JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT9

Transkript

1 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT9. K výpočtu dx užijte kalkulačku. Zaokrouhlete x na desetinné místo. Úplně jednoduché - určitý integrál pro začátečníky: x d x[ x ln x ] + ln - ( + ln) + ln ln,7... možnost (C).. Nechť f(x) x. Je-li a b potom f x dx je roven... a f x dx, b f x dx, V podstatě je to směšně lehký příklad. Aby se neřeklo, že jsou v tomto testu jen samé příklady pro předškoláky, je to zkomplikované tím, že meze a, b si musíme dopočítat. Takže nebudeme hledat komplikace a spočítáme to: a b x d x[. x ] [ x ] x d x[. x ] [ x ] x d x[. x ] 5 [ x ] 5 5-4, což je varianta (C).. Kolik litrů vody se vejde do trubice tvaru rotačního tělesa vzniklého rotací křivky y lnx v intervalu,5 kolem osy "x", je-li x udáno v centimetrech? Zaokrouhlete na celé litry.

2 Vzoreček pro objem tělesa vzniklého rotací grafu funkce f(x) v intervalu a,b kolem osy x je: b V f x d x. a Ten tedy použijeme. Tuším trochu problém s integrováním, ale to zvládnem. Protože máme meze zadané v centimetrech, výsledek bude zase v centimetrech, ale krychlových neboli kubických, kterým zdravotníci říkají kubíky, takže všichni už vědí, že to budou mililitry. Výsledek v litrech pak dostaneme vydělením tisícem. 5 V ln x d x... Napřed si spočítáme odpovídající neurčitý integrál. Předvedu metodu per partes: ln x d x ln x.ln x d x... Oproti zvyklostem označím dílčí funkce velkými písmeny. Za chvíli se dozvíte proč. U ` lnx... U ln x d x V lnx... V ` x Dopočítám integrál toho logaritmu. Dělá se to takhle: ln x d x. ln x d x...per partes: u`... u x x.lnx - x. x d x xln x - d x xlnx - x. Takže k tomu prvnímu per partes máme: U ` lnx... U xlnx - x V lnx... V ` x... (xlnx - x).lnx - x x ln x- x d x xln x - xlnx - ln x - d x v lnx... v`... xln x - xlnx - ( ln x d x - d x ) xln x - xlnx - ln x d x + d x...ještě, že máme integrál z logaritmu už hotový, použijeme ho... xln x - xlnx - (xlnx - x) + x + C xln x - xlnx - xlnx + x + x + C xln x - xlnx + x + C Zvírazníme si získaný výsledek, abychom viděli, jak jsme pokročili: ln x d x xln x - xlnx + x + C Následují dva nepovinné body (zkouška a druhá možnost výpočtu). Provedeme zkoušku správnosti derivováním: (xln x - xlnx + x + C)` x`.ln x + x.(ln x)` - (x`.lnx + x. x ) +...(ln x)`... snadno substitucí z lnx, z` je vnitřní funkce a vnější je z, její derivace je z lnx....lnx....ln x + x. x.lnx - (lnx + ) + ln x + lnx - lnx - + ln x. Vychází to krásně!

3 Nyní si Vás otestuju, zda se mi podaří Vás zcela otrávit, a předvedu Vám ten samý integrál metodou substituční: ln xd x... z lnx, tj.: x e z z` x přepis: d z d x x dx x dz dx e z dz... z e z d z... per partes (bohužel, jinak to nejde): u` e z... u e z v z... v` z... z e z - ze z d z... a podruhé per partes: u` e z... u e z v z... v`... z e z - (ze z - e z d z ) z e z - ze z + e z d z /.x,.dx, / dosazení za z z e z - ze z + e z + C... dosadíme z lnx... ln x.e lnx - lnx.e lnx + e lnx + C... exponenciela s logaritmem se požerou, zbyde argument logaritmu... xln x - xlnx + x + C Sláva! Vyšlo to stejně. Tento postup mi připadá trochu elegantnější, ale jde o substituci a krát per partes. Vracíme se zpět na začátek: V 5 ln x d x [ x ln x - xln x x ] 5 π (5.(ln5) -.ln5 + - (.(ln) -.ln + )) π (5.6,46 -.6, ( )) π cm 44,56 l 45 l. Když se teď kouknu na výsledky, tuším zradu. A sice: co se stane, když zaokrouhlíme ln5 6, a π vezmeme jako na základní škole,4? Pak to vyjde:,4.( ) 448 cm 44 l. Zde vidíme, že zaokrouhlování je sviňa. Když mám logaritmus s přesností na 5 platných číslic a π na kalkulačce s přesností na 9 platných cyfer, vyjde to 45 litrů, což je možnost (E). Když ale postupuji podobně debilně jako autoři minitestu a mám vše zaokrouhleno na desetinná místa, vyjde 44 litrů, což je možnost (B). Můj názor jste četli. Podle mě do výrazu, kde násobím řádově tisícem a ještě umocňuju na druhou, je dosazování zaokrouhleně na dvě desetinná místa debilní. Je to tak nepřesné, že to ani nestálo za to počítat, stačilo si tu trubku načrtnout a počet litrů odhadnout. Mohli jsme si nakonec celou matiku odpustit, no ne? Trubka v průměru cca. cm má průřez.5.5 cm 75cm, což je,75 dm. To vynásobíme 5 cm 5dm a vyjde cca. 8 dm neboli litrů. No co - litr sem, litr tam. Ta trojka v průřezu je moje pí, abych nemusel vytahovat kalkulačku. No jo, trochu jsem si zapřeháněl.

4 4. Pro obsahy P, P, P tří obrazců, které jsou ohraničeny křivkami p : y x, p : y x +, p : y x a osou "x" na intervalu, platí... Takže klasicky obsah plochy pod grafem, a to třikrát. P x d x[ x ] 8-8,76 P x d x[ x x ] P 4 8 x d x 4 4. x d x.[ x 4. ] 8,77. [ x ] 4 - Seřadíme podle velikosti: P < P < P, což je možnost (D). 5. Obsah obrazce ohraničeného shora křivkou y 5 - x a zdola přímkou y je... Postup: Možná na to máte speciálně nějaký vzoreček. My to uděláme poselsku z obrázku. Plochu ohraničenou oběma křivkami spočítáme tak, od plochy pod křivkou y 5 - x odečteme obdélník S, což je plocha pod druhou křivkou, kterou bychom také mohli počítat integrálem, ale je jasné, že je to obdélník, vzoreček jeho obsahu známe a nemusíme si ho integrací vyrábět. Symbolický zápis bude: S P - S, kde S Ptáte se, kde jsem získal tu čtyřku? To se ptáte správně. U těchto příkladů se musejí napřed spočítat integrační meze, což jsou průsečíky obou grafů, které spočítáme z rovnosti obou funkcí. Zde to vypadá takto: 5 - x / -5 - x -4 /.(-) x 4 / ± x - x Vzdálenost průsečíků je - (-) 4, což je šířka toho obdélníku, jeho výška je. x a x jsou zároveň integrační meze pro výpočet plochy P:

5 P 5 - x d x[5x - x ] (- -.(-8)) Teď dopočítáme: S , Což by měla být možnost (C). 6. Nemocný pes dostal lék rozpuštěný v nápoji. Funkce k(x) x.e -,7x vyjadřuje ( v g/min) intenzitu, s níž lék přechází do krve (ta se mění s časem). Přitom x je čas v minutách, který uplynul od podání léku. Kolik léku přejde do krve za prvních minut po podání? Zaokrouhlete na celé gramy. Klasická součtová úloha. Její řešení je jednoduchý určitý integrál: K x. e -,7 x d x... Abychom se neztratili v těch mezích, hranatých závorkách a několikerých integrálech, bude lepší odbočit a udělat napřed odpovídající neurčitý integrál. x.e -,7x d x... per partes... u` e -,7x... u e -,7x d x... substituce: z -,7x... z` -,7... d z d x -,7 /.dx, :(-,7) dx - d z,7... u e z. -d z,7 -,7 e z d z -,7 ez -,7 e-,7x znova zápis per partes: u` e -,7x... u -,7 e-,7x v x... v`... -x,7 e-,7x -. -,7 e-,7 x d x - x,7 e-,7 x e -,7 x d x-, K x.e -,7 x d x [ x e- x - 49 e- 7 x ] - 7 e e e - 49 e xe-,7x 7 e -,7 x

6 e Tj. (A). e e-4 49 g 7. Objem tělesa, které vzniklo rotací obrazce ohraničeného křivkou y 5x kolem osy x v intervalu, je... Je to stejné jako v příkladu, jenom o kus jednodušší: Máme na to vzoreček (pro toto zadání) V π π.5. 5 x d x π x 4 d x.5[ 5 x5] 5 x 4 d x.5. [ x 5 ] 5π ( - ) 5π. 55π, což je možnost (A). 8. V řetězci supermarketů poptávková funkce c(x) 8 - x vyjadřuje závislost ceny c(x) za kg červených paprik na velikosti poptávky x v tunách. Průměrná cena za kg červených paprik pro velikost poptávky v rozmezí 6 až 7 tun je podle tohoto modelu (zaokrouhleno na desítky haléřů): Je na to vzoreček (průměr značíme obvykle pruhem nad písmenkem): c 7 8- x d x normálně počítáme, je to lehké x d x [ 8x -. x [ 8x - 4 x To je možnost (D). 7 ] 6 7 ] ( , ,76) 6,9. Dokument je součástí projektu Matematiho matematické stránky.