Kapitola 9: Aplikace integrálů funkcí jedné proměnné
|
|
|
- Jan Dvořák
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 9: Aplikace integrálů funkcí jedné proměnné Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p./9
2 Aplikace integrálů funkcí jedné proměnné Plošný obsah obrazce Délka rovinné křivky Objem rotačního tělesa Fyzikální aplikace. p.2/9
3 Plošný obsah obrazce Příklad 9.. Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y =sinx, x,π aosoux. Příklad 9..2 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, 3 aosoux. Příklad 9..3 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, ) aosoux. Příklad 9..4 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x2, x, ) aosoux. Příklad 9..5 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x 3 2, x, 4 aosoux. Příklad 9..6 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí y =sin x a y =(x 2π)(x +2π)/, x 2π, 2π. Příklad 9..7 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného polární osoua jedním závitem Archimedovy spirály dané vpolárních souřadnicích rovnicí r = ϕ.. p.3/9
4 Příklad 9.. Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y =sinx, x,π aosoux.?. p.4/9
5 Příklad 9.. Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y =sinx, x,π aosoux. Výsledek: Plošný obsahjep =2.. p.4/9
6 Příklad 9.. Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y =sinx, x,π aosoux. Návod: Použijte vztah P = b a f(x) dx.. p.4/9
7 Příklad 9.. Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y =sinx, x,π aosoux. Řešení: Nakreslíme obrázek plochy, jejíž obsahpočítáme (f(x) =sinx): Nyní vypočteme obsah plochy: P = π f(x) dx = π sin xdx = [ ] π cos x = cos π ( cos ) = 2.. p.4/9
8 Příklad 9.. Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y =sinx, x,π aosoux. Maple: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. > int(sin(x),x=..pi); > plot(sin(x),x=..pi); x p.4/9
9 Příklad 9.. Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y =sinx, x,π aosoux. Mathematica: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. P = Integrate[Sin[x], {x,, Pi}] 2 Plot[Sin[x], {x,, Pi}]; p.4/9
10 Příklad 9..2 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, 3 aosoux.?. p.5/9
11 Příklad 9..2 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, 3 aosoux. Výsledek: Plošný obsahjep =ln3.. p.5/9
12 Příklad 9..2 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, 3 aosoux. Návod: Použijte vztah P = b a f(x) dx.. p.5/9
13 Příklad 9..2 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, 3 aosoux. Řešení: Nakreslíme obrázek plochy, jejíž obsahpočítáme (f(x) = x ): Nyní vypočteme obsah plochy: P = 3 f(x) dx = 3 x dx = [ ] 3 ln x =ln3 ln = ln 3.. p.5/9
14 Příklad 9..2 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, 3 aosoux. Maple: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. > int(/x,x=..3); > plot(/x,x=..3); ln (3) x. p.5/9
15 Příklad 9..2 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, 3 aosoux. Mathematica: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. Integrate[/x, {x,, 3}] Log[3] Plot[/x, {x,, 3}]; p.5/9
16 Příklad 9..3 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, ) aosoux.?. p.6/9
17 Příklad 9..3 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, ) aosoux. Výsledek: Plošný obsahjep =.. p.6/9
18 Příklad 9..3 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, ) aosoux. Návod: Použijte vztah P = b a f(x) dx.. p.6/9
19 Příklad 9..3 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, ) aosoux. Řešení: Nakreslíme obrázek plochy, jejíž obsahpočítáme (f(x) = x ): Nyní vypočteme obsah plochy: P = f(x) dx = x dx = [ ] ln x = lim ln x ln =. x >. p.6/9
20 Příklad 9..3 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, ) aosoux. Maple: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. > int(/x,x=..infinity); > plot(/x,x=..); x. p.6/9
21 Příklad 9..3 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x, x, ) aosoux. Mathematica: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. Limit[Integrate[/x, {x,,b}],b Infinity] Plot[/x, {x,, }]; p.6/9
22 Příklad 9..4 Určete plošnýobsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x2, x, ) aosoux.?. p.7/9
23 Příklad 9..4 Určete plošnýobsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x2, x, ) aosoux. Výsledek: Plošný obsahjep =.. p.7/9
24 Příklad 9..4 Určete plošnýobsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x2, x, ) aosoux. Návod: Použijte vztah P = b a f(x) dx.. p.7/9
25 Příklad 9..4 Určete plošnýobsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x2, x, ) aosoux. Řešení: Nakreslíme obrázek plochy, jejíž obsahpočítáme (f(x) = x 2 ): Nyní vypočteme obsah plochy: P = f(x) dx = x 2 dx = [ x ] =.. p.7/9
26 Příklad 9..4 Určete plošnýobsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x2, x, ) aosoux. Maple: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. > int(/xˆ2,x=..infinity); > plot(/xˆ2,x=..); x. p.7/9
27 Příklad 9..4 Určete plošnýobsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x2, x, ) aosoux. Mathematica: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. Integrate[/x 2, {x,, Infinity}] Plot[/x 2, {x,, }]; p.7/9
28 Příklad 9..5 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x 3 2, x, 4 aosoux.?. p.8/9
29 Příklad 9..5 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x 3 2, x, 4 aosoux. Výsledek: Plošný obsahjep = p.8/9
30 Příklad 9..5 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x 3 2, x, 4 aosoux. Návod: Použijte vztah P = b f(x) dx. a. p.8/9
31 Příklad 9..5 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x 3 2, x, 4 aosoux. Řešení: Nakreslíme obrázek plochy, jejíž obsahpočítáme (f(x) =x 3 2 ): 8 Nyní vypočteme obsah plochy: P = 4 f(x) dx = 4 x 3 2 dx = [ ] 2 5 x = = p.8/9
32 Příklad 9..5 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x 3 2, x, 4 aosoux. Maple: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. > int(xˆ(3/2),x=..4); > plot(xˆ(3/2),x=..4); x 3 4. p.8/9
33 Příklad 9..5 Určete plošný obsahp rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce y = x 3 2, x, 4 aosoux. Mathematica: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. Integrate[x (3/2), {x,, 4}] 64 5 Plot[x (3/2), {x,, 4}]; p.8/9
34 Příklad 9..6 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí y =sin x a y =(x 2π)(x +2π)/, x 2π, 2π.?. p.9/9
35 Příklad 9..6 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí y =sin x a y =(x 2π)(x +2π)/, x 2π, 2π. Výsledek: Plošný obsahjep = 6 5 π3.. p.9/9
36 Příklad 9..6 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí y =sin x a y =(x 2π)(x +2π)/, x 2π, 2π. Návod: Použijte vztah P = b a f (x) f 2 (x) dx, kde f (x) =sin x a f 2 (x) =(x 2π)(x +2π)/.. p.9/9
37 Příklad 9..6 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí y =sin x a y =(x 2π)(x +2π)/, x 2π, 2π. Řešení: Nakreslíme obrázek plochy, jejíž obsahpočítáme (f (x) =sin x, f 2 (x) =(x 2π)(x +2π)/ ): Postup: Obě funkce jsou sudé (ověřte!), proto můžeme integrovat pouze od nuly do 2π a výsledek vynásobit dvěma. Na tomto intervalu je x nezáporné, lze tedy odstranit absolutní hodnotu ve funkci f. Protože na tomto intervalu platí f f 2,můžeme odstranit i absolutní hodnotu u rozdílu funkcí. Tím dostáváme P = 2π f (x) f 2 (x) dx =2 2π (f (x) f 2 (x)) dx =2 2π (sin x (x 2π)(x+2π)/) dx = 2π [ ] 2π =2 cos x ( x3 3 4π2 x)/ = 6 5 π3.. p.9/9
38 Příklad 9..6 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí y =sin x a y =(x 2π)(x +2π)/, x 2π, 2π. Maple: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. > y:=sin(abs(x)); > f2:=(x-2*pi)*(x+2*pi)/; > int(abs(f-f2),x=-2*pi..2*pi); f := sin ( x ) f2 := / (x 2 π)(x +2π) > plot([f,f2],x=-2*pi..2*pi); 6 5 π3 x p.9/9
39 Příklad 9..6 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí y =sin x a y =(x 2π)(x +2π)/, x 2π, 2π. Mathematica: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. f = Sin[Abs[x]] Sin[Abs[x]] f2 =(x 2 Pi) (x +2 Pi)/ ( 2π + x)(2π + x) Integrate[Abs[f f2], {x, 2 Pi, 2 Pi}] 6π 3 5 Plot[{f, f2}, {x, 2 Pi, 2 Pi}]; p.9/9
40 Příklad 9..7 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného polární osou a jedním závitem Archimedovy spirály dané vpolárních souřadnicích rovnicí r = ϕ.?. p./9
41 Příklad 9..7 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného polární osou a jedním závitem Archimedovy spirály dané vpolárních souřadnicích rovnicí r = ϕ. Výsledek: Plošný obsahjep = 4 3 π3.. p./9
42 Příklad 9..7 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného polární osou a jedním závitem Archimedovy spirály dané vpolárních souřadnicích rovnicí r = ϕ. Návod: Použijte vztah P = β α 2 r2 dϕ.. p./9
43 Příklad 9..7 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného polární osou a jedním závitem Archimedovy spirály dané vpolárních souřadnicích rovnicí r = ϕ. Řešení: Nakreslíme si plochu v polárních souřadnicích. Nyní vypočteme plochu obrazce P = 2π 2 r2 dϕ = 2π 2 ϕ2 dϕ = 6 [ϕ 3 ] 2π = 6 (2π)3 = 4 3 π3.. p./9
44 Příklad 9..7 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného polární osou a jedním závitem Archimedovy spirály dané vpolárních souřadnicích rovnicí r = ϕ. Maple: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. > r:=phi: > int(rˆ2/2,phi=..2*pi); 4 π 3 3 > plot([r,phi,phi=..2*pi],coords=polar); p./9
45 Příklad 9..7 Určete plošný obsah P rovinného obrazce ohraničeného polární osou a jedním závitem Archimedovy spirály dané vpolárních souřadnicích rovnicí r = ϕ. Mathematica: Výpočet obsahu plochy a nakreslení plochy. r:=φ; Integrate[r 2/2, {φ,, 2Pi}] 4π 3 3 ParametricPlot[{r Cos[φ],r Sin[φ]},{φ,, 2 Pi}]; p./9
46 Délka rovinné křivky Příklad 9.2. Určete délku l grafu funkce y = x 3 2, x, 4. Příklad Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cost y = sint t, 2π. Příklad Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π.. p./9
47 Příklad 9.2. Určete délku l grafu funkce y = x 3 2, x, 4.?. p.2/9
48 Příklad 9.2. Určete délku l grafu funkce y = x 3 2, x, 4. Výsledek: l = 8 27 ( 3 2 ). =9, p.2/9
49 Příklad 9.2. Určete délku l grafu funkce y = x 3 2, x, 4. Návod: Použijte vztah l = b +(y ) 2 dx. a. p.2/9
50 Příklad 9.2. Určete délku l grafu funkce y = x 3 2, x, 4. Řešení: Nakreslíme si křivku do kartézských souřadnic Nyní vypočteme délku křivky l = 4 +(y ) 2 dx = 4 + ( ) 3 2 x 2 2 dx = x dx = = [ 8 27 ( + 9 ] 4 x) = 8 27 ( 3 2 ). =9, p.2/9
51 Příklad 9.2. Určete délku l grafu funkce y = x 3 2, x, 4. Maple: > y:=xˆ(3/2); y := x 3/2 > l:=simplify(int(sqrt(+(diff(y,x))ˆ2), x=..4)); > evalf(l); > plot(xˆ(3/2),x=..4); l := x 3 4. p.2/9
52 Příklad 9.2. Určete délku l grafu funkce y = x 3 2, x, 4. Mathematica: Vypočteme délku křivky a nakreslíme si křivku. y = x (3/2); l = Integrate[Sqrt[ + D[y, x] 2], {x,, 4}] ( + ) 8 27 N[%] Plot[x (3/2), {x,, 4}]; p.2/9
53 Příklad Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cost y = sint t, 2π.?. p.3/9
54 Příklad Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cost y = sint t, 2π. Výsledek: Délka je l =2π, je to jednotková kružnice.. p.3/9
55 Příklad Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cost y = sint t, 2π. Návod: Použijte vztah l = t 2 t (x ) 2 +(y ) 2 dt.. p.3/9
56 Příklad Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cost y = sint t, 2π. Řešení: Nejdříve si křivku nakreslíme, je to jednotková kružnice Nyní vypočteme délku křivky. - l = 2π (x ) 2 +(y ) 2 dt = 2π cos2 t +sin 2 t dt = 2π dt =2π.. p.3/9
57 Příklad Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cost y = sint t, 2π. Maple: Vypočteme délku křivky a nakreslíme si křivku. > x:=sin(t): y:=cos(t): > l:=int(sqrt(diff(x,t)ˆ2+diff(y,t)ˆ2),t=..2*pi); l := 2 π > plot([sin(t), cos(t), t=..2*pi]); p.3/9
58 Příklad Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cost y = sint t, 2π. Mathematica: Vypočteme délku křivky a nakreslíme si křivku. x = Cos[t]; y = Sin[t]; l = Integrate[Sqrt[D[x, t] 2+D[y, t] 2], {t,, 2Pi}] 2π ParametricPlot[{x, y}, {t,, 2 Pi}, AspectRatio ]; p.3/9
59 Příklad Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π.?. p.4/9
60 Příklad Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π. Výsledek: Délka je l =6,tatokřivka se nazývá asteroida.. p.4/9
61 Příklad Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π. Návod: Použijte vztah l = t 2 t (x ) 2 +(y ) 2 dt.. p.4/9
62 Příklad Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π. Řešení: Nejdříve si křivku nakreslíme l = 2π (x ) 2 +(y ) 2 dt = 2π - ( 3cos 2 t sin t) 2 +(3sin 2 t cos t) 2 dt = = 2π 9cos 4 t sin 2 t +9sin 4 t cos 2 t dt = 2π 9cos 2 t sin 2 t (cos 2 t +sin 2 t)dt = Další. p.4/9
63 Příklad Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π. Řešení: = 2π 9cos2 t sin 2 t dt = 2π 3cost sin t dt = 3 2 2π 2cost sin t dt = = 3 2 2π sin 2t dt =6.. p.4/9
64 Příklad Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π. Maple: Vypočteme délku křivky a nakreslíme si křivku. > x:=sin(t)ˆ3: y:=cos(t)ˆ3: > l:=int(sqrt(diff(x,t)ˆ2+diff(y,t)ˆ2),t=..2*pi); l := 6 > plot([sin(t)ˆ3, cos(t)ˆ3, t=..2*pi]); p.4/9
65 Příklad Spočtěte délku l křivky dané parametrickými rovnicemi x = cos 3 t y = sin 3 t t, 2π. Mathematica: Vypočteme délku křivky a nakreslíme si křivku. x = Cos[t] 3; y = Sin[t] 3; l = Integrate[Sqrt[D[x, t] 2+D[y, t] 2], {t,, 2Pi}] 6 ParametricPlot[{x, y}, {t,, 2 Pi}, AspectRatio ]; p.4/9
66 Objem rotačního tělesa Příklad 9.3. Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochyohraničené grafem funkce y = x 3 2, x, 4 okolo osy x. Příklad Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochy,kteráje ohraničená grafy funkcí y = x 2, y = x okolo osy x.. p.5/9
67 Příklad 9.3. Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotacíplochyohraničené grafem funkce y = x 3 2, x, 4 okolo osy x.?. p.6/9
68 Příklad 9.3. Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotacíplochyohraničené grafem funkce y = x 3 2, x, 4 okolo osy x. Výsledek: Objem je V =64π.. p.6/9
69 Příklad 9.3. Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotacíplochyohraničené grafem funkce y = x 3 2, x, 4 okolo osy x. Návod: Použijte vztah V = π b y 2 dx. a. p.6/9
70 Příklad 9.3. Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotacíplochyohraničené grafem funkce y = x 3 2, x, 4 okolo osy x. Řešení: Nakreslíme si plochu, která rotuje a rotační těleso jehož objem počítáme. y Nyní vypočteme objem rotačního tělesa. ( 5 z -5 2 x 3 4 V = π 4 y 2 dx = π 4 [ x x 3 4 ] 4 dx = π 4 =64π.. p.6/9
71 Příklad 9.3. Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotacíplochyohraničené grafem funkce y = x 3 2, x, 4 okolo osy x. Maple: Nejdříve nakreslíme plochu, která rotuje. > plot([,xˆ(3/2)],x=..4,filled=true,color=[white,grey]); Nyní vypočteme objem tělesa. > y:=xˆ(3/2): > v:=int(pi*yˆ2,x=..4); x v := 64 π. p.6/9
72 Příklad 9.3. Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotacíplochyohraničené grafem funkce y = x 3 2, x, 4 okolo osy x. Mathematica: Nejdříve nakreslíme plochu, která rotuje. << Graphics`FilledPlot` FilledPlot[x (3/2), {x,, 4},Fills {{{Axis, }, GrayLevel[.7]}}]; Nyní vypočteme objem tělesa. y = x (3/2); v = Integrate[Pi y 2, {x,, 4}] 64π. p.6/9
73 Příklad Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochy,která je ohraničená grafy funkcí y = x 2, y = x okolo osy x.?. p.7/9
74 Příklad Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochy,která je ohraničená grafy funkcí y = x 2, y = x okolo osy x. Výsledek: π 3.. p.7/9
75 Příklad Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochy,která je ohraničená grafy funkcí y = x 2, y = x okolo osy x. Návod: Objem se v daném případě vypočte podle vzorce: V = π x 2 dx π ( x) 2 dx.. p.7/9
76 Příklad Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochy,která je ohraničená grafy funkcí y = x 2, y = x okolo osy x. Řešení: Nakreslíme si plochu, která rotuje a rotační těleso jehož objem počítáme Nyní vypočteme objem rotačního tělesa..5 z y x - V = π x 2 dx π ( = π 3 ( + ) 3 ( x) 2 dx = π = π 3. ([ x x3 3 ] [ x x 2 + x3 3 ] ). p.7/9
77 Příklad Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochy,která je ohraničená grafy funkcí y = x 2, y = x okolo osy x. Maple: > plot([-x,sqrt(-xˆ2)],x=..,filled=true,color=[white,grey]); x > V:=Pi*int(-xˆ2,x=..)-Pi*int((-x)ˆ2,x=..); V := π 3. p.7/9
78 Příklad Určete objem V rotačního tělesa vzniklého rotací plochy,která je ohraničená grafy funkcí y = x 2, y = x okolo osy x. Mathematica: << Graphics`FilledPlot` FilledPlot[{Sqrt[ x 2], x}, {x,, }, Fills {{{, 2}, GrayLevel[.7]}}]; V = Pi Integrate[ x 2, {x,, }] Pi Integrate[( x) 2, {x,, }] π p.7/9
79 Fyzikální aplikace Příklad 9.4. Určete práci, kterou je třeba vykonat pro přenesení vašímilé(vašeho milého) z povrchu Země do nekonečna, uvažujeme-li pouze gravitační pole Země.. p.8/9
80 Příklad 9.4. Určete práci, kterou je třeba vykonat pro přenesení vašímilé(vašeho milého) z povrchu Země do nekonečna, uvažujeme-li pouze gravitační pole Země.?. p.9/9
81 Příklad 9.4. Určete práci, kterou je třeba vykonat pro přenesení vašímilé(vašeho milého) z povrchu Země do nekonečna, uvažujeme-li pouze gravitační pole Země. Výsledek: Označíme-li si hmotnost Země M. =6, 24 kg, hmotnost přenášené osobym =6kg, poloměr Země R. =6,4 6 m a Newtonovu gravitační konstantu κ. =6,7 m 2 Nkg 2,jepráce W = κmm R. =3,8 9 J.. p.9/9
82 Příklad 9.4. Určete práci, kterou je třeba vykonat pro přenesení vašímilé(vašeho milého) z povrchu Země do nekonečna, uvažujeme-li pouze gravitační pole Země. Návod: Označíme-li si hmotnost Země M. =6, 24 kg, hmotnost přenášené osobym =6kg, poloměr Země R. =6,4 6 m a Newtonovu gravitační konstantu κ. =6,7 m 2 Nkg 2, je podle Newtonova gravitačního zákona přitažlivá gravitační síla F, kterou musíme překonávat, rovna F = κmm x 2, kde x je vzdálenost od středu Země. Mechanická práce W je pak integrál této síly.. p.9/9
83 Příklad 9.4. Určete práci, kterou je třeba vykonat pro přenesení vašímilé(vašeho milého) z povrchu Země do nekonečna, uvažujeme-li pouze gravitační pole Země. Řešení: Označíme-li si hmotnost Země M. =6, 24 kg, hmotnost přenášené osobym =6kg, poloměr Země R. =6,4 6 m a Newtonovu gravitační konstantu κ. =6,7 m 2 Nkg 2, je podle Newtonova gravitačního zákona přitažlivá gravitační síla F, kterou musíme překonávat, rovna F = κmm x 2, kde x je vzdálenost od středu Země. Mechanická práce W je pak integrál této síly W = Fdx= R R κmm x 2 [ dx = κmm x ] R = κmm R. =3,8 9.. p.9/9
84 Příklad 9.4. Určete práci, kterou je třeba vykonat pro přenesení vašímilé(vašeho milého) z povrchu Země do nekonečna, uvažujeme-li pouze gravitační pole Země. Maple: Nejdříve vypočteme vzorec pro práci. > unassign( r, x, k, M, m ); > f:=k*m*m/xˆ2; f := kmm x 2 > w:=int(f,x=r..infinity) assuming r>; Nyní dosadíme konstanty. w := kmm r > k:=6.7e-: M:=6e24: m:=6: r:=6.4e6: > w; p.9/9
85 Příklad 9.4. Určete práci, kterou je třeba vykonat pro přenesení vašímilé(vašeho milého) z povrchu Země do nekonečna, uvažujeme-li pouze gravitační pole Země. Mathematica: Nejdříve vypočteme vzorec pro práci. f = k M m/x 2; w = Integrate[f, {x, r, Infinity}] kmm r Nyní dosadíme konstanty. k =6.7 ; M =6 24; m = 6;r r =6.4 6; w p.9/9
Integrální počet funkcí jedné proměnné
Integrální počet funkcí jedné proměnné Neurčité integrály Určité a nevlastní integrály Geometrické aplikace určitého integrálu. p.1/?? Neurčité integrály Příklad 7.1.1 Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý
Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,
MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
12 Trojný integrál - Transformace integrálů
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční
Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0
Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami
Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
6. URČITÝ INTEGRÁL Výpočet určitého integrálu Úlohy k samostatnému řešení... 68
Sbírka úloh z matematik 6. URČITÝ INTEGRÁL... 68 6.. Výpočet určitého integrálu... 68 Úloh k samostatnému řešení... 68 6.. Geometrické aplikace... 69 6... Obsah rovinného obrazce... 69 Úloh k samostatnému
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou
VIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET
. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní
Derivace funkce a parciální derivace
Derivace funkce a parciální derivace Derivace funkce jedné proměnné Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Parciální derivace. p.1/18 Derivace funkce jedné proměnné Příklad 3.1.1 Vypočtěte z definice
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x.
Program 2. Aplikace určitého integrálu zadání 1. y = x 2 + Bx 3A y = ln(bx), x = 1/A a x = 3A Vypočítejte její obsah. 3. Určete obsah plochy ohraničené parametricky zadanou křivkou (tzv. cykloidou) x(t)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
VIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,
Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,
10. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y
KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE
KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE Jiří Novotný Ústav matematiky a deskriptivní geometrie, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: V rámci řešení projektu Inovace bakalářského studia Počítačová
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2
![[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2](/thumbs/102/153207878.jpg "[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2")
4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými
1. Definiční obor funkce dvou proměnných
Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou
18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.
I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce
Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
Derivace goniometrických. Jakub Michálek,
Derivace goniometrických funkcí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Shrnutí Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech limitách, odvodí se také dvě důležité limity. Vypočítá
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07
VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],
Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se
sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin
II. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE
PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná
Základní topologické pojmy:
Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński
Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3
I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení :
Management rekreace a sportu. 10. Derivace
Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu
Ukázka závěrečného testu
Okruhy otázek pro závěrečný test ) Vlastnosti funkce ) Graf funkce ) Definiční obor funkce ) imita funkce ) Derivace funkce 6) Užití derivace 7) Matice 8) Řešení soustavy lineárních rovnic 9) Určitý integrál
Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
Veronika Chrastinová, Oto Přibyl
Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový
KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
Funkce více proměnných - úvod
Funkce více proměnných - úvod Helena Říhová FBMI 14. července 2014 Helena Říhová (ČVUT) Funkce více proměnných - úvod 14. července 2014 1 / 16 Obsah 1 Úvod Grafy funkcí dvou proměnných Eukleidovská vzdálenost
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut. Součet Koeficient Body. 4. [10 bodů] Integrální počet. 5.
![Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut. Součet Koeficient Body. 4. [10 bodů] Integrální počet. 5.](/thumbs/92/109752097.jpg "Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut. Součet Koeficient Body. 4. [10 bodů] Integrální počet. 5.")
Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, 6.2.204 60 minut 2 3 4 5 6 Jméno:................................... Součet Koeficient Body. [2 bodů] V následující tabulce do každého z šesti
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ATEATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ ATEATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Dvojný integrál princip řešení a sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: gr. Iveta
Úvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
Křivky kolem nás. Webinář. 20. dubna 2016
Křivky kolem nás Webinář 20. dubna 2016 Přístup k funkcím Funkce (zobrazení) Předpis, který přiřazuje jedné hodnotě x hodnotu y = f (x). Je to množina F uspořádaných dvojic (x, y) takových, že pokud (x,
y ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti
Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice
Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice podzim 2008, pátá přednáška Derivace a tečny aneb matematika libovolně malých změn Nejen velké,
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace
III. Dvojný a trojný integrál
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht
VI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.
![Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.](/thumbs/78/78133809.jpg "Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.")
SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ
R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.
Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ
7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky
7E. Křivky Derivace nacházejí uplatnění také při studiu křivek. Obrazně řečeno křivka v rovině je množina bodů, která vznikne pohybem pera po papíře. Předpokládáme přitom, že hrot pera je stále v kontaktu
Zadání. Goniometrie a trigonometrie
GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Zadání Sestrojte graf funkce. Určete definiční obor R, obor hodnot H, určete interval, v němž funkce roste, v němž klesá. Určete souřadnice průsečíků s osou x a s osou y. )
Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;
NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8
VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.
VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit
26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F
Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální
Plošný integrál funkce
Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho
Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
CVIČNÝ TEST 8. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 23 IV. Záznamový list 25
CVIČNÝ TEST 8 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 23 IV. Záznamový list 25 I. CVIČNÝ TEST m 1 Vzorec F = κ 1 m R 2 vyjadřuje velikost gravitační síly, kterou na sebe