( ) ( ) Úpravy algebraických výrazů. Mocniny a odmocniny. a a. b b. b a 1 = 1, ( 1) = 1, ( 1) = 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "( ) ( ) Úpravy algebraických výrazů. Mocniny a odmocniny. a a. b b. b a 1 = 1, ( 1) = 1, ( 1) = 1"

Transkript

1 Úrvy lgebrických výrzů Mociy odmociy Pro kždé reálé r, s kždé > 0, b > 0 (res ro kždé celé r, s kždé 0, b 0 ltí: r 0 s rs, r r ( b b r r r r s r+ s b b r s rs b : b Dále ltí +, (, ( Je-li N, 0, eistuje rávě jedo číslo 0 tk, že zčí se Je-li číslo < 0, > 0 liché, má rovice r íšeme Neí-li liché, symbol ro < 0 edeiujeme r r Toto číslo se zývá -tá odmoci z čísl rávě jedo reálé řešeí, totiž číslo < 0 Místo POZOR: sudé odmociy jsou deiováy ouze ro ezáorá čísl, liché odmociy jsou deiováy ro všech reálá čísl (tedy i ro záorá! Pltí + 0 0,,, b b,, b b m m m m,,, b b m m Pro > 0, N, r Z deiujeme r r Potom ltí: r r r r r r Pro všech > 0, b > 0 ro všech r Q, s Q ltí: r r r r s r+ s r s r s r r r rs, (, ( b b,, r s b b POZOR! (, le!

2 Umocňováí rozkld dvojčleů ± b ± b + b, ± b ± 3 b + 3 b ± b, ± b ± 4 b + 6 b ± 4 b + b, obecě (Newtoov biomická vět: Čísl ( k ( ± ± ( k k k k b b ; k 0 jsou tzv biomické koeiciety (kombičí čísl,! k ( k! k! Jejich hodoty lze sdo jít omocí Psclov trojúhelíku: mocitel dvojčleu biomické koeiciety ( zčátku koci kždého řádku je jedičk, dlší čísl jsou vždy součtem ejbližších dvou čísel o řádek výš Pro rozkld dvojčleů ltí: b ( + b( b 3 3 ± b ( ± b( b + b 4 4 b ( + b( b( + b + b elze rozložit 3 k k k b ( + b( b + b + ( b + + b b b ( + b( b + b + ( b + + k k k Rozkld olyomu P b b kořeové čiitele: Pltí-li P 0 0, zývá se číslo 0 koře olyomu P (, výrz 0 kořeový čiitel ltí P ( Q 0 Polyom -tého stuě má (v oboru komleích čísel rávě kořeů Jsou-li,,, (e utě růzé kořey (reálé ebo komleí olyomu P (, ltí P ( ( ( - rozkld kořeové čiitele dále 0 ( Pro kořey olyomu druhého stuě + + ltí zámý vzorec b ± b 4c, ; P b c k ± k c je-li koeiciet b sudý, b k, můžeme oužít vzorec, Zřejmě ltí P + b + c ( (, tedy ro je ( ( ( + + b ( +, c ; jik ltí ( ( ( + + b ( +, c obecě ro olyom P ltí 0 ( 0

3 Fukce IDA: Fukce (zobrzeí : A B, y je odmoži krtézského součiu A B (relce z A do B, ro kterou ltí: A! y B : (, y Jsou-li možiy A, B koečé, můžeme říslušé možiy A, B, jejich krtézský souči A B i ukci A B zdt výčtem rvků; jsou-li tyto možiy ekoečé, oíšeme říslušé řiřzeí omocí ředisu (výrokovou ukcí, ř {(, } y y Obvykle rozumíme ukcí rávě teto řiřzovcí ředis tk, jk se ukce deiovl středí škole: Středí škol: Fukce je ředis, který řiřzuje kždému rvku ějké možiy (deiičího oboru možiy (oboru hodot H Tímto zůsobem budeme chát ojem ukce v ředmětu IMA tedy i v tomto semiáři D rvek jié Fukcí (jedé roměé obvykle rozumíme tkové zobrzeí, kdy deiičí obor i obor hodot jsou číselé možiy Budeme se věovt řevážě reálým ukcím jedé reálé roměé, tedy zobrzeím : D H, D R, H R Je-li ukce zdá ějkým ředisem, řičemž eí elicitě zdá její deiičí obor, rozumíme jím možiu všech R, ro která má říslušý ředis smysl Tuto možiu zýváme řirozeým deiičím oborem ukce Gr ukce jedé roměé je moži bodů v roviě dá vzthem Γ (, y D y { } tedy rávě t moži, omocí íž se deiuje ukce v ředmětu IDA Rovost ukcí: Přímo z deiice ojmu ukce lye, že ltí g, jestliže D Dg : g Zúžeí ukce: Zúžeí ukce možiu M (ebo též rciálí ukce je ukce dé ředisem : M M M D M s deiičím oborem D M Některé tyy ukcí: Fukce je rostoucí res klesjící možiě M, ltí-li, M < ( < ( res < ( > ( eklesjící res erostoucí možiě M, ltí-li, M < ( ( res < ( ( Fukce je rostá, ltí-li, D : ( ( Fukce je sudá res lichá, ltí-li ( res ( D eriodická, jestliže 0tk, že ltí ( + D

4 Fukce je ohričeá (shor res zdol, je-li její obor hodot ohričeý (shor res zdol, tedy ltí-li k R y H : y k res k y Vytvářeí ových ukcí z dých ukcí, g, ϕ (vzthy ltí ro všech z deiičích oborů vziklých ukcí složeá ukce iverzí ukce ϕ (čti o ϕ je dá vzthem ( ϕ ( ϕ, má iverzí ukci je ukce s deiičím oborem rovým oboru hodot ukce s vlstostí y ( y - je rostá jsou vzájem souměré odle římky y Gry ukcí (osy 3 kvdrtu součet, rozdíl, souči odíl ukcí ukce ± g, g, s vlstostmi g ± g + g, g g, g g Elemetárí ukce Polyomy jsou ukce zdé omocí ředisu tvru P řičemž je stueň olyomu, i 0 je koeiciet u i-té mociy i je bsolutí čle 0 Číslo 0, ro které ltí P 0 0, je koře olyomu Je-li 0 koře olyomu P 0, zývá se výrz 0 kořeový čiitel, řičemž ltí P ( 0 Q Vlstosti olyomů - olyom -tého stuě má v oboru komleích čísel rávě kořeů - jsou-li,,, (e utě růzé kořey olyomu P (reálé ebo komleí, ltí P ( ( ( - rozkld kořeové čiitele dále ( - 0 Fukčí hodoty olyomu určujeme omocí Horerov schémtu Určeí P ( α ro b P : i i 0 i 0 b α b + b i α b + i i b0 α b + P( α α b0 + 0 α i Přitom ltí α ( i 0 P ( b + b + + b + + b + b + P( α Je-li α koře olyomu P, tedy ltí P ( α 0, dostáváme v dolím řádku tbulky koeiciety olyomu, který vzike o vytkutí kořeového čiitele α

5 Seciálí řídy: Lieárí ukce je ukce tvru k + q, D R, H R (ro k 0 Grem je římk: (0 k 0 + q q - úsek ose y k k tgϕ - směrice q 0 k + q růsečík k s osou Kvdrtická ukce je ukce tvru b c + +, D R, grem je rbol: b b b b b y + b + c y c y c rovice tvru y b k ( ; V [, b] je vrchol rboly k >, je rbol otevřeá horu, v itervlu (, ukce klesá, v itervlu (, k <, je rbol otevřeá dolů, v itervlu (, ukce roste, v itervlu (, Je-li 0 je-li 0 roste; klesá y y k > 0 otevřeá horu V, 0 ( 0 vrchol [0, 0] y y 0 (, vrchol V [, 0], k > 0, otevřeá horu y + y + ( +, vrchol V [, ], k > 0, otevřeá horu y y ( 0, vrchol V [0, ], k < 0, otevřeá dolů Rcioálí lomeé ukce P jsou ukce tvru R, Qm kde P res Qm ( jsou olyomy stuě res m Rcioálí ukce je ryze lomeá ro < m eryze lomeá ro m

6 Seciálí říd: + b d Lieárí lomeá ukce je ukce tvru,, b, c, d R,, c 0 c + d c b d + b c b d řičemž y y d eboli d c d c c + c c + můžeme urvit tvr c ( c grem je hyerbol s vrcholem V [, b] symtotmi, y b y b k ; Nříkld ro ( y 5 je grem hyerbol y + 5, V, symtoty, y, která má vrchol [, ] je rostoucí itervlech (, (, rostá celém deiičím oboru Mocié ukce jsou ukce tvru, kde R Přitom mohou stt tyto možosti: 0 - jedá se o kosttu b je řirozeé číslo, N Potom se jedá o seciálí říd olyomu r c je celé záoré číslo, r, r N Potom, D R { 0 } r d je řevráceá hodot řirozeého čísl, Potom, D 0, ro sudé, D R ro liché q q e je rcioálí číslo, Potom je složeá ukce, q je ircioálí číslo Potom D 0, ro > 0 D (0, ro < 0 Gry mociých ukcí : q

7 Eoeciálí ukce jsou ukce tvru, kde > 0; D R, H (0, Fukce je rostoucí ro >, klesjící ro 0 < < ; ro se jedá o kosttu ( Gry všech eoeciálích ukcí rocházejí bodem [0,] Logritmické ukce ři zákldu, kde 0 < < ebo k ukcím, tedy ltí >, jsou ukce tvru log ; D ( o, log H R jik řečeo log je číslo, ěž je třeb zákld umocit, bychom dostli číslo Jsou iverzí Logritmická ukce ři zákldu e,78888 se stručě zývá logritmická ukce (řirozeý logritmus zčí se l : log e Logritmickou ukci ři zákldu 0 (dekdický logritmus zčíme log : log0 logb l Je-li > 0, b > 0, řičemž, b, ltí log, seciálě log logb l Všechy logritmické ukce rocházejí bodem [,0] Gry eoeciálích ukcí Gry logritmických ukcí Goiometrické ukce ebo tké trigoometrické ukce reálého rgumetu (úhlu v obloukové míře jsou ukce si, cos, tg, cotg Lze je zvést omocí jedotkové kružice tkto: je-li délk oblouku jedotkové kružici mezi bodem [,0] růsečíkem této kružice s olořímkou, která vychází z očátku souřdic, je si rove druhé souřdici tohoto růsečíku, cos jeho rví souřdici Zřejmě ltí zákldí trigoometrická idetit + (z Pythgorovy věty si cos

8 Dále deiujeme si cos tg, cotg cos tg si { k π k Z} { kπ k Z} D D R, D R ( +,, D R, si cos tg cotg Fukce si cos jsou eriodické s eriodou π, si je lichá, cos sudá, ukce tg cotg jsou liché ukce eriodické s eriodou π Gry ukcí ( si ( cos ( tg ( cotg Hodoty goiometrických ukcí ro ěkteré rgumety: 0 π / π 3 π / π π / 6 π / 4 π / 3 si / / 3 / cos / / / tg 0 eí de 0 eí de 0 3 / 3 3 cotg eí de 0 eí de 0 eí de 3 3 /3 Užitečé vzthy: π si si( π si( π + si( π, 0, ltí : cos cos( π cos( π + cos( π, tg tg( π, cotg cotg( π

9 Vyjádřeí goiometrické ukce dého rgumetu omocí jié goiometrické ukce téhož rgumetu: si cos ± si tg si cotg si cos tg cotg ± tg ± si ± cos + tg + cotg ± ± si cos + tg ± si si ± cos cos ± cos cos tg tg ± cotg + cotg cotg cotg Následující idetity ro goiometrické ukce ltí vždy ro ty rgumety, ro které mjí obě stry smysl: Součtové vzorce: tg ± tg y si( ± y si cos y ± cos si y tg( ± y tg tg y cotg cotg y cos( ± y cos cos y si si y cotg( ± y cotg ± cotg y Pro souči goiometrických ukcí ltí: si si y cos( y cos( + y si cos y si( + y + si( y cos cos y cos( y + cos( + y cos si y si( + y si( y Goiometrické ukce ásobků rgumetů: tg tg si si cos cos cos si + tg + tg 3 si 3 3si 4si cos 3 4 cos 3cos tg cotg tg cotg tg cotg tg cotg cotg tg Goiometrické ukce olovičích rgumetů: ( cos si cos cos si + si si tg + cos si + cos ( + cos si cos cos + + cos + si + si cotg cos si cos Mociy ukcí si cos : 3 si cos si 4 3si si 3 cos + cos cos 3cos + cos 3 3 4

10 Alytická geometrie Vektorem v roviě (res v rostoru rozumíme možiu všech rovoběžých souhlsě orietových stejě dlouhých úseček Zvolíme-li jedu kokrétí z těchto úseček, ř u AB, mluvíme o umístěí vektoru do očátečího bodu A Jestliže vektor umístíme do očátku souřdé soustvy [0,0] (res [0,0,0], otom souřdice kocového bodu jsou souřdice vektoru u Je-li vektor umístě v bodě A, u AB, A [, ], B [ b, b ] (res A [,, 3 ], B [ b, b, b3 ], B A b, b u b, b, b otom ro souřdice vektoru u ltí u (res Ze vzthu u B A lye B A + u Oerce s vektory u ( u, u, v ( v, v (res ( u, u, u, ( v, v, v Velikost vektoru u u + u (res u v : 3 3 u u + u + u 3 Očý vektor u ( u, u (res u ( u, u, u3 k-ásobek vektoru ku ( ku, ku (res k ( ku, ku, ku u, k R 3 O vektorech u k uříkáme, že jsou kolieárí 3 3 Rovost vektorů u v ( u v u v (res ( u v u v u3 v3 Součet vektorů u + v ( u + v, u + v (res u + v ( u + v, u + v, u3 + v3 Rozdíl vektorů u v ( u v, u v (res u v ( u v, u v, u3 v3 Lieárí kombice vektorů ku + kv ( ku + kv, ku + kv (res ku + kv ( ku + kv, ku + kv, ku3 + kv3, k, k R Sklárí souči vektorů u v uv + uv ( R (res u v uv + uv + u3v3 ( R, u v u v cosϕ, kde ϕ ( u, v, ϕ 0, π Vektorový souči vektorů u ( u, u, u, v ( v, v, v 3 3 (ouze v rostoru! je vektor (( uv3 u3v, ( u3v uv3, ( uv uv u v i j k u u u 3 v v v 3, který je kolmý roviu, v íž leží vektory u, v ro jeho velikost ltí u v u v siϕ (lošý obsh kosodélík tvořeého vektory u, v řičemž trojice vektorů u, v, u v tvoří rvotočivý systém (viz obrázek Přímk v roviě Prochází-li římk body A, B, otom ro bod X tedy ro ěkteré t R ltí X A t ( B A, eboli u v je vektor X A kolieárí s vektorem B A, X A + t ( B A, t R rmetrická rovice římky zdé dvěm body A, B Pro jedotlivé složky ro A [, ], B [ b, b ]: + t ( b, t R y + t( b

11 Prochází-li římk bodem A [, ] rovoběžě s vektorem s ( s, s, který se zývá směrový vektor římky, otom ro bod X je vektor X A kolieárí s vektorem s, tedy ro ěkteré t R ltí X A t s, eboli X A + t s, t R rmetrická rovice římky zdé bodem A směrovým vektorem s Pro jedotlivé složky je-li A [, ] s (, : s s + t s y + t s, t R Obecá rovice římky : + by + c 0 se odvodí z rmetrických rovic elimicí rmetru: dále t s s s t s s s ( s ( y 0 s y t ss y t s s s s y + s s 0 s, b s ( s s ( y ( s s ( X A,, 0, 0, tedy ro libovolý bod X římce + by + c 0 je olohový vektor X A Normálový vektor římky o rovici by c je vektor (, b Pro b 0 můžeme obecou rovici římky řevést směricový tvr kolmý vektor (, b b ( libovolý jeho ásobek c y k + q římk je grem lieárí ukce (viz kitol ukce 0 + by0 + c Vzdáleost bodu A [ 0 y0 ] od římky : + by + c 0: d(, A + b Odchylk římek : + b y + c 0, q : + b y + c 0 je rov úhlu jejich ormálových vektorů, ltí tedy Přímk rovi v rostoru (, b (, b + b b cos ϕ, ϕ 0, (, b (, b + b + b Alogickou úvhou, omocí které jsme odvodili rmetrickou rovici římky v roviě, odvodíme Prmetrické rovice římky zdé dvěm body A [,, 3 ], B [ b, b, b3 ] : + t ( b, y + t( b, z + t b, t R π zdé bodem A [,, 3 ] směrovým vektorem s ( s, s, s3 : + t s, y + t s, z + ts t R 3 3 Přímku v rostoru lze zdt jko růsečici dvou rovi; obecá rovice římky v rostoru eeistuje! Jestliže z rmetrických rovic vyjádříme rmetr t vziklé vzthy orováme, dosteme tk zvé y z 3 koické rovice římky s s s 3 Třemi body A, B, C, které eleží v římce, je zdá rovi ρ, ro jejíž libovolý bod X je vektor X A ěkterou lieárí kombicí vektorů B A C A, ltí tedy X A t ( B A + t ( C A, t, t R X A + t B A + t C A rmetrická rovice roviy ρ zdé třemi body A, B, C eboli

12 ve složkách ro A [,, 3 ], B [ b, b, b3 ], C c, c, c3 : y + t ( b + t ( c t, t R z + t ( b + t ( c Prochází-li rovi ρ bodem A [,, 3] rovoběžě se dvěm ekolieárímii vektory u ( u, u, u3, v v, v, v, otom ro bod X ρ je vektor X A ěkterou lieárí kombicí vektorů u, v, tedy ro 3 ěkterá t, t R ltí X A t u + t v, eboli X A + t u + t v rmetrická rovice roviy ρ zdé bodem A ve složkách ro A [,, 3 ], u ( u, u, u, v ( v, v, v : Obecá rovice roviy ρ : + by + cz + d 0 se odvodí z rmetrických rovic elimicí ( Pltí tedy (,, ( 3 ( 3 b c k u v u v, u v u v, u v u v k u v ; teto vektor je kolmý směrové [ ] t ( b + t ( c dvěm ekolieárími vektory u, v + t u + t v y + t u + t v z + t u + t v 3 3 rmetrů: t u + tv v v ( v ( y t ( uv u v ( uv3 u3v y t u + tv v y tu + tv v 3 v3 ( y v ( z 3 t ( uv3 u3 v ( uv uv z 3 tu3 + tv3 v u v u v + y u v u v + z u v u v ( vektory roviy ρ, tedy (, b, c t, t R ormálový vektor roviy ρ Vzdáleost bodu A [ 0 y0, z 0 ] od roviy ρ : + by + cz + d 0 : d( ρ, A Kuželosečky jsou rovié křivky, které dostly solečý ázev roto, že vzikou jko řez kužele roviou odle toho, jký má tto rovi sklo vzhledem k ose res ovrchové římce kuželu, dosteme rbolu rovi je rovoběžá s ovrchovou římkou (která rochází vrcholem kuželu, b elisu rovi svírá s osou b kružici rovi je kolmá d hyerbolu rovi je rovo viz obrázek (který ochází z Wikiedie u kuželu úhel ( 0, π π osu kuželu ( ϕ, ϕ, oběžá s osou kuželu ( ϕ 0 + by + cz b + c

13 Elis je křivk, jejíž kždý bod má od dých dvou bodů v roviě stejý součet vzdáleostí Elis má dvě ohisk, ozčme je E F Elis obshuje dv hlví vrcholy A B dv vedlejší vrcholy C D Střed elisy, obrázku vrchol S, leží ve středu úsečky EF, tedy mezi ohisky Přímk, která rochází hlvími vrcholy ( tké ohisky, se zývá hlví os elisy, římk která rochází vedlejšími vrcholy, se zývá vedlejší os elisy Úsečk, která sojuje libovolý hlví bod střed elisy, se zývá hlví oloos N obrázku se jedá o úsečky AS BS Úsečk, která sojuje libovolý vedlejší bod střed elisy, se zývá vedlejší oloos N obrázku se jedá o úsečky CS DS Rovice elisy se středem v očátku souřdic osmi v souřdých osách má tvr y +, b S m, osy jsou rovoběžé se souřdými osmi, má rovice tvr je-li střed elisy v bodě [ ] ( m ( y + b V řídě b r dostáváme kružici s rovicí y r m + y r + res Hyerbol je kuželosečk, ro jejíž kždý bod ltí, že bsolutí hodot rozdílu vzdáleostí od dvou evě dých bodů je vždy stejá Bodům F F se říká ohisk Bod S se zývá střed hyerboly chází se ve středu úsečky F F Přímk F F se zývá hlví os hyerboly Kolmice k této ose v bodě S se zývá vedlejší os hyerboly Průsečíky hyerboly s hlví osou se zývjí vrcholy hyerboly, obrázku vrvo to jsou body A B Úsečky AS BS se zývjí hlví oloosy hyerboly Jejich délku zčíme Délku vedlejší oloosy hyerboly zčíme b Vzdáleost ohisk od středu se zývá ecetricit, zčíme ji e Pltí vzth e + b Přímky,, rocházející středem hyerboly rodloužeé úhloříčky obdélíku vytvořeého omocí oloos viz obrázek jsou symtoty hyerboly Rovice hyerboly se středem v očátku souřdic hlví osou v ose o res v ose o y má tvr y y res, b b

14 je-li střed hyerboly v bodě S [ m, ] ( m ( y ( y ( m hlví os je rovoběžá s osou o res s osou o y má rovice tvr res b b Prbol je křivk, která má od dé římky od dého bodu, který té římce eleží, kosttí vzdáleost Bod F se zývá ohisko rboly Přímk d se zývá řídící římk rboly Přímk FD se zývá os rboly, je kolmá k řídící římce rochází ohiskem Bod V se zývá vrchol rboly chází se ve středu úsečky FD Délku úsečky FD zýváme rmetrem rboly Jedá se o vzdáleost ohisk od řídící římky Rovice rboly U rboly rozlišujeme celkem čtyři růzé řídy Jk je orietová os rboly, tj jestli je os svislá (rovoběžá s osou y, jko obrázku, ebo jestli je os vodorová (rovoběžá s osou o Dále k rozlišujeme říd, kdy je rbol otevřeá horu ebo dolů levo ebo rvo Nechť má rbol V m, vrchol [ ] Prbol má osu rovoběžou s osou o y je otevřeá horu Potom má rovici: m ( y y ( ohisko má souřdice F m, + Prbol má osu rovoběžou s osou o y je otevřeá dolů Potom má rovici: m ( y y ( ohisko má souřdice F m, + 3 Prbol má osu rovoběžou s osou o je otevřeá dorv Potom má rovici: ( y ( m ohisko má souřdice F m +, 4 Prbol má osu rovoběžou s osou o je otevřeá dolev Potom má rovici: ( y ( m ohisko má souřdice F m, V řídech je rbol grem kvdrtické ukce, v řídech 3 4 se ejedá o gry ukcí (viz mtemtikcz

15 Komleí čísl Deiujeme imgiárí jedotku i jko číslo, jehož druhou mociou je, i Komleím číslem se zývá výrz z + y i kde, y R Přitom se zývá reálá složk, y imgiárí složk čísl z; íšeme Re z, y Im z Komleí čísl, jejichž imgiárí složk je ulová, ztotožíme s reálými čísly Komleí čísl, jejichž reálá složk je ulová, se zývjí ryze imgiárí Pro očítáí s komleími čísly ltí ásledující rvidl : Rovost komleíchčísel : Sčítáí (odčítáí Násobeí Děleí + y i + y i y y ( + ± ( + ( ± + ( ± y i y i y y i ( + ( + ( + ( + y i y i y y y y i y i + y y y y i yi + y + y Absolutí hodotu komleího čísl z deiujeme ředisem z + y i + y Komleě sdružeé číslo kčíslu z ječíslo z y i Pltí:, z z y i y i z z y i y i y z z + z z + z, z z z z z z z z, z z z z, + + z z Zázorěí komleích čísel Komleí čísl zázorňujeme jko body v roviě, které říkáme Gussov rovi ebo rovi komleích čísel Vodorová os souřdic se zývá reálá os, svislá imgiárí os [ ] Komleí číslo z + y i zázorňujeme jko bod, y Přitom zřejmě (odle Pythgorovy věty je z rov [ y] vzdáleosti bodu, od očátku souřdic z z

16 Úhel ϕ (v oboukové míře, který svírá růvodič obrzu čísl z s kldým směrem reálé osy, se zývá rgumet komleího čísl z zčí se rg z y rctg > 0 y rctg + π < 0, y > 0 rg z y rctg π < 0, y < 0 π y > 0 ± 0, y < 0 Nechť z + y i, ϕ rg z Výrz ( cosϕ siϕ z z + i se zývá goiometrický tvr komleího čísl z Je vhodý ro ásobeí umocňováí komleíchčísel : ( ( cosϕ siϕ ( cosϕ siϕ z z ( cos( ϕ ϕ i si( ϕ ϕ ( cosϕ + siϕ ( cosϕ + siϕ z z z + i z + i z z i z z z i z ( cos( ϕ ϕ i si( ϕ ϕ + ( ( ϕ ϕ ( ϕ ϕ z z cos + isi z cos + isi, kde Z Předchozí vzth se zývá Moivreov vět Řešeí rovice z, kde z je komleí číslo celé, je dáo rávě všemi čísly ϕ + kπ ϕ + kπ z cos + i si, k 0,,, Souhr těchto čísel zýváme -tou odmociou z čísl z Jestliže oložíme e iϕ cosϕ + isi ϕ ( Eulerův vzorec, dosteme eoeciálí tvr komleího čísl z z e iϕ Vzthy ro ásobeí umocňováí komleích čísel v eoeciálím tvru vyývjí z vlstostí eoeciálí ukce ( 0 0

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1 Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Marie Dostálová Eliška Gardavská Radka Hamříková Věra Janků Miloslava Tannenbergová

Marie Dostálová Eliška Gardavská Radka Hamříková Věra Janků Miloslava Tannenbergová VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA ZÁKLADY MATEMATIKY Mrie Dostálová Elišk Grdvská Rdk Hmříková Věr Jků Miloslv Tebergová Vtvořeo v rámci projektu Operčího progrmu Rozvoje lidských zdrojů

Více

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D Fukčí řdy. Těžké dokole ohebé epružé pásmo jehož průřez se měí tk že proti přetržeí klde stálý odpor po zvěšeí zujme tvr řetězovky stálé pevosti. Řetězovk je vyjádře rovicí ( ) = l cos >. Určete deiičí

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie MATEMATICKÝ ÚSTAV Slezská uverzt N Rybíčku, 746 0 Opv DENNÍ STUDIUM Alytcká geoetre Té 5.: Shodá zobrzeí Defce 5.. Zobrzeí f eukldovského prostoru E do eukldovského prostoru E se zývá shodé (zoetrcké),

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

16. Kombinatorika ( 125;250;125 )

16. Kombinatorika ( 125;250;125 ) 6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY.

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. . ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. Mturití opkováí.doc ) Mmik řekl Petrovi: Jestliže budeš hodý, dosteš dort. Jsou čtyři možosti: ) Petr byl hodý, dostl dort. b) Petr byl hodý, edostl dort. c) Petr ebyl hodý,

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0). ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí

Více

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět ZPG Křivk. Hermitov iterpolce. Fergusoov křivk (). KŘIVKY A PLOCHY Cíl Po prostudováí této kpitol budete umět defiovt iterpolčí proximčí křivk pro dé bod defiovt ploch z dých prvků plikovt křivk ploch

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

elektrické filtry Jiří Petržela základní pojmy

elektrické filtry Jiří Petržela základní pojmy Jiří Petržela základí ojmy základí ojmy z oblati elektrických filtrů základí ojmy elektrický filtr je lieárí dvojbra, který bez útlumu roouští je určité kmitočtové ložky, které obahuje vtuí igál rouštěé

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů

Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Mteriál louží ouze jko růvodce k mteriálu odrobějšímu, který je dotuý trákách htt:mi.vb.cz Tm jou

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >

Více

Úlohy domácího kola kategorie A

Úlohy domácího kola kategorie A 5. ročík Mtemtické olympiády Úlohy domácího kol ktegorie. Je-li S obsh trojúhelíku o strách, b, c T obsh trojúhelíku o strách +b, b + c, c +, pk pltí T 4S. Dokžte zjistěte, kdy ste rovost. Řešeí. Vyjádřeí

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4; 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST ... m n RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:

Více

Analytická geometrie v rovině

Analytická geometrie v rovině nltická geometrie v rovině Souřdnicová soustv v rovině Zvolme v rovině dvě nvájem kolmé přímk číselné os. růsečík O těchto přímek nveme počátek souřdnic. Vodorovnou přímku ončíme osou svislou ončíme osou

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Sbírka maturitních příkladů z matematiky. Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak

Sbírka maturitních příkladů z matematiky. Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak Sírk mturitích příkldů z mtemtik Mgr Mrie Kuíčková Mgr Rdek Nowk Úprv výrzů Uprvte udejte podmík eistece výrzů ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) 7 : 8 m m m m 9 ( ) 7 : si cos cos si cos si si cos Fukce Určete defiičí

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd.

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd. Poloupoti Poloupot v mtemtice je ř číel. Je přeě určeo poří číel, je tey áo, které čílo je prví, ruhé t. V řě číel může le emuí být ějký ytém. Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby:. Výčet prvků:

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více