12. Neparametrické hypotézy

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "12. Neparametrické hypotézy"

Transkript

1 . Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto, že př kostrukc těchto testů ejsou využty zalost parametrů rozděleí áhodých velč, ale jé způsoby práce s daty.. Zamékový test Jde o jede z ejjedodušších testů. Nechť X,, je výběr ze spojtého rozděleí s medáem x Testujeme hypotézu H 0 : x = x0, kde x 0 je daé číslo. Test má jak oboustraou alteratvu, tak jedostraou. H : x x0. Jde tedy o oboustraou alteratvu. Nejdříve vytvoříme rozdíly X x0,, X x0. Pokud je ěkterý z těchto rozdílů ulový vyecháme ho. Tím získáme možu čísel. Z této možy ás bude zajímat je počet rozdílů s kladým zamékem, teto počet ozačme B. Pokud by platla hypotéza H 0, pak by áhodá velča B byla typu B( ; 0,5 ) ( předpokládáme, hodoty jsou vesměs růzé od x 0 ). Hypotézu H 0 zamíteme, jestlže bude hodota B velm malá ebo aopak bude téměř rova. Krtcké hodoty tohoto testu jsou tabelováy v tabulkách, ale můžete s je zjstt sam pomocí dstrbučí fukce bomckého rozděleí B(;0,5). Platí tedy α α P( B k), P( B k). (.) Pro hodoty malé ( < 0 ) se v tabulkách alezou čísla k a k. Hypotézu zamíteme, jestlže B kebo B k. V případě velkých hodot ( >9 )se provádí ormalzace áhodé velčy B. Náhodá velča U.B = (.) se podle cetrálí lmtí věty asymptotcky blíží k N(0,). Hypotézu H 0 tedy zamíteme v tomto případě, když U u α. Příklad. Nechť jsou aměřey hodoty 5.6 ; 4,8; 8,; 4,7; 6,3; 0,7; 9,4; 8,; 7,4; 6,4; 4,9; 5,; 6,5. Pomocí zamékového testu rozhoděte, zda 8 může být medáem dat. Od hodot x odečteme očekávaou hodotu medáu a dostaeme: 5,6 4,8 8, 4,7 6,3 0,7 9,4 8, 7,4 6,4 4,9 5, 6,5 -,4-3, 0, -3,3 -,7,7,4 0, -0,6 -,6-3, -,9 -,5 Počet čísel kladých je rove 4. Pro hodotu = 3 jsou krtcké hodoty a hladě výzamost 0,05 rovy a 9. Protože číslo 4 leží mez těmto hodotam, emůžeme vyloučt možost, že je medáem ašch dat.

2 Příklad. Př měřeí hmotost výlovku ryb ( v tuách ) byly zjštěy ásledující hodoty: ,64,537,0 0,6,63 3,5 0,3,04,774,83 0,899,743 6, ,0 0,63 0,07 0,6,704,78,004,344 6,954,479 0,3 7,9 3,6 Máme ověřt hypotézu, že medá výlovku ryb je rove t. Opět zjstíme hodotu počtu kladých rozdílů mez x a hodotou. Těchto čísel je 0. Hodota B = 0. Ověřeí provedeme pomocí vztahu (.), teto vztah je aproxmatvě.0 6 rozděleí N(0,). Vypočtěme hodotu U, U = =,767 =,767, porováme 6 l tuto hodotu s krtckou hodotou u 0,975 =,96, zjšťujeme, že hodota U eleží v krtckém oboru. Nemůžeme tedy vyvrátt možost, že číslo je medáem výlovku ryb. Pokud bychom prováděl výpočet klasckou metodou, měl bychom pro = 6 k dspozc krtcké hodoty 7 a 8, a a pomocí této metody emůžeme vyvrátt možost, že je medáem hmotost výlovku.. Jedovýběrový Wlcoxoův test Teto test je opět založe a pořadových statstkách. Předpokládáme, že daá jedorozměrá data byla vybráa z populace popsaé spojtou áhodou velčou. Nulová hypotéza je postaveá tak, že zjšťujeme, zda dstrbučí fukce F(x) je symetrcká kolem počátku ( resp. kolem obecého bodu a ) tedy zda platí : ( ) ( ) (, ) F x = x F x, oprot í stojí alteratví hypotéza, která je egací tohoto výroku. Z požadavků a rozděleí vyplývá, že medáem rozděleí je 0 ( resp. bod a ), pokud exstuje středí hodota rozděleí je také rova 0 ( resp. a ). Nechť X,,X je áhodý výběr z výše uvedeého rozděleí. Položíme Y = X - 0 ( resp. X - a ). Náhodé velčy uspořádáme vzestupě podle jejch absolutí hodoty, tedy Y Y Y. () ( ) ( ) Symbolem R + ozačíme pořadí velčy Y. Zaveďme dále ozačeí. (.3) R = R, R = R Y 0 Y< 0

3 ( ) +. + Podle zavedeí těchto hodot jstě platí R + R =. Hypotézu H 0 a hladě a + zamítáme, jestlže číslo m ( R, R ) w ( α ), kde w ( α ) je tabelovaá krtcká hodota. Tuto hodotu získáte v tabulce krtckých hodot jedovýběrového Wlcoxoova testu. Věta.3 Platí l hypotéza H 0, potom ( ).( ).( ).(. ), ( ) E R = VAR R = (.4). 4 4 Důkaz: Vz []. Dá se dokázat, že áhodá velča R + má asymptotcky rozděleí ormálí. Můžeme tedy test hypotézy H 0 založt a áhodé velčě +.( + ) R U = 4 (.5).( + ).(. + ) 4 Hypotézu H 0 potom zamíteme, jestlže U u α, a hladě, která se s rostoucím přblžuje hodotě a. Příklad.4 V průběhu deset za sebou jdoucích dů s pacet měřl 0x tep. Můžeme a základě těchto měřeí prohlást, že medá aměřeých hodot je rove 75 tepům? měř. č. měř. č. měř. č.3 měř. č.4 měř. č.5 měř. č.6 měř. č.7 měř. č.8 měř. č.9 měř. č.0 76 tepů 76 tepů 74 tepů 77 tepů 79 tepů 8 tepů 83 tepů 67 tepů 65 tepů 90 tepů Pokud by medá hodoty tepů byl 75, pak dostaeme hodoty Y takovéto Y Y Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y 8 Y 9 Y V této tabulce máme dokoce hodoty Y seřazeé podle velkost. Vypočteme dále + hodoty R = 35, R = 0. Hodota R = 0, tuto hodotu porováme s krtckou hodotou v tabulkách, w 0 ( 0,05) = 8, protože hodota R je větší ež 8, emůžeme a daé hladě hypotézu H 0 zamítout. Pokud bychom řešl tuto úlohu pomocí ormálí aproxmace, získal bychom 35 7,5 hodotu U = = 0,76447, tato hodota je meší ež,96, tedy touto metodou 96,5 emůžeme hypotézu H 0 zamítout. V případě jedovýběrového Wlcoxoova testu je důležtým předpokladem symetre hustoty f kolem medáu. K zamítutí hypotézy H 0 může tedy dojít také tehdy, když je sce medá rove ule ( resp. a ), ale hustota je výrazě esymetrcká. Můžeme tedy teto test použít a jedoduché testováí, zda vybraá data mohou pocházet z rozděleí ormálího!

4 .3 Dvouvýběrový Wlcoxoův test Nechť je X,, m je áhodý výběr ze spojtého rozděleí s dstrbučí fukcí F, echť dále je Y, Y áhodý výběr ze spojtého rozděleí s dstrbučí fukcí F, který je, a výběru X,, m ezávslý. Hypotézu H 0 sestavujeme tak,že F = F, alteratví hypotéza je oboustraá tedy F F. Př kostrukc testu ejdříve vytvoříme z výše uvedeých výběrů sdružeý výběr X,, m, Y,, Y. Hodoty v tomto výběru uspořádáme vzestupě podle velkost. Ozačíme S součet všech pořadí hodot X,, X m a S pořadí hodot Y,, Y ve sdružeém výběru. Zřejmě podobě jako v jedovýběrovém Wlcoxoově testu platí ( + m).( + m+ ) S+ S =. V případě áhodých velč S a S jde o tzv. leárí pořadové statstky. Jejch parametry jsou uvedey v ásledující větě. Věta.5 Platí l hypotéza H 0, potom m. ( m+ + ) m..( m+ + ) E ( S) =, VAR( S) =,. ( m+ + ) m..( m+ + ) E ( S) =, VAR ( S) = Důkaz: Uvede v []. (.6) Vzhledem k vazbě mez áhodým velčam S a S, stačí vyšetřovat je jedu z ch, zpravdla je to S. Stále častěj se místo této velčy vyšetřuje m.( m+ ) U = m. + S, Test založeý a áhodé velčě U se azývá Ma Whteyův test. Zavedeme l ještě ozačeí m.( m+ ) U = m. + S, platí U + U = m.. Náhodá velča U udává počet případů, kdy X < Y j, áhodá velča U udává počet případů, kdy X > Y j. Opět podobě jako v případě jedovýběrového testu staovíme S=m( U, U ). Pokud hodota S je meší ebo rova krtcké hodotě uvedeé v tabulce krtckých hodot dvouvýběrového Wlcoxoova testu, zamítá se a daé hladě a hypotéza H 0. Ozačeí výběrů přtom volíme tak, aby m. Na základě výsledků věty.5 zřejmě platí ( ) m...( ), ( ) m m + + E U = VAR U = (.7),protože U = m. - U. Je E ( U) = E ( U ), VAR( U) = VAR ( U ). Dá se dokázat, že velčy S, U asymptotcky ormálí rozděleí, tedy U E( U) U = (.8) VAR U ( )

5 Pokud U u α, zamíteme hypotézu H 0 a hladě blížící se hodotě a. Tetotest se dá použít v případě, že m > 0 a > 0. Dvouvýběrový Wlcoxoův test je velm ctlvý zejméa a případ posuutí, tedy a případ, kdy F (x) = F (x - ), kde 0. Příklad.6 Dvěma způsoby jsme prováděl aalýzu procetího obsahu zlata ve vzorcích rudy. Výsledky aalýz jsou uvedey v ásledující tabulce: hodoty X 3,3 3,4 3,4 3, 3,5 3,3 3, hodoty Y 3, 3,5 3,4 3,4 3,4 3,3 3,5 3,5 3,4 3,5 Seřadíme uvedeé hodoty do jedé tabulky, zjstíme pořadí hodot X: 3, 3, 3, 3,3 3,3 3,3 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 Odlšým podkladem jsou ozačey hodoty X. Zjstíme a spočteme hodoty U = 58 a U =. Hodoty S = 40 a S = 30. V tabulkách dvouvýběrového Wlcoxoova testu zjstíme pro hodoty m = 0 a = 7 ( prví hodota je podle úmluvy vždy větší ebo rova druhé hodotě ) krtckou hodotu 4. Tedy zamítáme a hladě výzamost 0,05 hypotézu H 0 o stejém způsobu měřeí. Použjeme l přechod a rozděleí N(0,) získáme U = =, 4457, protože je tato hodota větší ež,96 zamítáme tímto 05 způsobem hypotézu H 0. Příklad.7 Ověřme, zda exstuje výzamý rozdíl v hektarových výosech brambor př použtí dvou metod hojeí. V ásledující tabulce jsou uvedey hektarové výosy : hodoty X hodoty Y Nejdříve seřadíme hodoty X a Y dohromady a setřídíme je podle velkost: Opět jsme odlšým způsobem ozačl hodoty X. Podobě jako v předchozím příkladu zjstíme hodoty S = 54 a S = 9, stejě tak zjstíme, že hodoty U = 54 a U = 9, protože krtcká hodota pro případ m = 9 a = 7 je rova, zamíteme hypotézu H 0 a hladě výzamost 0,05. Pokud bychom počítal aproxmac pomocí rozděleí N(0,) získáme hodotu: 54 3,5 U = =,3455. Tato hodota je větší ež,96. Zamítáme tedy touto metodou 4 hypotézu H 0 o stejých výosech pomocí obou metod hojeí.

6 .4 Jedovýběrový Kolmogor Smrovův test Nechť X,, je áhodý výběr. Mějme dále určté spojté rozděleí s dstrbučí fukcí F. Staovme hypotézu H 0 : Dstrbučí fukce rozděleí, z ěhož pochází áhodý výběr je F. Nejdříve vytvoříme emprckou dstrbučí fukc F. vytvořeou z hodot výběru X,,. Položíme D = sup F ( x) F( x) (.9) x zřejmě velké hodoty D budou podporovat hypotézu H. Pro malé hodoty acházíme krtcké hodoty v tabulkách, pro velké hodoty se provádí aproxmace D.l (.0). α Hypotézu H 0 zamítáme, když D D (a). Teto test můžeme používat bez jakýchkol úprav a testováí, zda daá data pochází z rozděleí, které záme včetě všech možých parametrů, které toto rozděleí defují. Tedy bez úprav se ehodí přímo a testováí, zda daá data pochází z ormálího rozděleí. V případě, že by daé parametry byly odhaduty z výběru, změí se velm výrazě hodoty krtckých hodot D. Pro takovéto případy jsou krtcké hodoty odhaduty pomocí smulačích metod vz Llleforst, Ima. Příklad.8 V ásledující tabulce je uvedeo 0áhodých čísel vygeerovaých geerátorem áhodých čísle v programu Excel. Protože tato čísla mají pocházet z rozděleí rovoměrého a tervalu (0,), budeme testovat hypotézu H 0 : Daé údaje jsou popsáy pomocí rozděleí Ro(0,) , , , , ,358 0, , ,373 0, , ,4463 0,5805 0,6556 0, ,7896 0, , , ,9785 0, Nejdříve sestrojíme emprckou dstrbučí fukc. Protože vygeerovaé hodoty jsou jedečé ( jsou od sebe růzé ) bude kostrukce emprcké dstrbučí fukce takováto : Pro hodoty x 0,04039 bude F 0 (x)=0, v každé hodotě x bude mít emprcká dstrbučí fukce skok stejý a rový 0,05 0 = ( jestlže by se ěkterá z hodot x vyskytovala apř. p krát, pak by měla fukce F skok p v bodě x ). Dále je zobrazea emprcká dstrbučí fukce F 0 a dstrbučí fukce rovoměrého rozděleí a tervalu (0,):

7 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 emp. D.f. Ro(0,) 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Výpočtem zjstíme, že v ašem případě je hodota D 0 = 0,847. V tabulkách zjstíme, že pro hladu výzamost je krtcká hodota pro = 0 rova 0,9408. Protože D 0 je meší ež krtcká hodota, elze zamítout hypotézu o výběru z rozděleí Ro(0,)..5 Dvouvýběrový Kolmogor Smrovův test Nechť je X,, m je áhodý výběr ze spojtého rozděleí s dstrbučí fukcí F, echť dále je Y,, Y áhodý výběr ze spojtého rozděleí s dstrbučí fukcí F, který je a výběru X,, m ezávslý. Hypotézu H 0 sestavujeme tak,že F = F, alteratví hypotéza je oboustraá tedy F F. Ozačíme l F m a F emprcké dstrbučí fukce jedotlvých výběrů, vyplývá z obecých vět, že s rostoucím hodotam m, se tyto fukce blíží ke skutečým dstrbučím fukcím F a F. Ozačme dále D = sup F x F x. ( ) ( ) m, m x Celý test je založe a ásledující větě: Věta.9 m. Ozačme M =. Nechť dále je m + k + K( λ ) =. ( ).exp(. k. λ ) (.) k = Potom pro každé l platí

8 lm m, (. m, λ ) ( λ ) P M D < = K. Důkaz : Provede apř. v Hájek a Šdák (967).. Fukc K(l) často aproxmujeme pomocí jejích počátečích čleů.e λ. Tato hodota je rova - a, jestlže λ =.l α, aproxmatví krtcká hodota pro D m, je = D m,. Jsou l čísla m, malá porovává se hodota D m,. M α s tabelovaým hodotam krtckých hodot a daé hladě výzamost. Jestlže jsou hodoty m, větší ( m + > 35 ), vypočítáme ejdříve hodotu λ 0 = M. Dm,, pomocí í vypočítáme K ( λ 0 ).Jestlže je tato hodota větší ebo rova - a, zamíteme hypotézu H 0 a hladě, která se s rostoucím rozsahem blíží k číslu a. Př * D α. Hypotézu H 0 pak * tedy rova.l ( α ) velkých hodotách aproxmujeme krtckou hodotu číslem m, ( ) * zamítáme, jestlže je D D ( α ). m, m, Příklad.9 Budeme vyšetřovat hodoty uvedeé v příkladě.6. Máme tedy k dspozc data: hodoty X 3,3 3,4 3,4 3, 3,5 3,3 3, hodoty Y 3, 3,5 3,4 3,4 3,4 3,3 3,5 3,5 3,4 3,5 Podobě jako v předchozí část s zobrazíme emprcké dstrbučí fukce: Emprcké dstrbučí fukce 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 X Y 0,4 0,3 0, 0, 0 3, 3,5 3, 3,5 3,3 3,35 3,4 3,45 3,5 3,55 3,6

9 Zřejmě je hodota D 0,7 = 0,3749, krtcká hodota alezeá v tabulkách dvouvýběrového Kolmogorova Smrova testu pro hladu výzamost 0,05 je rova 46 = 0, Tedy a základě zjštěých údajů emůžeme zamítout hypotézu H 0, že 70 oba výběry pocházejí ze základích souborů se stejým dstrbučím fukcem. Pokud * bychom použl aproxmovaých hodot je v ašem případě D 7,0 ( 0,05) = 0, , tedy a v tomto případě hypotézu H 0 emůžeme zamítout..6 Kruskalův Wallsův test Jde o test, který je zobecěím dvouvýběrového Wlcoxoova testu. Je používá a data, která se velm lší od dat typu ormálího. Nechť X,, je áhodý výběr ze spojtého rozděleí s dstrbučí fukcí F, =,,N.Nechť jsou všechy a sobě avzájem ezávslé. Hypotézu H 0 postavíme takto. H 0 : F (x) = = F N (x) pro všecha x Alteratví hypotéza H je staovea v případě eplatost hypotézy H 0. Podobě jako v předchozích případech vytvoříme sdružeý áhodý výběr z hodot Y j o rozsahu = + + N ( předpokládáme, že >5,=,,N ). Hodoty Y j se uspořádají do eklesající posloupost a určí se pořadí R j v rámc každé velčy Y j ze sdružeého áhodého výběru. V rámc každé skupy zjstím hodotu R = R, zřejmě je součet všech hodot R.( + ) rove. Testovou statstkou je N R Q=. 3.( + ) (.).( + ) = Ukazuje se, že př platost hypotézy H 0 je rozděleí Q asymptotcky c rozděleí, jestlže hodoty všech rostou ade všechy meze. Výpočtem se zjstí, že E( Q) = N, tedy půjde o rozděleí c s N- stup volost. Hypotézu H 0 zamítáme, jestlže Q χ N ( α ). Kruskal Wallsův test je velm ctlvý a případá posuutí v argumetech jedotlvých dstrbučích fukcí. Jestlže dojde k zamítutí H 0, sažíme se dále rozhodout, které dvojce se ve sdružeém výběru od sebe výzamě lší. R Pro teto případ ozačíme symbolem r =, kde =,,N. Jestlže ozačíme symbolem kw N- (a) krtckou hodotu Kruskal Wallsova testu ( v případě malých hodot N j ajdeme přímo v tabulkách tohoto testu, pro větší rozsahy j aproxmujeme výše uvedeým rozděleím c N-(a) ), potom prohlásíme, že se dstrbučí fukce tého a j tého výběru od sebe výzamě lší, jestlže platí r rj >...( + ). kwn ( α) (.3) j Teto postup opakujeme pro všechy možé dvojce. j= j

10 Příklad.0 U přjímacích zkoušek se sledují počty bodů z testů z matematky, chceme posoudt, zda se výsledky výzamě odlšují. Náhodě vybereme z jedotlvých sledovaých typů škol 8 studetů. Hlada výzamost je staovea a 0,05. Dále ásledují data : stud. státí soukromé SEŠ prům. škola Jedotlvé hodoty přepíšeme do jedé tabulky a přdáme sloupec, v ěmž uvedeme pořadí jedotlvého prvku ve sdružeém výběru, v posledí řádce čteme hodoty R. stud. státí pořadí soukromé pořadí SEŠ pořadí prům. škola pořadí 78 4, , , , , , , , , ,5 Dosazeím zámých hodot zjstíme velkost testovací statstky 9, ,5 Q = = 9, Krtcká hodota c s 3 stup volost je 7,8. Protože je hodota testové statstky větší ež krtcká hodota c, zamítáme hypotézu H 0 o shodě výsledků testů studetů z růzých typů škol. Protože budeme chtít posoudt a základě dat, které dvojce se vzájemě lší, použjeme vztahu (.3). Vzhledem k tomu, že všechy skupy mají stejý počet čleů, bude také pravá straa ve výrazu (.3) kostatí a rova 3,080. Zjstíme tedy absolutí hodoty rozdílů stojících ve výrazu (.3) a levé straě. Uvedeme tyto rozdíly v přehledé tabulce: soukromé SEŠ prům. škola státí 9,35 4,4375 6,5 soukromé 5,5,85 SEŠ 7,9375

11 Z vypočteých hodot je jasé, že výzamý rozdíl mez výsledky studetů jedotlvých typů škol je v případě státích gymází a SEŠ..7 Fredmaův test Nechť jako v mulém případě jsou Y j ezávslé áhodé velčy spojtého typu s dstrbučím fukcem F j. Fredmaovým testem testujeme hypotézu H 0, že F j ezávsí a j, a závset může. V podstatě jde o rozšířeí Wlcoxoova testu pro dva závslé výběry, a více a N závslých výběrů. Test se používá k ověřeí shody úrově sledovaého zaku v souborech vytvořeých a základě N závslých výběrů se stejým rozsahem jedotek. Typckou úlohou je případ, kdy jedu skupu jedotek sledujeme v určtých časových obdobích. Úlohou je potom posoudt, zda sledovaý zak závsí a daých podmíkách. Pro každou hodotu Y j ( =,,I a j=,,j) zjstíme pořadí R j v daé skupě. Tvar testovací statstky je potom rove J I Q=. Rj 3. I.( J ) IJ..( J ) + (.4) + j= = Dá se opět dokázat, že př platost hypotézy H 0 má áhodá velča Q tvar c s J stup volost. Hypotézu H 0 zamítáme, jestlže hodota Q překročí krtckou hodotu a hladě výzamost a. Stejě jako v předchozích testech pro větší hodoty za tuto hodotu budeme brát c J-(a). Zamíteme l H 0 zajímá ás většou, které dvojce se od sebe výzamě lší.ozačme R j I = R (.5) = j Podobě jako u Kruskal Wallsova testu budeme zjšťovat zda Ru Rt je větší ebo rovo tabelovaé krtcké hodotě. Asymptotcky lze krtcké hodoty určt pomocí vztahu qj, ( α).. I. J. ( J + ) (.6) Krtcké hodoty qj, ( α) se opět hledají ve specálích tabulkách. Příklad. Máme k dspozc údaje z průzkumu ce u tří prodeje, u chž byly sledováy cey 7 druhů zboží. Chceme posoudt, zda ve sledovaé době byla výzamě odlšá úroveň ce v těchto prodejách. a 4,5 5 8, b,5,7 4, c 5,7 5,5 5,6 d,4,5,8 e 7,8 3,6 8, f 7,4 89,4 7,5 g 8,4 6,7 7,8 Z dat je zřejmé, že je I = 7 a J = 3. Nejdříve upravíme předchozí tabulku tak, aby se v jedotlvých řádcích vyskytoval je pořadí jedotlvých hodot. Pro jedotlvé prodejy tyto hodoty sečteme, umocíme a dosadíme do vzorce (.4).

12 . zboží Prodeja. Prodeja 3. Prodeja a 3 b 3 c 3 d 3 e 3 f 3 g 3 Rj 3 7 Rj Tedy Q = ( ) = =. Z tabulek Fredmaova testu vyplývá, že krtcká hodota pro a = 0,05 ; I = 7 a J = 3 je rova 7,43. Hodota Q eí větší ež krtcká hodota, proto emůže a hladě výzamost 0,05 zamítout předpoklad o shodě ce jedotlvých prodejách. Příklad. Celkem 0 studetů řešlo stejě obtížé úlohy s přemísťováím předmětů ( každý celkem 00 v jedé úloze) za růzých teplotích podmíek. Pomocí Fredmaova testu rozhoděte, zda se výkoy v těchto podmíkách lšly. Dále jsou uvedey data jedotlvých studetů: studet t=0 C t=30 C t=50 C Podobě jako v předchozím případě zjstíme, že I = 0 a J = 3. Dále zjstíme pořadí : studet t=0 C t=30 C t=50 C Rj Rj

13 Z těchto hodot jž můžeme spočítat testovou statstku. Q =. ( ) = 7,4. Krtcká hodota pro daé hodoty I a J je rova 6,. Tedy zamítáme ulovou hypotézu, výsledky studetů se a hladě výzamost 0,05 výzamě lší. Zjstíme dále hodoty rozdílů částečých součtů pořadí: R-R= - R-R3= R-R3= 0 Z tabulky Fredmaova testu pro mohoásobá porováváí je krtcká hodota rova 0,5. Tuto hrac překračuje R a R3 tedy a hladě výzamost 0,05 prokázá výzamý rozdíl mez výsledky př teplotě 30±C a 50±C.

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2 SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n. Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů SP4 Přpomeutí pojmů Pravděpodobost Náhodý jev: - základí prostor - elemetárí áhodý jev A - áhodý jev, - emožý jev, jstý jev podjev opačý

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

Úvod do teorie měření

Úvod do teorie měření Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých

Více

Kapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech

Kapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech Kapitola 6 : Neparametrické testy o mediáech Cíl kapitoly Po prostudováí této kapitoly budete umět - provádět testy hypotéz o mediáu jedoho spojitého rozložeí - hodotit shodu dvou ezávislých áhodých výběrů

Více

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v

Více

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat 4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Dvouvýběrové parametrické a neparametrické testy

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Dvouvýběrové parametrické a neparametrické testy MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Dvouvýběrové parametrcké a eparametrcké testy Bro 5/6 Zuzaa Berá Prohlášeí Prohlašuj, že jsem tuto bakalářskou prác vypracovala samostatě za

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hyotéz Př statstckých šetřeích se často setkáváme s roblémy tohoto druhu () Máme zjstt, zda dva daé vzorky ocházejí z téhož ZS. () Máme rozhodout, zda rozdíly hodot růměrů (res. roztylů)

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Testování hypotéz. 3.1 Základní pojmy a obecný postup při testování

Testování hypotéz. 3.1 Základní pojmy a obecný postup při testování Lekce 3 Testováí hypotéz Vlajkovou lodí matematcké statstky jsou techky testováí hypotéz. Formulace hypotéz a jejch ověřováí jsou základím mechasmem postupu ldského pozáí. Pokud jsou formace, potřebé k

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

SP2 Korelační analýza. Korelační analýza. Libor Žák

SP2 Korelační analýza. Korelační analýza. Libor Žák Korelačí aalýza Přpomeutí pojmů áhodá proměá áhodý vetor áhodý vetor Náhodý výběr: pro áhodou proměou : pro áhodý vetor : pro áhodý vetor : Přpomeutí pojmů - ovarace Kovarace áhodých proměých ovaračí oefcet

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky).

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky). Statstka. Základí pojmy Statstcký soubo - daá koečá, epázdá moža M předmětů pozoováí, majících jsté společé vlastost (událost, věc,.) Jedotlvé pvky této možy se azývají pvky statstckého soubou (statstcké

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Kapitola 5.: Analýza rozptylu jednoduchého třídění

Kapitola 5.: Analýza rozptylu jednoduchého třídění Kaptola 5.: alýza ozptylu jedoduchého tříděí Cíl kaptoly Po postudováí této kaptoly budete umět - hodott vlv aktou o 3 úovích a vaabltu hodot sledovaé áhodé velčy - sestojt tabulku aalýzy ozptylu - detkovat

Více

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě. 3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

VY_52_INOVACE_J 05 01

VY_52_INOVACE_J 05 01 Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

Metody statistické analýzy. doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Metody statistické analýzy. doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. Metody statstcké aalýzy doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Bakoví sttut vysoká škola, a.s. Praha 0 METODY STATISTICKÉ ANALÝZY Autor: Recezet: Vydal: Tsk: Vydáí: doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. doc. Ig. Jří Trešl,

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více

11. Popisná statistika

11. Popisná statistika . Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př

Více