PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
|
|
- Julie Beranová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTERÁL JAN MALÝ Obsah 1. Plochy a křivky 1 2. Křivkový a plošný integrál prvého druhu 1 3. Křivkový integrál druhého druhu 3 4. Elementy teorie pole 4 5. Plošný integrál kodimenze Věta o divergenci 6 7. Integrování přes variety 7 8. Stokesova věta 8 9. Praktické hledání parametrizace a určování orientace 9 1. Plochy a křivky Pojmy plocha a křivka se v matematice používají v mnoha různých významech. V této sekci je zavedeme tak, jak se hodí pro účely integrace Křivka. Křivka (přesněji C 1 -křivka) v R d je spojitě diferencovatelné zobrazení γ intervalu a, b R do R d. Derivace γ v krajních bodech a, b chápeme jako jednostranné. Interval a, b nazveme referenčním intervalem křivky γ Plocha, zobecněná křivka. Nyní bychom chtěli definovat něco jako křivka ve vyšší dimenzi. Definiční obor by v tomto případě mohl být vícerozměrný interval, ale takové pojetí je přecijen někdy příliš omezující. Budeme tedy definovat n-rozměrnou plochu v R d, n 1, jako spojitě diferencovatelné zobrazení otevřené množiny R n do R d. Množinu nazveme referenčním oborem plochy. 1-rozměrnou plochu budeme nazývat zobecněnou křivkou. Každé křivce γ : a, b R d odpovídá zobecněná křivka γ = γ (a, b), tedy ořízneme hodnoty v krajních bodech referenčního intervalu. Ztráta informace je jen zdánlivá, chybějící krajní body křivky můžeme znovu zrekonstruovat jako limity v krajních bodech referenčního intervalu. Zobecněná křivka zobecňuje pojem křivky ve dvou směrech: v krajních bodech nepožadujeme existenci jednostranných limit, referenční obor nemusí být souvislý. Křivky a plochy jsou definované jako zobrazení, ale intuitivně je často vnímáme jako množiny, tj. plochu vnímáme jako množinu (). Při takové intuitivní představě je třeba zachovávat opatrnost, například v definici plochy jsme nepožadovali prostotu, tj. plocha se může křížit sama se sebou nebo někde dokonce třeba zdvojit. Nějčastěji se však prostota objeví v dodatečných předpokladech. Zdůrazněme, že (zobecněné) křivky pokládáme za zvláštní případ ploch a zformulujeme-li tvrzení (definici, poznámku,...) pro plochy, máme tím na mysli i aplikaci na křivky. Pojem křivka používáme jen mluvíme-li o specifikách jednorozměrného případu Regularita. Řekneme, že plocha je regulární v bodě t, jestliže Jacobiho matice (t) má hodnost n. Regulární plocha znamená regulární v každém bodě. 2. Křivkový a plošný integrál prvého druhu 2.1. Motivace. Naším cílem je vybudovat integrál (úhrn veličiny) přes n-rozměrné množiny v R d. Nejschůdnější cestou je vhodná volba křivočarých souřadnic, což odpovídá tomu, že neintegrujeme přes množiny, ale přes plochy. 1
2 2.2. rammův determinant. Nechť : R d je n-rozměrná plocha v R d. Máme ( (t) T (t) = (t) ) k (t). t i t j Determinant z této matice se nazývá rammův determinant, jeho odmocnina se používá jako jakobián pro plošné integrály druhého druhu a značí J(t). Tedy J(t) := (t) T (t). Symbol... zde je použit k zdůraznění faktu, že jde o nezápornou veličinu, na rozdíl od obyčejného objemového jakobiánu. Také si lze správně myslet, že samotnému výrazu J lze také přiřadit smysl, tím se však budeme zabývat později Plošný integrál prvého druhu. Nechť : R d je n-rozměrná plocha v R d a f je funkce na (). Definujeme (1) f ds = f(x) ds(x) := f((t)) J(t) dt. Definici (a podobným definicím v dalším) rozumíme tak, že integrál vlevo má smysl, když má smysl integrál vpravo Definice (Nulové množiny). Řekneme, že množina N R d je k-nulová, jestliže pro každé ε > 0 existují koule B(x j, r j ), j N, tak, že N B(x j, r j ) a rj k < ε. j Jako příklady k-nulových množin slouží např. variety nižší dimenze, nebo obrazy (A), kde A je Lebesgueovsky k-nulová a je k-rozměrná plocha. Je-li N k-nulová, pak všechny její k-rozměrné projekce jsou Lebesgueovsky k-nulové. Pro k = d pojmy k-nulovosti a lebesgueovské nulovosti splývají Parametrizace. Nechť M R d a : R d je n-rozměrná plocha. Řekneme, že je (n-rozměrná) lokální parametrizace M, jestliže je prostá, regulární a relativně otevřená do M (To znamená, že () M a zobrazuje otevřené podmnožiny na relativně otevřené podmnožiny M. Inverzní zobrazení je potom spojité.) Řekneme-li, že je globální parametrizace M, znamená to, že navíc () = M. Užitečný kompromis mezi lokální a globální parametrizací je zobecněná parametrizace, to je taková lokální parametrizace M, že M \ () je n-nulová množina Věta (nezávislost plošného integrálu na parametrizaci). Nechť M R d a f : M R je funkce. Nechť : R d, ψ : H R d jsou zobecněné parametrizace M. že () = ψ(h) = M. Potom buď f ds = f ds, nebo žádný z těchto integrálů nemá smysl Integrál prvého druhu přes množinu. Nechť M R d a f : M R je funkce. Potom definujeme (n-rozměrný) plošný integrál f přes M předpisem f ds = f ds, M kde je zobecněná parametrizace M. Pokud žádná zobecněná parametrizace M neexistuje nebo integrál vpravo nemá smysl, zůstává integrál vlevo nedefinovaný. Z předchozí věty plyne, že taková definice je korektní Křivkový integrál prvého druhu. Nechť : R d je zobecněná křivka. Potom Jacobiho matice (t) má d řádků a jen jeden sloupec, je to tedy vlastně jen svislý vektor. Potom J = a pro křivkový integrál prvého druhu funkce f platí vzorec f ds = f(x) ds(x) = f((t)) (t) dt. 2 ψ j i,j=1
3 Všimněte si, že pro křivkovou integraci se zpravidla píše diferenciál ds místo ds. Integrál ds = (t) dt má geometrický význam délky (zobecněné) křivky. (Bez ohledu na to, zda křivka je prostá či ne, může se i protínat či dokonce probíhat některé úseky vícekrát. V takovém případě se ovšem i délka příslušného úseku objeví ve výsedku vícekrát a délka křivky se může lišit od délky množiny ().) 2.9. Vektorový součin. Vektorový součin vektorů u 1,..., u d 1 R d je vektor d u 1 u d 1 := det(e i, u 1,..., u d 1 ) e i. i=1 Vektorový součin je kolmý na své činitele. Při liché permutaci činitelů změní vektorový součin znaménko, při sudé zůstane zachován. V dimenzi tři je vektorovým součinem vektorů u = (u 1, u 2, u 3 ) a v = (v 1, v 2, v 3 ) vektor ( ( ( ( u2, v 2 u3, v 3 u1, v 1 u v = det u 3, v 3 ), det u 1, v 1 ), det u 2, v 2 V dimenzi 2 má vektorový součin jen jednoho činitele. Roli vektorového součinu plní zde operátor otočení o pravý úhel proti směru hodinových ručiček [u 1, u 2 ] = [ u 2, u 1 ]. Vektorový součin přiřadí vektoru u vektor u (pozor na znaménko!) Vektorový jakobián a plošný integrál kodimenze jedna. Vektorový jakobián (d 1)-rozměrné plochy : R d v bodě t R d 1 definujeme předpisem J(t) = (t) (t). t 1 t d 1 Podle tzv. Cauchy-Binetovy formule je J(t) = J(t), tedy jakobián pro kalkulus plošného integrálu prvého druhu lze v kodimenzi 1 počítat alternativním způsobem f ds = f(x) ds(x) := f((t)) J(t) dt. Integrál ds = J(t) dt má geometrický význam obsahu (area) plochy. Podobně jako u křivky, o obsahu plochy můžeme mluvit i tehdy, když plocha není prostá, pak se ale může lišit od obsahu množiny (). 3. Křivkový integrál druhého druhu 3.1. Křivkový integrál druhého druhu. Nechť = ( 1,..., d ): R d je zobecněná křivka a f = (f 1,..., f d ) : () R d je vektorové pole. Definujeme b (2) f ds = f((t)) (t) dt. Také pro index i a skalární funkci u: () R d píšeme b (3) u dx i := u((t)) i(t) dt. Definice (2), (2) chápeme tak, že integrál vlevo má smysl, pokud má smysl integrál vpravo. Zřejmě můžeme přepsat f ds = f 1 dx f d dx d. a a Křivkový integrál (2) má velký význam ve fyzice, křivkovým integrálem druhého druhu se integrují veličiny, u nichž není zajímavý úhrn celkové velikosti, ale úhrn tečné složky. Například práce je křivkový integrál druhého druhu síly po dráze. 3 ) ).
4 3.2. Pole. Pojmy skalární pole, vektorové pole se používají jako synonyma pro skalární, resp. vektorovou funkci. Jejich používání v některých situacích je dáno zvyklostmi Tečné pole. Nechť : R d je prostá regulární zobecněná křivka. Je-li x = (t), t, definujeme (4) τ (x) = (t) (t). Funkce τ : () R d se nazývá pole jednotkových tečných vektorů (zkráceně tečné pole) ke křivce. Zahrnuje v sobě informaci o tečném prostoru v každém bodě a směru probíhání křivky. Je-li interval a má-li prosté spojité rozšíření do, existují jen dvě možnosti jak může vypadat tečné pole na (), tedy každá jiná parametrizace ψ dá jednu z těchto možností: jestliže ψ 1 je rostoucí, pak původní τ, jinak τ Věta (Vztah mezi křivkovým integrálem prvého a druhého druhu). Nechť M R d má n-rozměrnou zobecněnou parametrizaci : R d. Nechť f : M R d je vektorové pole. Potom f ds = f τ ds, má-li integrál aspoň na jedné straně smysl. M 4. Elementy teorie pole 4.1. Divergence, gradient, rotace. Nechť U R d je otevřená množina, u : U R je spojitě diferencovatelná funkce a f = (f 1,..., f d ) : U R d je spojitě diferencovatelné vektorové pole (vektorové pole znamená zobrazení s hodnotami v R d ). Nechť (e 1,..., e d ) je kanonická báze v R d. Definujeme curl f := u = grad u := ( f3 f ) 2 e 1 + x 2 x 3 div f := d i=1 d i=1 u x i e i, (gradient u), f i x i, (divergence f) curl f := f 2 f 1 (rotace f, d = 2), x 1 x 2 ( f1 f ) 3 e 2 + x 3 x 1 ( f2 f ) 1 e 3 (rotace f, d = 3). x 1 x Věta o potenciálu. Nechť W R d je otevřená množina. Nechť ψ : a, b R d je křivka, ψ W, A = ψ(a), B = ψ(b). Nechť u : W R je spojitě diferencovatelná funkce. Potom u(b) u(a) = u ds, pokud integrál vpravo konverguje Definice (Hvězdovitá množina). Řekneme, že množina U R d je hvězdovitá, jestliže existuje a U tak, že pro každý bod x U je celá úsečka {a + t(x a): t 0, 1 } podmnožinou U. Každá konvexní množina je hvězdovitá Věta (Hlavní věta teorie pole). Nechť W R d je otevřená množina a f = (f 1,..., f d ) : W R d je spojité vektorové pole. Uvažujme následující podmínky: (i) (Existence potenciálu.) Existuje spojitě diferencovatelná funkce u : W R tak, že f = u. (ii) (Nezávislost integrálu na dráze.) Pro každé dva body A, B W existuje číslo c = c(a, B) tak, že a každou křivku ψ : a, b W s počátečním bodem A = ψ(a) a koncovým bodem B = ψ(b) je f ds = c. (iii) (Nulová rotace.) Pro každou dvojici i, j indexů z {1,..., d} je ψ ψ Potom platí následující vztahy: f i x j = f j x i. 4
5 (a) (i) (ii), (b) Je-li f spojitě diferencovatelná, pak (i) = (iii). (c) Je-li f spojitě diferencovatelná a W hvězdovitá, pak pak (iii) = (ii) Poznámka. Nulovost rotace je rovnost curl f = 0 v dimenzi 2 a rovnost curl f = 0 v dimenzi Plošný integrál kodimenze Plošný integrál druhého druhu. Nechť : R d je (n 1)-rozměrná plocha v R n. Nechť f = (f 1,..., f n ): () R n je vektorové pole. Potom definujeme (5) f ds := f((t)) J(t) dt. Integrály typu (5) se hojně vyskytují ve fyzice, mají např. význam toku plochou Zápis pomocí diferenciálů. Jestliže n = 2, je zobecněná křivka a integrál uvedený výše lze přepsat ve tvaru f ds = f 1 dx 2 f 2 dx 1. Zde velikost symbolu S v diferenciálu hraje významnou roli. Musíme striktně rozlišovat mezi integrálem f ds a integrálem f ds = f 1 dx 1 + f 2 dx 2. V dimenzi tři, pro dvourozměrnou plochu = ( 1, 2, 3 ): R 3, skalární pole u a dvojici indexů (i, j) {1, 2, 3} 2 definujeme u dx i dx j = u((t)) ( i, j ) (t 1, t 2 ) dt. Všimněne si, že takový integrál závisí znaménkem na pořadí diferenciálů a pro i = j je nulový! Pak lze psát f ds = f 1 dx 2 dx 3 f 2 dx 1 dx 3 + f 3 dx 1 dx 2. Podobně lze zapisovat různé integrály ve vyšších dimenzích, a nejen pro plochy dimenze či kodimenze jedna, podrobněji se však tomuto tématu budeme věnovat později Normálové pole. Nechť : R n je prostá regulární (n 1)-rozměrná plocha. Je-li x = (t), t, definujeme (6) ν(x) = J(t) J(t). Funkce ν : () R n se nazývá pole jednotkových normálových vektorů (zkráceně normálové pole) k ploše. Zahrnuje v sobě informaci o tečném prostoru v každém bodě a orientaci ve smyslu rub nebo líc. Je-li souvislá otevřená množina a má-li prosté spojité rozšíření do, existují jen dvě možnosti jak může vypadat normálové pole na (), tedy každá jiná parametrizace ψ dá jednu z těchto možností: původní ν nebo ν Věta (Vztah mezi integrálem prvého a druhého druhu). Nechť M R n má zobecněnou (n 1)- rozměrnou parametrizaci : R n. Nechť f : M R n je vektorové pole. Potom f ds = f ν ds, M pokud aspoň jeden z integrálů má smysl. 5
6 6. Věta o divergenci 6.1. Ohraničení otevřené množiny. Buď n > 1. Nechť Ω R n je omezená otevřená množina a : R n je prostá regulární (n 1)-rozměrná plocha v R n. Řekneme, že ohraničuje Ω v bodě z = (t) Ω, jestliže existuje okolí U bodu z a spojitě diferencovatelná rozhraničující funkce h: U R tak, že h(z) 0, J(t) je kladným násobkem h(z) (test orientace) a [ ] x Ω h(x) < 0, x U =. x () h(x) = 0 Při našem způsobu orientace směřuje normála ν ke vždy ven z Ω. Proto se jí říká vnější normála. Řekneme, že ohraničuje Ω až na (n 1)-nulovou množinu, jestliže je zobecněná parametrizace Ω a ohraničuje Ω v každém bodě () Věta o divergenci. Nechť Ω R n je omezená otevřená množina a : R n je (n 1)-rozměrná plocha ohraničující Ω až na (n 1)-nulovou množinu. Nechť f je spojitě diferencovatelné vektorové pole na Ω (). Potom (7) f ds = div f(x) dx, pokud integrály na obou stranách konvergují. Ω 6.3. Poznámky. Věta o divergenci se také nazývá aussova, auss-reenova nebo Ostrogradského. Často se zapisuje ve tvaru f ν ds = div f(x) dx. Ω 6.4. Test orientace pro reenovu větu. Následující varianta je důsledek věty o divergenci. Jedná se o to, že v dimenzi 2 je mno6ina Ω ohraničena zobecněnou křivkou, takže integrál přes kraj můžeme vnímat i jako křivkový integrál. V tom případě je přirozenější integrovat s tečným polem než s normálovým, ale tomu se musí uzpůsobit diferenciální operátor na druhé straně rovnosti. Test orientace v tomto případě v bodě a = (t) je det( h(a), (t)) > 0. kde h je rozhraničující funkce v a reenova věta. Nechť Ω R 2 je omezená otevřená množina ohraničená zobecněnou křivkou : R 2 až na 1-nulovou množinu. Nechť f je spojitě diferencovatelné vektorové pole na Ω (). Potom f ds = curl f(x) dx pokud integrály na obou stranách konvergují Příklad (Koule). Buď Ω = {x R 3 : x < 1}. K ohraničení použijeme sférické souřadnice: 2 α 3 α 3 γ 1 = cos γ cos α, 2 = cos γ sin α, 3 = sin γ, Ω Ω (α, γ) ( π, π) ( π/2, π/2) 2-nulová množina {x Ω : x 2 = 0, x 1 0} je nepokryta. Vektorový jakobián v bodě (α, γ) je 1 1 α γ cos γ sin α sin γ cos α cos γ cos α 2 γ = cos γ cos α sin γ sin α = cos γ cos γ sin α. 0 cos γ sin γ Rozhraničující funkce v bodě x = (α, γ) je h(x) = x 2 1 = x x x 2 3 1, tedy h(x) = 2x. Přesvědčili jsme se, že jakobián je kladný násobek normály, test orientace prošel Příklad (Čtverec). Buď Ω = (0, 1) 2 čtverec v R 2. Nechť zobecněná křivka je definována na (0, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 4) předpisem [t, 0], t (0, 1), [0, t 1], t (1, 2), (t) = [3 t, 0], t (2, 3), [0, 4 t], t (3, 4). 6
7 Potom ohraničuje Ω. Vrcholy čtverce Ω zůstávají nepokryty, ale ty tvoří 1-nulovou množinu. Podmínky definice ověříme třeba na straně {1} (0, 1), pokryté úsekem na (1, 2). Rozhraničující funkce na (0, 2) (0, 1) je h(x) = x 1 1. Normála v bodě [1, x 2 ] je e 1 = [1, 0]. Test orientace v bodě x = (t) = [0, t 1] je ( 0 <? h det( h(x), (t)) = det x 1 (0, t 1), ) ( ) 1(t) 1, 0 h x 2 (0, t 1), = det = 1 2(t) 0, Příklad (Krychle). Abychom ohraničili krychli Ω = (0, 1) 3, potřebujeme plochu, která by nám nakryla všechny stěny. Za tímto účelem zvolíme jako sjednocení šesti disjunktních čtverců, např. (k 1, k) (0, 1), k = 1,..., 6, a každý z nich přiřadíme jedné stěně krychle. Například, stěnu (0, 1) {0} (0, 1) můžeme nakrýt zobrazením (t 1, t 2 ) [t 1, 0, t 2 ], t (4, 5) (0, 1). Rozhraničující funkce je h(x) = x 2, x (0, 1) ( 1, 1) (0, 1). Vektorový jakobián v bodě t je = což by měl být v případě správné orientace kladný násobek h(t 1 4, t 2 ). Snadno se přesvědčíme, že výsledek testu orientace je kladný , 7. Integrování přes variety 7.1. Mapa. Nechť M R d. Inverzní zobrazení k lokální parametrizaci množiny M se nazývá (nrozměrná) mapa na M. Definiční obor mapy µ budeme značit D µ Atlas. Nechť Γ R d a A je množina map na Γ. Řekneme, že A je atlas (přesněji C 1 -atlas) na Γ, jestliže Γ = D µ. µ A V tom případě se dvojice (Γ, A) nazývá n-rozměrná varieta v R d (přesněji varieta třídy C 1 ). Struktura variety se dá budovat i na vhodné množině Γ která není dána jako část R d, pak je nutno definici uzpůsobit. I nadále, pokud budeme mluvit o mapě na varietě, nemusí být nutně prvkem daného atlasu Orientovaná varieta. Nechť (Γ, A) je varieta. Řekneme, že lokální parametrizace : Γ je kladná. jestliže µ má kladný jakobián pro každou mapu µ A. (Jako definiční obor µ bereme přirozeně {t : (t) D µ }.) Inverzní zobrazení ke kladné lokální parametrizaci se nazývá kladná mapa. V obecném případě kladné mapy nemusí existovat. Řekneme, že (Γ, A) je orientovaná varieta, jestliže každá mapa z A je kladná Příklady. (a) Nechť : R d je prostá regulární n-rozměrná plocha v R d a Γ = (). Předpokládejme, že 1 je spojité zobrazení. Potom (Γ, { 1 }) je n-rozměrná orientovaná varieta v R d, tzv. parametrická varieta. (b) Nechť je speciálního tvaru : t (t, ψ(t)) R d, t H, kde H R n je otevřená množina a ψ : H R d n je C 1 zobrazení. Buď Γ graf ψ, tedy Γ = {x R d : x i = ψ i n (x 1,..., x n ), i = n + 1,..., d}. Potom (Γ, { 1 }) je n-rozměrná orientovaná varieta v R d, tzv. explicitní varieta. (c) Nechť W R d je otevřená množina a g : W R d n je C 1 zobrazení. Předpokládejme, že g má v celém W hodnost d n. Buď Γ = {x W : g(x) = 0}. Řekneme, že n-rozměrná prostá regulární plocha : R d je kladná lokální parametrizace Γ vzhledem k implicitní funkci g, jestliže pro každý bod x = (t) () je ( det g 1 (x),... g d n (x), (t) t 1 (t),..., (t) ) (t) > 0. t n Nechť A = { 1 : je kladná lokální parametrizace Γ.} Potom (Γ, A) je n-rozměrná orientovaná varieta v R d, tzv. implicitní varieta Poznámka. Implicitní popis variet vypadá dost složitě, přesto má nesporné výhody: 7
8 Může být pro danou množinu přirozený, např. pro sféru v R n je přirozený popis pomocí implicitní rovnice x 2 = 1, naopak parametrické popisy, např. pomocí polárních či (zobecněných) sférických souřadnic, jsou umělé. Sféra R n nemá globální parametrizaci, dá se parametrizovat pouze po kouskách lokálně. I sférické souřadnice ponechávají nepokrytý poledník. Implicitní popis je výhodný v kodimenzi 1, protože pak soustava rovnic g(x) = 0 se redukuje na jednu (skalární) rovnici Věta (o zobecněné parametrizaci). Nechť (Γ, A) je n-rozměrná varieta v R d. Pak Γ má zobecněnou parametrizaci. Jestliže Γ je orientovaná, existuje kladná zobecněná parametrizace Γ Příklad. Sférické souřadnice x 1 = cos γ cos α x 2 = cos γ sin α, (α, γ) ( π, π) ( π/2, π/2) x 3 = sin γ tvoří zobecněnou parametrizace sféry S = {x R 3 : x = 1}. 2-nulová množina {x S : x 2 = 0, x 1 0} je nepokryta. Tento příklad je typický Integrál druhého druhu. Nechť : R d je n-rozměrná plocha, u je funkce na () a α = (α 1,..., α n ) {1,..., d} n je uspořádaná n-tice indexů (tzv. multiindex). Potom definujeme u dx α1... dx αk = u((t)) ( α 1,..., αn ) (t) dt. (t 1,..., t n ) Je-li (Γ, A) orientovaná n-rozměrná varieta v R d, u je funkce na () a α = (α 1,..., α n ) je multiindex, definujeme u dx α1... dx αk = u dx α1... dx αk, Γ kde je kladná parametrizace Γ. Podle věty 7.6 definice nezávisí na volbě. 8. Stokesova věta 8.1. Ohraničení variety. Buď n > 1. Uvažujme n-rozměrnou varietu v R d a její podvarietu (tj. relativně otevřenou podmnožinu) Ω. Nechť : R d je prostá regulární (n 1)-rozměrná plocha v R d. Řekneme, že ohraničuje Ω v bodě z = (t), jestliže existuje kladná mapa µ k tak, že z D µ a µ ohraničuje µ(d µ Ω) v µ(z). Řekneme, že ohraničuje Ω až na (n 1)-nulovou množinu, jestliže je zobecněná parametrizace množiny Ω \ Ω a ohraničuje Ω v každém bodě (). Množina Ω \ Ω hraje roli hranice. Zde zdůrazněme, že Ω je absolutní uzávěr (vzhledem k R d ), může přesáhnout ven z. Z předpokladu však plyne, že její přesah přes musí být (n 1)-nulový Stokesova věta. Nechť R d je n-rozměrná orientovaná varieta a Ω je její omezená relativně otevřená podmnožina. Nechť : R d je (n 1)-rozměrná plocha ohraničující Ω až na (n 1)-nulovou množinu. Nechť u spojitě diferencovatelná funkce na okolí a (α 1,..., α n 1 ) je uspořádaná (n 1)-ice indexů z {1,..., d}. Potom Γ u dx α1... dx αn 1 = pokud integrály na obou stranách konvergují. d i=1 u x i dx i dx α1... dx αn 1, 8.3. Test orientace pro speciální Stokesovu větu. Nejdůležitější případ Stokesovy věty je d = 3 a n = 2. Pak bývá zpravidla zadaná jako implicitní varieta rovnicí g = 0 a orientovaná normálovým polem ν(x) = g(x) g(x) Její podvarieta Ω je ohraničená zobecněnou křivkou : R 3 a ke každému bodu z () najdeme jeho okolí U v R 3 a na něm spojitě diferencovatelnou rozhraničující funkci h tak, že g(z) h(z) 0 a [ ] x Ω h(x) < 0, x U =. x () h(x) = 0. 8
9 Test orientace v takovém bodě se dá vyjádřit tak, že je ψ (t) je kladným násobkem g(x) h(x), nebo že det( g(x), h(x), (t)) > Speciální Stokesova věta. Nechť R 3 je omezená 2-rozměrná orientovaná varieta a Ω je její podvarieta, ohraničená zobecněnou křivkou ψ až na 1-nulovou množinu. Nechť f je spojitě diferencovatelné vektorové pole na okolí. Potom f ds = curl f ds, ψ Ω pokud integrály na obou stranách konvergují. 9. Praktické hledání parametrizace a určování orientace 9.1. Poznámka. Sehranost orientací pro reenovu a Stokesovu větu se heuristicky kontroluje pomocí názorných pomůcek. Kladná parametrizace kraje otevřené množiny Ω R 2 je křivka, která obíhá proti směru hodinových ručiček. Kladná parametrizace kraje 2-rozměrné variety R 2 orientované pomocí normály se pozná podle pravidla pravé ruky: směřuje-li palec ve směru normály příslušné, pak zakřivené prsty ukazují směr obíhání křivky, která parametrizuje kraj. Zde používáme konvenci, že osa x směřuje doprava, osa y dozadu a osa z nahoru. Tyto pomůcky nemůžou nahradit výpočet, ale mohou nám naznačit, zda jsme při výpočtu neudělali numerickou chybu Poznámka. Je-li : R d plocha, o níž chceme rozhodnout, zda ohraničuje množinu nebo zda je kladnou lokální parametrizací variety, pak platí, že pokud je souvislá (např. interval), stačí provést test orientace v jednom bodě. V některých následujících cvičeních budeme ze cvičných důvodů ověřovat znaménko ve všech bodech. Samostatně zkontrolujte, zda nalezené parametrizace jsou prostá regulární zobrazení do dané množiny a nepokrytá čast je nulová Poznámka. Pokud nám test orientace dá, že nalezená parametrizace je záporná, nezoufejme. Kladnou parametrizaci lze vyrobit prohozením pořadí proměnných (u plochy) nebo záměnou proměnných s = t (u křivky) Cvičení. Nechť 0 < r < R a M = {( x 2 + y 2 R) 2 + z 2 = r 2 }. Najděte zobecněnou parametrizaci a rozhodněte o znaménku, víte-li, že kladná jednotková normála v bodě [R + r, 0, 0] je [1, 0, 0]. Řešení. Použijeme-li válcové souřadnice Φ: x = ρ cos ᾱ, y = ρ sin ᾱ, z = z, [ ρ, ᾱ, z] (0, ) ( π, π) R, rovnice se nám převede na ( ρ R) 2 + z 2 = r 2. Tuto varietu můžeme parametrizovat posunutými polárními souřadnicemi ψ: ρ = R + r cos β, z = r sin β, ᾱ = α, takže složením parametrizací Φ ψ dostáváme : x = (R + r cos β) cos α, y = (R + r cos β) sin α, z = r sin β, [α, β] ( π, π) 2, [α, β] ( π, π) 2. Znaménko parametrizace určíme z pravidla, že vektorový jakobián kladné parametrizace v [α, β] je kladným násobkem jednotkové normály v (α, β). Stačí tedy kontrolovat x-ovou souřadnici J(α, β), a to je ( ) (y, z) (R + r cos β) cos α, r sin β sin α (α, β) = det. (α, β) 0, r cos β Jelikož náš bod [R + r, 0, 0] je (0, 0), počítáme ( ) (y, z) R + r, 0 (0, 0) = det = r(r + r) > 0. (α, β) 0, r 9
10 Tedy nalezená parametrizace je kladná Cvičení. Nechť g = x 2 + y 2 + z 2 1 a M = {g = 0} je orientovaná implicitní funkcí g ve smyslu příkladu 7.4 (c). Spočtěte x dy dz. M Řešení. Použijeme-li sférické souřadnice x = r cos γ cos ᾱ, y = r cos γ sin ᾱ, z = r sin γ, [ r, ᾱ, γ] (0, ) ( π, π) ( π 2, π 2 ), dostaneme z rovnice g = 0 podmínku r = 1. Tedy zvolíme zobecněnou parametrizaci, Potom x = cos γ cos α, y = cos γ sin α, z = sin γ, [α, γ] := ( π, π) ( π 2, π 2 ). M \ () = M {x < 0} {y = 0}, což je 2-nulová množina. Pro [x, y, z] = (α, γ) máme takže g(x, y, z) = [2x, 2y, 2z] = [2 cos γ cos α, 2 cos γ sin α, 2 sin γ] ( det g, α, ) 2 cos γ cos α, cos γ sin α, sin γ cos α = det 2 cos γ sin α, cos γ cos α, sin γ sin α = 2 γ 2 sin γ, 0, cos γ. Tedy parametrizace je kladná a x dy dz = M = π/2 (cos γ sin α, sin γ) cos γ cos α dα dγ (α, γ) ( π ) cos 3 γ cos 2 α dα dγ = 4 3 π. π/2 π 9.6. Cvičení. Nechť g = x 2 +y 2 +z 2 1, h = 3 2 x. Nechť = {[x, y, z] R3 : g(x, y, z) = 0}, orientace implicitní funkcí g (tedy normálové pole je identita na sféře). Nechť Ω = {[x, y, z] : h(x) < 0}. Najděte křivku, která ohraničuje Ω. Řešení. Varieta je daná implicitně rovnicí g = 0, rozhraničující funkce je h. Hledaná křivka má parametrizovat varietu g = h = 0. Použijeme-li válcové souřadnice x = x, y = ρ cos ᾱ, z = ρ sin ᾱ, [ ρ, ᾱ, x] (0, ) ( π, π) R, vyjádříme danou soustavu rovnic jako x 2 + ρ 2 = 1, 3 x = 2. Odtud dostaneme zobecněnou parametrizaci : x = 3 2, y = 1 2 cos α, α z = 1 2 sin α, ( π, π). Zobecněná křivka pokrývá {g = h = 0} až na bod [ 3 2, 1 2, 0]. Máme g = [2x, 2y, 2z] = [ 3, cos α, sin α], h = [ 1, 0, 0], = [0, 1 2 sin α, 1 cos α]. 2 10
11 Test orientace je kladnost determinantu 3, 1, 0, det ( g, h, ) = det cos α, sin α 1 sin α, 0, 2 cos α = 1 ( ) cos α, sin α 2 det = 1 sin α, cos α 2, takže nalezená parametrizace je kladná. 11
terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceJan Malý, Luboš Pick a Miroslav Zelený. Obsah. 1. Parametrické plochy
Plošný a křivkový integrál Jan Malý, Luboš Pick a Miroslav Zelený Obsah 1. Parametrické plochy 1 2. Křivkový integrál 4 3. Elementy teorie pole 7 4. Plošný integrál kodimenze 1 9 5. Věta o divergenci 12
VíceVEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
VíceVEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceVysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
Více14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta
14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
Vícey ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
VícePŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceSubstituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky
7E. Křivky Derivace nacházejí uplatnění také při studiu křivek. Obrazně řečeno křivka v rovině je množina bodů, která vznikne pohybem pera po papíře. Předpokládáme přitom, že hrot pera je stále v kontaktu
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou
VíceKapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceDrsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceParametrické rovnice křivky
Křivkový integrál Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou
Víceˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE
PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VícePotenciál vektorového pole
Kapitola 12 Potenciál vektorového pole 1 Definice a výpočet Důležitým typem vektorového pole je pole F, pro které existuje spojitě diferencovatelná funkce f tak, že F je pole gradientů funkce f, tedy F
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VícePlošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál
Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu
VíceMatematika 2 (2016/2017)
Matematika 2 (2016/2017) Co umět ke zkoušce Průběh zkoušky Hodnocení zkoušky Co umět ke zkoušce Vybrané partie diferenciálního počtu funkcí více proměnných Vybrané partie integrálního počtu funkcí více
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
VícePLOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule).
LOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). uzavřená hladká kraj LOCHY lochy v prostoru, které byly zatím
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceKristýna Kuncová. Matematika B3
(7) Křivky a křivkový integrál Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 1 / 39 y Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 2 / 39 y Kristýna Kuncová (7) Křivky
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VíceObecný Hookeův zákon a rovinná napjatost
Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
Více4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných
Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský
VíceF n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.
Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
Více1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Vícey = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Více