Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská Univerzita v Plzni. Matematické Modelování

Transkript

1 Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská Univerzita v Plzni Semestrální práce z předmětu Matematické Modelování Radek Slíva student 3. ročníku FAV obor MA A července 2005

2 Obsah 1 Rozdělení populace 2 2 Model SI (Jednoduché epidemie) 3 3 Model SIR 4 4 Modelování AIDS 7 5 Reference 11 1

3 1 Rozdělení populace Budeme předpokládat že člověk náchylný k infekci je nakažen od jiného nakaženého člověka. Nejprve během latentního období nemá rozvoj nemoci žádné projevy a postižený není zatím zdrojem nákazy. Pak následuje nakažlivé období, během kterého může nakažený předávat infekci jiným lidem, náchylným k infekci. Nakonec se u nakaženého člověka objeví různé příznaky nemoci a poté je izolován od ostatních lidí, dokud se neuzdraví nebo zemře. V případě uzdravení se může stát odolným vůči infekci buď trvale, nebo po určité období. Časový interval od nakažení do objevení se symptomů se nazývá inkubační období. S velikost části populace náchylné k infekci(tj. těch jedinců, kteří netrpí danou chorobou, ale jsou schopni onemocnět, nebo se stát infekčními) E velikost části populace nacházející se v latentním období I velikost části populace, která je infikovaná a schopná přenášet infekci na jedince náchylné k nakažení R velikost části populace, která sice onemocněla, ale nešíří dále nákazu, buď proto, že je od ostatní populace izolována, nebo v případě uzdravení se stala trvale imunní. S E I R období latentní nakažlivé náchylnosti období období období jedince inkubační nemoc se izolace k onemocnění období symptomy S, E, I, R jsou funkcemi času t. Předpokládáme, že jsou nezáporné. Jim odpovídající části populace označíme ( S ), ( E ), ( I ), ( R ). O velikosti celé populace předpokládáme, že je konstantní a je rovna N > 0. Platí tedy. S(t) + E(t) + I(t) + R(t) N 2

4 2 Model SI (Jednoduché epidemie) Budeme předpokládat skupinu jedinců náchylných k infekci a předpokládáme že nedochází k vyjímání jedinců z populace vlivem izolace, smrti, nebo uzdravení a vzniku odolnosti vůči infekci. Neuvažujeme tedy populační skupiny (E) a (R). Tento systém se používá například u některých počátečních stádií některých onemocnění horních cest dýchacích. Předpokládáme, že v čase t = 0 existuje S 0 > 0 jedinců náchylných k infekcí a že v populaci je I 0 > 0 přenašečů infekce. Potom S(0) = S 0 I(0) = I 0 S(t) + I(t) N Budeme předpokládat, že průměrný počet nových případů onemocnění I které se objeví v intervalu t je přímo úměrný S a I. Pak I = S = βsi t, kde β > 0 je kladný koeficient. Tento koeficient nazýváme koeficient šíření nákazy. Koeficient šíření nákazy je součin relativní četnosti vzájemných kontaktů v populaci během časového intervalu jednotkové délky a pravděpodobnosti nákazy při kontaktu jednoho člena populační skupiny ( S ) s jedním členem skupiny ( I ). Podělením výrazem t a limitním přechodem t dostáváme systém rovnic. S = βsi, I = βsi Vezmeme- li v úvahu ( 1 ) dostáváme počáteční úlohu I = β(n I)I, I(0) = I 0 V praxi se během epidemie obvykle registruje počet nových případů, které se objevily např. během týdne. Je proto vhodnější uvažovat dynamiku narůstání počtu nových případů, popisovanou tzv. epidemickou křivkou, což je graf funkce která je znázorněna na obrázku ( 1 ) I = βn 2 ( N I 0 1)e βnt ( N I e βnt ) 2 3 (1)

5 Obrázek 1: Epidemická křivka Z epidemické křivky je patrná charakteristická vlastnost epidemií: počet nových případů zpočátku rychle roste, v jistém okamžiku dosahuje maxima a pak klesá k nule. 3 Model SIR Budeme uvažovat model S = βsi, I = βsi νi, R = νi přičemž S + I + R = N, kde N > 0 je konstantní celková velikost populace. Koeficienty β, ν jsou kladné. Populační skupiny ( E ) neuvažujeme. Předpokládáme, že S(0) = S 0 > 0 I(0) = I 0 > 0 (3) R(0) = 0 S 0 + I 0 = N Každá počáteční úloha pro ( 2 ) má jediné řešení. Z druhé rovnice systému ( 2 ) vidíme, že v případě S 0 ν/β epidemie vůbec nezačne. Budeme proto předpokládat S 0 > ν β Epidemie tedy začíná až při S 0 větším než jistá prahová hodnota ϱ = ν β. Je to tzv. prahový efekt. Jestliže sečteme všechny tři rovnice systému ( 2 ) obdržíme pro libovolné řešení (S(t), I(t), R(t)) počáteční úlohy ( 2 ), ( 3 ) vztah 4 (2)

6 [S(t)+I(t)+R(t)] = 0, což je v souladu s tím, že S(t) + I(t) + R(t) N. Jelikož první dvě rovnice ( 2 ) nezávisí na R, lze uvažovat systém S = βsi I = βsi νi (4) Rovnice trajektorií systému ( 4 ) je po vykrácení dává di ds di ds = ν βs βs = βsi νi βsi = ϱ S S = 1 + ϱ S Odtud vidíme, že trajektorie systému ( 4 ) ležící v prvním kvadrantu jsou jakožto funkce I proměnné S rostoucí pro 0 < S < ϱ a klesající pro S > ϱ. Trajektorie systému ( 4 ) jsou znázorněny na obr. ( 2 ) Obrázek 2: Trajektorie systému ( 4 ) Dále platí odkud ds dr = 1 ϱ S S(t) = S 0 e 1 ϱ R(t) 5

7 Tedy 0 < S(t) S 0 < N. Navíc podle první rovnice systému ( 2 ) je S (t) < 0, takže funkce S(t) je klesající. Pro funkci R(t) platí R(t) = ϱ ln S(t) S 0 0 Je vidět že při epidemii vždy určitá část populace zůstane vnímavá a nemoc nikdy nedostane. Pokud je populace dostatečně veliká aby S(t ) > 1 osoba. Jako příklad si můžeme uvést např. morovou epidemii v Bombaji roku Tato epidemie trvala 30 týdnů a podle záznamů v nemocnicích se vyžádala 890 obětí. Na obrázku ( 3 ) můžeme vidět že vypočtené výsledky se moc neliší od skutečných. Tento model byl poprvé uveřejněn Kermackem a McKendrickem roku Křivka je vypočtený průběh a body skutečná úmrtí. Obrázek 3: Model epidemie v Bombaji 6

8 4 Modelování AIDS Prudká nakažlivost AIDS a rychlost šíření epidemie jsou alarmující. Prognózy ukazují že je to nejvážnější světová epidemie tohoto století a může se přirovnat k moru ze 14. Století. Bohužel délka latentního období je pro každého nakaženého jiná. Může trvat od měsíců až do roků. Ve skutečnosti není mnoho známo o základních epidemiologických parametrech šíření viru. Díky nedostatku znalostí jsou potíže v navrhování kontrolních plánů natož zdravotnické péče. Ve vyspělých zemí se zejména AIDS šíří homosexuálně komunitou ale v rozvojových zemi se AIDS šíří převládající heterosexuální společností. Statistici z USA a UK se velmi vážně věnují závažnosti týkající se šíření epidemie. Naše modely jsou jednoduché a nemůžou zahrnout všechny faktory které by měli být zahrnuty v realističtějších modelech. Například neuvažujeme možnost mutace viru které zřejmě mají velmi důležité následky. Závažný problém AIDS je v proměnné délce inkubační doby od doby kdy je pacientovy určena diagnóza jako pozitivní do doby než se objeví symptomy AIDS. Toto je hlavní důsledek šíření viru. Jako první model budeme uvažovat dobu vyvinutí onemocnění mezi infikovanými AIDS. Uvažujeme populaci v které všichni lidé jsou nakaženi HIV v čase t = 0. Označíme y(t) část populace která má AIDS v čase t a x(t) část populace které jsou pozitivní ale zatím se u nich AIDS neprojevil. Dostaneme x(t) = 1 y(t). Nechť v(t) je poměr infikovaných ku AIDS. Jednoduchý model z počátečními podmínkami vypadá: dx dy = v(t)x, = v(t)x dt dt x(0) = 1, y(0) = 0 (5) kde x + y = 1. Tento model předpokládá že u všech infikovaných lidí se projeví AIDS. Jestliže předpokládáme pacienta který je nakažen rakovinou, jeho imunitní systém se postupně snižuje, pak infekce v(t) je rostoucí funkce času. Vezměme lineární závislost v(t) = at kde a > 0 je konstanta. Rovnice ( 5 ) nám dávají x(t) = exp [ ] at2 2 y(t) = 1 exp [ ] (6) at2 2 7

9 Obrázek 4: Diagram systému modelu onemocnění. B reprezentuje přírůstek vnímavých do homosexuálního společenství. Rychlost přenesení viru je λc. Část nakažené populace se vyléčí u zbytku se rozvine AIDS. Přirozená smrt je v modelu zahrnuta Použitelný model založený na tomto diagramu je pak dx dt = B µx λcx, λ = βy N (7) dy = λcx (v + µ)y dt (8) da = pvy (d + µ)a dt (9) dz = (1 p)vy µz dt (10) N(t) = X(t) + Y (t) + Z(t) + A(t) (11) λ = βy je pravděpodobnost nákazy, β je pravděpodobnost přenosu nemoci,µ N je pravděpodobnost úmrtí, c je počet sexuálních partnerů, d je pravděpodobnost úmrtí na AIDS, p je počet HIV pozitivních a v je pravděpodobnost rozvinutí se nemoci. Celková populace zde nebude brána jako konstanta. Jestliže dosadíme do rovnic ( 7 )-( 11 )dostaneme: dn dt = B µn da (12) 8

10 Obrázek 5: Populace která byla nakažena HIV v čase t=0 a u které se projeví AIDS. Tento model dává nejlepší výsledky rovnice ( 6 ) pro a = 0.237yr 1. Osa x: Počet let s AIDS, osa y: dy dt Ve vzorci( 8 ), jestliže v čase t = 0 infikovaného jedince umístíme do vnímavé populace která je nakažená jiným virem mohu položit X N. dy dt (βc v µ)y v(r 0 1)Y (13) Aby se infekce rozvinula musí být R 0 βc > 1. Výchozí rychlost R v 0 je dána na základě počtu sexuálních partnerů c přenosová pravděpodobnost 1 β a průměrný inkubační doba onemocnění. Ustálený stav nastane když v rovnice ( 7 )-( 11 ) přejdou do X = (v+µ)n, Y = (d+µ)(b µn ) cβ pvd Z = (1 p)(d+µ)(b µn ) pvdµ N = Bβ[µ(v+d+µ)+vd(1 p)] [v+µ][β(d+µ) pv], A = B µn d (14) Můžeme ukázat že (X, Y, Z, A) se přibližuje k (X, Y, Z, A ) s tlumenou oscilací. Podle současných hodnot epidemie vypukne každých let. Je nepravděpodobné že parametr onemocnění zůstane nezměněn. V počátku vypuknutí epidemie je malé procento pozitivních a můžeme Y aproximovat jako Y (t) = Y (0)e v(r 0 1)t = Y (0)e rt (15) 9

11 Obrázek 6: Numerické řešení systému rovnic ( 7 )-( 11 ) s počátečními podmínky A(0) = Z(0) = 0, S(0) = Y (0) = N(0) = Hodnoty parametrů B = 13333, 3yr 1, v = 0, 2yr 1, µ = 1/32yr 1, d = 1yr 1, p = 0, 3. Graf ukazuje poměr mezi pozitivní skupinou populace a skupinou která je nakažená AIDS. Dosadíme-li rovnici ( 15 )do ( 9 ) dostaneme: da dt = pvy (0)ert (d + µ)a V počátku epidemie když ještě nejsou pacienti s AIDS tedy A(0) = 0 mohu položit: A(t) = pvy (0) ert e (d+µ)t (16) r + d + µ Numerická simulace modelu rovnic nám dává jasný obrázek rozvoje epidemie HIV v homosexuální komunitě. Na obrázku ( 6 ) Je ukázána simulace kdy rozsah nemocných dosáhne maxima, bude to kolem roku od začátku epidemie. 10

12 5 Reference Reference [1] Murray, J. D. Mathematical Biology. Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo: Springer-Verlag, 1993, s [2] Kalas, J. Pospíšil, Z. Spojité modely v biologii. Brno: Massarykova univerzita, 2001, s