Opakování. Neparametrické testy. Pořadí. Jednovýběrový Wilcoxonův test. t-testy: hypotézy o populačním průměru (střední hodnoty) předpoklad normality

Transkript

1 Opakování Opakování: Testy o střední hodnotě normálního rozdělení 1 jednovýběrový t-test 2 párový t-test 3 dvouvýběrový t-test jednovýběrový Wilcoxonův test párový Wilcoxonův test dvouvýběrový Wilcoxonův test t-testy: hypotézy o populačním průměru (střední hodnoty) předpoklad normality není nutné specifikovat přesný typ rozdělení často jsou založeny na tzv. pořadích tzv. pořadové testy obecnější hypotézy rovnost mediánů, shoda celých rozdělení apod. v případě normálního rozdělení menší síla ve srovnání s t-testy Matematická statistika Šárka Hudecová 1/ 21 Matematická statistika Šárka Hudecová 2/ 21 Pořadí pozorování Y 1,..., Y n ze spojitého rozdělení uspořádaný výběr (varianční řada) Y (1)... Y (n) hodnoty uspořádané dle velikosti od minima po maximum pořadí: R 1,..., R n R i kterém místě v uspořádaném výběru veličina Y i stojí (v případě shod se berou průměry z odpovídajících pořadí) máme hodnoty 7,, 5, 13, 2 uspořádaný výběr 2,, 5, 7, 13 pořadí, 2, 3, 5, 1 Matematická statistika Šárka Hudecová 3/ 21 Situace: X 1,... X n výběr ze spojitého rozdělení symetrického kolem bodu a (tj. a = m X medián X ), chceme testovat Postup H 0 : m X = m 0, proti H 1 : m X m 0 vyloučíme případy X i = m 0 (a dle toho upravíme n) definujeme Y i = X i m 0 uspořádáme Y i dle velikosti pořadí Y i za H 0 by součty pro kladná a záporná Y i měly být srovnatelné (je-li např. součet pro kladná Y i výrazně větší než pro záporná svědčí to pro m X > m 0 ) Matematická statistika Šárka Hudecová / 21

2 Přesný test: testová statistika: W součet pořadí pro Y i > 0 W = i:y i >0 nulovou hypotézu zamítáme pro velké nebo malé hodnoty W kritické hodnoty statistický software Asymptotický test: testová statistika W n(n+1) n(n+1)(2n+1) za H 0 má Z přibližně N(0, 1) rozdělení H 0 zamítáme, pokud Z > u 1 α/2 Jednostranné alternativy H 0 : m X = m 0 vs. H 1 : m X > m 0 zamítáme pro velké hodnoty W, tj. pro velké Z Z > u 1 α H 0 : m X = m 0 vs. H 1 : m X < m 0 zamítáme pro malé hodnoty W, tj. pro malé Z Z < u 1 α Matematická statistika Šárka Hudecová 5/ 21 Matematická statistika Šárka Hudecová 6/ 21 Poznámky pivo k zamítnutí H 0 může vést také výraznější porušení předpokladu symetrie (přestože třeba m X = m 0 ) v případě výskytu shod X i = m 0 lze korekce ve jmenovateli pro Z řada programů počítá s korekcí pro spojitost (korekce asymptotického testu pro konečné n) Provádíme průzkum, jaký skutečný objem piva točí v nejmenované hospodě. Zakoupeno bylo 10 piv a jejich objem byl (v litrech): 0.510, 0.62, 0.91, 0.66, 0.61, 0.503, 0.95, 0.88, 0.512, Chceme otestovat, zda hostinský netočí pod míru. Použijeme popsaný postup: X i Y i Y i W = = 15 Matematická statistika Šárka Hudecová 7/ 21 Matematická statistika Šárka Hudecová 8/ 21

3 řešení W = = 15 testová statistika: 1.27, tj. Z > u 0.95 = 1.65 nelze zamítnou H 0 Provedení v programu R: > wilcox.test(x,mu=0.5,alternative= less, exact=f,corr=f) Wilcoxon signed rank test data: pivo V = 15, p-value = alternative hypothesis: true location is less than 0.5 Situace: Párová pozorování (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ), zajímá nás, zda jsou veličiny X a Y co do polohy stejné Postup na každém subjektu měříme dvě veličiny jejich porovnání příklady: věk rodičů, síla stisku levé a pravé ruky, hmotnost před a po dietě,... zavedeme Z i = X i Y i budeme chtít testovat, zda Z i kolísají kolem nuly, tj. zda m 0 problém převeden na jednovýběrový případ (analogie párového t-testu, ale teď bez normality) Matematická statistika Šárka Hudecová 9/ 21 Matematická statistika Šárka Hudecová 10/ 21 mají-li Z 1,..., Z n normální rozdělení t-test porušení normality jednovýběrový Wilcoxonův test předpoklad: Z 1,..., Z n spojité symetrické rozdělení Postup: vyloučíme případy Z i = 0 určíme pořadí absolutních hodnot Z i W součet pořadí, kde Z i > 0 (asymptotická) testová statistika W n(n+1) n(n+1)(2n+1) porovnání dvou metod učení nazpaměť Porovnání dvou metod učení (poslouchání vs. čtení). studie zahrnující 9 osob pozorování (X i, Y i ) chceme vědět, zda je mezi oběma způsoby rozdíl i X i Y i H 0 : rozdělení X a Y je stejné za H 0 má Z přibližně N(0, 1) rozdělení Matematická statistika Šárka Hudecová 11/ 21 Matematická statistika Šárka Hudecová 12/ 21

4 pokrač. zavedeme rozdíly Z i = X i Y i předpoklad symetrie H 0 : m 0 i Z i Z i W = = 28 W n(n+1) n(n+1)(2n+1) = = 1. test: Z < u = 1.96 nelze zamítnout H 0 Matematická statistika Šárka Hudecová 13/ 21 Situace: dva nezávislé náhodné výběry X 1,..., X n a Y 1,..., Y m, oba ze spojitého rozdělení, chceme testovat (tj. i mediány se rovnají) Postup H 0 : rozdělení X a Y jsou stejná uděláme společný (tzv. sdružený) výběr X 1,..., X n, Y 1,..., Y m a uspořádáme jej podle velikosti za H 0 jsou výběry X a Y dobře promíchané určíme pořadí v rámci spojeného výběru za H 0 by se průměrná pořadí X a Y neměla velmi lišit Matematická statistika Šárka Hudecová 1/ 21 Poznámky vezmeme W součet pořadí X 1,..., X n proti H 0 svědčí velmi velké a velmi malé hodnoty W přesný test založený na W (software, tabulky) asymptotický test: testová statistika: W n(n+m+1) 2 nm(n+m+1) 12 má za H 0 přibližně N(0, 1) rozdělení Test: hypotézu H 0 o shodě rozdělení zamítneme, pokud test se někdy nazývá Mannův-Whitneyův test obecně formulovaná hypotéza: test citlivý zejména vůči posunutí, méně citlivý na nestejný rozptyl při větším počtu shod X i a Y i korekce ve jmenovateli Z (software provádí) Z > u 1 α/2 lze uvažovat i jednostranné alternativy Matematická statistika Šárka Hudecová 15/ 21 Matematická statistika Šárka Hudecová 16/ 21

5 výnos pšenice grafické znázornění dat Vliv nového způsobu hnojení na výnos pšenice: 13 polí stejné kvality 8 nový způsob, 5 ošetřeno standardně měřeny výnosy v tunách na hektar X i nový způsob: 5.7, 5.5,.3, 5.9, 5.2, 5.6, 5.8, 5.1 Y i standardní hnojivo: 5.0,.5,.2, 5.,. Chceme testovat: H 0 : způsob hnojení nemá vliv na výnos pšenice Vynos psenice [t/ha] Matematická statistika Šárka Hudecová 17/ 21 novy tradicni Matematická statistika Šárka Hudecová 18/ 21 Zpusob řešení Řešení v programu R Použijeme popsaný postup: W = = 70 testová statistika 70 8(5+8+1) (5+8+1) 12 Z > z = zamítáme H 0 = R počítá W pořadí Y, zde W = 21 uvádí Mannovu-Whitneyovu statistiku U = mn + 1 m(m + 1) W 2 pak U udává počet případů, kdy X i > Y j > wilcox.test(x,y,correct=f,exact=f) Wilcoxon rank sum test data: x and y W = 3, p-value = alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0 Matematická statistika Šárka Hudecová 19/ 21 Matematická statistika Šárka Hudecová 20/ 21

6 Shrnutí normální rozdělení spojité rozdělení jeden výběr jednovýběrový t-test jednovýběrový Wilcoxon párová pozorování párový t-test párový Wilcoxon dva nezávislé dvouvýběrový t-test dvouvýběrový Wilcoxon výběry Matematická statistika Šárka Hudecová 21/ 21