U3V Matematika Semestr 1

Transkript

1 U3V Matematika Semestr Přednáška 04 Trápení s nekonečnem Vyjdeme od starých Řeků, ale půjdeme až do dvacátého století!

2 Jakými problémy se dnes budeme zabývat? Motto: Pojem nekonečno je jedním z nejtajemnějších pojmů matematiky a je velkým dobrodružstvím sledovat, jak byl v průběhu lidského poznání zdoláván. Achilles a želva a číselnéřady Je celek (podle Eukleida) vždy větší než jeho část? Kolik je vůbec nekonečen a lze s nimi počítat? Množinové strašidlo. Atd.

3 Achilles a želva Zajímavosti o číselných řadách

4 Dohoní Achilles želvu? Představme si, že Achilles (startující z bodu 0) závodí s želvou (startující z bodu ), a přitom předpokládejme, že želva běží poloviční rychlostí, než bájný hrdina. Je nesporné, že: Než Achilles doběhne do bodu, želva získá náskok a bude 3 v bodě =. = 4 Než Achilles doběhne do bodu 3/, želva získá náskok a bude v bodě. 7 4 ½ ¼ 0

5 Zdá se tedy, že ať dělá Achilles co dělá, nikdy želvu nedohoní. Je tomu tak doopravdy? Potřebujeme zřejmě sečíst nekonečně mnoho čísel: L = s To půjde snadno: násobením získáme L = a odečtením obou vztahů pak Tedy: = L = s s

6 Jak sčítat nekonečnou geometrickou řadu? Čísla geometrické posloupnosti vznikají takto: Sečtením členů geometrické posloupnosti vznikne tzv. geometrickářada: 3 4 a a q a q a q a q K = Snadno odvodíme, že platí: s = a pro q q s ( ;)

7 Jaká je hodnota čísla 0, ? Uvažujme o tomto čísle: Může být větší nežčíslo? Může být menší nežčíslo? Co z toho vyplývá? Potvrdí to výpočet: ,9 = L = 0 =

8 Jaký je součet harmonickéřady? Uvažujme o tomto nekonečném součtu: L = s = > = > = > Co z toho vyplývá? = =

9 Kolik je ℵ α nekonečen? Kardinálníčísla

10 Úloha pro děti Mohou malé děti, které ještě neumějí počítat, zjistit, zda je na obrázku více motýlků nebo více květinek nebo je jich stejně? A jak?

11 Úloha pro tanečního mistra Taneční mistr pravděpodobně umí počítat, ale vzhledem k počtu mladých slečen a pánů v sále mu to je málo platné. Může přesto snadno zjistit, zda je v sále více slečen nebo více pánů nebo je jich stejně? A jak?

12 Jak poznat čeho je více a čeho méně Množina A je ekvivalentní s množinou B, A B když platí, že jejich prvky jde spárovat. Takovéto množiny mají stejné kardinálníčíslo.

13 Příklady ekvivalentních množin ) Ekvivalence množin N 0 a S: ) Ekvivalence množin (0, ; 0,) a ( ; ) : Párování provedeme takto: x 0.x Znáte pohádku o nekonečném hotelu?

14 Příklady ekvivalentních množin Následující geometrické útvary jsou ekvivalentní množiny bodů: libovolné dvě úsečky (obecně nestejně dlouhé), libovolné dvě polopřímky, libovolné dvě přímky, libovolné dvě kružnice, libovolná úsečka a libovolná přímka, atd. Ekvivalence.fig

15 Představa kardinálních čísel Třídy tohoto rozkladu budeme nazývat kardinálními čísly. ℵ ℵ U (univerzum, tj. třída všech množin) Atd. R {; ; 3; 4; 5; 6; }, S, L,. Atd. {a; b; c}, {0; ; #},.. {a; b}, {3; 7}, { #;},.. {a}, {0}, {#}, {},

16 Symbolické zápisy Kardinálníčíslo množiny A budeme označovat symbolem card A. Například: card {0; ; #} = card {0; ; } = 3 card {a} = card {0} = card { # } = card { } = 0 card N = ℵ 0

17 U nekonečných množin může být část ekvivalentní celku!!! Snadno dokážeme, že platí: card card card {,,3,4,5, K } = ℵ0 { 3,4,5, K } = ℵ0 {, 4, 6,8,0, K } = ℵ0 Podobně v geometrii: úsečka je ekvivalentní s přímkou, atd.

18 ℵ0 00 =??? ℵ ℵ3 =??? 5 ℵ =??? ℵ ℵ??? 0 = Můžeme s nekonečny počítat jako s normálními čísly?

19 Jak učíme děti sčítat? Představa sčítáníčísel se u dětí vytváří tak, že se nějaké věci dávají dohromady. Například: Petr má dvě jablka a Pavel tři jablka. Kolik jablek mají oba dohromady? 3 5

20 Definice sčítání kardinálních čísel Definice sčítání kardinálních čísel vychází z této představy: card A A B A B card B card (A B) card A card B = D card (A B) Množiny A, B musí být disjunktní!!! Proč?

21 Jak učíme děti násobit? Představa násobeníčísel se u dětí vytváří tak, že se nějaké věci navzájem kombinují. Například: Petr má dvě trička a troje trenýrky. Kolik různých dresů si může obléci? 3 6

22 Definice násobení kardinálních čísel Definice násobení kardinálních čísel vychází z této představy: B card B A A B card A card (A B) card A. card B = D card (A B)

23 Jednoduché vzorce Nechť ℵ α = card A, ℵ β = card B. Nechť n = card C, kde C je konečná množina, tedy n je přirozenéčíslo. Pak platí: ℵ α n = ℵ α ℵ α. 0 = 0 n > 0 ℵ α. n = ℵ α ℵ α ℵ β = = ℵ α. ℵ β = = ℵ max (α, β)

24 Kolik je kardinálních čísel? Označme množinu všech přirozených čísel symbolem N. Označme množinu všech reálných čísel symbolem R. Lze dokázat, že platí: card card N = ℵ 0 Pot ( N) = card R = ℵ Platí toto tvrzení (zobecněná hypotéza kontinua): card A = ℵα card Pot ( A) = ℵα Alefů je tedy nekonečně mnoho: 0,,, 3, 4, K, ℵ0, ℵ, ℵ, ℵ3, K

25 Množinové strašidlo Cantorovo diskontinuum

26 Zápisy čísel ve dvojkové soustavě 3 0 ( 0,307) 0 = ( 0,0) = , ,0... 0,0... 0,... 0,0... 0,...

27 Zápisy čísel ve trojkové soustavě ( 0,0) 3 = = = ( 0,0...) = = = /3 /3

28 Vznik diskontinua.krok 0 /3 /3.krok 0 /3 /3 3.krok 0 /3 /3 Atd.

29 Proč je to strašidelná množina? Vypočítejme, jak dlouhé úsečky jsme vyřadili: = 3 3 = A co v Cantorově diskontinuu zůstalo? Stačí si uvědomit toto párování: (0,0000.) 3 (0,0000.)

30 Děkuji vám za pozornost