ale také N φ d r = 76 C který říká že ntegrace fázového gradentu po lbovolné uzavřené křvce C e nulová není-l v cestě ntegrace dskontnuta resduum. Pokud tomu tak není může být resduum v daném místě přítomno. V případě že fázové gradent φ které můžeme získat z měření sou zatížen šumem může m algortmus řešt obecný problém kd dochází k mnmalzac čtverce chb ε [68] 98

100 φ g Unwrappng ε = P ds 77 S ve smslu nemenších čtverců. Ve vztahu 77 představue P váhovou funkc ds elementární plochu a g gradent ovlvněný šumem n e vektor šumu který ovlvňue skutečný fázový gradent m g = φ + n 78 φ. Dle detekovaných poloh resduí sou ednotlvým pelům přřazován váh v rozmezí ntervalu hodnot a. Použeme-l pouze hodnot vah nebo potom používáme pro unwrappng tzv. mask. Jestlže sou vbírán hodnot z celého ntervalu používáme tzv. map kvalt QM z angl. Qualt Maps. Mask QM maí stený rozměr ako analzovaný obraz fáze. Jednotlvé algortm e používaí zároveň nebo pouze některou z těchto varant. Před výpočtem masek nebo map kvalt může výsledek výrazně zlepšt fltrování wrapped obrazů fáze. Lze tak potlačt šum a další nepříznvé ev. Kdbchom fltroval wrapped obraz celý došlo b k rozmazání poloh π dskontnut. Ovšem fltrování čtatele a menovatele argumentu funkce arctan př výpočtu fáze potlačíme šum a poloha π dskontnut se nezmění. Smbolck ted můžeme s užtím vztahu odvozeného v dřívěší část psát { Im[ FT { C f + f ]} } π { Re[ FT { C f + f }]} FILTR φ r = arctan rf 79 FILTR kde FILTR značí fltrační algortmus. Ghgla a Prtt dělí algortm unwrappngu obecně do dvou skupn [68]: Algortm sleduící předem určenou cestu PFA z angl. Path-Followng Algorthms Metod mnmalzuící normu MNM z angl. Mnmum-Norm Methods. PFA defnuí cestu unwrappngu pomocí QM nebo mask pozce rezduí sou pak defnován různým způsob v závslost na použtém algortmu. MNM mnmalzuí rozdíl mez vhodnocovanou parcální dervací a parcální dervací řešení ve smslu L P -norm J M N P M N P + + = = P = ε = φ φ + φ φ 8 = = kde ϕ e hledaná hodnota fáze v bodě o souřadncích φ + φ e dference dskrétní dervace hledané skutečné fáze ve směru os φ + φ e dference ve směru os 99

101 Unwrappng = W φ } W{ φ } e dference wrap fáze ve směru os = W φ } W{ φ } ve směru + + { { os W e wrap operátor M a N sou rozměr obrazu fáze ve směru a. Narozdíl od PFA defnuí MNM globální řešení na celém obrazu fáze pro redukování negatvních vlvů. Možnou obtíž př vhodnocení představue ale záměna skutečných lokálních deformací za rezdua a přřazení nevhodných vah což může ovlvnt výslednou rekonstruovanou fáz. V odborné lteratuře estue velké množství algortmů pro unwrappng. Jako příklad volme pro skupnu PFA: Goldstenův algortmus GA Qualt-Guded Path Followng algortmus QGPFA Mask-Cut algortmus MCA Flnnův algortmus FA. Do skupn MNM můžeme řadt např.: algortm mnmalzuící sumu čtverců bez zavádění vah ULS z angl. Unweghted Least Squares vážený mult-grd WMG z angl. Weghted Mult-Grd metodu sdružených gradentů s předpodmíněním PCG z angl. Precondtoned Conugate Gradent metodu mnma L P -norm. Z algortmů které kombnuí výše menované metod ale navíc používaí další nástroe menume: PUMA z angl. Phase Unwrappng MA-flow/mn-cut unwrappng na základě optmalzace grafů SRNCP z angl. Sortng b Relablt followng a Non-Contnuous Path Iso-phase unwrappng na základě dekompozce obrazu unwrappng s vužtím IIR z angl. Infnte Impulse Response.

102 Unwrappng 6. Resdua map kvalt a mask Než přstoupíme k samotnému popsu algortmů nastíníme teor resduí pro D unwrappng a dále bude uveden přehled základních map kvalt a masek používaných v algortmech. Podrobný pops a analýza překračue rámec této práce čtenáře ted odkážeme na příslušnou lteraturu. Představme základní mšlenk [68]: Křvkový ntegrál I = F rd r = + 8 C f d g d C e nezávslý na cestě ntegrace C pokud e splněna některá z následuících podmínek:. F rdr = f d + g d e totální dferencál. F r = φ r čl F e gradent funkce ϕ 3. F rdr = ntegrace po lbovolné uzavřené křvce e nulová 4. F r rotace F e nulová pokud sou s ednotlvé parcální dervace rovn. Tzv. teorém resduí pro dvodmenzonální unwrappng zní: φ r dr = πk 8 kde ntegrace probíhá kolem resdua a k e celé číslo. Jným slov uzavřený křvkový ntegrál kolem resdua e roven k-násobku π. Uvedené mšlenk menovtě třetí podmínka t. ntegrace po uzavřené křvce e rovna nule sou základem ke všem PFA. Pokud e součet dferencí wrapované fáze po lbovolné uzavřené křvce v rámc měřených dat nulový sou data tzv. konzstentní a lze použít lbovolnou ntegrační cestu ntegrál nezávsí na zvolené cestě. Jsou-l v obraze přítomna resdua e unwrappng závslý na cestě ntegrace. Detekce resduí pro D unwrappng může probíhat s užtím výše uvedeného teorému 8. Vberou se nemenší možné uzavřené cest křvk t. sousední pel a provede se ntegrace dferencí wrapované fáze po této elementární cestě kolem vbraných 4 pelů prot směru hodnových Toto platí pouze pro reálná data reálný obraz fáze. Pokud b bla data komplení nemusí být k ednoznačně celé číslo. Pro podrobné vsvětlení odkážeme čtenáře např. na [68].

103 Unwrappng ručček. Je-l výsledek nulový sou data konzstentní. Bude-l ale roven ±π e detekováno tzv. kladné resp. záporné resduum. Hovoříme poté o tzv. polartě resdua. Na obr. 36 a obr. 37 e zobrazen vlv resduí na ednoduchý algortmus popsaný v úvodní částí této kaptol. Je na první pohled patrné že př nepřítomnost resduí není problém unwrappng provést kdežto sou-l nepříznvé ev obsažen v obraze rekonstruované fáze algortmus selhává a ve směru vhodnocení dochází k závažným chbám. Za přítomnost resduí e ted třeba použít některý ze sofstkovaněších algortmů popsaných v následuící kaptole. Obr. 36 Zobrazení a smulované wrapped funkce peaks bez resduí a šumu a b eí rekonstrukce ednoduchým algortmem popsaným v úvodní část unwrappngu Obr. 37 Zobrazení a wrapped funkce peaks s náhodně generovaným resdu a b eí rekonstrukce ednoduchým algortmem popsaným v úvodní část kaptol

104 Unwrappng Map kvalt QM z angl. Qualt Maps sou nezbtné pro provádění sofstkovaněších algortmů unwrappngu které budou popsán v následuících částech. Jedná se o datová pole stených rozměrů ako vhodnocovaný obraz kde ednotlvé prvk obsahuí hodnocení kvalt váhu ednotlvých pelů. Vtváří se pro několk PFA ale také pro některé algortm založené na určení vah L P -norm. Ghgla a Prtt ve své knze [68] publkuí 4 základní druh map a to: korelační map pseudokorelační map map varance fázové dervace map mamálního fázového gradentu. První z nch korelační mapa kvalt e získávána z IFSAR dat z angl. Interferometrc Snthetc Aperture Radar. Pro tuto prác nesou takováto data k dspozc tudíž se nemá smsl mapam zabývat. Algortm používané pro unwrappng generuí map kvalt edním ze způsobů popsaných dále. Pseudokorelační map kvalt mohou být generován z lbovolných fázových dat čl pro naší úlohu sou použtelné. V pra ovšem nesou dobrým hodnocením kvalt [68]. Například pokud obraz obsahue velké změn v hodnotách fáze které ovšem nesou resdu nebo dskontnutam pseudokorelace označí tato místa malou vahou což ale vede k nestotě ve kvaltě vhodnocení. Proto blo defnováno nové krtérum hodnocení kvalt a to map varance fázové dervace. Varance fázové dervace z mn e defnována ako [68] z mn k k + m n m n = = = 83 k kde každá varance e počítána pro okno velkost k k centrované na pozc mn; parcální dervace obrazu ve směrech a resp. dference wrapped fáze; sou sou m n m n průměrné hodnot těchto dervací pro ednotlvá okna. Př generování map kvalt sou tto map považován za nespolehlvěší [68]. Map mamálního fázového gradentu maí podobnou nevýhodu ako pseudokorelační map ted pro velké změn v hodnotách fáze kd bude gradent velký přřadí dané pozc menší váhu 3

105 Unwrappng kdž se může ednat o reálný stav fáze nkol o resduum nebo dskontnutu. Mamální fázový gradent e defnovaný ako ma ma 84 kde sou obdobně ako v předchozím případě dskrétní parcální dervace obrazu v ednotlvých směrech a fázové dference. Mama sou vhodnocována v oblast kolem daného pelu. k k Mask sou specálním případem map kvalt a to v tom smslu že obsahuí pouze hodnot a. Nulou ohodnocené část obrazu představuí místa s nízkou vahou a snažíme se ech vlv na výsledek co nevíce potlačt případně úplně gnorovat. Použtí masek se nachází u některých algortmů mnmalzuících L P -normu ale v PFA např. Flnnův algortmus kde na ně způsob unwrappngu kladou specální požadavk. Tvorbu masek můžeme rozdělt do dvou skupn: eplctní tvorba užvatelem generace mask z map kvalt. První případ nastává například v stuac kd e př pořzování obrazu nterferogramu část ploch zacloněna puplou např. v případě kontrol optckých komponent se tak stává velm často pupl mívaí kruhový příp. elptcký tvar. Je-l tato poloha přesně známa resp. ví-l užvatel př vhodnocování že daná data v určtých místech nemá smsl uvažovat lze velm snadno v softwarech defnovat ploch které maí být maskován. Těm sou poté přřazen váh a ostatním váh. Generac masek z map kvalt lze provést volbou hodnot tolerance T hrančních hodnot z angl. threshold value kd př překročení této meze e přřazena ploše váha a naopak. Volba ovšem musí být provedena obezřetně ab nedošlo k odmaskování nadbtečného počtu pelů nebo naopak nebla zbtečně do výpočtu zahrnována resdua a dskontnut. Ghgla a Prtt [68] představl algortmus založený na tzv. re-mapování map kvalt takovým způsobem kd hstogram dané map získá tzv. U-tvar. Automatck e pak volena hodnota poblíž mnma hstogramu re-mapované map kvalt. 4

106 Unwrappng 6.3 Algortm sleduící předem určenou cestu PFA V této část budou podrobně představen ednotlvé použté PFA. Pops do mamální hloubk b ovšem překročl rámec práce tudíž odkážeme na dostupnou odbornou lteraturu Goldstenův algortmus GA Goldstenův algortmus GA generue tzv. větvené řez BC z angl. branch cuts které spouí ednotlvá resdua a vtváří tak oblast ve kterých následně probíhá unwrappng. Publkoval ho autoř Goldsten Zebker a Werner [] a e klasckým představtelem z rodn PFA. Je velm rchlý a obecně dosahue poměrně dobrých výsledků [68]. Algortmus e dělen do tří základních kroků: dentfkace resduí generace hranc BC ntegrace okolo hranc. Algortmus nade první resduum a označí ho ako aktvní a vbalancované. Umístí na toto resduum vhledávací okno o rozměru 3 3 pel a hledá zda estue v tomto okně další resduum. Není-l přítomno zvětší se oblast vhledávání na 5 5 pelů hledá se znovu a případně opakue zvětšení okna dokud algortmus nenade další resduum nebo dokud nenarazí na okra oblast. Pokud algortmus nade další resduum a toto resduum není součástí né hrance t. není označeno ako vbalancované přčte eho polartu hodnotu + nebo k polartě aktvního resdua pokud e vbalancované přčte se nula nově nalezené rezduum se označí za vbalancované a obě rezdua se propoí pomocí hrance. Hrance se dále rozrůstá tím způsobem že e vhledávací okno posunuto do nové poloh t. vcentrue se na poloze nově nalezeného resdua a toto resduum se označí ako aktvní a opět se hledá další resduum. Pokud e nalezeno a není dosud vbalancované přčte se eho polarta k celkovému nábo součtu polart dané cest a obdobným způsobem se pokračue dále. Hrance branch cut e dokončena pokud e výsledný nábo cest rovný nule nebo pokud se algortmus dostane k okra oblast. V tom případě e poslední resduum propoeno s tímto okraem. Po dokončení se přede k dalšímu nevbalancovanému resduu a začne se tvořt další hrance dokud algortmus neprode všechn dosud nevbalancovaná resdua. 5

107 Unwrappng Ghgla a Prtt publkuí také vlepšení Goldstenova algortmu tvorbou tzv. dpole cuts [68] aplkací ednoho z Huntleho algortmů kd sou neprve propoena resdua vzáemně opačné polart která leží velm blízko vedle sebe. Na obr. 38 e schematck znázorněno vhodné nevhodné propoení dpólů. Nemá-l některé resduum svů protěšek e propoeno nekratší cestou s hrancí oblast. Následně e aplkován klascký Goldstenův algortmus popsaný výše. a b c Obr. 38 a Rozložení resduí v obraze černé záporná polarta bílé kladná polarta b nevhodné spoení dpólů c vhodné propoení dpólů [68] 6.3. Qualt-Guded Path Followng algortmus QGPFA Qualt-guded path followng algortmus QGPFA se dívá na problém unwrappngu z ného pohledu. Základní mšlenkou na které e tato metoda postavena e zda-l estue něaká nformace ve fázových datech mmo poloh resduí která b mohla být použta k vedení ntegrační cest. Jným slov cílem e získat takové nformace o kvaltě ednotlvých obrazových bodů které posléze pomohou defnovat nekvaltněší cestu po které bude probíhat ntegrace unwrappng. Základem e defnce map kvalt a začátek výpočtu u pelu ehož váha e nevětší. Resdua ted nesou konkrétně dentfkována ale vužívá se toho že resdua se obvkle nacházeí v oblastech méně kvaltních dat. Map kvalt mohou být různé v závslost na oblast použtí algortmu. QGPFA e velm používaný zeména pro svoí robustnost a rchlost provedení unwrappngu. Prvním kdo pravděpodobně použl kvaltatvní hodnocení obrazu bl Bone []. Fázová data vhodnocoval výpočtem druhé dervace resp. druhé dference uvážíme-l dskrétní povahu dgtálních dat a volbou toleranční hodnot ež utvářela hranc pro defnování vah vznkaící mask. Tímto postupem bl unwrappován pouze t pel echž hodnota druhé dference 6

108 Unwrappng nepřekročla hodnotu tolerance. Následovala celá řada prací různých autorů které rozšřoval mšlenku maskování a hodnocení pomocí kvaltatvních vlastností obrazu fáze. Ghgla a Prtt [68] prezentuí algortmus který vužívá různé druh map kvalt. Zmínka o nch bla v předchozí část čl předpokládeme že taková mapa buď estue nebo lze generovat ze zaznamenaného obrazu fáze vz např. map varance fázové dervace. Prncp algortmu e takový že vhodným postupem sou nedříve vhodnocován oblast s nevětší vahou danou mapou kvalt až ako poslední přdou na řadu neméně kvaltní část obrazu. Kvalta vhodnocení tak ale závsí na vhodném výběru a generování kvaltatvní map Mask-Cut algortmus MCA Mask-Cut algortmus MCA e vhodnou kombnací dvou předchozích algortmů map kvalt sou používán pro nalezení poloh hranc unwrappngu větvených řezů v obrazu fáze. Jako první přšl s mšlenkou defnování řezů pomocí kvaltatvních údaů Prat Gan a Leuratt [] ale ech algortmus eště nedokázal nalézt polohu pro neméně kvaltní pel. Dle [68] bl prvním kdo publkoval detalní pops takového algortmu defnování řezů Flnn. Prncp spočívá v nalezení resdua a poté nechání na algortmu samém ab v souladu s kvaltatvním úda umístl hrance pro unwrappng. Struktura algortmu e obdobná QGPFA ovšem unwrappng začíná z opačné stran respektve v regonech s nemenší vahou. Maska poté narůstá rozšřue se dokud není polarta resduí balancována nulová nebo dokud maska nedosáhne okrae obrazu. Ve zkratce můžeme krok algortmu zapsat ako: dentfkace resduí generace řezů pomocí map kvalt MC z angl. mask cuts tenčení řezů ntegrace okolo řezů. Třetí bod tenčení řezů e nutné provádět elkož př rozšřování mask dochází k zeslování rozšřování hranc. Přchází ted na řadu morfologcká operace [47 48] která danou úlohu provede. MCA dává obdobné výsledk ako QGPFA [68] pokud máme k dspozc dostatečné kvaltatvní údae map kvalt. Jestlže nesou nebo e z něakého důvodu nesme schopn generovat potom Goldstenův algortmus co se týče přesnost vhodnocení dosahue výsledků lepších. 7

109 Unwrappng Flnnův algortmus FA Flnnův algortmus FA vhodným způsobem vužívá mšlenku která e patrná z obr. 39. Hrance mez nesvětleším a netmavším míst místa nespotost nám defnuí oblast ke kterým musíme přčíst nebo odečíst celočíselný násobek π abchom provedl unwrappng. Z ného pohledu můžeme ted říc že pro unwrappng musíme mnmalzovat velkost nespotost mez ednotlvým regon. Obr. 39 Zobrazení a smulované fáze b fáze ve wrapped formě a c poloh nespotostí v obraze detekované hran Rozdělení wrap fáze do regonů a ech unwrappování se ovšem komplkue u reálných dat. Přítomnost šumu nedovolue ednoznačně defnovat hrance. Také resdua způsobí přerušení lní nespotostí. Oba dva tto aspekt e nutné řešt na první pohled b se mohlo zdát že e to problém až neřeštelný. Flnn ovšem publkoval prác [3] kde předvedl algortmus mnmalzuící váženou sumu dskontnut. Iteratvně zde hledá mnmum L -norm. Na rozdíl od výše představené mšlenk se ale neomezue na defnování hranc oblastí pouze v pozc zlomů. Volí však tto hrance oblastí a přčítá regonům vhodný násobek π pokud toto přčtení nezpůsobí vznk více dskontnut než ch blo předtím. Proces e teratvně opakován a redukue počet zlomů v každém kroku. Pokud není nalezeno žádné další možné dělení e algortmus ukončen a fáze považována za zbavenou nespotostí. Takto vznká rekonstruovaný obraz ve smslu mnmálního součtu dskontnut ným slov zbývaící dskontnut sou mnmální v souladu s příslušnou mírou normou. 8

110 Unwrappng 6.4 Metod mnmalzuící normu MNM MNM se dívaí na problematku unwrappngu z ného úhlu pohledu. Zatímco PFA vtvářel hrance které bránl cestám ntegrace MNM zavádí matematck formální hledsko. Problém odstraňování nespotostí fáze e řešen ve smslu mnmalzace L P -norm J M N P M N P + + = = P = ε = φ φ + φ φ 85 = = kde ϕ e hledaná hodnota fáze v bodě o souřadncích φ + φ e dference dskrétní dervace hledané skutečné fáze ve směru os φ + φ e dference ve směru os = W φ } W{ φ } e dference wrap fáze ve směru os = W φ } W{ φ } ve směru + + { { os W e wrap operátor M a N sou rozměr obrazu fáze ve směru a. Řešení e tak hledáno v globálním měřítku. Lze také defnovat váh potom bchom mluvl o mnmalzac vážené L P - norm. Na mnmalzační problém 85 lze nahlížet dvěma způsob a to: spotým varačním přístupem nebo dskrétním varačním přístupem. Pro první případ spotý varační přístup můžeme rovnc 85 přepsat ve smslu [68] J = f φ φ dd 86 kde funkce f e defnována ako f P P = φ ψ + φ ψ 87 kde ϕ ϕ sou dference dskrétní dervace hledané skutečné fáze ve směru a ψ ψ sou m odpovídaící dference wrapped fáze ve směrech a. Fázové dference sou následně nahrazen spotým parcálním dervacem. Poté e použt varační počet pro nalezení takových podmínek př kterých e J konstantní. Funkce ϕ která mnmalzue řešení 86 musí splňovat Euler- Lagrangeovu rovnc [68] Výpočtem parcálních dervací funkce f dostáváme f f + =. 88 φ φ 9

111 Unwrappng f = φ f = φ p p φ ψ φ ψ P P φ ψ φ ψ 89 protože platí / z z P = / z[z P/ ] = pz z P-. Abchom dostal řešení pro ϕ ve smsl L P - norm musíme řešt parcální dferencální rovnc která vznkne po dosazení 89 do 88 [ ] φ = 9 [ U ψ ] + V φ ψ kde U = ϕ ψ P- a V = ϕ ψ P- mohou být uvažován ako zobecněné váh fázových dervací závslé na vstupních datech nesou to ted váh nezávsle volené. Pro případ P = případ metod nemenších čtverců mnmalzue se J = ε sou váh V a U ednotkové potom dostáváme tzv. Possonovu dferencální rovnc [68] φ + φ = ψ + ψ 9 nebo kde φ = ρ 9 e Laplaceův operátor a ρ = ψ + ψ ψ e ve spotém případě druhá dervace wrapped fáze v dskrétním případě druhá dference wrapped fáze ve směru ϕ e ve spotém případě druhá dervace hledané skutečné fáze v dskrétním případě druhá dference hledané skutečné fáze ve směru. Případ kd váh sou ednotkové ted případ řešení ve smslu nemenších čtverců nás vede k řešení Possonov rovnce 9. Pokud b váh ednotkové nebl musíme řešt nelneární parcální dferencální rovnc 9. Lze ukázat [68] že v případě dskrétního varačního přístupu musíme obecně řešt problém φ φ U + φ φ V + + φ φ U φ φ V = 93 kde

112 Unwrappng U = φ + φ P = K M = K N U = V = φ + φ P nak = K M = K N 94 V = nak. Pro P = poté dostáváme dskrétní formu Possonov rovnce kde φ φ + φ + φ φ φ = ρ ρ =. 96 Algortm unwrappngu řeší právě výše uvedené dferencální rovnce a problém. Pro podrobněší pops konkrétních postupů odkážeme na příslušnou lteraturu Algortm nemenších čtverců bez vah ULS Vužtí prncpu metod nemenších čtverců e výhodné zeména proto že vede na soustavu lneárních rovnc pro které e vvnuto několk vhodných metod řešení. Nevýhodou však e že může doít k vhlazování rekonstruovaných ploch čl můžeme získat nevhodné nedostatečně přesné výsledk. Ovšem v aplkacích ako např. měření topografe optckých ploch kde chceme potlačt vlv šumu a resduí na výsledek mohou naít tto algortm uplatnění. V [68] může čtenář naít několk způsobů řešení ULS zde budou představen v krátkost dva algortm které sou analzován a použt v další část práce. Jedná se o: algortmus založený na rchlé Fourerově transformac FFT z angl. Fast Fourer Transform mult-grd algortmus MG. První z algortmů vužívá toho že Possonova rovnce 9 má až na adtvní konstantu ednoznačné řešení a nepotřebue hranční podmínk pokud e funkce ϕ perodcká [68]. K dosažení perodct wrapped obrazu fáze e použto zrcadlení podle ednotlvých okraů. Obr. 4 schematck způsob zrcadlení naznačue.

113 Unwrappng Obr. 4 J. B. J. Fourer ako funkce f defnovaná na 5 a 6 zrcadlená podle os = 5 a = 6 Takto vznklou perodckou wrap funkc značme ~ φ. Fázové dference získáme ako ~ψ a í odpovídaící unwrappovanou funkc { ~ ~ ψ ψ } = W{ ~ ψ ~ ψ } = W kde W e wrap operátor. Poté dskrétní Possonova rovnce 95 přede na tvar ~ ~ ~ ~ ~ ~ φ φ + φ ~ + φ + φ φ = ρ Jeí pravá strana bude dána vztahem 96 kde za fázové dference dosazueme z 97. Aplkací dvodmenzonální Fourerov transformace na 98 dostaneme [68] Ρm n Φ = 99 m n cos πm / M + cos πn / N 4 kde M a N značí rozměr wrapped perodckého obrazu m a n pozc v tomto obraze Φ mn a Ρ mn ~ ~ dvodmenzonální Fourerovu transformac φ a ~ρ. Řešení φ e ted získáváno nverzní Fourerovou transformací rovnce 99 neperodcký unwrapovaný obraz fáze uvážením en těch bodů které odpovídaí pozc v neperodckém obraze. φ následně

114 Unwrappng 3 Druhý z algortmů tzv. mult-grd MG transformue problém do mřížek sítí různých rozlšení od nehrubších k neemněším a hledá pak nelepší řešení vhovuící podmínce nemenších čtverců. Obecně MG metod sou technkam pro poměrně rchlé řešení parcálních dferencálních rovnc PDR na velkých sítích. Jsou založen na mšlence aplkace Gauss-Sedelov terační metod [4] na hrubší menší mřížk. Oprot způsobům řešení PDR na základě dskrétní Fourerov transformace kterým se vrovnávaí co se týče rchlost ovšem umožňuí řešt mnohem šrší pole problémů ako nelneární parcální dferencální rovnce Vážený mult-grd WMG Metoda váženého mult-grdu WMG z angl. Weghted Mult-Grd e rozvnutá metoda MG která používá map kvalt k určení vah kde nehorší pel obrazu fáze sou vážen hodnotou naopak lepší sou vážen všším hodnotam. Jedná se ted také o metodu nemenších čtverců kde ovšem zavedení vah umožňue potlačt vlv resduí a dalších nepříznvých evů. Hodnota kterou algortmus mnmalzue e s přhlédnutím k 93 a 94 [68] + = + + V U φ φ φ φ ε 3 a váh gradentu U a V sou defnován ako mn mn w w V w w U + + = = 3 kde w e hodnota map kvalt na pozc w. Vlv resduí tím pádem může být potlačen úplně zavedením váh pokud e ovšem ech poloha detekována správně. Výpočet fáze ve smslu nemenších čtverců e následně defnován rovncí [68] c V V U U = φ φ φ φ φ φ φ φ 3 kde V V U U c + =. 33 Metoda nemenších čtverců s váham e řešena teratvně MG vužívá Gauss-Sedelovu metodu. z angl. grd mřížka mříž

115 Unwrappng Metoda sdružených gradentů s předpodmíněním PCG Metod sdružených gradentů sou numercké metod teratvně řešící soustav lneárních rovnc [5] ke kterým patří také dskretzovaná Possonova rovnce 95. Tento způsob vužívá optmalzační mnmalzační technk a dosahue mnohem rchleší konvergence než např. metod nevětšího spádu z angl. steepest descent [68]. Pro určení odhadu vstupních parametrů předpodmínění sdruženého gradentu e použto nevážené metod nemenších čtverců. Další terace optmalzačního výpočtu sdružených gradentů už zaváděí váh které sou určen pomocí map kvalt generované podle metod pseudokorelace varance fázových dervací nebo mamálního fázového gradentu. Důležtým krokem př použtí tohoto algortmu ale u algortmů MG a všech ostatních vužívaících metodu nemenších čtverců e po unwrappování vtvořt takové řešení které e tzv. kongruentní odpovídá řešení před unwrappngem. Jnak řečeno chceme získat takové řešení na které kdž použeme wrap operátor dostaneme stené odpovídaící hodnot aké bl vstupem do unwrappng algortmu. Neednodušší řešení může být následuící. Měme unwrappovanou plochu φ a í odpovídaící wrap plochu ψ. Potom operac kongruence defnume ako [68] ϕ = ϕ + W { ψ ϕ } 34 kde W e wrap operátor. Tento postup získání kongruentního řešení e snadný avšak př vhodnocování zašuměných dat nebo obrazů obsahuících resdua může selhávat. Ghgla a Prtt představuí varant ak daný problém řešt [68] Metoda mnma L P -norm Mnmalzace L P -norm dferencí gradentu fáze před a po odstranění nespotostí unwrappngu vede na řešení nelneární parcální dferencální rovnce vz 9 a 93 elkož váh U a V sou závslé na vstupních datech a na řešení samotném. Obecně e možné tto rovnce řešt teratvně ak blo nastíněno výše a ak e podrobně popsáno v [68]. Z rovnc 9 a 93 lze určt vlastnost algortmů pro volb ednotlvých P. Pro velké hodnot P >> budou gradent výsledku lšící se od gradentů vstupních dat hodnocen malým váham. Tudíž dode k velkému vhlazování ploch a resdua značně ovlvní globální řešení což může být v některých aplkacích nežádoucí. Výsledné gradent tudíž nebudou shodné se vstupním na žádných místech rekonstruovaných dat. 4

116 Unwrappng Naopak pro P < budou váh velké tam kde se gradent rekonstruované fáze blíží vstupním. Pro P = dostáváme s 85 řešení kde J odpovídá sumě počtu vzorků ve kterých gradent řešení neodpovídaí přesně vstupním. Jným slov použtí L -norm vede k výsledným gradentům totožným se vstupním ve všech místech kde to e možné vma resduí a dskontnut. Porovnáme-l metod mnmalzuící L -normu s Goldstenovým algortmem představeným výše vdíme že oba dva zachovávaí gradent fáze před a po odstranění nespotostí. GA ovšem nezachová gradent v místech přechodu řezů branch cuts kdežto globální poetí optmalzačních algortmů dá shodné gradent v těchto místech. Zdá se ted že hodnota P určue míru vhlazení výsledku. Velké vhlazení ale nepřnáší výhodu v pra chceme znát skutečné gradent čehož dosáhneme volbou P <. Jak ukazue [68] e vhodné volt P =. Jednak z vhodných vlastností zachování gradentu a také protože P = nepřnáší žádnou další výhodu. 5

117 Unwrappng 6.5 Další kombnované algortm V pra e vvíeno a používáno velké množství dalších algortmů echž prncp sou založen např. na teor grafů dekompozc obrazu a dalších možnostech které nelépe vhovuí aplkac pro níž sou algortm sestavován. Podrobný rozbor a pops všech ednotlvých metod e ted v podstatě nemožný z hledska rozsahu této práce. Čtenáře tak odkážeme na dostupnou odbornou lteraturu. Základ kombnovaných algortmů ale zpravdla tvoří prncp popsané v předcházeících částech. V prác budou používán tto kombnované algortm: PUMA z angl. Phase Unwrappng MA-flow/mn-cut algortmus založený na optmalzac grafů pomocí ma-flow/mn-cut kalkulací [95]. Funkce které maí být mnmalzován mertní funkce sou Markovova náhodná pole prvního stupně. Podrobný pops těchto polí lze nalézt v [6]. PUMA e schopen dík svým vlastnostem eaktně mnmalzovat L P -normu pro p. SRNCP z angl. Sortng b Relablt followng a Non-Contnuous Path algortmus z rodn QGPFA který unwrapue pel v pořadí závslém na ech kvaltě [96]. Cesta po které probíhá ntegrace e zde nespotá. Iso-phase algortmus algortmus založený na dekompozc obrazu [97] provádí unwrappng po oblastech které maí podobnou hodnotu fáze po homogenních částech. Algortmus tak velm rchle a kvaltně reague na šum a dskontnut ve vhodnocovaném obraze. Unwrappng s vužtím IIR algortmus založený na vužtí IIR z angl. Infnte Impulse Response prochází vhodnocovanou oblast ve směru fázových solní [98]. S použtím lokálních oken pak vlepšue ctlvost k šumu. 6

118 7 Analýza algortmů unwrappngu V předchozí část blo představeno několk algortmů pro odstranění nespotostí př rekonstrukc fázového rozdílu. Tato kaptola má za cíl provést srovnání ednotlvých metod a nabídnout tak přehled vlastností pro deální volbu v ednotlvých aplkacích. Neprve se budeme zabývat analýzou ctlvost ednotlvých algortmů na náhodný šum přítomný v nespotém obraze fázového rozdílu nterferuících vln získaného př vhodnocení pomocí FTM. Následně se zaměříme na chování algortmů unwrappngu u takových dat ež obsahuí resdua. Pro některé praktcké aplkace e důležté takovouto stuac prověřt. 7. Zdroe použtých algortmů Pro analýzu chování algortmů unwrappngu které publkoval Ghgla a Prtt [68] bl použt zdroové kód napsané v azce C dostupné onlne na ftp serveru vdavatelství Wle ftp://ftp.wle.com/publc/sc_tech_med v adresář phase_unwrappng. Dále bl získán kód pro algortmus PUMA dostupné na kód algortmů SRNCP a Iso-phase získané onlne na a pro algortmus vužívaící sstému IIR zdroové kód dostupné na Z azka C nebo C++ bl výše uvedené kód upraven pro použtí v prostředí MATLAB pomocí MEX funkcí [7]. Vužtím MEX funkcí lze elegantním způsobem mplementovat kód napsané v azce C nebo C++ do prostředí MATLAB. Pro úspěšné použtí tohoto postupu e předpokládána alespoň základní znalost azka C/C++. Pro důkladněší studum odkážeme čtenáře na dostupné zdroe např. [7 8]. 7

119 Analýza algortmů unwrappngu 7. Vlv náhodného šumu na algortm unwrappngu Pro analýzu vlvu náhodného šumu na algortm unwrappngu uvažume vztah pro wrapped fázový rozdíl Δϕ w r dvou nterferuících vln { φ r } ν φ r = W + r 35 w kde W e wrapped operátor a νr e adtvní náhodný šum pro něž předpokládeme normální rozdělení o střední hodnotě μ a směrodatné odchlce σ a r = určue polohu v obraze. Pro hodnocení reakcí algortmů na náhodný šum zaveďme dvě krtéra a to: míru šumu v rekonstruovaném obraze defnovanou vztahem N = M φ φ u = M 36 kde M e počet obrazových bodů nterferogramu Δϕ e hodnota skutečného fázového rozdílu nterferuících vln se zavedeným šumem νr v -tém bodě a Δϕ u e hodnota fázového rozdílu po provedeném unwrappngu a dále dobu t provádění unwrappngu. Multplkací výše uvedených krtérí získáme testovací hodnotu pro ednotlvé algortm T = Nt. 37 Pomocí představených krtérí a testovací hodnot můžeme dále vvozovat závěr o ednotlvých metodách odstranění nespotostí v rekonstruovaném obraze. Na obr. 4 e zobrazena testovací funkce se zavedeným náhodným šumem pro který uvažueme normální rozdělení se střední hodnotou μ = a směrodatnou odchlkou σ = π/4 a dále wrap podoba této funkce a rekonstrukce pomocí ednoduchého algortmu který můžeme popsat v následuících bodech: čtvrcení obrazu tvorba korekční funkce Δϕ c r pro každou čtvrtnu způsobem popsaným v úvodní část předchozí kaptol výchozí bod odpovídá středu původního obrazu přčtení korekční funkce k původním hodnotám obrazu 8

120 Analýza algortmů unwrappngu seští obrazu s odstraněným nespotostm pomocí medánu rozdílu vzáemně sousedících řad pelů ednotlvých čtvrtn. Obr. 4 a Testovaná funkce b eí wrap podoba a c rekonstrukce pomocí ednoduchého algortmu Jak e patrné výše popsaný algortmus s s takovýmto případem neporadl. Pro data obsahuící šum e ted nutné volt sofstkovaněší metod. Algortm získané z výše uvedených zdroů bl upraven pro použtí v prostředí MATLAB. Po této modfkac e možné zadávat u ednotlvých metod různé voltelné parametr. Výsledk rekonstrukce nespotého obrazu závsí na ednotlvých parametrech a proto bla provedena analýza ech vlvu na míru šumu defnovanou vztahem 36. Tab. představue souhrn voltelných parametrů ednotlvých algortmů. Podrobné vsvětlení ednotlvých parametrů může čtenář nalézt na výše uvedených adresách v část 7.. Tab. Algortmus Voltelné parametr algortmů unwrappngu Parametr Pops Goldstenův algortmus GA C D Mamální povolená délka řezu cut-length Elmnace dpól resduí před unwrappngem pro ano pro ne Qualt-Guded Path Followng algortmus QGPFA Mask-Cut algortmus MCA MK W Tp generované map kvalt pro mnmální gradent pro mnmální varance 3 pro mamální pseudokorelace Velkost průměruícího okna použtého na mapu kvalt 9

121 Analýza algortmů unwrappngu Flnnův algortmus FA MK W TH F Tp generované map kvalt pro mnmální gradent pro mnmální varance 3 pro mamální pseudokorelace Velkost průměruícího okna použtého na mapu kvalt Automatcké prahování t. automatcké stanovení prahové hodnot a bnarzace map kvalt pro ano pro ne Počet pelů o které může být mapa kvalt tenčena pomocí morfologckých operací dgtální analýz obrazu ULS algortmus pomocí rchlé Fourerov transformace ULS FT ULS mult-grd algortmus ULS MG I C Počet terací Gauss-Sedelov metod Počet cklů Vážený mult-grd WMG MK W TH F I C Metoda sdružených gradentů s předpodmíněním PCG MK W TH F I E Metoda mnma L P -norm Tp generované map kvalt pro mnmální gradent pro mnmální varance 3 pro mamální pseudokorelace Velkost průměruícího okna použtého na mapu kvalt Automatcké prahování t. automatcké stanovení prahové hodnot a bnarzace map kvalt pro ano pro ne Počet pelů o které může být mapa kvalt tenčena pomocí morfologckých operací dgtální analýz obrazu Počet terací Gauss-Sedelov metod Počet cklů Tp generované map kvalt pro mnmální gradent pro mnmální varance 3 pro mamální pseudokorelace Velkost průměruícího okna použtého na mapu kvalt Automatcké prahování t. automatcké stanovení prahové hodnot a bnarzace map kvalt pro ano pro ne Počet pelů o které může být mapa kvalt tenčena pomocí morfologckých operací dgtální analýz obrazu Počet terací Tolerance konvergence MK Tp generované map kvalt pro mnmální gradent pro mnmální varance 3 pro

122 Analýza algortmů unwrappngu W TH F I IPCG N mamální pseudokorelace Velkost průměruícího okna použtého na mapu kvalt Automatcké prahování t. automatcké stanovení prahové hodnot a bnarzace map kvalt pro ano pro ne Počet pelů o které může být mapa kvalt tenčena pomocí morfologckých operací dgtální analýz obrazu Počet terací Počet PCG terací Normalzační parametr Algortmus PUMA P Eponent ve vztahu pro potencál Algortmus SRNCP Iso-phase algortmus NG Algortmus s vužtím IIR τ σ W Počet skupn Hrance omezení IIR sstému Vhlazovací parametr Velkost okna Analýza ež ukázala vlv výše uvedených parametrů na míru šumu bla provedena v prostředí MATLAB formou smulací. Obr. 4 obr. 43 a obr. 44 zobrazuí vlv voltelných parametrů na míru šumu př použtí vbraných algortmů. Obr. 4 Vlv voltelných parametrů QGPFA algortmu na míru šumu rekonstruovaného obrazu modrá MK mnmálního gradentu zelená MK mnmální varance červená MK mamální pseudokorelace

123 Analýza algortmů unwrappngu Obr. 43 Vlv voltelných parametrů MC algortmu na míru šumu rekonstruovaného obrazu modrá MK mnmálního gradentu zelená MK mnmální varance červená MK mamální pseudokorelace Obr. 44 Vlv voltelných parametrů Flnnova algortmu na míru šumu rekonstruovaného obrazu světlá místa znační malou hodnotu mír šumu Pomocí výše uvedené analýz bl volen takové parametr pro které míra šumu dosahovala nemenších hodnot. Tab. porovnává mír šumu ednotlvých algortmů s původním obrazem a relatvní čas průběhu výpočtu vztažený ke Goldstenově algortmu. Na obr. 45 obr. 46 a obr. 47 sou následně zobrazen rekonstruované obraz fázových rozdílů. Pro poslední čtř algortm nebl použt zdroové kód napsané ve steném stlu ako metod předchozí. Není zaručena ech optmalzace steného charakteru ako pro t které popsuí Ghgla a Prtt v [68]. Musíme ted ech čas výpočtu brát s dostatečnou rezervou.

124 Analýza algortmů unwrappngu Tab. Míra šumu rekonstruovaného obrazu a eí relatvní chba vzhledem k původnímu obrazu a relatvní čas výpočtu vztažený ke Goldstenově algortmu Algortmus N [rad] t rel [s] původní obraz GA.9 5% QGPFA.33 69% 6.3 MCA. 8% 5.8 FA.9 6% 3.8 ULS FT.69 6% 3.3 ULS MG.88 4%.8 WMG.89 3% 4.9 PCG.7 6%.4 Mnmalzace L P -norm.79 <% 7. PUMA.79 <% 64. SRNCP %.5 Iso-phase.83 6% 6.5 IIR. 56% 4. Obr. 45 Rekonstruovaný fázový rozdíl pomocí algortmů sleduících předem defnovanou cestu a GA b QGPFA c MCA d FA 3

125 Analýza algortmů unwrappngu Obr. 46 Rekonstruovaný fázový rozdíl pomocí algortmů mnmalzuících normu a ULS MG b PCG c WMG d Mnmalzace L P -norm Obr. 47 Rekonstruovaný fázový rozdíl pomocí kombnovaných algortmů a PUMA b SRNCP c Iso-phase d IIR 4

126 Analýza algortmů unwrappngu Z výše uvedené analýz e patrné porovnání ednotlvých algortmů co se týče přesnost vhodnocení velm zašuměných dat a ech relatvní dob výpočtu. Pro praktcké aplkace e třeba volt z představných algortmů s ohledem na míru zašumění reálných dat. Smulovaná stuace ukazovala etrémní případ který v současné pra testování optckých ploch praktck nenastává. Př použtí Fourerov transformace můžeme ve frekvenční oblast navíc provádět fltrace kterým dokážeme šum potlačt a wrap obraz má poté příznvěší charakter. 7.3 Vlv resduí obrazu fázového rozdílu na algortm unwrappngu Pro analýzu vlvu resduí dskontnut na algortm unwrappngu bl smulován fázový rozdíl Δϕ w r dvou nterferuících vln vztahem { φ r } φ w r = W + δ KL r 38 kde W e wrapped operátor a δ KL r funkce náhodného rozdělení resduí mamální velkost K L s rovnoměrným pravděpodobnostním rozdělením. Pro hodnocení reakcí algortmů na přítomnost dskontnut bla zaváděna dvě krtéra a to: míra elmnace resduí vztahem R = M r φ r φur = M r 39 kde M r e počet obrazových bodů nterferogramu v nchž nesou přítomna resdua Δϕ r a Δϕ ur sou hodnot skutečného fázového rozdílu nterferuících vln v -tém bodě a fázového rozdílu po provedeném unwrappngu estlže na -tém místě v původním obraze není přítomna dskontnuta. Tímto způsobem e hodnocena kvalta rekonstrukce míst kde sou zaznamenána data odpovídaící skutečnému fázovému rozdílu. Dalším krtérem e poté doba t provádění unwrappngu. Multplkací výše uvedených krtérí získáme testovací hodnotu pro ednotlvé algortm T = Rt. 3 5

127 Analýza algortmů unwrappngu Obr. 48 zobrazue testovanou funkc a eí rekonstrukc pomocí ednoduchého algortmu tab. 3 poté hodnot ednotlvých testovacích krtérí př použtí různých metod odstranění nespotostí fázového rozdílu a obr. 49 obr. 5 a obr. 5 rekonstruované fázové rozdíl ednotlvým algortm. Obr. 48 a Testovaná funkce b eí wrap podoba a c rekonstrukce pomocí ednoduchého algortmu Tab. 3 Míra elmnace resduí v rekonstruovaném obraze a eí relatvní chba vzhledem k původnímu obrazu a relatvní čas výpočtu vztažený ke Goldstenově algortmu Algortmus R [rad] t rel [s] původní obraz --- GA 8.35 e-4 % QGPFA 4.49 e-5 % 4. MCA.8 8%.6 FA. % 4. ULS FT. %.3 ULS MG. % 47.4 WMG % 9.4 PCG.9 9% 6.7 Mnmalzace L P -norm.6 6% 39.4 PUMA.6 e-5 % 45.3 SRNCP.77 e-7 <%.4 Iso-phase.3 3% 5.8 IIR.43 43%.9 6

128 Analýza algortmů unwrappngu Obr. 49 Rekonstruovaný fázový rozdíl pomocí algortmů sleduících předem defnovanou cestu a GA b QGPFA c MCA d FA Obr. 5 Rekonstruovaný fázový rozdíl pomocí algortmů mnmalzuících normu a ULS MG b PCG c WMG d Mnmalzace L P -norm 7

129 Analýza algortmů unwrappngu Obr. 5 Rekonstruovaný fázový rozdíl pomocí kombnovaných algortmů a PUMA b SRNCP c Iso-phase d IIR Analýza ukazue že 7% algortmů s poradlo se smulovaným dat a dokázalo rekonstruovat nespotý obraz fázového rozdílu za přítomnost resduí s chbou menší než 5%. 8

130 8 Vhodnocení smulovaných a reálných dat 8. Výpočetní software k vhodnocení nterferogramu pomocí FTM Pro vhodnocení nterferogramů metodou Fourerov transformace bl vtvořen software v prostředí MATLAB Ra prncpem swtched board programmng [9] který posktue elegantní možnost konstrukce grafckého rozhraní. Na obr. 5 e zobrazeno schéma a funkce vtvořené aplkace. Jako vstupní data aplkace sou předpokládán předzpracované obraz nterferenčního pole. Na obr. 53 e zobrazeno hlavní okno programu ve kterém probíhá koordnace celého vhodnocení. Jsou zde vdět označená místa na hranc zámového území pupl a otevřena volba Oprava poloh bodů pro možnou edtac ž zadaných bodů. Tímto způsobem lze pro kruhové pupl elmnovat oblast kde e zacloněno nterferenční pole. Z vbraných bodů e oblast určována metodou nemenších čtverců. Obr. 54 znázorňue okno vtvořené k zadávání parametrů algortmu pro etrapolac nterferenčních proužků které slouží k potlačení evů vznkaících u omezených oblastí v důsledku defnce Fourerov transformace na ntervalu neomezeném. Gerchbergův algortmus představený dříve vžadue znalost rozložení nerovnoměrné ntenzt pozadí v obraze. Program umožňue zadat tuto ntenztu konstantní e-l známa z dřívěší analýz nebo zvolt automatcké určení pomocí průměruícího fltru. Následně e zadáván počet terací algortmu a poloměr ořezu bočního spektra. Na obr. 55 e zobrazeno okno aplkace pro nastavení parametrů fltrace bočního spektra ve frekvenční oblast. V příkladu e zadána volba určení mama pomocí váženého průměru z oblast ve které hodnot spektra přesahuí zadaný lmt. Tento lmt představue relatvní část mamální hodnot reálného spektra. Dále sou volen poloměr kruhových fltrů pro ednotlvé složk a poloměr útlumu pro elmnac ostrých hran ve výsledném fltrovaném spektru. 9

131 Vhodnocení smulovaných a reálných dat PŘEDZPRACOVANÝ OBRAZ Výběr a edtace bodů na hranc zámové oblast HLAVNÍ OKNO VÝBĚR ZÁJMOVÉ OBLASTI PUPILY EXTRAPOLACE INTERFERENČNÍCH PROUŽKŮ Gerchbergův algortmus způsob určení ntenzt pozadí počet terací poloměr ořezu spektra Kruhový fltr spekter s útlumem způsob určení mama bočního spektra poloměr fltrace poloměr útlumu NASTAVENÍ FILTRACE SPEKTRA VYHODNOCENÍ INTERFEROGRAMU Algortmus unwrappngu volba parametrů ednotlvých algortmů Apromace rekonstruovaných dat tp a stupeň apromace Obr. 5 Schéma programu k vhodnocení nterferogramu metodou Fourerov transformace 3

132 Vhodnocení smulovaných a reálných dat Obr. 53 Hlavní okno aplkace Obr. 54 Okno Etrapolace nterferenčních proužků 3

133 Vhodnocení smulovaných a reálných dat Obr. 55 Okno pro nastavení parametrů fltrace frekvenčního spektra Obr. 56 Dalogová okna nastavení parametrů algortmů unwrappngu a apromace 3

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G. SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí

Více

Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení

Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení Softwarová podpora matematckých metod v ekonomce a řízení Petr Sed a Opava 2013 Hrazeno z prostředků proektu OPVK CZ.1.07/2.2.00/15.0174 Inovace bakalářských studních oborů se zaměřením na spoluprác s

Více

VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ

VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ P. Novák, J. Novák Katedra fyziky, Fakulta stavební, České vysoké učení technické v Praze Abstrakt V práci je popsán výukový software pro

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO

PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO MAPOVÁNÍ WEBOVÝCH STRÁNEK ŘIMNÁČ MARTIN 1, ŠUSTA RICHARD 2, ŽIVNŮSTKA JIŘÍ 3 Katedra řídcí technky, ČVUT-FEL, Techncká 2, Praha 6, tel. +42 224 357 359, fax. +

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201 6.. Gonometrcký tvar kompleních čísel I Předpoklad: 07, 09, 60 Pedagogcká poznámka: Gonometrcký tvar kompleních čísel není pro student njak obtížný. Velm obtížné je pro student s po roce vzpomenout na

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Numerické výpočty ve světovém geodetickém referenčním systému 1984 (WGS84)

Numerické výpočty ve světovém geodetickém referenčním systému 1984 (WGS84) Numercké výpočty ve světovém geodetckém referenčním systému 984 (WGS84) prof. Mara Ivanovna Jurkna, DrSc. CNIIGAK, Moskva prof. Ing. Mloš Pck, DrSc. Geofyzkální ústav ČAV, Praha Vojenský geografcký obzor,

Více

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka 1.Úvod teoretcký pops Konverze kmtočtu Štěpán Matějka Směšovač měnč kmtočtu je obvod, který přeměňuje vstupní sgnál s kmtočtem na výstupní sgnál o kmtočtu IF. Někdy bývá tento proces označován také jako

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Metody volby financování investičních projektů

Metody volby financování investičních projektů 7. meznárodní konference Fnanční řízení podnků a fnančních nsttucí Ostrava VŠB-T Ostrava konomcká fakulta katedra Fnancí 8. 9. září 00 Metody volby fnancování nvestčních projektů Dana Dluhošová Dagmar

Více

ŘÍZENÍ OTÁČEK ASYNCHRONNÍHO MOTORU

ŘÍZENÍ OTÁČEK ASYNCHRONNÍHO MOTORU ŘÍZENÍ OTÁČEK AYNCHONNÍHO MOTOU BEZ POUŽITÍ MECHANICKÉHO ČIDLA YCHLOTI Petr Kadaník ČVUT FEL Praha, Techncká 2, Praha 6 Katedra elektrckých pohonů a trakce e-mal: kadank@feld.cvut.cz ANOTACE V tomto příspěvku

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební Ústav stavební mechanky Doc. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES TEZE

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Transformace dat a počítačově intenzivní metody

Transformace dat a počítačově intenzivní metody Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal jr.mltky@vslb.cz Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta

Více

Základy finanční matematiky

Základy finanční matematiky Hodna 38 Strana 1/10 Gymnázum Budějovcká Voltelný předmět Ekonome - jednoletý BLOK ČÍSLO 6 Základy fnanční matematky ředpokládaný počet : 5 hodn oužtá lteratura : Frantšek Freberg Fnanční teore a fnancování

Více

INŽ ENÝ RSKÁ MECHANIKA 2002

INŽ ENÝ RSKÁ MECHANIKA 2002 Ná dní konference s mezná dní účastí INŽ ENÝ RSÁ MECHANIA 00 1. 16. 5. 00, Svratka, Č eská republka PODRITICÝ RŮ ST TRHLINY VE SVAROVÉ M SPOJI OMORY PŘ EHŘÍVÁ U Jan ouš, Ondřej Belak 1 Abstrakt: V důsledku

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Analýza chování servopohonů u systému CNC firmy Siemens

Analýza chování servopohonů u systému CNC firmy Siemens Analýza chování servopohonů u systému CNC frmy Semens Analyss and behavour of servo-drve system n CNC Semens Bc. Tomáš áčalík Dplomová práce 00 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, 00 4 ABSTRAKT

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu Otázky z optiky Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu ) o je světlo z fyzikálního hlediska? Jaké vlnové délky přísluší viditelnému záření? - elektromagnetické záření (viditelné záření) o vlnové délce

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Ultrazvuková defektoskopie. Vypracoval Jan Janský

Ultrazvuková defektoskopie. Vypracoval Jan Janský Ultrazvuková defektoskopie Vypracoval Jan Janský Základní principy použití vysokých akustických frekvencí pro zjištění vlastností máteriálu a vad typické zařízení: generátor/přijímač pulsů snímač zobrazovací

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Analýza profilu povrchů pomocí interferometrie nízké koherence

Analýza profilu povrchů pomocí interferometrie nízké koherence Analýza profilu povrchů pomocí interferometrie nízké koherence Vedoucí bakalářské práce Ing. Zdeněk Buchta, Ph.D. Tomáš Pikálek 26. června 214 1 / 11 Cíle práce Cíle práce Cíle práce seznámit se s laserovou

Více

Správa klí (key management)

Správa klí (key management) Tonda Beneš Ochrana nformace aro 2011 Správa klí (key management) významná ást bezpenostní stratege nad danou doménou Základním úkolem správy klí e kontrola klíového materálu po celou dobu eho exstence,

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH THE CHOICE OF EVALUATION CRITERIA IN PUBLIC PROCUREMENT Martn Schmdt Masarykova unverzta, Ekonomcko-správní fakulta m.schmdt@emal.cz Abstrakt: Článek zkoumá

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky.

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Platí shodně pro prezenční i kombinovanou formu studia. 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2.

Více

Retailový a korporátní credit scoring

Retailový a korporátní credit scoring Masarykova unverzta Přírodovědecká fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Eva Krečová Retalový a korporátní credt scorng Vedoucí práce: Mgr. Martn Řezáč, Ph.D. Studní program Aplkovaná matematka Studní obor Fnanční

Více

Měření solventnosti pojistitelů neživotního pojištění metodou míry solventnosti a metodou rizikově váženého kapitálu

Měření solventnosti pojistitelů neživotního pojištění metodou míry solventnosti a metodou rizikově váženého kapitálu Měření solventnost pojsttelů nežvotního pojštění metodou míry solventnost a metodou rzkově váženého kaptálu Martna Borovcová 1 Abstrakt Příspěvek je zaměřen na metodku vykazování solventnost. Solventnost

Více

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN.

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. Mroslav VARNER, Vktor KANICKÝ, Vlastslav SALAJKA ČKD Blansko Strojírny, a. s. Anotace Uvádí se výsledky teoretckých

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

V mnoha pípadech, kdy známe rozdlení náhodné veliiny X, potebujeme urit rozdlení náhodné veliiny Y, která je funkcí X, tzn. Y = h(x).

V mnoha pípadech, kdy známe rozdlení náhodné veliiny X, potebujeme urit rozdlení náhodné veliiny Y, která je funkcí X, tzn. Y = h(x). 3. FUNKCE NÁHODNÉ VELIINY as ke studu: 40 mnut Cíl: Po prostudování této kaptol budete umt transformovat náhodnou velnu na náhodnou velnu Y, je l mez tmto náhodným velnam vzájemn jednoznaný vztah VÝKLAD

Více

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace Tetlní zkušebnctv ebnctví II Jří Mltky Škály měření epřímá měření Teore měření Kalbrace Základní pojmy I PRAVDĚPODOBOST Jev A, byl sledován v m pokusech. astal celkem m a krát. Relatvní četnost výskytu

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

1 Měření paralelní kompenzace v zapojení do trojúhelníku a do hvězdy pro symetrické a nesymetrické zátěže

1 Měření paralelní kompenzace v zapojení do trojúhelníku a do hvězdy pro symetrické a nesymetrické zátěže 1 Měření paralelní kompenzace v zapoení do troúhelníku a do hvězdy pro symetrické a nesymetrické zátěže íle úlohy: Trofázová paralelní kompenzace e v praxi honě využívaná. Úloha studenty seznámí s vlivem

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Měření hustoty plazmatu interferometrickou metodou na Tokamaku GOLEM.

Měření hustoty plazmatu interferometrickou metodou na Tokamaku GOLEM. Měření hustoty plazmatu interferometrickou metodou na Tokamaku GOLEM. Ondřej Grover 3. minikonference projektu Cesta k vědě, 11.1.2011 Osnova prezentace 1 Motivace Jaderná fúze Jak udržet plazma Měření

Více

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor.

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor. FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ OBVODY Základní pojmy: IMPEDANCE Z (Ω)- charakterizuje vlastnosti prvku pro střídavý proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických

Více

Vykazování solventnosti pojišťoven

Vykazování solventnosti pojišťoven Vykazování solventnost pojšťoven Ing. Markéta Paulasová, Techncká unverzta v Lberc, Hospodářská fakulta marketa.paulasova@centrum.cz Abstrakt Pojšťovnctví je fnanční službou zabývající se přenosem rzk

Více

Modelování montážní linky

Modelování montážní linky Modelování montážní linky Geza Dohnal 1. Montážní linka S rozvoem hromadné výroby e velice těsně spoen rozvo a automatizace výrobních a montážních linek. Tyto linky se od sebe obecně liší ednak topologií

Více

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Optmalzační přístup př plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Ladslav Tuhovčák*, Pavel Dvořák**, Jaroslav Raclavský*, Pavel Vščor*, Pavel Valkovč* * Ústav vodního hospodářství obcí, Fakulta stavební VUT

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 2 Fyzikální veličiny a jednotky,

Více

A5M13VSO MĚŘENÍ INTENZITY A SPEKTRA SLUNEČNÍHO ZÁŘENÍ

A5M13VSO MĚŘENÍ INTENZITY A SPEKTRA SLUNEČNÍHO ZÁŘENÍ MĚŘENÍ INTENZITY A SPEKTRA SLUNEČNÍHO ZÁŘENÍ Zadání: 1) Pomocí pyranometru SG420, Light metru LX-1102 a měřiče intenzity záření Mini-KLA změřte intenzitu záření a homogenitu rozložení záření na povrchu

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

Klasické a inovované měření rychlosti zvuku

Klasické a inovované měření rychlosti zvuku Klasické a inovované měření rychlosti zvuku Jiří Tesař katedra fyziky, Pedagogická fakulta JU Klíčová slova: Rychlost zvuku, vlnová délka, frekvence, interference vlnění, stojaté vlnění, kmitny, uzly,

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie Zkouškový test z fyzkální a kolodní cheme VZOR/1 jméno test zápočet průměr známka Čas 9 mnut. Povoleny jsou kalkulačky. Nejsou povoleny žádné písemné pomůcky. Uotázeksvýběrema,b,c...odpověd b kroužkujte.platí:

Více

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc.

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc. Unverzta Pardubce Fakulta ekonomcko-správní Modelování predkce časových řad návštěvnost web domény pomocí SVM Bc. Vlastml Flegl Dplomová práce 2011 Prohlašuj: Tuto prác jsem vypracoval samostatně. Veškeré

Více

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl ČVUT FEL X16FIM Fnanční Management Semestrální projekt Téma: Optmalzace zásobování teplem Vypracoval: Marek Handl Datum: květen 2008 Formulace úlohy Pro novou výstavbu 100 bytových jednotek je třeba zvolt

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6)

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6) 1. Stavebn energetcké vlastnost budov Energetcké chování budov v zním období se v současné době hodnotí buď s pomocí průměrného součntele prostupu tepla nebo s pomocí měrné potřeby tepla na vytápění. 1.1.

Více

3. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu.

3. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu. Pracovní úkoly. Změřte účiník: a) rezistoru, b) kondenzátoru C = 0 µf) c) cívky. Určete chybu měření. Diskutujte shodu výsledků s teoretickými hodnotami pro ideální prvky. Pro cívku vypočtěte indukčnost

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

, p = c + jω nejsou zde uvedeny všechny vlastnosti viz lit.

, p = c + jω nejsou zde uvedeny všechny vlastnosti viz lit. Statiké a dynamiké harakteristiky Úvod : Základy Laplaeovy transformae dále LT: viz lit. hlavní užití: - převádí difereniální rovnie na algebraiké (nehomogenní s konstantními koefiienty - usnadňuje řešení

Více

PSK1-14. Optické zdroje a detektory. Bohrův model atomu. Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola, Božetěchova 3 Ing. Marek Nožka.

PSK1-14. Optické zdroje a detektory. Bohrův model atomu. Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola, Božetěchova 3 Ing. Marek Nožka. PSK1-14 Název školy: Autor: Anotace: Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola, Božetěchova 3 Ing. Marek Nožka Optické zdroje a detektory Vzdělávací oblast: Informační a komunikační technologie Předmět:

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207

6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207 6..8 Vlnová funkce ředpoklady: 06007 edagogická poznámka: Tato hodina není příliš středoškolská. Zařadil jsem ji kvůli tomu, aby žáci měli alespoň přibližnou představu o tom, jak se v kvantové fyzice pracuje.

Více

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud FYZIKA II Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud Osnova přednášky Elektrický proud proudová hustota Elektrický odpor a Ohmův zákon měrná vodivost driftová rychlost Pohyblivost nosičů náboje teplotní

Více

Průběžná lokalizace a tvorba map pomocí smykem řízeného robotu

Průběžná lokalizace a tvorba map pomocí smykem řízeného robotu IADENIE MOBILNÝCH OBOOV Průběžná lokalzace a torba map pomocí smkem řízeného robotu omáš Neužl, Frantšek Buran Abstrakt V článku je ueden prncp algortmu pro lokalzac a torbu map pomocí moblního robotu.

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát Michal Veselý, 00 Základní části fotografického aparátu tedy jsou: tělo přístroje objektiv Pochopení funkce běžných objektivů usnadní zjednodušená představa, že objektiv jako celek se chová stejně jako

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Znamená vyšší korupce dražší dálnice? Evidence z dat Eurostatu. Michal Dvořák *

Znamená vyšší korupce dražší dálnice? Evidence z dat Eurostatu. Michal Dvořák * Znamená vyšší korupce dražší dálnce? Evdence z dat Eurostatu Mchal Dvořák * Článek je pozměněnou verzí práce Analýza vztahu mez mírou korupce a cenovou úrovní nfrastrukturních staveb, kterou autor zakončl

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR Vlastimil Kratochvíl * Příspěvek obsahuje popis vlastností některých postupů, využitelných pro transformaci souřadnic mezi geodetickými systémy

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptlkách PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk Optická soustava - je soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění směr chodu světelných

Více

Posuzování výkonnosti projektů a projektového řízení

Posuzování výkonnosti projektů a projektového řízení Posuzování výkonnost projektů a projektového řízení Ing. Jarmla Ircngová Západočeská unverzta v Plzn, Fakulta ekonomcká, Katedra managementu, novací a projektů jrcngo@kp.zcu.cz Abstrakt V současnost je

Více

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Časová hodnota peněz ve fnančním rozhodování podnku 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Fnanční rozhodování podnku je ovlvněno časem. Peněžní prostředky získané dnes mají větší hodnotu

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

3. Kmitočtové charakteristiky

3. Kmitočtové charakteristiky 3. Kmitočtové charakteristiky Po základním seznámení s programem ATP a jeho preprocesorem ATPDraw následuje využití jednotlivých prvků v jednoduchých obvodech. Jednotlivé příklady obvodů jsou uzpůsobeny

Více

Jednoduchý elektrický obvod

Jednoduchý elektrický obvod 21 25. 05. 22 01. 06. 23 22. 06. 24 04. 06. 25 28. 02. 26 02. 03. 27 13. 03. 28 16. 03. VI. A Jednoduchý elektrický obvod Jednoduchý elektrický obvod Prezentace zaměřená na jednoduchý elektrický obvod

Více

České vysoké učení technické v Praze

České vysoké učení technické v Praze České vysoké učení techncké v Praze Fakulta stavební Katedra vyšší geodéze Magsterská práce 211 Mloš Tchý Prohlašuj, že jsem tuto magsterskou prác vypracoval samostatně, pouze za odborného vedení vedoucího

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Může kulová nádoba naplněná vodou sloužit jako optická čočka? Exponát demonstruje zaostření světla procházejícího skrz vodní kulovou čočku. Pohyblivý světelný

Více

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE FAKULTA ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ KATEDRA APLIKOVANÉ GEOINFORMATIKY A ÚZEMNÍHO PLÁNOVÁNÍ PROSTOROVÁ NEURČITOST GEODAT V ANALÝZÁCH DISTRIBUCE VYBRANÝCH DRUHŮ PTÁKŮ DIPLOMOVÁ

Více

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium)

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium) Slezská unverzta v Opavě Obchodně podnkatelská fakulta v Karvné STATISTIKA (pro navazující magsterské studum) Jaroslav Ramík Karvná 007 Jaroslav Ramík, Statstka Jaroslav Ramík, Statstka 3 OBSAH MODULU

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

10. Energie a její transformace

10. Energie a její transformace 10. Energie a její transformace Energie je nejdůležitější vlastností hmoty a záření. Je obsažena v každém kousku hmoty i ve světelném paprsku. Je ve vesmíru a všude kolem nás. S energií se setkáváme na

Více

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Shrnutí: Náboj a síla = Coulombova síla: - Síla jíž na sebe náboje Q působí je stejná - Pozn.: hledám-li velikost, tak jen dosadím,

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více