ODHAD BODU VZNIKU KVADRATICKÉHO TRENDU. 1. Úvod
|
|
- Vlastimil Soukup
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ROBUST 000, c JČMF 001 ODHAD BODU VZNIKU KVADRATICKÉHO TRENDU DANIELA JARUŠKOVÁ Abstrakt The problem of least squares method estimatioof the parameter τ ithe regressiomodel Y i = β i/ ) + + γ i/ ) + + e i is cosidered Supposig γ 0adτ 0, 1) it is showthat the distributio of ˆτ ) is largely affected by the value of β Ithecaseβ 0thevariable ˆτ ) is asymptotically ormally distributed whereas i the case β =0 the variable ˆτ ) has the same distributioas max 0,Z)whereZ has a zero mea ormal distributio The problem of least squares method estimatioof the parameter τ ithe regressiomodel Y i = β i/ ) + + γ i/ ) + + e i is cosidered Supposig γ 0adτ 0, 1) it is showthat the distributio of ˆτ ) is largely affected by the value of β Ithecaseβ 0thevariable ˆτ ) is asymptotically ormally distributed whereas i the case β =0 the variable ˆτ ) has the same distributioas max 0,Z)whereZ has a zero mea ormal distributio Rezme: Uvaaets problema oceivai parametra τ v modeli lieioi regresii Y i = β i/ ) + + γ i/ ) + + e i pri ispo zovaii metoda aimexih kvadratov Pokazyvaets, qto predpologa γ 0i τ 0, 1), zaqeie parametra β imeet bo xoe vliie a raspredeleie ˆτ ) V sluxae kogda β 0, potom ˆτ ) imeet asimptotiqeski orma oe raspredeleie Naoborot, kogda β =0,potom ˆτ τ ) obladaet teme paspredeleiem kak 0,Z), kde Z sleduet orma oe raspredeleie s ulovym sredim 1 Úvod V praxi občas arazíme a problém, kde se lieárí závislost v ezámém časovém okamžiku změí v závislost kvadratickou Sledujeme-li apříklad u jistých typů sliti závislost apětí Y a zatížeí X, ukazuje se, že při malém zatížeí je zvyšováí apětí lieárí elastická oblast), zatímco po překročeí určitého kritického zatížeí se měí kvadraticky quasielastická oblast), tj Y = fx), kde fx) =p + qx+ β x ) + + γ x ) +, při ozačeí a + =max0,a) V ašem čláku si poěkud zjedodušíme situaci tím, že budeme předpokládat, že parametry p a q jsou zámé, a tedy je bez újmy a obecosti můžeme položit rovy ule Dále budeme předpokládat, že veličia X je měřea v equidistatích vzdáleostech,,,, a tudíž ji lze trasformovat a veličiu abývající 000 Mathematics Subject Classificatio Primary 6F1 Klíčová slova Detekce bodu změy chage-poit problem), elieárí regrese, odhady Práce byla částečě podporováa graty GAČR 01/00/0769 a MSM
2 Odhad bodu vziku kvadratického tredu 10 hodot 1/, /,,1, to jest veličiu, která abývá hodot pouze v itervalu [0, 1] Jestliže předpokládáme aditiví vliv áhodých chyb {e i } a aměřeé hodoty ezávisle proměé Y, dospíváme k regresímu modelu 1) Y i = β i/ ) + + γ i/ ) + + e i, kde β, γ a τ jsou ezámé parametry Pro jedoduchost předpokládejme, že áhodé chyby {e i } jsou ezávislé stejě rozděleé s rozděleím N0,σ ), kde σ je zámé, a tudíž opět bez újmy a obecosti můžeme položit σ =1 Úlohou, kterou se budeme zabývat, je odhad ezámých parametrů β, γ a τ Především ás bude zajímat odhad parametru τ,kterýseazývábodzměy Budeme předpokládat, že τ 0, 1) Parametr β odpovídá prví derivaci zprava aγ druhé derivaci zprava regresí fukce v bodě τ Vzhledem k ormalitě chyb {e i } lze maximálě věrohodé odhady získat metodou ejmeších čtverců Bodový odhad parametrů Model 1) je speciálím modelem elieárí regrese, kterému se ěkdy říká semilieárí model, viz Kowles et all 1991) Kdybychom totiž zali hodotu τ parametru τ,tjτ = τ, pak by model 1) byl modelem lieárí regrese s dvěma vysvětlujícími proměými, tj lieárí model s maticí pláu experimetu X τ) = [τ ]+1 [τ ] [τ ]+1 [τ ] ) ) ) Ozačme β τ, γ τ ) T = X T τ)x τ) ) 1 X T τ)y, kde Y =Y 1,,Y ) T,a S τ,β,γ) = i=1 Y i β i/ ) + + γ i/ ) +)) Pak S τ, β, γ) = mi S τ,β,γ) = mi S τ, β τ, γ τ ) β,γ,τ 0,1) τ 0,1) Nejčastějším umerickým postupem pro alezeí přibližých hodot odhadů τ, β, γ spočívá v tom, že pro hodoty τ zdostihustémřížebodůt v itervalu 0,1) počítáme residuálí součet čtverců S τ, β τ, γ τ ) a pak hledáme mi τ T S τ, β τ, γ τ ) Statistik se však obvykle espokojí s bodovým odhadem ezámých parametrů, ale zajímá se též o itervaly spolehlivosti, respektive oblasti spolehlivosti
3 104 Daiela Jarušková Oblasti spolehlivosti v elieárí regresi Uvažujme obecý model elieárí regrese s k -rozměrým vektorem parametrů θ =θ 1,,θ k )T Y i = f i θ )+e i, i =1,,, kde {f i )} jsou zámé fukce a {e i } jsou ezávislé stejě rozděleé áhodé veličiy s rozděleím N0, 1) Ozačme S θ) = Y i f i θ) ) a θ odhad θ metodou ejmeších čtverců, tj S θ) =mi θ1,,θ k Yi f i θ 1,θ,,θ k ) ) Dále ozačme θ θ 1 ),, θ k θ 1 ) ) odhad metodou ejmeších čtverců při pevé hodotě prvího parametru rovajícího se θ 1,tjS θ 1, θ θ 1 ),, θ k θ 1 ) ) =mi θ,,θ k Yi f i θ 1,θ,,θ k ) ) Užívaé kofidečí oblasti pro celý vektor parametrů θ jsou obvykle dvou typů: 1a) {θ, θ θ) T A θ θ) <C 1 },kdea je ějaká symetrická matice, a) {θ,s θ) <S θ)+c } Prví oblast je eliptická, zatímco druhá může mít aprosto obecý tvar a může být dokoce esouvislá Druhé oblasti se ěkdy říká exaktí, eboť je odvozea přímo z poměru věrohodosti Aalogické kofidečí oblasti pro jede parametr, řekěme θ 1,majítvar: 1b) {θ 1, θ 1 θ 1 <K 1 }, b) {θ 1,S θ1, θ θ 1 ),, θ k θ 1 ) ) <S θ)+k } Kostaty C 1, C,respK 1, K, jsou obvykle odvozey z asymptotického rozděleí θ θ a S θ) S θ ), resp θ 1 θ1 a S θ) S θ1, θ θ1),, θ k θ1) ) Je-li splěa celá řada podmíek, viz apříklad podmíky A1),, A9) ebo B1),, B8) v kize Seber & Wild 1989), kapitola 1, pak θ θ )má asymptoticky ormálí rozděleí Většiou mezi tyto podmíky patří existece spojitých prvích i druhých parciálích derivací fiθ) θ r a f iθ) θ r θ s, i =1,,, r, s = 1,,k, a ějakém okolí správé hodoty θ Navíc se předpokládá, že matice 1 F θ) ) T F θ) ),kde f 1 θ 1 F θ) = f θ 1 koverguje stejoměrě a ějakém okolí θ k esigulárí matici Gθ) Matice G 1 θ ) je pak limití variačí maticí vektoru θ θ ) f 1 θ k f θ k, 4 Oblasti spolehlivosti v modelu 1) Je patré, že v modelu 1) emá regresí fukce vzhledem k parametru τ již ai prví derivaci Přesto se však dá ukázat, že v případě, že β 0, γ 0 a τ 0, 1), má τ, β β, γ γ ) asymptoticky ormálí rozděleí se symetrickou variačí maticí G 1,kde
4 Odhad bodu vziku kvadratického tredu 105 β 1 )+4β γ 1 ) G = β 1 ) β 1 ) +4γ 1 ) γ 1 ) γ 1 ) ) 1 ) 4 1 ) Zřejmě G = lim F T F,kde F = ) ) β γ [τ ]+1 [τ ]+1 [τ ]+1 β γ 1 ) 1 1 ) K důkazu lze použít stejý postup, který použila Hušková 1998) pro jedodušší model typu ) Y i = β i/ ) + + e i, a který spočívá v tom, že a okolí správé hodoty aproximujeme fukci ejmeších čtverců kvadratickou fukcí Speciálě ukázala, že a okolí bodu τ lze aproximovat S τ, β τ ) S τ, β τ ) fukcí Cτ ) +X τ ), kde X/C má ormálí rozděleí N0, 1/C) Jiý postup použil Feder 1975), který modely 1) i ) považuje za speciálí případy regresí fukce fx, θ) =f 1 x, θ 1 ) pro 0 x τ = f x, θ ) pro τ x 1, kde f i x, θ) = Ki) j=1 θ ijf ij x) Za přípustou možiu parametrů Θ pak uvažuje je takové parametry, při kterých se fukce f 1 x, θ 1 )af x, θ ) protíají uvitř itervalu 0,1) Ukazuje, že limití rozděleí θ θ závisí a tom, zda θ je vitřím ebo krajím bodem možiy Θ Parametr τ pak odhaduje jako průsečík fukcí f 1 x, θ 1 )af x, θ ) Řád kovergece τ k τ závisí a tom, v kolika derivacích se shodují fukce f 1 x, θ )af x, θ )vboděτ V případě modelu 1) s β 0,γ 0aτ 0, 1) lze z přístupů Huškové 1998) i Federa 1975) odvodit asymptotickou ormalitu τ, β β, γ γ ) Speciálě platí ) ) τ 9 ) N 0, β 1 ) a S τ, β τ, γ τ ) S τ, β, γ) má asymptoticky χ rozděleí o 1 stupi volosti Všiměme si, že asymptotický rozptyl odhadu τ, viz ), záleží a poloze τ, což je jakási globálí vlastost regresí fukce Je přirozeé, že parametr τ lépe
5 106 Daiela Jarušková odhademe, máme-li možost pozorovat kvadratický tred delší dobu Dále však je asymptotický rozptyl τ, a tedy i délka itervalu spolehlivosti typu a), ovlivěa prví derivací kvadratické fukce v bodě τ, což je lokálí vlastost regresí fukce Je-li β malé, můžeme použijeme-li postup 1 b)) dostat pro koečá dokoce iterval spolehlivosti, jehož krají body leží mimo iterval 0, 1) V teorii elieárí regrese se teto jev azývá špatá podmíěost Špatá podmíěost je způsobea tvarem regresí fukce Horí část obrázku 1 představuje regresí fukci 4) fx, τ,β,γ )=β x ) + + γ x ) + pro τ =05, β =10aγ = 4 a dolí část obrázku zobrazuje odpovídající fukci ejmeších čtverců B τ,τ )pro = 500 a τ 0, 06) za předpokladu, že model eobsahuje žádé chyby, tj B τ,τ )= 1 i ) i f,τ, β τ, γ τ f,τ, β ) ) τ, γ τ 1 i= Obrázek 1 Jestliže uvažujeme model 1) s regresí fukcí 4) včetě áhodých chyb, pak může fukce ejmeších čtverců a 95% oblast spolehlivosti typu b) vypadat apříklad jako a obrázku
6 Odhad bodu vziku kvadratického tredu Obrázek Ačkoliv k tomu emáme žádý teoretický důvod doporučujeme ze zkušeostí používat spíše oblast spolehlivosti typu b), kde K je příslušý kvatil χ -rozděleí o 1 stupi volosti V každém případě doporučujeme vždy při statistické aalýze vykreslit průběh fukce S τ, β τ, γ τ ) V krajím případě, kde β =0,γ 0aτ 0, 1), lze ukázat, že v okolí bodu τ lze rozdíl fukcí čtverců S τ, β τ, γ τ ) S τ, β τ, γ τ ) aproximovat fukcí Cτ ) 4 +X τ ), kde X/C N0, 1/C) ac = γ 1 )/9 Je zřejmé, že fukce Cx x X/C) abývá maxima v ule, pokud X je záporé, a hodoty X/C, pokudx je kladé Odtud vyplývá, že τ ) má asymptoticky stejé rozděleí jako max 0,Z), kde veličia Z má ormálí rozděleí 5) Z N 9 ) 0, γ 1 )
7 108 Daiela Jarušková Výsledek 5) lze použít pro kostrukci symetrického itervalu spolehlivosti a) Můžeme též zkostruovat oblast typu b) s využitím toho, že S τ, β τ, γ τ ) S τ, β, γ) má asymptoticky stejé rozděleí jako max0,y)),kdey má stadardí ormálí rozděleí Pro zajímavost uveďme, že pokud odhadujeme parametr τ vmodelu Y i = γ i/ ) + + e i, i =1,,, pak τ ) má asymptoticky ormálí rozděleí N 0, 1/ γ 1 ) )) Odtud je zřejmé, že iformace, zda-li je prví derivace v bodě změy ulová, je při odhadováí tohoto bodu velmi velmi důležitá Literatura Feder P J 1975) O asymptotic distributio theory i segmeted regressio problems - idetified case The Aals of Statistics, 49 6 Hušková M 1998) Estimators i the locatio model with gradual chages Commet Math Uiv Caroliae 9, Kowles M, Siegmud D a Zhag H 1991) Cofidece regios i semiliear regressio Biometrika 78, 1991, 15 1 Seber G A F a Wild C J 1989) Noliear regressio J Wiley, New York ČVUTv Praze, Stavebí fakulta, Katedra matematiky, Thákurova 7, Praha 6 jarus@matfsvcvutcz
6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VíceZáklady statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková
Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují
VíceSTATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
VícePřednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti
Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
VíceVYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
VíceEKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model
EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ
VíceTestujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:
Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
VícePevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.
evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické
VícePopisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007
Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46
VíceInterval spolehlivosti pro podíl
Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této
VíceÚloha II.S... odhadnutelná
Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceKatedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti
Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,
VíceUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Pavel Pejřimovský. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Uiverzita Karlova v raze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ RÁCE avel ejřimovský rofilová věrohodost Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce : Studijí program : Studijí
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
VícePřednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat
DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo
VíceDynamická pevnost a životnost Statistika
DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic
Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
Více17. Statistické hypotézy parametrické testy
7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé
VíceParametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti
1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
VíceMetody zkoumání závislosti numerických proměnných
Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy
Více14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou
4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
Více8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI
8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -
VíceASYMPTOTICKÉ TESTY HYPOTÉZ V MODELECH S RUŠIVÝMI PARAMETRY
ROBUST 2000, 25 34 c JČMF 200 ASYMPTOTICKÉ TESTY HYPOTÉZ V MODELECH S RUŠIVÝMI PARAMETRY MICHAL KULICH Abstrakt. We discuss likelihood ratio, Wald ad Rao test statistics for testig several parameters i
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
Více} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy
Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
VíceTeorie odhadů 2 Teorie odhadů... 3 Odhad parametrů... 4
Metody odhadováí parametrů. Metoda mometů. Maximálě věrohodé odhady. Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
VíceZformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):
Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při
VíceBc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin
Uiverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Bc. Barbora Šimková Odhady parametrů rozděleí áhodých veliči Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí program:
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
VíceSeznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.
2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se
VíceUPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ
3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,
VíceIAJCE Přednáška č. 12
Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích
VíceTesty homoskedasticity v lineárním modelu
Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Ja Vávra Testy homoskedasticity v lieárím modelu Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
VíceSeriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření
Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy
VíceAnalýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály
Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam
VícePřednáška II. Lukáš Frýd
Předáška II Lukáš Frýd ҧ ҧ Statistické vlastosti odhadu pomocí metody ejmeších čtverců b 1 iid(μ, σ ) ε~iid(0, σ ) b 1 = β 1 + σ i=1 x i x. ε x i xҧ σ i=1 Var b 1 = Var β 1 + σ i=1 x i x. ε i x i xҧ σ
VíceČíselné charakteristiky náhodných veličin
Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí
VíceOKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN
Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
VíceZákladní požadavky a pravidla měření
Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu
VíceFITOVÁNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI PRO APLIKACE
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING DEPARTMENT OF MATHEMATICS FITOVÁNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI
Více( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.
.. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
Vícevají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví
Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě
VíceIntervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním
Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí
Více7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace
7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx
NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I.
Lieárí a adaptiví zpracováí dat 8. Modely časových řad I. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016
Přijímací zkouška a avazující magiserské sudium 2016 Sudijí program: Sudijí obor: Maemaika Fiačí a pojisá maemaika Variaa A Řešeí příkladů pečlivě odůvoděe. Věuje pozoros ověřeí předpokladů použiých maemaických
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 9. Modely časových řad II.
Lieárí a adaptiví zpracováí dat 9. Modely časových řad II. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Opakováí K čemu je dobré vytvářet modely procesů geerující časové řady? Dekompozice časový řad: jaké
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
Více