Dodatek B: Fresnelovy integrály

Transkript

1 DODATEK B: FRESNELOVY INTEGRÁLY 33 Dodatek B: Fresnelovy integrály B. Základní vlastnosti Fresnelových integrálů B. Mocninné řady Fresnelových integrálů B.3 Knochenhauerův rozvoj Fresnelových integrálů B.4 Cauchyův asymptotický rozvoj Fresnelových integrálů B.5 Cornuova spirála Fresnelových integrálů se používá při výpočtu vlnové funkce charakterizující Fresnelovu difrakci rovinné, válcové nebo kulové vlny na stínítkách rozložitelných do obdélníků s konstantní propustností šachovnice, polorovina, vlákno, štěrbina, dvojštěrbina, obdélníkový otvor apod. viz např. 6], str. 86 8)). K tomuto účelu je také Fresnel v r. 88 zavedl a tabeloval viz ], str. 77). Mají tvar C q ) = cos qt ) dt, S q ) = sin qt ) dt, ) kde q je reálné kladné číslo. V optice se nejčastěji používá q = / a inde / u symbolů C a S se nepíše. Také my se přidržíme této zvyklosti srov. B.) a B.) v dalším tetu). V literatuře se však Fresnelovými integrály označují i výrazy odlišné od ). Konkrétní příklady různých definic uvádíme v poznámce na konci příštího odstavce B.. Jak známo viz např. ], str. 36), Fresnelovy integrály nelze vyjádřit konečným počtem elementárních funkcí. Uvedeme některé vlastnosti a rozvoje Fresnelových integrálů, které usnadňují jejich numerický výpočet. B. Základní vlastnosti Fresnelových integrálů Budeme vyšetřovat Fresnelovy integrály ve tvaru a také integrál C) = S) = Ee) = C) + is) = cos t) dt, ) sin t) dt, ) ep i t) dt. 3) Reálná proměnná může nabývat všech hodnot v intervalu, ). Symbolů C) a S) se používá k označení Fresnelových integrálů v literatuře téměr bez výjimky, symbol Ee) jsme zavedli pro účely tohoto dodatku.) Je zřejmé, že C) = S) = Ee) = 4) a že všechny tyto tři funkce jsou spojité a liché C) = C ), S) = S ), Ee) = Ee ). 5) Etrémy funkce C) jsou v bodech, pro něž platí = n +, n =,,,..., etrémy funkce S) jsou v bodech, pro něž platí = n, kde n =,,... Hodnoty Ee ) = + i), 6) tj. C ) = S ) =. 7)

2 34 DODATEK B: FRESNELOVY INTEGRÁLY Obrázek : Graf funkce C). lze poměrně snadno vypočítat pomocí reziduové věty funkcí komplení proměnné viz např. 3], str. 59). V rámci integrálního počtu funkcí reálné proměnné je výpočet hodnot 7) poněkud komplikovaný. Tři různé způsoby jejich výpočtu uvádí G. M. Fichtěngol c ], str. 75, 733. Obrázek : Graf funkce S). Poznámka k různým definicím Fresnelových integrálů: V literatuře se Fresnelovy integrály definují několika neekvivalentními způsoby. To je třeba mít na paměti při používání tabulek vzorců nebo numerických hodnot. Dosti často se Fresnelovými integrály rozumí výrazy ) s q =, tj. C ) = cos t dt = Jindy se definují s koeficientem q ) C, S ) = q cos qt ) dt = C před integrálem ) q, q sin t dt = sin qt ) dt = S ) S. ) q

3 B. Mocninné řady Fresnelových integrálů 35 viz např. 4], 8.5 s q = ) zaváděným pravděpodobně proto, aby i takto definované Fresnelovy integrály nabývaly hodnoty,5 pro. Ještě jindy se za Fresnelovy integrály považují výrazy cos t t dt = C viz např. 5], odst. 9.) nebo dokonce cos t t dt = C ), ), sin t t dt = S sin t t dt = S ) ),. B. Mocninné řady Fresnelových integrálů Pro, ) platí Ee) = C) = S) = n= n= n= i n ) n n! ) n ) n n)! n+ n +, ) ) n ) n+ n + )! 4n+ 4n +, ) 4n+3 4n ) Tyto řady lze odvodit rozvojem integrandů v Maclaurinovu řadu a záměnou pořadí sčítaní a integrace: Ee) = = n= ep i t) dt = i ) n n! t n dt = n= n= i ) n t n n! i ) n n! dt = n+ n +, což je řada ). Oddělením reálné a imaginární části řady ) dostaneme řady ) a 3). Toto oddělení provedeme tak, že sečteme zvlášť sudé a liché členy řady ): Ee) = = l= l= i l ) l l)! ) l ) l l)! 4l+ 4l + + i l+ ) l+ l + )! l= 4l+ 4l + + i ) l ) l+ l + )! l= 4l+3 4l + 3 = 4l+3 4l + 3. Odkud, vzhledem k B.3), se ihned dostanou vztahy ) a 3). Poloměr konvergence řad ) až 3) je ovšem nekonečný, neboť poloměr konvergence rozvojů integrandů je nekonečný. O nekonečnosti poloměru konvergence řad ) až 3) se ovšem můžeme přesvědčit pomocí podílového kriteria. Např. pro řadu ) platí a n+ a n = n + n + 3 n +, takže lim a n+ a n = n pro všechna.

4 36 DODATEK B: FRESNELOVY INTEGRÁLY B.3 Knochenhauerův rozvoj Fresnelových integrálů Pro, ) platí Ee) = ep i ) i) n n + )!! n= n+, ) C) = M) cos ) + N) sin ), ) kde S) = M) sin ) N) cos ), 3) M) = N) = n= n= ) n n 4n + )!! ) n n+ 4n + 3)!! 4n+ = U, ), 4) 4n+3 = U 3, ). 5) Zde n + )!! = n + )n ) 3 a U ν u, v) značí Lommelovy funkce dvou proměnných u, v řádu ν viz dodatek C). Výrazy ) až 5) se získají integrací per partes: ep i t) dt = ep i ) i t ep i t) dt = = ep i ) i 3 3 ep i ) + i) = ep i ) i i) =... = = ep i N ) i) n n + )!! n= 3 ] i)3 3.5 n+ + i)n+ N + )!! t 4 ep i t) dt = t 6 ep i t) dt = t N ep i t) dt. 6) Obrázek 3: Graf funkce M).

5 B.3 Knochenhauerův rozvoj Fresnelových integrálů 37 Obrázek 4: Graf funkce N). Je nyní třeba ukázat, že i) N+ lim N N + )!! Za tím účelem odhadneme absolutní hodnotu i) N+ N + )!! t N ep i t) dt N+ N + )!! t N ep i t) dt =. 7) t N dt = N+ N+ N + )N + )!!. 8) Pro N jde limita výrazu 8) k nule. Zvětšíme-li totiž N o jedničku, změní se výraz 8) faktorem N + )/N + 3) a pro každou hodnotu eistuje tak velké N, že tento faktor je menší než jedna.) Tím je tvrzení 7) dokázáno. Podílovým kritériem se nahlédne, že poloměr konvergence řady ) je nekonečný lim a n+ a n = lim n n pro všechny hodnoty. Z výrazu 6) pak plyne tvrzení ). Vztahy ) a 3) se dostanou z reálné a imaginární části výrazu ): n + 3 = 9) ep i ) n= i) n n+ n + )!! = cos ) + i sin )] l= ) l l 4l + )!! 4l+ i l= ) l l+ 4l + 3)!! 4l+3 ]. Ve druhé hranaté závorce poznáváme výraz M) in). Je tedy Ee) = C) + is) = = M) cos ) + N) sin ) + i M) sin ) N) cos )]. Porovnáním reálné a imaginární části výrazů se dostávají tvrzení ) a 3). Rozvoje tohoto typu pocházejí od K. W. Knochenhauera 7], 8], str. 36, 37.) Je zřejmé, že řady M) a N) jsou liché funkce proměnné. Derivováním lze ověřit, že mezi nimi platí vztahy

6 38 DODATEK B: FRESNELOVY INTEGRÁLY M) = N) = d N), ) d ] d d M) B.4 Cauchyův asymptotický rozvoj Fresnelových integrálů Fresnelovy integrály mají tyto asymptotické řady pro :. ) kde Ee) = + i i ep i ) ) n i n )!!, ) n= C) = K) sin ) + L) cos )], ) S) = K) cos ) + L) sin )], 3) K) = L) = ) n 4n )!! n= ) n 4n + )!! n=, 4) ) n. 5) ) n+ Obrázek 5: Graf funkce K). Poznámka: Ve výrazu ) a 4) se v souvislosti s n = objeví výraz )!!. Klademe )!! =, což odpovídá vztahu viz 4], ) n )!! = n Γ n + ) pro n = : )!! = ) Γ =. Vztah ) odvodíme úpravou Fresnelova integrálu a integrací per partes. Předpokládáme ovšem > :

7 B.4 Cauchyův asymptotický rozvoj Fresnelových integrálů 39 Obrázek 6: Graf funkce L). Ee) = = + i ep i t) dt = ep i t) dt ep i t) dt = ep i t) dt, 6) ep i t) dt = = ep i t) t i dt = t ) ep i ) i i ) ep i ) ) ep i ) ) i + ) i = = ) i ep i = ) ) ) i i i ) N ] ) N i i + + N )!! N + N )!! = i ep i ) N ) n ) N i i n )!! + N )!! n= epi t )t t 3 dt = epi t )t t 5 dt = ) ep i t) t N dt = ep i t) t N dt. Odtud, vzhledem ke vztahu 6), vyplývá rozvoj ). Rozvoje ) a 3) jsou reálnou a imaginární částí rozvoje ). Sudé členy řady v ) tvoří totiž řadu K), liché členy řadu il). Takže vztah ) můžeme přepsat do tvaru C) + is) = + i ] i cos ) sin )] K) il), tj. C) + is) = což odpovídá rozvojům ) a 3). + i K) sin ) + L) cos )] + { K) cos ) + L) sin )]},

8 4 DODATEK B: FRESNELOVY INTEGRÁLY Obrázek 7: Aproimace funkce C) plná čára) funkcí + sin ) tečkovaně). Obrázek 8: Aproimace funkce S) plná čára) funkcí cos ) tečkovaně). Derivováním se lze přesvědčit, že řady K) a L) spolu souvisejí vztahy K) = + d L) d L) = d K) d ], 7) ]. 8) Až dosud jsme v tomto odstavci předpokládali, že >. Vzhledem k tomu, že Fresnelovy integrály jsou liché funkce, můžeme napsat asymptotické rozvoje platné pro všechna ve tvaru + i Ee) = sgn i epi ) ) ] n i n )!!, 9) n= { C) = sgn K) sin ) + L) cos )]}, ) S) = sgn { K) cos ) + L) sin )]}. )

9 B.4 Cauchyův asymptotický rozvoj Fresnelových integrálů 4 Při tom jsme využili toho, že funkce K) a L) jsou sudé. Teorie asymptotických řad a jejich použití k výpočtům je poněkud složitá viz např. ], kap. VIII). Nebudeme se jí zabývat a uvedeme jen, že pro výpočty difrakčních jevů používáme aproimace Fresnelových integrálů prvními dvěma členy asymptotických rozvojů 9) až ), tj. klademe K) =, L) = : + i Ee) sgn ep i )], C) sgn + sin )], ) S) sgn cos )] 3) srov. obr. 7 a 8). Příklad: Aproimativní vyjádření rozložení intenzity a fáze při difrakci na nepropustné polorovině. V odstavci 5. jsme odvodili rozložení relativní intenzity I) a fáze φ) při difrakci na nepropustné polorovině ve tvaru { I) = ] ] } + C) + + S), 4) φ) = Arctg + S) + C) 4 5) srov. 5.6), 5.7)). Symbolem Arctg značíme všechny větve funkce arkustangens. Hlavní větev značíme symbolem arctg, takže platí Arctg = arctg + n, n =, ±, ±,....) Hodnotě = odpovídá hranice geometrického stínu, hodnotám > osvětlená část roviny pozorování a hodnotám < zastíněná část. Dosazením přibližných výrazů ) a 3) do 4) a 5) dostaneme sice jen přibližná rozložení intenzity a fáze, budou však vyjádřena elementárními funkcemi, a tím budou názorně vypovídat o chování intenzity a fáze mimo bezprostřední blízkost geometrického stínu. Z ) a 3) je zřejmé, že + C) + sin ), + C) sin ), + S) cos ),, 6) + S) cos ),. 7) V osvětlené části roviny pozorování tedy podle 4), 5) a 6) je I) { + sin )] + = { + sin ) cos + sin } cos )] )] + ) } )],, 8) =

10 4 DODATEK B: FRESNELOVY INTEGRÁLY φ) Arctg cos + sin 4 arctg cos + sin )] arctg = = arctg { cos = arctg cos cos cos )] )] } arctg = )] )],. 9) Z výrazů 8) a 9) je zřejmé, že v osvětlené části rovniny pozorování intenzita osciluje kolem hodnoty jedna, fáze osciluje kolem nuly a že s rostoucí vzdáleností od geometrického stínu se tyto oscilace zhuštují a slábnou. V zastíněné části roviny pozorování je tomu jinak. Dosazením 7) do 4) a 5) dostáváme I) { } sin )] + cos )] =,, ) ) φ) Arctg cos ) sin ) 4 = Arctg cotg )] 4 = + ),. ) V zastíněné části roviny pozorování tedy s rostoucí vzdáleností od geometrického stínu intenzita asymptoticky klesá k nule srov. )), zatímco fáze kvadraticky roste srov. )). Porovnání výpočtu podle vztahů 4) a 5) a výpočtu podle přibližných vztahů 8) až ) je na obr. 9 a. Poznámka: Numerické výpočty Fresnelových integrálů uvedenými rozvoji ukazují, že tyto integrály je vhodné do hodnoty, 5 počítat buď mocninnými řadami pro n, anebo Knochenhauerovým rozvojem pro n. Pro, 5 stačí vzít první dva členy asymptotických rozvojů Fresnelových integrálů. Eistují tabulky Fresnelových integrálů, např. Tablicy intěgralov Frenela. Izdateľstvo akademii nauk SSSR, Moskva 955. B.5 Cornuova spirála Ke stanovení rozložení amplitudy a fáze ve Fresnelových difrakčních jevech na stínítkách s rovnými okraji se používalo Cornuovy spirály ]. Je to křivka, jejíž parametrické rovnice v kartézské soustavě souřadnic,, y) jsou = Cu), y = Su). Měříme-li délku Cornuovy spirály od počátku soustavy souřadnic, má Cornuova spirála tyto vlastnosti: a) Je symetrická podle počátku. b) Parametr u představuje délku křivky. c) Úhel α, který svírá tečna Cornuovy spirály v obecném bodě P u) s osou Cu), je α = u. d) Křivost k Cornuovy spirály v obecném bodě P u) je k = u,

11 B.5 Cornuova spirála Obrázek 9: Aproimace rozložení intenzity ve Fresnelově difrakci na nepropustné polorovině plná čára) funkcemi 8) a ) křížky) Obrázek : Aproimace rozložení fáze ve Fresnelově difrakci na nepropustné polorovině plná čára) funkcemi 9) a ) křížky).

12 44 REFERENCE Obrázek : Cornuova spirála. tj. je úměrná délce Cornuovy spirály. Z toho plyne, že poloměr křivosti ρ je nepřímo úměrný délce Cornuovy spirály a je roven ρ = k = u. Důkaz: a) Vlastnost a) vyplývá z toho, že Fresnelovy integrály C) a S) jsou liché funkce. b) Element délky křivky ds = d) + dy) = cos u Poněvadž s, ) = a rovněž u, ) =, je s = u. c) takže ) + sin u tg α = dy d = sin u ) cos u ) = tg u), α = u. ) du = du. d) k = dα du = u. Reference ] Fresnel J. A.: Œuvres complètes d Augustin Fresnel, Tome. H. de Senarmont, É. Verdet, L. Fresnel, eds.) Imprimerie Impériale, Paris 866. ] Fichtěngoľc G.M.: Kurs differenciaľnogo i intěgraľnogo isčislenija, tom. Gosudarstvennoe izdatěľstvo fiziko-matěmatičeskoj literatury, Moskva ] Fuks B. A., Šabat B.V.: Funkce komplení proměnné. NČSAV, Praha 96. 4] Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M.: Table of Integrals, Series, and Products. Academic Press, New York and London 965.

13 REFERENCE 45 5] Bateman H., Erdélyi A.: Higher Transcendental Functions. Volume. McGraw Hill Book Co., Inc., New York, Toronto, London ] Komrska J.: Scalar Diffraction Theory in Electron Optics. In: Progress in Electronics and Electron Physics L. Marton, ed.), Vol. 3. Academic Press, Inc., New York and London 97, ] Knochenhauer K. W.: Űber die Oerter der Maima und Minima des gebeugten Lichtes nach den Fresnel schen Beobachtungen. Poggendorff s Annalen der Physik und Chemie ) 4 837), 3. 8] Knochenhauer K. W.: Die Undulationstheorie des Lichtes. G. Reimer, Berlin ] Abramowitz M., Stegun I. A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, Inc., New York 97, 3. ] Whittaker E. T., Watson G. N.: A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press, Cambridge 97. ] Cornu M. A.: Méthode nouvelle pour la discussion des problèmes de diffraction dans le cas d une onde cylindrique. Journal de Physique Théorique et Appliqée 3 874), 5 5, 44 5.