Integrace PER PARTES

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Integrace PER PARTES"

Matyáš Ševčík
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 Integrace PER PARTES Integraci per partes požíáme případě, kdy potřebjeme integroat sočin do fnkcí. Vyžíáme při tom následjícího zorce:, který je ntné některých příkladů požít i několikrát po sobě, než dojdeme ke kýženém ýsledk. Nezasěcený čtenář se jistě při pohled na žltě zýrazněno formli zděsí a ykřikne něco e smysl: Můj ty bože, co je to za blbost? Vždyť ten zorec akorát přeádí integrál sočin do fnkcí na integrál sočin jiných do fnkcí! A ještě do toho cpe deriace! Jak si kážeme na několika konkrétních příkladech, takoý ýkřik a jem podobné jso jen pohými ýkřiky do tmy. Pozn. V následjícím tet předpokládám znalost základních integračních zorců a taktéž deriací elementárních fnkcí. Příklad Vypočtěte: e d Když se podíám na žltý zorec a pak zpět na náš příklad, je mi jasné, že jedna z fnkcí a e msí být tomto zorci fnkcí a drhá fnkcí. Dejme tom, že nemám zatím s integrací per partes žádné zkšenosti a nejsem schopen idět ěci troch dopřed. Pak mi nezbýá, než olit náhodně. Volím tedy takto: tto fnkci je třeba integroat e tto fnkci msím derioat e Fajn. Proedl jsem dílčí ýpočty a teď hrá na to! e d e e d A krci! Dostal jsem ještě ětší fj než předtím. Znamená to snad, že metoda per partes nefngje? Ale kdepak, bobánci, jen jsem si fnkce a zolil špatně. Takže jinak: e tto fnkci msím integroat e tto fnkci msím derioat e d e e d e e e A je hotoo! Metoda per partes fngje. Pro klid dše proed ještě zkošk zpětno deriací. e e e 0 e e e e ZK:

2 Příklad Vypočtěte: 0 sin d Nejdří yšprtn en před integrál t desítk a ypočt integrál sin d. Posléze to celé ynásobím desíti. Vzhledem k tom, že opakoaná deriace postpně degradje mocninné fnkce s přirozeným eponentem až na pohé číslo (resp. nl, když neím, kdy přestat), je jasné, že jako fnkci zolím mocninno fnkci. sin cos sin d cos cos d cos cos d Příklad jsem sice zatím neyřešil, ale degradoal jsem mocninno fnkci integrál o jeden stpeň a to se počítá, ážení! Takže zno per partes: cos sin cos cos d cos sin sin d cos sin 6 sin d Ještě pořád mám integrál sočin do fnkcí. Takže per partes potřetí: sin cos cos sin 6 sin d cos sin 6 cos cos d cos sin 6 cos 6 cos d cos sin 6 cos 6sin Zbýá ynásobit desíti. Dostan 0 cos sin 6 cos 6sin Zkošk proed opět zpětno deriací. Bd pochopiteě derioat jen t záork a pak ýsledek ynásobím desíti. O konstant se nestarám (jistě íte proč). cos sin 6cos 6sin cos sin sin cos 6 cos sin 6cos cos sin sin 6sin elkem tedy 0 sin. Výsledek je spráně. cos 6cos 6sin 6cos.

3 Příklad Vypočtěte: e cos d o zolit jako fnkci a co jako fnkci? Neím, ale po pradě řečeno bych raději kosins integroal nežli derioal (to kůli tom míns), takže olím takto: cos sin e e e cos d e sin e sin d o teď? To jsem si zatím moc nepomohl. Zksím ještě jedno metod per partes a tentokrát (protože panikařím) obráceně. e e sin cos e sin e sin d e sin e sin e cos d e cos d. o to idím? Vždyť jsem se rátil na začátek! Příklad je neřešiteý!? Nikoli. Opět jsem jen špatně olil fnkce a a to při drhém požití metody per partes. Tak znoa. sin cos e e e sin e sin d e sin e cos e cos d e sin e cos e cos d Jak je idět, integrál e cos d jsem se zase nezbail. Ale nezofejme, řešení ž je elice blízko. Označím-li si totiž ten zpropadený integrál e cos d například písmenem ω, rázem dostan jednodcho ronici: e sin e cos / +ω e sin e cos / : e e sin e cos sin cos Záěr: e cos d sin cos + e ZK: sin cos e e cos e cos e sin cos e cos sin

4 Příklad Vypočtěte: cos d Čloěk se na to mrkne a hned ho napadne tato olba: cos sin cos sin cos d sin cos sin d sin cos sin d Nebojím se toho a zksím ještě jedno požít metod per partes. sin cos sin cos sin cos sin d cos sin cos sin cos d cos d o teď? Tady byla špatná olba hned úod. Zksím to tedy jinak. híli to bde možná ypadat, že sitaci akorát komplikj, ale nakonec se káže, že tdy ede ta spráná cesta. cos cos sin sin cos d cos sin d cos sin d sin cos cos cos cos d cos cos cos d cos cos sin cos cos sin ZK: cos cos sin cos cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos cos

5 Pozn. ) Při integraci fnkcí sin a cos jsem požil metod sbstitce. ) Při úpraách některých ýrazů jsem požil zorec sin sin cos. Příklad Vypočtěte: d I toto můž chápat jako sočin do fnkcí, totiž fnkce konstantní a logaritmické. Aplikj tedy metod per Pařez. Zkošk proeďte sami, tady jsem si íc než jistý. d d d Příklad 6 Vypočtěte: arctgd arctgd arctg d arctg Získaný integrál yřeším pomocí sbstitce (o níž je či bde pojednáno jinde): t d dt d t dt d t Dohromady dostan: arctgd arctg ZK: arctg arctg arctg Pozn. Při zkošce jsem derioal jednak sočin do fnkcí a jednak složeno fnkci. Příklad 7 Vypočtěte: d Vyžij lastnosti logaritmů a zadaný integrál rozdělím na da integrály o něco ksnější. d d d Abych se do toho nezamotal, yřeším si oba noě získané integrály samostatně a pak je od sebe odečt. Začn tím prním. d

6 d Jeden by řekl, že olba fnkcí a je jasná. Fnkce, protože ji bd derioat a stane se z ní konstanta. Dobrá, zksím to.? Výpočet fnkce ydá na samostatný příklad. t t tdt d d dt t d + Při ýpočt fnkce jsem yšel z příklad a ž teď můž říct, že dál ani nehodlám pokračoat. Třeba by to i yšlo, ale já to zksím jinak. d d d Na tomto místě proed příslšné dělení. : Tedy. Zpátky k příklad. d d d d Nyní ypočt podobným způsobem i drhý integrál. d d Proed opět příslšné dělení: d d d d

7 Nyní drhý integrál odečt od prního. Dostan: T absoltní hodnot drhého logaritm zrším, podle mě tam díky tom prním logaritm beztak nemá žádný ýznam. A logaritmy pak můž ytknot před záork. Dostan kýžený ýsledek: d ZK: Příklad 8 Vypočtěte: d sin sin Tak tady je to yloženě abank. Teda aspoň pro mě, je mi jasné, že ostřílený matematik by nezaáhal. d sin sin cos sin cos sin d cos cos cos sin sin cos sin cos d sin sin cos sin cos sin d sin sin 9 cos sin cos sin Mám zpátky půodní integrál.

8 Označím tedy sin sin d ω a dále řeším jako ronici. 9 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos Záěr: sin sin d sin cos sin cos ZK: sin cos sin cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin Pozn. ) Řešení příklad (jeho zápis) mnohdy záisí na požité integrační metodě. Jiný zápis řešení tohoto příklad je roen sin sin. Sami si program MATMAT.ee 0 (ke stažení sekci BONUSY) oěřte, že se jedná o ttéž fnkci. ) Při integraci fnkcí sin a cos jsem požil metod sbstitce. ) Sami si zkste různě kombinoat olby fnkcí a při prním a drhém požití metody per partes. Někdy to yjde, jindy třeba ne, ale chybami se čloěk čí! ) e cosd ) d ) e d ) sin d ) d 6) cos cosd 7) d cosd 8) Příklady k procičení. Zkošk proeďte zpětno deriací.

Podobné dokumenty

Derivace složené funkce

Derivace složené funkce Derivace složené fnkce Na rozdíl od integrování (neboli hledání primitivní fnkce k dané fnkci), kdy snadno narazíte na složeno fnkci, se ktero nehnete, ani kdyby trakače padaly, v případě derivací se mi