2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;"

Transkript

1 . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité takovýto proces stadardizovat a uvést a pravou míru. V dalším se tedy budeme zabývat ovým pojmem, pojmem áhodé veličiy. Defiice.. Nechť dále X : Ω Ø R je reálé zobrazeí, pro které platí { ω Ω; X ( ω) < c} œ A, potom toto zobrazeí azveme áhodou veličiou. Defiice vypadá velmi abstraktě, ale jak uvidíme je sestavea takto proto, abychom mohli velmi jedoduše používat k popisu áhodých veliči jedodušší prostředky apř. distribučí fukce. Náhodé veličiy budeme většiou ozačovat velkými písmey a a rozdíl od áhodých jevů, velkými písmey z koce abecedy. Při řešeí kokrétích úloh se setkáváme především s dvěma typy áhodých veliči s diskrétí a se spojitou áhodou veličiou. Diskrétí áhodá veličia X může abývat je koečého ebo spočetého počtu hodot; spojitá áhodá veličia abývá hodoty z ěkterého itervalu ( a,b). Defiice.. Nechť dále je X áhodé veličia. Potom ji azýváme : def a) Diskrétí áhodou veličiou X (Ω) je koečá ebo spočetá možia; def b) Spojitou áhodou veličiou X (Ω) = I, kde I je reálý iterval. Jako dobrého kadidáta a áhodou veličiu diskrétího typu si můžeme představit áhodou veličiu, která bude popisovat arozeí chlapce v případě dvojčat. Dalším podobým příkladem je áhodá veličia, která popisuje hodotu odpovědí a otázku v testu. Myslím, že každý teto typ áhodé veličiy může vytvořit a umí ho iterpretovat. Druhým případem jsou áhodé veličiy spojitého typu, jde o případy, kdy možých výsledků je velmi moho. Při měřeí se apříklad vyskytují chyby daé přístrojem ( systematické chyby ) a chyby áhodé. Ve většiě případů jsou áhodé chyby spojitého charakteru. Pro popis áhodých veliči se hodí aparát tzv. distribučí fukce. Defiice..3. Nechť dále je X áhodé veličia. Distribučí fukcí áhodé veličiy F azveme reálou fukci defiovaou předpisem F (x) = P( X < x) (.) Výhoda využití této fukce spočívá v tom, že většiu abstraktích úvah můžeme provádět v prostředí možiy reálých čísel tedy a reálé ose. Při popisu jakékoli áhodé veličiy si právě distribučí fukci sažíme určit pokud možo jedozačě, abychom pomocí í mohli zjistit ěkteré výzamé vlastosti áhodé veličiy ( kvatily, středí hodotu, modus atd. ). Pro jedotlivé typy áhodých veliči se ještě dále zavádí pojmy hustoty áhodé veličiy a pojem pravděpodobostí fukce. Defiice..4. Nechť dále je X diskrétí áhodá veličia. Potom fukci P : x # P(X = x ) (.) azveme pravděpodobostí fukcí áhodé veličiy X. c R

2 platí Defiice..5 Nechť dále je X spojitá áhodé veličia. Potom reálou fukci f defiovaou tak, že x F ( x) = f ( u) du (.3) azveme hustotou áhodé veličiy X. Příklady jedotlivých typů áhodých veliči a jejich popisů uvedeme v dalších částech této kapitoly. Nejdříve ale uvedeme tvrzeí o vlastostech distribučí fukce áhodé veličiy. Tvrzeí.. Nechť dále je X áhodé veličia a F je její distribučí fukce. Potom má fukce F ásledující vlastosti: a) Fukce F je eklesající; b) Fukce F je zleva spojitá v každém bodě svého defiičího oboru; c) P(a X < b) = F(b) F(a), pro všecha a b; d) F( x) ; lim = x lim F( x) = e). x Toto tvrzeí je jedím ze základích tvrzeí o distribučí fukci. Stručě můžeme pomocí ěho apříklad vyloučit, že ějaké fukce je distribučí fukcí, můžeme pomocí ěho počítat pravděpodobost, že áhodá veličia je prvkem ějakého itervalu.. Náhodé veličiy diskrétího typu.. Degeerovaé rozděleí, x = x Nejjedodušší typ áhodé veličiy. Zvolme x œ R. Nechť P. x., x x Pravděpodobostí fukce tedy abývá je hodoty a Pravděpodobostí fukce Distribučí fukce Pravděpodobostí fukce degeerovaého rozděleí F(x),9,8,7,6,5,4,3, P(x),9,8,7,6,5,4,3,,, V praxi teto typ áhodé veličiy ehraje žádou roli. Někdy se také ozačuje jako degeerovaé ormálí rozděleí... Alterativí rozděleí Teto typ áhodé veličiy hraje již výzamější roli jak v praktickém uplatěí áhodých veliči. Pomocí í můžeme sado modelovat situace, které mají dvě alterativí

3 odpovědi apř. pokus se podařil, pokus edopadl dobře; odpověď a otázku je pozitiví, odpověď je egativí. Toto rozděleí je i základím rozděleím pro biomické rozděleí. Budeme ho defiovat podobě jako v předchozím případě pomocí pravděpodobostí fukce ( všiměme si, že hodota závisí a parametru p): P : x p, x = p, x =, jiak Pravděpodobostí fukce p =,3 p =,8 (.4),8,7,6,5,4,3,, - -,5,5,5,9,8,7,6,5,4,3,, - -,5,5,5 Distribučí fukce,,9,8,7,6,5,4,3,, - -,5,5,5,,8,6,4, - -,5,5,5...3 Biomické rozděleí Jde o případ jedé z ejdůležitějších diskrétích áhodých veliči. Toto rozděleí odpovídá případu, kdy zjišťujeme při provedeí ezávislých pokusů počet úspěšých provedeí pokusu, přičemž pravděpodobost úspěšého provedeí pokusu je rovo hodotě p ( jde o číslo z itervalu (, ) a pravděpodobost eúspěšého provedeí pokusu je rovo p. Je zřejmé, že toto rozděleí může abývat hodot od do. Pokud porováme toto rozděleí s předchozím alterativím rozděleím vidíme, že biomické rozděleí vziká jako součet alterativích rozděleí se stejým parametrem p. Je li v každém pokusu pravděpodobost úspěšého provedeí pokusu rova p, potom pravděpodobost, že v ezávislých pokusech astae přesě k úspěšých provedeí pokusu je rova k k P(X = k ) =. p.( p), pro k =,,, (.5) k Připomíáme, že symbol je kombiačí číslo udávající počet k čleých k kombiací z prvků bez opakováí, vypočte se ásledujícím způsobem:

4 ! = (.6) k k!.( k)! Pozameejme, že hodota! se azývá faktoriál a určuje se je pro ezáporá celá čísla jako souči přirozeých čísel meších ebo rových s hodotou ;! =. Pro vlastí práci se biomické rozděleí ozačuje symbolicky jako Bi(,p). Vidíme tedy, že toto rozděleí má dva parametry Většiou toto rozděleí určujeme tabulkou. Uveďme si dále pravděpodobostí fukce ěkolika biomických rozděleí. = ; p =,3 = ; p =,8,3,5,,5,, ,35,3,5,,5,, = 3; p =, = 3 ; p =,8,,5,,5,,5,, = ; p =,5 =; p=,,,8,6,4, 4 6 8,4,,,8,6,4, Uvedeme ěkolik příkladů vedoucích a biomické rozděleí. Příklad..3. Předpokládejme, že arozeí chlapce je,5. Zjistěte jaká je pravděpodobost, že v rodiě s 5 dětmi jsou právě dva chlapci! Řešeí: Uvedeme tabulku biomického rozděleí Bi(5;,5): k(počet chlapců) P(X=k) /3 5/3 /3 /3 5/3 /3 Z tabulky je zřejmé, že tato hodota je rova 5/3 =,565. Příklad..3. Zjistěte jaká je pravděpodobost, že v rodiě s 5 dětmi je více ež chlapci? Řešeí: Využijeme předchozí tabulku a daá pravděpodobost je tedy rova součtu : /3 + 5/3 + /3 = 6/3 = ½ =,5. Daá pravděpodobost je rova,5. Při kokrétím způsobu vyčíslováí hodot (.) velmi často arážíme a problém vyčísleí faktoriálů pro velké hodoty ebo k. Protože platí tzv. záko velkých čísel, je

5 možo aproximovat biomické rozděleí ormálím rozděleím. Kokrétí způsob si ukážeme v části. Platí pravidlo : Biomické rozděleí můžeme aproximovat s postačující přesostí pomocí ormálího rozděleí jestliže 9 > p( p) (.7)..4 Poissoovo rozděleí Náhodá veličia tohoto druhu vziká buď tehdy, kdy události určitého druhu astávají áhodě v prostoru ebo v čase ( poruchy, oemocěí atd. ) ebo jako limití případ biomického rozděleí. Je li pravděpodobost p oé áhodé události relativě malá a rozsah opakováí velký potom Poissoovo rozděleí podstatě splývá s biomickým rozděleím ( viz Poissoova věta ). Jak uvidíme Poissoovo rozděleí je pro vlastí výpočet mohem jedodušší, ež výpočet biomických koeficietů. Nechť X je áhodá veličia, která odpovídá počtu výskytů výjimečé události apř. poruše v daém časovém itervalu. Veličia X může abývat celočíselých hodot od do. Nechť l je kostata, která odpovídá průměrému počtu událostí v itervalu. Potom λ x e. λ P( X = x) = (.8) x! Náhodou veličiu X azveme Poissoovým rozděleím s parametrem l ( číslo e je základ přirozeých logaritmů e U,788.Symbolicky začíme Poissoovo rozděleí Po(l), parametr l >. Pokud chceme použít Poissoovo rozděleí je uto split ásledující pravidla: a) Pravděpodobost výskytu jedé události v daém itervalu je úměré délce tohoto itervalu b) Události se vyskytují ezávisle jak ve stejém itervalu, tak v po sobě jdoucích itervalech Příklad..4. Předpokládejme, že v lidské populaci se vyskyte vzácá choroba s pravděpodobostí,. Ve vzorku lidí máme určit pravděpodobost, že vzorek eobsahuje žádého emocého, jedoho emocého! Řešeí: Pravděpodobost výskytu choroby je,, předpokládaý počet emocých je tedy l =,. =. K výpočtu použijeme vzorec (.4) e. x = ï,367879! = e. x = ï,367879! =. Na závěr si uvedeme pravděpodobostí fukce dvou Poissoových rozděleí. l = 5 l = 34,,,8,6,4, ,8,7,6,5,4,3,,

6 . Spojité áhodé veličiy Podle defiice je spojitá áhodá veličia charakterizováa tím, že její obor hodot je celý reálý iterval I. Jak již víme můžeme ji popsat pomocí distribučí fukce ebo častěji pomocí fukce hustoty. Distribučí fukce přiřazuje každému reálému číslu x pravděpodobost toho, že áhodá veličia X bude mít hodotu meší ež x. Jestliže vycházíme z grafického zázorěí fukce hustoty, potom pravděpodobost, že áhodá veličia X leží v itervalu (a,b) je rova ploše vymezeé grafem fukce hustoty a osou x v itervalu (a,b)... Rovoměré rozděleí Toto rozděleí je charakteristické jedoduchou fukcí hustoty, která abývá je dvou hodot. Nechť a, b œ R ; a < b. Defiujme hustotu f takto :, x R \ (a,b) f : x (.9), x (a,b) b - a Hodota distribučí fukce je potom dáa ásledujícím předpisem:, x a x a F : x, x ( a, b > (.) b a, x > b Toto rozděleí má především teoretický charakter, ejužívaější je případ volby parametrů a = a b =. Pro teto případ zobrazíme hodotu hustoty a distribučí fukce: Slouží apříklad k tvorbě geerátorů áhodých čísel, které hrají důležitou roli v teorii výběru dat. Hustota f(x) Distribučí fukce F(x),,8,6,4, - -,,8,6,4, Cauchyho rozděleí Jde opět o případ rozděleí, které je důležité především z teoretických důvodů. Nechť a>, potom je hustota rozděleí defiováa takto:

7 a f : x., (.) π a + x Podle vztahu (.3) je distribučí fukce rova : x π F : x. arctg +, (.). π a V dalším uvedeme ukázku hustoty a distribučí fukce pro případ a=: hustota pro hodotu a= Distribučí fukce pro hodotu a=,35,3,5,,5,, ,,8,6,4, Normálí rozděleí Jestliže budeme provádět ějaký pokus ( e utě áhodý ) zjistíme, že výsledek je ovlivě částmi eáhodého charakteru ( apř. přírodí zákoy ) a částí áhodou ( měřící přístroje atd.). Proto může být výsledek za stejých podmíek růzý. Pokud ale opakujeme takovéto pokusy mohokrát zjistíme, že průměré hodoty výsledků se budou postupě velmi málo od sebe lišit, áhodá část výsledků se potom realizuje v poloze výsledku vůči průměré hodotě. V praxi jsou velmi často splěy předpoklady ( formulovaé již Gaussem při staoveí zákoa rozděleí chyb ): a) Působí velmi moho áhodých avzájem ezávislých a aditivích veliči ( áhodé vlivy se sčítají ) b) Vliv každého každé áhodé veličiy a skutečou měřeou hodotu je zaedbatelě malý c) Kladé vlivy jsou stejě pravděpodobé jako záporé. Za těchto předpokladů získáme rozděleí zákou chyb, které se azývá ormálí rozděleí. Slovo ormálí je zde použito ve výzamu řídící se zákoem či modelem. Normálí rozděleí se ěkdy také azývá Gaussovo...3. Obecé ormálí rozděleí Hustota ormálího rozděleí má ásledující tvar ( x µ ). σ f ( x) =. e (.). σ.. π V tomto vyjádřeí jsou e U,78 ( Eulerova kostata ); p U 3,4; kostata m je středí hodota rozděleí ; kostata s je směrodatá odchylka rozděleí. Protože je hustota určea přesě při zalosti dvou parametrů m a s, ozačujeme toto rozděleí jako N(m, s ). Na obrázku íže uvedeme tři růzé hustoty ormálích rozděleí.

8 ,8,7,6,5,4,3,, N(-,4) N(,) N(4;,5) Z předchozích grafů můžeme usoudit a ěkteré vlastosti grafu hustoty ormálího rozděleí: a) Fukce hustoty abývá svého maxima v bodě x = m. b) Hustota je tím meší, čím je bod x dále od hodoty m c) Graf hustoty je symetrický podle přímky x = m. d) Všechy grafy mají zvoovitý tvar e) Žádý graf eprotíá osu x, leží stále ad í f) Plocha pod každým grafem je rova jedé Jak je již zámo z tvrzeí.. je pravděpodobost, že áhodá veličia typu N(m, s ), abude hodot z určitého itervalu, je rova ploše pod hustotou ad tímto itervalem. Tedy platí ásledující údaje: ) 68,7% hodot leží v itervalu (m - s,m,+s) ) 95% hodot leží v itervalu (m -. s,m,+. s) 3) 99% hodot leží v itervalu (m - 3. s,m,+3. s) Důležitou součástí práce s ormálím rozděleím je zalost distribučí fukce. Dříve bylo uto pracovat s tabulkami, které měli hodoty distribučí fukce tabelováy. To je des samozřejmě ahrazeo prací s počítačem. Je proto možo alézt prakticky libovolé hodoty distribučí fukce. Z historických, ale i teoretických důvodů je ejdůležitější rozděleí tohoto typu áhodá veličia N(, ). V další části se proto budeme specielě věovat této áhodé veličiě.

9 ..3. Normovaé ormálí rozděleí Toto rozděleí získáme volbou m = a s = v předchozí části.,8,6 Distribučí fukce F(x),4 hustota f(x), Jde o jedo z ejdůležitějších rozděleí, jeho distribučí fukce má specielí ozačeí F(x) a samo rozděleí se ěkdy ozačuje jako rozděleí Z ~ N(, ). Pomocí lieárí trasformace lze alézt hodoty áhodé veličiy N(m, s ) pomocí hodot rozděleí N(, ). Proto byly hodoty tohoto rozděleí tabelováy. Tato trasformace je rova u = x µ (.3). σ Jestliže je X~ N(m,s ) bude áhodá veličia µ U = X ~ N(,) (.4) σ Hodota f(x) hustoty ormovaého ormálího rozděleí je rova x f ( x) =. e (.5).. π Protože toto rozděleí hraje velmi důležitou roli v kokrétích případech statistických šetřeí, má jako jedié specielě ozačeou distribučí fukci F(x). V moha reálých situacích je toto rozděleí limitím případem a lze ho tedy používat apř. při práci s biomickým, Poissoovým rozděleím. Protože fukce hustoty f(x) rozděleí N(,) je symetrická podle počátku viz (.5). Musí platit pro distribučí fukci F(x) ásledující rovost : F(-x) = - F(x) (.6) Hodoty distribučí fukce N(,) jsou uvedey v tabulce 3. Příklad..3.. Jaká je pravděpodobost, že hodota proměé typu N(,) leží v itervalu <-,>? Řešeí: V tabulce jsou tabelováy je kladé hodoty. Pro záporé hodoty se vychází ze vztahu (.6). Protože F() =,9775, musí být tedy F(-) = -,9775 =,75. Podle vlastost c) v tvrzeí.. je hledaá pravděpodobost rova rozdílu mezi hodotami F() a F(-). Tedy P = F() - F(-) =,9775,75 =,9545.

10 Příklad..3.. Řešme stejý příklad pro případ N(,4) ; N(-,) a N(,4)! Řešeí: µ Podle vztahu (.4) U = X je N(,) σ.je li X ~ N(,4), je U = (X-)/ ~ N(,). Přepočteme ejprve meze itervalu <-,>; u = (--)/ = -,5 a u = (-)/ =,5. Hledaá pravděpodobost je potom P = F(,5) - F(-,5) =,6946,6687 =, Je li X ~ N(-,), je U = (X+)/ ~ N(,). Přepočteme opět meze itervalu <-,>; u = (- + )/ = ; u = ( + )/ U,649. Hledaá pravděpodobost P = F(,649) - F() =,9775,5 =, Je li X ~ N(,4), je U = (X)/ 4 ~ N(,). Přepočteme opět meze itervalu <-,>; u = (- - )/ 4 = -,363 ; u = ( )/ 4 U,363. Hledaá pravděpodobost P = F(,363)- F(-,363 ) =,6485 -,37595 =.,487. Příklad Nechť X~N(,). Nalezěte hodoty itervalů <-a,a>, pro které P(Xœ<-a,a>)= p. Proveďte pro hodoty p=,9;,95;,975;,99;,995! Řešeí: Vzhledem k vlastostem distribučí fukce F(x) budeme hledat hodoty x p takové, že F(x p ) = (+p)/. Tyto hodoty x p budou potom rovy hodotě a. Řešeí uvedeme v tabulce: p,9,95,975,99,995 x p = a,644853,959963,44,57583,874 Následující áhodé veličiy hrají velmi výzamou roli v prostředí statistiky, mají cetrálí roly v moha případech itervalových odhadů, statistických hypotéz, v statistické regresy a korelaci. V íže uvedeých výrazech se vyskytuje tzv. gamma fukce ozačovaá symbolem G. Tato fukce je popisováa v základích matematických příručkách či příručkách statistických apř. v předášce...4 c rozděleí o stupích volosti Toto rozděleí hraje velkou roli jak v teorii odhadu, tak i ve výzamých typech eparametrických statistických hypotéz. Jde o jedo parametrické rozděleí. Parametrem je přirozeé číslo, azývaé stupěm volosti. Jak uvidíme v dalších kapitolách toto rozděleí je rovo součtu ezávislých áhodých veliči, které jsou rovy druhé mociě rozděleí N(, ). Hustota tohoto rozděleí je staovea takto: x - f ( ). x.e, x > x = (.7). Γ Toto rozděleí se vyskytuje apř. v testech dobré shody v ichž je základím aparátem. Velmi důležitým je také při práci tzv. t testu. Dále jsou uvedey vybraé grafy hustot a distribučích fukcí pro čtyři růzé případy počtu stupňů volosti.

11 ,9,8,7,6,5,4,3,, =5 5 5 F(x) f(x),45,4,35,3,5,,5,,5,9,8,7,6,5,4,3,, = 5 5 F(x) f(x),,9,8,7,6,5,4,3,,,9,8,7,6,5,4,3,, = 5 5 F(x) f(x),3,5,,5,,5,8,6,4, =35,3,5,,5,,5 5 5 F(x) f(x)..5 Studetovo rozděleí ( t rozděleí ) Jde o jedo ze základích rozděleí. Využívá se především v teorii odhadu. Je jedo parametrické, parametr azýváme opět stupěm volosti( může abývat hodot přirozeých čísel ). Rozděleí je symetrické a pro hodoty velkých ( >) je dobře aproximováo rozděleím N(, ). Podobě jako u rozděleí c ho lze určit také ásledujícím vztahem: U X =, U ~ N(,), C - χ rozděleí (.8) C Hustota tohoto rozděleí je rova: + Γ f ( ) x = Γ. π. stupeň: x. + + (.9) stupeň:,45,9,4,8,35,7,3,6,5,5,4,,3,5,,,, ,4,9,35,8,7,3,6,5,5,,4,5,3,,,, F(x) f(x) F(x) f(x) Asymptotickým rozděleím k tomuto rozděleí je N(,). Proto pro velké hodoty stupě volosti volíme áhradu za ormovaé ormálí rozděleí.

12 ..6 Fischer Sedecorovo rozděleí ( F rozděleí ) Toto rozděleí se využívá především při porováí rozptylů dvou výběrů. Ovšem stále častěji je také využíváo v F testu apříklad v regresy a korelaci ebo v aalýze rozptylu. Jde o dvou parametrické rozděleí. Parametry se azývají stupě volosti. Podobě jako u předchozích rozděleí je možo získat F - rozděleí jako fukci jiých rozděleí. Kokrétě : Nechť X je rozděleí c o stupích volosti a X je rozděleí c o m stupích volosti, echť dále jsou obě rozděleí ezávislá. Potom áhodá veličia F defiovaá X F = (.) X m je F rozděleí s, m stupi volosti. Vlastí hodota hustoty tohoto rozděleí je uvedea dále + m Γ + m f, m ( x) =.. x. +. x (.) m m m Γ. Γ =, m= =, m=,9,8,7,6,5,4,9,8,7,6,5,4,3,3,,,,,5,5,5 3 3,5 4 4,5,5,5,5 3 3,5 4 4,5 Distribučí fukce hustota Distribučí fukce hustota =, m=6 =5, m=5,9,4,8,,7,6,5,8,4,6,3,,4,,,5,5,5 3 3,5 4 4,5,5,5,5 3 3,5 4 4,5 Distribučí fukce hustota Distribučí fukce hustota

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1)

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1) Obsah Obsah... Úvod... 3 Základí pojmy počtu pravděpodobosti... 7. Základí statistické pojmy... 7. Fukce áhodých veliči... 8.3 Charakteristiky áhodých veliči... 0.4 Některá rozděleí pravděpodobosti....5

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

5 Křivkové a plošné integrály

5 Křivkové a plošné integrály - 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základy měřeí eelektrických veliči.. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, aby bylo ožě split požadovaý úkol měřeí, tj. získat iformaci

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin

Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin Uiverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Bc. Barbora Šimková Odhady parametrů rozděleí áhodých veliči Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí program:

Více

PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST ... m n RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více