Úvod do teorie měření

Save this PDF as:
Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod do teorie měření"

Transkript

1 Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář

2 emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých fukcí Vlastost průměru a rozptylu vzhledem k leárím trasformacím hodot. Kostrukce tabulky pro zolovaé hodoty: dex hodoty x x - průměr (x - průměr)^ součet průměr rozptyl POZOR: průměr defovat jako ázev Povšmout s ulového součtu odchylek. Aplkace statstckých fukcí: PRUMER, VAR.VYBER a MODCH.VYBER, kotrola výpočtů z tabulky. 3. Expermetováí se zadaým čísly (demostrace změ a číselé ose), sledováí příslušých změ vypočítaých charakterstk: všecha čísla zvětší o kostatu (apříklad o 3), všecha čísla se vyásobí kostatou (apříklad číslem ), čísla se změí tak, aby průměr zůstal zachová a rozptyl se zmešl (zvětšl), atd.

3 emář 0 Uspořádaý soubor, mmum, maxmum, rozpětí Medá, kvartly, kvartlové rozpětí Výpočty těchto charakterstk pomocí statstckých fukcí Vlastost těchto charakterstk vzhledem k leárím trasformacím 4. Zvolte s sam 6 růzých dvoucferých čísel a pomocí statstckých fukcí MIN, MAX, MEDIAN, QUARTIL zjstěte hodoty pět požadovaých charakterstk. dex hodoty x mmum 5 95 dolí kvartl 6 9 medá 7 54 horí kvartl 8 65 maxmum Z jejch číselých hodot odhalte, jaký je jejch výzam, a jak se počítají (soubor hodot s můžete uspořádat). 6. Jaký výzam mají pojmy rozpětí a kvartlové rozpětí? 7. Jak se pořadové charakterstky měí, když hodoty leárě trasformujeme č jak měíme, apříklad: všecha čísla zvětšíme o kostatu (apříklad o 3), všecha čísla se vyásobíme kostatou (apříklad číslem ), jak máme změt čísla, aby medá zůstal zachová a rozpětí (kvartlové rozpětí) se zmešlo (zvětšlo), atd. 5. ezamte se se statstckým ástrojem Popsá statstka pro pole hodot. 3

4 emář 03 Geerováí áhodých velč (zejméa ormálí rozděleí) Kostrukce hstogramu Vylučováí odlehlých hodot 8. Naučte se používat ástroj Geerátor pseudoáhodých čísel (je třeba mít k dspozc doplěk Aalýza Dat) a statstckou fukc Četost (dvojhmat). mulujte 00 hodů mcí a zjstěte počet hozeých líců a rubů. mulujte 00 hodů kostkou a zjstěte, kolkrát padla jedotlvá čísla. mulujte áhodý výběr rozsahu 500 z výšek ldí pomocí geerátoru ormálího rozděleí (µ = 75, σ = 0). 9. Naučte se používat ástroj Hstogram (v doplňku Aalýza dat). Neí vhodé, aby počet třídích tervalů byl přílš malý aebo přílš velký. Doporučuje se jej volt tak, aby byl přblžě rove číslu ze turgesova vzorce: + 3,3. log, kde je počet měřeí. 0. Vylučováí odlehlých hodot pomocí vtřích hradeb: Pomocí dolího kvartlu DK, horího kvartlu HK a kvartlového rozpětí KR, které je dáo vztahem KR = HK DK, vypočítáme obě vtří hradby: dolí hradba : DH = DK,5. KR, horí hradba : HH = HK +,5. KR. Za odlehlé hodoty považujeme ty, které jsou meší ež dolí hradba a větší ež horí hradba. Tyto hodoty z výběrového souboru vyloučíme a test pak opakujeme pro redukovaý soubor. Dále zpracováváme je hodoty zbývající.. Vylučováí odlehlých hodot pomocí Grubbsova testu (vhodé pro meší výběrové soubory, kde rozsah výběru epřevyšuje číslo 0): Nejprve vypočítáme pomocí směrodaté odchylky číslo =. Pak pro mmum souboru m vypočítáme hodotu a podobě pro maxmum souboru max vypočítáme hodotu T max T m X m =, max X =. Extrémí hodotu vyloučíme, pokud vypočteá hodota T m č T max převýší hodotu T(,α) uvedeou v ásledující tabulce. Teto test pak 4

5 opakujeme pro redukovaý soubor do té doby, ež extrémí hodotu jž test evyloučí. Dále zpracováváme je hodoty zbývající. 5. Vylučováí odlehlých hodot pomocí Dea-Dxoova Q-testu (vhodé pro malé výběrové soubory, kde rozsah výběru epřevyšuje číslo 0): Pro teto test potřebujeme ejprve vypočítat rozpětí R = max m. Hodoty souboru uspořádáme podle velkost vzestupě tak, aby bylo m = X < X < X < < X < X = max. 3 (Pokud echceme soubor uspořádávat, můžeme získat druhou ejmeší hodotu a druhou ejvětší hodotu pomocí ástroje Popsá statstka.) X m Pak pro mmum souboru m vypočítáme hodotu Q m =, R max X =. R a pro maxmum souboru max vypočítáme hodotu Q Extrémí hodotu vyloučíme, pokud vypočteá hodota Q m č Q max převýší hodotu Q(,α) uvedeou v ásledující tabulce. Teto test pak opakujeme pro redukovaý soubor do té doby, ež extrémí hodotu jž test evyloučí. Dále zpracováváme je hodoty zbývající. 6. V ásledující tabulce se vyskytuje tzv. hlada výzamost α. Je to hodota ašeho rzka, že se př použtí testu dopustíme chyby (přesěj: je to pravděpodobost toho, že testem ozačíme hodotu za odlehlou, když tomu tak ve skutečost eí). Krtcké hodoty pro testy vylučováí odlehlých výsledků Počet měřeí Grubbsův test T(,α) max Dea-Dxoův Q-test Q(,α) α = 0,05 α = 0,0 α = 0,05 α = 0,0 3,4,46 0,94 0,988 4,689,73 0,765 0,889 5,869,955 0,64 0,760 6,996,30 0,560 0,698 7,093,65 0,507 0,637 8,7,374 0,468 0,590 9,37,464 0,437 0,555 0,94,540 0,4 0,57,343,606,387,663 3,46,74 4,46,759 5,493,800 6,53,837 7,55,87 8,557,903 9,600,93 0,63,959 5

6 emář 04 Dstrbučí fukce, kvatly. Pomocí geerátoru pseudoáhodých čísel s vytvořte soubor 50 čísel s ormálím rozděleím (středí hodotu a směrodatou odchylku s zvolte lbovolě). Na tato data užjte ástroj Pořadová statstka a percetly. Odhalte výzam údajů ve všech sloupcích získaé tabulky. 3. Pomocí údajů v tabulce vytvořte graf tzv. dstrbučí fukce, která pro lbovolě zvoleou hodotu udává, kolk procet čísel z daého souboru je meší, ež tato hodota: 00% Dstrbučí fukce 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% Odečtěte z grafu přblžou hodotu medáu a zkotrolujte s svůj odhad jeho staoveím pomocí fukce MEDIAN č QUARTIL. Totéž udělejte pro oba kvartly. Jaký výzam mají čísla, která azýváme decly, resp. cetly? 4. Naučte se používat statstcké fukce PERCENTIL a PERCENTRANK. Jaký je jejch vztah ke grafu dstrbučí fukce? 6

7 emář 05 Bodové a tervalové odhady pro parametry ormálího rozděleí tatstcké zpracováí hodot opakovaých měřeí ějaké velčy vychází tohoto předpokladu: ahodlé chyby způsobují, že aměřeé hodoty x se od správé hodoty μ lší, přčemž malé odchylky (a obě stray) jsou více pravděpodobé a větší odchylky jsou málo pravděpodobé. Vhodým modelem pro aměřeé hodoty x je tedy ormálí rozděleí No ( µ ; σ ), kde μ je středí hodota a rozptyl σ je charakterstkou přesost měřící metody. 5. Pomocí geerátoru pseudoáhodých čísel s vytvořte soubor čísel s ormálím rozděleím (středí hodotu volte 30 a směrodatou odchylku volte 3). Tato data uspořádejte do 0 sloupců a 500 řádků. Tato čísla budou modelem měřeí velčy se správou hodotou 30, která provádělo 500 expermetátorů, z chž každý hodotu měřl ezávsle 0krát. Pro měřeí každého expermetárora (každý řádek) vypočítejte výběrový průměr a výběrový rozptyl. 6. Pomocí ástrojů Popsá statstka a Hstogram porovejte rozděleí hodot u základích dat (0 000 čísel), výběrových průměrů (500 čísel) a výběrových rozptylů (dalších 500 čísel). Jaké závěry plyou ze získaých formací? Výběrový průměr je vhodým bodovým odhadem středí hodoty μ ormálího rozděleí (tedy správé hodoty, kterou měříme). Výběrový rozptyl je vhodým bodovým odhadem rozptylu σ ormálího rozděleí (tedy přesost metody, kterou pro měřeí užíváme). Oba dva bodové odhady jsou však zatížey ahodlým chybam, hodoty bodových odhadů jsou tedy je přblžě rovy správým hodotám. 7

8 7. Př zpracováí měřeí se pokoušíme staovt rozmezí (terval) v ěmž skutečá (ezámá) hodota s velkou pravděpodobostí leží. Například: 95% procetí terval spolehlvost pokrývá ezámou hodotu parametru s pravděpodobostí (spolehlvostí) 0,95 = 95%. 99% procetí terval spolehlvost pokrývá ezámou hodotu parametru s pravděpodobostí (spolehlvostí) 0,95 = 95%. 8. Výpočet tervalu spolehlvost pro parametr µ ormálího rozděleí provedeme podle tohoto tvrzeí: PRAVD ( X t < µ < X + t ) = α kde kvatl (percetl) t tudetova rozděleí získáme pomocí fukce TINV s těmto hodotam parametrů: Prst = α, Volost =, aebo použjeme dále uvedeou tabulku kvatlů. Zjstěte s pro zvoleou hodotu α = 0,05 a hodotu = 0 číselou hodotu kvatlu t.. X + t. Vypočítejte pro každý řádek dolí mez tervalu spolehlvost X t. Vypočítejte pro každý řádek horí mez tervalu spolehlvost. Zjstěte logckou operací v každém řádku, zda byla expermetátorem tervalem spolehlvost zachycea správá hodota μ = 30 (dolí mez je meší ež 30 a současě je horí mez větší ež 30). Zjstěte (pomocí fukce Průměr) u kolka procet expermetátorů se tervalem spolehlvost podařlo pokrýt správou hodotu Výpočet tervalu spolehlvost pro parametr σ ormálího rozděleí provedeme podle tohoto tvrzeí: ( ) ( ) PRAVD ( < σ < ) = α χ χ kde kvatly χ a χ získáme fukcí CHIINV s těmto hodotam parametrů: pro χ : Prst = α /, Volost =, pro χ : Prst = - α /, Volost =, aebo použjeme dále uvedeou tabulku kvatlů. Zjstěte s pro zvoleou hodotu α = 0,05 a hodotu = 0 číselou hodotu kvatlů χ a χ. ( ). Vypočítejte pro každý řádek dolí mez tervalu spolehlvost χ. 8

9 Vypočítejte pro každý řádek horí mez tervalu spolehlvost ( ). Zjstěte logckou operací v každém řádku, zda byla expermetátorem tervalem spolehlvost zachycea správá hodota σ = 9 (dolí mez je meší ež 9 a současě je horí mez větší ež 9). Zjstěte (pomocí fukce Průměr) u kolka procet expermetátorů se tervalem spolehlvost podařlo pokrýt správou hodotu 9. Tabulky kvatlů: t α = 0,05 α = 0,0 χ χ 3 4,3066 7, , ,9499 0, , ,845 9, ,579 5,84085, ,077 5,77645,436 0,4844 4, ,8607 0,0698 6,57058,8349 0,83 4,03 6, ,475 7,4469 4,44935,3734 3, ,5475 0, ,3646 6,077, , ,7774 0,9895 9,3060 7,53454,797 3,35538,95486, ,66 9,078, ,4984 3,5897,7349,84 0,4830 3,4696 3,696 5,8805,5585,0099,900 3,8574 3,058 6,75686,6030 3,788 3, , , ,9966 3, ,6037 4, , ,08 9,893 3, ,4479 6,893 5,687, ,3943 4, ,345 7, ,6, ,8049 4, ,990 8,8453 6,90766, ,6705 5,46 8,098 30,9098 7,5648, ,7838 5,6977 9,009 3,564 8,3074, ,5639 6,6477 0,0930 3,8534 8,9065, ,58 6,8439, ,6958 9,59077, , ,4338, , ,89,8337 4, , , , ,9833,8876 4, ,6468 4, ,0756,68853, ,839 9,6038 5, ,36406,405, , ,8860 6, , ,97, ,9797 0,5965 7, ,934 3,84388, ,8978,60 8, ,945 4,57337, ,64504, , , ,30785, ,99356,468 30, ,78 6,04705, , ,07 t χ χ χ. 9

10 emář 06 Prcpy testováí statstckých hypotéz Testy o parametrech ormálího rozděleí No ( µ ; σ ) - jede výběr. Ilustratví příklad: Hraj se soupeřem hru, př íž záleží a tom, jak ám padají šestky a hozeých kostkách. Zatímco u mé kostky padá šestka podle očekáváí zhruba v jedé šestě případů, zdá se m, že a jeho kostce padá šestka daleko častěj. Hlodá ve mě podezřeí, že jeho kostka je falešá, o to ale popírá. Dohodl jsme se, že test jeho kostky uděláme takto: hodí 4krát kostkou a spočítáme, kolkrát mu pade šestka. Když bude počet hozeých šestek moc velký, prohlásíme kostku za falešou a vyřadíme j ze hry. Jaký výzam ale máme dát slovům moc velký? Pomůže ám ásledující tabulka? Pravděpodobost tohoto jevu Počet hozeých šestek za podmíky, že kostka je správá 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Hlada výzamost 0,05 0,95 = 95% 0,05 = 5% 0

11 . Obecý postup př testováí statstckých hypotéz o parametrech ormálího rozděleí: Nejprve zformulujeme tzv. ulovou hypotézu H 0 o vybraém parametru rozděleí. Nulová hypotéza má tvar rovost, apříklad: µ = 75 ebo σ =0,, a podobě. Prot této hypotéze postavíme tzv. alteratví hypotézu H a, která má obvykle tvar erovost, apříklad: µ > 75 ebo σ <0,, a podobě. Vybereme vhodou áhodou velču G, tzv. testové krtérum. Zvolíme malé kladé číslo α (bývá zvykem volt zejméa hodoty α = 0, 0, resp. α = 0,05, resp. α = 0, 0), které budeme azývat hladou výzamost. Určíme tzv. krtcký obor W. Te má tuto vlastost: jestlže platí ulová hypotéza H 0, pak hodota testového krtéra G pade do W s malou pravděpodobostí α, a aopak skoro jstě (s pravděpodobostí -α ) hodota G epade do W. Z dat vypočteme hodotu testového krtéra a porováme s krtckým oborem: jestlže jestlže G W, pak zamíteme ulovou hypotézu H 0, G W, pak ezamíteme ulovou hypotézu H Testová krtéra a krtcké obory pro jedotlvé hypotézy a pro jejch alteratvy: T-test pro ulovou hypotézu H 0 : µ = kost Prot ulové hypotéze stavíme alteratví hypotézu H a : µ < kost, když X < kost. Prot ulové hypotéze stavíme alteratví hypotézu H a : µ > kost, když X > kost. X kost Testovým krtérem je áhodá velča G = Zvolíme hladu výzamost α, ejčastěj α = 0, 05. Krtckým oborem bude terval W = ( t, + ), kde kvatl t tudetova rozděleí získáme fukcí TINV s volbou parametrů Prst =.α, Volost =. χ -test pro ulovou hypotézu H 0 : σ = kost Prot ulové hypotéze stavíme alteratví hypotézu H a : σ < kost, když < kost. Prot ulové hypotéze stavíme alteratví hypotézu H a : σ > kost, když > kost. ( ) Testovým krtérem je áhodá velča G = kost Zvolíme hladu výzamost α, ejčastěj α = 0, 05. Krtckým oborem př alteratvě σ < kost bude terval W = (0, χ ), kde kvatl χ získáme fukcí CHIINV s volbou parametrů Prst = - α, Volost =. Krtckým oborem př alteratvě σ > kost bude terval W = ( χ, + ), kde kvatl získáme fukcí CHIINV s volbou parametrů Prst = α, Volost =. χ 4. Vygeerujte s data a testujte růzé hypotézy a růzých hladách výzamost.

12 emář 07 Testy o parametrech ormálího rozděleí dva výběry. Předpokládáme, že: jede výběr pochází z rozděleí No ( µ ; σ ) a druhý výběr pochází z rozděleí No ( µ ; σ ). Používáme ástroj Popsá statstka pro zjštěí poměrů ve výběrech a ásledě dále uvedeé testy.. Mohou astat dva případy: Výběry jsou závslé (jde o dvě opakovaá měřeí a týchž statstckých jedotkách, oba datové soubory tedy mají stejý počet měřeí). V tomto případě pro test ulové hypotézy: µ = µ použjeme tzv. Dvouvýběrový párový t-test. Výběry jsou ezávslé (hodoty z výběrů se avzájem eovlvňují, rozsah obou souborů emusí být obecě stejý). V tomto případě pro test ulové hypotézy: µ = µ máme k dspozc dva tzv. t-testy, a to: Dvouvýběrový t-test s rovostí rozptylů a Dvouvýběrový t-test s erovostí rozptylů. O tom, který z těchto testů použjeme se rozhodujeme a základě tzv. Dvouvýběrového F-testu pro rozptyl, př kterém testujeme ulovou hypotézu σ =. σ U všech těchto testů volíme za. soubor vždy te, který má větší odhad testovaého parametru (tedy buď výběrový průměr ebo výběrový rozptyl) a za. soubor te, který má odhad testovaého parametru meší. 3. Nulové hypotézy testujeme a hladě výzamost α (obvykle volíme 0,05). Počítač ám ale hladu výzamost sám vypočítá, je to hodota P, která se objeví v tabulce. Nulovou hypotézu tedy zamítáme, když je P hodota meší ež 0,05 (resp. já zvoleá hlada výzamost). Tomu také odpovídá stuace v tabulce, kdy vypočteá hodota testového krtéra převyšuje tzv. krtckou hodotu. 4. Geerujte s soubory dat a používejte výše uvedeé testy.

13 emář 08 Závslost ormálě rozděleých áhodých velč, korelace, grafcké zázorěí Hmotost Výška Na obrázku je typcká statstcká závslost. tatstckou závslost obvykle modelujeme vhodou fukčí závslostí, v ejjedodušším případě prokládáme body přímku. Těsost leárí statstcké závslost měříme koefcetem korelace, který se počítá podle ásledujícího vzorce, resp. pomocí fukce CORREL. r = ( x y x y x ( x ) ) ( y ( Koefcet korelace abývá hodoty od - do a přtom: hodotě r = odpovídá rostoucí fukčí leárí závslost, hodotě r mez 0 a odpovídá rostoucí statstcká leárí závslost, hodota r = 0 sgalzuje eexstec leárí závslost, hodotě r mez - a 0 odpovídá klesající statstcká leárí závslost, hodotě r = - odpovídá klesající fukčí leárí závslost. Například těsost statstcké závslost a hořejším obrázku je charakterzováa hodotou korelačího koefcetu r = 0,796.. Expermetujte s daty a ověřujte vlastost koefcetu korelace. y ) ) 3

14 emář 09 Regrese, metoda ejmeších čtverců, pás spolehlvost pro regresí fukc tatstckou závslost obvykle modelujeme vhodou fukčí závslostí. Tuto fukc hledáme tak, aby součet druhých moc odchylek měřeí od hodoty regresí fukce byl mmálí (používáme tzv. metodu ejmeších čtverců). V jedoduchých stuacích volíme leárí závslost, jejímž grafem je přímka. y 0 f(x) x. Budeme tedy předpokládat, že závslost velčy y a velčě x je leárí a regresí fukce má tvar y = f( x) = b+ b x.. Potřebé výpočty uspořádáme do podobé tabulky, kterou jsme používal př výpočtu koefcetu korelace: atd. oučet x y x x y y Nezámá čísla b a b v rovc regresí fukce vypočítáme z údajů posledího součtového řádku podle těchto vzorců: x y x x ( x ) x y b =, b x ( x) xy x y =. 4

15 3. Zadejte s lbovolě dvojce čísel reprezetující výsledky měřeí, vypočtěte údaje v tabulce, alezěte rovc regresí přímky, aprogramujte její výpočet do dalšího sloupce tabulky a vytvořte přehledý graf. 4. Produkt Excel umožňuje pro statstckou závslost rychle alézt regresí přímku v abídce grafu stačí zadat požadavky a vytvořeí spojce tredu a zobrazeí její rovce. ezamte se s touto možostí a zkuste použít další růzé regresí fukce. 5. Vhodost regresí fukce posuzujeme velkostí čísla, které se azývá rezduálí součet čtverců: s = ( y f( x )) r Doplňte výpočetí tabulku o další sloupec a vypočítejte rezduálí součet čtverců. Přesvědčte se, že jej pro případ regresí přímky lze počítat podle ásledujícího vzorce: y b y b sr = x y. Rezduálí součet čtverců slouží k odhadu rozptylu chyb, kterých jsme se př měřeí dopustl. Odhad rozptylu je dá tímto vzorcem: s σ r (platí pro přímkovou regres). 6. Pomocí rezduálího součtu čtverců můžeme také vypočítat 95% terval spolehlvost pro hodotu regresí fukce f (x) pomocí vzorce: x + ( x ) sr ( x x x ) f ( x) ± t, ( ) ( x ) kde kvatl t vyhledáme pomocí statstcké fukce TINV s těmto hodotam parametrů: Prst = 0,05, Volost =. Doplňte výpočetí tabulku o další dva sloupce a aprogramujte do ch dolí a horí mez tervalu spolehlvost pro fukčí hodotu regresí fukce. Doplňte graf vytvoří se vám tzv. pás spolehlvost pro regresí fukc. 5

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta

Více

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n. Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

12. Neparametrické hypotézy

12. Neparametrické hypotézy . Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2 SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů SP4 Přpomeutí pojmů Pravděpodobost Náhodý jev: - základí prostor - elemetárí áhodý jev A - áhodý jev, - emožý jev, jstý jev podjev opačý

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky).

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky). Statstka. Základí pojmy Statstcký soubo - daá koečá, epázdá moža M předmětů pozoováí, majících jsté společé vlastost (událost, věc,.) Jedotlvé pvky této možy se azývají pvky statstckého soubou (statstcké

Více

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě. 3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

VY_52_INOVACE_J 05 01

VY_52_INOVACE_J 05 01 Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

11. Popisná statistika

11. Popisná statistika . Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty

Více

Odhady a testy hypotéz o regresních přímkách

Odhady a testy hypotéz o regresních přímkách Lekce 3 Odhad a tet hpotéz o regreích přímkách Ve druhé lekc jme kotruoval kofdečí terval a formuloval tet hpotéz o korelačím koefcetu Korelačí koefcet je metrckou charaktertkou tezt závlot, u které ezáleží

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresí a korelačí aalýza Závslost příčá (kauzálí). Závslostí pevou se ozačuje případ, kdy výskytu jedoho jevu utě odpovídá výskyt druhé jevu (a často aopak). Z pravděpodobostího hledska jde o vztah, který

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hyotéz Př statstckých šetřeích se často setkáváme s roblémy tohoto druhu () Máme zjstt, zda dva daé vzorky ocházejí z téhož ZS. () Máme rozhodout, zda rozdíly hodot růměrů (res. roztylů)

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Ekoomcká fakulta Semestrálí ráce S kua Jméa: Leka Pastorová, Davd arha, Ja Vtásek a Fl Urbačík Ročík: 0/06 Učtel: gr. Jří Rozkovec Obor: Podková ekoomka Datum:.. 06 Obsah

Více

Testování hypotéz. 3.1 Základní pojmy a obecný postup při testování

Testování hypotéz. 3.1 Základní pojmy a obecný postup při testování Lekce 3 Testováí hypotéz Vlajkovou lodí matematcké statstky jsou techky testováí hypotéz. Formulace hypotéz a jejch ověřováí jsou základím mechasmem postupu ldského pozáí. Pokud jsou formace, potřebé k

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 Tvorba eleárího regresího modelu Postup tvorby eleárího regresího modelu se dá rozčlet do těchto kroků: Návrh regresího modelu Obvykle se jako eleárí regresí model používá

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE Praha 8 Pavel Třasák ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ

Více

S1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák

S1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák SP Popsá statstka Popsá statstka Lbor Žák SP Popsá statstka Lbor Žák Základí zdroje : skrpta Mateatka IV - doc. RNDr. Z. Karpíšek, CSc. ateatka o le - http://athole.fe.vutbr.cz/ Základ ateatcké statstk

Více

SP2 Korelační analýza. Korelační analýza. Libor Žák

SP2 Korelační analýza. Korelační analýza. Libor Žák Korelačí aalýza Přpomeutí pojmů áhodá proměá áhodý vetor áhodý vetor Náhodý výběr: pro áhodou proměou : pro áhodý vetor : pro áhodý vetor : Přpomeutí pojmů - ovarace Kovarace áhodých proměých ovaračí oefcet

Více

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat 4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Úvod do zpracováí měřeí Teore chb Opakujeme-l měřeí téže fzkálí velč za stejých podmíek ěkolkrát za sebou, dostáváme zpravdla růzé hodot. Měřeé velčě přísluší však jedá správá hodota. Každou odchlku aměřeé

Více

KVALITA REGRESNÍHO MODELU Radek Fajfr

KVALITA REGRESNÍHO MODELU Radek Fajfr UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA EKONOMICKO-SPRÁVNÍ KVALITA REGRESNÍHO MODELU Radek Fajfr Bakalářská práce 00 Prohlášeí Tuto prác jsem vypracoval samostatě. Veškeré lterárí pramey a formace, které jsem v

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem

Více