Nerovnosti a nerovnice

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Nerovnosti a nerovnice"

Transkript

1 Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční progrm Prh Adptbilit, registrční číslo CZ..17/3.1.00/31165.

2 Nerovnosti nerovnice 1 Zákldní nerovnosti Vedle práce s různými rovnostmi řešením rovnic hrjí v mtemtice význmnou roli i nerovnosti různé odhdy chyb při přibližných řešeních úloh. K tomu je někdy třeb řešit různé nerovnice. Reálná čísl jsou uspořádná, o dvou různých reálných číslech vždy pltí, že právě jedno z nich je menší než druhé, npř. říkáme, že číslo je menší než číslo b, což zpisujeme < b nebo tké b > (číslo b je větší než číslo ). Čísl větší než nul (0) se nzývjí kldná, čísl menší než 0 jsou čísl záporná (číslem budeme vždy rozumět číslo reálné). Čísl kldná nul tvoří dohromdy čísl nezáporná. Přidáme-li k záporným číslům nulu, dostneme čísl nekldná. Reálná čísl si znázorňujeme Obrázek 1: n tzv. číselné ose. Druhá mocnin nenulového čísl je vždy číslo kldné, druhá mocnin nuly je nul, tkže druhá mocnin kždého reálného čísl je číslo nezáporné. Pro kždé číslo tedy pltí: 0 (1) což je tková první nerovnost, která pltí pro všechn reálná čísl. Z ní pk můžeme odvodit složitější nerovnosti n zákldě prvidel pro počítání s nerovnostmi nebo nerovnicemi. Mezi ně ptří především tto: Pro všechn, b, c, d,... pltí: < b + c < b + c, < b, c > 0 c < bc, < b, c < d + c < b + d. Pro záporné číslo d je číslo d kldné, proto z < b plyne ( d) < b( d), tedy d < bd, odkud bd < d neboli d > bd. Násobíme-li tedy obě strny správné nerovnosti < b záporným číslem d, dostneme správnou nerovnost d > bd pokud součsně obrátíme znk nerovnosti. To je ztím vše, co budeme pro počítání s nerovnostmi nerovnicemi potřebovt. Pro kždá dvě čísl, b pltí podle (1) ( b) 0, tedy +b b, přičemž rovnost pltí právě když = b. To je nerovnost, kterou čsto použijeme. V přípdě kldných čísel, b dostneme vynásobením číslem 1 b nerovnost b + b 1

3 kterou můžeme formulovt tké tkto: Součet c + 1 c libovolného kldného čísl c jeho převrácené hodnoty je vždy větší nebo roven, rovnost pltí pouze v přípdě c = 1. Pro kždá dvě kldná čísl, b pltí podle (1) ( b) 0, kterou můžeme podle uvedených prvidel uprvit n tvr + b b, rovnost pltí pouze pro = b. Číslo +b znáte; víte, že je to tzv. ritmetický průměr čísel, b; výrz b se nzývá geometrický průměr čísel, b. Dokázli jsme, že geometrický průměr kždých dvou kldných čísel se nejvýše rovná jejich ritmetickému průměru ob průměry se sobě rovnjí právě tehdy, když se čísl sobě rovnjí. Příkld 1 Kldná čísl, b splňují podmínku + b = 1. Dokžte, že jejich součin b není větší než 36. Řešení: Podle odvozené nerovnosti mezi ritmetickým geometrickým průměrem (tzv. AGnerovnosti) je b +b = 6, tkže b 36. Přitom b = 36 pouze v přípdě = b = 6. Bez použití AG-nerovnosti můžeme úlohu řešit tkto: b = 1, b = (1 ) = + 1 = ( 1) = ( 6) + 36, tkže b 36, rovnost pltí pouze v přípdě ( 6) = 0, tj. = 6, b = 6. Konečně bychom mohli tké říci, že z + b = 1 plyne = 6 + x, b = 6 x pro nějkou hodnotu x ( 6, 6) je tedy b = 36 x 36. Rovnost pltí pouze pro x = 0, = b = 6. Úlohu můžeme interpretovt geometricky: Obdélník o strnách, b s obvodem 4m = ( + b)m nemůže mít obsh větší než 36m má obsh 36m právě tehdy, když je to čtverec o strně 6m (čtverec povžujeme z zvláštní přípd obdélníku). Příkld Součin dvou kldných čísel, b je 16. Existuje dolní horní odhd pro součet + b? Řešení: Dolní odhd jistě existuje, npříkld určitě pltí + b > 0, protože obě čísl jsou kldná. Není to všk nejlepší odhd. Použijeme-li AG-nerovnost, dostneme +b b = 4, tkže + b 8. Bez užití AG-nerovnosti můžeme postupovt tkto: Z b = 16 plyne b = 16 tedy + b = + 16 = ( 4 ) + 8, proto je + b 8. Nebo můžeme z b = 16 odvodit, že = 4c, b = 4 c pro vhodné c > 0 tedy + b = 4 ( ) c + 1 c 8, neboť c + 1 c pro kldné c. Odhd + b 8 se už nedá zlepšit, jk ukzuje příkld = b = 4. Horní hrnice pro + b při podmínce b = 16 neexistuje. Zvolíme-li totiž jkékoliv kldné číslo k položíme-li = k, b = 16 k je b = 16, + b > k. Ukážeme si ještě dlší průměry, ztím jen dvou kldných čísel. Hrmonický průměr kldných čísel, b se definuje jko převrácená hodnot ritmetického průměru převrácených hodnot čísel, b, tedy jko číslo: b = b b + Sndno dokážemne, že se hrmonický průměr dvou kldných čísel nejvýše rovná jejich geometrickému průměru. Chceme dokázt, že b +b b. Opět vyjdeme z nerovnosti ( b) 0, uprvíme n tvr + b b, poslední nerovnost vynásobíme kldným číslem b +b, dostneme b b +b. Rovnost pltí právě tehdy, když je = b.

4 Příkld 3 Pojedete-li z měst A do s km vzdáleného měst B průměrnou rychlostí kmh 1 zpět průměrnou rychlostí b kmh 1, jkou průměrnou rychlostí jste jeli z A do B zpět do A? Řešení: Celkem ujedete vzdálenost s km z ( s + s b ) hodin, průměrná rychlost je tedy tedy hrmonický průměr hodnot, b. s s + s kmh 1, b Uvedeme ještě jeden průměr, průměr kvdrtický. Pro kldná čísl, b definujeme kvdrtický průměr jko + b Víme, že + b b, tedy + b ( + b). Dělením čtyřmi odmocněním dostneme výsledek: Kvdrtický průměr čtyř kldných čísel je vždy větší nebo roven jejich ritmetickému průměru rovnjí se právě tehdy, když jsou čísl stejná. Odvozené výsledky můžeme shrnout: Pro kždá dvě kldná čísl, b pltí b + b b + b + b, přičemž pro různá čísl, b pltí všude ostrá nerovnost (<), v přípdě b = se všechny čtyři průměry rovnjí číslu. Všechny čtyři průměty si můžeme znázornit geometricky. Předpokládejme b <. N polopřímku s počátečním bodem O nneseme úsečku OB délky b úsečku OA délky. Sestrojíme polokružnici k s průměrem BA, její střed oznčíme S. Je pk OS = +b. Dále oznčíme T bod dotyku tečny vedené bodem O. Z Pythgorovy věty plyne OT = b. Oznčíme-li P ptu kolmice vedené bodem T n přímku OA, pltí podle Euklidovy věty o odvěsně v prvoúhlém trojúhelníku OT S vzth OP = b +b.. Obrázek : Veďme ještě bodem S kolmici k AB, která protne polokružnici k v bodě K. Je pk OK = +b. Zřejmě pltí OB < OP < OT < OS < OK < OA, tj. b < b + b < b < + b + b < <. 3

5 Příkld 4 Kldné rcionální číslo p se nemůže rovnt, protože je číslo ircionální (nedá se npst jko poměr dvou celých čísel). Je tedy buď p < nebo p >. Dokžte v kždém přípdě, že leží mezi čísly p p+ p+1, tj. pltí p < < p+ p+ p+1 nebo p+1 < < p. Řešení: Předpokládejme nejdříve p <. Chceme dokázt, že < p+ p+1 nebo ekvivlentní nerovnost p( 1) < < ( 1). To je všk nerovnost p < vynásobená kldným číslem 1. Zcel obdobně postupujeme i v přípdě p >. Jiný postup: Uprvíme součin ( ( p + p) p + 1 ) = ( p)( 1)(p ) p + 1 = ( p) p + p p + 1 = ( 1)( p) p + 1 Vidíme, že výsledek je vždy záporný. Proto mjí vždy čísl p, p+ p+1 opčná znménk (jedno je kldné, druhé záporné), což jsme vlstně měli dokázt. = Příkld 5 Jestliže pro reálná čísl, b, c pltí součsně bc > 0, b + bc + c > 0, + b + c > 0, jsou čísl, b, c kldná. Řešení: Protože bc > 0, jsou buď čísl, b, c kldná není co dokzovt, nebo je jedno kldné zbývjící dvě záporná. Můžeme bez újmy n obecnosti předpokládt > 0, b < 0, c < 0. Je pk bc > ( b c) tké > ( b c) odkud ( b c) > ( b c) tedy bc > (b + c). Po úprvě 0 > b + bc + c = ( b + 1 c) c, což je všk spor. Druhý přípd tedy nemůže nstt. Příkld 6 Dokžte, že pro kldná čísl, b, c vždy pltí nerovnost b + c + b c + + c + b 3. Řešení: Vynásobením kldným součinem všech čtyř jmenovtelů dostneme ekvivlentní nerovnost ( 3 + b 3 + c 3 ) (b + c) + b ( + c) + c ( + b), kterou máme dokázt. Už z dné nerovnosti je vidět, že v přípdě = b = c pltí rovnost. Proto zkusíme, zd dokzovnou nerovnost můžeme dostt jko součet kldných násobků nerovností ( b) 0, (b c) 0, (c ) 0. Pk už sndno zjistíme, že dokzovnou nerovnost můžeme npst ve tvru ( + b)( b) + (b + c)(b c) + (c + )(c ) 0, která evidentně pltí pro všechn kldná čísl, b, c. Rovnost pltí pouze v přípdě = b = c. Jiný důkz dostneme zvedením nových proměnných u = b + c, v = c +, w = + b. Je pk = 1 (v + w u), b = 1 (w + u v), c = 1 (u + v w) máme dokázt nerovnost v + w u u + w + u v v + u + v w w po úprvě 1 ( v u + u ) + 1 ( w v u + u ) + 1 ( w w v + v ) 3. w Pltnost této nerovnosti plyne okmžitě z toho, že součet kldného čísl jeho převrácené hodnoty je větší nebo roven dvěm. 3, 4

6 Úloh 1 Je-li > 0, b > 0 b =, pk ( + 1)(b + ) 8. Dokžte. Úloh Dokžte, že pro kždé reálné. Úloh 3 Dokžte, že pro libovolná kldná čísl, b, c, d pltí (b + cd)( 1 c + 1 bd ). Úloh 4 Rozhodněte, zd nerovnost (b + 1) + b(c + 1) + c(d + 1) + d( + 1) 1 ( + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) pltí pro libovolná čísl, b, c, d vyhovující podmínce ) b = cd = 1, b) c = bd = 1. Úloh 5 Je dáno přirozené číslo n (n ) reálná čísl x 1, x,..., x n, pro která pltí x 1 x = x x 3 =... = x n 1 x n = x n x 1 = 1. Dokžte, že pltí x 1 + x x n n n. Úloh 6 Dokžte,že pro dvojici čísel x, y pltí x + y r, jestliže x + y r. Dokžte, že obrácená implikce nepltí. Pltí všk trochu slbší implikce: Je-li x + y r, je x + y r, tedy x + y r. Průměry čísel Výsledky uvedené v úvodu, tj. příkldy průměrů dvou čísel, můžeme zobecnit n více čísel. Aritmetickým průměrem čísel 1,,..., n rozumíme číslo A( 1,,..., n ) = n, n geometrickým průměrem kldných čísel 1,,..., n je číslo G( 1,,..., n ) = n 1... n, tedy n-tá odmocnin ze součinu čísel 1... n. I zde pltí, že se geometrický průměr nejvýše rovná ritmetickému rovnost obou průměrů pltí právě tehdy, když jsou čísl 1,,..., n stejná, což si nyní dokážeme. V přípdě n = jsme už tvrzení dokázli. Dokážeme nerovnost pro n = 4. Pltí = =

7 Tím jsme dokázli nerovnost mezi G A pro n = 4, použili jsme při tom třikrát nerovnost pro n =. Použijeme-li nerovnost mezi G A pro čtyři čísl 1,, 3, , dostneme po úprvě nerovnost mezi G A pro čísl 1,, 3. Podobně postupujeme dále, z nerovnosti pro 4 čísl dokážeme nerovnost pro 8 čísel, pk pro 16 čísel, 3 čísel td. Pro šest čísel to plyne z nerovnosti pro 8 čísel 1,,..., 5, 6, , Podobně postupujeme v přípdě třeb 13 čísel. Vyjdeme z pltnosti nerovnosti pro 16 čísel, z která zvolíme dných třináct čísel doplníme třemi čísly, která se všechn rovnjí ritmetickému průměru těch 13 čísel. 1 Npíšeme-li nerovnost mezi geometrickým pritmetickým průměrem kldných čísel 1, 1,..., 1 přejdeme-li k převráceným hodnotám těchto průměrů, dostneme ihned, že hrmonický průměr H( 1,,..., n ) = ( 1 ) n n je mneší nebo roven geometrickému průměru G( 1,,..., n ). Využili jsme implikci která pltí pro kldná čísl, b. < b 1 > 1 b, n Příkld 7 Pro strny, b, c trojúhelníku, pro jejich výšky u, v, w příslušející po řdě strnám, b, c, pro jeho obsh S poloměr ρ vepsné kružnice pltí známé vzthy u = bv = cw = S = ( + b + c)ρ, tkže S = ( S u + S v + ) S w ρ, odkud plyne 1 u + 1 v + 1 w = 1 ρ. N zákldě této rovnosti dokžte, že 9ρ u + v + w. Řešení: Rovnost 1 u + 1 v + 1 w = 1 ρ dělíme třemi přejdeme k převráceným hodnotám. Dostneme tk rovnost H(u, v, w) = 3ρ, kde H znčí hrmonický průměr hodnot u, v, w. Jejich ritmetický průměr není menší než H(u, v, w), tkže u+v+w 3 3ρ, u + v + w 9ρ. Sečtením nerovností ( i j ) 0 pro všechny dvojice (i, j), pro které pltí i < j n, dostneme nerovnost (n 1)( n) ( n 1 n ), po úprvě n ( n ). n Omezíme-li se n nezáporná čísl, můžeme psát n n n n (Aritmetický průměr nezáporných čísel se nejvýše rovná jejich kvdrtickému průměru, rovnost obou nstává pouze v přípdě rovnosti všech číel jejichž průměry porovnáváme). Příkld 8 Dokžte, že pro kldná čísl, b, c vždy pltí b + b c + c 3 určete, kdy pltí rovnost. Řešení: Je to krásný příkld n užití AG nerovnosti podle níž je ( b + b c + c ) : 3 3 b b c c = 1 6

8 Úloh 7 Je-li součin kldných čísel, b, c roven 1, pk pltí Dokžte. b + b c + c + b + c. Úloh 8 Dokžte, že pro libovolná kldná čísl, b pltí nerovnost ( 3 b 1 b ( + b) + 1 ). b Zjistěte, kdy nstne rovnost. 3 Trojúhelníková nerovnost Nejznámější je si nerovnost trojúhelníková. Kždý ví, že nejkrtší cest z bodu A do bodu C je krtší, než cest z bodu A do bodu B z bodu B do bodu C s výjimkou přípdu, kdy bod B leží mezi body A C, tedy kdy bod B je bodem úsečky AC, tj. vždy pltí AC AB + BC rovnost pltí právě jen v přípdě když je B bodem úsečky AC. Tvoří-li body A, B, C vrcholy trojúhelníku, pk při obvyklém oznčení délek strn trojúhelníku = BC, b = CA, c = AB pltí < b + c, b < c +, c < + b. () A obráceně, pltí-li pro kldná čísl, b, c tyto nerovnosti, existuje (při zvolené jednotce délky) trojúhelník, jehož strny mjí délky, b, c. Kromě toho je tkový trojúhelník ž n shodnost jediný. Příkld 9 Jsou-li, b, c délky strn trojúhelníku, je + b + c < (b + bc + c). Dokžte. Řešení: Výše uvedené nerovnosti () postupně vynásobíme, b, c sečteme. Příkld 10 Ukžte, že pltnost nerovností () je ekvivlentní s pltností jediné nerovnosti bc > b + c. Řešení: Z pltnosti () postupně plyne b c <, c b <, tedy b c <. Zároveň pltí < b + c, proto (b c) < < (b + c), tkže b + c < bc b c < bc, odkud b + c < bc. Obráceně plyne z této nerovnosti bc > b + c součsně bc > b c, tj. > (b c) tké (b + c) > tedy > b c, > c b, b + c >, což jsou vlstně nerovnosti (). 7

9 Příkld 11 Oznčme s poloviční obvod trojúhelníku, t, t b, t c délky těžnic tohoto trojúhelníku, tedy délky úseček spojujících vrchol trojúhelníku se středem protější strny. Odhdněte součet t = t + t b + t c zdol i shor pomocí vhodných násobků hodnoty s. Řešení: Oznčme, b, c obvyklým způsobem délky strn trojúhelníku. Z trojúhelníkové nerovnosti (viz obr.) okmžitě plyne t < c + cyklicky t b < + b, t c < b + c, sečtením těchto tří nerovností dostneme t < 3 ( + b + c) = 3s. Podobně plyne z trojúhelníkové nerovnosti c < + t cyklicky < b + t b, b < c + t c, sečtením máme s < s + t.dostli jsme tk pro t dolní odhd s horní odhd 3s, tedy s < t < 3s. Jsou to všk nejlepší odhdy? Nešel by dolní odhd zvětšit horní odhd zmenšit? Ukážeme, že to lze. K tomu stčí vědět, že se všechny tři těžnice trojúhelníku protínjí v jednom bodě, v těžišti T, který dělí těžnici v poměru :1, dv díly od vrcholu trojúhelníku jeden díl od středu protější strny (viz. obr.). Oznčme U, V středy strn BC, CA. V trojúhelníku ABT pltí c < 3 (t + t b ), cyklicky pltí tké < 3 (t b + t c ), b < 3 (t c + t ). Sečtením dostneme s < 4 3 t, tedy 3 s < t. Dále v trojúhelníku BUV pltí UV = 1 c, protože UV je střední příčk trojúhelníku rovnoběžná s AB, BV < BU + UV, tj. t b < 1 ( + c). Opět npíšeme i nerovnosti, které dostneme z této cyklickou záměnou, sečtením dostneme t < s, tkže 3 s < t < s. Dostli jsme tk lepší odhd dolní i horní. Ukážeme, že tyto odhdy se už nedjí zlepšit. Uvžujme rovnormenný trojúhelník se zákldnou rmeny délky b, < b. Pro tkový trojúhelník je s = b +, t = těžnic (viz. obr.) se rovná tkže t b = 3 s = 3 b + 3 4, t = b 4, délk kždé ze zbývjících dvou ( ) 9 b b = , b 4 + b +, s = b +. Pro blížící se k hodnotě b se 3 s i t blíží ke stejné hodnotě 3b, proto se dolní odhd 3 s nedá zvětšit. Podobně pro blížící se k nule se t i s blíží ke stejné hodnotě b, nedá se tedy horní odhd s zmenšit. Příkld 1 P je vnitřní bod rovnostrnného trojúhelníku ABC. Dokžte, že délky úseček P A, P B, P C jsou délkmi strn trojúhelníku, tedy, že kždá je menší, než součet zbývjících dvou. Řešení: Přímk AP protne strnu BC v bodě Q (viz obr.). Proto je P A < AQ AQ < AC = BC < P B + P C, tkže P A < P B + P C. Anlogicky dokážeme i dlší dvě nerovnosti. 8

10 Úloh 9 Dokžte,že pro délky, b, c strn libovolného trojúhelníku pltí ( + b )c ( b ) bc. Pro kterétrojúhelníky nstne v předchozím vzthu rovnost? Úloh 10 Je-li S obsh trojúhelníku o strnách, b, c T obsh trojúhelníku o strnách +b, b+c, c+, pk pltí T 4S. Dokžte zjistěte, kdy nstne rovnost. 4 Cuchyov nerovnost (Augustin Louis Cuchy, , frncouzský mtemtik, čti kóši, kóšiov nerovnost) Ve třetím ročníku mtemtické olympiády byl tto úloh: Dokžte, že pro libovolná čtyři čísl u 1, u, v 1, v pltí nerovnost (u 1 v 1 + u v ) (u 1 + u )(v 1 + v ). Dnes by většin řešitelů úloh MO řekl, že to není třeb dokzovt, že to je známá Cuchyov nerovnost. A měli by prvdu. Úlohu můžeme ještě zobecnit, pro libovolná reálná čísl u 1, u,..., u n, v 1, v,..., v n pltí (u 1 v 1 + u v u n v n ) (u 1 + u u n)(v 1 + v v n) (3) Důkz dostneme sečtením všech nerovností 0 (u i v j u j v i ) pro všechny dvojice i < j. Odtud ihned vidíme, že rovnost v nerovnici (3) pltí právě tehdy, když jsou všechn čísl u 1, u,..., u n nulová, nebo je uspořádná n-tice (v 1, v,..., v n ) násobkem n-tice (u 1, u,..., u n ), tedy když existuje číslo k tk, že v 1 = ku 1, v = ku,..., v n = ku n Příkld 13 Ukžte, že pro reálná čísl 1,,..., n vždy pltí ( n ) n( n). Řešení: Pro všechn i < j pltí ( j i ) > 0. Sečtením těchto rovnic dostneme (n 1)( n) ( n 1 n ). Přičteme-li k oběm strnám součet n, dostneme poždovnou nerovnost. Důkz plyne ovšem tké z Cuchyovy nerovnosti, stčí položit u 1 = u =... = u n, v 1 = 1, v =,..., v n = n. Rovnost pltí právě jen pro 1 = =... = n. Příkld 14 Dokžte, že pro kldná čísl x 1, x,..., x n pltí vždy ( 1 (x 1 + x + + x n ) ) n x 1 x x n že rovnost pltí právě jen pro x 1 = x = = x n. Řešení: V Cuchyově nerovnosti položíme u 1 = x 1,..., u n = x n, v 1 = 1 x 1,..., v n = 1 x n. Bez užití Cuchyovy nerovnosti uprvíme levou strnu n tvr n + V, kde V je součet členů tvru ( x i x j + xj x i ), i < j. Kždý ten člen je větší nebo roven, je jich n(n 1), tkže n(n 1) n + V n + = n. 9

11 Příkld 15 Z Cuchyovy nerovnosti plyne, že pro kždá tři kldná čísl x, y, z pltí xy+yz+zx x + y + z. Dokžte. Dále jsme si již ukázli, že pro délky x, y, z strn libovolného trojúhelníku pltí x + y + z < (xy + yz + zx). Ukžte, že kldná čísl x, y, z nemusí být délkmi strn trojúhelníku, i když pro ně pltí uvedená nerovnost. Njděte největší číslo m tk, by z nerovnosti x + y + z < m(xy + yz + zx) plynulo pro kldná čísl x, y, z, že jsou délkmi strn trojúhelníku. Řešení: Pro splnění první části úlohy stčí npst Cuchyovu nerovnost pro trojice (x, y, z), (y, z, x). Položíme-li x =, y = z = 1, je x + y + z = 6, xy + yz + zx = 5, tkže x + y + z < (xy + yz + zx), všk, 1, 1 nejsou délkmi strn trojúhelníku. Tím jsme dokázli druhou část úlohy. Pro x =, y = z = 1 je x +y +z = 6 5 (xy+yz +zx). Zkusíme proto dokázt, že z pltnosti x +y +z < 6 5 (xy +yz +zx) už plyne, že x, y, z jsou délky strn trojúhelníku. Důkz provedeme sporem. Budeme předpokládt, že kldná čísl x, y, z splňují tuto nerovnost, le nejsou to délky strn trojúhelníku, že lespoň jedno z nich, třeb číslo z, není menší než součet zbývjících dvou, tedy že pltí z x + y. Budeme tedy předpokládt z = x + y + p, kde p 0. Doszením z z do předpokládné nerovnosti dostneme po úprvě tj. 5(x + y + x + xy + y + (x + y)p + p ) < 6(xy + (x + y)(x + y + p)), 4(x y) + 4p(x + y) + 5p < 0, což je spor, součet nezáporných čísel nemůže být záporný. Úloh 11 Nechť P (x) = x + bx + c je kvdrtický trojčlen s nezápornými reálnými koeficienty. Dokžte, že pro libovolné kldné číslo x pltí ( ) 1 P (x) P (P (1)) x 5 Nerovnice Protože pro kždá dvě reálná čísl, b, pltí ( b) 0, pltí pro ně tké + b b. Tuto nerovnost jsme už několikrát využili. Zvláště tedy pltí pro kždé reálné číslo x nerovnost x + 9 6x s rovností právě jen pro x = 3. Už všk nepltí, že pro všechn reálná čísl x je x x. Hledáme-li množinu všech hodnot x, pro která pltí x x, říkáme, že řešíme nerovnici x x. Řešíme ji tk, že ji uprvíme postupně n tvr x 10x 9 x 10x (x 5) 16 tedy x 5 4, která pltí právě tehdy, když x 5 4 nebo 5 x 4. Množinou všech řešení nerovnice x x je proto sjednocení intervlů (, 1 9, ). Řešením nerovnice x 5 < 4 je doplněk v R předcházející množiny řešení, tedy všechn x z intervlu (1, 9). Obecněji: Řešením nerovnice x b je pro b > 0 množin všech x z intervlu ( b, + b), v přípdě b 0 nemá rovnice žádné řešení. Uvádíme to proto, že nerovnice tvru x < b se hodně používjí v definicích limity. 10

12 Lineárními nerovnicemi tvru x b, x b stejně tk kvdrtickými nerovnicemi (npř. x + bx + c 0, 0) se zde nebudeme zbývt, všichni je dovedete řešit. Pouze občs se stne, že někdo z fktu, že rovnice x + bx + c 0 nemá žádný reálný kořen, diskriminnt b 4c je záporný, tvrdí, že ni příslušná nerovnice nemá žádné řešení. Správně je pk x + bx + c kldné číslo pro všechn[ x v přípdě > 0 nebo je záporné pro všechn x v přípdě < 0. Je totiž (x ) x + bx + c = 1 + b ] b 4c 4, výrz v lomené závorce je při záporném diskriminntu pro všechn x kldný celý výrz x + bx + c má pro kždé x stejné znménko jko číslo. Všimněme si teď nerovnic tvru p(x) q(x) > 0 p(x) q(x) > 0, kde p(x), q(x) jsou mnohočleny v x(lineární, kvdrtické i vyššího stupně). Je ihned vidět, že obě nerovnice jsou exvivlentní, tedy pro kždé x je p(x) q(x) > 0 právě tehdy, když p(x) q(x) > 0. Je totiž součin dvou čísel kldný právě tehdy, když jsou obě kldná nebo obě záporná, totéž pltí pro jejich podíl, tkže pltí Ale pozor! le p(x) q(x) > 0 p(x) > 0 (p(x) > 0 q(x) > 0) (p(x) < 0 q(x) < 0). q(x) p(x) q(x) 0 (p(x) 0 q(x) 0) (p(x) 0 q(x) 0) p(x) 0 (p(x) 0 q(x) > 0) (p(x) 0 q(x) < 0). q(x) Oznčíme-li po řdě K, L množinu všech řešení nerovnic p(x) q(x) 0, p(x) q(x) 0 M množinu všech kořenů rovnice q(x) = 0, je L = K M. Příkld 16 Řešte nerovnici (x + )(x 3) (x 4) (x + 1) 0. Řešení: Nutně musí být x 4 x 1. Určitě vyhovují čísl x = x = 3. Dále všechny ty hodnoty x, pro které je (x + )(x 3)(x + 1) > 0, tedy právě t x, která ptří do množiny (, 1) (3, ). Řešení dné nerovnice dostneme, když z této množiny vyndáme ještě číslo 4, řešením jsou tedy všechn x (, 1) (3, 4) (4, ). Příkld 17 Řešte nerovnici (x 4) (x 9) (x + x + )(x 3) 0. Řešení: Výrz x + x + = (x + 1) + 1 je kldný pro kždé x. Nutně musí být x 3. Určitě vyhovuje x = 4 x = 4, 5. Dále pk ty hodnoty, pro které je (x 9)(x 3) > 0 tedy x (, 3) (4, 5; ). Množinou všech řešení dné nerovnice je (, 3) (4, 5; ) {4}. Úloh 1 Řešte nerovnici (3 x)(x 4) (5 + x)(x 3) 0. V mtemtické olympiádě byl zřzen úloh trochu opčná, úloh, v níž máme určit nerovnici tk, by množinou všech řešení byl dná množin. 11

13 Příkld 18 Njděte reálná čísl, b, c, d tk, by množinou všech řešení nerovnice byl množin 0 (4, ). x + bx + c + dx x Řešení: Nerovnici nejprve uprvíme n tvr x 0 x3 + (d )x + ( b)x c + dx x. Protože 0 má být řešením, musí být c = 0. Jelikož 0 má být izolovným řešením, musí být 0 dvojnásobným kořenem čittele, tedy = b, všk 0 nesmí být kořenem jmenovtele, 0. Řešíme tedy nerovnici 0 x (x + d) x dx. Čittel zlomku se rovná nule v bodě 0 v bodě x = d. Kdyby byl jmenovtel kldný pro všechn x R, tj. kdyby d +4 < 0, byl by řešením všechn x {0} d, ), což je ve sporu s tím, že intervl v množině všech řešení je otevřený. Proto se musí dát jmenovtel rozložit jedním kořenem jmenovtele musí být kořen čittele, tj. číslo d. Musí tedy pltit ( 4 d) = 0. Kdyby = 0, byl by 0 kořenem jmenovtele, to jsme už vyloučili. Je-li = 4+d, řešíme nerovnici 0 x (x + ) (x d )(x + ) = x x d, řešením jsou všechn x (d +, ) {0}, tedy d =, = 8, b = 16. Původní nerovnice musel tedy mít tvr 8x + 16x 8 + x x x, po úprvě 0 x (x + ) (x 4)(x + ). Úloh 13 Určete všechny dvojice celých čísel (x, y), které jsou řešením nerovnice x + 6 x y x < 5 y y. 1

14 6 Řešení úloh Většin úloh několik příkldů je převzto ze strších ročníků mtemtické olympiády. 1. Pomocí ekvivlentních úprv s využitím předpokldů lze nerovnost (+1)(b+) 8 uprvit npř. n nerovnost ( 1) 0, která je splněn pro všechn.. Při řešení využijte již známou nerovnost c + 1 c pro c = Po roznásobení použijeme dvkrát nerovnost c + 1 c resp. b + b. 4. ) Postupnými ekvivlentními úprvmi nhrzováním součinů b resp. cd číslem 1 uprvíme zdnou nevnost do tvru d + bc c + bd, kterou lze ještě převést n ( b)(c d) 0. Tto nerovnost obecně splněn není, sndno nlezneme protipříkld (npř. = c = 3, b = d = 1 3 ). b) Stejně jko v přípdě ) úprvmi nhrzováním součinů c resp. bd číslem 1 převedeme zdnou nevnost do tvru b + bc + cd + d 4, kterou lze ještě uprvit n ( + c)(b + d) 4. Tto nerovnost pltí pro všechn kldná čísl, b, c, d, která splňují podmínku c = bd = 1, jelikož = 1 c resp. b = 1 b součet kldného čísl jeho převrácené hodnoty je vždy větší nebo roven. 5. Ze zdání úlohy plyne, že všechn čísl x 1,..., x n jsou nenulová. Všechn čísl s lichými indexy se rovnjí témuž nenulovému číslu m, všechn čísl se sudými indexy se rovnjí témuž nenulovému číslu 1 m. Řešme nyní úlohu zvlášť pro n liché pro n sudé. ) Je-li n liché, z rovnice x 1 x = x n x 1 plyne rovnost x = x n. Všechn x i jsou tedy stejná rovnjí se 1 nebo -1 (neboť musí pltit m = 1 m ). Součet druhých mocnin čísel x i je tedy roven n. b) Je-li n sudé, pk součet druhých mocnin čísel x i bude součtem n hodnot m součtem n 1 hodnot m. Již víme, že součet kldného čísl jeho přvrácené hodnoty je větší nebo roven číslu, tj. pltí x 1 + x x n = n m + n 1 m = n (m + 1m ) n = n. 6. Je-li x + y r, je x + y x + xy + y = ( x + y ) r. Pro x = y = r je sice x + y = r, le x + y = r > r. Pro x, y splňující podmínku x + y r le pltí ( x + y ) = x + xy + y x + y = (x + y ) r proto x + y r. Využili jsme známou nerovnost xy x + y, která pltí pro všechny dvojice x, y. 7. Z AG nerovnosti pro trojici čísel b, b, b c z podmínky bc = 1 plyne ( 1 3 b + b + b ) 3 c b b b c = 3 bc = 3 3 bc =. 13

15 Pltí tedy odhd Stejným způsobem lze odvodit odhdy 3b + b 3c. b 3c + c 3 b, c 3 + 3b c. Sečtením těchto tří odhdů dostáváme dokzovnou nerovnost. 8. Umocníme-li obě strny n třetí, dostneme ekvivlentní nerovnost b b b b 4 + b + b. Užitím A-G nerovnosti n kldná čísl b, 1, 1 (resp. b, 1, 1) dostneme nerovnost ( b resp. b ) b b Rovnost nstne, právě když = b. Sečtením posledních dvou nerovností drobnou úprvou již získáme nerovnost hlednou. 9. Nerovnost převedeme n ekvivlentní tvr 0 ( b ) ( b + b )c dále n tvr 0 ( b) [( + b) c ]. Tto nerovnost pltí pro délky strn libovolného trojúhelníku (plyne z trojúhelníkové nerovnosti + b > c), rovnost pltí pro rovnormenné trojúhelníky se zákldnou c ( = b). 10. K vyjádření hodnot S T použijeme Heronův vzorec. Podle něj S = 1 4 ( + b + c)(b + c )( + c b)( + b c), T = 1 4 ( + b + c)()(b)(c) = bc( + b + c). Dokzujeme tedy nerovnost bc( + b + c) ( + b + c)(b + c )( + c b)( + b c). Uprvenou ekvivlentní nerovnost mezi odmocňovnými výrzy bc (b+c )(+c b)(+b c) můžeme dokázt npř. tk, že nerovnost z původních proměnných, b, c přepíšeme do nových proměnných u = + b c > 0, v = b + c > 0, w = + b + c > 0 do tvru (u + v)(u + w)(v + w) 8uvw. Pltnost této nerovnosti sndno odvodíme složením AG nerovností u + v uv, u + w uw, v + w vw. Rovnost nstne pouze v přípdě u = v = w, tj. = b = c, tj. rovnost nstne pouze pro rovnostrnný trojúhelník. 11. Při řešení užijeme zobecněnou Cuchyovu nerovnost. ( ) 1 P (x) P = (x + bx + c) ( 1x x + b 1x ) + c = 14

16 ( (x ) ( ) ) ( ) ( ) = + bx + c + x ( ) b + ( c ) x ( x x + b bx x + c c ) = ( + b + c) = (P (1)) 1. x (, 5), 3) (3, ). 13. Je zřejmé, že x > 0, y > 0, tedy že x, y jsou přirozená čísl. Vynásobíme-li obě strny nerovnice kldným číslem y x, dostneme ekvivlentní nerovnici xy + 6 < 5 xy, kterou můžeme dále uprvit do tvru ( xy 3)( xy ) < 0. 15

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Základní poznatky z matematiky

Základní poznatky z matematiky Zákldní pozntky z mtemtiky Obsh. Zákldní pozntky z mtemtiky.... Číselné obory..... Celá čísl..... Reálná čísl.... Odmocniny.... Mocniny... 5.. Mocniny se zákldem 0... 5.. Mocniny s přirozeným mocnitelem...

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school Technická univerzit v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚHUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Ktedr: Studijní progrm: Studijní obor: Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky N750 Učitelství pro zákldní školy Učitelství fyziky pro.

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti Kpitol 5 Hilbertův prostor 5.1 Zákldní vlstnosti Historická poznámk 5.1.1. Prostor X se sklárním součinem je strukturou n lineárnímprostorus nejsilnějšími xiomy.jetonormovnýlineárníprostor,vněmžje norm

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks Řešení 1. série Úloha N1. Existuje nekonečná posloupnost přirozených čísel a 1, a 2,... taková, že a i a a j jsou nesoudělná právě když i j = 1? Řešení. Označme {r i } posloupnost všech prvočísel seřazených

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013,

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 30.4.2013 C(2013) 2420 finl NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, kterým se mění nřízení (ES) č. 809/2004, pokud jde o poždvky n zveřejňování

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více