(u, v) u. v. cos φ =

Transkript

1 LA 3. cvičení Ortogonalita, Gramm-Schmitův ortonormalizační proces Lukáš Pospíšil, Martin Hasal,2 Ortogonální systém vektorů Poznámka: Motivace - připomeňme si Kosinovu větu v obecném tvaru kde φ je úhel mezi vektory u, v R n cos φ = (u, v) u. v (u, v) = n u i v i je standartní skalární součin i= n u = u 2 i i= je standartní eukleidovská norma (délka vektorů) Představme si, že úhel vektorů je 9 stupňů, tedy π 2. Pak cos π 2 =. = (u, v) = (u, v) u. v Tedy Kosinova věta by se dala postavit i opačně - pokud skalární součin dvou vektorů je roven nule, pak jsou tyto vektory na sebe kolmé. V dalším učivu budeme uvažovat vzájemně kolmé vektory a nazývat je ortogonálními. Definice.. Necht je dán vektorový prostor V se skalárním součinem (u, v). Mnoˇzinu vektorů {v,..., v n } nazveme ortogonální, pokud ortonormální, pokud { = pokud i j i, j =,..., n : (v i, v j ) pokud i = j { = pokud i j i, j =,..., n : (v i, v j ) = pokud i = j ()

2 Poznámka: Jednoduššeji řečeno - množina vektorů je ortogonální, pokud skalární součin libovolného vektoru s jiným vektorem z dané množiny je nula a skalární součin stejných vektorů je různý od nuly. Navíc, pokud je skalární součin vždy stejných vektorů roven jedné, pak je množina ortonormální. Poznámka: Prvky ortogonální množiny vektorů se nazývají ortogonální vektory. Podobně i pro ortonormální množiny. Příklad.. Rozhodněte, zda mnoˇzina vektorů M = {[,, ], [,, ], [,, ]} je ortogonální vzhledem ke skalárnímu součinu (u, v) = 2u v + 4u 2 v 2 + 2u 3 v 3 Pro jednoduchost si nejprve označme vektory mnoˇziny f = [,, ] f 2 = [,, ] f 3 = [,, ] Jelikoˇz skalární součin je symetrická bilineární forma (tj. (u, v) = (v, u)), pak stačí pouze testovat tyto dvojice (například) (f, f 2 ) = = 4 (f, f 3 ) = = 2 (f 2, f 3 ) = = 2 Tedy ne, vektory nejsou ortogonální, daná mnoˇzina vektorů není ortogonální. 2 Norma příslušná skalárnímu součinu Uvažujme skalární součin (u, v). Pak zobrazení u = (u, u) jest normou příslušnou k tomuto skalárnímu součinu. Tato norma se nazývá Eukleidovská norma. Poznámka: V některé literatuře se takto definovaná norma nazývá norma indukovaná skalárním součinem. (2)

3 3 Gramm-Schmidtův ortonormalizační proces Tento šikovný algoritmus slouží pro vytvoření ortonormální množiny z množiny lineárně nezávislých vektorů. Označme G = {g,..., g n } - původní množina lineárně nezávislých vektorů E = {e,..., e n } - hledaná množina ortonormálních vektorů Pak Gramm-Schmitův ortonormalizační proces bude vypadat takto: Nejdříve normalizujeme první vektor množiny G e = g g A pro další vektory postupujeme tak, že vždy vezmeme z množiny G jeden vektor a zajistíme, aby nová množina vektorů byla ortogonální. A pak tento vektor opět normalizujeme. g i i (g i, e j )e j j= e i = g i i (g i, e j )e j j= ozn = e i e i, i = 2,..., n Poznámka: Úkolem cvičení není ukázat, že kde se tento zázrak vzal, jestli vůbec funguje a proč. Raději uděláme pěkný příklad a ukážeme, že řešení příkladu je správné. Nebo raději uděláme dva příklady - jeden jednoduchý a druhý komplikovanější. Příklad 3..2 Pomocí Gramm-Schmidtova ortonormalizačního procesu vytvořte z vektorů g = [, ] g 2 = [, ] ortonormální mnoˇzinu E vzhledem k standartnímu skalárnímu součinu (u, v) = u v + u 2 v 2 Fajne by bylo, kdyby mnoˇzina G = {g, g 2 } byla ortogonální. Jenˇze není, protoˇze např. (g, g 2 ) = ([, ], [, ]) =. +. = (g 2, g 2 ) = ([, ], [, ]) =. +. = 2 Tak jdeme na ten ortonormalizační proces, nejdříve první vektor e = [, ] [, ] = = [, ] (3)

4 A pak druhý vektor. Pro lepší srozumitelnost a kratší výpočet nejdříve spočteme 2 e 2 = g 2 (g 2, e j )e j = g 2 (g 2, e )e = [, ] ([, ], [, ]).[, ] = j= = [, ] (. +.).[, ] = [, ] [, ] = [, ] Nyní zbývá normalizovat tento vektor e 2 = e 2 [, ] [, ] e = = = [, ] Na místě by byla jistě i zkouška - ověřit, že nalezené vektory e, e 2 jsou skutečně ortonormální: (e, e ) = ([, ], [, ]) =. +. = (e 2, e 2 ) = ([, ], [, ]) =. +. = (e, e 2 ) = ([, ], [, ]) =. +. = Poznámka: Jednoduché? Ano, ale pouze tento příklad. Druhý bude brutálnější. Slibuji. Příklad 3..3 Pomocí Gramm-Schmidtova ortonormalizačního procesu vytvořte z vektorů f = [,, ] f 2 = [,, ] f 3 = [,, ] ortonormální mnoˇzinu E vzhledem ke skalárnímu součinu (u, v) = 2u v + 4u 2 v 2 + 2u 3 v 3 Poznámka: Nejdříve pozor! Eukleidovská norma příslušná k danému skalárnímu součinu má tvar u = (u, u) = 2u 2 + 4u u2 3 Tedy v algoritmu budeme normalizovat vzhledem k této normě. První vektor nebude problém e = f f = [,, ] = [,, ] Druhý vektor spočítáme tak, ˇze si pro jednoduchost nejdříve předpočítáme ortogonální vektor e 2 a tento vektor posléze normalizujeme. 2 e 2 = f 2 (f 2, e j )e j = f 2 (f 2, e )e = [,, ] ([,, ], [,, ]) [,, ] = j= = [,, ].( ).[,, ] = [,, ] 2 3.[,, ] = [ 2 3, 3, ] (4)

5 A pak ho normalizujeme e 2 = e 2 e 2 = [ 2 3, 3, ] = [ 2 3, 3, ] = 3 [ 2 3, 3, ] = [ 2,, 3] Třetí vektor nám uˇz malinko zkomplikuje ˇzivot, nicméně po konečném počtu kroků se jistě dopracujeme ke správnému řešení = [,, ] ([,, ], 3 e 3 = f 3 (f 3, e j )e j = f 3 (f 3, e 2 )e 2 (f 3, e )e = j= [ 2,, 3]) [ 2,, 3] ([,, ], [,, ]) [,, ] = = [,, ] (2..( 2 ) ) [ 2,, 3] ( ) [,, ] = a normalizace = [,, ] 2 [ 2,, 3] 2 [,, ] =... = [4, 2, 4] 5 e 3 = e 3 e 3 = 5 [4, 2, 4] =... = 2 [2,, 2]. 4 Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla a vlastní vektory matic jsou další významnou charakteristikou matic. Využívají se například při studiu konvergence některých numerických metod, jakož i při řešení homogenních soustav diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Definice 4..2 Necht V je vektorový prostor A L je lineární transformace nad vektorovým prostorem V Jestliˇze existuje nenulový vektor e V a skalár λ R tak, ˇze pak číslo λ nazýváme vlastní číslo transformace A Ae = λe () vektor e nazýváme vlastní vektor transformace A příslušný k vlastnímu číslu λ Poznámka: No, pokud V je konečně rozměrný vektorový prostor, pak lze matici A ztotožnit s lineárním zobrazením A (je to matice transformace vzledem k nějaké bázi) - podobně jako u klasifikace kvadratických forem. Tedy v dalším výkladu můžeme hovořit o vlastních číslech a vlastních vektorech matic ale budeme mít na mysli lineární zobrazení kterému odpovídá daná matice. (5)

6 5 Jak hledat (a najít) vlastní čísla Rovnici () lze malinko vylepšit Ae = λe vynásobíme zleva I IAe = Iλe platí IA = AI = A, Iλ = λi Ae = λie odečteme λie Ae λie = o vytkneme e, platí (A + B)v = Av + Bv (A λi)e = o Poznámka: Pokud (A λi) budeme považovat za lineární zobrazení (pokud A, I jsou lineární zobrazení, pak i (A λi) je lineární zobrazení), pak e jsou de-facto vektory jádra (= vektory které se zobrazí na nulový prvek). Připomeňme si dvě velké pecky z minulých cvičení: soustavy s nulovou pravou stranou mají nekonečně mnoho řešení, nebo pouze jedno - nulové řešení soustavy s regulární maticí mají právě jedno řešení A my nechceme, aby vektor e byl nulový, proto matice (A λi) musí být singulární. Jenomže singulární matice mají nulový determinant, tedy det (A λi) = A je to tam! Odvodili jsme algoritmus pro hledání vlastních čísel. Neveříte? Příklad 5..4 Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory matice A = Nejdříve si odvodíme, čemu se rovná det (A λi) det (A λi) = det Uˇzitím Sarusova pravidla dostáváme: λ = det λ λ λ = = ( λ).( λ).( λ) ( λ)...( λ) ( λ).. = ( λ) 3 ( λ) = můˇzeme vytknout = ( λ).(( λ) 2 ) = ( λ).( 2λ + λ 2 ) = ( λ).(λ 2 2λ) = λ( λ)(λ 2) Poznámka: Této věci se říká charakteristický polynom. Přesněji řečeno - charakteristický polynom je polynom, který vznikne úpravou výrazu det (A λi). ()

7 Charakteristický polynom jsem schválně upravil na tvar součinu lineárních funkcí. Jelikoˇz pokud poloˇzíme rovno nule ze součinu det (A λi) = λ( λ)(λ 2) = λ( λ)(λ 2) = přímo plyne, že λ je rovno, nebo 2. Pak jeden z činitelů na levé straně bude nulový, tedy i celý součin bude nulový a roven pravé straně. A tak je to správné, tak to má byt. Tedy vlastní čísla bychom měli. Kuk na rovnici (A λi)e = o Coˇz po dosazení λ je soustava lineárních rovnic... řešitelná Gaussovou eliminační metodou. Pomocí determinantů ne, protoˇze matice (A λi) je sigulární, tato matice bude mít nulový determinant a parametrické řešení (ech, ale to je přeci to, o co nám od začátku šlo). Tak dosad me postupně jednotlivá vlastní čísla a řešme:. Dosad me první vlastní číslo λ = a jelikoˇz A.I = A budeme řešit soustavu Tak jo... tak řešme: Ae = o Tedy řešením jest e = [ t, t, ] T, t R 2. Dosad me druhé vlastní číslo λ 2 = a řešme Tedy řešením jest e 2 = [,, t] T, t R 3. Dosad me třetí vlastní číslo λ 3 = 2 a řešme Tedy řešením jest e 3 = [t, t, ] T, t R (7)

8 Položme například t =, pak vlastními čísly a příslušnými vlastními vektory matice A jsou dvojice λ =, v = λ 2 =, v 2 = λ 3 = 2, v 3 = Poznámka: Japato parametrické řešení? To je jasné - parametricky nám to vyjde vˇzdy, protoˇze soustava je se singulární maticí. Ale tak to má vyjít! Uvaˇzujme rovnici (A λi)e = o přenásobme libovolným t R, t t.(a λi)e = t.o t je skalár (A λi)(t.e) = o Pak je jasné, ˇze i vektor t.e je příslušným vlastním vektorem. Tedy zhrňme postup hledání vlastních čísel a vlastních vektorů:. z det (A λi) odvodíme charakteristický polynom 2. nalezneme kořeny charakteristického polynomu - to jsou vlastní čísla 3. pro jednotlivá vlastní čísla nalezneme příslušné vlastní vektory jako řešení rovnice (A λ i )e i = o Lokalizace spektra Poznámka: Jelikož determinanty jsou příliš náročné pro výpočet, předchozí algoritmus je pro velké matice prakticky nepoužitelný. A někdy stačí pouze odhadnout kde se přibližně vlastní čísla nacházejí. K tomu slouží velice jednoduchá věta - Geršgorinova. Věta.. (Geršgorinova) Necht A C n,n (komplexní čtvercová matice A řádu n). Označme [a] ij prvek matice A na i-tém řádku a j-tém soupci. Dále označme čísla a mnoˇziny r i = a i a i,i + a i,i a in S i = {z C : z a ii r i pro i =,..., n. Pak vlastní čísla matice A leˇzí v mnoˇzině (jsou prvky mnoˇziny) S = S... S n (8)

9 Poznámka: Výpočet r i je vlastně součet absolutních hodnot prvků v i-tém řádku, krom diagonálního. Poznámka: školy? Vzpomínáte na význam lineárních nerovnic s absolutní hodnotou ze střední z a i i r i Vzdálenost z od bodu a ii je menší nebo rovna jako r i. Jedná se o kruh se středem v bodě a ii a poloměrem r i. Poznámka: Ačkoliv může tato věta vypadat příliš jednoduše, je to velmi robustní nástroj pro horní odhad největšího vlastního čísla. Příklad..5 Necht je dána matice A = [ 2 2 Tato symetrická čtvercová matice A je pozitivně definitní, spektrum matice dle Geršgorinovy věty je obsaˇzeno v mnoˇzině Ω = {x C : x 2 } ] Je vidět, ˇze pokud vezmeme libovolné číslo z této mnoˇziny, tak bude kladné. 7 Reference [] Z. Dostál, Lineární algebra, skriptum, Ostrava [2] V. Vondrák, LA - 2. cvičení (9)