ILUSTRACE ZÁKONA VELKÝCH ČÍSEL POMOCÍ SIMULACÍ THE ILLUSTRATION OF THE LAW OF LARGE NUMBERS BY SIMULATIONS
|
|
- Radovan Šmíd
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS ILUSTRACE ZÁKONA VELKÝCH ČÍSEL POMOCÍ SIMULACÍ THE ILLUSTRATION OF THE LAW OF LARGE NUMBERS BY SIMULATIONS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR MARTIN CHABIČOVSKÝ doc. RNDr. JAROSLAV MICHÁLEK, CSc. BRNO 29
2 Abstrakt Stochastická kovergece, záko velkých čísel a cetrálí limití věta ředstavují důležitou část teorie ravděodobosti, která se často užívá v matematické statistice. Cílem této ráce je osat tuto teorii a demostrovat ji a říkladech a grafických simulacích. Kromě simulací stochastické kovergece, zákoa velkých čísel a cetrálí limití věty ro ěkterá diskrétí a sojitá rozděleí ravděodobosti ráce obsahuje i ěkolik zajímavých simulací a to simulaci Galtoovy desky, Buffoovy úlohy a Bertradova aradoxu. K vytvořeí grafických simulací byl oužit rogramovací jazyk matlab. Summary Stochastic covergece, law of large umbers ad cetral limit theorem is a imortat art of robability theory, which is ofte used i mathematical statistics. The aim of this work is to describe this theory ad demostrate it with examles ad grahical simulatio. I additio simulatio of stochastic covergece, law of large umbers ad cetral limit theorem for some discrete ad cotiuous robability distributio the work cotais several iterestig simulatios for examle simulatio of Galto s box, Buffo s eedle roblem ad Bertrad s aradox. To create a grahic simulatio were used rogrammig laguage matlab. Klíčová slova stochastická kovergece, záko velkých čísel, cetrálí limití věta Keywords stochastic covergece, law of large umbers, cetral limit theorem CHABIČOVSKÝ, M. Ilustrace zákoa velkých čísel omocí simulací. Bro: Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta strojího ižeýrství, s. Vedoucí doc. RNDr. Jaroslav Michálek, CSc.
3 Prohlašuji, že jsem bakalářskou ráci Ilustrace zákoa velkých čísel omocí simulací vyracoval samostatě od vedeím doc. RNDr. Jaroslava Michálka, CSc. s oužitím rameů uvedeých v sezamu literatury. Marti Chabičovský
4 Děkuji svému školiteli doc. RNDr. Jaroslavu Michálkovi, CSc. za vedeí mé bakalářské ráce. Marti Chabičovský
5 Obsah OBSAH Úvod 2 2 Základí ojmy z teorie ravděodobosti 3 2. Některá rozděleí ravděodobosti Charakteristická fukce Kovergece áhodých veliči Slabý záko velkých čísel Silý záko velkých čísel Cetrálí limití věta Simulace a říklady 3. Stochastická kovergece-aroximace rozděleí Demostrace záko velkých čísel Demostrace cetrálí limití věty Zajímavé říklady Buffoova úloha Galtoova deska Bertradův aradox Pois rogramu 23 5 Závěr 25 6 Sezam oužitých zkratek a symbolů 27 7 Sezam říloh 28
6 Úvod Záko velkých čísel, stochastická kovergece a cetrálí limití věty ředstavují důležitou část teorie ravděodobosti, která se často využívá v matematické statistice. V deší době eí obtížé demostrovat tuto teorii omocí očítačových simulacích, které lze sado zrogramovat v ejůzějších rogramovacích rostředích. V této ráci jsem se okusil demostrovat a říkladech a grafických simulacích stochastickou kovergeci, záko velkých čísel a cetrálí limití větu. K vytvořeí simulací mi omohl rogramovací jazyk matlab. V části Základí ojmy z teorie ravděodobosti jsou uvedey výzamé věty a defiice vztahující se k této roblematice. Některé věty jsou uvedey včetě důkazu. Rozsáhlejší důkazy ebo důkazy zaměřeé mimo rámec této ráce ejsou rovedey ale je uvede odkaz a říslušou literatůru. Následující kaitola Simulace a říklady se věuje demostraci zákoa velkých čísel a cetrálí limití věty a simulacích a říkladech. Pois je zde četě dolě obrázky. Posledí kaitola obsahuje ávod a oužití řiložeého rogramu, který jsem sám vytvořil a oužil k vytvořeí obrázků ro tuto ráci. 2
7 2 Základí ojmy z teorie ravděodobosti V této ráci se bude ředokládat zalost základích ojmů z teorie ravděodobosti. V teoretické části jsou uvedea ěkterá diskrétí a sojitá rozděleí ravděodobosti, charakteristická fukce a její vlastosti, stochastická kovergece, zákoy velkých čísel a cetrálí limití věty. Tato teorie je zracováa odle moografií [], [2] a [5]. 2. Některá rozděleí ravděodobosti Příklady diskrétích rozděleí ravděodobosti ˆ Alterativí Náhodá veličia X má alterativí rozděleí (začíme X A(θ)), když abývá ouze hodot, a to s ravděodobostí EX = θ, DX = θ( θ) (x) = P (X = x) = θ x ( θ) x, x {, }. ˆ Biomické Budiž řirozeé číslo a θ (, ). Náhodá veličia X má biomické rozděleí (začíme X Bi(, θ)), když abývá ouze hodot,,..., a to s ravděodobostmi ( ) (x) = P (X = x) = θ x ( θ) x, x =,,...,. x EX = θ, DX = θ( θ) ˆ Hyergeometrické Nechť N, K, jsou řirozeá čísla, řičemž K < N, < N. Náhodá veličia X má hyergeometrické rozděleí (začíme X Hg(N, K, )), když abývá ouze celočíselých hodot s ravděodobostmi (x) = P (X = x) = ( )( ) K N K x x ( N ) ro max{, K + N} x mi{k, }. EX = K, K(N K) DX = N N 2 ˆ Poissoovo Nechť λ > je arametr rozděleí. Náhodá veličia X má Poissoovo rozděleí (začíme X P o(λ)), když abývá ouze hodot,,..., a to s ravděodobostmi (x) = P (X = x) = λx x! e λ, x =,,.... EX = λ, DX = λ 3
8 2. NĚKTERÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Příklady sojitých rozděleí ravděodobosti ˆ Rovoměré Nechť (a, b) je koečý iterval. Náhodá veličia s rovoměrým rozděleím (začíme X R(a, b)) má hustotu ro x / (a, b). f(x) = b a ro x (a, b). EX = a+b (b a)2, DX = 2 2 ˆ Exoeciálí Nechť λ >. Náhodá veličia s exoeciálím rozděleím (začíme X Ex(λ)) má hustotu ro x. f(x) = λ e x/λ ro x >. EX = λ, DX = λ 2 ˆ Cauchyovo Nechť a R a b > jsou daá čísla. Náhodá veličia s Cauchyovým rozděleím (začíme X C(a, b)) má hustotu f(x) = π b b 2 + (x a) 2. Středí hodota a roztyl Cauchyova rozděleí eexistují. ˆ Beta Nechť a >, b >. Náhodá veličia s beta rozděleím (začíme X B(a, b)) má hustotu Γ(a+b) Γ(a)Γ(b) xa ( x) b ro x (a, b). f(x) = ro x / (a, b). EX = a, DX = ab a+b (a+b) 2 (a+b+) ˆ Normálí Nechť µ R, σ >. Náhodá veličia s ormálím rozděleím (začíme X N(µ, σ 2 )) má hustotu f(x) = e (x µ)2 2σ 2 x R. 2πσ EX = µ, DX = σ 2 ˆ Logaritmicko ormálí Nechť a R, m R, b >. Náhodá veličia s logaritmicko ormálím rozděleím (začíme X LN(a, b, m)) má hustotu f(x) = 2πb(x a) e (l(x a) m)2 2b 2, x > a. EX = a + e m+ b2 2, DX = (EX) 2 (e b2 ) 4
9 2.2 CHARAKTERISTICKÁ FUNKCE ˆ Fischer-Sedecorovo F rozděleí Nechť m, N a m,. Náhodá veličia s F rozděleím o m a stuích volosti (začíme X F (m, )) má hustotu f(x) = m+ Γ( ) 2 Γ( m 2 )Γ( 2 ) ( m Je-li > 2, existuje EX = 2 2 (m+ 2) m( 2) 2 ( 4). 2 ) m Charakteristická fukce ( x m 2 + m ) (m+) x 2, x >. a je-li > 4, existuje koečý roztyl DX = Defiice 2. Charakteristickou fukci ψ(t) áhodé veličiy X defiujeme vzorcem ψ(t) = Ee itx = E cos tx + ie si tx, t R. x= e itx (x) ro diskrétí áhodou veličiu X. Též se dá vyjádřit ve tvaru ψ(t) = eitx f(x)dx ro sojitou áhodou veličiu X. Pro řehledost budeme začit charakteristickou fukci áhodé veliči X ψ X (t) a áhodé veličiy Y ψ Y (t). Věta 2.2 (vlastosti charakteristické fukce). ψ() = a ψ(t). 2. ψ(t) je vždy stejoměrě sojitá. 3. Jestliže a, b jsou kostaty a Y = a + bx, ak ψ Y (t) = e ita ψ X (bt). 4. Jestliže X,..., X jsou ezávislé áhodé veličiy a Y = i= X i, ak ψ Y (t) = ψ Xi (t). i= 5. Existuje-li rvích obecých mometů µ,..., µ áhodé veličiy X a jsou-li tyto momety koečé, ak její charakteristická fukce ψ(t) má rvích derivací a latí Dále latí ψ (k) () = i k µ k, k=,...,. ψ(t) = k= µ (it) k k k! + o(t ), t, kde o(t) je fukce malé o (f(x) = o(g(x)) ro x a, když f(x) g(x) ro x a). 6. Je-li ψ(t) charakteristická fukce odovídající distribučí fukci F (x) a jsou-li a, b (a < b) body sojitosti fukce F (x), ak latí: F (b) F (a) = ( ψ(t) e ita e itb ψ( t) eita e itb ) dt. 2π 2it 2it Odtud zejméa lye, že charakteristická fukce jedozačě určuje distribučí fukci. 5
10 2.2 CHARAKTERISTICKÁ FUNKCE 7. Existuje-li hustota, může být rověž vyočtea omocí charakteristické fukce. Pokud ro charakteristickou fukci ψ(t) latí ψ(t) dt <, má X sojitou hustotu f(x) a lze ji vyočíst odle vzorce f(x) = ψ(t)e itx dt. 2π 8. Budiž dáa oslouost distribučích fukcí F (x), F 2 (x),... a jim odovídající oslouost charakteristických fukcí ψ (t), ψ 2 (t),.... K tomu, aby oslouost {F (x)} kovergovala k ějaké distribučí fukci F (x) ve všech bodech sojitosti této fukce, je uté a stačí, aby oslouost {ψ (t)} kovergovala v každém bodě k ějaké fukci ψ(t), která je sojitá v bodě t =. Je-li tato odmíka slěa, ak ψ(t) je charakteristická fukce odovídající distribučí fukci F (x) a oslouost {ψ (t)} koverguje k ψ(t) stejoměrě v každém koečém itervalu. Důkaz: Viz [5]. Příklad 2. Staoveí charakteristické fukce ψ X (t) áhodé veličiy X N(, ) a charakteristické fukce ψ Y (t) áhodé veličiy Y N(µ, σ 2 ). ψ X (t) = Ee itx = e itx f(x)dx = cos(tx)f(x)dx+i si(tx)f(x)dx = cos(tx)f(x)dx ψ X(t) = d dt cos(tx)f(x)dx Jelikož cos(tx)f(x) a d cos(tx)f(x) jsou sojité a (, ) lze řejít ze vztahu dt d cos(tx)f(x)dx a dt ψ X(t) = xsi(tx)f(x)dx = 2 = 2 2π [si(tx)e x2 2 ] 2 2π 2π t cos(tx)e x2 2 dx = t d dt cos(tx)f(x)dx si(tx)( xe x2 2 )dx = cos(tx) e x2 2 dx = tψ(t) 2π Dostáváme tak difereciálí rovici, jejíž očátečí odmíka ψ X () = lye z Věty 2.4 ψ X(t) = tψ X (t) Její řešeí je l ψ X (t) = t2 2 + l C ψ X (t) = Ce t2 2. Dosazeím očátečí odmíky dostaeme C = a tedy ψ X (t) = e t2 2, t R. Protože Y = µ + σx ak zřejmě N(µ, σ 2 ). Užitím 3. vlastosti charakteristické fukce dostaeme ψ Y (t) = e itµ ψ X (σt) = e itµ σ2 t2 2, t R. 6
11 2.3 Kovergece áhodých veliči 2.3 KONVERGENCE NÁHODNÝCH VELIČIN Defiice 2.3 (kovergece áhodých veliči) Nechť (Ω, A, P ) je ravděodobostí rostor a a ěm je defiováa oslouost áhodých veliči X, X 2,... a áhodá veličia X. Řekeme, že oslouost X, =, 2,... koverguje k X skoro jistě, jestliže P ({ω : lim X (ω) = X(ω)}) =. Řekeme, že X, =, 2,... stochasticky koverguje k X (budeme začit X když ro každé ε > latí P ({ω : lim X (ω) X(ω) > ε}) =. st X), Řekeme, že X, =, 2,... koverguje k X odle středu, je-li EX 2 < a ro =, 2,... latí E(X X) 2. Nechť X má distribučí fukci F a echť X má distribučí fukci F. Jestliže F (x) F (x) v každém takovém bodě x, ve kterém je fukce F sojitá, ak říkáme, že veličiy X kovergují k áhodé veličiě X v distribuci a rozděleí áhodých veliči X azýváme asymtotické rozděleí. Kovergece v distribuci se často začí L(X ) L(X). Věta 2.4 (Čebyševova erovost) Nechť áhodá veličia X má středí hodotu EX a koečý roztyl DX. Pak ro každé ε > latí P ( X EX > ε) DX ε 2 Důkaz: Pro jedoduchost uvádím důkaz je ro sojitý říad. Obecý důkaz lze ajít v [5]. Uvažujme možiu Dále DX = E(X EX) 2 = M ε = {x : x EX > ε} a M ε = R M ε. (x EX) 2 f(x)dx M ε (x EX) 2 f(x)dx = (x EX) 2 f(x)dx+ (x EX) 2 f(x)dx M ε R M ε ε 2 f(x)dx = ε 2 f(x)dx = ε 2 P (X M ε ) = ε 2 P ( X EX > ε). M ε M ε Odtud P ( X EX > ε) DX ε 2. 7
12 2.4 Slabý záko velkých čísel 2.4 SLABÝ ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL Defiice 2.5 (Slabý záko velkých čísel) Řekeme, že oslouost áhodých veliči X i, i=,2,... slňuje slabý záko velkých čísel, když oslouost áhodých veliči Y = (X i EX i ) i= stochasticky koverguje k. (T j. ε > : lim P( i= (X i EX i ) > ε) =.) Věta 2.6 Poslouost áhodých veliči X i, i=,2,... slňuje slabý záko velkých čísel (SlZVČ), když oslouost D( X 2 i ) ro. i= Důkaz: Nechť je dáa oslouost áhodých veliči Y = i= (X i EX i ). Pak EY = a ro její roztyl latí DY = D( (X i EX i ) = i= D( X 2 i EX i ) = i= i= D( X 2 i ) ro. i= Tudíž ro všecha ε > za oužití Čebyševovy erovosti dostáváme lim P ( Y DY > ε) = lim P ( Y EY > ε) lim ε 2 Proto Y stochasticky a tedy X i slňuje SlZVČ. = lim D i= X i 2 ε 2 =. Věta 2.7 (Čebyševova) Nechť X i, i=,2,... je oslouost ezávislých áhodých veliči s omezeými roztyly DX i c, kde c je daá kostata. Pak oslouost X i slňuje SlZVČ. Důkaz: Za uvedeých ředokladů latí a v limitím říadě dostáváme lim D( X 2 i ) = 2 2 D( i= i= c X i ) lim i= DX i c = c 2 i= = roto lim Protože X i slňuje odmíku věty 2.6 tak X i slňuje SlZVČ. D( X 2 i ) =. i= Věta 2.8 (Chičiova) Nechť X i, i=,2,... je oslouost ezávislých a stejě rozděleých áhodých veliči s koečou středí hodotou EX i = µ. Pak X i slňuje SlZVČ a tedy Důkaz: Viz [5]. X = X i i= 8 st µ.
13 2.5 Silý záko velkých čísel 2.5 SILNÝ ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL Defiice 2.9 (Silý záko velkých čísel) Řekeme, že oslouost áhodých veliči X i, i=,2,... slňuje silý záko velkých čísel, když oslouost áhodých veliči Y = (X i EX i ) i= koverguje skoro jistě k. (T j. lim P( i= (X i EX i ) = ) =.) Věta 2. (Kolmogorova) Nechť X i, i=,2,... je oslouost ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči s koečou středí hodotou EX i = µ. Pak latí X = X i µ i= skoro jistě. Dá se též říct, že veličiy X, X 2,... slňují silý záko velkých čísel. Důkaz: Viz [5]. 2.6 Cetrálí limití věta Věta 2. (Lidebergova) Nechť X, X 2,... jsou ezávislé áhodé veličiy se stejým rozděleím, které má středí hodotu µ a koečý roztyl σ 2. Ozačme Y = (X j µ) = σ j= j= X j µ σ. Pak ro Y koverguje v distribuci k rozděleí N(, ). Důkaz: Položme Z k = X k µ k =, 2,... σ Veličiy Z, Z 2,... jsou ezávislé, mají stejé rozděleí s ulovou středí hodotou a s roztylem DZ k =. Ozačme ψ(t) charakteristickou fukci tohoto rozděleí. Z věty 2.2 lye ψ(t) = t2 2 + o(t2 ) = t2 2 + R(t), kde R(t)/t 2 ři t. Charakteristická fukce každé veličiy Z k / je Ee itz k/ = Ee i(t/ )Z k = ψ(t/ ) = t2 2 + R(t/ ). Protože Y = Z / + + Z /, je charakteristická fukce ψ (t) veličiy Y rova ψ (t) = Ee ity = Ee i(t/ ) Z k = k= 9 ψ(t/ ) = ( t2 2 + R(t/ )).
14 2.6 CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA Jelikož ro každé evé t ři latí R(t/ ) = t 2 R(t/ ( ) a ψ t 2 (t) = t2 / 2 + R(t/ ) ) e t2 2. Z říkladu 2. je zámo, že e t2 /2 je charakteristická fukce rozděleí N(, ), a tak z věty 2.2 lye F Y (x) Φ(x). Věta 2.2 Nechť áhodá veličia X má biomické rozděleí s arametry a θ (X i Bi(, θ)), kde θ (, ). Pak áhodá veličia Y Y = X θ θ( θ) ro koverguje v distribuci k rozděleí N(, ). Důkaz: Nechť jev A astává v každém z ezávislých okusů s ravděodobostí θ Nechť Z k =, když v k-tém okusu jev A astal a echť Z k =, když eastal. Pak Z,..., Z jsou ezávislé áhodé veličiy, které mají alterativí rozděleí se středí hodotou µ = θ a roztylem σ 2 = θ( θ). Veličia X = Z + + Z má rozděleí Bi(, θ). Tedy Y = i= Z i µ σ a tvrzeí věty lye z cetrálí limití věty. Věta 2.3 Nechť X má Poissoovo rozděleí s arametrem λ (X λ >. Pak áhodá veličia Y Y = X λ λ P o(λ)), kde ro koverguje v distribuci k rozděleí N(, ). Důkaz: Nechť Z, Z 2... jsou ezávislé áhodé veličiy s rozděleím P o(λ), které má středí hodotu µ = λ a roztyl σ 2 = λ. Potom X = Z + Z P o(λ). Protože Y = i= Z i λ λ, důkaz věty lye z cetrálí limití věty.
15 3 Simulace a říklady 3. Stochastická kovergece-aroximace rozděleí V této části oíši a demostruji a říkladech, jak lze aroximovat ěkterá rozděleí ravděodobosti jiými. To je ukázáo a říkladě aroximace biomického rozděleí Poissoovým a hyergeometrického biomickým. Tyto aroximace jsou jedak odvozey a říkladech, ale také demostrováy a obrázcích, které byly vytvořey úravou simulací z řiložeého rogramu v matlabu. Nejrve a říkladě ukáži aroximaci biomického rozděleí Poissoovým. Příklad 4. Odvozeí ravděodobostí fukce Poissoova rozděleí z ravděodobostí fukce biomického rozděleí. Nechť X Bi(, θ) má ravděodobostí fukci (x) ak (x) = ( ) θ x ( θ) x = x! ( x)!x! θx ( θ) x = x! ( ) ( x+)θx ( θ) x = = x! x ( )( 2 ) ( x )θx ( θ) x = = x! ( )( 2 ) ( x )(θ)x ( θ) x ( θ ). Užitím θ λ se ro lim lim θ (x) dostává lim lim (x) = θ x! ( )( ) ( )(λ)x ( ) x lim ( λ ). Alikací vzorce lim ( x ) = e x obdržíme což je rvděodobostí fukce P o(λ). lim lim (x) = θ x! λx e λ, Po(5) Bi(,.5) Bi(5,.) Bi(25,.2) Bi(,.5) x Obrázek 3.: Kovergece ravděodobostí fukce Bi k ravděodobostí fukci P o.
16 3. STOCHASTICKÁ KONVERGENCE-APROXIMACE ROZDĚLENÍ Na obrázku 3. je ázorě demostrováa rychlost kovergece ravděodobostí fukce Bi k ravděodobostí fukci P o. Všecha rozděleí Bi(, θ) slňují, že θ = λ = 5. Na rví ohled je z obrázku atrý rozdíl v aroximaci u rozděleí Bi(,.5) a Bi(,.). Tím je ukázáo, že ro dobrou aroximaci musí být slěo: a θ. Abychom však dostali dostatečě řesou aroximaci emusíme jít s hodotami a θ až k resektive k. V kize [4] se uvádí, že stačí > 3 a θ <,. Na ásledujícím říkladě bude ukázáa aroximace hyergeometrického rozděleí biomickým. Příklad 4.2 Aroximace ravděodobostí fukce hyergeometrického rozděleí ravděodobostí fukcí biomického rozděleí. Nechť X Hg(N, M, ) má ravděodobostí fukci (x) ak = (x) = ( )( ) M N M x x ( N = ) M! (M x)!x! (N M)! (N M +x)!( x)! N! (N )!!! M(M ) (M x + )(N M)(N M ) (N M + x + ) ( x)!x! N(N ) (N + ) ( ) M = ( M ) ( M x ) N M ( N M ) ( N M x ) N N N N N N N N N N x ( ) ( ) N N Užitím M N lim (x) = M,N θ se ro lim M,N (x) získává ( ) θ(θ ) (θ )( θ)( θ ) ( θ ) x ( ) ( ) což je ravděodobostí fukce rozděleí Bi(, θ). = = ( ) θ x ( θ) x, x N N = Bi(,.5) Hg(2,,) Hg(7,35,) Hg(3,5,) Hg(4,7,) x Obrázek 3.2: Kovergece ravděodobostí fukce Hg k ravděodobostí fukci Bi. Na obrázku 3.2 je oět atré, že ro aroximaci je uté M θ, N, M a,. N N Většiou stačí volit <,. Sojeím úvahy o aroximaci biomického rozděleím Poissoovým s aroximací hyergeometrického biomickým se dá ukázat, že lze aroximaovat N 2
17 3.2 DEMONSTRACE ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL hyergeometrické rozděleí Poissoovým. K tomu je uto slit odmíky z jedotlivých aroximací. Pokuď je, M θ a lze aroximovat hyergeometrické N N rozděleí Poissoovým a to s arametrem M λ. N 3.2 Demostrace záko velkých čísel Nyí se zaměřím a záko velkých čísel. Jeho rici ejrve osvětlíme a říkladě. Příklad 4.3 Mějme kostku a oakovaě s í házejme. Jev A zameá, že a kostce adlo ředem daé číslo. Nehť X k = ade-li v k-tém hodě daé číslo a X k = eade-li. Hody jsou avzájem ezávislé. X k A(θ), kde θ = =, 6 je ravděodobost adutí daého 6 čísla v jedom hodu. Rozděleí má středí hodotu µ = θ =. Potom Y 6 = k= X k Bi(, θ). Nechť m udává očet řízivých výsledků okusů a celkový očet okusů. Z Chičiovy věty ak lye m = X i i= st µ = 6..9 =.66 chyba= ocet hodu Obrázek 3.3: Simulace hodů kostkou. Tato kovergece je graficky zázorěa a obrázku 3.3. Pro vysoce řesou aroximaci je však třeba začý očet hodů. Pro ředstavu, aby byla řesost a ět desetiých míst (ε =.5 5 ) se solehlivostí 95% (α =, 5) je třeba více ež, 5 hodů. P P ( ˆθ θ < ε) α ( ) Y θ < ε α Y θ P θ( θ) < ε α θ( θ) u 2 α θ( θ) = u,95 ( ) 2 6 6, 5 ε.5 5 3
18 3.2 DEMONSTRACE ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL Nahradíme-li okus s házéím kostkou házeím micí dosěje se k odobému výsledku, je s rozdílem µ = θ = 2. Alikace ásledujícího ostuu a jevy, u ichž ravděodobost astoueí je dáa omocí geometrické ravděodobosti vede k zajímavějším výsledkům. Nechť Ω je měřitelá odmožia -rozměrého euklidovského rostoru s kladou a koečou -rozměrou Lebesgueovou mírou. Dále echť A je systém všech měřitelch odmoži možiy Ω a µ(a) echť je -rozměrá Lebesgueova míra měřitelé možiy A A otom P (A) = µ(a) µ(ω). Uvažujme yí kokrétí říad. Pro Ω bude latit: Ω = {(x, y) : x, y } a A = {(x, y) Ω : x 2 + y 2 }. Pravděodobost astoueí jevu A je P (A) = µ(a) µ(ω = π 4. Mějme áhodou veličiu X i, která abývá hodot X i =, okud i-tý áhodě zvoleý bod z Ω áleží do A a X i = okud eáleží do A. Potom Y = i= X i Bi(, π). 4 i= X i Relativí četost astoueí jevu A ři okusech je = m. Z Chičiovy věty se dostává 4 m st π. Tohoto výsledku jsem užil ve svém rogramu ři simulaci výočtu π v sekci Záko velkých čísel. Jiému zůsobu aroximace π za užití geometrické ravděodobosti je věováa kaitolka 3.4.-Buffoova úloha. Podobé úvahy, jako byly oužity v říkladě 4.3 lze oužít i a ostatí rozděleí ravděodobosti, která slňují otřebé ředoklady. Na otázku za jakých okolostí elze oužít aroximace středí hodoty rozděleí omocí relativí četosti odovídá sama defiice zákoa velkých čísel a věty od ěj odvozeé. Požadavky ro slěí jsou vždy koečá středí hodota a omezeý roztyl. Teto ožadavek eslňuje aříklad Cauchyovo rozděleí. To jak vyadá aroximace středí hodoty, která eexistuje ro C(,) je vidět a obrázku 3.4. Velké výkyvy a obrázku jsou zůsobey tím, že toto rozděleí emá ohraičeý roztyl. To má za ásledek, že se občas vygeeruje obrovské áhodé číslo, které zůsobí rudký árůst ebo okles relativí četosti ocet hodu x 4 Obrázek 3.4: Demostrace zákoa velkých čísel ro C(,). 4
19 3.3 DEMONSTRACE CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTY 3.3 Demostrace cetrálí limití věty V sekci 2.6 Cetrálí limití věta jsem uvedl Lidebergovu větu a také dvě kokrétější limití věty jedu ro rozděleí Bi a druhou ro Po. Nyí se okusím ilustrovat latost této věty a simulaci. V řiložeém rogramu je k disozici demostrace cetrálí limití věty ro biomické, Poissoovo, rovoměré, beta, exoeciálí, logaritmickoormálí, ormálí, Fischerovo a Cauchyovo rozděleí. U všech výše zmíěých rozděleí je demostrováa rychlost kovergece k rozděleí N(, ). Na říkladě Cauchyova rozděleí je ukázáa situace, kdy rozděleí eslňuje cetrálí limití větu. Z důvodu ostrádáí geerátoru áhodých čísel s Cauchyho rozděleím v matlabu jsem oužil ro odsimulováí Cauchyhova rozděleí studetovo rozděleí s arametrem rovým jedé, které je rovo stadartímu Cauchyovu rozděleí C(, ). Na ásledujících obrázcích bude demostrováa cetrálí limití věta ro rozděleí Poissoovo, exoeciálí, rovoměré a Cauchyovo. Na všech obrázcích je zobraze histogram a emirická distribučí fukce ro 5 áhodých veliči Y Y = i= X i µ, σ 2 kde µ je středí hodota zvoleého rozděleí a σ 2 je roztyl. Na obrázcích 3.5, 3.6 a 3.7 je X i P o() a =, a 28. Hodota = 28, ři kterém byla simulace ukočea, byla určea omocí K-S testu a hladiě výzamosti α =,. = Obrázek 3.5: Cetrálí limití věta ro P o() ři =. = Obrázek 3.6: Cetrálí limití věta ro P o() ři =. 5
20 3.3 DEMONSTRACE CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTY = Obrázek 3.7: Cetrálí limití věta ro P o() ři = 28. Na obrázcích 3.8, 3.9 a 3. je ukázka ro X i získáa K-S testem ři α =.. Ex(). Hodota = 2 byla oět = Obrázek 3.8: Cetrálí limití věta ro Ex() ři =. = Obrázek 3.9: Cetrálí limití věta ro Ex() ři = 5. 6
21 3.3 DEMONSTRACE CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTY = Obrázek 3.: Cetrálí limití věta ro Ex() ři = 2. Na obrázku 3. je ukázka ro X i R(, ). Z hodoty = 2, která byla získáa K-S testem ři α =., je atré, že rychlost kovergece k rozděleí N(, ) je veliká. = Obrázek 3.: Cetrálí limití věta ro R(, ) ři = 2. Nelatost cetrálí limití věty ro X i C(, ) demostrují obrázky 3.2, 3.3 a 3.4. = Obrázek 3.2: Cetrálí limití věta ro C(, ) ři =. 7
22 3.4 ZAJÍMAVÉ PŘÍKLADY = Obrázek 3.3: Cetrálí limití věta ro C(, ) ři =. = Obrázek 3.4: Cetrálí limití věta ro C(, ) ři =. Z rovedeých simulací, které byly zde ukázáy a obrazcích se dá usoudit rychlost kovergece jedotlivých rozděleí k rozděleí N(, ). Pro rozděleí R(, ) stačilo volit i= = 2, aby K-S test rovedeý ro 5 áhodých čísel Y = X i µ σ, kde µ je středí 2 hodota uvažovaého rozděleí a σ 2 je roztyl, ezamítl hyotézu, že jsou z rozděleí N(, ). Rozděleí Ex() otřebovalo =2 a P o() muselo mít = 28. Pro rozděleí C(, ) eastala situace, že by byla hyotéza ezamítuta. 3.4 Zajímavé říklady 3.4. Buffoova úloha Mějme úlohu: V roviě jsou arýsováy rovoběžky, jejichž vzdáleost je d. Na tuto roviu áhodě házíme jehlu délky L, L < d. Jaká je ravděodobost, že jehla řete ěkterou z rovoběžek? Tuto úlohu vymyslel v roce 777 fracouzský matematik Georges Louis Leclerc, Comte de Buffo (*77-d788). Řešeí úlohy je ásledující: Nechť x je vzdáleost středu jehly od ejbližší římky a ϕ úhel, který svírá jehla s rovoběžkami. Potom Ω = {(ϕ, x) : ϕ π, x d } je rostor elemetárích jevů. To, že jehla rote římku, vyjádříme jevem A, A = 2 8
23 3.4 ZAJÍMAVÉ PŘÍKLADY {(ϕ, x) Ω : x L m(a) si ϕ}. Defiice geometrické ravděodobsti udává, že P (A) =. 2 m(ω) Dosazeím za m(a) a m(ω) se dostae P (A) = π ( L si ϕ)dϕ 2 π d 2 = 2L πd. Pravděodobost P (A) se dá odhadout omocí relativí četosti P (A) m, kde je očet hodů jehlou a m je očet hodů v ichž jehla rotla rovoběžku. Z geometrické ravděodobosti jevu A a relativí četosti tohoto jevu se dá odhadout číslo π. m P (A) = 2L πd π 2L md K tomuto vztahu se dá též dojít za oužití ZVČ. Mějme áhodou veličiu X A(θ), kde EX = θ = 2L udává ravděodobost s jakou jehla ři doadu rote rovoběžku. πd V říadě, že jehla rotla rovoběžku je X = v oačém X =. Nechť -krát hodíme jehlou. Počet rotutí v hodech je vyjádře áhodou veličiou Y Bi(, θ). Y = i= X i = m, kde X i = {, }. Relativí četost ři hodech je m, kde m je očet rotutí. To lze vyjádřit m = i= X i. Alikováím Chičiovy věty a teto říklad dostaeme m = i= st. X i θ = 2L. Sadou úravou se dostává πd 2L dm st. π. Teto vztah byl v miulosti moha autory oužit k určeí řibližé hodoty π. Některé z ich včetě jejich výsledků uvádím ro ázorost v ásledující tabulce, ktrá byla řevzata z kihy [3]. exerimetátor rok očet hodů zjišěá hodota π Volf ,5 Smith ,553 Fuchs ,49 Lazzarii ,45929 Užitím simulace jsem dostal ásledující hodoty: očet hodů zjišěá hodota π 3,36 3,36 3,432 3, 372 3,442 3,445 3,427 3,46 Z orováí hodot zjištěých simulací a hodot od exerimetátorů v miulosti se zdá atré, že výsledky, kterých dosáhl třeba Lazzariy, musely být začě áhodé. Z hodot zjištěých simulací je atré, že hodota π se s rostoucím očtem hodů omalu zřesňuje. Přesost aroximace π je u sta hodů je a jedu latou cifru u desetitisíce a jedo desetié místo a u statisíci hodů se zleší a dvě desetiá místa. Naskytá se tedy otázka, jak moc velké štěstí měl Lazzariy ři svém okuse. Pro hodotu π, kterou obdržel Lazzariy existuje ouze jeda hodota očtu rotutí jehlou m ři očtu hodů jehlou = 348. Pravděodobost P (m), že Lazzariy ři svém okuse měl rávě m 9
24 3.4 ZAJÍMAVÉ PŘÍKLADY rotutí ři hodech se dá odhadout za omoci CLV. Jelikož ři hodech vyjadřuje očet rotutí áhodá veličia Y Bi(, θ), lze ro velká užitím CLV obdržet, že Y má řibližě rozděleí N(θ, θ( θ)). Tedy P (m) 2πθ( θ) e (m θ) 2 2θ( θ). Pro říad d = 2L a jelikož e (m θ) 2 2θ( θ) P (m) dostáváme 2πθ( θ) = 2π 348 (, 5. ) π π Z tohoto výsledku je atré, že Lazariy ve svém okuse musel mít začě velké štěstí. ocet hodu = π = chyba=.8424 aroximace π ocet hodu jehlou Obrázek 3.5: Simulace Buffoovy úlohy Galtoova deska Galtoova deska je zařízeí vyalezeé aglickým vědcem Sirem Fracisem Galtoem (*822-d9) k demostrováí ormálího rozděleí. Nechť θ ředstavuje ravděodobost vychýleí koule vlevo a θ ravděodobost vychýleí vravo ři doadu a klí. Mějme Galtoovu desku s řadami klíů a echme jí rojít m koulí. Uvažujme áhodou veličiu X ij, i =,..., m a j =,...,, která oisuje ohyb i-té koule o doadu a klí v j-té řadě Galtoovy desky. Pro X ij latí, že abývá je hodot a. Hodoty v říadě, že koule okračuje o árazu a klí vlevo a, jestliže vravo. Tedy X ij má alterativí rozděleí X ij A(θ). Pro ideálí kouli a ideálí klí je θ = θ =. 2 V říadě Galtoovy desky s řadami klíů ředstavuje ohyb koule o desce alterativích ezávislých okusů. Mějme áhodou veličiu Y i udávající číslo řihrádky, do které doadla i-tá koule o rojití Galtoovy desky. Potom Y i = j= X ij. Je zámo, že součet ezávislých áhodých veliči s alterativím rozděleím dáva áhodou veličiu s biomickým rozděleím. V ašem říadě Y i Bi(, θ). Pravděodobostí fukce áhodé veličiy Y i oisující doadeí koule do i-té řihrádky zleva je ro θ = 2 2
25 3.4 ZAJÍMAVÉ PŘÍKLADY (i) = ( ( ) i) i {,,..., }. 2 Obrázek 3.6: Galtoova deska. Z věty.4 je zámo, že áhodá veličia (Z = Y i θ)/( θ( θ)) ro koverguje v distribuci k rozděleí N(, ), kde Y i Bi(, θ). Úravou vztahu ro Z se dostává Y i = θ( θ)z + θ. Odtud je již zřejmé, že Y i N(θ, θ( θ)) a ro θ = dostaeme Y 2 i N(, ), kde 2 4 je očet řad klíů. Obrázek 3.7: Simulace Galtoovy desky s 2 řadami klíů ro koulí Bertradův aradox Uvažujme úlohu: K daé kružici zvolíme áhodě tětivu a chceme vědět, jaká je ravděodobost, že tětiva bude delší ež straa rovostraého trojúhelíka vesaého kružici. Tuto úlohu zformuloval v roce 888 Joseh Bertrad ve své ráci Calcul des robabilités. Problémem této úlohy je áhodá volba tětivy. Ta se dá realizovat více zůsoby. Tři z ich autor zveřejil solu s touto úlohou. To, že tato úloha byla ojmeováa jako aradox, bylo zůsobeo tím, že každý z těchto tří zůsobu volby áhodé tětivy řiáší 2
26 3.4 ZAJÍMAVÉ PŘÍKLADY jié řešeí. Prví ojetí. Poloha tětivy je určea olohou jejího středu. To se rakticky rovádí áhodou volbou středu tětivy uvitř kružice omocí souřadic x a y středu tětivy, řičemž střed základí kružice je očátkem kartézské soustavy souřadic. Při této volbě bude tětiva delší ež straa rovostraého trojúhelíka vesaého kružici, když střed tětivy ade dovitř kružice vesaé tomuto trojúhelíku. Kružice vesaá trojúhelíku je soustředá se základí kružicí a její oloměr je oloviou oloměru základí kružice. Obsah lochy ohraičeé základí kružicí je πr 2 a obsah lochy ohraičeé kružicí vesaou trojúhelíku je π( r 2 )2. Hledaá ravděodobost se rová π( r 2 )2 πr 2 = 4. Obrázek 3.8: Prví ojetí. Obrázek 3.9: Druhé ojetí. Obrázek 3.2: Třetí ojetí. Druhé ojetí. Délka tětivy je určea vzdáleostí jejího středu od středu kružice. Střed tětivy je v olárích souřadicích jedozačě urče vzdáleostí od očátku (střed kružice) a úhlem svírajícím s ředem zvoleou osou. Náhodá volba tětivy se realizuje áhodou volbou středu tětivy, který volíme omocí áhodé vzdáleosti od očátku a úhlu. Tětiva bude delší ež straa ravidelého trojúhelíka, jestliže vzdáleost středu tětivy bude meší ež olovia oloměru kružice. Pravděodobost, že áhodě zvoleá tětiva bude delší ež straa trojúhelíka, je r 2 r = 2. Třetí ojetí. Z důvodu symetrie můžeme ředokládat, že jede kocový bod tětivy je evý a je umístě do vrcholu trojúhelíka. Druhý zvolíme áhodě a kružici. Tětiva bude delší ež straa trojúhelíka, když druhý bod ade do oblouku, který se achází mezi ostatími dvěma vrcholi trojúhelika. Délka tohoto oblouku kružiice je třetia délky celé kružice. Pravděodobost, že teča bude delší ež straa trojúhelíka, je 2πr 3 2πr = 3. Tyto tři zůsoby volby áhodé tětivy jsem též zrogramoval a jejich simulaci si lze sustit v řiložeém rogramu. 22
27 4 Pois rogramu V této kaitole oisuji stručě možosti a ovládáí řiložeého rogramu. Po zadáí říkazu bcrogram do říkazového řádku v matlabu se sustí rogram a a obrazovce se oběví oko. V ravém rohu jsou umístěa od sebou tři tlačítka: Start, Sto, Close. Start slouží ke suštěí vybraé simulace. Sto ukočí rávě robíhající simulaci a tlačítko Close ukočí celý rogram. Pod tlačítkem Close je umístě áis Výběr simulace. Dále ásleduje skuia tlačítek, která slouží k výběru jedoho ze čtyř tyů simulací: Stochastická kovergece, Záko velkých čísel, Cetrálí limití věta a Zajímavé říklady. Pod touto skuiou tlačítek je rozklikávací abídka simulací odle zvoleého tyu. ˆ Stochastická kovergece Na výběr jsou tyto simulace: Hg k Bi cdf, Hg k Bi df, Bi k Po cdf, Bi k Po df. Zde se jedá vždy o ukázku kovergece ravděodobostí (df) 4i distribučí (cdf) fukce rvího rozděleí k druhému. Náis Hg k Bi cdf tedy ozačuje ukázku jak distribučí fukce hyergeometrického rozděleí koverguje k biomickému rozděleí. Při volbě Hg k Bi se od tímto okem zobrazí ole a zadáí vstuích arametrů: maxn, a theta. To jsou arametry rozděleí Bi(,theta) a Hg(N,M,), kde maxn ozačuje hodotu N ři íž se ukázka zastaví. Parametr M je určová v růběhu vykreslováí ze vztahu M=theta N, kde N=,...,maxN. Při volbě Bi k Po se zobrazí ole a zadáí vstuích arametrů: maxn a lambda. To jsou arametry rozděleí Bi(,theta) a Po(lambda), kde maxn ozačuje hodotu, ři íž se ukázka zastaví. Parametr theta je určová v růběhu vykreslováí ze vztahu theta=lambda/, kde =,...,maxn. ˆ Záko velkých čísel V této abídce jsou a výběr tyto simulace: Hod micí, Hod kostkou, Pi a Cauchy. 23
28 Pod touto abídkou je k disozici volba arametru, který ozačuje očet vygeerovaých áhodých čísel, ři kterém je simulace ukočea. ˆ Cetrálí limití věta Zde jsou a výběr tyto simulace: Po(lambda), Ex(lambda), B(a,b), R(a,b), LN(mu,sigma), Bi(,theta), N(,), F(a,b) a C(,). Pro tyto simulace jsou astavitelé arametry: max, arametry zvoleého rozděleí, alha a očet geerovaých čísel. Parametr max vychází ze vztahu ro cetrálí limití větu Y = i= X i µ σ a ozačuje, ři kterém se ejozději zastaví simulace. Parametr alha začí hladiu výzamosti v K-S testu, který ři každém ( =,,max ) testuje veličiy Y zda jsou z rozděleí N(,) a hladiě výzamosti alha. Pokud test ezamíte hyotézu, že áhodé veličiy Y jsou z N(,) je ukočea simulace. Počet geerovaých čísel ozačuje očet Y, ro který je vykresle histogram, emirická distribučí fukce a dělá test. ˆ Zajímavé říklady Na výběr jsou: Galtoova deska, Buffoova úloha, Bertradův aradox, Bertradův aradox 2 a Bertradův aradox 3. U Galtoovy desky je a výběr volba očtu řad Galtoovy desky a očet koulí, který se echá rojít Galtoovou deskou. Pro Buffoovu úlohu se volí očet hodů jehlou a délka jehly. Délka jehly se volí v rozsahu od do 2, kde 2 ozačuje vzdáleost rovoběžek. Pro simulace Bertradova aradoxu se volí je očet áhodých voleb tětiv, řičemž ozačeí simulací Bertradova aradoxu odovídá ojetí volby tětivy z kaitolky
29 5 Závěr Cílem ráce bylo osat stochastickou kovergeci, zákoy velkých čísel, cetrálí limití větu a oužití vyložeé teorie demostrovat a vybraých říkladech a grafických simulací. Poisu vybraé teorie jsem věoval kaitolu Základí ojmy z teorie ravděodobosti. Zde je avíc defiováa charakteristická fukce, která byla užita k důkazu cetrálí limití věty. Demostraci této teorie jsem věoval ásledující kaitolu, kde jsou uvedey i ěkteré zajímavé říklady, jakož jsou Galtoova deska, Buffoova úloha a Bertradův aradox, které slouží k demostrováí této teorie. Všechy mou vytvořeé grafické simulace jsem vložil do jediého rogramu, kde se dají ohodlě sustit. Poisu tohoto rogramu jsem ak věoval osledí kaitolu. 25
30 Literatura LITERATURA [] Aděl, J.: Matematická statistika. Praha: SNTL/ALFA, ISBN [2] Aděl, J.: Základy matematické statistiky. Praha: MATFYZPRESS, ISBN [3] Gedeko, B.V.: The theory of robability. Moscow: Mir Publishers, [4] Karíšek, Z.: Matematika IV : statistika a ravděodobost. Bro: CERM, ISBN [5] Réyi, A.: Teorie ravděodobosti. Praha: ACADEMIA, ISBN
31 6 Sezam oužitých zkratek a symbolů EX středí hodota DX ψ ZVČ SlZVČ CLV st. (x) f(x) F (x) roztyl charakteristická fukce záko velkých čísel slabý záko velkých čísel cetrálí limití věta stochastická kovergece ravděodobostí fukce hustota distribučí fukce Φ(x) distribučí fukce rozděleí N(, ) 27
32 7 Sezam říloh ˆ řiložeé CD Toto CD obsahuje: tuto bakalářskou ráci ve formatu df rogram ro matlab bcrogram.m 28
jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
VícePRAVDĚPODOBNOST ... m n
RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení
S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Vícec) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),
a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:
VíceNárodní informační středisko pro podporu kvality
Národí iformačí středisko ro odoru kvality Testováí zůsobilosti a výkoosti výrobího rocesu RNDr. Jiří Michálek, Sc Ústav teorie iformace a automatizace AVČR UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI 3 UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
VíceVícekanálové čekací systémy
Vícekaálové čekací systémy taice obsluhy sestává z ěkolika kaálů obsluhy, racujících aralelě a avzájem ezávisle. Vstuy i výstuy systému mají oissoovský charakter. Jedotky vstuující do systému obsadí ejrve
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
Vícemůžeme toto číslo považovat za pravděpodobnost jevu A.
RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout áhodé rocesy. Náhodé okusy: rocesy,
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceTento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254
Evroský sociálí od Praha & EU: Ivestujeme do vaší budoucosti eto materiál vzikl díky Oeračímu rogramu Praha Adatabilita CZ..7/3../3354 Maažerské kvatitativí metody II - ředáška č.3 - Queuig theory teorie
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =
NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
VícePřednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění
Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VíceOdhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení
Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází
VíceZákladní teoretický aparát a další potřebné znalosti pro úspěšné studium na strojní fakultě a k řešení technických problémů
Základí teoretický aarát a další otřebé zalosti ro úsěšé studium a strojí fakultě a k řešeí techických roblémů MATEMATIKA: logické uvažováí, matematické ástroje - elemetárí matematika (algebra, geometrie,
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx
NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
VíceASYNCHRONNÍ STROJE. Obsah
VŠB TU Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky Katedra obecé elektrotechiky ASYCHROÍ STROJE Obsah. Výzam a oužití asychroích motorů 2. rici čiosti asychroího motoru 3. Rozděleí asychroích motorů 4.
Více3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma
3. Decibelové veličiy v akustice, kmitočtová ásma V ředchozí kaitole byly defiováy základí akustické veličiy, jako ař. akustický výko, akustický tlak a itezita zvuku. Tyto veličiy ve v raxi měí o moho
VícePravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy
Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí 3.9.9 Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = 6 5 4 3 P(A) = 6 5 4 3 6 4 Naejvýš l kostek: m...
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
Více8. Zákony velkých čísel
8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy
VícePřednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti
Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VíceBRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY
VYSOKÉ UČEÍ TECHICKÉ V BRĚ BRO UIVERSITY OF TECHOLOGY FAKULTA STROJÍHO IŽEÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A IFORMATIKY FACULTY OF MECHAICAL EGIEERIG ISTITUTE OF AUTOMATIO AD COMPUTER SCIECE MODELY HROMADÉ OBSLUHY
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
VíceBc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin
Uiverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Bc. Barbora Šimková Odhady parametrů rozděleí áhodých veliči Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí program:
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
VíceČíselné charakteristiky náhodných veličin
Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
Více14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou
4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,
Více8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI
8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
VíceÚloha III.S... limitní
Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími
Více17. Statistické hypotézy parametrické testy
7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
VícePravděpodobnostní modely
Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
VíceStatistika pro metrologii
Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
Více2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.
0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
VíceGeometrické modelování. Diferenciáln
Geomerické modelováí Difereciál lí geomerie křivekk Křivky v očía ačové grafice Geomerická ierreace Každý krok algorimu má svůj geomerický výzam Flexibilia korola ad růběhem křivky, možos iuiiví ediace
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Zákoy velkých čísel Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Ig. Lubomír Kubáček, DrSc.,
VíceÚloha II.S... odhadnutelná
Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
Více